በተለያየ መንገድ ሊገለጽ ይችላል (አንድ ነጥብ እና ቬክተር, ሁለት ነጥብ እና ቬክተር, ሶስት ነጥብ, ወዘተ.). የአውሮፕላኑ እኩልነት የተለያዩ ቅርጾች ሊኖረው የሚችለው ይህንን ግምት ውስጥ በማስገባት ነው. እንዲሁም, በተወሰኑ ሁኔታዎች መሰረት, አውሮፕላኖች ትይዩ, ቀጥ ያለ, የተጠላለፉ, ወዘተ ሊሆኑ ይችላሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ እንነጋገራለን. የአውሮፕላን አጠቃላይ እኩልታ እንዴት መፍጠር እንደሚቻል እና ሌሎችንም እንማራለን።

መደበኛ የሒሳብ ቀመር

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው XYZ መጋጠሚያ ሥርዓት ያለው R 3 ጠፈር አለ እንበል። ከመጀመሪያው ነጥብ O የሚለቀቀውን ቬክተር α እንገልፃለን.

በ P ላይ የዘፈቀደ ነጥብ እንደ Q = (x, y, z) እናሳይ። የነጥብ Q ራዲየስ ቬክተር በፒ.ፒ. በዚህ ሁኔታ የቬክተር α ርዝመት ከ р=IαI እና Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) ጋር እኩል ነው.

ይህ ልክ እንደ ቬክተር α ወደ ጎን የሚመራ ዩኒት ቬክተር ነው። α, β እና γ በቬክተር Ʋ እና በቦታ መጥረቢያ x, y, z መካከል የሚፈጠሩት ማዕዘኖች ናቸው. የማንኛውም ነጥብ QϵП በቬክተር Ʋ ላይ ያለው ትንበያ ነው። ቋሚ እሴት, እሱም ከ p: (p,Ʋ) = p(p≥0) ጋር እኩል ነው።

ከላይ ያለው እኩልታ ትርጉም ያለው ሲሆን p=0 ነው። ብቸኛው ነገር በዚህ ሁኔታ ውስጥ ያለው አውሮፕላን P ነጥቡን O (α=0) ያቋርጣል, ይህም የመጋጠሚያዎች መነሻ ነው, እና ከኦ ነጥብ የተለቀቀው አሃድ ቬክተር Ʋ አቅጣጫው ቢኖረውም, ወደ ፒ ቀጥ ያለ ይሆናል. ማለት ቬክተር Ʋ የሚወሰነው ከትክክለኛው ምልክት ጋር ነው. የቀደመው እኩልታ የአውሮፕላናችን P እኩልታ ነው, በቬክተር መልክ ይገለጻል. ግን በቅንጅቶች ውስጥ እንደዚህ ይመስላል

P እዚህ ከ 0 ይበልጣል ወይም እኩል ነው. የአውሮፕላኑን እኩልነት በጠፈር ውስጥ በመደበኛ መልክ አግኝተናል.

አጠቃላይ እኩልታ

እኩልታውን በመጋጠሚያዎች ውስጥ ከዜሮ ጋር በማይመሳሰል በማንኛውም ቁጥር ካባዛነው፣ ያንን አውሮፕላን የሚገልጽ እኩልታ እናገኛለን። ይህን ይመስላል።

እዚህ A፣ B፣ C በአንድ ጊዜ ከዜሮ የሚለያዩ ቁጥሮች ናቸው። ይህ እኩልታ አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ ይባላል።

የአውሮፕላኖች እኩልታዎች. ልዩ ጉዳዮች

ውስጥ እኩልታ አጠቃላይ እይታካለ ሊሻሻል ይችላል። ተጨማሪ ሁኔታዎች. አንዳንዶቹን እንይ።

ኮፊቲፊሽኑ A 0 ነው ብለን እናስብ ይህ ማለት ይህ አውሮፕላን ከተሰጠው የኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው ማለት ነው። በዚህ አጋጣሚ፣ የእኩልታው ቅርፅ ይለወጣል፡ Ву+Cz+D=0።

በተመሳሳይ፣ የእኩልታው ቅርፅ በሚከተሉት ሁኔታዎች ይቀየራል።

• በመጀመሪያ ፣ B = 0 ከሆነ ፣ እኩልታ ወደ Ax + Cz + D = 0 ይቀየራል ፣ ይህም ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩነትን ያሳያል።
• በሁለተኛ ደረጃ፣ C=0 ከሆነ፣ እኩልታው ወደ Ax+By+D=0 ይቀየራል፣ ይህም ከተሰጠው የኦዝ ዘንግ ጋር ትይዩነትን ያሳያል።
• በሶስተኛ ደረጃ፣ D=0 ከሆነ፣ እኩልታው Ax+By+Cz=0 ይመስላል፣ ይህ ማለት አውሮፕላኑ O (መነሻውን) ያቋርጣል ማለት ነው።
• አራተኛ፣ A=B=0 ከሆነ፣ እኩልታው ወደ Cz+D=0 ይቀየራል፣ ይህም ከኦክሲ ጋር ትይዩ ይሆናል።
• አምስተኛው፣ B=C=0 ከሆነ፣ እኩልታው Ax+D=0 ይሆናል፣ይህ ማለት ወደ ኦይዝ የሚሄደው አውሮፕላን ትይዩ ነው።
• ስድስተኛ፣ A=C=0 ከሆነ፣ እኩልታው Ву+D=0 ቅጽ ይወስዳል፣ ማለትም፣ ትይዩነትን ለኦክስዝ ያሳውቃል።

በክፍሎች ውስጥ የእኩልታ አይነት

ቁጥሮች A ፣ B ፣ C ፣ D ከዜሮ ሲለያዩ ፣ የእኩልታ ቅርፅ (0) እንደሚከተለው ሊሆን ይችላል ።

x/a + y/b + z/c = 1፣

በውስጡ a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

በውጤቱም እናገኛለን ይህ አይሮፕላን የኦክስ ዘንግ መጋጠሚያዎች (a,0,0), Oy - (0,b,0) እና Oz - (0,0,c) ጋር በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚያቆራኝ ልብ ሊባል ይገባል. ).

ስሌት x/a +y/b + z/c = 1 ን ከግምት ውስጥ በማስገባት የአውሮፕላኑን አቀማመጥ ከተጠቀሰው የማስተባበሪያ ስርዓት አንፃር በምስላዊ መገመት አስቸጋሪ አይደለም።

መደበኛ የቬክተር መጋጠሚያዎች

መደበኛው ቬክተር n ወደ አውሮፕላኑ ፒ (coefficients) የሆኑ መጋጠሚያዎች አሉት አጠቃላይ እኩልታየተሰጠው አውሮፕላን ማለትም n (A, B, C).

የመደበኛውን n መጋጠሚያዎች ለመወሰን, የተሰጠውን አውሮፕላን አጠቃላይ እኩልነት ማወቅ በቂ ነው.

በክፍል ውስጥ እኩልታ ሲጠቀሙ ፣ እሱም ቅጽ x/a + y/b + z/c = 1 ፣ እንደ አጠቃላይ እኩልታ ሲጠቀሙ ፣ የአንድ የተወሰነ አውሮፕላን ማንኛውንም መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን መፃፍ ይችላሉ (1/a) + 1/ለ + 1/ ጋር)።

የተለመደው ቬክተር የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት እንደሚረዳ ልብ ሊባል የሚገባው ነው. በጣም የተለመዱት የአውሮፕላኖችን perpendicularity ወይም ትይዩነት የሚያካትቱ ችግሮች፣ በአውሮፕላኖች መካከል ማዕዘኖችን ወይም በአውሮፕላኖች እና ቀጥታ መስመሮች መካከል ያሉ ማዕዘኖችን የመፈለግ ችግሮች ያካትታሉ።

በነጥብ እና በተለመደው ቬክተር መጋጠሚያዎች መሰረት የአውሮፕላን እኩልታ አይነት

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር n በተሰጠ አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ አውሮፕላን መደበኛ ይባላል።

በማስተባበር ቦታ (አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት) ኦክሲዝ ተሰጥቷል ብለን እናስብ፡-

• ነጥብ Mₒ ከመጋጠሚያዎች ጋር (xₒ,yₒ,zₒ);
• ዜሮ ቬክተር n=A*i+B*j+C*k.

ነጥቡን Mₒ ከመደበኛው ጋር የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልታ መፍጠር አስፈላጊ ነው.

በጠፈር ውስጥ ማንኛውንም የዘፈቀደ ነጥብ እንመርጣለን እና M (x y, z) እናሳያለን. የማንኛውም ነጥብ M (x,y,z) ራዲየስ ቬክተር r=x*i+y*j+z*k ይሁን፣ እና የነጥቡ ራዲየስ ቬክተር Mₒ (xₒ፣yₒ፣zₒ) - rₒ=xₒ* ይሁን። i+yₒ *j+zₒ*k. ቬክተር MₒM በቬክተር n ቀጥ ያለ ከሆነ ነጥብ M የአንድ የተወሰነ አውሮፕላን ይሆናል። የስክላር ምርትን በመጠቀም የኦርቶዶክሳዊነት ሁኔታን እንፃፍ፡-

[MₒM፣ n] = 0

ከMₒM = r-rₒ ጀምሮ የአውሮፕላኑ የቬክተር እኩልታ ይህን ይመስላል፡-

ይህ እኩልታ ሌላ መልክ ሊኖረው ይችላል። ይህንን ለማድረግ የስክላር ምርት ባህሪያት ጥቅም ላይ ይውላሉ, እና የግራው ግራ በኩል ይለወጣል. = - . ሐ ብለን ከገለጽነው የሚከተለውን እኩልታ እናገኛለን፡- c = 0 ወይም = c፣ ይህም የአውሮፕላኑ ንብረት የሆኑ የተሰጡ ነጥቦች ራዲየስ ቬክተር ላይ ያለውን ትንበያ ቋሚነት የሚገልጽ ነው።

አሁን የአውሮፕላናችንን የቬክተር እኩልታ = 0. ከ r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k፣ እና n = A*i+B *j+С*k፣ አለን።

ከመደበኛው n ጋር ቀጥ ባለ ነጥብ የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልታ አለን፡-

አ*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0።

የአውሮፕላን እኩልታ አይነት በሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎች እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የቬክተር ኮሊነር

ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦች M′ (x′፣y′፣z′) እና M″ (x″፣y″፣z″) እንዲሁም ቬክተር a (a′፣a″፣a‴) እንገልፃለን።

አሁን ለተሰጠው አውሮፕላን በነባር ነጥቦች M' እና M″ በኩል የሚያልፈውን እኩልታ መፍጠር እንችላለን፣ እንዲሁም ማንኛውም ነጥብ M ከተሰጠው ቬክተር ጋር ትይዩ መጋጠሚያዎች (x፣ y፣ z) ሀ.

በዚህ ጊዜ ቬክተሮች M'M=(x-x';y-y';z-z′) እና M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ከቬክተሩ ጋር ኮፕላላር መሆን አለባቸው። a=(a′፣a″፣a‴)፣ ይህም ማለት (M′M፣ M″M፣ a)=0 ማለት ነው።

ስለዚህ የአውሮፕላናችን እኩልነት በህዋ ላይ ይህን ይመስላል።

ሶስት ነጥቦችን የሚያቋርጥ የአውሮፕላን እኩልነት አይነት

ሦስት ነጥቦች አሉን እንበል፡ (x′፣y′፣z′)፣ (x″፣y″፣z″)፣ (x‴፣y‴፣z‴) የአንድ መስመር ያልሆኑ። በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልነት መፃፍ አስፈላጊ ነው. የጂኦሜትሪ ፅንሰ-ሀሳብ እንዲህ ዓይነቱ አውሮፕላን በእውነት እንዳለ ይናገራል, ግን ብቸኛው እና ልዩ ነው. ይህ አውሮፕላን ነጥቡን (x′፣y′፣z′) ስለሚያቋርጥ የእኩልታው ቅርፅ እንደሚከተለው ይሆናል።

እዚህ A, B, C በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ይለያሉ. እንዲሁም የተሰጠው አውሮፕላን ሁለት ተጨማሪ ነጥቦችን ያገናኛል፡(x″፣y″፣z″) እና (x‴፣y‴፣z‴)። በዚህ ረገድ የሚከተሉት ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው.

አሁን ከማይታወቁ u, v, w: ጋር አንድ አይነት ስርዓት መፍጠር እንችላለን:

በእኛ ጉዳይ x,yወይም z እኩልነትን (1) የሚያረካ የዘፈቀደ ነጥብ ሆኖ ይሰራል። በቀመር (1) እና የእኩልታዎች ስርዓት (2) እና (3) ከተሰጠ፣ ከላይ በምስሉ ላይ የተመለከቱት የእኩልታዎች ስርዓት በቬክተር N (A,B,C) ይረካዋል, እሱም ቀላል አይደለም. ለዚህም ነው የዚህ ሥርዓት ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነው።

ያገኘነው ቀመር (1) የአውሮፕላኑን እኩልነት ነው። በትክክል በ 3 ነጥቦች ውስጥ ያልፋል, እና ይሄ ለመፈተሽ ቀላል ነው. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ረድፍ ላይ የእኛን መወሰኛ ወደ ንጥረ ነገሮች ማስፋፋት አለብን. ከመወሰኛዎቹ ነባር ባህሪያት አውሮፕላናችን በአንድ ጊዜ በመጀመሪያ የተሰጡ ሶስት ነጥቦችን (x′፣y′፣z′)፣ (x″፣y″፣z″)፣ (x‴፣y‴፣z‴) ያገናኛል። . ማለትም የተሰጠንን ተግባር ፈትተናል ማለት ነው።

በአውሮፕላኖች መካከል የዲይድራል አንግል

ዳይሄድራል አንግል ቦታን ይወክላል የጂኦሜትሪክ ምስል, ከአንድ ቀጥተኛ መስመር በሚወጡ ሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች የተሰራ. በሌላ አነጋገር ይህ በነዚህ ግማሽ አውሮፕላኖች የተገደበ የቦታ ክፍል ነው.

ከሚከተሉት እኩልታዎች ጋር ሁለት አውሮፕላኖች አሉን እንበል።

ቬክተሮች N=(A,B,C) እና N¹=(A¹,B¹,C¹) በተሰጡት አውሮፕላኖች መሰረት ቀጥ ያሉ መሆናቸውን እናውቃለን። በዚህ ረገድ በቬክተር N እና N¹ መካከል ያለው አንግል φ በእነዚህ አውሮፕላኖች መካከል ካለው አንግል (ዲሄድራል) ጋር እኩል ነው። Scalar ምርትመልክ አለው፡-

NN¹=|N||N¹|cos φ፣

በትክክል ምክንያቱም

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)))።

ያንን 0≤φ≤π ግምት ውስጥ ማስገባት በቂ ነው.

በእርግጥ ሁለት አውሮፕላኖች እርስ በርስ የሚገናኙት ሁለት ማዕዘኖች (ዲሂድራል) ይፈጥራሉ፡ φ 1 እና φ 2። ድምራቸው ከ π (φ 1 + φ 2 = π) ጋር እኩል ነው። ስለ ኮሳይኖቻቸው ፣ ፍጹም እሴቶቻቸው እኩል ናቸው ፣ ግን በምልክት ይለያያሉ ፣ ማለትም ፣ cos φ 1 = -cos φ 2። በቀመር (0) A, B እና C በቁጥሮች -A, -B እና -C ከተተካን, የምናገኘው እኩልታ ተመሳሳይ አውሮፕላን, ብቸኛው, አንግል φ in ይወስናል. cos እኩልታφ=NN 1 /|N||N 1 | በ π-φ ይተካል.

የአንድ ቋሚ አውሮፕላን እኩልነት

አንግል 90 ዲግሪ የሆነባቸው አውሮፕላኖች ቀጥ ብለው ይባላሉ። ከላይ የቀረበውን ቁሳቁስ በመጠቀም የአውሮፕላኑን እኩልነት ከሌላው ጋር በማነፃፀር ማግኘት እንችላለን። ሁለት አውሮፕላኖች አሉን እንበል፡- Ax+By+Cz+D=0 እና A¹x+B¹y+C¹z+D=0። cosφ=0 ከሆነ ቀጥ ያሉ ይሆናሉ ማለት እንችላለን። ይህ ማለት NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 ማለት ነው።

ትይዩ አውሮፕላን እኩልታ

የጋራ ነጥቦችን የሌላቸው ሁለት አውሮፕላኖች ትይዩ ይባላሉ.

ሁኔታው (የእነሱ እኩልታዎች ካለፈው አንቀጽ ጋር አንድ አይነት ናቸው) በእነሱ ላይ ቀጥ ያሉ ቬክተር N እና N¹ ኮሊኔር ናቸው። ይህ ማለት ደግሞ ተሟልተዋል ማለት ነው። የሚከተሉት ሁኔታዎችተመጣጣኝነት፡

አ/A¹=ቢ/ቢ¹=ሐ/ሲ¹።

የተመጣጣኝ ሁኔታዎች ከተራዘሙ - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹፣

ይህ የሚያመለክተው እነዚህ አውሮፕላኖች አንድ ላይ መሆናቸውን ነው. ይህ ማለት እኩልታዎች Ax+By+Cz+D=0 እና A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 አንድን አውሮፕላን ይገልፃሉ።

ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት

አውሮፕላን P አለን እንበል፣ እሱም በቀመር (0) የተሰጠ። መጋጠሚያዎች (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ ካለው ነጥብ ወደ እሱ ያለውን ርቀት መፈለግ ያስፈልጋል። ይህንን ለማድረግ የአውሮፕላኑን P እኩልታ ወደ መደበኛ ቅርፅ ማምጣት ያስፈልግዎታል:

(ρ,v)=р (р≥0)።

በዚህ ሁኔታ ρ (x,y,z) የነጥባችን ራዲየስ ቬክተር ነው ጥ በ P ላይ ይገኛል, p ከዜሮ ነጥብ የተለቀቀው የቋሚ P ርዝመት ነው, v በ ውስጥ የሚገኝ አሃድ ቬክተር ነው. አቅጣጫው ሀ.

የአንዳንድ ነጥብ ρ-ρº ራዲየስ ቬክተር Q = (x ፣ y ፣ z) ፣ የ P ንብረት ፣ እንዲሁም የአንድ የተወሰነ ነጥብ ራዲየስ ቬክተር Q 0 = (xₒ ፣ yₒ ፣ zₒ) እንደዚህ ያለ ቬክተር ነው ፣ ፍጹም ዋጋበ v ላይ ያለው ትንበያ ከርቀት d ጋር እኩል ነው፣ ይህም ከQ 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) እስከ ፒ ማግኘት ያስፈልገዋል:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|፣ ግን

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v)።

ስለዚህ ይሆናል

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

ስለዚህ, የውጤቱን አገላለጽ ፍጹም ዋጋ እናገኛለን, ማለትም, የሚፈለገው መ.

የመለኪያ ቋንቋውን በመጠቀም፣ ግልጽ የሆነውን ነገር እናገኛለን፡-

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²)።

ከሆነ አዘጋጅ ነጥብ Q 0 በአውሮፕላኑ P በሌላኛው በኩል ነው፣ ልክ እንደ መጋጠሚያዎች አመጣጥ፣ ከዚያም በቬክተር ρ-ρ 0 እና v መካከል ስለዚህ ይገኛል፡

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

ነጥቡ Q 0 ፣ ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር ፣ በተመሳሳይ የ P ጎን ላይ የሚገኝ ከሆነ ፣ የተፈጠረው አንግል አጣዳፊ ነው ፣ ማለትም

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

በውጤቱም, በመጀመሪያው ሁኔታ (ρ 0, v)> р, በሁለተኛው (ρ 0, v) ውስጥ ተገኝቷል.<р.

የታንጀንት አውሮፕላን እና የእሱ እኩልነት

ታንጀንት አውሮፕላን Mº በሚገናኝበት ቦታ ላይ በዚህ ቦታ ላይ ወደሚሳሉት ኩርባዎች ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ታንጀቶችን የያዘ አውሮፕላን ነው።

በዚህ አይነት የገጽታ እኩልታ F(x,y,z)=0 የታንጀንት አውሮፕላን በታንጀንት ነጥብ Mº(xº,yº,zº) ላይ ያለው እኩልነት ይህን ይመስላል፡-

F x (xº፣ yº፣zº)(x- xº)+ F x (xº፣ yº፣ zº)(y- yº)+ F x (xº፣ yº፣zº)(z-zº)=0።

ገጹን በግልፅ ከገለፁት z=f (x,y)፣ የታንጀንት አውሮፕላኑ በቀመር ይገለጻል፡-

z-zº =f(xº፣ yº)(x- xº)+f(xº፣ yº)(y- yº)።

የሁለት አውሮፕላኖች መገናኛ

በመጋጠሚያው ሲስተም (አራት ማዕዘን) ኦክሲዝ ተቀምጧል፣ ሁለት አውሮፕላኖች П′ እና П″ ተሰጥተዋል፣ እርስ በርሳቸው የሚገናኙ እና የማይገጣጠሙ። በአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ሲስተም ውስጥ የሚገኝ ማንኛውም አውሮፕላን በአጠቃላይ እኩልታ የሚወሰን በመሆኑ P′ እና P″ የተሰጡት በAx+By+Cz+D′=0 እና A″x እኩልታዎች እንደሆኑ እንገምታለን። +B″y+ С″z+D″=0። በዚህ ሁኔታ የአውሮፕላኑ P" እና መደበኛ n" (A″, B″, C") የአውሮፕላኑ P″ መደበኛ n (A'፣B'፣C) አለን። የእኛ አውሮፕላኖች ትይዩ ስላልሆኑ እና የማይገጣጠሙ በመሆናቸው እነዚህ ቬክተሮች ኮሊንየር አይደሉም. የሂሳብ ቋንቋን በመጠቀም ይህንን ሁኔታ እንደሚከተለው መፃፍ እንችላለን፡ n′≠ n″ ↔ (A′፣B′፣C′) ≠ (λ*A″፣λ*B″፣λ*C″)፣ λϵR. በ P እና P″ መገናኛ ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር በ a ፊደል ይገለጽ፣ በዚህ ሁኔታ a = P′ ∩ P″።

a የሁሉም (የጋራ) አውሮፕላኖች P′ እና P″ ነጥቦችን ያካተተ ቀጥተኛ መስመር ነው። ይህ ማለት የማንኛውም መስመር ነጥብ መጋጠሚያዎች Ax+B'y+Cz+D=0 እና A"x+B"y+C"z+D″=0 እኩልታዎችን ማሟላት አለባቸው ማለት ነው። . ይህ ማለት የነጥቡ መጋጠሚያዎች ለሚከተሉት የእኩልታዎች ስርዓት ከፊል መፍትሄ ይሆናሉ።

በውጤቱም ፣ የዚህ የእኩልታ ስርዓት (አጠቃላይ) መፍትሄ የእያንዳንዱን የመስመሩ ነጥቦች መጋጠሚያዎች ይወስናል ፣ ይህም እንደ P እና P″ መገናኛ ነጥብ ሆኖ የሚያገለግል እና ቀጥተኛውን መስመር ይወስናል ። a በኦክሲዝ (አራት ማዕዘን) መጋጠሚያ ስርዓት በጠፈር ውስጥ።

አንድ አውሮፕላን በየትኛውም የሶስት ነጥብ ህዋ ላይ ለመሳል እነዚህ ነጥቦች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ እንዳይቀመጡ ያስፈልጋል።

በአጠቃላይ የካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ነጥቦቹን አስቡባቸው.

የዘፈቀደ ነጥብ M (x ፣ y ፣ z) በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ከ M 1 ፣ M 2 ፣ M 3 ጋር ለመዋሸት ቬክተሮች ኮፕላላር መሆን አለባቸው ።

(
) = 0

ስለዚህም

በሦስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ፡-

ለአውሮፕላኑ ሁለት ነጥብ እና የቬክተር ኮሊነር የተሰጠው የአውሮፕላን እኩልነት።

ነጥቦቹ M 1 (x 1፣y 1፣z 1)፣M 2 (x 2፣y 2፣z 2) እና ቬክተሩ ይስጥ።
.

በተሰጡት ነጥቦች M 1 እና M 2 ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እና የዘፈቀደ ነጥብ M (x ፣ y ፣ z) ከቬክተሩ ጋር ትይዩ የሆነ ስሌት እንፍጠር። .

ቬክተሮች
እና ቬክተር
ኮፕላላር መሆን አለበት, ማለትም.

(
) = 0

የአውሮፕላን እኩልታ፡-

አንድ ነጥብ እና ሁለት ቬክተር በመጠቀም የአውሮፕላን እኩልታ ፣

ኮሊንየር ወደ አውሮፕላኑ.

ሁለት ቬክተሮች ይሰጡ
እና
, ኮላይነር አውሮፕላኖች. ከዚያም የዘፈቀደ ነጥብ M(x፣ y፣z) የአውሮፕላኑ ንብረት የሆነው ቬክተሮች
ኮፕላላር መሆን አለበት.

የአውሮፕላን እኩልታ፡-

የአውሮፕላን እኩልታ በነጥብ እና በመደበኛ ቬክተር .

ቲዎረም. ነጥብ M በጠፈር ውስጥ ከተሰጠ 0 (ኤክስ 0 , y 0 , ዝ 0 ), ከዚያም በነጥብ ኤም በኩል የሚያልፍ የአውሮፕላኑ እኩልነት 0 ወደ ተለመደው ቬክተር ቀጥ ያለ (ሀ, ለ, ሲ) ቅጹ አለው፡-

ሀ(x – x 0 ) + ለ(y – y 0 ) + ሲ(ዝ – ዝ 0 ) = 0.

ማረጋገጫ። የአውሮፕላኑ ንብረት የሆነ የዘፈቀደ ነጥብ M(x፣ y፣ z) ቬክተር እንሰራለን። ምክንያቱም ቬክተር መደበኛው ቬክተር ነው, ከዚያም በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ነው, እና ስለዚህ, በቬክተሩ ላይ ቀጥ ያለ ነው.
. ከዚያም scalar ምርት

= 0

ስለዚህ, የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በክፍሎች ውስጥ የአውሮፕላን እኩልነት.

በአጠቃላይ እኩልታ Ax + Bi + Cz + D = 0 ከሆነ ሁለቱንም ወገኖች በ (-D) እንከፍላለን

,

መተካት
, የአውሮፕላኑን እኩልነት በክፍሎች እናገኛለን:

ቁጥሮች a, b, c የአውሮፕላኑ መገናኛ ነጥቦች ከ x, y, z መጥረቢያዎች ጋር በቅደም ተከተል ናቸው.

የአውሮፕላን እኩልታ በቬክተር መልክ።

የት

- የአሁኑ ነጥብ ራዲየስ ቬክተር M (x ፣ y ፣ z) ፣

ቀጥ ያለ አቅጣጫ ያለው አሃድ ቬክተር ከመነሻው ወደ አውሮፕላን ወረደ።

፣  እና  በዚህ ቬክተር የ x፣ y፣ z መጥረቢያ ያላቸው ማዕዘኖች ናቸው።

p የዚህ ቀጥ ያለ ርዝመት ነው.

በመጋጠሚያዎች ውስጥ፣ ይህ እኩልነት ይህን ይመስላል፡-

xcos + ycos + zcos - p = 0.

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት.

የዘፈቀደ ነጥብ M 0 (x 0፣ y 0፣ z 0) ወደ አውሮፕላን Ax+By+Cz+D=0 ያለው ርቀት፡-

ለምሳሌ.ነጥብ P (4; -3; 12) ከመነሻው ወደዚህ አውሮፕላን የወረደው የቋሚው መሠረት መሆኑን በማወቅ የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ።

ስለዚህ A = 4/13; ለ = -3/13; C = 12/13፣ ቀመሩን እንጠቀማለን፡-

አ (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + ሲ (ዝ-ዝ 0 ) = 0.

ለምሳሌ.በሁለት ነጥቦች P (2; 0; -1) እና የሚያልፍ የአውሮፕላን እኩልታ ያግኙ

ጥ (1; -1; 3) በአውሮፕላኑ ቀጥ ያለ 3x + 2y - z + 5 = 0።

መደበኛ ቬክተር ለአውሮፕላኑ 3x + 2y – z + 5 = 0
ከተፈለገው አውሮፕላን ጋር ትይዩ.

እናገኛለን፡-

ለምሳሌ.በነጥቦች A (2, -1, 4) እና በአውሮፕላኑ ውስጥ የሚያልፈውን እኩልታ ያግኙ

ቢ(3፣2፣ -1) በአውሮፕላኑ ቀጥ ያለ X + በ + 2ዝ – 3 = 0.

የሚፈለገው የአውሮፕላኑ እኩልታ ቅፅ አለው፡ ሀ x+ለ y+ሐ ዝ+ D = 0፣ ለዚህ ​​አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር (A, B, C) ቬክተር
(1፣ 3፣ -5) የአውሮፕላኑ ነው። የተሰጠን አውሮፕላን፣ ወደሚፈለገው ቀጥ ያለ፣ መደበኛ ቬክተር አለው። (1፣ 1፣ 2) ምክንያቱም ነጥቦች A እና B የሁለቱም አውሮፕላኖች ናቸው, እና አውሮፕላኖቹ እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ናቸው, ከዚያ

ስለዚህ የተለመደው ቬክተር (11, -7, -2). ምክንያቱም ነጥብ A የሚፈለገው አውሮፕላን ነው, ከዚያም መጋጠሚያዎቹ የዚህን አውሮፕላን እኩልነት ማሟላት አለባቸው, ማለትም. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

በአጠቃላይ የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን፡ 11 x - 7y – 2ዝ – 21 = 0.

ለምሳሌ.ነጥብ P (4, -3, 12) ከመነሻው ወደዚህ አውሮፕላን የተወረወረው የፔንዲኩላር መሠረት መሆኑን በማወቅ የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ።

የመደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት
= (4, -3, 12). የሚፈለገው የአውሮፕላኑ እኩልታ ቅፅ አለው፡ 4 x – 3y + 12ዝ+ D = 0. Coefficient D ለማግኘት፣ የነጥብ P መጋጠሚያዎችን ወደ እኩልታው እንተካለን።

16 + 9 + 144 + D = 0

በጠቅላላው፣ የሚፈለገውን እኩልታ እናገኛለን፡ 4 x – 3y + 12ዝ – 169 = 0

ለምሳሌ.የፒራሚዱ ጫፎች መጋጠሚያዎች A 1 (1፤ 0፤ 3)፣ A 2 (2፤ -1፤ 3)፣ A 3 (2፤ 1፤ 1) ተሰጥተዋል።

የጠርዙን A 1 A 2 ርዝመት ይፈልጉ።

በ A 1 A 2 እና A 1 A 4 መካከል ያለውን አንግል ያግኙ።

በ A 1 A 4 እና ፊት A 1 A 2 A 3 መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ።

በመጀመሪያ መደበኛውን ቬክተር ከፊት A 1 A 2 A 3 እናገኛለን እንደ የቬክተሮች መስቀል ምርት
እና
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

በተለመደው ቬክተር እና በቬክተር መካከል ያለውን አንግል እንፈልግ
.

-4 – 4 = -8.

የሚፈለገው አንግል  በቬክተር እና በአውሮፕላኑ መካከል  = 90 0 -  እኩል ይሆናል.

የፊት አካባቢን A 1 A 2 A 3 ይፈልጉ።

የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ።

የአውሮፕላኑን A 1 A 2 A 3 እኩልታ ያግኙ።

በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላን እኩልታ ቀመር እንጠቀም።

2x + 2ይ + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

የኮምፒተር ሥሪትን ሲጠቀሙ " ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት"ከላይ ያለውን ምሳሌ የሚፈታ ማንኛውም የፒራሚድ ጫፎች መጋጠሚያዎች ሊፈታ የሚችል ፕሮግራም ማሄድ ይችላሉ።

ፕሮግራሙን ለመጀመር በአዶው ላይ ሁለቴ ጠቅ ያድርጉ።

በሚከፈተው የፕሮግራም መስኮት ውስጥ የፒራሚዱ ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያስገቡ እና አስገባን ይጫኑ ። በዚህ መንገድ ሁሉም የውሳኔ ሃሳቦች አንድ በአንድ ሊገኙ ይችላሉ.

ማሳሰቢያ፡ ፕሮግራሙን ለማስኬድ ከ MapleV Release 4 ጀምሮ ያለው የ Maple ፕሮግራም ( Waterloo Maple Inc.) በኮምፒውተርዎ ላይ መጫን አለበት።

ሁሉም ቁጥሮች A, B, C እና D ከዜሮ የተለዩ ከሆኑ የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት ይባላል ተጠናቀቀ. አለበለዚያ የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት ይባላል ያልተሟላ.

ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉትን የአውሮፕላኑን አጠቃላይ ያልተሟሉ እኩልታዎች በአራት ማዕዘኑ አስተባባሪ ስርዓት ኦክሲዝ በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ እንይ።

D = 0 ይፍቀዱ, ከዚያም አጠቃላይ ያልተጠናቀቀ የአውሮፕላን እኩልነት አለን ቅጽ . ይህ አውሮፕላን በአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ስርዓት ኦክሲዝ በመነሻው ውስጥ ያልፋል። በእርግጥ የነጥቡን መጋጠሚያዎች በተፈጠረው ያልተሟላ የአውሮፕላኑ እኩልታ ስንተካ ማንነቱ ላይ ደርሰናል።

ለ፣ ወይም፣ ወይም በአጠቃላይ ያልተሟሉ የአውሮፕላኖች፣ ወይም፣ ወይም፣ በቅደም ተከተል አለን። እነዚህ እኩልታዎች አውሮፕላኖችን ከአስተባባሪ አውሮፕላኖች ኦክሲ፣ ኦክስዝ እና ኦይዝ በቅደም ተከተል ይገልፃሉ (ለተመሳሳይ አውሮፕላኖች ሁኔታ ጽሑፉን ይመልከቱ) እና ነጥቦቹን በማለፍ ላይ። እና በተመሳሳይ መልኩ. በ. ከ ነጥብ ጀምሮ የአውሮፕላኑ በሁኔታ ነው ፣ ከዚያ የዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች የአውሮፕላኑን እኩልነት ማሟላት አለባቸው ፣ ማለትም ፣ እኩልነቱ እውነት መሆን አለበት። ከዚህ እናገኛለን። ስለዚህ, የሚፈለገው እኩልነት ቅጹ አለው.

ይህንን ችግር ለመፍታት ሁለተኛውን መንገድ እናቅርብ.

አውሮፕላኑ, እኛ ለመጻፍ የሚያስፈልገንን አጠቃላይ እኩልታ, ከአውሮፕላኑ ኦይዝ ጋር ትይዩ ነው, ከዚያም እንደ መደበኛው ቬክተር የአውሮፕላኑን ኦይዝ መደበኛ ቬክተር መውሰድ እንችላለን. የመጋጠሚያ አውሮፕላን ኦይዝ መደበኛ ቬክተር አስተባባሪ ቬክተር ነው። አሁን የአውሮፕላኑን መደበኛ ቬክተር እና የአውሮፕላኑን ነጥብ አውቀናል, ስለዚህ, አጠቃላይ እኩልታውን መፃፍ እንችላለን (በዚህ ጽሑፍ ቀደም ባለው አንቀጽ ላይ ተመሳሳይ ችግር ፈትተናል)
, ከዚያም የእሱ መጋጠሚያዎች የአውሮፕላኑን እኩልነት ማሟላት አለባቸው. ስለዚህ, እኩልነት እውነት ነው ከየት ነው የምናገኘው. አሁን የሚፈለገውን የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት መጻፍ እንችላለን, ቅጹ አለው.

መልስ፡-

መጽሃፍ ቅዱስ።

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. ከፍተኛ ሂሳብ። ቅጽ አንድ፡ የመስመራዊ አልጀብራ አካላት እና የትንታኔ ጂኦሜትሪ።
• ኢሊን ቪ.ኤ., ፖዝኒያክ ኢ.ጂ. የትንታኔ ጂኦሜትሪ.

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት ለማግኘት በአንድ የተወሰነ ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን እንመርምር።

በጠፈር ውስጥ ቀድሞ የምናውቃቸው ሶስት አስተባባሪ መጥረቢያዎች ይኖሩ - ኦክስ, ወይእና ኦዝ. ጠፍጣፋ ሆኖ እንዲቆይ ወረቀቱን ይያዙ። አውሮፕላኑ ሉህ ራሱ እና በሁሉም አቅጣጫዎች ቀጣይነቱ ይሆናል.

ፍቀድ ፒበጠፈር ውስጥ የዘፈቀደ አውሮፕላን. በእሱ ላይ እያንዳንዱ ቬክተር ይባላል መደበኛ ቬክተር ወደዚህ አውሮፕላን. በተፈጥሮ፣ የምንናገረው ስለ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ነው።

በአውሮፕላኑ ላይ የትኛውም ነጥብ ቢታወቅ ፒእና አንዳንድ መደበኛ ቬክተር ወደ እሱ, ከዚያም በእነዚህ ሁለት ሁኔታዎች በጠፈር ውስጥ ያለው አውሮፕላን ሙሉ በሙሉ ይገለጻል(በተሰጠው ነጥብ አንድ ነጠላ አውሮፕላን በተሰጠው ቬክተር ላይ ቀጥ ብሎ መሳል ይችላሉ). የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ እንደሚከተለው ይሆናል

ስለዚህ, የአውሮፕላኑን እኩልነት የሚወስኑት ሁኔታዎች ናቸው. እራስዎን ለማግኘት የአውሮፕላን እኩልነት, ከላይ ያለውን ቅጽ በመያዝ አውሮፕላኑን ይውሰዱ ፒየዘፈቀደ ነጥብ ኤም ከተለዋዋጭ መጋጠሚያዎች ጋር x, y, ዝ. ይህ ነጥብ የአውሮፕላኑ ከሆነ ብቻ ነው ቬክተር ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ(ምስል 1). ለዚህም, እንደ የቬክተሮች ቋሚነት ሁኔታ, አስፈላጊ እና በቂ ነው, የእነዚህ ቬክተሮች scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል, ይህም ማለት ነው.

ቬክተሩ በሁኔታዎች ይገለጻል. ቀመሩን በመጠቀም የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እናገኛለን :

.

አሁን፣ የቬክተር ቀመርን ስካላር ምርት በመጠቀም scalar ምርቱን በተቀናጀ መልኩ እንገልፃለን፡-

ከ ነጥብ ጀምሮ ኤም (x; y; z)በአውሮፕላኑ ላይ በዘፈቀደ የተመረጠ ነው ፣ ከዚያ የመጨረሻው እኩልታ በአውሮፕላኑ ላይ ባለው የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች ይረካል ። ፒ. ለአንድ ነጥብ ኤን, በተሰጠው አውሮፕላን ላይ አለመዋሸት, ማለትም. እኩልነት (1) ተጥሷል።

ምሳሌ 1.በአንድ ነጥብ ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይፃፉ እና ወደ ቬክተሩ ቀጥ ያሉ።

መፍትሄ። ቀመር (1) እንጠቀም እና እንደገና እንየው፡-

በዚህ ቀመር ውስጥ ቁጥሮች ሀ , ለእና ሲየቬክተር መጋጠሚያዎች, እና ቁጥሮች x0 , y0 እና ዝ0 - የነጥብ መጋጠሚያዎች.

ስሌቶቹ በጣም ቀላል ናቸው-እነዚህን ቁጥሮች ወደ ቀመር እንተካቸዋለን እና እናገኛለን

ማባዛት የሚገባውን ሁሉ እናባዛለን እና ቁጥሮችን እንጨምራለን (ፊደል የሌላቸው)። ውጤት፡

.

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የሚፈለገው የአውሮፕላኑ እኩልታ ከተለዋዋጭ መጋጠሚያዎች ጋር በተያያዘ በመጀመሪያ ዲግሪ በአጠቃላይ እኩልነት እንዲገለጽ ተደረገ x, y, zየአውሮፕላኑ የዘፈቀደ ነጥብ.

ስለዚህ, የቅጹ እኩልታ

ተብሎ ይጠራል አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ .

ምሳሌ 2.በቀመር የተሰጠውን አውሮፕላን አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ይገንቡ .

መፍትሄ። አውሮፕላን ለመሥራት በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹትን ሶስት ነጥቦቹን ማወቅ አስፈላጊ እና በቂ ነው, ለምሳሌ, የአውሮፕላኑን መገናኛ ነጥቦች ከአስተባባሪ መጥረቢያዎች ጋር.

እነዚህን ነጥቦች እንዴት ማግኘት ይቻላል? ከአክሱ ጋር ያለውን የመገናኛ ነጥብ ለማግኘት ኦዝ, በችግር መግለጫው ውስጥ በተሰጠው ቀመር ውስጥ ዜሮዎችን በ X እና Y መተካት ያስፈልግዎታል: x = y= 0. ስለዚህ እናገኛለን ዝ= 6. ስለዚህ, የተሰጠው አውሮፕላን ዘንግውን ያቋርጣል ኦዝነጥብ ላይ ሀ(0; 0; 6) .

በተመሳሳይ መንገድ ከአውሮፕላኑ ጋር የአውሮፕላኑን መገናኛ ነጥብ እናገኛለን ወይ. በ x = ዝ= 0 እናገኛለን y= -3 ማለትም ነጥቡ ለ(0; −3; 0) .

እና በመጨረሻም የአውሮፕላናችን መገናኛ ነጥብ ከዘንጉ ጋር እናገኛለን ኦክስ. በ y = ዝ= 0 እናገኛለን x= 2, ማለትም, አንድ ነጥብ ሲ(2; 0; 0) በእኛ መፍትሄ ላይ በተገኙት ሶስት ነጥቦች ላይ በመመስረት ሀ(0; 0; 6) , ለ(0; -3; 0) እና ሲ(2; 0; 0) የተሰጠውን አውሮፕላን ይገንቡ.

እስቲ አሁን እናስብ የአጠቃላይ አውሮፕላን እኩልታ ልዩ ጉዳዮች. እነዚህ አንዳንድ የእኩልታ (2) ቅንጅቶች ዜሮ ሲሆኑ ነው።

1. መቼ መ= 0 እኩልታ ከነጥቡ መጋጠሚያዎች ጀምሮ በመነሻው ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን ይገልጻል 0 (0; 0; 0) ይህን እኩልታ ያሟሉ.

2. መቼ ሀ= 0 እኩልታ ከዘንጉ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ይገልጻል ኦክስ, የዚህ አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር ወደ ዘንግ ቀጥ ያለ ስለሆነ ኦክስ(በዘንጉ ላይ ያለው ትንበያ ኦክስከዜሮ ጋር እኩል)። በተመሳሳይ, መቼ ለ = 0 አውሮፕላን ዘንግ ጋር ትይዩ ወይ፣ እና መቼ ሐ = 0 አውሮፕላን ዘንግ ጋር ትይዩ ኦዝ.

3. መቼ A=D= 0 ቀመር በዘንግ ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን ይገልጻል ኦክስ, ከዘንጉ ጋር ትይዩ ስለሆነ ኦክስ (ሀ=መ= 0) በተመሳሳይም አውሮፕላኑ በዘንግ በኩል ያልፋል ወይ, እና አውሮፕላኑ በዘንግ በኩል ኦዝ.

4. መቼ A=B= 0 ቀመር ከአስተባበር አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ይገልጻል xOy, ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ስለሆነ ኦክስ (ሀ= 0) እና ወይ (ለ= 0) በተመሳሳይም አውሮፕላኑ ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ነው ዮኦዝ, እና አውሮፕላኑ አውሮፕላኑ ነው xOz.

5. መቼ A=B=D= 0 እኩልታ (ወይም z = 0) የመጋጠሚያውን አውሮፕላን ይገልጻል xOy, ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ስለሆነ xOy (A=B= 0) እና በመነሻው በኩል ያልፋል ( መ= 0) በተመሳሳይም ኢ. y = 0 በጠፈር ውስጥ አስተባባሪ አውሮፕላንን ይገልጻል xOz, እና እኩልታው x = 0 - አስተባባሪ አውሮፕላን ዮኦዝ.

ምሳሌ 3.የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፍጠሩ ፒ, በዘንግ በኩል ማለፍ ወይእና ጊዜ.

መፍትሄ። ስለዚህ አውሮፕላኑ በዘንግ በኩል ያልፋል ወይ. ስለዚህ, በእሷ እኩልታ y= 0 እና ይህ እኩልታ ቅጹ አለው. ቅንጅቶችን ለመወሰን ሀእና ሲነጥቡ የአውሮፕላኑ መሆኑን እንጠቀምበት ፒ .

ስለዚህ, በእሱ መጋጠሚያዎች መካከል እኛ ቀደም ብለን ያገኘነው () በአውሮፕላን እኩልነት ውስጥ ሊተኩ የሚችሉ አሉ. የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንደገና እንመልከት፡-

ኤም0 (2; −4; 3) .

ከነሱ መካክል x = 2 , ዝ= 3. እነሱን ወደ አጠቃላይ እኩልነት እንተካቸዋለን እና የኛን ልዩ ጉዳይ እኩልታ እናገኛለን፡-

2ሀ + 3ሲ = 0 .

ተው 2 ሀበቀመርው በግራ በኩል፣ 3 ይውሰዱ ሲወደ ቀኝ በኩል እና እኛ እናገኛለን

ሀ = −1,5ሲ .

የተገኘውን እሴት በመተካት ላይ ሀወደ እኩልታው ውስጥ, እናገኛለን

ወይም.

ይህ በምሳሌ ሁኔታ ውስጥ የሚፈለገው እኩልነት ነው.

የአውሮፕላኑን እኩልነት ችግር እራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

ምሳሌ 4.አውሮፕላኑ (ዎች) በቀመር ከተሰጡ መጥረቢያዎችን ለማስተባበር ወይም አውሮፕላኖችን ለማቀናጀት አውሮፕላንን (ወይም አውሮፕላኖችን ፣ ከአንድ በላይ ከሆኑ) ይግለጹ።

በፈተና ወቅት ለሚከሰቱ የተለመዱ ችግሮች መፍትሄዎች "በአውሮፕላን ላይ ያሉ ችግሮች: ትይዩነት, ቀጥተኛነት, በአንድ ነጥብ ላይ የሶስት አውሮፕላኖች መገናኛ" በሚለው የመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ይገኛሉ.

በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልነት

ቀደም ሲል እንደተገለፀው አውሮፕላን ለመሥራት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ ከአንድ ነጥብ እና ከተለመደው ቬክተር በተጨማሪ በተመሳሳይ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች ናቸው.

ሶስት የተለያዩ ነጥቦችን ይፍቀዱ, እና, በተመሳሳይ መስመር ላይ አለመዋሸት, ይሰጡ. የተጠቆሙት ሶስት ነጥቦች በአንድ መስመር ላይ ስለማይዋሹ ቬክተሮች ኮሊኔር አይደሉም, እና ስለዚህ በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ማንኛውም ነጥብ ከነጥቦቹ ጋር በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛል, እና ከሆነ እና ቬክተሮች ብቻ ከሆነ, እና ኮፕላላር፣ ማለትም ከዚያ እና መቼ ብቻ የእነዚህ ቬክተሮች ድብልቅ ምርትከዜሮ ጋር እኩል ነው።

የተቀላቀለው ምርት መግለጫን በመጋጠሚያዎች በመጠቀም, የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን

(3)

ወሳኙን ከገለጸ በኋላ፣ ይህ እኩልታ የቅጹ (2) እኩልነት ይሆናል፣ ማለትም የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ.

ምሳሌ 5.በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ የማይዋሹ በሶስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይፃፉ፡-

እና አንድ ቢከሰት የአንድ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ልዩ ሁኔታን ይወስኑ.

መፍትሄ። በቀመር (3) መሠረት አለን።

መደበኛ የአውሮፕላን እኩልታ. ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት

የአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ በቅርጹ የተጻፈው እኩልታ ነው።

የአውሮፕላን እኩልታ. የአውሮፕላን እኩልታ እንዴት እንደሚፃፍ?
የአውሮፕላኖች የጋራ አቀማመጥ. ተግባራት

የቦታ ጂኦሜትሪ ከ "ጠፍጣፋ" ጂኦሜትሪ በጣም የተወሳሰበ አይደለም, እና በቦታ ውስጥ የእኛ በረራዎች በዚህ ጽሑፍ ይጀምራሉ. ርዕሱን በደንብ ለመቆጣጠር ጥሩ ግንዛቤ ሊኖርዎት ይገባል ቬክተሮች, በተጨማሪም, ከአውሮፕላኑ ጂኦሜትሪ ጋር መተዋወቅ ተገቢ ነው - ብዙ ተመሳሳይነት, ብዙ ተመሳሳይነት ይኖረዋል, ስለዚህ መረጃው በተሻለ ሁኔታ እንዲዋሃድ ይደረጋል. በተከታታይ ትምህርቶቼ, 2D ዓለም በአንድ ጽሑፍ ይከፈታል በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ. አሁን ግን ባትማን ጠፍጣፋውን የቲቪ ስክሪን ትቶ ከባይኮኑር ኮስሞድሮም እየጀመረ ነው።

በሥዕሎች እና ምልክቶች እንጀምር. በሥርዓት ፣ አውሮፕላኑ በትይዩግራም መልክ መሳል ይችላል ፣ ይህም የቦታ ስሜት ይፈጥራል-

አውሮፕላኑ ገደብ የለሽ ነው, ነገር ግን የእሱን ቁራጭ ብቻ ለማሳየት እድሉ አለን. በተግባር ፣ ከትይዩው በተጨማሪ ኦቫል ወይም ደመና እንኳን ይሳሉ። ለቴክኒካል ምክንያቶች አውሮፕላኑን በትክክል በዚህ መንገድ እና በትክክል በዚህ ቦታ ላይ ለማሳየት ለእኔ የበለጠ አመቺ ነው. በተግባራዊ ምሳሌዎች ውስጥ የምንመረምረው እውነተኛ አውሮፕላኖች በማንኛውም መንገድ ሊገኙ ይችላሉ - በአእምሯዊ ሁኔታ ስዕሉን በእጆችዎ ይውሰዱ እና በጠፈር ውስጥ ያሽከርክሩት ፣ ለአውሮፕላኑ ማንኛውንም ዝንባሌ ፣ ማንኛውንም ማእዘን ይስጡት።

ስያሜዎች: አውሮፕላኖች ብዙውን ጊዜ በትናንሽ የግሪክ ፊደላት ይገለጻሉ፣ እነሱም ግራ እንዳያጋቡ ይመስላል በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመርወይም ጋር በጠፈር ውስጥ ቀጥተኛ መስመር. ደብዳቤውን መጠቀም ለምጃለሁ። በሥዕሉ ላይ "ሲግማ" የሚለው ፊደል ነው, እና ምንም ቀዳዳ አይደለም. ምንም እንኳን የሆሊ አውሮፕላን በእርግጠኝነት በጣም አስቂኝ ነው.

በአንዳንድ ሁኔታዎች አውሮፕላኖችን ለመሰየም ተመሳሳይ የግሪክ ፊደላትን ከዝቅተኛ የደንበኝነት ምዝገባዎች ጋር ለመጠቀም ምቹ ነው።

አውሮፕላኑ በልዩ ሁኔታ በአንድ መስመር ላይ በማይዋሹ ሦስት የተለያዩ ነጥቦች እንደሚገለጽ ግልጽ ነው። ስለዚህ ፣ የአውሮፕላኖች ባለ ሶስት ፊደል ስያሜዎች በጣም ተወዳጅ ናቸው - በእነሱ ውስጥ ባሉ ነጥቦች ፣ ለምሳሌ ፣ ወዘተ. ብዙ ጊዜ ፊደሎች በቅንፍ ውስጥ ተዘግተዋል፡- , አውሮፕላኑን ከሌላ የጂኦሜትሪክ ምስል ጋር ላለማሳሳት.

ልምድ ላላቸው አንባቢዎች እሰጣለሁ ፈጣን መዳረሻ ምናሌ:

• ነጥብ እና ሁለት ቬክተር በመጠቀም የአውሮፕላን እኩልታ እንዴት መፍጠር ይቻላል?
• ነጥብ እና መደበኛ ቬክተር በመጠቀም የአውሮፕላን እኩልታ እንዴት መፍጠር ይቻላል?

ለረጅም ጊዜ በመጠባበቅ አንታክትም።

አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ

የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት ቅጹ አለው, በተመሳሳይ ጊዜ ውህደቶቹ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም.

በርካታ የንድፈ ሃሳባዊ ስሌቶች እና የተግባር ችግሮች ለሁለቱም ለወትሮው ኦርቶዶክሳዊ መሠረት እና ለጠፈር መሠረት (ዘይቱ ዘይት ከሆነ ወደ ትምህርቱ ይመለሱ) የቬክተሮች ቀጥተኛ (ያልሆኑ) ጥገኛ። የቬክተሮች መሠረት). ለቀላልነት፣ ሁሉም ክስተቶች የተከሰቱት በኦርቶዶክሳዊ መሠረት እና የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ነው ብለን እንገምታለን።

አሁን የእኛን የቦታ ምናብ ትንሽ እንለማመድ. የእርስዎ መጥፎ ከሆነ ምንም አይደለም, አሁን ትንሽ እናዘጋጃለን. በነርቭ ላይ መጫወት እንኳን ስልጠና ያስፈልገዋል.

በጥቅሉ ሲታይ፣ ቁጥሮቹ ከዜሮ ጋር እኩል በማይሆኑበት ጊዜ፣ አውሮፕላኑ ሶስቱን የመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ያቋርጣል። ለምሳሌ፣ እንደዚህ፡-

አሁንም በድጋሚ እደግመዋለሁ አውሮፕላኑ በሁሉም አቅጣጫዎች ላልተወሰነ ጊዜ እንደሚቀጥል እና የተወሰነውን ክፍል ብቻ ለማሳየት እድሉ አለን.

በጣም ቀላል የሆኑትን የአውሮፕላኖች እኩልታዎች እንመልከት፡-

ይህን እኩልታ እንዴት መረዳት ይቻላል? እስቲ አስበው፡- “Z” ለማንኛውም የ “X” እና “Y” እሴቶች ሁልጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ይህ የ"ቤተኛ" አስተባባሪ አውሮፕላን እኩልነት ነው። በእውነቱ ፣ በመደበኛነት ፣ እኩልታው እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል- "x" እና "y" ምን ዓይነት እሴቶች እንደሚወስዱ ግድ እንደማይሰጠን በግልጽ ማየት ከምትችሉበት ቦታ, "z" ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ ነው.

እንደዚሁም፡-
- የመጋጠሚያው አውሮፕላን እኩልነት;
- የመጋጠሚያ አውሮፕላን እኩልነት.

ችግሩን በጥቂቱ እናወሳስበው፣ አውሮፕላንን አስቡበት (እዚህ እና በተጨማሪ በአንቀጹ ውስጥ የቁጥር መለኪያዎች ከዜሮ ጋር እኩል እንዳልሆኑ እንገምታለን። ቅጹን እንደገና እንጽፈው፡. እሱን እንዴት መረዳት ይቻላል? “X” ሁል ጊዜ ለማንኛውም የ“Y” እና “Z” እሴቶች ከተወሰነ ቁጥር ጋር እኩል ነው። ይህ አውሮፕላን ከአስተባበሪው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው. ለምሳሌ, አውሮፕላን ከአውሮፕላን ጋር ትይዩ እና በአንድ ነጥብ ውስጥ ያልፋል.

እንደዚሁም፡-
- ከአስተባባሪ አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ የአውሮፕላን እኩልነት;
- ከመጋጠሚያው አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ የአውሮፕላን እኩልነት።

አባላትን እንጨምር፡. ስሌቱ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል: ማለትም "zet" ማንኛውም ሊሆን ይችላል. ምን ማለት ነው? "X" እና "Y" በግንኙነት የተገናኙ ናቸው, ይህም በአውሮፕላኑ ውስጥ የተወሰነ ቀጥተኛ መስመር ይሳሉ (እርስዎ ያገኙታል). በአውሮፕላን ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ?) "z" ማንኛውም ነገር ሊሆን ስለሚችል, ይህ ቀጥተኛ መስመር በማንኛውም ከፍታ ላይ "ይባዛል". ስለዚህ, እኩልታው ከአስማሚው ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ይገልጻል

እንደዚሁም፡-
- ከመጋጠሚያው ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ የአውሮፕላን እኩልነት;
- ከመጋጠሚያው ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ የአውሮፕላን እኩልነት።

ነፃ ቃላቶቹ ዜሮ ከሆኑ, አውሮፕላኖቹ በቀጥታ በተዛማጅ መጥረቢያዎች ውስጥ ያልፋሉ. ለምሳሌ፣ የሚታወቀው “ቀጥታ ተመጣጣኝነት”፡. በአውሮፕላኑ ውስጥ ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ እና በአእምሯዊ ወደላይ እና ወደ ታች ያባዙት ("Z" ስላለ)። ማጠቃለያ-በቀመር የተገለጸው አውሮፕላን በተቀናጀ ዘንግ በኩል ያልፋል።

ግምገማውን እናጠናቅቃለን-የአውሮፕላኑን እኩልነት በመነሻው በኩል ያልፋል. ደህና ፣ እዚህ ነጥቡ ይህንን እኩልነት እንደሚያረካ ግልፅ ነው።

እና በመጨረሻም ፣ በሥዕሉ ላይ የሚታየው ጉዳይ: - አውሮፕላኑ ከሁሉም አስማሚ መጥረቢያዎች ጋር ወዳጃዊ ነው ፣ ሁል ጊዜም አንድ ትሪያንግል “ይቆርጣል” , ይህም በየትኛውም ስምንት ኦክታተሮች ውስጥ ሊገኝ ይችላል.

በጠፈር ውስጥ የመስመር አለመመጣጠን

በደንብ ማጥናት የሚያስፈልግዎትን መረጃ ለመረዳት በአውሮፕላኑ ውስጥ የመስመር አለመመጣጠን, ምክንያቱም ብዙ ነገሮች ተመሳሳይ ይሆናሉ. ጽሑፉ በተግባር በጣም አልፎ አልፎ ስለሚገኝ አንቀጹ ከበርካታ ምሳሌዎች ጋር ተፈጥሮን በአጭሩ ያሳያል።

እኩልታው አውሮፕላንን የሚገልጽ ከሆነ, እኩል ያልሆኑ
ብለው ይጠይቁ ግማሽ-ክፍተት. አለመመጣጠኑ ጥብቅ ካልሆነ (በዝርዝሩ ውስጥ ያሉት የመጨረሻዎቹ ሁለቱ), ከዚያም የእኩልነት መፍትሄው ከግማሽ ቦታ በተጨማሪ አውሮፕላኑን እራሱ ያካትታል.

ምሳሌ 5

የአውሮፕላኑን መደበኛ ቬክተር ያግኙ .

መፍትሄ: ዩኒት ቬክተር ርዝመቱ አንድ የሆነ ቬክተር ነው. ይህንን ቬክተር በ . ቬክተሮቹ ኮላይኔር መሆናቸውን በፍጹም ግልጽ ነው።

በመጀመሪያ, መደበኛውን ቬክተር ከአውሮፕላኑ እኩልነት እናስወግዳለን: .

ዩኒት ቬክተር እንዴት ማግኘት ይቻላል? ክፍሉን ቬክተር ለማግኘት, ያስፈልግዎታል እያንዳንዱየቬክተር መጋጠሚያውን በቬክተር ርዝመት ይከፋፍሉት.

መደበኛውን ቬክተር በቅጹ ላይ እንደገና እንፃፍ እና ርዝመቱን እንፈልግ፡-

ከላይ ባለው መሰረት፡-

መልስ:

ማረጋገጫ፡ ለመረጋገጥ ምን እንደሚያስፈልግ።

የትምህርቱን የመጨረሻ አንቀጽ በጥንቃቄ ያጠኑ አንባቢዎች ምናልባት ያንን አስተውለው ይሆናል። የዩኒት ቬክተር መጋጠሚያዎች በትክክል የቬክተሩ አቅጣጫ ኮሲኖች ናቸው:

በእጃችን ካለው ችግር ትንሽ እረፍት እናድርግ፡- የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ሲሰጥዎት, እና እንደ ሁኔታው ​​አቅጣጫውን ኮሲኒዎችን ማግኘት ያስፈልጋል (የትምህርቱን የመጨረሻ ችግሮች ይመልከቱ የቬክተሮች ነጥብ ውጤት)፣ ከዚያ እርስዎ፣ በእውነቱ፣ ለዚህኛው ክፍል የቬክተር ኮሊነርን ያገኛሉ። በእውነቱ በአንድ ጠርሙስ ውስጥ ሁለት ተግባራት.

ክፍሉን መደበኛ ቬክተር የማግኘት አስፈላጊነት በአንዳንድ የሂሳብ ትንተና ችግሮች ውስጥ ይነሳል.

መደበኛውን ቬክተር እንዴት ማጥመድ እንደሚቻል አውቀናል, አሁን ተቃራኒውን ጥያቄ እንመልስ.

ነጥብ እና መደበኛ ቬክተር በመጠቀም የአውሮፕላን እኩልታ እንዴት መፍጠር ይቻላል?

ይህ የመደበኛ ቬክተር እና ነጥብ ግትር ግንባታ በዳርትቦርዱ ዘንድ በደንብ ይታወቃል። እባክህ እጅህን ወደ ፊት ዘርግተህ በአእምሯዊ ሁኔታ የዘፈቀደ ነጥብ በህዋ ላይ ምረጥ፣ ለምሳሌ፣ በጎን ሰሌዳ ውስጥ ያለች ትንሽ ድመት። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በዚህ ነጥብ በኩል አንድ ነጠላ አውሮፕላን በእጅዎ ላይ ቀጥ ብሎ መሳል ይችላሉ.

ከቬክተሩ ጋር በአንድ ነጥብ በኩል የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልታ በቀመር ተገልጿል፡-