علامات كافية لأقصى وظيفة. علامات الزيادة والنقصان المحلية للدالة. الشروط الضرورية والكافية لوجود حد أقصى للدالة في نقطة ما علامة كافية على وجود حد أقصى للدالة

يتم استدعاء الدالة y = f(x). في ازدياد (متناقص) في فترة زمنية معينة، إذا كان لـ x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >و (× 2)).

إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل y = f(x) تزيد (تتناقص) على فترة ما، فإن مشتقتها على هذه الفترة f " (x) > 0

(و" (خ)< 0).

نقطة س سمُسَمًّى النقطة القصوى المحلية (الحد الأدنى) الدالة f(x)، إذا كان هناك حي للنقطة س س، لجميع النقاط التي يكون فيها عدم المساواة f(x) ≥ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) صحيحًا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط النقاط القصوى، وقيم الدالة عند هذه النقاط هي التطرف.

الشروط اللازمة للأقصى. إذا كانت النقطة س سهي النقطة القصوى للدالة f(x)، فإما f " (x o) = 0، أو f (x o) غير موجود. تسمى هذه النقاط شديد الأهمية،ويتم تعريف الوظيفة نفسها عند النقطة الحرجة. ينبغي البحث عن الحدود القصوى للدالة من بين نقاطها الحرجة.

الشرط الأول الكافي.يترك س س- نقطة حرجة. إذا كانت f "(x) عند المرور عبر نقطة س سيغير علامة الجمع إلى ناقص، ثم عند هذه النقطة س سالدالة لها قيمة عظمى، وإلا فلها قيمة صغرى. إذا لم يتغير المشتق عند المرور عبر النقطة الحرجة، عند هذه النقطة س سلا يوجد تطرف.

الشرط الثاني الكافيدع الدالة f(x) لها مشتقة
f "(x) بالقرب من النقطة س سوالمشتق الثاني عند النقطة نفسها س س. إذا و "(س س) = 0، >0 (<0), то точка س سهي النقطة الدنيا (القصوى) المحلية للدالة f(x). إذا كان =0، فأنت بحاجة إما إلى استخدام الشرط الكافي الأول أو استخدام مشتقات أعلى.

في المقطع، يمكن أن تصل الدالة y = f(x) إلى الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمتها إما عند النقاط الحرجة أو في نهايات المقطع.

دراسة الظروف ورسم الرسوم البيانية.

أوجد مجال الدالة

أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات

العثور على فترات من علامة الثبات

فحص للتساوي والغرابة

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

العثور على فترات الرتابة من وظيفة

أوجد الحد الأقصى للدالة

العثور على فترات التحدب ونقاط انعطاف

الخطوط المقاربة للرسوم البيانية الوظيفية. مخطط عام لدراسة ورسم الرسوم البيانية الوظيفية. أمثلة.

رَأسِيّ

الخط المقارب العمودي - خط مستقيم، يخضع لوجود حد .

كقاعدة عامة، عند تحديد الخط المقارب العمودي، لا يبحثون عن حد واحد، بل عن حدين من جانب واحد (يسار ويمين). يتم ذلك لتحديد كيفية تصرف الوظيفة عند اقترابها من الخط المقارب الرأسي من اتجاهات مختلفة. على سبيل المثال:

ملاحظة: انتبه إلى علامات اللانهاية في هذه التساويات.

[عدل]أفقي

الخط المقارب الأفقي - خط مستقيم، يخضع لوجود حد

[عدل] منحرف

الخط المقارب المائل - خط مستقيم يخضع لوجود حدود

مثال على الخط المقارب المائل

ملاحظة: لا يمكن أن تحتوي الدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين (أفقيين)!

ملحوظة: إذا كان أحد الحدين المذكورين أعلاه على الأقل غير موجود (أو يساوي )، فإن الخط المقارب المائل عند (أو ) غير موجود!

العلاقة بين الخطوط المقاربة المائلة والأفقية

إذا عند حساب الحد فمن الواضح أن الخط المقارب المائل يتزامن مع الخط الأفقي. ما هي العلاقة بين هذين النوعين من الخطوط المقاربة؟

الشيء هو، أن الخط المقارب الأفقي هو حالة خاصة من الخط المائلفي ، ومن التعليقات المذكورة أعلاه يتبع ذلك

1. تحتوي الدالة إما على خط تقارب مائل واحد فقط، أو خط تقارب رأسي واحد، أو خط مقارب واحد وواحد رأسي، أو خطان مائلان، أو خطان رأسيان، أو ليس لها خطوط تقارب على الإطلاق.

2. وجود الخطوط المقاربة المشار إليها في الفقرة 1.) يرتبط ارتباطًا مباشرًا بوجود الحدود المقابلة.

رسم بياني لدالة ذات خطين مقاربين أفقيين

] العثور على الخطوط المقاربة

ترتيب العثور على الخطوط المقاربة

1. إيجاد الخطوط المقاربة العمودية.

2. إيجاد حدين

3. إيجاد حدين:

إذا كان في البند 2.)، ثم، ويتم البحث عن النهاية باستخدام صيغة الخط المقارب الأفقي، .

النقطة القصوى للدالة هي النقطة في مجال تعريف الدالة التي تأخذ فيها قيمة الدالة قيمة دنيا أو قصوى. تسمى قيم الوظيفة عند هذه النقاط الحدود القصوى (الحد الأدنى والحد الأقصى) للوظيفة.

تعريف. نقطة س1 مجال الوظيفة F(س) يسمى أقصى نقطة للوظيفة ، إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أكبر من قيم الدالة عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها، وتقع على يمينها ويسارها (أي أن التباين يحمل F(س0 ) > F(س 0 + Δ س) س1 أقصى.

تعريف. نقطة س2 مجال الوظيفة F(س) يسمى النقطة الدنيا للوظيفة، إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أقل من قيم الدالة عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها، وتقع على يمينها ويسارها (أي أن التباين يحمل F(س0 ) < F(س 0 + Δ س) ). في هذه الحالة نقول أن الدالة عند هذه النقطة س2 الحد الأدنى.

دعنا نقول نقطة س1 - النقطة القصوى للوظيفة F(س) . ثم في الفاصل الزمني حتى س1 تزيد الوظيفةوبالتالي فإن مشتقة الدالة أكبر من الصفر ( F "(س) > 0)، وفي الفاصل الزمني بعد س1 الدالة تنخفض ، وبالتالي ، مشتق من وظيفةأقل من الصفر ( F "(س) < 0 ). Тогда в точке س1

دعونا نفترض أيضا أن هذه النقطة س2 - النقطة الدنيا للوظيفة F(س) . ثم في الفاصل الزمني حتى س2 الدالة تتناقص، ومشتقة الدالة أقل من الصفر ( F "(س) < 0 ), а в интервале после س2 الدالة متزايدة، ومشتقة الدالة أكبر من الصفر ( F "(س)> 0). في هذه الحالة أيضا عند هذه النقطة س2 مشتقة الدالة صفر أو غير موجودة.

نظرية فيرما (علامة ضرورية على وجود الحد الأقصى للدالة). إذا كانت النقطة س0 - النقطة القصوى للوظيفة F(س) عند هذه النقطة يكون مشتق الدالة يساوي صفر ( F "(س) = 0) أو غير موجود.

تعريف. تسمى النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة صفراً أو غير موجود نقاط حرجة .

مثال 1.دعونا نفكر في الوظيفة.

عند هذه النقطة س= 0 مشتقة الدالة هي صفر، وبالتالي النقطة س= 0 هي النقطة الحرجة. ومع ذلك، كما يمكن رؤيته في الرسم البياني للدالة، فإنها تزيد في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله، وبالتالي فإن هذه النقطة س= 0 ليست النقطة القصوى لهذه الدالة.

وبالتالي فإن الشروط التي تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا أو غير موجودة هي شروط ضرورية لحد أقصى، ولكنها ليست كافية، حيث يمكن إعطاء أمثلة أخرى لدوال تتوفر فيها هذه الشروط، ولكن الدالة لا يوجد حد أقصى عند النقطة المقابلة. لهذا يجب أن يكون هناك أدلة كافية، مما يسمح للمرء بالحكم على ما إذا كان هناك حد متطرف عند نقطة حرجة معينة ونوع الحد الأقصى هو - الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

النظرية (أول علامة كافية على وجود الحد الأقصى للدالة).نقطة حرجة س0 F(س) إذا تغيرت إشارة مشتق الدالة عند المرور بهذه النقطة، وإذا تغيرت الإشارة من "زائد" إلى "ناقص"، فهي نقطة عظمى، وإذا كانت من "ناقص" إلى "زائد"، إذن إنها نقطة الحد الأدنى.

إذا كان بالقرب من هذه النقطة س0 ، إلى اليسار واليمين منه، يحتفظ المشتق بعلامته، وهذا يعني أن الدالة إما تتناقص فقط أو تزيد فقط في منطقة معينة من النقطة س0 . في هذه الحالة، عند هذه النقطة س0 لا يوجد تطرف.

لذا، لتحديد النقاط القصوى للوظيفة، عليك القيام بما يلي :

العثور على مشتق من وظيفة.
مساواة المشتقة بالصفر وتحديد النقاط الحرجة.
حدد النقاط الحرجة على خط الأعداد عقليًا أو على الورق وحدد علامات مشتق الدالة في الفترات الزمنية الناتجة. إذا تغيرت إشارة المشتقة من "موجب" إلى "ناقص"، فإن النقطة الحرجة هي النقطة القصوى، وإذا كانت من "ناقص" إلى "موجب"، فإن النقطة الحرجة هي النقطة الصغرى.
احسب قيمة الدالة عند النقاط القصوى.

مثال 2.أوجد الحد الأقصى للدالة .

حل. لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نساوي المشتقة بالصفر للعثور على النقاط الحرجة:

نظرًا لأن أي قيم لـ "x" لا يساوي المقام صفرًا، فإننا نساوي البسط بالصفر:

حصلت على نقطة حرجة واحدة س= 3 . دعونا نحدد إشارة المشتقة في الفترات المحددة بهذه النقطة:

في النطاق من ناقص اللانهاية إلى 3 - علامة ناقص، أي أن الدالة تتناقص،

في الفترة من 3 إلى زائد اللانهاية هناك علامة زائد، أي أن الدالة تزداد.

وهذا هو، الفترة س= 3 هي النقطة الدنيا.

لنجد قيمة الدالة عند النقطة الصغرى:

وبذلك يتم إيجاد النقطة القصوى للدالة: (3؛ 0)، وهي النقطة الصغرى.

النظرية (العلامة الكافية الثانية لوجود الحد الأقصى للدالة).نقطة حرجة س0 هي النقطة القصوى للوظيفة F(س) إذا كان المشتق الثاني للدالة عند هذه النقطة لا يساوي الصفر ( F ""(س) ≠ 0) وإذا كانت المشتقة الثانية أكبر من الصفر ( F ""(س) > 0)، فالنقطة القصوى، وإذا كانت المشتقة الثانية أقل من الصفر ( F ""(س) < 0 ), то точкой минимума.

ملاحظة 1. إذا كان عند هذه النقطة س0 فإذا اختفت المشتقتان الأولى والثانية، فإنه في هذه المرحلة لا يمكن الحكم على وجود الحد الأقصى بناء على المعيار الكافي الثاني. في هذه الحالة، تحتاج إلى استخدام المعيار الكافي الأول للحد الأقصى للدالة.

الملاحظة 2. المعيار الكافي الثاني للحد الأقصى للدالة لا ينطبق حتى عندما لا يكون المشتق الأول موجودًا عند نقطة ثابتة (ثم لا يكون المشتق الثاني موجودًا أيضًا). في هذه الحالة، تحتاج أيضًا إلى استخدام الإشارة الكافية الأولى للقيمة القصوى للدالة.

الطبيعة المحلية للدالة القصوى

يترتب على التعريفات المذكورة أعلاه أن الحد الأقصى للدالة محلي بطبيعته - فهو أكبر وأصغر قيمة للدالة مقارنة بالقيم القريبة.

لنفترض أنك تنظر إلى أرباحك على مدار عام واحد. إذا كسبت 45000 روبل في شهر مايو، وفي أبريل 42000 روبل وفي يونيو 39000 روبل، فإن أرباح شهر مايو هي الحد الأقصى لدالة الأرباح مقارنة بالقيم القريبة. لكن في أكتوبر كسبت 71000 روبل، وفي سبتمبر 75000 روبل، وفي نوفمبر 74000 روبل، لذا فإن أرباح شهر أكتوبر هي الحد الأدنى لدالة الأرباح مقارنة بالقيم القريبة. ويمكنك أن ترى بسهولة أن الحد الأقصى بين قيم أبريل ومايو ويونيو أقل من الحد الأدنى لشهر سبتمبر وأكتوبر ونوفمبر.

بشكل عام، يمكن أن يكون للدالة في فترة ما عدة نقاط قصوى، وقد يتبين أن قيمة صغرى معينة للدالة أكبر من أي قيمة عظمى. لذلك، بالنسبة للوظيفة الموضحة في الشكل أعلاه، .

وهذا يعني أنه لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة هما، على التوالي، أكبر وأصغر قيمها في المقطع بأكمله قيد النظر. عند النقطة القصوى تكون للدالة أكبر قيمة فقط بالمقارنة مع تلك القيم التي تكون عند جميع النقاط قريبة بما فيه الكفاية من النقطة القصوى، وعند النقطة الدنيا تكون لها أصغر قيمة فقط بالمقارنة مع تلك القيم أنها قريبة بما فيه الكفاية من النقطة الدنيا في جميع النقاط.

لذلك، يمكننا توضيح المفهوم أعلاه للنقاط القصوى للدالة ونسمي الحد الأدنى من النقاط المحلية، والحد الأقصى من النقاط المحلية.

نحن نبحث عن الحد الأقصى للدالة معًا

مثال 3.

الحل: الدالة معرفة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله. مشتق منه موجود أيضًا على خط الأعداد بأكمله. لذلك، في هذه الحالة، النقاط الحرجة هي فقط تلك التي، أي. ، من أين و . النقاط الحرجة وتقسيم مجال تعريف الدالة بأكمله إلى ثلاث فترات من الرتابة: . لنختار نقطة تحكم واحدة في كل منها ونجد إشارة المشتقة عند هذه النقطة.

بالنسبة للفاصل الزمني، يمكن أن تكون نقطة التحكم: العثور على. بأخذ نقطة في الفترة نحصل عليها، وبأخذ نقطة في الفترة نحصل عليها. لذلك، في الفترات و ، وفي الفاصل الزمني. وفقًا للمعيار الكافي الأول للحد الأقصى، لا يوجد حد أقصى عند النقطة (نظرًا لأن المشتق يحتفظ بإشارته في الفترة)، وعند النقطة يكون للدالة حد أدنى (نظرًا لأن علامة المشتقة تتغير من ناقص إلى زائد عند المرور من خلال هذه النقطة). لنجد القيم المقابلة للدالة: , a . في هذه الفترة تقل الدالة، لأنه في هذه الفترة، وفي هذه الفترة تزيد، لأنه في هذه الفترة.

لتوضيح بناء الرسم البياني نجد نقاط تقاطعه مع محاور الإحداثيات. عندما نحصل على معادلة جذورها و، أي يتم العثور على نقطتين (0؛ 0) و (4؛ 0) من الرسم البياني للدالة. باستخدام جميع المعلومات الواردة، نقوم ببناء رسم بياني (انظر بداية المثال).

للتحقق الذاتي أثناء العمليات الحسابية، يمكنك استخدام آلة حاسبة مشتقة على الانترنت .

مثال 4.أوجد الحد الأقصى للدالة وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطة، أي. .

لتقصير الدراسة، يمكنك استخدام حقيقة أن هذه الوظيفة حتى، منذ ذلك الحين . ولذلك، فإن الرسم البياني له متماثل حول المحور أويولا يمكن إجراء الدراسة إلا خلال هذه الفترة.

العثور على المشتقة والنقاط الحرجة للوظيفة:

1) ;

2) ,

لكن الدالة تعاني من انقطاع عند هذه النقطة، لذا لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة.

وبالتالي، فإن الدالة المعطاة لها نقطتان حاسمتان: و . مع الأخذ بعين الاعتبار تكافؤ الدالة، سوف نتحقق فقط من النقطة باستخدام المعيار الثاني الكافي للقيمة القصوى. للقيام بذلك، نجد المشتقة الثانية ونحدد علامتها في : نحصل . بما أن و، فهي النقطة الدنيا للدالة، و .

للحصول على صورة أكثر اكتمالا للرسم البياني للدالة، دعونا نتعرف على سلوكها عند حدود مجال التعريف:

(هنا يشير الرمز إلى الرغبة سإلى الصفر من اليمين، و سيظل إيجابيا؛ بالمثل يعني الطموح سإلى الصفر من اليسار، و سيبقى سلبيا). وهكذا إذاً . التالي نجد

أولئك. اذا ثم .

الرسم البياني للدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع المحاور. الصورة في بداية المثال.

للتحقق الذاتي أثناء العمليات الحسابية، يمكنك استخدام آلة حاسبة مشتقة على الانترنت .

نواصل البحث عن القيم القصوى للدالة معًا

مثال 8.أوجد الحد الأقصى للدالة.

حل. دعونا نجد مجال تعريف الوظيفة. بما أنه يجب استيفاء عدم المساواة، نحصل على من .

دعونا نجد المشتقة الأولى للدالة.

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، يمكنك استخدام أي من العلامات الثلاث الكافية للطرف الأقصى. على الرغم من أن الأكثر شيوعا وملاءمة هو الأول.

الشرط الأول الكافي للأقصى.

دع الوظيفة ص = و(س)قابلة للاشتقاق في جوار النقطة، ومستمرة عند النقطة نفسها. ثم

بعبارة أخرى:

خوارزمية.

نجد مجال تعريف الوظيفة.

نجد مشتقة الدالة في مجال التعريف.

نحدد أصفار البسط وأصفار مقام المشتقة ونقاط مجال التعريف التي لا يوجد عندها المشتق (تسمى هذه النقاط نقاط الحد الأقصى الممكنة، بالمرور عبر هذه النقاط، يمكن للمشتق أن يغير علامته).

تقسم هذه النقاط مجال تعريف الدالة إلى فترات يحتفظ فيها المشتق بإشارته. نحدد علامات المشتقة في كل فترة من الفترات (على سبيل المثال، عن طريق حساب قيمة مشتقة دالة عند أي نقطة في فترة معينة).

نختار النقاط التي تكون فيها الوظيفة مستمرة، ومن خلالها يتم تسجيل التغييرات المشتقة.

مثال.أوجد الحد الأقصى للدالة.
حل.
مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء س = 2.
إيجاد المشتقة:

أصفار البسط هي نقاط س = -1و س = 5، المقام يذهب إلى الصفر عند س = 2. ضع علامة على هذه النقاط على محور الأعداد

نحدد علامات المشتقة عند كل فترة، وللقيام بذلك نحسب قيمة المشتقة عند أي نقطة من نقاط كل فترة، على سبيل المثال، عند النقاط س = -2، س = 0، س = 3و س=6.

لذلك، يكون المشتق موجبًا على الفترة (في الشكل نضع علامة زائد على هذه الفترة). على نفس المنوال

ولذلك، نضع ناقصًا فوق الفترة الثانية، وناقصًا فوق الفترة الثالثة، وموجبًا فوق الفترة الرابعة.

يبقى تحديد النقاط التي تكون فيها الوظيفة مستمرة وتوقع تغييرات مشتقاتها. هذه هي النقاط القصوى.
عند هذه النقطة س = -1الدالة مستمرة وإشارة المشتقة تتغير من موجب إلى ناقص، وبالتالي حسب الإشارة الأولى للطرف الأقصى، س = -1هي النقطة القصوى، الحد الأقصى للدالة يتوافق معها.
عند هذه النقطة س = 5الدالة مستمرة وتغييرات المشتقة تشير من ناقص إلى زائد، وبالتالي، س = -1هي النقطة الدنيا الحد الأدنى للوظيفة يتوافق معها.
الرسم التوضيحي.

إجابة: .

العلامة الكافية الثانية لأقصى دالة.
يترك ،

إذا، فهذا هو الحد الأدنى للنقطة؛

إذا، فهذا هو الحد الأقصى للنقطة.

وكما ترون فإن هذا المعيار يتطلب وجود مشتق على الأقل حتى الدرجة الثانية عند النقطة .
مثال.أوجد الحد الأقصى للدالة.
حل.
لنبدأ بمجال التعريف:

دعونا نفرق بين الوظيفة الأصلية:

المشتق يذهب إلى الصفر عند س = 1أي أن هذه نقطة أقصى ممكن.
نوجد المشتقة الثانية للدالة ونحسب قيمتها عند س = 1:

ولذلك، بالشرط الثاني الكافي لحدوث أقصى، س = 1- النقطة القصوى. ثم - الحد الأقصى للوظيفة.
الرسم التوضيحي.

إجابة: .
العلامة الكافية الثالثة لأقصى دالة.
دع الوظيفة ص = و(س)لديه مشتقات تصل إلى ن-الترتيب في جوار النقطة ومشتقاتها حتى ن+1-الترتيب عند النقطة نفسها. فليكن.
ثم،

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:

الجبر والهندسة التحليلية. مفهوم المصفوفة والعمليات على المصفوفات وخصائصها

مفهوم المصفوفة هو العمليات على المصفوفات وخصائصها.. المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل مكون من أرقام لا يمكن أن تكون.. وجمع المصفوفة هو عملية على العناصر..

إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

جميع المواضيع في هذا القسم:

تعريف التفاضل
عملية إيجاد المشتق تسمى تمايز الدالة. يقال إن الدالة قابلة للاشتقاق في مرحلة ما إذا كان لها مشتقة منتهية عند تلك النقطة، و

قاعدة التمايز
النتيجة الطبيعية 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

المعنى الهندسي للمشتق. معادلة الظل
زاوية ميل الخط المستقيم y = kx+b هي الزاوية المقاسة من الموضع

المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما
دعونا نفكر في القاطع AB للرسم البياني للدالة y = f(x) بحيث يكون للنقطتين A وB إحداثيات، على التوالي

حل
يتم تعريف الدالة لجميع الأعداد الحقيقية. وبما أن (-1; -3) هي نقطة التماس، إذن

الشروط الضرورية للأقصى والشروط الكافية للأقصى
تعريف الدالة المتزايدة. تزيد الدالة y = f(x) على الفاصل الزمني X إذا كان موجودًا

شروط الرتابة وثبات الوظيفة
شرط الرتابة (غير الصارمة) للدالة على فترة ما. دع الدالة لها مشتق في كل منهما

تعريف المشتق المضاد
المشتق العكسي للدالة f(x) على الفترة (a; b) هو دالة F(x) بحيث تكون المساواة

فحص
للتحقق من النتيجة، نفرق التعبير الناتج: ونتيجة لذلك، نحصل على

المشتقة العكسية لحاصل ضرب ثابت والدالة تساوي حاصل ضرب ثابت والمشتقة العكسية للدالة
الشرط الكافي لوجود المشتقة العكسية للدالة المعطاة في الفترة هو

تعريف
دعها تحدد على

معنى هندسي
التكامل المحدد يساوي عدديا مساحة الشكل الذي يحده محور الإحداثي السيني والخطوط المستقيمة

خصائص التكامل المحدد
الخصائص الأساسية للتكامل المحدد. الخاصية 1. مشتق التكامل المحدد فيما يتعلق بالحد الأعلى يساوي التكامل الذي تم فيه التكامل بدلاً من المتغير

صيغة نيوتن-لايبنتز (مع الدليل)
صيغة نيوتن-لايبنتز. دع الدالة y = f(x) تكون متصلة على فترة وF(x) تكون إحدى المشتقات العكسية للدالة في هذه الفترة، ثم المعادلة

نظرية (الشرط الكافي الأول لحد أقصى). لتكن الدالة متصلة عند نقطة ما، وعلامة التغير المشتقة عند المرور بالنقطة. ثم هي نقطة الحد الأقصى: الحد الأقصى إذا تغيرت الإشارة من "+" إلى "-"، والحد الأدنى إذا كانت من "-" إلى "+".

دليل.اسمحوا في و في .

وفقا لنظرية لاغرانج , حيث .ثم إذا، ثم؛ لهذا ، لذلك، ، أو . اذا ثم؛ لهذا ، لذلك، أو .

وبذلك ثبت أنه في أي نقطة قريبة، أي. - النقطة القصوى للدالة.

يتم إجراء إثبات نظرية النقطة الدنيا بالمثل. تم إثبات النظرية.

إذا لم تتغير إشارة المشتقة عند المرور عبر نقطة ما، فلا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

نظرية (الشرط الكافي الثاني للأقصى). دع مشتق دالة قابلة للتفاضل مرتين عند نقطة ما يساوي 0 ()، ومشتقها الثاني عند هذه النقطة يكون مختلفًا عن الصفر () ومستمرًا في بعض جوار النقطة. ثم هي النقطة القصوى. عند هذه هي النقطة الدنيا، وعند هذه هي النقطة القصوى.

خوارزمية لإيجاد القيم القصوى للدالة باستخدام الشرط الكافي الأول للقيمة القصوى.

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة.

3. تحقق من إشارة المشتقة على يسار ويمين كل نقطة حرجة واستنتج وجود النقاط القصوى.

4. ابحث عن القيم المتطرفة للوظيفة.

خوارزمية لإيجاد القيم القصوى للدالة باستخدام الشرط الثاني الكافي للقيمة القصوى.

1. أوجد المشتقة.

2. أوجد المشتقة الثانية.

3. ابحث عن تلك النقاط التي .

4. تحديد العلامة عند هذه النقاط.

5. استخلص استنتاجًا حول وجود وطبيعة الحدود القصوى.

6. ابحث عن القيم المتطرفة للدالة.

مثال.دعونا نفكر . سوف نجد . التالي، في و في. دعونا ندرس النقاط الحرجة باستخدام الشرط الكافي الأول للطرف الأقصى. لدينا ذلك من أجل ومن أجل ومن أجل . عند النقاط ويغير المشتق إشارته: عند من "+" إلى "-" وعند من "-" إلى "+". هذا يعني أنه عند نقطة ما يكون للدالة حد أقصى، وعند نقطة ما يكون لها حد أدنى؛ . وللمقارنة، قمنا بدراسة النقاط الحرجة باستخدام الشرط الكافي الثاني للطرف الأقصى. دعونا نجد المشتق الثاني. لدينا: ، وهذا يعني أنه عند نقطة ما يكون للدالة حد أقصى، وعند نقطة ما يكون لها حد أدنى.

مفهوم الخط المقارب للرسم البياني للوظيفة. الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة والرأسية. أمثلة.

تعريف. الخط المقارب للرسم البياني للدالة هو خط مستقيم له خاصية أن المسافة من نقطة إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر عندما تتحرك نقطة الرسم البياني إلى أجل غير مسمى من الأصل.

هناك خطوط مقاربة رأسية (الشكل 6.6 أ) وأفقية (الشكل 6.6 ب) ومائلة (الشكل 6.6 ج).

في التين. يظهر 6.6 أ الخط المقارب الرأسي.

في الشكل 6.6 ب - الخط المقارب الأفقي.

في التين. 6.6 فولت – الخط المقارب.

النظرية 1.عند نقاط الخطوط المقاربة الرأسية (على سبيل المثال، ) تعاني الدالة من عدم الاستمرارية، ويكون حدها على يسار ويمين النقطة مساويًا لـ:

النظرية 2.دع الدالة يتم تعريفها لحجم كبير بما فيه الكفاية وهناك حدود محدودة

و .

ثم الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني للدالة.

النظرية 3.دع الدالة يتم تعريفها بحجم كبير بما فيه الكفاية ويوجد حد للدالة. ثم الخط المستقيم هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة.

الخط المقارب الأفقي هو حالة خاصة من الخط المقارب المائل، عندما . لذلك، إذا كان للمنحنى في أي اتجاه خط تقارب أفقي، فلا يوجد خط مقارب مائل في هذا الاتجاه، والعكس صحيح.

مثال.أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.

حل. عند النقطة التي لم يتم فيها تعريف الدالة، فلنوجد حدود الدالة على يسار ويمين النقطة:

; .

ولذلك، هو الخط المقارب العمودي.

مخطط عام لدراسة الدوال وبناء الرسوم البيانية الخاصة بها. مثال.

المخطط العام للبحث الوظيفي والتآمر عليه.

1. ابحث عن مجال التعريف.

2. التحقق من وظيفة التساوي - الغرابة.

3. ابحث عن الخطوط المقاربة الرأسية ونقاط الانقطاع (إن وجدت).

4. التحقق من سلوك دالة عند اللانهاية؛ ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة (إن وجدت).

5. أوجد الحدود القصوى وفترات رتابة الوظيفة.

6. ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، وإذا لزم الأمر للإنشاء التخطيطي للرسم البياني، فابحث عن نقاط إضافية.

7. رسم رسم بياني تخطيطي.

رسم تخطيطي مفصل لدراسة الوظيفة والتآمر .

1. العثور على مجال التعريف .

أ. إذا كان لـ y مقام، فلا ينبغي أن يصل إلى 0.

ب. يجب أن يكون التعبير الجذري لجذر الدرجة الزوجية غير سالب (أكبر من أو يساوي الصفر).

ج. يجب أن يكون تعبير السجل الفرعي موجبًا.

2. التحقيق في وظيفة التكافؤ - الغرابة.

أ. إذا كانت الدالة زوجية.

ب. إذا كانت الدالة فردية.

ج. إذا لا , ولا ، إذن هي دالة ذات شكل عام.

3. ابحث عن الخطوط المقاربة الرأسية ونقاط الانقطاع (إن وجدت).

أ. يمكن أن ينشأ الخط المقارب الرأسي فقط عند حدود مجال تعريف الوظيفة.

ب. إذا ( أو )، فهذا هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني.

4. التحقق من سلوك الدالة عند اللانهاية؛ ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة (إن وجدت).

أ. إذا كان، فهذا هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني.

ب. لو ، فإن الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني.

ج. إذا كانت الحدود المشار إليها في الفقرات أ، ب موجودة فقط عندما يميل جانب واحد إلى ما لا نهاية ( أو )، فإن خطوط التقارب الناتجة ستكون أحادية الجانب: أعسر عند وأيسر عندما .

5. أوجد الحدود القصوى وفترات رتابة الدالة.

أ. أوجد المشتقة.

ب. ابحث عن النقاط الحرجة (تلك النقاط التي لا توجد فيها أو التي لا توجد فيها).

ج. على محور الرقم، حدد مجال التعريف ونقاطه الحرجة.

د. في كل فترة من الفترات العددية الناتجة، حدد إشارة المشتقة.

ه. بناءً على علامات المشتق، استنتج وجود النقاط القصوى في y ونوعها.

F. البحث عن القيم المتطرفة.

ز. بناء على علامات المشتق، استخلاص استنتاجات حول الزيادة والنقصان.

6. ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، وإذا لزم الأمر للتخطيط التخطيطي للرسم البياني، فابحث عن نقاط إضافية.

أ. من أجل العثور على نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور، من الضروري حل المعادلة. النقاط التي تكون فيها الأصفار ستكون نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور.

ب. تبدو نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور . إنه موجود فقط إذا كانت النقطة ضمن مجال الوظيفة.

8. رسم رسم بياني تخطيطيا.

أ. بناء نظام الإحداثيات والخطوط المقاربة.

ب. ضع علامة على النقاط المتطرفة.

ج. حدد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات.

د. أنشئ رسمًا بيانيًا بحيث يمر عبر النقاط المحددة ويقترب من الخطوط المقاربة.

مثال.استكشاف الوظيفة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها بشكل تخطيطي.

2. - وظيفة الشكل العام.

3. منذ و ، فإن الخطوط و هي الخطوط المقاربة الرأسية؛ النقاط هي نقاط الاستراحة. ، عندما لا يتم تضمينها في مجال تعريف الوظيفة

التذكرة رقم 1

وظيفة مضادنظريةدليل تكامل غير محدد

تسمى النقطة (X 0 ;Y 0). النقطة القصوى نقطة الحد الأدنىالدوال: لجميع النقاط (x;y) المختلفة عن (X 0 ;Y 0)، من جوار النقطة (X 0 ;Y 0) التباين f(x;y)>f(X 0 ;Y) 0) راضي .

شهادة:

التذكرة رقم 2

دليلمعنى هندسي

الزيادة الخاصة اشتقاق جزئي معنى هندسي

التذكرة رقم 3

19. تحديد النقاط القصوى والدنيا للدالة z=f(x,y).تسمى النقطة (X 0 ;Y 0). النقطة القصوىالدالة z=f(x;y)، إذا كان هناك جوار δ للنقطة (X 0 ;Y 0) بحيث يحمل عدم المساواة f(x;y) نقطة الحد الأدنىالدوال: لجميع النقاط (x;y) المختلفة عن (X 0 ;Y 0)، من جوار النقطة (X 0 ;Y 0) التباين f(x;y)>f(X 0 ;Y) 0) راضي . دع الدالة f(x;y) عند نقطة ثابتة (X 0 ;Y 0) وبعض جوارها لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية شاملة. دعونا نحسب عند النقطة (X 0 ;Y 0) القيم A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" ص (س 0 ؛ ص 0). دعونا نشير إلى Δ=|AB؛ قبل الميلاد|=AC-B^2. ثم: 1) إذا Δ><0; минимум, если A>0; 2) إذا Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

التذكرة رقم 4 بواسطة تكامل محدد ملكيات دليل.عند نقطة بإحداثيات (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ لنفترض أن الدالة u(x;y;z) مستمرة ولها مشتقات مستمرة فيما يتعلق بوسائطها في المجال D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+ E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz، حيث تميل E 1، E 2، E 3 إلى الصفر مثل Δl→0. دعونا نقسم المساواة بأكملها على Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. يمكن تمثيل المساواة على النحو التالي: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. بالانتقال إلى الحد الأقصى، نحصل على Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

التذكرة رقم 5

1. وظيفة المشتقات العكسية. نظرية الفرق بين اثنين من المشتقات العكسية (مع الإثبات). التكامل غير المحدد: التعريف تسمى الدالة F(x). وظيفة مضاد f(x) على الفاصل الزمني (a;b)، إذا كانت المساواة F"(x)=f(x) موجودة لأي x∈(a;b). نظرية. إذا كانت الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) على (a;b)، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لـ f(x) تعطى بالصيغة F(x)+C، حيث C= مقدار ثابت. دليل. الدالة F(x)+C هي مشتق عكسي للدالة f(x). في الواقع، (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). دع Ф(x) تكون دالة مشتقة عكسية أخرى f(x)، تختلف عن F(x)، أي. Ф"(x)=f(x). ثم لأي x∈(a;b) لدينا (Ф(kh)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( س )-و(س)=0. وهذا يعني أن Ф(x)-F(x)=C, C=const. ولذلك، Ф(x)=F(x)+C. تسمى مجموعة جميع دوال المشتقات العكسية F(x)+C لـ f(x) تكامل غير محددللدالة f(x) ويشار إليها بالرمز ∫f(x)dx.

19. تحديد النقاط القصوى والدنيا للدالة z=f(x,y).تسمى النقطة (X 0 ;Y 0). النقطة القصوىالدالة z=f(x;y)، إذا كان هناك جوار δ للنقطة (X 0 ;Y 0) بحيث يحمل عدم المساواة f(x;y) نقطة الحد الأدنىالدوال: لجميع النقاط (x;y) المختلفة عن (X 0 ;Y 0)، من جوار النقطة (X 0 ;Y 0) التباين f(x;y)>f(X 0 ;Y) 0) راضي . 20. إشارة كافية لوجود أقصى للدالة z=f(x;y). (صياغة).دع الدالة f(x;y) عند نقطة ثابتة (X 0 ;Y 0) وبعض جوارها لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية شاملة. دعونا نحسب عند النقطة (X 0 ;Y 0) القيم A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" ص (س 0 ؛ ص 0). دعونا نشير إلى Δ=|AB؛ قبل الميلاد|=AC-B^2. ثم: 1) إذا كانت Δ>0، فإن الدالة f(x;y) عند النقطة (X 0 ;Y 0) لها حد أقصى: الحد الأقصى إذا كان A<0; минимум, если A>0; 2) إذا Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

التذكرة رقم 6

3. حساب تكامل محدد على قطعة. صيغة نيوتن-لايبنتز (الاشتقاق).إذا كانت الدالة y=f(x) متصلة على فترة وكانت F(x) هي أي من مشتقاتها العكسية على (F"(x)=f(x)))، فإن الصيغة ∫(من a إلى b) f( x) تحمل )dx=F(b)-F(a). هذه الصيغة هي صيغة نيوتن-لايبنيز. خذ بعين الاعتبار الهوية: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)= (F(x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1) )-F(x 0)).دعونا نحول كل فرق بين قوسين باستخدام صيغة لاغرانج: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a). نحصل على F(b)-F(a) )=F'(ج n)( x n -x n -1)+F'(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c 1)(x 1 -x 0 )= ΣF'(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi، أي F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi، حيث Ci هي نقطة ما في الفاصل الزمني (X i -1 ,X i) بما أن الدالة y=f(x) متصلة على , فهي قابلة للتكامل على . لذلك، هناك نهاية لمجموع التكامل يساوي التكامل المحدد لـ f(x) بالمرور إلى الحد عند π=maxΔXi→0، نحصل على F(b)-F( a)=lim Σf(Ci)ΔXi، أي ∫(من a إلى b) f(x)dx=F( ب)-F(أ).

يتم استدعاء الدالة z=f(x;y). قابل للتفاضل

11. خاصية الدالة القابلة للتفاضل: العلاقة بين تمايز الدالة z=f(x;y) واستمرارية الدالة z=f(x;y) عند نقطة ما (صياغة، إثبات). إذا كانت الدالة z=f(x;y) قابلة للاشتقاق عند النقطة M(x;y)، فهي متصلة عند هذه النقطة ولها مشتقات جزئية عندها. دليل. دع الدالة y=f(x) تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة x 0 . عند هذه النقطة نعطي الوسيطة زيادة Δx. سوف تتلقى الوظيفة زيادة Δу. لنجد limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. لذلك، y =f(x) مستمرة عند النقطة x 0.

التذكرة رقم 7

علامة ضرورية للمتطرف.

إذا كانت الدالة المستمرة z=z(x,y) لها حد أقصى عند النقطة P0(x0,y0)، فإن جميع مشتقاتها الجزئية من الدرجة الأولى عند هذه النقطة إما تساوي الصفر أو غير موجودة

شهادة:المشتق الجزئي للدالة z=f(x,y) بالنسبة إلى x عند النقطة P0(x0,y0) هو مشتق دالة متغير واحد φ(x)=f(x,y0) عند النقطة x-x0. ولكن عند هذه النقطة، من الواضح أن الدالة φ(x) لها حد أقصى. لذلك، φ'(x0)=0. بما أن φ'(x0)=f'x(x0,y0)، إذن f'x(x0,y0)=0 بالمثل، يمكن إثبات أن f'y(x0, y0 )=0 . لقد تم إثبات النظرية.

التذكرة رقم 8

6. نظرية القيمة المتوسطة (الصياغة، البرهان، المعنى الهندسي).إذا كانت الدالة f(x) متصلة على القطعة، فهناك نقطة C∈ مثل ∫(من a إلى b) f(x)dx=f(c)*(b-a). دليل. وفقًا لصيغة نيوتن-لايبنيز، لدينا ∫(من a إلى b) f(x)dx=F(x)|(من a إلى b)=F(b)-F(a)، حيث F"(x) )=f( x). بتطبيق نظرية لاغرانج (نظرية الزيادة المحدودة للدالة) على الفرق F(b)-F(a)، نحصل على F(b)-F(a)=F"(c )*(ب-أ)=و(ج) *(ب-أ). معنى هندسي. نظرية f(x)≥0 لها معنى هندسي بسيط: قيمة التكامل المحدد تساوي، بالنسبة لبعض C∈ (a;b)، مساحة مستطيل بارتفاع f(c) وقاعدة ب-أ. الرقم f(c)=1/(b-a)∫(من a إلى b) f(x)dx يُسمى متوسط قيمة الدالة f(x) على القطعة.

8. الزيادات الجزئية للدالة z=f(x;y). المشتقات الجزئية: تعريفها ومعناها الهندسي.دع الدالة z=f(x;y) تعطى. بما أن x وy متغيران مستقلان، فيمكن أن يتغير أحدهما بينما يظل الآخر ثابتًا. لنعطي المتغير x زيادة ∆x، مع الحفاظ على قيمة المتغير y دون تغيير. ثم ستتلقى الدالة z زيادة، والتي سوف نسميها الزيادة الخاصة z في x وتدل على ∆ x z. إذن، ∆ x z=f(x+∆x;y)–f(x;y). وبالمثل، نحصل على الزيادة الجزئية لـ z فيما يتعلق بـ y: ∆ y z=f(x;у+∆y)–f(x;y).إذا كان هناك حد lim∆x→0(∆ x z/∆x )=lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x)، ثم يطلق عليه اشتقاق جزئيالدالة z=f(x;y) عند النقطة M(x;y) في المتغير x ويشار إليها بأحد الرموز: z" x, δz/δx; f" x, δf/δx. معنى هندسي. الرسم البياني للدالة z=f(x;y) هو سطح معين. الرسم البياني للدالة z=f(x 0 ;y 0) هو خط تقاطع هذا السطح مع المستوى y=y 0. بناءً على المعنى الهندسي لمشتق دالة متغير واحد، نستنتج أن f" x (x 0 ;y 0)=tgα، حيث α هي الزاوية بين محور Ox والمماس المرسوم للمنحنى z=f (x 0 ;y 0) في النقطة M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). مشابه لـ f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

التذكرة رقم 9

دليل معنى هندسي

طائرة تماسية عادي على السطح

التذكرة رقم 10

10. تعريف دالة قابلة للتفاضل z=f(x;y) عند نقطة ما. تعريف التفاضل الإجمالي dz وشكله.يتم استدعاء الدالة z=f(x;y). قابل للتفاضلعند النقطة M(x;y)، إذا كان من الممكن تمثيل الزيادة الإجمالية عند هذه النقطة على النحو التالي: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y، حيث α=α(∆ x;∆y)→0 و β=β(∆x;∆y)→0 لـ ∆x→0 و∆y→0. الجزء الرئيسي من زيادة الدالة z=f(x;y)، الخطية بالنسبة إلى ∆x و ∆y، يسمى التفاضلية الكاملةهذه الوظيفة ويشار إليها بالرمز dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

التذكرة رقم 11

4. تعريف التكامل المحدد على القطعة. الخصائص الأساسية للتكامل المحدد على قطعة (مع إثبات واحد منهم). بواسطة تكامل محددعلى مقطع من الدالة f(x)، يتم استدعاء حد المجموع المتكامل Σf(c i)Δx i إذا كان هذا الحد موجودًا ولا يعتمد على تقسيم المقطع إلى أجزاء، أو على اختيار النقاط t داخل كل جزء من الأجزاء، بشرط أن يميل طول أكبر الأجزاء الجزئية (∆xi) إلى الصفر، أي ∫(من a إلى b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . ملكيات: 1) إذا كان c رقمًا ثابتًا والدالة f(x) قابلة للتكامل، فإن ∫(from a to b) c*f(x)dx=c*∫(from a to b) f(x)dx .2) إذا كانت الدوال f 1 (x) b f 2 (x) قابلة للتكامل في ، فإن مجموعها يكون أيضًا قابلاً للتكامل ∫(من a إلى b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫( من أ إلى ب) f 1 (x)dx+∫(من a إلى b) f 2 (x)dx. 3)∫(من a إلى b) f(x)dx= -∫(من b إلى a) f(x)dx. 4) إذا كانت الدالة f(x) قابلة للتكامل و a

10. تعريف دالة قابلة للتفاضل z=f(x;y) عند نقطة ما.يتم استدعاء الدالة z=f(x;y). قابل للتفاضلعند النقطة M(x;y)، إذا كان من الممكن تمثيل الزيادة الإجمالية عند هذه النقطة على النحو التالي: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y، حيث α=α(∆ x;∆y)→0 و β=β(∆x;∆y)→0 لـ ∆x→0 و∆y→0.

12. خاصية الدالة القابلة للتفاضل: العلاقة بين تفاضل الدالة z=f(x,y) ووجود مشتقات جزئية عند نقطة ما (صياغة، برهان). النظرية: إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، ففي هذه النقطة توجد مشتقات جزئية محدودة، A وB متساويان عدديًا. معطى: Δz=AΔx+BΔy+0(ρ) إثبات: Ǝ(δz/δx(x 0 ; y 0)=A برهان: لنعطي x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δ x z/Δx)=lim=A. δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. وبالمثل: Y 0 →Δy, x=x 0 => Δ y Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

التذكرة رقم 12

دليل

التذكرة رقم 13

2. مشكلة مساحة شبه المنحرف المنحني مما يؤدي إلى مفهوم التكامل المحدد على القطعة. تعريف التكامل المحدد على قطعة. دع الدالة y=f(x)≥0 تعطى على القطعة. الشكل المحدود من الأعلى بالرسم البياني للدالة y=f(x)، ومن الأسفل بمحور الثور، ومن الجانب بخطوط مستقيمة x=a وx=b يسمى شبه منحرف منحني الخطوط. دعونا نجد مساحة هذا شبه المنحرف. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. مع انخفاض جميع قيم Δx i، تزداد دقة تقريب شبه منحرف منحني الأضلاع مع شكل متدرج وتزداد دقة الصيغة الناتجة. لذلك، للحصول على القيمة الدقيقة للمنطقة S من شبه منحرف منحني الأضلاع، نأخذ الحد S الذي تميل إليه مساحة الشكل المتدرج Sn عندما تزداد n بلا حدود بحيث π=maxΔx i →0: S=lim n →∞ Sn=lim n→∞(α→0 ) Σf(c i)Δx i ، أي S=∫(من a إلى b) f(x)dx. إذن التكامل المحدد لدالة غير محددة يساوي عدديا مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع، فإذا كان مجموع التكامل Sn له حد I، والذي لا يعتمد لا على طريقة تقسيم القطعة إلى أجزاء عددية ولا على اختيار النقاط فيها، فإن الرقم I يسمى التكامل المحدد للدالة y=f(x) على المقطع ويشار إليه بـ ∫(من a إلى b) f(x)dx. وهكذا، ∫(من a إلى b) f(x)dx=lim n→∞(lect→0) Σf(c i)Δx i .

17. المستوى المماس والعمودي للسطح (تعريف).طائرة تماسيةإلى سطح عند نقطة M، يسمى المستوى الذي يمر عبر هذه النقطة من السطح إذا كانت الزاوية بين هذا المستوى والقاطع الذي يمر عبر النقطة M وأي نقطة أخرى M 1 من السطح تميل إلى الصفر حيث تميل M إلى M 1. عادي على السطحعند نقطة M يوجد خط مستقيم يمر بهذه النقطة عموديًا على مستوى المماس.

التذكرة رقم 14

5. نظرية تقدير التكامل المحدد على القطعة (الصياغة، الإثبات، المعنى الهندسي). تقدير التكامل. إذا كانت m و M، على التوالي، أصغر وأكبر قيم للدالة y=f(x) على القطعة، (a دليل. نظرًا لأن أي x∈ لدينا m≤f(x)≥M، ثم ∫(من a إلى b) mdx≥ ∫(من a إلى b) f(x)dx≥∫(من a إلى b) Mdx. نحصل على: m(b-a)≥∫(من a إلى b) f(x)dx≥M(b-a). معنى هندسي. مساحة شبه المنحرف المنحني تقع بين مساحات المستطيلات التي قاعدتها وارتفاعها m وM.

التذكرة رقم 15

التذكرة رقم 16

21. مشتق الدالة u=u(x;y;z) في الاتجاه l (تعريف).يسمى الحد LimΔl→0(Δu/Δl). مشتق الدالة u(x;y;z) في اتجاه المتجه lعند نقطة بإحداثيات (x;y;z).

22. تدرج الدالة u=u(x;y;z) عند نقطة ما (تعريف).يسمى المتجه بالإحداثيات (δu/δx; δu/δy; δu/δz)

التذكرة رقم 17

7. التكامل مع الحد الأعلى المتغير. نظرية مشتقة التكامل مع حد أعلى متغير (صياغة، برهان). مشتقة التكامل المحدد بالنسبة إلى حد أعلى متغير يساوي التكامل الذي يتم فيه استبدال متغير التكامل بهذا الحد، أي (∫(من a إلى x) f(t)dt)" x =f (خ). دليل. وفقًا لصيغة نيوتن-لايبنيز، لدينا: ∫(من a إلى x) f(t)dt=F(t)|(من a إلى x)=F(x)-F(a). لذلك، (∫(من a إلى x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). وهذا يعني أن التكامل المحدد ذو الحد الأعلى المتغير هو أحد المشتقات العكسية للتكامل.

الزيادة الكاملة مستمر مستمر

التذكرة رقم 18

1. وظيفة المشتقات العكسية. نظرية الفرق بين اثنين من المشتقات العكسية (مع الإثبات). التكامل غير المحدد: التعريف، أبسط خواص التكامل غير المحدد (مع إثبات أحدهما). يتم استدعاء الدالة F(x). وظيفة مضاد f(x) على الفاصل الزمني (a;b)، إذا كانت المساواة F"(x)=f(x) موجودة لأي x∈(a;b). نظرية. إذا كانت الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) على (a;b)، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لـ f(x) تعطى بالصيغة F(x)+C، حيث C= مقدار ثابت. دليل. الدالة F(x)+C هي مشتق عكسي للدالة f(x). في الواقع، (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). دع Ф(x) تكون دالة مشتقة عكسية أخرى f(x)، تختلف عن F(x)، أي. Ф"(x)=f(x). ثم لأي x∈(a;b) لدينا (Ф(kh)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( س )-و(س)=0. وهذا يعني أن Ф(x)-F(x)=C, C=const. ولذلك، Ф(x)=F(x)+C. تسمى مجموعة جميع دوال المشتقات العكسية F(x)+C لـ f(x) تكامل غير محددللدالة f(x) ويشار إليها بالرمز ∫f(x)dx. ملكيات: 1) تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل، ومشتقة التكامل غير المحدد يساوي التكامل d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. و (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) التكامل غير المحدد لتفاضل بعض الوظائف يساوي المجموع لهذه الوظيفة وثابت تعسفي: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) التكامل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال المتصلة يساوي المجموع الجبري لـ تكاملات مجموع الدوال: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (ثبات صيغة التكامل). إذا كانت ∫f(x)dx=F(x)+C، فإن ∫f(u)du=F(u)+C، حيث u=φ(x) هي دالة عشوائية بمشتقة مستمرة.

22. تدرج الدالة u=u(x;y;z) عند نقطة ما (التعريف، الخصائص). العلاقة بين المشتق الاتجاهي وتدرج الدالة (الأساس المنطقي). يسمى المتجه بالإحداثيات (δu/δx; δu/δy; δu/δz) تدرج الدالة u=f(x;y;z)ويشار إليه بـ gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. ملكيات: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU، حيث u*v عبارة عن منتجات عددية للمتجهين u وv. اتصال. دع الدالة u=u(x;y;z) وحقل التدرج gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k معطى. ثم المشتق Δu/Δl في اتجاه بعض المتجهات l يساوي إسقاط المتجه GradU على المتجه l.

التذكرة رقم 19

4. تعريف التكامل المحدد على القطعة. الخصائص الأساسية للتكامل المحدد على قطعة (مع إثبات واحد منهم). بواسطة تكامل محددعلى مقطع من الدالة f(x)، يتم استدعاء حد المجموع المتكامل Σf(c i)Δx i إذا كان هذا الحد موجودًا ولا يعتمد على تقسيم المقطع إلى أجزاء، أو على اختيار النقاط t داخل كل جزء من الأجزاء، بشرط أن يميل طول أكبر الأجزاء الجزئية (∆xi) إلى الصفر، أي ∫(من a إلى b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . ملكيات: 1) إذا كان c رقمًا ثابتًا والدالة f(x) قابلة للتكامل، فإن ∫(from a to b) c*f(x)dx=c*∫(from a to b) f(x)dx . دليل.لنقم بتكوين المجموع التكاملي للدالة c*f(x). لدينا Σс*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i . ثم lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=с*∫(من a إلى b) f(x)dx. ويترتب على ذلك أن الدالة с*f(x) قابلة للتكامل وأن الصيغة ∫(من a إلى b) с*f(x)dx= с*∫(من a إلى b) f(x)dx.2) إذا تكون الدوال f 1 (x) b f 2 (x) قابلة للتكامل في ، ثم يكون مجموعها قابلاً للتكامل و ∫(من a إلى b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(من a إلى b) ) f 1 (x)dx+∫(من a إلى b) f 2 (x)dx. 3)∫(من a إلى b) f(x)dx= -∫(من b إلى a) f(x)dx. 4) إذا كانت الدالة f(x) قابلة للتكامل و a

17. المستوى المماس والعمودي للسطح (تعريف). نظرية وجود مستوى مماس (صياغة، برهان). طائرة تماسيةإلى سطح عند نقطة M، يسمى المستوى الذي يمر عبر هذه النقطة من السطح إذا كانت الزاوية بين هذا المستوى والقاطع الذي يمر عبر النقطة M وأي نقطة أخرى M 1 من السطح تميل إلى الصفر حيث تميل M إلى M 1. عادي على السطحعند نقطة M يوجد خط مستقيم يمر بهذه النقطة عموديًا على مستوى المماس. نظرية. إذا δF/δx؛ δF/δy؛ يتم تعريف δF/δz بالقرب من النقطة Mo وتكون مستمرة عند النقطة M 0 نفسها وفي نفس الوقت لا تختفي، وبالتالي فإن جميع الخطوط المماسية للخطوط الموجودة على السطح تقع في نفس المستوى. دليل. L: النظام (x=x(t);y=y(t);z=z(t)). خط الظل (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)).L∈Q (السطح). F(x(t), y(t) , z(t))=0 هي دالة معقدة للمتغير t. نستخدم قاعدة تفاضلية دالة معقدة: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt )+(δF/δz)*( dz/dt)=0; (δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+ (δF(M 0)/δz) *z"(t 0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); تشير إلى n=(δF(M 0)/δx; δF(M 0)/δy; δF(M 0) /δz); n⊥g. بما أنه يمكن رسم عدد لا حصر له من الخطوط الموجودة على السطح من خلال نقطة معينة، وعدد لا حصر له من الخطوط المماس لها، فإن جميع الخطوط المماسية تقع في نفس المستوى.

التذكرة رقم 20

9. الزيادة الكاملة للدالة z=f(x;y). استمرارية الدالة z=f(x;y) عند نقطة ما (تعريفان).دع الدالة z=f(x;y) تعطى. لنعطي المتغير المستقل x زيادة ∆x، والمتغير y زيادة ∆y. ثم الزيادة الكاملةيتم تحديد ∆z للدالة بالمساواة: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) يتم استدعاء الدالة z=f(x;y). مستمرعند النقطة M 0 (x 0 ;y 0)∈ D(z)، إذا كانت حدودها عند هذه النقطة تتطابق مع قيمة الدالة عند هذه النقطة، أي. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0;y 0). 2) الدالة z=f(x;y) مستمرعلى مجموعة إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه المجموعة

التذكرة رقم 21

21. مشتق الدالة u=u(x;y;z) في الاتجاه l (التعريف، صيغة الحساب، اشتقاق صيغة الحساب). يسمى الحد LimΔl→0(Δu/Δl). مشتق الدالة u(x;y;z) في اتجاه المتجه lعند نقطة بإحداثيات (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ لنفترض أن الدالة u(x;y;z) مستمرة ولها مشتقات مستمرة فيما يتعلق بوسائطها في المجال D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+ E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz، حيث تميل E 1، E 2، E 3 إلى الصفر مثل Δl→0. دعونا نقسم المساواة بأكملها على Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. يمكن تمثيل المساواة على النحو التالي: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. بالانتقال إلى الحد الأقصى، نحصل على Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

التذكرة رقم 22

20. إشارة كافية لوجود أقصى للدالة z=f(x;y). (صياغة).دع الدالة f(x;y) عند نقطة ثابتة (X 0 ;Y 0) وبعض جوارها لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية شاملة. دعونا نحسب عند النقطة (X 0 ;Y 0) القيم A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" ص (س 0 ؛ ص 0). دعونا نشير إلى Δ=|AB؛ قبل الميلاد|=AC-B^2. ثم: 1) إذا كانت Δ>0، فإن الدالة f(x;y) عند النقطة (X 0 ;Y 0) لها حد أقصى: الحد الأقصى إذا كان A<0; минимум, если A>0; 2) إذا Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

التذكرة رقم 23

17. مستوى المماس للسطح (تعريف).طائرة تماسيةإلى سطح عند نقطة M، يسمى المستوى الذي يمر عبر هذه النقطة من السطح إذا كانت الزاوية بين هذا المستوى والقاطع الذي يمر عبر النقطة M وأي نقطة أخرى M 1 من السطح تميل إلى الصفر حيث تميل M إلى M 1.

18. معادلات مستوى المماس لسطح محدد صراحةبوضوح. z=f(x;y) عند النقطة Mo(Xo;Yo;Zo).ك: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

التذكرة رقم 24