انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

بادئ ذي بدء، اسمحوا لي أن أذكرك باستنتاج بسيط ولكنه مفيد للغاية من الدرس "ما هو الجيب وجيب التمام؟ ما هو الظل وظل التمام؟"

هذا هو الإخراج:

يرتبط جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام ارتباطًا وثيقًا بزواياهم. نحن نعرف شيئًا واحدًا، مما يعني أننا نعرف شيئًا آخر.

بمعنى آخر، كل زاوية لها جيب التمام وجيب التمام الثابت الخاص بها. وكل شخص تقريبًا لديه ظل التمام وظل التمام الخاص به. لماذا بالكاد؟المزيد عن هذا أدناه.

هذه المعرفة تساعد كثيرا في دراستك! هناك الكثير من المهام التي تحتاج فيها إلى الانتقال من الجيوب إلى الزوايا والعكس. لهذا هناك جدول الجيوب.وبالمثل، بالنسبة للمهام ذات جيب التمام - جدول جيب التمام.وكما كنت قد خمنت، هناك جدول الظلو جدول ظل التمام.)

الجداول مختلفة. الطويلة، حيث يمكنك رؤية ما يساوي، على سبيل المثال، sin37°6’. نفتح جداول براديس ونبحث عن زاوية مقدارها سبعة وثلاثون درجة وست دقائق ونرى القيمة 0.6032. من الواضح أنه ليست هناك حاجة على الإطلاق لتذكر هذا الرقم (وآلاف قيم الجدول الأخرى).

في الواقع، في عصرنا، ليست هناك حاجة حقًا إلى جداول طويلة من جيب التمام، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام. آلة حاسبة واحدة جيدة تحل محلها بالكامل. لكن لا يضر معرفة وجود مثل هذه الجداول. لسعة الاطلاع العامة.)

ولماذا هذا الدرس إذن؟! - أنت تسأل.

لكن لماذا. من بين العدد اللانهائي من الزوايا هناك خاص،والتي يجب أن تعرف عنها الجميع. جميع الهندسة المدرسية وعلم المثلثات مبنية على هذه الزوايا. هذا نوع من "جدول الضرب" في علم المثلثات. إذا كنت لا تعرف ما هي قيمة الخطيئة 50 درجة، على سبيل المثال، فلن يحكم عليك أحد.) ولكن إذا كنت لا تعرف ما هي قيمة الخطيئة 30 درجة، فكن مستعدًا للحصول على جائزتين بجدارة...

هذه خاصالزوايا هي أيضا جيدة جدا. عادة ما تقدم الكتب المدرسية الحفظ جدول الجيب وجدول جيب التماملسبعة عشر زاوية. وبالطبع، جدول الظل وجدول ظل التماملنفس الزوايا السبع عشرة... أي: يقترح أن نتذكر 68 القيم. وهي، بالمناسبة، متشابهة جدًا مع بعضها البعض، تكرر نفسها بين الحين والآخر وتغير الإشارات. بالنسبة لشخص ليس لديه ذاكرة بصرية كاملة، فهذه مهمة كبيرة...)

سنتخذ طريقًا مختلفًا. دعونا نستبدل الحفظ عن ظهر قلب بالمنطق والإبداع. ثم سيتعين علينا حفظ 3 (ثلاثة!) قيم لجدول الجيب وجدول جيب التمام. و3 (ثلاثة!) قيم لجدول الظلال وجدول ظل التمام. هذا كل شئ. ست قيم أسهل في التذكر من 68، على ما يبدو لي...)

سوف نحصل على جميع القيم الضرورية الأخرى من هذه القيم الستة باستخدام ورقة الغش القانونية القوية - الدائرة المثلثية. إذا لم تكن قد درست هذا الموضوع، فاتبع الرابط، ولا تكن كسولاً. هذه الدائرة ليست ضرورية لهذا الدرس فقط. إنه لا يمكن الاستغناء عنه لجميع علم المثلثات في وقت واحد. عدم استخدام مثل هذه الأداة هو مجرد خطيئة! انت لا تريد؟ هذا هو عملك حفظ جدول الجيوب. جدول جيب التمام. جدول الظلال. جدول ظل التمام.جميع القيم 68 لمجموعة متنوعة من الزوايا.)

لذلك، دعونا نبدأ. أولاً، دعونا نقسم كل هذه الزوايا الخاصة إلى ثلاث مجموعات.

المجموعة الأولى من الزوايا

دعونا نفكر في المجموعة الأولى سبعة عشر زاوية خاص. هذه هي 5 زوايا: 0 درجة، 90 درجة، 180 درجة، 270 درجة، 360 درجة.

هذا ما يبدو عليه جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لهذه الزوايا:

زاوية س (على درجات)	0	90	180	270	360
زاوية س (بالراديان)	0
الخطيئة س	0	1	0	-1	0
كوس س	1	0	-1	0	1
تيراغرام س	0	اسم	0	اسم	0
سي تي جي اكس	اسم	0	اسم	0	اسم

ومن أراد أن يتذكر فليتذكر. لكنني سأقول على الفور أن كل هذه الأصفار والأصفار مرتبكة جدًا في الرأس. أقوى بكثير مما تريد.) لذلك نقوم بتشغيل المنطق والدائرة المثلثية.

نرسم دائرة ونحدد عليها نفس الزوايا: 0°، 90°، 180°، 270°، 360°. قمت بتمييز هذه الزوايا بنقاط حمراء:

من الواضح على الفور ما هو المميز في هذه الزوايا. نعم! هذه هي الزوايا التي تسقط بالضبط على محور الإحداثيات!في الواقع، لهذا السبب يرتبك الناس... لكننا لن نرتبك. دعونا نتعرف على كيفية العثور على الدوال المثلثية لهذه الزوايا دون حفظ الكثير.

بالمناسبة، موضع الزاوية هو 0 درجة يتزامن تمامامع وضع زاوية 360 درجة. وهذا يعني أن الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزوايا هي نفسها تمامًا. لقد حددت زاوية 360 درجة لإكمال الدائرة.

لنفترض، في البيئة الصعبة والمجهدة لامتحان الدولة الموحدة، أنك شككت بطريقة ما... ما هو جيب الزاوية 0 درجة؟ يبدو وكأنه صفر... وماذا لو كان واحداً؟! الحفظ الميكانيكي هو شيء من هذا القبيل. وفي الظروف القاسية تبدأ الشكوك في التزايد...)

اهدأ، فقط اهدأ!) سأخبرك بأسلوب عملي سيمنحك إجابة صحيحة بنسبة 100% ويزيل كل الشكوك تمامًا.

على سبيل المثال، دعونا نتعرف على كيفية تحديد جيب الزاوية 0 درجة بشكل واضح وموثوق. وفي الوقت نفسه، جيب التمام 0. ومن الغريب أن الناس غالبًا ما يشعرون بالارتباك في هذه القيم.

للقيام بذلك، ارسم على دائرة اِعتِباطِيّركن X. وفي الربع الأول كانت قريبة من 0 درجة. دعونا نحدد جيب وجيب التمام لهذه الزاوية على المحاور X،كل شيء على ما يرام. مثله:

والآن - انتبه! دعونا نقلل الزاوية X، اجعل الجانب المتحرك أقرب إلى المحور أوه. حرك مؤشر الماوس فوق الصورة (أو اضغط على الصورة على جهازك اللوحي) وسترى كل شيء.

الآن دعونا ننتقل إلى المنطق الأولي!فلننظر ونفكر: كيف يتصرف sinx عندما تتناقص الزاوية x؟ عندما تقترب الزاوية من الصفر؟انها تتقلص! والكوسكس يزيد!يبقى أن نعرف ماذا سيحدث للجيب عندما تنهار الزاوية تمامًا؟ متى يستقر الضلع المتحرك للزاوية (النقطة A) على المحور OX وتصبح الزاوية صفراً؟ ومن الواضح أن جيب الزاوية سوف يذهب إلى الصفر. وسيزيد جيب التمام إلى... إلى... ما طول الضلع المتحرك للزاوية (نصف قطر الدائرة المثلثية)؟ واحد!

هنا هو الجواب. جيب تمام 0 درجة يساوي 0. جيب تمام 0 درجة يساوي 1. حديد تمامًا وبدون أي شك!) ببساطة لأنه خلاف ذلك لا يمكن أن تكون.

بنفس الطريقة تمامًا، يمكنك معرفة (أو توضيح) جيب الزاوية 270 درجة، على سبيل المثال. أو جيب التمام 180. ارسم دائرة، اِعتِباطِيّزاوية في الربع بجوار محور الإحداثيات الذي يهمنا، حرك جانب الزاوية عقليًا وافهم ما سيصبح عليه الجيب وجيب التمام عندما يقع جانب الزاوية على المحور. هذا كل شئ.

كما ترون، ليست هناك حاجة لحفظ أي شيء لهذه المجموعة من الزوايا. ليست هناك حاجة هنا جدول الجيوب...نعم و جدول جيب التمام- أيضًا.) بالمناسبة، بعد عدة استخدامات للدائرة المثلثية، سيتم تذكر كل هذه القيم من تلقاء نفسها. وإذا نسوا رسمت دائرة في 5 ثواني ووضحتها. أسهل بكثير من الاتصال بصديق من المرحاض والمخاطرة بشهادتك، أليس كذلك؟)

أما بالنسبة للظل وظل التمام، فكل شيء هو نفسه. نرسم خط ظل (ظل التمام) على الدائرة - وكل شيء مرئي على الفور. حيث تساوي الصفر، وحيث لا وجود لها. ماذا، ألا تعرف عن خطوط المماس وظل التمام؟ هذا أمر محزن، ولكن يمكن إصلاحه.) قمنا بزيارة القسم 555 ظل وظل التمام على الدائرة المثلثية - ولا توجد مشاكل!

إذا كنت قد اكتشفت كيفية تحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لهذه الزوايا الخمس بوضوح، تهانينا! فقط في حالة إبلاغك أنه يمكنك الآن تحديد الوظائف أي الزوايا التي تقع على المحاور.وهذه هي 450 درجة، و540 درجة، و1800 درجة، وعدد لا حصر له من الآخرين...) لقد حسبت (بشكل صحيح!) الزاوية الموجودة على الدائرة - ولا توجد مشاكل في الوظائف.

ولكن بالتحديد مع قياس الزوايا تحدث المشاكل والأخطاء... كيفية تجنبها مكتوبة في الدرس: كيفية رسم (عد) أي زاوية على دائرة مثلثية بالدرجات. ابتدائية ولكنها مفيدة جدًا في مكافحة الأخطاء.)

إليك درسًا: كيفية رسم (قياس) أي زاوية على دائرة مثلثية بالراديان - سيكون الأمر أكثر روعة. من حيث الإمكانيات. لنفترض أننا حددنا على أي من أنصاف المحاور الأربعة تقع الزاوية

يمكنك القيام بذلك في بضع ثوان. أنا لا أمزح! فقط في بضع ثوان. حسنًا، بالطبع، ليس فقط 345 بي...) و121 و16 و-1345. أي معامل عدد صحيح مناسب للإجابة الفورية.

وإذا الزاوية

فقط فكر! يتم الحصول على الإجابة الصحيحة خلال 10 ثوانٍ لأي قيمة كسرية للراديان بمقامها اثنان.

في الواقع، هذا هو الشيء الجيد في الدائرة المثلثية. لأن القدرة على العمل مع بعضالزوايا التي تتوسع إليها تلقائيًا مجموعة لا نهائيةزوايا

إذن، نكون قد فرزنا خمس زوايا من سبعة عشر.

المجموعة الثانية من الزوايا.

المجموعة التالية من الزوايا هي الزوايا 30° و45° و60°. لماذا بالضبط هذه، وليس، على سبيل المثال، 20 و 50 و 80؟ نعم، بطريقة ما اتضح الأمر بهذه الطريقة... تاريخيًا.) علاوة على ذلك سنرى لماذا هذه الزوايا جيدة.

يبدو جدول جيب التمام وظل التمام لهذه الزوايا كما يلي:

زاوية س (على درجات)	0	30	45	60	90
زاوية س (بالراديان)	0
الخطيئة س	0				1
كوس س	1				0
تيراغرام س	0		1		اسم
سي تي جي اكس	اسم		1		0

لقد تركت القيمتين 0° و 90° من الجدول السابق لتكتمل الصورة.) لكي ترى أن هذه الزوايا تقع في الربع الأول وتزداد. من 0 إلى 90. سيكون هذا مفيدًا لنا لاحقًا.

يجب تذكر قيم الجدول للزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة. احفظها إذا أردت. ولكن هنا أيضًا هناك فرصة لجعل حياتك أسهل.) انتبه إلى ذلك قيم الجدول الجيبيةهذه الزوايا. وقارن مع قيم جدول جيب التمام...

نعم! هم نفس!فقط رتبت بترتيب عكسي. زيادة الزوايا (0، 30، 45، 60، 90) - وقيم الجيب يزيدمن 0 إلى 1. يمكنك التحقق باستخدام الآلة الحاسبة. وقيم جيب التمام هي تتناقصمن 1 إلى الصفر. علاوة على ذلك، القيم نفسها نفس.بالنسبة للزوايا 20، 50، 80 هذا لن ينجح...

وهذا هو الاستنتاج المفيد. يكفي أن نتعلم ثلاثةقيم الزوايا 30، 45، 60 درجة. وتذكر أنهم يزيدون على جيب التمام وينقصون على جيب التمام. نحو جيب التمام.) يلتقيان في منتصف الطريق (45 درجة)، أي أن جيب 45 درجة يساوي جيب تمام 45 درجة. ومن ثم يتباعدان مرة أخرى... يمكن تعلم ثلاثة معانٍ، أليس كذلك؟

مع الظلال - ظل التمام، الصورة هي نفسها تمامًا. واحد لواحد. فقط المعاني مختلفة. هذه القيم (ثلاثة أخرى!) تحتاج أيضًا إلى تعلمها.

حسنا، تقريبا كل الحفظ قد انتهى. لقد فهمت (نأمل) كيفية تحديد قيم الزوايا الخمس الواقعة على المحور وتعلمت قيم الزوايا 30، 45، 60 درجة. المجموع 8.

يبقى التعامل مع المجموعة الأخيرة المكونة من 9 زوايا.

وهذه هي الزوايا:
120 درجة؛ 135 درجة؛ 150 درجة؛ 210 درجة؛ 225 درجة؛ 240 درجة؛ 300 درجة؛ 315 درجة؛ 330 درجة. بالنسبة لهذه الزوايا، عليك أن تعرف جدول الجيب، وجدول جيب التمام، وما إلى ذلك.

كابوس أليس كذلك؟)

وإذا أضفت زوايا هنا، مثل: 405 درجة، أو 600 درجة، أو 3000 درجة والعديد والعديد من الزوايا الجميلة المتساوية؟)

أو الزوايا بالراديان؟ على سبيل المثال، حول الزوايا:

وغيرها الكثير يجب أن تعرف الجميع.

الشيء المضحك هو معرفة هذا الجميع - مستحيل من حيث المبدأ.إذا كنت تستخدم الذاكرة الميكانيكية.

وهذا أمر سهل للغاية، بل إنه في الحقيقة أمر بدائي - إذا كنت تستخدم دائرة مثلثية. بمجرد أن تتقن التعامل مع الدائرة المثلثية، يمكن بسهولة وبطريقة أنيقة اختزال كل تلك الزوايا المخيفة بالدرجات إلى الزوايا القديمة الجيدة:

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تحتوي هذه المقالة جداول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. أولاً، سنقدم جدولاً بالقيم الأساسية للدوال المثلثية، أي جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا 0، 30، 45، 60، 90، ...، 360 درجة ( 0، π/6، π/4، π/3، π/2، …، 2πراديان). بعد ذلك، سنقدم جدول الجيب وجيب التمام، بالإضافة إلى جدول الظل وظل التمام لـ V. M. Bradis، ونوضح كيفية استخدام هذه الجداول عند إيجاد قيم الدوال المثلثية.

التنقل في الصفحة.

جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا 0، 30، 45، 60، 90، ... درجات

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. إس إيه تيلياكوفسكي - م: التعليم، 1990 - 272 صفحة: مريض - ISBN 5-09-002727-7
• باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
• الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف - الطبعة الرابعة عشرة - م: التعليم، 2004. - 384 صفحة: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.
• براديس V. M.جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام: للتعليم العام. كتاب مدرسي المؤسسات. - الطبعة الثانية. - م: حبارى، 1999.- 96 ص: مريض. ردمك 5-7107-2667-2

جدول الدوال المثلثية الأساسية للزوايا 0، 30، 45، 60، 90، ... درجات

من التعريفات المثلثية للدوال $\sin$ و $\cos$ و $\tan$ و $\cot$، يمكنك معرفة قيمها للزوايا $0$ و $90$ درجة:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ غير محددة؛

$\sin90°=1$، $\cos90°=0$، $\cot90°=0$، $\tan 90°$ غير محدد.

في دورة الهندسة المدرسية، عند دراسة المثلثات القائمة، يجد المرء الدوال المثلثية للزوايا $0°$، $30°$، $45°$، $60°$، $90°$.

تم العثور على قيم الدوال المثلثية للزوايا المشار إليها بالدرجات والراديان، على التوالي ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) لسهولة الحفظ والاستخدام يتم إدخالها في جدول يسمى الجدول المثلثي, جدول القيم الأساسية للدوال المثلثيةوما إلى ذلك وهلم جرا.

عند استخدام صيغ التخفيض، يمكن توسيع الجدول المثلثي إلى زاوية $360°$، وبالتالي $2\pi$ راديان:

باستخدام الخصائص الدورية للدوال المثلثية، يمكن حساب وتسجيل كل زاوية، والتي ستختلف عن الزاوية المعروفة بالفعل بمقدار $360°$، في جدول. على سبيل المثال، الدالة المثلثية للزاوية $0°$ سيكون لها نفس القيمة للزاوية $0°+360°$، وللزاوية $0°+2 \cdot 360°$، وللزاوية $0°+3 \cdot 360°$ وإلخ.

باستخدام جدول المثلثات، يمكنك تحديد قيم جميع زوايا دائرة الوحدة.

في دورة الهندسة المدرسية، من المفترض أن تحفظ القيم الأساسية للدوال المثلثية المجمعة في جدول مثلثي لتسهيل حل المسائل المثلثية.

باستخدام الجدول

يكفي في الجدول العثور على الدالة المثلثية المطلوبة وقيمة الزاوية أو الراديان التي يجب حساب هذه الدالة من أجلها. عند تقاطع الصف مع الوظيفة والعمود مع القيمة، نحصل على القيمة المطلوبة للدالة المثلثية للوسيطة المحددة.

في الشكل، يمكنك معرفة كيفية العثور على قيمة $\cos⁡60°$، والتي تساوي $\frac(1)(2)$.

يتم استخدام الجدول المثلثي الممتد بنفس الطريقة. وميزة استخدامه، كما ذكرنا سابقًا، هي حساب الدالة المثلثية لأي زاوية تقريبًا. على سبيل المثال، يمكنك بسهولة العثور على القيمة $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

جداول براديس للدوال المثلثية الأساسية

يتم توفير القدرة على حساب الدالة المثلثية لأي قيمة زاوية على الإطلاق لقيمة عدد صحيح من الدرجات وقيمة عدد صحيح من الدقائق من خلال استخدام جداول Bradis. على سبيل المثال، ابحث عن قيمة $\cos⁡34°7"$. يتم تقسيم الجداول إلى جزأين: جدول قيم $\sin$ و$\cos$ وجدول قيم $ \tan$ و$\cot$.

تتيح جداول Bradis الحصول على قيم تقريبية للدوال المثلثية بدقة تصل إلى 4 منازل عشرية.

استخدام جداول براديس

باستخدام جداول براديس للجيب، نجد $\sin⁡17°42"$. للقيام بذلك، في العمود الأيسر من جدول الجيب وجيب التمام نجد قيمة الدرجات - $17°$، وفي السطر العلوي نجد قيمة الدقائق - $42"$. عند تقاطعهم نحصل على القيمة المطلوبة:

$\sin17°42"=0.304$.

للعثور على القيمة $\sin17°44"$ تحتاج إلى استخدام التصحيح على الجانب الأيمن من الجدول. في هذه الحالة، إلى القيمة $42"$ الموجودة في الجدول، تحتاج إلى إضافة تصحيح بقيمة $2 "$، وهو ما يعادل $0.0006$. نحصل على:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.

للعثور على القيمة $\sin17°47"$ نستخدم أيضًا التصحيح على الجانب الأيمن من الجدول، فقط في هذه الحالة نأخذ القيمة $\sin17°48"$ كأساس ونطرح التصحيح لـ $1"$ :

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

عند حساب جيب التمام، نقوم بإجراءات مماثلة، لكننا ننظر إلى الدرجات في العمود الأيمن، والدقائق في العمود السفلي من الجدول. على سبيل المثال، $\cos20°=0.9397$.

لا توجد تصحيحات لقيم الظل حتى $90°$ وظل التمام ذو الزاوية الصغيرة. على سبيل المثال، لنجد $\tan 78°37"$، والتي وفقًا للجدول تساوي $4.967$.

جدول قيم الدوال المثلثية

ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية هذا علامة √ لتمثيل الجذر التربيعي. للإشارة إلى الكسر، استخدم الرمز "/".

أنظر أيضامواد مفيدة:

ل تحديد قيمة الدالة المثلثية، ابحث عنه عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال، جيب 30 درجة - نبحث عن العمود الذي يحمل العنوان sin (sine) ونجد تقاطع عمود الجدول هذا مع الصف "30 درجة"، عند تقاطعهما نقرأ النتيجة - نصف. وبالمثل نجد جيب التمام 60درجات، جيب 60درجات (مرة أخرى، عند تقاطع عمود الخطيئة وخط الـ 60 درجة نجد القيمة جا 60 = √3/2)، إلخ. تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال للزوايا "الشعبية" الأخرى بنفس الطريقة.

جيب بي، جيب التمام بي، بي الظل والزوايا الأخرى في راديان

الجدول أدناه لجيب التمام وجيب التمام والظل مناسب أيضًا للعثور على قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها تعطى بالراديان. للقيام بذلك، استخدم العمود الثاني من قيم الزوايا. بفضل هذا، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشائعة من الدرجات إلى الراديان. على سبيل المثال، دعونا نوجد الزاوية التي قياسها 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالراديان تحتها. 60 درجة تساوي π/3 راديان.

يعبر الرقم pi بشكل لا لبس فيه عن اعتماد المحيط على درجة قياس الزاوية. وبالتالي، فإن راديان باي يساوي 180 درجة.

يمكن تحويل أي رقم يتم التعبير عنه بـ pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال pi (π) بـ 180.

أمثلة:
1. جيب بي.
الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
وبالتالي، فإن جيب باي هو نفس جيب 180 درجة ويساوي صفر.

2. جيب التمام بي.
كوس π = كوس 180 = -1
وبالتالي، فإن جيب تمام باي هو نفس جيب تمام 180 درجة وهو يساوي سالب واحد.

3. الظل بي
تيراغرام π = تيراغرام 180 = 0
وبالتالي، فإن ظل الزاوية باي هو نفس ظل الزاوية 180 درجة ويساوي الصفر.

جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا 0 - 360 درجة (القيم المشتركة)

قيمة الزاوية α (درجات)	قيمة الزاوية α بالراديان (عبر بي)	خطيئة (التجويف)	كوس (جيب التمام)	tg (الظل)	ctg (ظل التمام)	ثانية (قاطع)	com.cosec (قاطع التمام)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

إذا تمت الإشارة إلى شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية بدلاً من قيمة الدالة (ظل (tg) 90 درجة، ظل التمام (ctg) 180 درجة)، فبالنسبة لقيمة معينة لقياس درجة الزاوية تكون الدالة ليس لها قيمة محددة. إذا لم يكن هناك شرطة، فإن الخلية فارغة، مما يعني أننا لم ندخل القيمة المطلوبة بعد. نحن مهتمون بالاستعلامات التي يأتي إلينا المستخدمون من أجلها ونكمل الجدول بقيم جديدة، على الرغم من حقيقة أن البيانات الحالية حول قيم جيب التمام والجيوب والظلال لقيم الزوايا الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

جدول قيم الدوال المثلثية sin، cos، tg للزوايا الأكثر شيوعًا
0، 15، 30، 45، 60، 90... 360 درجة
(القيم الرقمية "حسب جداول براديس")

قيمة الزاوية α (بالدرجات)	قيمة الزاوية α بالراديان	الخطيئة (جيب)	كوس (جيب التمام)	تيراغرام (الظل)	CTG (ظل التمام)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

في القرن الخامس قبل الميلاد، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مفارقاته الشهيرة، وأشهرها مفارقات “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات حتى يومنا هذا؛ ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات ... وقد شارك التحليل الرياضي، ونظرية المجموعات، والمناهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة هذه القضية ; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد، أو لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. من الناحية الفيزيائية، يبدو أن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. يجري أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. وإذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، فمن الصحيح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابق في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى وحدات متبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية المساوية للأولى، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن هذا ليس الحل الكامل للمشكلة. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذه المعضلة، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة، لكن لا يمكنك تحديد المسافة منهما. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في وقت واحد، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة (بالطبع، لا تزال بحاجة إلى بيانات إضافية للحسابات، وسوف يساعدك علم المثلثات ). وما أريد أن ألفت انتباهًا خاصًا إليه هو أن النقطتين في الزمن ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. وهذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة، التي لا ذكاء لها من كلمة "تماماً". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

بغض النظر عن مدى إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي، أنا في المنزل"، أو بالأحرى، "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بشكل لا ينفصم بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة الراتب الحسابي". دعونا نوضح لعالم الرياضيات أنه لن يحصل على الأوراق النقدية المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة تحتوي على كميات مختلفة من الأوساخ، والتركيب البلوري وترتيب الذرات فريد لكل عملة...

والآن لدي السؤال الأكثر إثارة للاهتمام: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي "لا يمكن تصوره كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي رموز رسومية نكتب بها الأرقام، وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم". لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نتعرف على ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع أرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذا، في أنظمة الأعداد المختلفة، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع الرقم الكبير 12345، لا أريد أن أخدع رأسي، فلنفكر في الرقم 26 من المقال الذي عنه. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. ففي نهاية المطاف، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة العملية الرياضية على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحبة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). ولا أعتقد أن هذه الفتاة حمقاء ولا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوية لإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.