لتتعلم كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر، عليك أن تفهم ما هي الأعداد الطبيعية والأولية والمعقدة.
العدد الطبيعي هو أي رقم يستخدم لحساب العناصر الكاملة.
إذا كان العدد الطبيعي لا يمكن تقسيمه إلا على نفسه وعلى واحد، فإنه يسمى عدد أولي.
جميع الأعداد الطبيعية يمكن قسمتها على نفسها وعلى الواحد، ولكن العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2، أما الأعداد الأخرى فيمكن قسمتها على اثنين. لذلك، الأعداد الفردية فقط هي التي يمكن أن تكون أولية.
هناك الكثير من الأعداد الأولية، ولا توجد قائمة كاملة بها. للعثور على GCD، من المناسب استخدام جداول خاصة بهذه الأرقام.
معظم الأعداد الطبيعية يمكن قسمتها ليس فقط على الواحد نفسه، ولكن أيضًا على أعداد أخرى. لذلك، على سبيل المثال، يمكن تقسيم الرقم 15 على 3 و 5 آخرين. وتسمى جميعها مقسومات الرقم 15.
وبالتالي فإن المقسوم عليه لأي A هو الرقم الذي يمكن قسمته عليه دون باقي. إذا كان العدد يحتوي على أكثر من عاملين طبيعيين، فإنه يسمى مركبًا.
يمكن أن يحتوي الرقم 30 على قواسم مثل 1، 3، 5، 6، 15، 30.
ستلاحظ أن 15 و30 لهما نفس المقسومات 1، 3، 5، 15. القاسم المشترك الأكبر لهذين الرقمين هو 15.
وبالتالي، فإن القاسم المشترك للرقمين A وB هو الرقم الذي يمكن قسمتهما بالكامل. الأكبر يمكن اعتباره الحد الأقصى للعدد الإجمالي الذي يمكن تقسيمه.
لحل المشاكل يتم استخدام النقش المختصر التالي:
جي سي دي (أ ؛ ب).
على سبيل المثال، جي سي دي (15؛ 30) = 30.
لتدوين جميع قواسم عدد طبيعي، استخدم الترميز:
د (15) = (1، 3، 5، 15)
جي سي دي (9، 15) = 1
في هذا المثال، الأعداد الطبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط. يطلق عليهم اسم أولي نسبيًا، لذا فإن الوحدة هي القاسم المشترك الأكبر لهم.
كيفية العثور على القاسم المشترك الأكبر للأرقام
للعثور على GCD لعدة أرقام، تحتاج إلى:
ابحث عن جميع قواسم كل عدد طبيعي بشكل منفصل، أي قم بتحليلها إلى عوامل (أعداد أولية)؛
تحديد جميع العوامل المتطابقة لأرقام معينة؛
اضربهم معًا.
على سبيل المثال، لحساب القاسم المشترك الأكبر للرقمين 30 و56، عليك كتابة ما يلي:
لتجنب الارتباك، من المناسب كتابة العوامل باستخدام الأعمدة الرأسية. على الجانب الأيسر من الخط، تحتاج إلى وضع الأرباح، وعلى الجانب الأيمن - المقسوم عليه. تحت الأرباح يجب أن تشير إلى الحاصل الناتج.
لذلك، في العمود الأيمن سيكون هناك جميع العوامل اللازمة للحل.
يمكن وضع خط تحت المقسومات المتطابقة (العوامل الموجودة) للراحة. وينبغي إعادة كتابتها ومضاعفتها وكتابة القاسم المشترك الأكبر.
جي سي دي (30؛ 56) = 2 * 5 = 10
هذا هو مدى سهولة العثور على القاسم المشترك الأكبر للأعداد. إذا تدربت قليلاً، يمكنك القيام بذلك بشكل تلقائي تقريباً.
لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.
على سبيل المثال:
الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛
الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.
يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .
يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.
مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة، يوجد دائمًا أصغر واحد، وهو في هذه الحالة هو 90. ويسمى هذا الرقم الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).
يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.
التبادلية:
الترابط:
على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).
يمكن التعبير عن الخطوط المقاربة من حيث بعض الوظائف النظرية للأعداد.
لذا، وظيفة تشيبيشيف. و:
يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).
ما يترتب على قانون توزيع الأعداد الأولية.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:
1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:
2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:
أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).
ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:
بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.
مثال:
يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:
قاعدة.للعثور على LCM لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:
- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛
- نقل التحليل الأكبر (حاصل ضرب عوامل العدد الأكبر من المعطاة) إلى عوامل حاصل الضرب المطلوب، ثم إضافة عوامل من التحليل لأرقام أخرى لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛
— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.
أي عددين طبيعيين أو أكثر يكون لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.
يتم إضافة العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) إلى العامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج الناتج (84) هو أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و28.
يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150، 250، 300...) وهو مضاعف لجميع الأرقام المعطاة.
الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.
قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.
خيار اخر:
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:
1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛
4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛
5) مضاعفة هذه القوى.
مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.
حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1،
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:
عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
LCM - المضاعف المشترك الأقل. الرقم الذي سيقسم جميع الأرقام المعطاة دون باقي.
على سبيل المثال، إذا كانت الأرقام المعطاة هي 2، 3، 5، فإن م م م = 2*3*5=30
وإذا كانت الأعداد المعطاة هي 2،4،8، فإن المضاعف المشترك الأصغر = 8
ما هو GCD؟
GCD هو القاسم المشترك الأكبر. رقم يمكن استخدامه لقسمة كل رقم من الأرقام المحددة دون ترك باقي.
ومن المنطقي أنه إذا كانت الأرقام المعطاة أولية، فإن gcd يساوي واحدًا.
وإذا كانت الأرقام المعطاة هي 2، 4، 8، فإن GCD يساوي 2.
لن نصفها بعبارات عامة، ولكن سنعرض الحل ببساطة بمثال.
بالنظر إلى الرقمين 126 و44. ابحث عن GCD.
ثم إذا حصلنا على رقمين من النموذج
ثم يتم حساب GCD كـ
حيث min هي القيمة الدنيا لجميع قوى الرقم pn
و NOC كما
حيث max هي القيمة القصوى لجميع قوى الرقم pn
بالنظر إلى الصيغ المذكورة أعلاه، يمكنك بسهولة إثبات أن GCD لعددين أو أكثر سيكون مساويًا لواحد، عندما يكون هناك أرقام أولية نسبيًا بين زوج واحد على الأقل من القيم المحددة.
لذلك، من السهل الإجابة على سؤال ما يساوي GCD لأرقام مثل 3، 25412، 3251، 7841، 25654، 7 دون حساب أي شيء.
الرقمان 3 و 7 هما كوبريم، وبالتالي فإن gcd = 1
لنلقي نظرة على مثال.
بالنظر إلى ثلاثة أرقام 24654 و 25473 و 954
وينقسم كل رقم إلى العوامل التالية
أو إذا كتبناها بصيغة بديلة
أي أن GCD لهذه الأرقام الثلاثة يساوي ثلاثة
حسنًا، يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر بطريقة مماثلة، وهو يساوي
سيساعدك الروبوت الخاص بنا في حساب GCD وLCM لأي أعداد صحيحة، اثنان أو ثلاثة أو عشرة.
دعونا نجد القاسم المشترك الأكبر لـ GCD (36؛ 24)
خطوات الحل
الطريقة رقم 1
36
- عدد مركب
24
- عدد مركب
دعونا نوسع العدد 36
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- قابل للقسمة على العدد الأولي 2
9:
3
=
3
- يقبل القسمة على العدد الأولي 3.
دعونا نحلل الرقم 24 إلى العوامل الأولية وتمييزها باللون الأخضر. نبدأ في تحديد المقسوم عليه من الأعداد الأولية، بدءًا من أصغر عدد أولي 2، حتى يتبين أن حاصل القسمة هو عدد أولي
24:
2
= 12
- قابل للقسمة على العدد الأولي 2
12:
2
= 6
- قابل للقسمة على العدد الأولي 2
6:
2
=
3
نكمل القسمة لأن 3 هو عدد أولي
2) ظللها باللون الأزرق واكتب العوامل المشتركة
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
العوامل المشتركة (36؛ 24): 2، 2، 3
3) الآن، للعثور على GCD تحتاج إلى ضرب العوامل المشتركة
الجواب: جي سي دي (36؛ 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
الطريقة رقم 2
1) أوجد جميع المقسومات الممكنة للأعداد (36، 24). للقيام بذلك، سنقوم بالتناوب بتقسيم الرقم 36 إلى قواسم من 1 إلى 36، والرقم 24 إلى قواسم من 1 إلى 24. إذا كان الرقم قابلاً للقسمة بدون باقي، فإننا نكتب المقسوم عليه في قائمة المقسومات.
لرقم 36
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
بالنسبة للرقم 24 لنكتب جميع الحالات التي يكون فيها قابلاً للقسمة بدون باقي:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) دعونا نكتب جميع القاسم المشترك للأرقام (36؛ 24) ونظلل أكبرها باللون الأخضر، سيكون هذا هو القاسم المشترك الأكبر لـ gcd للأرقام (36؛ 24)
العوامل المشتركة للأعداد (36؛ 24): 1، 2، 3، 4، 6، 12
الجواب: جي سي دي (36، 24) = 12
دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر (52؛ 49)
خطوات الحل
الطريقة رقم 1
1) دعونا نحول الأعداد إلى عوامل أولية. للقيام بذلك، دعونا نتحقق مما إذا كان كل رقم أوليًا (إذا كان الرقم أوليًا، فلا يمكن تحليله إلى عوامل أولية، وهو بحد ذاته تحليل)
52
- عدد مركب
49
- عدد مركب
دعونا نوسع الرقم 52 إلى العوامل الأولية وتمييزها باللون الأخضر. نبدأ في تحديد المقسوم عليه من الأعداد الأولية، بدءًا من أصغر عدد أولي 2، حتى يتبين أن حاصل القسمة هو عدد أولي
52:
2
= 26
- قابل للقسمة على العدد الأولي 2
26:
2
=
13
- قابل للقسمة على العدد الأولي 2.
أكملنا عملية القسمة لأن 13 هو عدد أولي
دعونا نوسع العدد 49 إلى العوامل الأولية وتمييزها باللون الأخضر. نبدأ في تحديد المقسوم عليه من الأعداد الأولية، بدءًا من أصغر عدد أولي 2، حتى يتبين أن حاصل القسمة هو عدد أولي
49:
7
=
7
- يقبل القسمة على العدد الأولي 7.
أكملنا القسمة لأن 7 هو عدد أولي
2) أولا، اكتب عوامل العدد الأكبر، ثم العدد الأصغر. دعونا نوجد العوامل المفقودة، ونسلط الضوء باللون الأزرق في مفكوك العدد الأصغر على العوامل التي لم تكن متضمنة في مفكوك العدد الأكبر.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) الآن، للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، عليك ضرب عوامل الرقم الأكبر في العوامل المفقودة، المميزة باللون الأزرق
المضاعف المشترك الأصغر (52 ؛ 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
الطريقة رقم 2
1) أوجد جميع المضاعفات الممكنة للأرقام (52، 49). للقيام بذلك، سنقوم بضرب الرقم 52 بالأرقام من 1 إلى 49 بالتناوب، والرقم 49 بالأرقام من 1 إلى 52.
حدد كافة المضاعفات 52 باللون الأخضر:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
حدد كافة المضاعفات 49 باللون الأخضر:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) دعونا نكتب جميع المضاعفات المشتركة للأعداد (52؛ 49) ونظلل أصغرها باللون الأخضر، سيكون هذا أصغر مضاعف مشترك للأعداد (52؛ 49).
المضاعفات المشتركة للأرقام (52، 49): 2548
الجواب: المضاعف المشترك الأصغر (52؛ 49) = 2548
القاسم المشترك الأكبر
التعريف 2
إذا كان العدد الطبيعي a قابلاً للقسمة على عدد طبيعي $b$، فإن $b$ يسمى مقسومًا على $a$، ويسمى $a$ مضاعف $b$.
اجعل $a$ و $b$ عددين طبيعيين. يُطلق على الرقم $c$ القاسم المشترك لكل من $a$ و$b$.
مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $a$ و $b$ محدودة، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه المقسومات أكبر من $a$. وهذا يعني أن من بين هذه المقسومات أكبر وهو ما يسمى القاسم المشترك الأكبر للأعداد $a$ و$b$ ويرمز له بالرمز التالي:
$GCD\(a;b)\ أو \D\(a;b)$
للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين تحتاج إلى:
- ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.
مثال 1
ابحث عن GCD للأرقام $121$ و$132.$
242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$
132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
اختر الأرقام المضمنة في توسيع هذه الأرقام
242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$
132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.
$GCD=2\cdot 11=22$
مثال 2
أوجد gcd للأحاديات $63$ و $81$.
سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا:
دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية
63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
نختار الأرقام التي تم تضمينها في توسيع هذه الأرقام
63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.
$GCD=3\cdot 3=9$
يمكنك العثور على GCD لرقمين بطريقة أخرى، وذلك باستخدام مجموعة من قواسم الأرقام.
مثال 3
ابحث عن GCD للأرقام $48$ و $60$.
حل:
دعونا نجد مجموعة المقسومات للرقم $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
الآن لنجد مجموعة قواسم الرقم $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
دعونا نجد تقاطع هذه المجموعات: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة المقسومات المشتركة للأرقام $48$ و$60 $. أكبر عنصر في هذه المجموعة سيكون الرقم 12$. وهذا يعني أن القاسم المشترك الأكبر للأرقام $48$ و$60$ هو $12$.
تعريف القروض المتعثرة
التعريف 3
المضاعفات الشائعة للأعداد الطبيعية$a$ و$b$ هو عدد طبيعي مضاعف لكل من $a$ و$b$.
المضاعفات الشائعة للأرقام هي أرقام قابلة للقسمة على الأرقام الأصلية دون باقي، على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام $25$ و$50$، فإن المضاعفات المشتركة ستكون الأرقام $50,100,150,200$، إلخ.
يُطلق على أصغر مضاعف مشترك اسم المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بالرمز LCM$(a;b)$ أو K$(a;b).$
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، عليك:
- تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
- اكتب العوامل التي هي جزء من العدد الأول وأضف إليها العوامل التي هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول
مثال 4
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام $99$ و$77$.
سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا
تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
99 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 11$
اكتب العوامل المتضمنة في الأول
أضف إليها مضاعفات هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول
ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
غالبًا ما يكون تجميع قوائم مقسومات الأرقام مهمة كثيفة العمالة. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى الخوارزمية الإقليدية.
البيانات التي تعتمد عليها الخوارزمية الإقليدية:
إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية، و $a\vdots b$، فإن $D(a;b)=b$
إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية مثل $b
باستخدام $D(a;b)= D(a-b;b)$، يمكننا تقليل الأرقام قيد النظر تباعًا حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم أصغر هذه الأرقام سيكون القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $a$ و$b$.
خصائص GCD وLCM
- أي مضاعف مشترك لـ $a$ و$b$ قابل للقسمة على K$(a;b)$
- إذا كان $a\vdots b$، فإن К$(a;b)=a$
إذا كان K$(a;b)=k$ و$m$ عددًا طبيعيًا، فإن K$(am;bm)=km$
إذا كان $d$ هو القاسم المشترك لـ $a$ و $b$، فإن K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
إذا كان $a\vdots c$ و $b\vdots c$، فإن $\frac(ab)(c)$ هو المضاعف المشترك لـ $a$ و $b$
بالنسبة لأي أعداد طبيعية $a$ و$b$، فإن المساواة تنطبق
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
أي قاسم مشترك للأرقام $a$ و $b$ هو قاسم للرقم $D(a;b)$
