تعطي المشكلة B9 رسمًا بيانيًا للدالة أو المشتقة التي تحتاج إلى تحديد إحدى الكميات التالية منها:

1. قيمة المشتق عند نقطة ما × 0،
2. الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط (النقاط القصوى)،
3. فترات الزيادة والنقصان في الوظائف (فترات الرتابة).

الدوال والمشتقات المقدمة في هذه المشكلة تكون دائمًا متصلة، مما يجعل الحل أسهل بكثير. على الرغم من أن المهمة تنتمي إلى قسم التحليل الرياضي، حتى أكثر الطلاب الضعفاء، لأنه لا توجد حاجة إلى معرفة نظرية عميقة هنا.

للعثور على قيمة المشتقة والنقاط القصوى وفترات الرتابة، هناك طرق بسيطة و خوارزميات عالمية- سيتم مناقشة كل منهم أدناه.

اقرأ شروط المشكلة B9 بعناية لتجنب ارتكاب أخطاء غبية: في بعض الأحيان تصادف نصوصًا طويلة جدًا، ولكن هناك القليل من الشروط المهمة التي تؤثر على مسار الحل.

حساب قيمة المشتقة. طريقة نقطتين

إذا تم إعطاء المشكلة رسمًا بيانيًا للدالة f(x)، مماس لهذا الرسم البياني عند نقطة ما x 0، وكان مطلوبًا العثور على قيمة المشتق عند هذه النقطة، فسيتم تطبيق الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن نقطتين "مناسبتين" على الرسم البياني المماس: يجب أن تكون إحداثياتهما عددًا صحيحًا. دعنا نشير إلى هذه النقاط بـ A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2). اكتب الإحداثيات بشكل صحيح - وهذه نقطة أساسية في الحل، وأي خطأ هنا سيؤدي إلى إجابة غير صحيحة.
2. بمعرفة الإحداثيات، من السهل حساب زيادة الوسيط Δx = x 2 − x 1 وزيادة الدالة Δy = y 2 − y 1 .
3. وأخيرًا، نجد قيمة المشتقة D = Δy/Δx. بمعنى آخر، تحتاج إلى قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة - وهذا سيكون الجواب.

نلاحظ مرة أخرى: يجب البحث عن النقطتين A وB بدقة على المماس، وليس على الرسم البياني للدالة f(x)، كما يحدث غالبًا. سيحتوي خط المماس بالضرورة على نقطتين على الأقل - وإلا فلن تتم صياغة المشكلة بشكل صحيح.

خذ بعين الاعتبار النقطتين A (−3; 2) وB (−1; 6) وأوجد الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

لنجد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0 .

خذ بعين الاعتبار النقطتين A (0; 3) و B (3; 0)، وابحث عن الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

الآن نجد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0 .

خذ بعين الاعتبار النقطتين أ (0؛ 2) وب (5؛ 2) وأوجد الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

يبقى إيجاد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

من المثال الأخير، يمكننا صياغة قاعدة: إذا كان المماس موازيًا لمحور OX، فإن مشتقة الدالة عند نقطة التماس هي صفر. في هذه الحالة، لا تحتاج حتى إلى حساب أي شيء - ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرسم البياني.

حساب الحد الأقصى والحد الأدنى للنقاط

في بعض الأحيان، بدلًا من الرسم البياني للدالة، تعطي المشكلة B9 رسمًا بيانيًا للمشتقة وتتطلب إيجاد النقطة القصوى أو الدنيا للدالة. في هذه الحالة، تكون طريقة النقطتين عديمة الفائدة، ولكن هناك خوارزمية أخرى أبسط. أولا، دعونا نحدد المصطلحات:

1. تسمى النقطة x 0 بالنقطة القصوى للدالة f(x) إذا كان عدم المساواة التالي يحمل في بعض أحياء هذه النقطة: f(x 0) ≥ f(x).
2. تُسمى النقطة x 0 بالنقطة الدنيا للدالة f(x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض أحياء هذه النقطة: f(x 0) ≥ f(x).

من أجل العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط من الرسم البياني المشتق، ما عليك سوى اتباع الخطوات التالية:

1. إعادة رسم الرسم البياني المشتق، وإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. كما تظهر الممارسة، فإن البيانات غير الضرورية تتداخل فقط مع القرار. لذلك، نحدد أصفار المشتقة على محور الإحداثيات - وهذا كل شيء.
2. تعرف على علامات المشتقة على الفترات بين الأصفار. إذا كان من المعروف بالنسبة لنقطة ما x 0 أن f'(x 0) ≠ 0، فمن الممكن وجود خيارين فقط: f'(x 0) ≥ 0 أو f'(x 0) ≥ 0. علامة المشتق هي من السهل تحديده من الرسم الأصلي: إذا كان الرسم البياني المشتق يقع فوق محور OX، فإن f'(x) ≥ 0. والعكس صحيح، إذا كان الرسم البياني المشتق يقع أسفل محور OX، فإن f'(x) ≥ 0.
3. نتحقق من الأصفار وعلامات المشتق مرة أخرى. حيث تتغير العلامة من ناقص إلى زائد هي النقطة الدنيا. وعلى العكس من ذلك، إذا تغيرت إشارة المشتقة من موجب إلى ناقص، فهذه هي النقطة القصوى. يتم العد دائمًا من اليسار إلى اليمين.

يعمل هذا المخطط فقط للوظائف المستمرة - ولا يوجد مخططات أخرى في المشكلة B9.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−5; 5]. أوجد النقطة الصغرى للدالة f(x) على هذا المقطع.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية ونترك فقط الحدود [−5; 5] وأصفار المشتقة x = −3 و x = 2.5. ونلاحظ أيضًا العلامات:

من الواضح أنه عند النقطة x = −3 تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد. هذه هي النقطة الدنيا.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−3; 7]. أوجد النقطة القصوى للدالة f(x) على هذا المقطع.

دعونا نعيد رسم الرسم البياني، مع ترك الحدود فقط [−3; 7] وأصفار المشتق x = −1.7 و x = 5. دعونا نلاحظ علامات المشتق على الرسم البياني الناتج. لدينا:

من الواضح أنه عند النقطة x = 5 تتغير إشارة المشتقة من الموجب إلى الناقص - وهذه هي النقطة القصوى.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x)، المحددة في الفاصل الزمني [−6؛ 4]. أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f(x) التي تنتمي إلى المقطع [−4; 3].

يترتب على شروط المشكلة أنه يكفي النظر فقط في جزء الرسم البياني المحدود بالمقطع [−4؛ 3]. لذلك، قمنا ببناء رسم بياني جديد نضع عليه الحدود فقط [−4; 3] والأصفار المشتقة بداخله. وهي النقاط x = −3.5 و x = 2. نحصل على:

يوجد في هذا الرسم البياني نقطة عظمى واحدة فقط x = 2. وعند هذه النقطة تتغير إشارة المشتق من زائد إلى ناقص.

ملاحظة صغيرة حول النقاط ذات الإحداثيات غير الصحيحة. على سبيل المثال، في المسألة الأخيرة تم أخذ النقطة x = −3.5 في الاعتبار، ولكن بنفس النجاح يمكننا أن نأخذ x = −3.4. إذا تم تجميع المشكلة بشكل صحيح، فلا ينبغي أن تؤثر هذه التغييرات على الإجابة، لأن النقاط "بدون مكان إقامة ثابت" لا تشارك بشكل مباشر في حل المشكلة. بالطبع، هذه الخدعة لن تنجح مع النقاط الصحيحة.

إيجاد فترات الدوال المتزايدة والتناقصية

في مثل هذه المشكلة، مثل الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط، يُقترح استخدام الرسم البياني المشتق للعثور على المناطق التي تزيد فيها الوظيفة نفسها أو تنقص. أولاً دعونا نحدد ما هي الزيادة والتناقص:

1. يقال إن الدالة f(x) تتزايد على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≥ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . بمعنى آخر، كلما زادت قيمة الوسيطة، زادت قيمة الدالة.
2. يقال إن الدالة f(x) تتناقص على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≥ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . أولئك. تتوافق قيمة الوسيطة الأكبر مع قيمة دالة أصغر.

دعونا صياغة ظروف كافيةتصاعدي وتنازلي:

1. لكي تتزايد الدالة المستمرة f(x) على القطعة، يكفي أن تكون مشتقتها داخل القطعة موجبة، أي. و '(خ) ≥ 0.
2. لكي تتناقص الدالة المستمرة f(x) على القطعة، يكفي أن تكون مشتقتها داخل القطعة سالبة، أي. و '(خ) ≥ 0.

فلنقبل هذه الاقوال بدون دليل. وبالتالي، نحصل على مخطط للعثور على فترات الزيادة والنقصان، والذي يشبه في كثير من النواحي خوارزمية حساب النقاط القصوى:

1. قم بإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. في الرسم البياني الأصلي للمشتقة، نحن مهتمون في المقام الأول بأصفار الدالة، لذلك سنتركها فقط.
2. قم بتمييز علامات المشتق عند الفواصل بين الأصفار. حيث f’(x) ≥ 0، تزيد الدالة، وحيثما f’(x) ≥ 0، تنخفض. إذا كانت المشكلة تضع قيودًا على المتغير x، فإننا نقوم أيضًا بوضع علامة عليها على رسم بياني جديد.
3. الآن بعد أن عرفنا سلوك الدالة والقيود، يبقى حساب الكمية المطلوبة في المشكلة.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−3; 7.5]. أوجد فترات تناقص الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى مجموع الأعداد الصحيحة المضمنة في هذه الفترات.

كالعادة، دعونا نعيد رسم الرسم البياني ونحدد الحدود [−3; 7.5]، وكذلك أصفار المشتق x = −1.5 و x = 5.3. ثم نلاحظ علامات المشتقة. لدينا:

بما أن المشتقة سالبة على الفترة (− 1.5)، فهذه هي فترة الدالة المتناقصة. يبقى جمع كل الأعداد الصحيحة الموجودة داخل هذا الفاصل الزمني:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x)، المحددة في الفاصل الزمني [−10; 4]. أوجد فترات زيادة الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى طول أكبرها.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية. دعونا نترك فقط الحدود [−10؛ 4] وأصفار المشتقة، والتي كان هناك أربعة منها هذه المرة: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. لنضع علامات على المشتق ونحصل على الصورة التالية:

نحن مهتمون بفترات زيادة الوظيفة، أي. مثل حيث f'(x) ≥ 0. هناك فترتان من هذا القبيل على الرسم البياني: (−8; −6) و (−3; 2). دعونا نحسب أطوالهم:
ل 1 = − 6 − (−8) = 2;
ل 2 = 2 − (−3) = 5.

وبما أننا نحتاج إلى إيجاد طول أكبر الفترات، فإننا نكتب القيمة l 2 = 5 كإجابة.

سيرجي نيكيفوروف

إذا كانت مشتقة دالة ذات إشارة ثابتة على فترة ما، والدالة نفسها مستمرة على حدودها، فسيتم إضافة نقاط الحدود إلى الفترات المتزايدة والتناقصية، وهو ما يتوافق تمامًا مع تعريف الدوال المتزايدة والمتناقصة.

فريت يمايف 26.10.2016 18:50

مرحبًا. كيف (على أي أساس) يمكننا أن نقول أنه عند النقطة التي تكون فيها المشتقة تساوي الصفر، تزداد الدالة. اعط اسبابا. خلاف ذلك، انها مجرد نزوة شخص ما. بأي نظرية؟ ودليل أيضا. شكرًا لك.

يدعم

لا ترتبط قيمة المشتقة عند نقطة ما ارتباطًا مباشرًا بزيادة الدالة خلال الفترة. لنأخذ على سبيل المثال الدوال، فكلها تتزايد على الفترة الزمنية

فلادلين بيساريف 02.11.2016 22:21

إذا كانت الدالة تزايدية على الفترة (a;b) ومحددة ومستمرة عند النقطتين a وb، فهي تزايدية على الفترة. أولئك. يتم تضمين النقطة x=2 في هذه الفترة.

على الرغم من أنه كقاعدة عامة، لا يتم اعتبار الزيادة والنقصان على مقطع، ولكن على فاصل زمني.

لكن عند النقطة x=2 نفسها، يكون للدالة قيمة صغرى محلية. وكيف نشرح للأطفال أنهم عندما يبحثون عن نقاط الزيادة (النقصان)، فإننا لا نحسب نقاط الحد الأقصى المحلي، بل ندخل في فترات الزيادة (النقصان).

معتبرا أن الأول جزء من امتحان الدولة الموحدةل " المجموعة الوسطى روضة أطفال"، فربما تكون هذه الفروق الدقيقة أكثر من اللازم.

بشكل منفصل، شكرًا جزيلاً"حل امتحان الدولة الموحدة" لجميع الموظفين - فائدة ممتازة.

سيرجي نيكيفوروف

ويمكن الحصول على تفسير بسيط إذا بدأنا من تعريف دالة زيادة/تناقص. اسمحوا لي أن أذكرك أن الأمر يبدو كالتالي: تسمى الدالة زيادة/تناقصًا على فترة زمنية إذا كانت الوسيطة الأكبر للدالة تتوافق مع قيمة أكبر/أصغر للدالة. لا يستخدم هذا التعريف مفهوم المشتق بأي شكل من الأشكال، لذلك لا يمكن طرح أسئلة حول النقاط التي يختفي فيها المشتق.

ايرينا ايشماكوفا 20.11.2017 11:46

مساء الخير. أرى هنا في التعليقات معتقدات بضرورة تضمين الحدود. لنفترض أنني أتفق مع هذا. لكن من فضلك أنظر إلى الحل الخاص بك للمشكلة 7089. هناك، عند تحديد فترات زمنية متزايدة، لا يتم تضمين الحدود. وهذا يؤثر على الجواب. أولئك. حلول المهام 6429 و 7089 تتعارض مع بعضها البعض. يرجى توضيح هذه الحالة.

الكسندر ايفانوف

المهام 6429 و7089 لها أسئلة مختلفة تمامًا.

أحدهما يتعلق بزيادة الفترات، والآخر يتعلق بالفترات ذات المشتقة الموجبة.

ليس هناك تناقض.

يتم تضمين الحدود القصوى في فترات الزيادة والتناقص، ولكن النقاط التي يكون فيها المشتق صفرًا لا يتم تضمينها في الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا.

أ ز 28.01.2019 19:09

أيها الزملاء، هناك مفهوم الزيادة عند نقطة ما

(انظر فيشتنهولتز على سبيل المثال)

وفهمك للزيادة عند x=2 يتعارض مع التعريف الكلاسيكي.

الزيادة والنقصان هي عملية وأود أن ألتزم بهذا المبدأ.

في أي فترة تحتوي على النقطة x=2، فإن الدالة لا تكون تزايدية. ولذلك، فإن إدراج نقطة معينة x=2 هو عملية خاصة.

عادة، لتجنب الارتباك، تتم مناقشة إدراج نهايات الفترات بشكل منفصل.

الكسندر ايفانوف

يقال إن الدالة y=f(x) تتزايد خلال فترة زمنية معينة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

عند النقطة x=2 تكون الدالة قابلة للاشتقاق، وعلى الفترة (2؛ 6) يكون المشتق موجبًا، مما يعني على الفترة )