\(\blacktriangleright \) ትልቁን ለማግኘት/ ትንሹ እሴትበክፍል \ (\) ላይ ያሉ ተግባራት, በዚህ ክፍል ላይ የተግባርን ግራፍ በስዕላዊ መልኩ ማሳየት አስፈላጊ ነው.
ከዚህ ንዑስ ርዕስ ውስጥ ባሉ ችግሮች ውስጥ፣ ይህ ተወላጁን በመጠቀም ሊከናወን ይችላል፡ የመጨመር (\(f">0\) ) እና የመቀነስ ክፍተቶችን ይፈልጉ (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\ (\ blacktriangleright \) ተግባሩ ትልቁን / ትንሹን እሴት በክፍሉ ውስጣዊ ነጥቦች ላይ ብቻ ሳይሆን በመጨረሻዎቹ ላይ ሊወስድ እንደሚችል አይርሱ።

\(\blacktriangleright \) የተግባሩ ትልቁ/ትንሹ ዋጋ የተቀናጀ እሴት \(y=f(x)\) ነው።

\(\blacktriangleright \) የተወሳሰበ ተግባር \(f(t(x))\) አመጣጥ በደንቡ መሠረት ይገኛል፡- \[(\ትልቅ(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\ጀማሪ(ድርድር)(|r|c|c|) \hline & \text(Function) f(x) & \text(Derivative) f"(x)\\\hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\\textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\\textbf(3) እና \ln x & \dfrac1x\\&&\\ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\\textbf(5) & e^x & e^x \\&&\\\textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a \\&&\\\textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\\textbf(8) & \cos x & -\sin x\\\hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \ጀምር(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function) f(x) & \text(Derivative) f"(x) \\\hline \textbf(9) እና \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\\textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\ sin^2 x)\\&&\\\textbf(11) እና \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\\textbf(12) & arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\\textbf(13) እና \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\\textbf(14) እና \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\\hline \መጨረሻ(ድርድር)\]

ተግባር 1 #2357

የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና ጋር እኩል ነው።

በክፍል \([-10; -2]\) ላይ የተግባሩን ትንሹን እሴት ይፈልጉ \(y = e^(x^2 - 4)\)።

ODZ: \(x \) - የዘፈቀደ።

1) \

\ ስለዚህ, \ (y" = 0 \) ለ \ (x = 0 \) .

3) ከግምት ውስጥ ባለው ክፍል ላይ የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ \([-10; -2]\) :

4) በክፍሉ ላይ የግራፍ ንድፍ ([-10; -2]\)

ስለዚህ, ተግባሩ በ \([-10; -2]\) በ \(x = -2 \) ላይ በትንሹ እሴቱ ላይ ይደርሳል.

\ አጠቃላይ: \ (1 \) - የተግባሩ ትንሹ እሴት \ (y \) በ \ ([-10; -2]\) ላይ።

መልስ፡ 1

ተግባር 2 #2355

የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና ጋር እኩል ነው።

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\)በክፍል \([-1; 1]\) ላይ።

ODZ: \(x \) - የዘፈቀደ።

1) \

ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ (ማለትም፣ የተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጣዊ ነጥቦች ከ \(0\) ጋር እኩል የሆነ ወይም የሌለበት)፡- \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\ግራኝ ቀስት\qquad x = 0\,.\]ተዋጽኦው ለማንኛውም \(x\) አለ።

2) የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ፡-

3) ከግምት ውስጥ ባለው ክፍል ላይ የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ \([-1; 1]\)

4) በክፍሉ ላይ የግራፍ ንድፍ ([-1; 1]\)

ስለዚህ ተግባሩ በ \([-1; 1]\) በ \(x = -1\) ወይም በ \(x = 1\) ላይ ከፍተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል። በእነዚህ ነጥቦች ላይ የተግባር እሴቶቹን እናወዳድር።

\ ጠቅላላ: \ (2 \) - የተግባሩ ትልቁ እሴት \ (y \) በ \ ([-1; 1]\) ላይ።

መልስ፡ 2

ተግባር 3 #2356

የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና ጋር እኩል ነው።

በክፍል \(\) ላይ የተግባር \(y = \cos 2x \) ትንሹን እሴት ይፈልጉ።

ODZ: \(x \) - የዘፈቀደ።

1) \

ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ (ማለትም፣ የተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጣዊ ነጥቦች ከ \(0\) ጋር እኩል የሆነ ወይም የሌለበት)፡- \[-2\cdot \ sin 2x = 0\qquad\ ግራ ቀስት\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\ግራ ቀስት \qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]ተዋጽኦው ለማንኛውም \(x\) አለ።

2) የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ፡-

(እዚህ ላይ የመነጩ ተለዋጭ ምልክቶች ያሉባቸው ማለቂያ የሌላቸው ክፍተቶች አሉ)።

3) ከግምት ውስጥ ባለው ክፍል ላይ የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ ።

4) በክፍል \(\) ላይ የግራፍ ንድፍ:

ስለዚህ, ተግባሩ በ \ (\) በ \ (x = \ dfrac (\ pi) (2) \) ላይ አነስተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል.

\ ጠቅላላ: \ (-1 \) - የተግባሩ ትንሹ እሴት \ (y \) በ \ (\) ላይ።

መልስ፡-1

ተግባር 4 #915

የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና ጋር እኩል ነው።

የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x +2)\).

ODZ፡ \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\)። በODZ ላይ እንወስን፡-

1) \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\)፣ከዚያም \(y(t)=-\log_(17)t\) እንጥቀስ።

ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ (ማለትም፣ የተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጣዊ ነጥቦች ከ \(0\) ጋር እኩል የሆነ ወይም የሌለበት)፡- \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\ግራኝ ቀስት\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]- በ ODZ ላይ ፣ ሥሩን የምናገኝበት \ (x = \ dfrac (\sqrt (2)) (2) \)። የተግባር \(y\) አመጣጥ ለ \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) የለም፣ ነገር ግን የተሰጠው እኩልታአሉታዊ አድሎአዊ, ስለዚህ ምንም መፍትሄዎች የሉትም. የአንድ ተግባር ትልቁን/ትንሹን እሴት ለማግኘት፣ ግራፉ በስርዓተ-ነገር እንዴት እንደሚመስል መረዳት ያስፈልግዎታል።

2) የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ፡-

3) የግራፍ ንድፍ;

ስለዚህ ተግባሩ በ \(x = \ dfrac(\sqrt(2))(2)\) ላይ ትልቁን እሴት ላይ ይደርሳል።

\(y\ግራ(\dfrac(\sqrt(2)))(2)\ቀኝ) = -\log_(17)1 = 0\),

ጠቅላላ: \ (0 \) - የተግባሩ ትልቁ እሴት \ (y \)።

መልስ፡ 0

ተግባር 5 #2344

የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና ጋር እኩል ነው።

የተግባሩን ትንሹን እሴት ያግኙ

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ፡ \(x^2 + 8x + 19 > 0\)። በODZ ላይ እንወስን፡-

1) \(x^2 + 8x + 19=t(x)\)፣ በመቀጠል \(y(t)=\log_(3)t\) እንጥቀስ።

ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ (ማለትም፣ የተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጣዊ ነጥቦች ከ \(0\) ጋር እኩል የሆነ ወይም የሌለበት)፡- \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\ግራኝ ቀስት\qquad 2x+8 = 0\]- በ ODZ ላይ ፣ ሥሩን ከምንገኝበት \(x = -4 \)። የተግባር \(y \) አመጣጥ \(x^2 + 8x + 19 = 0 \) የለም ፣ ግን ይህ እኩልነት አሉታዊ አድልዎ አለው ፣ ስለሆነም ፣ ምንም መፍትሄዎች የሉትም። የአንድ ተግባር ትልቁን/ትንሹን እሴት ለማግኘት፣ ግራፉ በስርዓተ-ነገር እንዴት እንደሚመስል መረዳት ያስፈልግዎታል።

2) የቋሚ ምልክት \(y"\) ክፍተቶችን እንፈልግ፡-

3) የግራፍ ንድፍ;

ስለዚህ \(x = -4 \) የተግባሩ ዝቅተኛው ነጥብ \(y \) ነው እና ትንሹ እሴት በእሱ ላይ ተገኝቷል።

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) ።

ጠቅላላ: \(1 \) - የተግባሩ ትንሹ እሴት \(y \)።

መልስ፡ 1

ተግባር 6 #917

የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ

የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

ከተግባራዊ እይታ አንጻር ትልቁ ፍላጎትየአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴት ለማግኘት የመነጩን አጠቃቀም ይወክላል። ይህ ከምን ጋር የተያያዘ ነው? ትርፍን ማሳደግ ፣ ወጪን መቀነስ ፣ የመሳሪያውን ጥሩ ጭነት መወሰን… በሌላ አነጋገር በብዙ የሕይወት ዘርፎች አንዳንድ መለኪያዎችን የማመቻቸት ችግሮችን መፍታት አለብን። እና እነዚህ የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን የማግኘት ተግባራት ናቸው።

የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች በተወሰነ የጊዜ ክፍተት X ላይ እንደሚፈለጉ ልብ ሊባል ይገባል ፣ ይህም የተግባሩ አጠቃላይ ጎራ ወይም የትርጉም ጎራ አካል ነው። ክፍተቱ X ራሱ አንድ ክፍል, ክፍት ክፍተት ሊሆን ይችላል ፣ ማለቂያ የሌለው ክፍተት።

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ትላልቅ እና ትናንሽ እሴቶችን በግልፅ ስለማግኘት እንነጋገራለን የተሰጠው ተግባርአንድ ተለዋዋጭ y=f(x)።

የገጽ አሰሳ።

የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴት - ትርጓሜዎች ፣ ምሳሌዎች።

ዋናዎቹን ትርጓሜዎች በአጭሩ እንመልከት።

የተግባሩ ትልቁ እሴት ለማንም ሰው አለመመጣጠን እውነት ነው።

የተግባሩ ትንሹ እሴት y=f(x) በ interval X ላይ እንደዚህ ያለ እሴት ይባላል ለማንም ሰው አለመመጣጠን እውነት ነው።

እነዚህ ፍቺዎች ሊታወቁ የሚችሉ ናቸው፡ የአንድ ተግባር ትልቁ (ትንሹ) እሴት በ abcissa ላይ ግምት ውስጥ ባለው የጊዜ ክፍተት ላይ ትልቁ (ትንሽ) ተቀባይነት ያለው እሴት ነው።

ቋሚ ነጥቦች- እነዚህ የተግባሩ አመጣጥ ዜሮ የሚሆንበት የክርክር እሴቶች ናቸው።

ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ስናገኝ ለምን ቋሚ ነጥቦችን እንፈልጋለን? የዚህ ጥያቄ መልስ የሚሰጠው በፌርማት ቲዎሪ ነው. ከዚህ ጽንሰ ሐሳብ በመነሳት የሚለየው ተግባር በተወሰነ ደረጃ ላይ (አካባቢያዊ ዝቅተኛ ወይም ከፍተኛ) ካለው፣ ይህ ነጥብ ቋሚ ነው። ስለዚህ, ተግባሩ ብዙውን ጊዜ ትልቁን (ትንሹን) ዋጋውን በ X መካከል ባለው የጊዜ ክፍተት ውስጥ በአንዱ ቋሚ ነጥቦች ላይ ይወስዳል.

እንዲሁም አንድ ተግባር ብዙውን ጊዜ ትልቁን እና ትንሹን እሴቶቹን ሊወስድ የሚችለው የዚህ ተግባር የመጀመሪያ አመጣጥ በሌለባቸው ነጥቦች ላይ ነው ፣ እና ተግባሩ ራሱ ይገለጻል።

በዚህ ርዕስ ላይ በጣም ከተለመዱት ጥያቄዎች ውስጥ አንዱን ወዲያውኑ እንመልስ "የአንድ ተግባር ትልቁን (ትንሹን) እሴት ሁልጊዜ መወሰን ይቻላልን"? ሁልጊዜ አይደለም. አንዳንድ ጊዜ የጊዜ ክፍተት X ድንበሮች ከተግባሩ ፍቺ ጎራ ወሰኖች ጋር ይጣጣማሉ ወይም የጊዜ ክፍተት X ማለቂያ የለውም። እና በማያልቅ እና በትርጉም ጎራ ወሰኖች ላይ ያሉ አንዳንድ ተግባራት ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ እና ማለቂያ የሌላቸው ትናንሽ እሴቶችን ሊወስዱ ይችላሉ። በእነዚህ አጋጣሚዎች ስለ ተግባሩ ትልቁ እና ትንሹ እሴት ምንም ማለት አይቻልም.

ግልጽ ለማድረግ, ስዕላዊ መግለጫ እንሰጣለን. ስዕሎቹን ይመልከቱ እና ብዙ ግልጽ ይሆናሉ.

በክፍል ላይ

በመጀመሪያው ስእል ውስጥ ተግባሩ ትልቁን (ከፍተኛ y) እና ትንሹን (ደቂቃ y) እሴቶችን በክፍል ውስጥ በሚገኙ ቋሚ ነጥቦች ይወስዳል [-6;6].

በሁለተኛው ሥዕል ላይ የተመለከተውን ጉዳይ ተመልከት። ክፍሉን ወደ . በዚህ ምሳሌ ፣ የተግባሩ ትንሹ እሴት በቆመበት ቦታ ላይ ይገኛል ፣ እና ትልቁ ከ abscissa ጋር ያለው ነጥብ ከትክክለኛው የጊዜ ክፍተት ጋር ይዛመዳል።

በስእል 3 የክፍሉ ወሰን [-3; 2] ከተግባሩ ትልቁ እና ትንሹ እሴት ጋር የሚዛመዱ የነጥቦች abcissas ናቸው።

በክፍት ክፍተት

በአራተኛው አሃዝ ፣ ተግባሩ ትልቁን (ከፍተኛ y) እና ትንሹን (ደቂቃ y) እሴቶችን በክፍት ክፍተት ውስጥ በሚገኙ ቋሚ ነጥቦች (-6;6) ይወስዳል።

በክፍለ-ጊዜው ላይ, ስለ ትልቁ ዋጋ ምንም መደምደሚያ ላይ መድረስ አይቻልም.

በማያልቅ

በሰባተኛው ምስል ላይ በቀረበው ምሳሌ ውስጥ ተግባሩ ትልቁን እሴት (ከፍተኛ y) ከ abscissa x=1 ጋር በቋሚ ነጥብ ይወስዳል እና ትንሹ እሴት (ደቂቃ y) በጊዜ ክፍተት በቀኝ ወሰን ላይ ይደርሳል። ከማያልቅ ሲቀነስ፣ የተግባር እሴቶቹ ያለምንም ምልክት y=3 ይጠጋል።

በክፍተቱ ውስጥ, ተግባሩ በትንሹም ሆነ ትልቅ እሴት ላይ አይደርስም. x = 2 በቀኝ በኩል ሲቃረብ፣ የተግባር እሴቶቹ ወደ ማለቂያነት ይቀንሳሉ (መስመሩ x = 2 ቁመታዊ አሲምፕቶት ነው)፣ እና abcissa ወደ ኢንላይቲዝም ሲጨምር፣ የተግባር እሴቶቹ በማይታይ ሁኔታ ወደ y=3 ይጠጋሉ። የዚህ ምሳሌ ስዕላዊ መግለጫ በስእል 8 ይታያል።

በአንድ ክፍል ላይ ቀጣይነት ያለው ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት አልጎሪዝም።

የአንድን ተግባር ትልቁን እና ትንሹን በአንድ ክፍል ላይ እንድናገኝ የሚያስችል ስልተ ቀመር እንፃፍ።

1. የተግባሩን ፍቺ ጎራ እናገኛለን እና ሙሉውን ክፍል እንደያዘ ያረጋግጡ።
2. የመጀመሪያው ተወላጅ የሌለበትን እና በክፍሉ ውስጥ የተካተቱትን ሁሉንም ነጥቦች እናገኛለን (ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ያሉ ነጥቦች በሞጁል ምልክት እና በ ውስጥ ካለው ክርክር ጋር ተግባራት ውስጥ ይገኛሉ ። የኃይል ተግባራትከክፍልፋይ-ምክንያታዊ ገላጭ ጋር)። እንደዚህ አይነት ነጥቦች ከሌሉ ወደሚቀጥለው ነጥብ ይሂዱ.
3. በክፍሉ ውስጥ የሚወድቁ ሁሉንም ቋሚ ነጥቦችን እንወስናለን. ይህንን ለማድረግ, ከዜሮ ጋር እናመሳሰለው, የተገኘውን እኩልነት መፍታት እና ተስማሚ ሥሮችን እንመርጣለን. ምንም ቋሚ ነጥቦች ከሌሉ ወይም አንዳቸውም ወደ ክፍሉ ውስጥ ካልገቡ ወደሚቀጥለው ነጥብ ይሂዱ.
4. በተመረጡ ቋሚ ነጥቦች (ካለ) የተግባርን ዋጋዎች እናሰላለን, የመጀመሪያው ተወላጅ በሌለባቸው ነጥቦች (ካለ), እንዲሁም በ x=a እና x=b.
5. ከተገኙት የተግባር እሴቶች ውስጥ ትልቁን እና ትንሹን እንመርጣለን - እነሱ በቅደም ተከተል የሚፈለጉት ትልቁ እና ትንሹ የተግባሩ እሴቶች ይሆናሉ።

በአንድ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት ምሳሌን ለመፍታት አልጎሪዝምን እንመርምር።

ለምሳሌ.

የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴት ያግኙ

• በክፍል ላይ;
• በክፍል [-4;-1] ላይ.

መፍትሄ።

የአንድ ተግባር ፍቺ ጎራ አጠቃላይ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው፣ ከዜሮ በስተቀር፣ ማለትም። ሁለቱም ክፍሎች በትርጉሙ ጎራ ውስጥ ይወድቃሉ።

በሚከተለው መልኩ የተግባሩን መነሻ ይፈልጉ፡-

በግልጽ እንደሚታየው, የተግባሩ አመጣጥ በሁሉም ክፍሎች እና [-4; -1] ላይ ይገኛል.

ቋሚ ነጥቦችን ከሂሳብ እንወስናለን። ብቻ እውነተኛ ሥር x=2 ነው። ይህ የማይንቀሳቀስ ነጥብ በመጀመሪያው ክፍል ውስጥ ይወድቃል.

ለመጀመሪያው ጉዳይ የተግባርን ዋጋዎች በክፋዩ መጨረሻ እና በቋሚ ቦታ ማለትም ለ x = 1 ፣ x=2 እና x=4 እናሰላለን።

ስለዚህ, የተግባሩ ትልቁ ዋጋ በ x=1, እና ትንሹ እሴት ላይ ይደርሳል - በ x=2

ለሁለተኛው ጉዳይ ፣ የተግባር እሴቶቹን የምናሰላው በክፍሉ መጨረሻ ላይ ብቻ ነው [-4; -1] (አንድ ቋሚ ነጥብ ስለሌለው)

መፍትሄ።

በተግባሩ ጎራ እንጀምር። ስኩዌር ሶስትዮሽየክፍልፋይ መለያው መጥፋት የለበትም

ከችግር መግለጫው ሁሉም ክፍተቶች የተግባሩ ፍቺ ጎራ መሆናቸውን ማረጋገጥ ቀላል ነው።

ተግባሩን እንለይ፡-

በግልጽ እንደሚታየው ተዋጽኦው በጠቅላላው የተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጥ አለ።

ቋሚ ነጥቦችን እንፈልግ። ተዋጽኦው በ ዜሮ ወደ ዜሮ ይሄዳል። ይህ የማይንቀሳቀስ ነጥብ በየእረፍቱ (-3;1] እና (-3;2) ውስጥ ይወድቃል።

አሁን በእያንዳንዱ ነጥብ የተገኘውን ውጤት ከተግባሩ ግራፍ ጋር ማወዳደር ይችላሉ. ሰማያዊ ነጠብጣብ መስመሮች ምልክቶችን ያመለክታሉ.

በዚህ ጊዜ የተግባሩን ትልቁን እና ትንሹን በማግኘት መጨረስ እንችላለን። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የተብራሩት ስልተ ቀመሮች በትንሹ በድርጊቶች ውጤት እንዲያገኙ ያስችሉዎታል። ሆኖም ፣ በመጀመሪያ የተግባሩን የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን መወሰን ጠቃሚ ሊሆን ይችላል እና ከዚያ በኋላ ብቻ ስለ ተግባሩ ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች በማንኛውም የጊዜ ልዩነት ላይ መደምደሚያ ላይ መድረስ ይችላሉ። ይህ ለውጤቶቹ የበለጠ ግልጽ የሆነ ምስል እና ጥብቅ ማረጋገጫ ይሰጣል።

አማራጭ 1. በ

1. የአንድ ተግባር ግራፍ y=ረ(x) በሥዕሉ ላይ የሚታየው.

ለዚህ ተግባር ትልቁን እሴት ይግለጹ 1

በክፍል ላይ [ ሀ; ለ]. ሀ 0 1 ለ x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. ተግባራት y=ረ(x) በክፍል ላይ ተሰጥቷል [ ሀ; ለ]. በ

ምስሉ የመነጩ ግራፍ ያሳያል

y=ረ ´(x). ለጽንፈኞች ያስሱ 1 ለ

ተግባር y=ረ(x). እባክዎ በመልስዎ ውስጥ ያለውን መጠን ያመልክቱ። ሀ 0 1 x

ዝቅተኛ ነጥቦች.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ y= -2x2+8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. የተግባሩን ትንሹን እሴት ያግኙ በክፍል ላይ .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width = "17" ቁመት = "48 src = ">.

7. የተግባሩን ትንሹን እሴት ያግኙ y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> ነጥቡ ላይ በትንሹ አለው xo=1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.በ

9. የተግባሩን ትልቁን እሴት ይግለጹ y=ረ(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. የተግባሩን ትንሹን እሴት ያግኙ y=2ኃጢአት-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

ሙከራ 14. ጽንፍ. የተግባሩ ትልቁ (ትንሹ) እሴት።

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. የተግባሩ ግራፍ y=ረ(x) በሥዕሉ ላይ የሚታየው.

ለዚህ ተግባር አነስተኛውን እሴት ይግለጹ 1

በክፍል ላይ [ ሀ; ለ]. ሀ ለ

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. በ ስዕሉ የተግባሩን ግራፍ ያሳያል y=ረ(x).

ተግባሩ ስንት ከፍተኛ ነጥቦች አሉት?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. ተግባሩ በየትኛው ነጥብ ላይ ነው y=2x2+24x -25ትንሹን ዋጋ ይወስዳል?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48">በክፍሉ ላይ [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width = "17" ቁመት = "47 src = ">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> ነጥብ ላይ ቢያንስ አለው xo= -2?

; 2) -6;; 4) 6.በ

9. የተግባሩን ትንሹን እሴት ይግለጹ y=ረ(x) ,

በሥዕሉ ላይ የሚታየው ግራፍ. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ y=መዝገብ11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

መልሶች :

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እናገራለሁ ትልቁን እና ትንሹን ዋጋ ለማግኘት አልጎሪዝምተግባራት, ዝቅተኛ እና ከፍተኛ ነጥቦች.

ከንድፈ-ሀሳብ በእርግጠኝነት ለእኛ ጠቃሚ ይሆናል የመነሻ ሰንጠረዥእና ልዩነት ደንቦች. ሁሉም በዚህ ሳህን ላይ ነው፡-

ትልቁን እና ትንሹን ዋጋ ለማግኘት አልጎሪዝም።

ውስጥ ለማስረዳት ለእኔ የበለጠ አመቺ ነው። የተለየ ምሳሌ. አስቡበት፡-

ለምሳሌ:የተግባሩ ትልቁን እሴት y=x^5+20x^3–65x በክፍል [-4;0] ላይ ያግኙ።

ደረጃ 1.የመነጩን እንወስዳለን.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

ደረጃ 2.ጽንፈኛ ነጥቦችን ማግኘት.

እጅግ በጣም ከፍተኛ ነጥብተግባሩ ትልቁን ወይም ዝቅተኛውን እሴት የሚደርስባቸውን ነጥቦች እንጠራቸዋለን።

የጽንፍ ነጥቦቹን ለማግኘት የተግባሩን አመጣጥ ከዜሮ (y" = 0) ጋር ማመሳሰል ያስፈልግዎታል

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

አሁን ይህንን የሁለትዮሽ እኩልታ እንፈታዋለን እና የተገኙት ሥሮቹ የእኛ ጽንፈኛ ነጥቦች ናቸው።

እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች t = x^2, ከዚያም 5t^2 + 60t - 65 = 0 በመተካት እፈታለሁ.

ቀመርን በ 5 እንቀንሰው፡ t^2 + 12t - 13 = 0 እናገኛለን

መ = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

ቲ_(1) = (-12 + ካሬ (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

ቲ_(2) = (-12 - ካሬ (196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

ተቃራኒውን ለውጥ እናደርጋለን x^2 = t:

X_(1 እና 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 እና 4) = ±sqrt(-13) (አስወግደናል፣ ሊኖር አይችልም አሉታዊ ቁጥሮችስለ ውስብስብ ቁጥሮች እየተነጋገርን ካልሆነ በስተቀር)

ጠቅላላ: x_(1) = 1 እና x_(2) = -1 - እነዚህ የእኛ ጽንፈኛ ነጥቦች ናቸው።

ደረጃ 3.ትልቁን እና ትንሹን እሴት ይወስኑ።

የመተካት ዘዴ.

በሁኔታው, ክፍል [b][-4;0] ተሰጥተናል. ነጥቡ x=1 በዚህ ክፍል ውስጥ አልተካተተም። ስለዚህ እኛ አናስበውም. ነገር ግን ከ x=-1 ነጥብ በተጨማሪ የክፍላችንን ግራ እና ቀኝ ድንበሮች ማለትም ነጥብ -4 እና 0 ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን። ይህንን ለማድረግ እነዚህን ሁሉ ሶስት ነጥቦች በዋናው ተግባር እንተካቸዋለን። ዋናው በሁኔታው (y=x^5+20x^3–65x) የተሰጠው መሆኑን አስተውል፣ አንዳንድ ሰዎች በመነጩ መተካት ይጀምራሉ...

Y (-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [ለ]44
y (0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y (-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

ይህ ማለት የተግባሩ ትልቁ ዋጋ [b] 44 ነው እና በ ነጥብ [b] -1 ላይ ይደርሳል, ይህም በክፍሉ ላይ ያለው ከፍተኛው ነጥብ ይባላል [-4; 0]።

ወስነናል እና መልስ አግኝተናል, እኛ በጣም ጥሩ ነን, ዘና ማለት ትችላላችሁ. ግን አቁም! y(-4) ማስላት በሆነ መንገድ በጣም ከባድ ነው ብለው አያስቡም? በተወሰነ ጊዜ ውስጥ ሌላ ዘዴን መጠቀም የተሻለ ነው, እኔ ይህን እጠራለሁ.

በምልክት ቋሚነት ክፍተቶች መካከል።

እነዚህ ክፍተቶች ለተግባሩ አመጣጥ ማለትም ለባለ ሁለትዮሽ እኩልታ ይገኛሉ።

እንደዚህ አደርጋለሁ። የተመራው ክፍል እሳለሁ. ነጥቦቹን አስቀምጫለሁ: -4, -1, 0, 1. ምንም እንኳን 1 በተሰጠው ክፍል ውስጥ ያልተካተተ ቢሆንም, የምልክት ቋሚነት ክፍተቶችን በትክክል ለመወሰን አሁንም መታወቅ አለበት. ከ 1 ብዙ እጥፍ የሚበልጥ ቁጥር እንወስድና 100 እንበል እና በአእምሯዊ ሁኔታ ወደ ሁለትዮሽ እኩልታ 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 እንተካው። ተግባር የመደመር ምልክት አለው። ይህ ማለት ከ1 እስከ 100 ባሉት ክፍተቶች የመደመር ምልክት አለው። በ 1 ውስጥ ስናልፍ (ከቀኝ ወደ ግራ እንሄዳለን) ተግባሩ ሲቀነስ ምልክቱን ይቀይራል። ነጥብ 0ን በሚያልፉበት ጊዜ ተግባሩ ምልክቱን ይይዛል ፣ ምክንያቱም ይህ የክፍሉ ወሰን ብቻ ነው ፣ እና የእኩልታው ሥር አይደለም። -1 በሚያልፉበት ጊዜ ተግባሩ እንደገና ምልክት ወደ ፕላስ ይለውጣል።

ከፅንሰ-ሀሳብ ጀምሮ የተግባሩ መነሻ የት እንዳለ እናውቃለን (እና ይህንን ለእሱ በትክክል ሳልነው) ምልክቱን ከፕላስ ወደ መቀነስ ይለውጣል (ነጥብ -1 በእኛ ሁኔታ)ተግባር ይደርሳል የአካባቢው ከፍተኛ (y(-1)=44፣ ቀደም ሲል እንደተሰላ)ላይ ይህ ክፍል(ይህ በአመክንዮአዊ መልኩ በጣም ለመረዳት የሚቻል ነው, ከፍተኛው ላይ ስለደረሰ እና መቀነስ ስለጀመረ ተግባሩ መጨመር አቁሟል).

በዚህ መሠረት, የተግባር አመጣጥ የት ምልክቱን ከመቀነስ ወደ ፕላስ ይለውጣል, ተሳክቷል የአካባቢ ዝቅተኛ የአንድ ተግባር. አዎ፣ አዎ፣ እንዲሁም የአካባቢው ዝቅተኛ ነጥብ 1 ሆኖ አግኝተናል፣ እና y(1) በክፍል ላይ ያለው የተግባር ዝቅተኛ እሴት ነው፣ ከ -1 እስከ +∞ ይበሉ። እባክዎ ይህ የአካባቢ ዝቅተኛ፣ ማለትም በተወሰነ ክፍል ላይ ያለው ዝቅተኛ መሆኑን እባክዎ ልብ ይበሉ። የተግባሩ እውነተኛ (ዓለም አቀፋዊ) ዝቅተኛው እዚያ የሆነ ቦታ ላይ ስለሚደርስ በ -∞።

በእኔ አስተያየት, የመጀመሪያው ዘዴ በንድፈ-ሀሳብ ቀላል ነው, ሁለተኛው ደግሞ ከሂሳብ ስራዎች አንጻር ሲታይ ቀላል ነው, ነገር ግን ከቲዎሪ አንጻር በጣም የተወሳሰበ ነው. ደግሞም ፣ አንዳንድ ጊዜ በሥርዓተ ቀመር ውስጥ ሲያልፉ ተግባሩ የማይለወጥበት ጊዜ አለ ፣ እና በአጠቃላይ ከእነዚህ አካባቢያዊ ፣ ዓለም አቀፋዊ ከፍተኛ እና ሚኒማ ጋር ግራ ሊጋቡ ይችላሉ ፣ ምንም እንኳን ይህንን በጥሩ ሁኔታ ሊቆጣጠሩት ይገባል ። ለመመዝገብ እቅድ ያውጡ የቴክኒክ ዩኒቨርሲቲ(ለምን ሌላ ፕሮፋይሉን የተዋሃደ የስቴት ፈተና ወስደህ ይህን ተግባር ፍታ)። ነገር ግን ልምምድ እና ልምምድ ብቻ እንደዚህ አይነት ችግሮችን ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ ለመፍታት ያስተምርዎታል. እና በድረ-ገፃችን ላይ ማሰልጠን ይችላሉ. እዚህ.

ማንኛቸውም ጥያቄዎች ካሉዎት ወይም የሆነ ነገር ግልጽ ካልሆነ፣ መጠየቅዎን ያረጋግጡ። መልስ ልሰጥህ እና በአንቀጹ ላይ ለውጦችን እና ተጨማሪ ነገሮችን ለማድረግ ደስተኛ እሆናለሁ. ይህንን ጣቢያ አብረን እየሠራን መሆኑን አስታውስ!

ግራፍ በመጠቀም አንድን ተግባር እንዴት እንደሚመረምር እንይ። ግራፉን በመመልከት እኛን የሚስቡትን ሁሉ ማወቅ እንችላለን-

• የአንድ ተግባር ጎራ
• የተግባር ክልል
• ተግባር ዜሮዎች
• የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶች
• ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ነጥቦች
• በአንድ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴት።

ቃላቱን እናብራራ፡-

አቢሲሳየነጥቡ አግድም መጋጠሚያ ነው.
ሹመት- አቀባዊ ቅንጅት.
Abscissa ዘንግ- አግድም ዘንግ, ብዙውን ጊዜ ዘንግ ተብሎ ይጠራል.
Y ዘንግ- ቋሚ ዘንግ, ወይም ዘንግ.

ክርክር- የተግባር እሴቶቹ የሚመሰረቱበት ገለልተኛ ተለዋዋጭ። ብዙውን ጊዜ ይጠቁማል።
በሌላ አነጋገር፣ እንመርጣለን፣ ተግባራትን በቀመር ውስጥ እንተካ እና እናገኛለን።

ጎራተግባራት - የነዚያ (እና እነዚያ ብቻ) ነጋሪ እሴቶች ስብስብ ተግባራቱ የሚገኝባቸው።
የተጠቆመው በ: ወይም.

በእኛ ስእል ውስጥ, የተግባሩ ፍቺው ጎራ ክፍል ነው. የተግባሩ ግራፍ የሚቀርበው በዚህ ክፍል ላይ ነው. ይህ ተግባር የሚገኝበት ቦታ ይህ ብቻ ነው።

የተግባር ክልልተለዋዋጭ የሚወስደው የእሴቶች ስብስብ ነው። በእኛ ምስል, ይህ ክፍል ነው - ከዝቅተኛው እስከ ከፍተኛው እሴት.

የተግባር ዜሮዎች- የተግባሩ ዋጋ ዜሮ የሆነባቸው ነጥቦች, ማለትም. በእኛ ምስል ውስጥ እነዚህ ነጥቦች እና ናቸው.

የተግባር እሴቶች አዎንታዊ ናቸው።የት . በእኛ ምስል እነዚህ ክፍተቶች እና ናቸው.
የተግባር እሴቶች አሉታዊ ናቸውየት . ለእኛ፣ ይህ ክፍተት (ወይም ክፍተት) ከ ወደ .

በጣም አስፈላጊ ጽንሰ-ሐሳቦች- እየጨመረ እና እየቀነሰ ተግባርበአንዳንድ ስብስብ ላይ. እንደ ስብስብ, አንድ ክፍል, ክፍተት, የእረፍት ጊዜ ወይም ሙሉውን የቁጥር መስመር መውሰድ ይችላሉ.

ተግባር ይጨምራል

በሌላ አነጋገር፣ የበለጠ፣ የበለጠ፣ ማለትም፣ ግራፉ ወደ ቀኝ እና ወደ ላይ ይሄዳል።

ተግባር ይቀንሳልበስብስብ ላይ ለማንም እና የስብስቡ አባል ከሆነ እኩልነት አለመመጣጠንን ያመለክታል።

ለተቀነሰ ተግባር ትልቅ እሴት ከትንሽ እሴት ጋር ይዛመዳል። ግራፉ ወደ ቀኝ እና ወደ ታች ይሄዳል.

በእኛ አኃዝ ውስጥ, ተግባራቱ በእረፍት ላይ ይጨምራል እና በእረፍት ጊዜ ይቀንሳል እና .

ምን እንደሆነ እንግለጽ የተግባሩ ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ነጥቦች.

ከፍተኛው ነጥብ- ይህ የትርጓሜው ጎራ ውስጣዊ ነጥብ ነው, በእሱ ውስጥ ያለው የተግባር ዋጋ ከእሱ ጋር በበቂ ሁኔታ ከሚቀርቡት ሁሉም ነጥቦች ይበልጣል.
በሌላ አገላለጽ, ከፍተኛው ነጥብ የተግባር ዋጋ ያለው ነጥብ ነው ተጨማሪከጎረቤቶች ይልቅ. ይህ በገበታው ላይ የአካባቢያዊ "ኮረብታ" ነው.

በእኛ አኃዝ ውስጥ ከፍተኛው ነጥብ አለ.

ዝቅተኛው ነጥብ- የትርጉም ጎራ ውስጣዊ ነጥብ ፣ በእሱ ውስጥ ያለው የተግባር እሴት ከሱ ጋር በበቂ ሁኔታ ከሚቀርቡት ሁሉም ነጥቦች ያነሰ ነው።
ያም ማለት ዝቅተኛው ነጥብ በውስጡ ያለው ተግባር ዋጋ ከጎረቤቶቹ ያነሰ ነው. ይህ በግራፉ ላይ የአካባቢያዊ "ቀዳዳ" ነው.

በእኛ ምስል ውስጥ ዝቅተኛ ነጥብ አለ.

ነጥቡ ድንበር ነው። የትርጉም ጎራ ውስጣዊ ነጥብ አይደለም ስለዚህም ከከፍተኛው ነጥብ ፍቺ ጋር አይጣጣምም. ደግሞም በግራ በኩል ጎረቤቶች የሏትም. በተመሳሳይ ሁኔታ, በእኛ ገበታ ላይ ዝቅተኛ ነጥብ ሊኖር አይችልም.

ከፍተኛው እና ዝቅተኛው ነጥቦች አንድ ላይ ተጠርተዋል የተግባሩ ጽንፈኛ ነጥቦች. በእኛ ሁኔታ ይህ እና.

ለምሳሌ ለማግኘት ከፈለጉ ምን ማድረግ እንዳለብዎ ዝቅተኛ ተግባርክፍል ላይ? በዚህ ጉዳይ ላይ መልሱ የሚከተለው ነው. ምክንያቱም ዝቅተኛ ተግባርበትንሹ ነጥብ ላይ ያለው ዋጋ ነው.

በተመሳሳይም የተግባራችን ከፍተኛው ነው። ነጥብ ላይ ደርሷል።

የተግባሩ ጽንፍ እኩል እና እኩል ነው ማለት እንችላለን.

አንዳንድ ጊዜ ችግሮች መፈለግን ይጠይቃሉ የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴቶችበተሰጠው ክፍል ላይ. እነሱ የግድ ከጽንፍ ጋር የሚጣጣሙ አይደሉም።

በእኛ ሁኔታ ትንሹ የተግባር እሴትበክፋዩ ላይ እኩል ነው እና ከተግባሩ ዝቅተኛው ጋር ይጣጣማል. ነገር ግን በዚህ ክፍል ላይ ያለው ትልቁ ዋጋ እኩል ነው. በክፍሉ ግራ ጫፍ ላይ ይደርሳል.

ያም ሆነ ይህ በአንድ ክፍል ላይ ያለው ቀጣይነት ያለው ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች በከፍተኛ ቦታዎች ላይ ወይም በክፋዩ መጨረሻ ላይ ይገኛሉ።