جدول قيم الدوال المثلثية

يتم تجميع جدول قيم الدوال المثلثية للزوايا 0 و30 و45 و60 و90 و180 و270 و360 درجة وقيم الزوايا المقابلة بالراديان. من بين الدوال المثلثية، يوضح الجدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام. ولتسهيل حل الأمثلة المدرسية، يتم كتابة قيم الدوال المثلثية في الجدول على شكل كسر مع الحفاظ على علامات استخراج الجذر التربيعي للأعداد، مما يساعد في كثير من الأحيان على تقليل التعبيرات الرياضية المعقدة. بالنسبة للظل وظل التمام، لا يمكن تحديد قيم بعض الزوايا. بالنسبة لقيم الظل وظل التمام لهذه الزوايا، توجد شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية. ومن المقبول عمومًا أن ظل وظل التمام لهذه الزوايا يساوي اللانهاية. توجد في صفحة منفصلة صيغ لتقليل الدوال المثلثية.

يوضح جدول قيم دالة الجيب المثلثية قيم الزوايا التالية: sin 0، sin 30، sin 45، sin 60، sin 90، sin 180، sin 270، sin 360 بالدرجات، وهو ما يتوافق مع الخطيئة 0 بي، الخطيئة بي / 6، الخطيئة بي / 4، الخطيئة بي / 3، الخطيئة بي / 2، الخطيئة بي، الخطيئة 3 بي / 2، الخطيئة 2 بي في راديان قياس الزوايا. الجدول المدرسي للجيوب.

بالنسبة لدالة جيب التمام المثلثية، يوضح الجدول قيم الزوايا التالية: cos 0، cos 30، cos 45، cos 60، cos 90، cos 180، cos 270، cos 360 بالدرجات، وهو ما يتوافق مع cos 0 pi ، cos pi على 6، cos pi على 4، cos pi على 3، cos pi على 2، cos pi، cos 3 pi على 2، cos 2 pi بقياس راديان للزوايا. الجدول المدرسي لجيب التمام.

يعطي الجدول المثلثي لدالة الظل المثلثية قيمًا للزوايا التالية: tg 0، tg 30، tg 45، tg 60، tg 180، tg 360 في قياس الدرجة، وهو ما يتوافق مع tg 0 pi، tg pi/6، tg pi/4، tg pi/3، tg pi، tg 2 pi في قياس راديان للزوايا. لم يتم تعريف القيم التالية لدوال الظل المثلثية tan 90، tan 270، tan pi/2، tan 3 pi/2 وتعتبر مساوية لما لا نهاية.

بالنسبة للدالة المثلثية ظل التمام في الجدول المثلثي، يتم إعطاء قيم الزوايا التالية: ctg 30، ctg 45، ctg 60، ctg 90، ctg 270 في قياس الدرجة، وهو ما يتوافق مع ctg pi/6، ctg pi/4 ، ctg pi/3، tg pi/ 2، tan 3 pi/2 بقياس راديان للزوايا. لم يتم تعريف القيم التالية لدوال ظل التمام المثلثية ctg 0، ctg 180، ctg 360، ctg 0 pi، ctg pi، ctg 2 pi وتعتبر مساوية لما لا نهاية.

يتم إعطاء قيم الدوال المثلثية القاطعة وقاطعة التمام لنفس الزوايا بالدرجات والراديان مثل الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

يوضح جدول قيم الدوال المثلثية للزوايا غير القياسية قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا بالدرجات 15، 18، 22.5، 36، 54، 67.5 72 درجة وبالراديان pi/12 ، بي/10، بي/ 8، بي/5، 3بي/8، 2بي/5 راديان. يتم التعبير عن قيم الدوال المثلثية من حيث الكسور والجذور التربيعية لتسهيل تبسيط الكسور في الأمثلة المدرسية.

ثلاثة وحوش أخرى في علم المثلثات. الأول هو ظل 1.5 درجة ونصف أو باي مقسومًا على 120. والثاني هو جيب تمام باي مقسومًا على 240، باي/240. الأطول هو جيب تمام pi مقسومًا على 17، pi/17.

تمثل الدائرة المثلثية لقيم وظائف الجيب وجيب التمام بصريًا علامات الجيب وجيب التمام اعتمادًا على حجم الزاوية. خاصة بالنسبة للشقراوات، يتم وضع خط تحت قيم جيب التمام بشرطة خضراء لتقليل الارتباك. يتم أيضًا عرض تحويل الدرجات إلى الراديان بشكل واضح جدًا عند التعبير عن الراديان بدلالة pi.

يعرض هذا الجدول المثلثي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا من 0 صفر إلى 90 درجة على فترات من درجة واحدة. بالنسبة للخمسة وأربعين درجة الأولى، ينبغي النظر إلى أسماء الدوال المثلثية في أعلى الجدول. يحتوي العمود الأول على الدرجات، ويتم كتابة قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الأعمدة الأربعة التالية.

بالنسبة للزوايا من خمسة وأربعين درجة إلى تسعين درجة، تكتب أسماء الدوال المثلثية في أسفل الجدول. يحتوي العمود الأخير على درجات، وقد كتبت قيم جيب التمام والجيب وظل التمام والظل في الأعمدة الأربعة السابقة. يجب الحذر لأن أسماء الدوال المثلثية الموجودة أسفل الجدول المثلثي تختلف عن الأسماء الموجودة أعلى الجدول. يتم تبادل الجيوب وجيب التمام، تمامًا مثل الظل وظل التمام. ويرجع ذلك إلى تماثل قيم الدوال المثلثية.

تظهر علامات الدوال المثلثية في الشكل أعلاه. جيب لديه قيم موجبة من 0 إلى 180 درجة، أو 0 إلى باي. جيب لديه قيم سلبية من 180 إلى 360 درجة أو من pi إلى 2 pi. تكون قيم جيب التمام موجبة من 0 إلى 90 ومن 270 إلى 360 درجة، أو من 0 إلى 1/2 pi و3/2 إلى 2 pi. الظل و ظل التمام لهما قيم موجبة من 0 إلى 90 درجة ومن 180 إلى 270 درجة، المقابلة للقيم من 0 إلى 1/2 pi و pi إلى 3/2 pi. القيم السالبة للظل وظل التمام هي من 90 إلى 180 درجة ومن 270 إلى 360 درجة، أو من 1/2 pi إلى pi ومن 3/2 pi إلى 2 pi. عند تحديد علامات الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 360 درجة أو 2pi، يجب عليك استخدام خصائص دورية هذه الدوال.

الدوال المثلثية الجيب والظل وظل التمام هي دوال فردية. قيم هذه الدوال للزوايا السالبة ستكون سالبة. جيب التمام هو دالة مثلثية زوجية - قيمة جيب التمام للزاوية السالبة ستكون موجبة. يجب اتباع قواعد الإشارة عند ضرب وقسمة الدوال المثلثية.

1. يوضح جدول قيم دالة الجيب المثلثية قيم الزوايا التالية

   وثيقة

   توجد صيغ التخفيض في صفحة منفصلة حساب المثاثاتالمهام. في طاولةقيملحساب المثاثاتالمهامالتجويفمنحقيملالأتىزوايا: الخطيئة 0، الخطيئة 30، الخطيئة 45 ...

2. الجهاز الرياضي المقترح عبارة عن تماثل كامل لحساب التفاضل والتكامل المعقد للأعداد المفرطة التعقيد ذات الأبعاد n مع أي عدد من درجات الحرية n وهو مخصص للنمذجة الرياضية للأعداد غير الخطية

   وثيقة

   ... المهاميساوي المهامالصور. من هذه النظرية يجب، ماذا لالعثور على الإحداثيات U، V، يكفي لحساب وظيفة... الهندسة؛ بولينار المهام(نظائرها متعددة الأبعاد ثنائية الأبعاد حساب المثاثاتالمهام)، خصائصهم، الجداولوالتطبيق؛ ...

3. ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. من أجل الحصول على فهم جيد لهذه المفاهيم المعقدة التي تبدو للوهلة الأولى (والتي تسبب حالة من الرعب لدى العديد من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس فظيعًا كما هو مرسوم"، فلنبدأ من بداية جدًا وفهم مفهوم الزاوية.

   مفهوم الزاوية: راديان، درجة

   دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.

   ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!

   يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.

   الزاوية (درجة واحدة) هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري يساوي جزء من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.

   

   أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.

   الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.

   

   إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي نصف القطر) طول القوس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:

   أين الزاوية المركزية بالراديان؟

   حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:

   حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.

   كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!

   فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:

   تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:

   المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية

   لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، سوف يساعدنا المثلث الأيمن.

   

   ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاوران للزاوية القائمة)، وإذا اعتبرنا الساقين نسبة إلى الزاوية، فإن الساق هي الساق المجاورة، والساق هي العكس. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟

   جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

   في مثلثنا.

   جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

   في مثلثنا.

   ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).

   في مثلثنا.

   ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

   في مثلثنا.

   هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:

   جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛

   ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.

   بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:

   

   خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.

   إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!

   بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.

   

   حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.

   دائرة الوحدة (المثلثية).

   من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.

   

   كما ترون، تم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، ويتم تثبيت الموضع الأولي لمتجه نصف القطر على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).

   كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثي المحور وإحداثي المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.

   ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:

   ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:

   إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.

   

   ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.

   ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:

   

   ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار المثلث القائم: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:

   حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.

   لقد ذكرنا بالفعل أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، سوف تحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

   إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

   في الحالة الثانية، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

   وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.

   الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)

   

   الآن، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة، حاول الإجابة على ما هي القيم:

   إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:

   

   تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:

   ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:

   غير موجود؛

   علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.

   الإجابات:

   وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:

   

   ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:

   لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:

   

   لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا من السهل جدًا تذكر القيم المقابلة:

   لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم جيب الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:

   مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " والمقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.

   إحداثيات نقطة على الدائرة

   هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?

   حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها الصيغة العامة لإيجاد إحداثيات نقطة ما.

   على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:

   

   لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.

   كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:

   ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.

   وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،

   لذلك، بشكل عام، يتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:

   إحداثيات مركز الدائرة،

   نصف قطر الدائرة,

   زاوية دوران نصف قطر المتجه.

   كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:

   حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟

   1. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

   2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

   3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

   4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

   5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

   هل تواجه مشكلة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟

   قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!

   الملخص والصيغ الأساسية

   جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

   جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

   ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).

   ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

   حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

   لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

   الآن الشيء الأكثر أهمية.

   لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

   المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

   لماذا؟

   لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

   لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

   الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

   ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

   الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

   لكن فكر بنفسك..

   ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

   احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

   لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

   سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

   وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

   يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

   ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

   يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

   لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

   كيف؟ هناك خياران:

   1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
   2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

   نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

   يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

   ختاماً...

   إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

   إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

   البحث عن المشاكل وحلها!

   جدول الدوال المثلثية الأساسية للزوايا 0، 30، 45، 60، 90، ... درجات

   من التعريفات المثلثية للدوال $\sin$ و $\cos$ و $\tan$ و $\cot$، يمكنك معرفة قيمها للزوايا $0$ و $90$ درجة:

   $\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ غير محددة؛

   لم يتم تحديد $\sin90°=1$، $\cos90°=0$، $\cot90°=0$، $\tan 90°$.

   في دورة الهندسة المدرسية، عند دراسة المثلثات القائمة، يجد المرء الدوال المثلثية للزوايا $0°$، $30°$، $45°$، $60°$، $90°$.

   تم العثور على قيم الدوال المثلثية للزوايا المشار إليها بالدرجات والراديان، على التوالي ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) لسهولة الحفظ والاستخدام يتم إدخالها في جدول يسمى الجدول المثلثي, جدول القيم الأساسية للدوال المثلثيةوما إلى ذلك وهلم جرا.

   عند استخدام صيغ التخفيض، يمكن توسيع الجدول المثلثي إلى زاوية $360°$، وبالتالي $2\pi$ راديان:

   باستخدام الخصائص الدورية للدوال المثلثية، يمكن حساب وتسجيل كل زاوية، والتي ستختلف عن الزاوية المعروفة بالفعل بمقدار $360°$، في جدول. على سبيل المثال، الدالة المثلثية للزاوية $0°$ سيكون لها نفس القيمة للزاوية $0°+360°$، وللزاوية $0°+2 \cdot 360°$، وللزاوية $0°+3 \cdot 360°$ وإلخ.

   باستخدام جدول المثلثات، يمكنك تحديد قيم جميع زوايا دائرة الوحدة.

   في دورة الهندسة المدرسية، من المفترض أن تحفظ القيم الأساسية للدوال المثلثية المجمعة في جدول مثلثي لتسهيل حل المسائل المثلثية.

   باستخدام الجدول

   يكفي في الجدول العثور على الدالة المثلثية المطلوبة وقيمة الزاوية أو الراديان التي يجب حساب هذه الدالة من أجلها. عند تقاطع الصف مع الوظيفة والعمود مع القيمة، نحصل على القيمة المطلوبة للدالة المثلثية للوسيطة المحددة.

   في الشكل، يمكنك معرفة كيفية العثور على قيمة $\cos⁡60°$، والتي تساوي $\frac(1)(2)$.

   يتم استخدام الجدول المثلثي الممتد بنفس الطريقة. وميزة استخدامه، كما ذكرنا سابقًا، هي حساب الدالة المثلثية لأي زاوية تقريبًا. على سبيل المثال، يمكنك بسهولة العثور على القيمة $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

   جداول براديس للدوال المثلثية الأساسية

   يتم توفير القدرة على حساب الدالة المثلثية لأي قيمة زاوية على الإطلاق لقيمة عدد صحيح من الدرجات وقيمة عدد صحيح من الدقائق من خلال استخدام جداول Bradis. على سبيل المثال، ابحث عن قيمة $\cos⁡34°7"$. يتم تقسيم الجداول إلى جزأين: جدول قيم $\sin$ و $\cos$ وجدول قيم $ \tan$ و$\cot$.

   تتيح جداول Bradis الحصول على قيم تقريبية للدوال المثلثية بدقة تصل إلى 4 منازل عشرية.

   استخدام جداول براديس

   باستخدام جداول براديس للجيب، نجد $\sin⁡17°42"$. للقيام بذلك، في العمود الأيسر من جدول الجيب وجيب التمام نجد قيمة الدرجات - $17°$، وفي السطر العلوي نجد قيمة الدقائق - $42"$. عند تقاطعهم نحصل على القيمة المطلوبة:

   $\sin17°42"=0.304$.

   للعثور على القيمة $\sin17°44"$ تحتاج إلى استخدام التصحيح على الجانب الأيمن من الجدول. في هذه الحالة، إلى القيمة $42"$ الموجودة في الجدول، تحتاج إلى إضافة تصحيح بقيمة $2 "$، وهو ما يعادل $0.0006$. نحصل على:

   $\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.

   للعثور على القيمة $\sin17°47"$ نستخدم أيضًا التصحيح على الجانب الأيمن من الجدول، فقط في هذه الحالة نأخذ القيمة $\sin17°48"$ كأساس ونطرح التصحيح لـ $1"$ :

   $\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

   عند حساب جيب التمام، نقوم بإجراءات مماثلة، لكننا ننظر إلى الدرجات في العمود الأيمن، والدقائق في العمود السفلي من الجدول. على سبيل المثال، $\cos20°=0.9397$.

   لا توجد تصحيحات لقيم الظل حتى $90°$ وظل التمام ذو الزاوية الصغيرة. على سبيل المثال، لنجد $\tan 78°37"$، والتي وفقًا للجدول تساوي $4.967$.

   جدول قيم الدوال المثلثية
   

   ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية هذا علامة √ لتمثيل الجذر التربيعي. للإشارة إلى الكسر، استخدم الرمز "/".
   

   أنظر أيضامواد مفيدة:

   ل تحديد قيمة الدالة المثلثية، ابحث عنه عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال، جيب 30 درجة - نبحث عن العمود الذي يحمل العنوان sin (sine) ونجد تقاطع عمود الجدول هذا مع الصف "30 درجة"، عند تقاطعهما نقرأ النتيجة - نصف. وبالمثل نجد جيب التمام 60درجات، جيب 60درجات (مرة أخرى، عند تقاطع عمود الخطيئة وخط الـ 60 درجة نجد القيمة جا 60 = √3/2)، إلخ. تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال للزوايا "الشعبية" الأخرى بنفس الطريقة.

   جيب بي، جيب التمام بي، بي الظل والزوايا الأخرى في راديان

   الجدول أدناه لجيب التمام وجيب التمام والظل مناسب أيضًا للعثور على قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها تعطى بالراديان. للقيام بذلك، استخدم العمود الثاني من قيم الزوايا. بفضل هذا، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشائعة من الدرجات إلى الراديان. على سبيل المثال، دعونا نوجد الزاوية التي قياسها 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالراديان تحتها. 60 درجة تساوي π/3 راديان.

   يعبر الرقم pi بشكل لا لبس فيه عن اعتماد المحيط على درجة قياس الزاوية. وبالتالي، فإن راديان باي يساوي 180 درجة.

   يمكن تحويل أي رقم يتم التعبير عنه بـ pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال pi (π) بـ 180.

   أمثلة:
   1. جيب بي.
   الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
   وبالتالي، فإن جيب باي هو نفس جيب 180 درجة ويساوي صفر.

   2. جيب التمام بي.
   كوس π = كوس 180 = -1
   وبالتالي، فإن جيب تمام باي هو نفس جيب تمام 180 درجة وهو يساوي سالب واحد.

   3. الظل بي
   تيراغرام π = تيراغرام 180 = 0
   وبالتالي، فإن ظل الزاوية باي هو نفس ظل الزاوية 180 درجة ويساوي الصفر.

   جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا 0 - 360 درجة (القيم المشتركة)
   

   قيمة الزاوية α (درجات)	قيمة الزاوية α بالراديان (عبر بي)	خطيئة (التجويف)	كوس (جيب التمام)	tg (الظل)	ctg (ظل التمام)	ثانية (قاطع)	com.cosec (قاطع التمام)
   0	0	0	1	0	-	1	-
   15	π/12			2 - √3	2 + √3
   30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
   45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
   60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
   75	5π/12			2 + √3	2 - √3
   90	π/2	1	0	-	0	-	1
   105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
   120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
   135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
   150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
   180	π	0	-1	0	-	-1	-
   210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
   240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
   270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
   360	2π	0	1	0	-	1	-

   إذا تمت الإشارة إلى شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية بدلاً من قيمة الدالة (ظل (tg) 90 درجة، ظل التمام (ctg) 180 درجة)، فبالنسبة لقيمة معينة لقياس درجة الزاوية تكون الدالة ليس لها قيمة محددة. إذا لم يكن هناك شرطة، فإن الخلية فارغة، مما يعني أننا لم ندخل القيمة المطلوبة بعد. نحن مهتمون بالاستعلامات التي يأتي إلينا المستخدمون من أجلها ونكمل الجدول بقيم جديدة، على الرغم من حقيقة أن البيانات الحالية حول قيم جيب التمام والجيوب والظلال لقيم الزوايا الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

   جدول قيم الدوال المثلثية sin، cos، tg للزوايا الأكثر شيوعًا
   0، 15، 30، 45، 60، 90... 360 درجة
   (القيم الرقمية "حسب جداول براديس")
   

   قيمة الزاوية α (بالدرجات)	قيمة الزاوية α بالراديان	الخطيئة (جيب)	كوس (جيب التمام)	تيراغرام (الظل)	CTG (ظل التمام)
   0	0
   15		0,2588	0,9659	0,2679
   30		0,5000		0,5774
   45		0,7071
   		0,7660
   60		0,8660	0,5000	1,7321
   	7π/18

   تتمركز عند نقطة ما أ.
   α - الزاوية المعبر عنها بالراديان.

   تعريف
   جيب (الخطيئة α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الوتر |AC|.

   جيب التمام (cos α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| إلى طول الوتر |AC|.

   التدوينات المقبولة

   ;
   ;
   .

   ;
   ;
   .

   رسم بياني لدالة الجيب، y = sin x

   رسم بياني لدالة جيب التمام، y = cos x

   
   

   خصائص الجيب وجيب التمام

   الدورية

   وظائف ص = الخطيئة سو ص = كوس سدورية مع فترة 2π.

   التكافؤ

   دالة الجيب غريبة. وظيفة جيب التمام حتى.

   مجال التعريف والقيم، القصوى، الزيادة، النقصان

   دوال الجيب وجيب التمام مستمرة في مجال تعريفها، أي لكل x (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (n - عدد صحيح).

   	ص = الخطيئة س	ص = كوس س
   النطاق والاستمرارية	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
   مدى من القيم	-1 ≥ ص ≥ 1	-1 ≥ ص ≥ 1
   في ازدياد
   تنازلي
   ماكسيما، ص = 1
   الحد الأدنى، ص = - 1
   أصفار، ص = 0
   نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص = 0	ص = 1

   الصيغ الأساسية

   مجموع مربعات الجيب وجيب التمام

   صيغ الجيب وجيب التمام من المجموع والفرق

   
   
   ;
   ;

   صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام

   صيغ الجمع والفرق

   التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

   ;
   ;
   ;
   .

   التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

   ;
   ;
   ;
   .

   التعبير من خلال الظل

   ; .

   عندما نمتلك:
   ; .

   في :
   ; .

   جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

   يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لقيم معينة للوسيطة.
   

   التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة

   
   ;

   صيغة أويلر

   التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

   ;
   ;

   المشتقات

   ; . اشتقاق الصيغ > > >

   مشتقات الرتبة n:
   { -∞ < x < +∞ }

   القاطع، قاطع التمام

   وظائف عكسية

   الوظائف العكسية للجيب وجيب التمام هي أركسين وأركوسين، على التوالي.

   أركسين، أركسين

   أركوسين، أركوسين

   مراجع:
   في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.