وظيفةهي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية. وظيفة - التبعية المتغيرة فيمن متغير س، إذا كانت كل قيمة Xيطابق قيمة واحدة في. عامل Xيسمى المتغير المستقل أو الوسيطة. عامل فييسمى المتغير التابع . جميع قيم المتغير المستقل (variable س) تشكل مجال تعريف الوظيفة. جميع القيم التي يأخذها المتغير التابع (variable ذ) ، قم بتشكيل نطاق قيم الوظيفة.

الرسم البياني الوظيفياستدعاء مجموعة جميع نقاط المستوى الإحداثي، التي تساوي حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات تساوي القيم المقابلة للدالة، أي قيم الدالة يتم رسم المتغير على طول محور الإحداثي س، ويتم رسم قيم المتغير على طول المحور الإحداثي ذ. لرسم دالة بيانيا، عليك أن تعرف خصائص الدالة. سيتم مناقشة الخصائص الرئيسية للوظيفة أدناه!

لإنشاء رسم بياني لدالة، نوصي باستخدام برنامجنا - وظائف الرسم البياني عبر الإنترنت. إذا كانت لديك أي أسئلة أثناء دراسة المواد الموجودة على هذه الصفحة، فيمكنك دائمًا طرحها على منتدانا. سيساعدونك في المنتدى أيضًا في حل المشكلات في الرياضيات والكيمياء والهندسة ونظرية الاحتمالات والعديد من الموضوعات الأخرى!

الخصائص الأساسية للوظائف.

1) مجال الوظيفة ونطاق الوظيفة.

مجال الدالة هو مجموعة كافة قيم الوسيطات الصالحة س(عامل س)، والتي الوظيفة ص = و(س)عازم.
مدى الدالة هو مجموعة القيم الحقيقية ذ، والتي تقبلها الدالة.

في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية.

2) الأصفار الوظيفية.

قيم X، الذي ص=0، مُسَمًّى وظيفة الأصفار. هذه هي حدود نقاط تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور الثور.

3) فترات الإشارة الثابتة للدالة.

فترات الإشارة الثابتة للدالة هي فترات من القيم س، حيث تكون قيم الدالة ذيتم استدعاء إما الإيجابية فقط أو السلبية فقط فترات الإشارة الثابتة للدالة.

4) رتابة الوظيفة.

الدالة المتزايدة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

الدالة المتناقصة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

5) الدالة الزوجية (الفردية)..

الدالة الزوجية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي X و(-س) = و(خ). الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.

الدالة الفردية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و(-س) = - و(س). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

دالة زوجية
1) مجال التعريف متماثل بالنسبة للنقطة (0؛ 0)، أي إذا كانت النقطة أينتمي إلى مجال التعريف، ثم هذه النقطة -أينتمي أيضًا إلى مجال التعريف.
2) لأي قيمة س و(-س)=و(خ)
3) الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول محور أوي.

وظيفة غريبةلديه الخصائص التالية:
1) مجال التعريف متماثل حول النقطة (0؛ 0).
2) لأي قيمة س، تنتمي إلى مجال التعريف، المساواة و(-س)=-و(خ)
3) الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل (0؛ 0).

ليست كل دالة زوجية أو فردية. المهام منظر عامليست حتى ولا غريبة.

6) وظائف محدودة وغير محدودة.

تسمى الدالة مقيدة إذا كان هناك رقم موجب M مثل |f(x)| ≥ M لجميع قيم x. إذا لم يكن هذا الرقم موجودا، فإن الوظيفة غير محدودة.

7) دورية الوظيفة.

تكون الدالة f(x) دورية إذا كان هناك رقم غير الصفر T بحيث يكون لأي x من مجال تعريف الدالة ما يلي: f(x+T) = f(x). ويسمى هذا الرقم الأصغر فترة الدالة. جميع الدوال المثلثية دورية. (الصيغ المثلثية).

وظيفة Fيسمى الدوري إذا كان هناك رقم من هذا القبيل لأي سمن مجال تعريف المساواة و(س)=و(س-T)=و(س+T). تهي فترة الوظيفة.

كل دالة دورية لها عدد لا نهائي من الفترات. ومن الناحية العملية، عادة ما تؤخذ في الاعتبار أصغر فترة إيجابية.

تتكرر قيم الدالة الدورية بعد فترة تساوي الفترة. يتم استخدامه عند إنشاء الرسوم البيانية.

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الأهداف:

• صياغة مفهوم الوظائف الزوجية والفردية، وتعليم القدرة على تحديد واستخدام هذه الخصائص عند دراسة الوظائف وإنشاء الرسوم البيانية؛
• تطوير النشاط الإبداعي لدى الطلاب، والتفكير المنطقي، والقدرة على المقارنة والتعميم؛
• تنمية العمل الجاد والثقافة الرياضية؛ تطوير مهارات الاتصال .

معدات:تركيب الوسائط المتعددة، السبورة التفاعلية، النشرات.

أشكال العمل:أمامي وجماعي مع عناصر أنشطة البحث والبحث.

مصدر المعلومات:

1. الجبر الصف التاسع أ.ج.موردكوفيتش. كتاب مدرسي.
2. الجبر الصف التاسع أ.ج.موردكوفيتش. كتاب المشكلة.
3. الجبر الصف التاسع. مهام لتعلم الطلاب وتطويرهم. بيلينكوفا إي يو. ليبيدنتسيفا إي.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية

تحديد الأهداف والغايات للدرس.

2. التحقق من الواجبات المنزلية

رقم 10.17 (كتاب مسائل الصف التاسع. أ.ج. موردكوفيتش).

أ) في = F(X), F(X) =

ب) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

ج) 1. د( F) = [– 2; + ∞)
2. ه( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 في X ~ 0,4
4. F(X) >0 في X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. الدالة تزداد مع X € [– 2; + ∞)
6. الوظيفة محدودة من الأسفل.
7. فينعيم = – 3, فينايب غير موجود
8. الوظيفة مستمرة.

(هل استخدمت خوارزمية استكشاف الوظائف؟) الانزلاق.

2. دعنا نتحقق من الجدول الذي طُلب منك من الشريحة.

املأ الجدول
	اِختِصاص	وظيفة الأصفار	فترات ثبات الإشارة		إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع Oy
		س = -5، س = 2	× € (–5;3) ش ش(2;∞)	× € (–∞;–5) U يو (–3;2)
	س ∞ -5، س ≠ 2		× € (–5;3) ش ش(2;∞)	× € (–∞;–5) U يو (–3;2)
	س ≠ -5، س ≠ 2		× € (–∞; –5) U ش(2;∞)	× يورو (–5; 2)

3. تحديث المعرفة

- يتم إعطاء الوظائف.
– تحديد نطاق التعريف لكل وظيفة.
- قارن قيمة كل دالة لكل زوج من قيم الوسيطات: 1 و- 1؛ 2 و – 2.
- لأي من هذه الوظائف في مجال التعريف تنطبق المساواة F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (أدخل البيانات التي تم الحصول عليها في الجدول) الانزلاق

		F(1) و F(– 1)	F(2 و F(– 2)	الرسومات	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		وغير محددة

4. مادة جديدة

- أثناء قيامنا بهذا العمل، يا رفاق، حددنا خاصية أخرى للوظيفة، غير مألوفة بالنسبة لكم، ولكنها لا تقل أهمية عن الخصائص الأخرى - وهي تكافؤ الوظيفة وغرابتها. اكتب موضوع الدرس: "الدوال الزوجية والفردية"، مهمتنا هي أن نتعلم كيفية تحديد التساوي والغرابة للدالة، ومعرفة أهمية هذه الخاصية في دراسة الدوال ورسم الرسوم البيانية.
فلنجد التعاريف في الكتاب المدرسي ونقرأ (ص110) . الانزلاق

مواطنه. 1وظيفة في = F (X)، المعرفة في المجموعة X تسمى حتى، إذا كان لأي قيمة XЄ X يتم تنفيذه المساواة f(–x)= f(x). أعط أمثلة.

مواطنه. 2وظيفة ص = و(س)، المحدد في المجموعة X يسمى غريب، إذا كان لأي قيمة XЄ X المساواة f(–x)= –f(x) موجودة. أعط أمثلة.

أين التقينا بالمصطلحين "الزوجي" و"الفردي"؟
أي من هذه الوظائف ستكون زوجية، في رأيك؟ لماذا؟ أي منها غريب؟ لماذا؟
لأي وظيفة من النموذج في= س ن، أين ن– عدد صحيح، يمكن القول أن الدالة تكون فردية عندما ن- غريب والدالة حتى عندما ن- حتى.
- عرض الوظائف في= و في = 2X- 3 ليست زوجية ولا فردية، لأن المساواة غير راضية F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

تسمى دراسة ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية دراسة تكافؤ الدالة.الانزلاق

في التعريفين 1 و 2 كنا نتحدث عن قيم الدالة عند x و- x، وبالتالي يُفترض أن الدالة محددة أيضًا بالقيمة X، وفي - X.

ديف 3.إذا كانت المجموعة العددية، مع كل عنصر من عناصرها x، تحتوي أيضًا على العنصر المقابل –x، فإن المجموعة Xتسمى مجموعة متماثلة.

أمثلة:

(-2؛2)، [-5؛5]؛ (∞;∞) عبارة عن مجموعات متماثلة، و[-5;4] غير متماثلة.

- هل حتى الوظائف لها مجال تعريف عبارة عن مجموعة متماثلة؟ الغريبون؟
– إذا د( F) هي مجموعة غير متماثلة، فما هي الوظيفة؟
- وهكذا، إذا كانت الوظيفة في = F(X) - زوجي أو فردي، فإن مجال تعريفه هو D( F) هي مجموعة متماثلة. هل العبارة العكسية صحيحة: إذا كان مجال تعريف الدالة عبارة عن مجموعة متماثلة، فهل هي زوجية أم فردية؟
– وهذا يعني أن وجود مجموعة متماثلة من مجال التعريف شرط ضروري ولكنه غير كاف.
- إذًا كيف يمكنك فحص دالة التكافؤ؟ دعونا نحاول إنشاء خوارزمية.

الانزلاق

خوارزمية لدراسة دالة التكافؤ

1. تحديد ما إذا كان مجال تعريف الدالة متماثلًا. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية. إذا كانت الإجابة بنعم، فانتقل إلى الخطوة 2 من الخوارزمية.

2. اكتب عبارة ل F(–X).

3. قارن F(–X).و F(X):

• لو F(–X).= F(X)، فإن الدالة زوجية؛
• لو F(–X).= – F(X)، فإن الدالة فردية؛
• لو F(–X) ≠ F(X) و F(–X) ≠ –F(X)، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

أمثلة:

فحص الدالة أ) للتكافؤ في= س 5 +؛ ب) في= ؛ الخامس) في= .

حل.

أ) ح(س) = س 5 +،

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞)، مجموعة متماثلة.

2) ح (- س) = (–س) 5 + – x5 –= – (س 5 +)،

3) ح(- س) = – ح (س) => الدالة ح (خ)= × 5 + فردي.

ب) ص =،

في = F(X), د(و) = (–∞; –9)? (-9; +∞)، مجموعة غير متماثلة، مما يعني أن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

الخامس) F(X) =، ص = و (س)،

1) د( F) = (–∞; 3] ≠ ; ب) (∞; –2), (–4; 4]؟

الخيار 2

1. هل المجموعة المعطاة متماثلة: أ) [–2;2]؛ ب) (∞; 0], (0; 7) ؟

أ)؛ ب) ص = س (5 - س 2). 2. افحص وظيفة التكافؤ:

أ) ص = × 2 (2س - س 3)، ب) ص =

3. في الشكل. تم بناء الرسم البياني في = F(X)، للجميع X، استيفاء الشرط X? 0.
رسم بياني للوظيفة في = F(X)، لو في = F(X) هي دالة زوجية.

3. في الشكل. تم بناء الرسم البياني في = F(X)، لجميع x مستوفياً للشرط x؟ 0.
رسم بياني للوظيفة في = F(X)، لو في = F(X) هي وظيفة غريبة.

التحقق المتبادل الانزلاق.

6. الواجبات المنزلية: №11.11, 11.21,11.22;

إثبات المعنى الهندسي لخاصية التكافؤ.

***(تخصيص خيار امتحان الدولة الموحدة).

1. يتم تعريف الدالة الفردية y = f(x) على خط الأعداد بأكمله. بالنسبة لأي قيمة غير سالبة للمتغير x فإن قيمة هذه الدالة تتطابق مع قيمة الدالة g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). أوجد قيمة الدالة h( X) = عند X = 3.

7. تلخيص

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الأهداف:

• صياغة مفهوم الوظائف الزوجية والفردية، وتعليم القدرة على تحديد واستخدام هذه الخصائص عند دراسة الوظائف وإنشاء الرسوم البيانية؛
• تطوير النشاط الإبداعي لدى الطلاب، والتفكير المنطقي، والقدرة على المقارنة والتعميم؛
• تنمية العمل الجاد والثقافة الرياضية؛ تطوير مهارات الاتصال .

معدات:تركيب الوسائط المتعددة، السبورة التفاعلية، النشرات.

أشكال العمل:أمامي وجماعي مع عناصر أنشطة البحث والبحث.

مصدر المعلومات:

1. الجبر الصف التاسع أ.ج.موردكوفيتش. كتاب مدرسي.
2. الجبر الصف التاسع أ.ج.موردكوفيتش. كتاب المشكلة.
3. الجبر الصف التاسع. مهام لتعلم الطلاب وتطويرهم. بيلينكوفا إي يو. ليبيدنتسيفا إي.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية

تحديد الأهداف والغايات للدرس.

2. التحقق من الواجبات المنزلية

رقم 10.17 (كتاب مسائل الصف التاسع. أ.ج. موردكوفيتش).

أ) في = F(X), F(X) =

ب) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

ج) 1. د( F) = [– 2; + ∞)
2. ه( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 في X ~ 0,4
4. F(X) >0 في X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. الدالة تزداد مع X € [– 2; + ∞)
6. الوظيفة محدودة من الأسفل.
7. فينعيم = – 3, فينايب غير موجود
8. الوظيفة مستمرة.

(هل استخدمت خوارزمية استكشاف الوظائف؟) الانزلاق.

2. دعنا نتحقق من الجدول الذي طُلب منك من الشريحة.

املأ الجدول
	اِختِصاص	وظيفة الأصفار	فترات ثبات الإشارة		إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع Oy
		س = -5، س = 2	× € (–5;3) ش ش(2;∞)	× € (–∞;–5) U يو (–3;2)
	س ∞ -5، س ≠ 2		× € (–5;3) ش ش(2;∞)	× € (–∞;–5) U يو (–3;2)
	س ≠ -5، س ≠ 2		× € (–∞; –5) U ش(2;∞)	× يورو (–5; 2)

3. تحديث المعرفة

- يتم إعطاء الوظائف.
– تحديد نطاق التعريف لكل وظيفة.
- قارن قيمة كل دالة لكل زوج من قيم الوسيطات: 1 و- 1؛ 2 و – 2.
- لأي من هذه الوظائف في مجال التعريف تنطبق المساواة F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (أدخل البيانات التي تم الحصول عليها في الجدول) الانزلاق

		F(1) و F(– 1)	F(2 و F(– 2)	الرسومات	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		وغير محددة

4. مادة جديدة

- أثناء قيامنا بهذا العمل، يا رفاق، حددنا خاصية أخرى للوظيفة، غير مألوفة بالنسبة لكم، ولكنها لا تقل أهمية عن الخصائص الأخرى - وهي تكافؤ الوظيفة وغرابتها. اكتب موضوع الدرس: "الدوال الزوجية والفردية"، مهمتنا هي أن نتعلم كيفية تحديد التساوي والغرابة للدالة، ومعرفة أهمية هذه الخاصية في دراسة الدوال ورسم الرسوم البيانية.
فلنجد التعاريف في الكتاب المدرسي ونقرأ (ص110) . الانزلاق

مواطنه. 1وظيفة في = F (X)، المعرفة في المجموعة X تسمى حتى، إذا كان لأي قيمة XЄ X يتم تنفيذه المساواة f(–x)= f(x). أعط أمثلة.

مواطنه. 2وظيفة ص = و(س)، المحدد في المجموعة X يسمى غريب، إذا كان لأي قيمة XЄ X المساواة f(–x)= –f(x) موجودة. أعط أمثلة.

أين التقينا بالمصطلحين "الزوجي" و"الفردي"؟
أي من هذه الوظائف ستكون زوجية، في رأيك؟ لماذا؟ أي منها غريب؟ لماذا؟
لأي وظيفة من النموذج في= س ن، أين ن– عدد صحيح، يمكن القول أن الدالة تكون فردية عندما ن- غريب والدالة حتى عندما ن- حتى.
- عرض الوظائف في= و في = 2X- 3 ليست زوجية ولا فردية، لأن المساواة غير راضية F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

تسمى دراسة ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية دراسة تكافؤ الدالة.الانزلاق

في التعريفين 1 و 2 كنا نتحدث عن قيم الدالة عند x و- x، وبالتالي يُفترض أن الدالة محددة أيضًا بالقيمة X، وفي - X.

ديف 3.إذا كانت المجموعة العددية، مع كل عنصر من عناصرها x، تحتوي أيضًا على العنصر المقابل –x، فإن المجموعة Xتسمى مجموعة متماثلة.

أمثلة:

(-2؛2)، [-5؛5]؛ (∞;∞) عبارة عن مجموعات متماثلة، و[-5;4] غير متماثلة.

- هل حتى الوظائف لها مجال تعريف عبارة عن مجموعة متماثلة؟ الغريبون؟
– إذا د( F) هي مجموعة غير متماثلة، فما هي الوظيفة؟
- وهكذا، إذا كانت الوظيفة في = F(X) - زوجي أو فردي، فإن مجال تعريفه هو D( F) هي مجموعة متماثلة. هل العبارة العكسية صحيحة: إذا كان مجال تعريف الدالة عبارة عن مجموعة متماثلة، فهل هي زوجية أم فردية؟
– وهذا يعني أن وجود مجموعة متماثلة من مجال التعريف شرط ضروري ولكنه غير كاف.
- إذًا كيف يمكنك فحص دالة التكافؤ؟ دعونا نحاول إنشاء خوارزمية.

الانزلاق

خوارزمية لدراسة دالة التكافؤ

1. تحديد ما إذا كان مجال تعريف الدالة متماثلًا. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية. إذا كانت الإجابة بنعم، فانتقل إلى الخطوة 2 من الخوارزمية.

2. اكتب عبارة ل F(–X).

3. قارن F(–X).و F(X):

• لو F(–X).= F(X)، فإن الدالة زوجية؛
• لو F(–X).= – F(X)، فإن الدالة فردية؛
• لو F(–X) ≠ F(X) و F(–X) ≠ –F(X)، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

أمثلة:

فحص الدالة أ) للتكافؤ في= س 5 +؛ ب) في= ؛ الخامس) في= .

حل.

أ) ح(س) = س 5 +،

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞)، مجموعة متماثلة.

2) ح (- س) = (–س) 5 + – x5 –= – (س 5 +)،

3) ح(- س) = – ح (س) => الدالة ح (خ)= × 5 + فردي.

ب) ص =،

في = F(X), د(و) = (–∞; –9)? (-9; +∞)، مجموعة غير متماثلة، مما يعني أن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

الخامس) F(X) =، ص = و (س)،

1) د( F) = (–∞; 3] ≠ ; ب) (∞; –2), (–4; 4]؟

الخيار 2

1. هل المجموعة المعطاة متماثلة: أ) [–2;2]؛ ب) (∞; 0], (0; 7) ؟

أ)؛ ب) ص = س (5 - س 2). 2. افحص وظيفة التكافؤ:

أ) ص = × 2 (2س - س 3)، ب) ص =

3. في الشكل. تم بناء الرسم البياني في = F(X)، للجميع X، استيفاء الشرط X? 0.
رسم بياني للوظيفة في = F(X)، لو في = F(X) هي دالة زوجية.

3. في الشكل. تم بناء الرسم البياني في = F(X)، لجميع x مستوفياً للشرط x؟ 0.
رسم بياني للوظيفة في = F(X)، لو في = F(X) هي وظيفة غريبة.

التحقق المتبادل الانزلاق.

6. الواجبات المنزلية: №11.11, 11.21,11.22;

إثبات المعنى الهندسي لخاصية التكافؤ.

***(تخصيص خيار امتحان الدولة الموحدة).

1. يتم تعريف الدالة الفردية y = f(x) على خط الأعداد بأكمله. بالنسبة لأي قيمة غير سالبة للمتغير x فإن قيمة هذه الدالة تتطابق مع قيمة الدالة g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). أوجد قيمة الدالة h( X) = عند X = 3.

7. تلخيص

دالة زوجية.

حتىهي دالة لا تتغير إشارتها بتغير الإشارة س.

سالمساواة تحمل F(–س) = F(س). لافتة سلا يؤثر على العلامة ذ.

الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول محور الإحداثيات (الشكل 1).

أمثلة على دالة زوجية:

ذ=cos س

ذ = س 2

ذ = –س 2

ذ = س 4

ذ = س 6

ذ = س 2 + س

توضيح:
لنأخذ الوظيفة ذ = س 2 أو ذ = –س 2 .
لأي قيمة سالوظيفة إيجابية. لافتة سلا يؤثر على العلامة ذ. الرسم البياني متماثل حول محور الإحداثيات. هذه وظيفة متساوية.

وظيفة غريبة.

غريبهي دالة تتغير إشارتها عندما تتغير الإشارة س.

وبعبارة أخرى، لأي قيمة سالمساواة تحمل F(–س) = –F(س).

الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل (الشكل 2).

أمثلة على الدالة الفردية:

ذ= خطيئة س

ذ = س 3

ذ = –س 3

توضيح:

لنأخذ الدالة y = - س 3 .
كل المعاني فيسيكون لها علامة ناقص. هذه علامة سيؤثر على العلامة ذ. إذا كان المتغير المستقل رقمًا موجبًا، تكون الدالة موجبة، وإذا كان المتغير المستقل رقمًا سالبًا، تكون الدالة سالبة: F(–س) = –F(س).
الرسم البياني للدالة متماثل بالنسبة للأصل. هذه وظيفة غريبة.

خواص الدوال الزوجية والفردية:

ملحوظة:

ليست كل الوظائف زوجية أو فردية. هناك وظائف لا تخضع لمثل هذا التدرج. على سبيل المثال، وظيفة الجذر في = √Xلا ينطبق على الوظائف الزوجية أو الفردية (الشكل 3). عند سرد خصائص هذه الدوال، ينبغي إعطاء وصف مناسب: لا زوجي ولا فردي.

وظائف دورية.

كما تعلمون، الدورية هي تكرار عمليات معينة في فترة زمنية معينة. تسمى الوظائف التي تصف هذه العمليات وظائف دورية. أي أن هذه هي الوظائف التي تحتوي رسومها البيانية على عناصر تتكرر على فترات زمنية معينة.

دراسة الوظيفة.

1) D(y) - مجال التعريف: مجموعة كل قيم المتغير x. التي تكون فيها التعبيرات الجبرية f(x) وg(x) منطقية.

إذا تم إعطاء دالة بواسطة صيغة، فإن مجال التعريف يتكون من جميع قيم المتغير المستقل الذي تكون الصيغة منطقية له.

2) خصائص الدالة: زوجي/فردي، الدورية:

غريبو حتىيتم استدعاء الوظائف التي تكون رسومها البيانية متماثلة فيما يتعلق بالتغيرات في إشارة الوسيطة.

وظيفة غريبة- دالة تغير القيمة إلى العكس عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متناظرة بالنسبة لمركز الإحداثيات).

دالة زوجية- دالة لا تتغير قيمتها عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متناظرة حول الإحداثي).

لا حتى ولا وظيفة غريبة (وظيفة عامة)- دالة ليس لها تماثل. تتضمن هذه الفئة وظائف لا تندرج ضمن الفئتين السابقتين.

يتم استدعاء الوظائف التي لا تنتمي إلى أي من الفئات المذكورة أعلاه لا حتى ولا غريب(أو الوظائف العامة).

وظائف غريبة

القوة الفردية حيث يوجد عدد صحيح تعسفي.

حتى الوظائف

حتى القوة حيث هو عدد صحيح تعسفي.

وظيفة دورية- دالة تكرر قيمها عند فاصل زمني منتظم للوسيطة، أي أنها لا تغير قيمتها عند إضافة بعض الأرقام الثابتة غير الصفرية إلى الوسيطة ( فترةوظائف) على كامل مجال التعريف.

3) أصفار (جذور) الدالة هي النقاط التي تصبح فيها صفرًا.

العثور على نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور أوي. للقيام بذلك تحتاج إلى حساب القيمة F(0). أوجد أيضًا نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ثورلماذا تجد جذور المعادلة F(س) = 0 (أو تأكد من عدم وجود جذور).

تسمى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور وظيفة الأصفار. للعثور على أصفار دالة، عليك حل المعادلة، أي إيجادها تلك معاني "x"حيث تصبح الدالة صفراً.

4) فترات ثبات العلامات والعلامات فيها.

الفترات التي تحافظ فيها الدالة f(x) على الإشارة.

الفاصل الزمني لثبات الإشارة هو الفاصل الزمني في كل نقطة منهاالدالة إيجابية أو سلبية.

فوق المحور السيني.

أسفل المحور.

5) الاستمرارية (نقاط الانقطاع، طبيعة الانقطاع، الخطوط المقاربة).

وظيفة مستمرة- دالة بدون "قفزات"، أي دالة تؤدي فيها التغييرات الصغيرة في الوسيطة إلى تغييرات صغيرة في قيمة الوظيفة.

نقاط الاستراحة القابلة للإزالة

إذا كان الحد من الدالة موجودولكن لم يتم تعريف الدالة عند هذه النقطة، أو أن الحد لا يتطابق مع قيمة الدالة عند هذه النقطة:

,

ثم يتم استدعاء النقطة نقطة انقطاع قابلة للإزالةوظائف (في التحليل المعقد، نقطة مفردة قابلة للإزالة).

إذا قمنا "بتصحيح" الوظيفة عند نقطة الانقطاع القابل للإزالة ووضعنا ثم نحصل على دالة مستمرة عند نقطة معينة. تسمى هذه العملية على دالة تمديد الوظيفة إلى المستمرأو إعادة تعريف الوظيفة بالاستمرارية، وهو ما يبرر اسم النقطة كنقطة قابل للإزالةتمزق.

نقاط الانقطاع من النوع الأول والثاني

إذا كانت الدالة لها انقطاع عند نقطة معينة (أي أن نهاية الدالة عند نقطة معينة غائبة أو لا تتطابق مع قيمة الدالة عند نقطة معينة)، فبالنسبة للدوال العددية هناك خياران محتملان المرتبطة بوجود وظائف عددية الحدود الأحادية:

إذا كانت النهايات من جانب واحد موجودة ومحدودة، فإن هذه النقطة تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول. نقاط الانقطاع القابلة للإزالة هي نقاط انقطاع من النوع الأول؛

إذا كانت إحدى النهايات أحادية الجانب على الأقل غير موجودة أو ليست قيمة منتهية، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الانقطاع من النوع الثاني.

الخط المقارب - مستقيم، والتي لها خاصية المسافة من نقطة على المنحنى إلى هذه النقطة مستقيميميل إلى الصفر حيث تتحرك النقطة بعيدًا على طول الفرع إلى ما لا نهاية.

رَأسِيّ

الخط المقارب العمودي - خط النهاية .

كقاعدة عامة، عند تحديد الخط المقارب العمودي، لا يبحثون عن حد واحد، بل عن حدين من جانب واحد (يسار ويمين). يتم ذلك لتحديد كيفية تصرف الوظيفة عند اقترابها من الخط المقارب الرأسي من اتجاهات مختلفة. على سبيل المثال:

أفقي

الخط المقارب الأفقي - مستقيمالأنواع، رهنا بوجودها حد

.

يميل

الخط المقارب - مستقيمالأنواع، رهنا بوجودها حدود

ملحوظة: لا يمكن أن تحتوي الدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين (أفقيين).

ملحوظة: إذا كان أحد الحدين المذكورين أعلاه على الأقل غير موجود (أو يساوي )، فإن الخط المقارب المائل عند (أو ) غير موجود.

إذا كان في البند 2.)، ثم، وتم العثور على النهاية باستخدام صيغة الخط المقارب الأفقي، .

6) العثور على فترات من الرتابة.العثور على فترات الرتابة من وظيفة F(س)(أي فترات الزيادة والنقصان). يتم ذلك عن طريق فحص إشارة المشتقة F(س). للقيام بذلك، ابحث عن المشتقة F(س) وحل عدم المساواة F(س)0. على الفترات التي تستمر فيها هذه المتباينة، تكون الدالة F(س)يزيد. حيث يحمل عدم المساواة العكسية F(س)0، وظيفة F(س) آخذ في التناقص.

العثور على الحد الأقصى المحلي.بعد العثور على فترات الرتابة، يمكننا على الفور تحديد النقاط القصوى المحلية، حيث يتم استبدال الزيادة بانخفاض، وتقع الحدود القصوى المحلية، وحيث يتم استبدال النقصان بزيادة، وتقع الحدود الدنيا المحلية. احسب قيمة الدالة عند هذه النقاط. إذا كانت الدالة تحتوي على نقاط حرجة ليست نقاطًا متطرفة محلية، فمن المفيد حساب قيمة الدالة عند هذه النقاط أيضًا.

إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة y = f(x) على القطعة(استمرار)

1. العثور على مشتق من وظيفة: F(س). 2. أوجد النقاط التي يكون فيها المشتق صفراً: F(س)=0س 1, س 2 ,... 3. تحديد انتماء النقاط X 1 ,X 2 , … شريحة [ أ; ب]: يترك س 1أ;ب، أ س 2أ;ب . 4. ابحث عن قيم الوظيفة عند النقاط المحددة وفي نهايات المقطع: F(س 1), F(س 2),..., F(س أ),F(س ب), 5. اختيار أكبر وأصغر قيم الدالة من تلك الموجودة. تعليق. إذا كان على الجزء [ أ; ب] توجد نقاط انقطاع، فمن الضروري حساب الحدود الأحادية عندها، ومن ثم أخذ قيمها في الاعتبار عند اختيار القيم الأكبر والأصغر للدالة.

7) العثور على فترات التحدب والتقعر. ويتم ذلك عن طريق فحص إشارة المشتقة الثانية F(س). أوجد نقاط انعطاف عند تقاطعات الفترات المحدبة والمقعرة. احسب قيمة الدالة عند نقاط الانقلاب. إذا كانت الدالة لها نقاط أخرى من الاستمرارية (باستثناء نقاط الانعطاف) التي يكون عندها المشتق الثاني 0 أو غير موجود، فمن المفيد أيضًا حساب قيمة الدالة عند هذه النقاط. بعد أن وجدت F(س) ، نحن نحل عدم المساواة F(س)0. في كل فترة من فترات الحل ستكون الدالة محدبة للأسفل. حل المتباينة العكسية F(س)0، نجد الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة لأعلى (أي مقعرة). نحدد نقاط الانعطاف على أنها تلك النقاط التي تتغير عندها الدالة اتجاه التحدب (وهي مستمرة).

نقطة انعطاف الدالة- هذه هي النقطة التي تكون فيها الدالة متصلة وعند المرور من خلالها تتغير الدالة اتجاه التحدب.

شروط الوجود

شرط ضروري لوجود نقطة انعطاف:إذا كانت الدالة قابلة للتمييز مرتين في بعض المناطق المثقوبة للنقطة، إذن أو .