عند النظر في الفضاء الإقليدي، قدمنا ​​تعريف الصورة التربيعية. باستخدام بعض المصفوفة

يتم إنشاء كثير الحدود من الدرجة الثانية للنموذج

وهو ما يسمى بالشكل التربيعي الناتج عن مصفوفة مربعة أ.

ترتبط الأشكال التربيعية ارتباطًا وثيقًا بأسطح الدرجة الثانية في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n. المعادلة العامة لهذه الأسطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد في نظام الإحداثيات الديكارتية لها الشكل:

السطر العلوي ليس أكثر من الصيغة التربيعية، إذا وضعنا x 1 =x، x 2 =y، x 3 =z:

- مصفوفة متماثلة (a ij = a ji)

دعونا نفترض على العموم أن كثير الحدود

هناك شكل خطي. إذن المعادلة العامة للسطح هي مجموع الصورة التربيعية والصورة الخطية وبعض الثوابت.

تتمثل المهمة الرئيسية لنظرية الأشكال التربيعية في تقليل الشكل التربيعي إلى أبسط شكل ممكن باستخدام تحويل خطي غير منحط للمتغيرات أو، بمعنى آخر، تغيير الأساس.

دعونا نتذكر أنه عند دراسة الأسطح من الدرجة الثانية، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه من خلال تدوير محاور الإحداثيات يمكننا التخلص من المصطلحات التي تحتوي على المنتج xy أو xz أو yz أو x i x j (ij). علاوة على ذلك، من خلال الترجمة المتوازية لمحاور الإحداثيات، يمكنك التخلص من المصطلحات الخطية وتقليل المعادلة السطحية العامة في النهاية إلى النموذج:

في حالة الشكل التربيعي، اختزاله إلى الشكل

يسمى اختزال الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني.

إن دوران محاور الإحداثيات ليس أكثر من استبدال أساس بآخر، أو بمعنى آخر، تحويل خطي.

دعونا نكتب الصورة التربيعية في صورة المصفوفة. للقيام بذلك، دعونا نتخيل ذلك على النحو التالي:

ل(س،ص،ض) = س(أ 11 س+أ 12 ص+أ 13 ض)+

ص(أ 12 س+أ 22 ص+أ 23 ض)+

ض(أ 13 س+أ 23 ص+أ 33 ض)

دعونا نقدم مصفوفة - عمود

ثم
- حيثX T =(x,y,z)

تدوين المصفوفة من الشكل التربيعي. من الواضح أن هذه الصيغة صالحة في الحالة العامة:

من الواضح أن الصورة القانونية للصيغة التربيعية تعني المصفوفة أله مظهر قطري:

لنفكر في بعض التحويلات الخطية X = SY، حيث S عبارة عن مصفوفة مربعة من الرتبة n، والمصفوفات - العمودان X وY هي:

تسمى المصفوفة S بمصفوفة التحويل الخطية. دعونا نلاحظ بشكل عابر أن أي مصفوفة من الرتبة n مع أساس معين تتوافق مع عامل خطي معين.

التحويل الخطي X = SY يستبدل المتغيرات x 1، x 2، x 3 بمتغيرات جديدة y 1، y 2، y 3. ثم:

حيث ب = S T A S

تتلخص مهمة الاختزال إلى الشكل الأساسي في إيجاد مصفوفة انتقالية S بحيث تأخذ المصفوفة B شكلاً قطريًا:

إذن، الشكل التربيعي مع المصفوفة أبعد التحول الخطي للمتغيرات يذهب إلى شكل تربيعي من متغيرات جديدة مع المصفوفة في.

دعنا ننتقل إلى العوامل الخطية. تتوافق كل مصفوفة A على أساس معين مع عامل خطي معين أ . من الواضح أن هذا المشغل لديه نظام معين من القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. علاوة على ذلك، نلاحظ أنه في الفضاء الإقليدي، سيكون نظام المتجهات الذاتية متعامدًا. لقد أثبتنا في المحاضرة السابقة أنه في أساس المتجهات الذاتية، يكون لمصفوفة العامل الخطي شكل قطري. الصيغة (*)، كما نتذكر، هي صيغة تحويل مصفوفة العامل الخطي عند تغيير الأساس. لنفترض أن المتجهات الذاتية للعامل الخطي أ مع المصفوفة A - هذه هي المتجهات y 1، y 2، ...، y n.

وهذا يعني أنه إذا تم أخذ المتجهات الذاتية y 1, y 2, ..., y n كأساس، فإن مصفوفة العامل الخطي في هذا الأساس ستكون قطرية

أو B = S -1 A S، حيث S هي مصفوفة الانتقال من الأساس الأولي ( ه) إلى الأساس ( ذ). علاوة على ذلك، في الأساس المتعامد، ستكون المصفوفة S متعامدة.

الذي - التي. لتقليل الشكل التربيعي إلى شكل قانوني، من الضروري العثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للعامل الخطي A، الذي يحتوي في الأساس الأصلي على المصفوفة A، التي تولد الشكل التربيعي، انتقل إلى أساس المتجهات الذاتية وبناء الشكل التربيعي في نظام الإحداثيات الجديد.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة. دعونا نفكر في خطوط الدرجة الثانية.

أو

من خلال تدوير محاور الإحداثيات والترجمة المتوازية اللاحقة للمحاور، يمكن اختزال هذه المعادلة إلى النموذج (يتم إعادة تصميم المتغيرات والمعاملات x 1 = x، x 2 = y):

1)
إذا كان الخط مركزيا، 1  0،  2  0

2)
إذا كان الخط غير مركزي، أي واحد منi = 0.

دعونا نتذكر أنواع خطوط الدرجة الثانية. خطوط المركز:

خطوط خارج المركز:

5) × 2 = 2 خطين متوازيين؛

6) × 2 = 0 خطين مندمجين؛

7) ص 2 = 2 بكسل القطع المكافئ.

الحالات 1)، 2)، 7) تهمنا.

دعونا نلقي نظرة على مثال محدد.

إحضار معادلة الخط إلى الشكل القانوني وإنشائها:

5x 2 + 4xy + 8y 2 - 32x - 56y + 80 = 0.

مصفوفة الشكل التربيعي هي
. المعادلة المميزة:

جذورها:

دعونا نجد المتجهات الذاتية:

عندما  1 = 4:
ش 1 = -2و 2 ; ش 1 = 2ج، ش 2 = -ج أو ز 1 = ج 1 (2 أنا – ي).

عندما  2 = 9:
2و 1 = ش 2 ; ش 1 = ج، ش 2 = 2ج أو ز 2 = ج 2 ( أنا+2ي).

نحن تطبيع هذه النواقل:

لنقم بإنشاء مصفوفة تحويل خطية أو مصفوفة انتقالية للأساس g 1، g 2:

- مصفوفة متعامدة!

صيغ تحويل الإحداثيات لها الشكل:

أو

لنعوض بالخطوط في معادلتنا ونحصل على:

لنقم بإجراء ترجمة متوازية لمحاور الإحداثيات. للقيام بذلك، حدد المربعين الكاملين لـ x 1 وy 1:

دعونا نشير
. ثم ستأخذ المعادلة الشكل: 4x 2 2 + 9y 2 2 = 36 أو

هذا قطع ناقص بنصف المحورين 3 و 2. لنحدد زاوية دوران محاور الإحداثيات وتحولها من أجل بناء شكل بيضاوي في النظام القديم.

ص حاد:

تحقق: عند x = 0: 8y 2 - 56y + 80 = 0 y 2 - 7y + 10 = 0. وبالتالي y 1,2 = 5؛ 2

عندما y = 0: 5x 2 – 32x + 80 = 0 لا توجد جذور هنا، أي لا توجد نقاط تقاطع مع المحور X!

يسمى الشكل التربيعي الكنسي إذا كان كل شيء على سبيل المثال.

يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام التحويلات الخطية. في الممارسة العملية، عادة ما تستخدم الطرق التالية.

1. التحول المتعامد للفضاء:

أين - القيم الذاتية للمصفوفة أ.

2. طريقة لاغرانج - الاختيار التسلسلي للمربعات الكاملة. على سبيل المثال، إذا

ثم يتم تنفيذ إجراء مماثل مع الصيغة التربيعية إلخ. إذا كان كل شيء في الشكل التربيعي ولكن ثم بعد التحويل الأولي، يعود الأمر إلى الإجراء الذي تم النظر فيه. لذلك، إذا، على سبيل المثال، فإننا نفترض

3. طريقة جاكوبي (في حالة وجود جميع القاصرين الكبار الشكل التربيعي يختلف عن الصفر):

يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C = 0، A ≠0، B ≠ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ≠0، C ≠0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازٍ لمحور Oy

ب = ج = 0، أ ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور أوي

أ = ج = 0، ب ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

يمكن تحديد خط مستقيم في الفضاء:

1) كخط تقاطع طائرتين، أي. نظام المعادلات:

أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 ض + د 1 = 0، أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 ض + د 2 = 0؛ (3.2)

2) بنقطتيها M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) ، فإن الخط المستقيم الذي يمر بهما يُعطى بالمعادلات:

= ; (3.3)

3) النقطة M 1 (x 1, y 1, z 1) التابعة لها والمتجه أ(م، ن، ع)، على خط واحد معها. ثم يتم تحديد الخط المستقيم بالمعادلات:

. (3.4)

يتم استدعاء المعادلات (3.4). المعادلات الكنسية للخط.

المتجه أمُسَمًّى ناقلات الاتجاه على التوالي.

نحصل على المعادلات البارامترية للخط من خلال مساواة كل من العلاقات (3.4) بالمعلمة t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

حل النظام (3.2) كنظام من المعادلات الخطية للمجاهول سو ذ، نصل إلى معادلات الخط في التوقعاتأو ل نظرا لمعادلات الخط المستقيم:

س = MZ + أ، ص = نيوزيلندي + ب. (3.6)

من المعادلات (3.6) يمكننا الذهاب إلى المعادلات القانونية وإيجادها ضمن كل معادلة ومعادلة القيم الناتجة:

.

من المعادلات العامة (3.2) يمكنك الانتقال إلى المعادلات الأساسية بطريقة أخرى، إذا وجدت أي نقطة على هذا الخط ومتجه اتجاهه ن= [ن 1 , ن 2 ] حيث ن 1 (أ1، ب1،ج1) و ن 2 (أ 2 , ب 2 , ج 2 ) - ناقلات عادية لمستويات معينة. إذا كان أحد القواسم م، نأو رفي المعادلات (3.4) يتبين أنه يساوي الصفر، فيجب أن يكون بسط الكسر المقابل مساويًا للصفر، أي. نظام

يعادل النظام ; مثل هذا الخط المستقيم عمودي على محور الثور.

نظام يعادل النظام x = x 1, y = y 1; الخط المستقيم يوازي محور أوز.

كل معادلة من الدرجة الأولى فيما يتعلق بالإحداثيات س، ص، ض

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + D = 0 (3.1)

يعرف المستوى، والعكس: يمكن تمثيل أي مستوى بالمعادلة (3.1)، والتي تسمى معادلة الطائرة.

المتجه ن(أ، ب، ج) يسمى المتعامد على المستوى ناقلات الطبيعيطائرة. وفي المعادلة (3.1)، فإن المعاملات A، B، C لا تساوي 0 في نفس الوقت.

حالات خاصة للمعادلة (3.1):

1. D = 0، Ax+By+Cz = 0 - يمر المستوى عبر نقطة الأصل.

2. C = 0، Ax+By+D = 0 - المستوى موازي لمحور Oz.

3. C = D = 0، Ax + By = 0 - يمر المستوى عبر محور Oz.

4. B = C = 0، Ax + D = 0 - المستوى موازٍ لمستوى Oyz.

معادلات المستويات الإحداثية: x = 0، y = 0، z = 0.

قد ينتمي الخط المستقيم إلى المستوى وقد لا ينتمي إليه. إنه ينتمي إلى مستوى إذا كانت نقطتان منه على الأقل تقعان على المستوى.

إذا كان الخط لا ينتمي إلى المستوى، فيمكن أن يكون موازيا له أو متقاطعا معه.

يكون المستقيم موازيًا للمستوى إذا كان موازيًا لخط آخر يقع في ذلك المستوى.

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم مع المستوى بزوايا مختلفة، ويكون عموديًا عليه على وجه الخصوص.

يمكن تحديد موقع النقطة المتعلقة بالمستوى بالطريقة التالية: تنتمي إليها أو لا تنتمي إليها. تنتمي النقطة إلى المستوى إذا كانت تقع على خط مستقيم يقع في هذا المستوى.

في الفضاء، يمكن أن يتقاطع خطان، أو يكونا متوازيين، أو متقاطعين.

يتم الحفاظ على التوازي بين المقاطع الخطية في الإسقاطات.

وإذا تقاطعت الخطوط فإن نقاط تقاطع إسقاطاتها التي تحمل نفس الاسم تكون على نفس خط الاتصال.

خطوط التقاطع لا تنتمي إلى نفس المستوى، أي. لا تتقاطع أو متوازية.

في الرسم، تتميز إسقاطات الخطوط التي تحمل الاسم نفسه، بشكل منفصل، بخصائص الخطوط المتقاطعة أو المتوازية.

الشكل البيضاوي.القطع الناقص هو موضع هندسي للنقاط التي يكون فيها مجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين (البؤرتين) هو نفس القيمة الثابتة لجميع نقاط القطع الناقص (يجب أن تكون هذه القيمة الثابتة أكبر من المسافة بين البؤرتين).

أبسط معادلة للقطع الناقص

أين أ- المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص، ب- المحور شبه الصغير للقطع الناقص. إذا 2 ج- المسافة بين البؤر، ثم بين أ, بو ج(لو أ > ب) هناك علاقة

أ 2 - ب 2 = ج 2 .

إن انحراف الشكل الناقص هو نسبة المسافة بين بؤرتي هذا الشكل الناقص إلى طول محوره الرئيسي

القطع الناقص لديه انحراف ه < 1 (так как ج < أ)، وتقع بؤرتها على المحور الرئيسي.

معادلة القطع الزائد الموضحة في الشكل.

خيارات:
أ، ب – أنصاف المحاور؛
- المسافة بين البؤر،
- الانحراف.
- الخطوط المقاربة.
- مديرات المدرسة.
المستطيل الموضح في وسط الصورة هو المستطيل الرئيسي، وأقطاره هي خطوط مقاربة.

تتكون هذه الطريقة من اختيار المربعات الكاملة في الصورة التربيعية بشكل تسلسلي.

دع الصيغة التربيعية تعطى

أذكر أنه بسبب تماثل المصفوفة

,

هناك نوعان من الحالات الممكنة:

1. يختلف أحد معاملات المربعات على الأقل عن الصفر. دون فقدان العمومية، سنفترض (يمكن تحقيق ذلك دائمًا عن طريق إعادة ترقيم المتغيرات بشكل مناسب)؛

2. جميع المعاملات

ولكن هناك معامل يختلف عن الصفر (للتحديد فليكن).

في الحالة الأولىتحويل الشكل التربيعي على النحو التالي:

,

ويتم الإشارة إلى جميع المصطلحات الأخرى بواسطة.

هو الشكل التربيعي للمتغيرات (n-1).

يعاملونها بنفس الطريقة وهكذا.

لاحظ أن

الحالة الثانيةاستبدال المتغيرات

ينزل إلى الأول.

مثال 1: اختزال الصورة التربيعية إلى الصورة القانونية من خلال تحويل خطي غير منحط.

حل. دعونا نجمع كل المصطلحات التي تحتوي على المجهول وأضفهم إلى مربع كامل

.

(لأن .)

أو

(3)

أو


(4)

ومن مجهول
استمارة سوف تأخذ النموذج. التالي نفترض

أو

ومن مجهول
استمارة سوف تأخذ الشكل الكنسي

دعونا نحل مسألة المساواة (3) فيما يتعلق
:

أو

التنفيذ المتسلسل للتحولات الخطية
و
، أين

,

لديه مصفوفة

التحويل الخطي للمجهول
يعطي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني (٤). المتغيرات
المرتبطة بالمتغيرات الجديدة
علاقات

تعرفنا على تحلل LU في ورشة العمل 2_1

دعونا نتذكر البيانات من ورشة العمل 2_1

صياغات(انظر L.5، ص. 176)

تم تصميم هذا البرنامج النصي لفهم دور LU في طريقة Lagrange، حيث تحتاج إلى العمل معه في مفكرة المحرر باستخدام الزر F9.

ومن الأفضل في المهام المرفقة أدناه إنشاء دوال M خاصة بك والتي تساعد في حساب وفهم مسائل الجبر الخطي (في إطار هذا العمل)

Ax=X."*A*X % نحصل على الصيغة التربيعية

Ax=simple(Ax) % قم بتبسيطها

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% ابحث عن تحلل LU دون إعادة ترتيب صفوف المصفوفة A

% عند تحويل المصفوفة إلى نموذج الصف

بدون تبديل الصفوف، نحصل على مصفوفة M1 وU3

يتم الحصول على % U من A U3=M1*A،

٪ مع هذه المصفوفة من التحولات الأولية

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% نحصل على U3=M1*A، حيث

4.0000 -2.0000 2.0000

% من M1 من السهل الحصول على L1 عن طريق تغيير العلامات

% في العمود الأول في كافة الصفوف ما عدا الأول.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 هكذا

A_=L1*U % هذا هو تحليل LU الذي نحتاجه

٪ العناصر الموجودة على القطر الرئيسي U -

% هي معاملات المربعات y i ^2

% في الصورة التربيعية المحولة

% في حالتنا، هناك معامل واحد فقط

% تعني أنه في الإحداثيات الجديدة سيكون هناك 4y 1 2 تربيع فقط،

% للمعاملات 0y 2 2 و 0y 3 2 المتبقية تساوي الصفر

% أعمدة المصفوفة L1 هي تحلل Y بواسطة X

% في العمود الأول نرى y1=x1-0.5x2+0.5x3

% للثانية نرى y2=x2; وفقا للثالث y3=x3.

% إذا تم نقل L1،

% وهو T=L1."

% T - مصفوفة الانتقال من (X) إلى (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 - مصفوفة ذات صيغة تربيعية محولة

% ملاحظة U=A2*L1." وA=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% إذن، حصلنا على التحلل A_=L1* A2*L1." أو A_=T."* A2*T

% تظهر تغير المتغيرات

% y1=x1-0.5x2+0.5x3

٪ وتمثيل الشكل التربيعي في الإحداثيات الجديدة

A_=T."*A2*T % T=L1." مصفوفة الانتقال من (X) إلى (Y): Y=TX

يجب أن يتطابق isequal(A,A_) % مع A الأصلي

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % ابحث عن مصفوفة الانتقال من (Y) إلى (X)

% دعونا نجد التحول،

% الفأس التربيعي=X."*A*X

% إلى النوع الجديد Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (س1."*أ*س1)*ص=ص." (ش) * ص

آي =4*y1^2 - y2*y3

×1 - ×2/2 + ×3/2

٪ مصفوفة التحويل الثانية،

% وهو أسهل بكثير في التجميع.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2، X=R*Z

R=Q1*Q2% تحويل خطي غير منحط

% إحضار مصفوفة المشغل إلى النموذج الأساسي.

محدد det(R) % لا يساوي الصفر - التحويل غير منحط

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 حسنًا

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

دعونا نصوغ خوارزمية لتقليل الأرباع شكل جذري إلى الشكل الكنسي عن طريق التحويل المتعامد:

التعريف 10.4.عرض الكنسيتسمى الصيغة التربيعية (10.1) بالشكل التالي: . (10.4)

دعونا نبين أنه في أساس المتجهات الذاتية، يأخذ الشكل التربيعي (10.1) شكلاً قانونيًا. يترك

- المتجهات الذاتية المقيسة المقابلة للقيم الذاتية 1 , 2 , 3المصفوفات (10.3) على أساس متعامد. ثم ستكون مصفوفة الانتقال من الأساس القديم إلى الأساس الجديد هي المصفوفة

. في الأساس الجديد المصفوفة أسيأخذ الشكل القطري (9.7) (بخاصية المتجهات الذاتية). وبالتالي، تحويل الإحداثيات باستخدام الصيغ:

,

في الأساس الجديد نحصل على الشكل القانوني للشكل التربيعي بمعاملات مساوية للقيم الذاتية 1، 2، 3:

ملاحظة 1. من وجهة نظر هندسية، فإن تحويل الإحداثيات المدروس هو دوران لنظام الإحداثيات، يجمع بين محاور الإحداثيات القديمة والمحاور الجديدة.

ملاحظة 2. إذا تطابقت أي قيم ذاتية للمصفوفة (10.3)، فيمكننا إضافة متجه وحدة متعامد لكل منها إلى المتجهات الذاتية المتعامدة المقابلة، وبالتالي بناء أساس يأخذ فيه الشكل التربيعي الشكل القانوني.

دعونا نأتي بالصيغة التربيعية إلى الصيغة القانونية

س² + 5 ذ² + ض² + 2 xy + 6xz + 2yz.

مصفوفتها لها الشكل في المثال الذي تمت مناقشته في المحاضرة 9، تم العثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية المتعامدة لهذه المصفوفة:

لنقم بإنشاء مصفوفة انتقالية للأساس من هذه المتجهات:

(يتم تغيير ترتيب المتجهات بحيث تشكل ثلاثيًا أيمنًا). دعونا نحول الإحداثيات باستخدام الصيغ:

.

لذلك، يتم تقليل الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني بمعاملات تساوي القيم الذاتية لمصفوفة الشكل التربيعي.

المحاضرة 11.

منحنيات الدرجة الثانية. القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ وخصائصهما ومعادلاتهما القانونية. تحويل معادلة من الدرجة الثانية إلى الشكل القانوني.

التعريف 11.1.منحنيات الدرجة الثانيةعلى المستوى تسمى خطوط تقاطع المخروط الدائري مع المستويات التي لا تمر برأسه.

إذا كان مثل هذا المستوى يتقاطع مع جميع أجيال تجويف واحد من المخروط، فسيظهر في القسم الشكل البيضاوي، عند تقاطع مولدات كلا التجويفين - القطع الزائد، وإذا كان مستوى القطع موازيا لأي مولد، فإن قسم المخروط يكون كذلك القطع المكافئ.

تعليق. يتم تحديد جميع منحنيات الدرجة الثانية بواسطة معادلات من الدرجة الثانية في متغيرين.

الشكل البيضاوي.

التعريف 11.2.الشكل البيضاويهي مجموعة النقاط في المستوى التي يكون عندها مجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين F 1 و F الخدع، هي قيمة ثابتة.

تعليق. عندما تتطابق النقاط F 1 و F 2- يتحول القطع الناقص إلى دائرة.

دعونا نشتق معادلة القطع الناقص باختيار النظام الديكارتي

ذ م (س، ص)الإحداثيات بحيث المحور أوهتزامن مع خط مستقيم F 1 F 2، البداية

إحداثيات ص 1 ص 2 – مع منتصف القطعة F 1 F 2. دع طول هذا

الجزء يساوي 2 مع، ثم في نظام الإحداثيات المختار

ف 1 أو ف 2 س F 1 (-ج, 0), F 2 (ج، 0). دع هذه النقطة م(س، ص) تقع على القطع الناقص، و

مجموع المسافات منه إلى F 1 و F 2 يساوي 2 أ.

ثم ص 1 + ص 2 = 2أ، لكن ،

لذلك، إدخال التدوين ب² = أ²- ج² وبعد إجراء تحويلات جبرية بسيطة نحصل على معادلة القطع الناقص الأساسية: (11.1)

التعريف 11.3.الانحرافمن القطع الناقص يسمى الحجم ه=ق/أ (11.2)

التعريف 11.4.مديرة المدرسة د طالقطع الناقص المقابلة للتركيز واو واونسبة إلى المحور الوحدة التنظيميةعمودي على المحور أوهعلى المسافة أ/همن الأصل.

تعليق. مع اختيار مختلف لنظام الإحداثيات، يمكن تحديد القطع الناقص ليس عن طريق المعادلة الأساسية (11.1)، ولكن عن طريق معادلة من الدرجة الثانية من نوع مختلف.

خصائص القطع الناقص:

1) يحتوي القطع الناقص على محورين متعامدين من التماثل (المحاور الرئيسية للقطع الناقص) ومركز التماثل (مركز القطع الناقص). إذا تم إعطاء شكل بيضاوي بمعادلة قانونية، فإن محاوره الرئيسية هي محاور الإحداثيات، ومركزه هو الأصل. حيث أن أطوال القطع المتكونة من تقاطع القطع الناقص مع المحاور الرئيسية تساوي 2 أو 2 ب (2أ>2ب)، فإن المحور الرئيسي الذي يمر عبر البؤرتين يسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويسمى المحور الرئيسي الثاني المحور الأصغر.

2) القطع الناقص بأكمله موجود داخل المستطيل

3) القطع الناقص الانحراف ه< 1.

حقًا،

4) تقع أدلة القطع الناقص خارج القطع الناقص (حيث أن المسافة من مركز القطع الناقص إلى الدليل هي أ/ه، أ ه<1, следовательно, أ/ه>أ، والقطع الناقص بأكمله يقع في مستطيل)

5) نسبة المسافة ص طمن نقطة القطع الناقص إلى التركيز واوإلى المسافة د طمن هذه النقطة إلى الدليل المقابل للتركيز يساوي انحراف القطع الناقص.

دليل.

المسافات من النقطة م (س، ص)يمكن تمثيل ما يصل إلى بؤر القطع الناقص على النحو التالي:

لنقم بإنشاء معادلات الدليل:

(د 1), (د 2). ثم من هنا ص ط / د ط = ه، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

القطع الزائد.

التعريف 11.5.مقارنة مبالغ فيهاهي مجموعة النقاط في المستوى التي يكون لها معامل الفرق في المسافات إلى نقطتين ثابتتين F 1 و F 2 من هذه الطائرة، ودعا الخدع، هي قيمة ثابتة.

دعونا نشتق المعادلة القانونية للقطع الزائد عن طريق القياس مع اشتقاق معادلة القطع الناقص، باستخدام نفس الترميز.

|ص 1 - ص 2 | = 2أ، من حيث إذا دلنا ب² = ج² - أ²، من هنا يمكنك الحصول عليه

- معادلة القطع الزائد الكنسي. (11.3)

التعريف 11.6.الانحرافالقطع الزائد يسمى كمية ه = ج/أ.

التعريف 11.7.مديرة المدرسة د طالقطع الزائد المقابل للتركيز واو، يسمى خطًا مستقيمًا يقع في نفس المستوى النصفي واونسبة إلى المحور الوحدة التنظيميةعمودي على المحور أوهعلى المسافة أ/همن الأصل.

خصائص القطع الزائد:

1) القطع الزائد له محورين تماثل (المحاور الرئيسية للقطع الزائد) ومركز التماثل (مركز القطع الزائد). وفي هذه الحالة، يتقاطع أحد هذه المحاور مع القطع الزائد عند نقطتين، تسمى رؤوس القطع الزائد. ويسمى المحور الحقيقي للقطع الزائد (المحور أوهللاختيار الكنسي لنظام الإحداثيات). المحور الآخر ليس له نقاط مشتركة مع القطع الزائد ويسمى محوره التخيلي (في الإحداثيات الأساسية - المحور الوحدة التنظيمية). وعلى جانبيه يوجد الفرعان الأيمن والأيسر للقطع الزائد. تقع بؤر القطع الزائد على محوره الحقيقي.

2) فروع القطع الزائد لها خطان مقاربان تحددهما المعادلات

3) إلى جانب القطع الزائد (11.3)، يمكننا النظر في ما يسمى بالقطع الزائد المترافق، والذي تحدده المعادلة الأساسية

حيث يتم تبديل المحور الحقيقي والخيالي مع الحفاظ على نفس الخطوط المقاربة.

4) انحراف القطع الزائد ه> 1.

5) نسبة المسافة ص طمن نقطة القطع الزائد إلى التركيز واوإلى المسافة د طمن هذه النقطة إلى الدليل المقابل للتركيز يساوي انحراف القطع الزائد.

يمكن إجراء الإثبات بنفس طريقة إجراء القطع الناقص.

القطع المكافئ.

التعريف 11.8.القطع المكافئهي مجموعة النقاط على المستوى الذي تكون بعدها المسافة إلى نقطة ثابتة Fهذا المستوى يساوي المسافة إلى خط مستقيم ثابت. نقطة Fمُسَمًّى ركزالقطع المكافئ، والخط المستقيم هو ناظرة.

لاشتقاق معادلة القطع المكافئ، نختار المعادلة الديكارتية

نظام الإحداثيات بحيث يكون أصله هو الوسط

D M(x,y) عمودي فد، تم حذفه من التركيز على التوجيه

r su، وكانت محاور الإحداثيات متوازية و

عمودي على المخرج. دع طول الجزء فد

D O F x يساوي ر. ثم من المساواة ص = ديتبع ذلك

بسبب ال

وباستخدام التحويلات الجبرية، يمكن اختزال هذه المعادلة إلى الصورة: ذ² = 2 بكسل, (11.4)

مُسَمًّى معادلة القطع المكافئ الكنسي. ضخامة رمُسَمًّى معاملالقطع المكافئة.

خصائص القطع المكافئ:

1) القطع المكافئ له محور تماثل (محور القطع المكافئ). النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع المحور تسمى قمة القطع المكافئ. إذا تم إعطاء القطع المكافئ بمعادلة قانونية، فإن محوره هو المحور أوه،والرأس هو أصل الإحداثيات.

2) يقع القطع المكافئ بأكمله في النصف الأيمن من المستوى أوه.

تعليق. باستخدام خصائص أدلة القطع الناقص والقطع الزائد وتعريف القطع المكافئ، يمكننا إثبات العبارة التالية:

مجموعة النقاط على المستوى الذي العلاقة هالمسافة إلى نقطة ثابتة ما إلى المسافة إلى خط مستقيم ما هي قيمة ثابتة، وهي عبارة عن قطع ناقص (مع ه<1), гиперболу (при ه>1) أو القطع المكافئ (مع ه=1).

معلومات ذات صله.