የትምህርት ዓላማዎች
የትምህርት ቤት ልጆችን ከዚህ ጋር ያስተዋውቁ የሂሳብ ጽንሰ-ሐሳብ, እንደ የቁጥር ሞጁል;
ለትምህርት ቤት ልጆች የቁጥሮች ሞጁሎችን የማግኘት ችሎታዎችን ለማስተማር;
የተለያዩ ስራዎችን በማጠናቀቅ የተማረውን ቁሳቁስ ማጠናከር;
ተግባራት
ስለ ቁጥሮች ሞጁል የልጆችን እውቀት ማጠናከር;
መፍትሄውን በመጠቀም የሙከራ ስራዎችተማሪዎች ያጠኑትን እንዴት እንደተቆጣጠሩ ያረጋግጡ;
በሂሳብ ትምህርቶች ላይ ፍላጎት ማዳበርዎን ይቀጥሉ;
በትምህርት ቤት ልጆች ውስጥ ምክንያታዊ አስተሳሰብን ፣ ጉጉትን እና ጽናት ለማዳበር።
የትምህርት እቅድ
1. አጠቃላይ ጽንሰ-ሐሳቦችእና የቁጥር ሞጁል ፍቺ.
2. ጂኦሜትሪክ ትርጉምሞጁል.
3. የቁጥር ሞጁል እና ባህሪያቱ.
4. የቁጥር ሞጁሉን የያዙ እኩልታዎችን እና እኩልነትን መፍታት።
5. ታሪካዊ ማጣቀሻስለ "የቁጥር ሞዱል" ቃል.
6. በተሸፈነው ርዕስ ላይ እውቀትን ለማጠናከር መመደብ.
7. የቤት ስራ.
ስለ ቁጥር ሞጁል አጠቃላይ ጽንሰ-ሐሳቦች
የቁጥር ሞጁል (ሞዱል) ብዙውን ጊዜ ከሌለው ቁጥር ራሱ ይባላል አሉታዊ እሴት, ወይም ተመሳሳይ ቁጥር አሉታዊ ነው, ግን በተቃራኒው ምልክት.
ያም ማለት፣ የእውነተኛ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ሞጁል ቁጥሩ ራሱ ነው፡-
እና፣ የአሉታዊ እውነተኛ ቁጥር x ሞጁል ተቃራኒ ቁጥር ነው፡-
በመቅዳት ላይ ይህን ይመስላል፡-
ለበለጠ ተደራሽ ግንዛቤ፣ አንድ ምሳሌ እንስጥ። ስለዚህ, ለምሳሌ, የቁጥር 3 ሞጁል 3 ነው, እና እንዲሁም የቁጥር -3 ሞጁል 3 ነው.
ከዚህ በመነሳት የቁጥር ሞጁል ማለት ፍፁም እሴት ማለትም ፍፁም እሴቱ ማለት ነው ነገርግን ምልክቱን ከግምት ውስጥ ሳያስገባ። ይበልጥ ቀላል ለማድረግ, ምልክቱን ከቁጥሩ ላይ ማስወገድ አስፈላጊ ነው.
የቁጥር ሞጁል መሰየም እና ይህን ይመስላል፡|3|፣ |x|፣ |a| ወዘተ.
ስለዚህ፣ ለምሳሌ፣ የቁጥር 3 ሞጁል ተጠቁሟል |3|።
እንዲሁም፣ የቁጥር ሞጁል በጭራሽ አሉታዊ እንዳልሆነ መታወስ አለበት፡ |a|≥ 0።
|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, ወዘተ.
የሞጁሉ ጂኦሜትሪክ ትርጉም
የቁጥር ሞጁል ከመነሻው እስከ ነጥቡ በንጥል ክፍሎች የሚለካው ርቀት ነው. ይህ ፍቺ ሞጁሉን ከ ጋር ያሳያል የጂኦሜትሪክ ነጥብራዕይ.
የተቀናጀ መስመር እንይዝ እና በላዩ ላይ ሁለት ነጥቦችን እንሰይመው። እነዚህ ነጥቦች እንደ -4 እና 2 ካሉ ቁጥሮች ጋር ይዛመዱ።
አሁን ለዚህ ቁጥር ትኩረት እንስጥ. በአስተባባሪ መስመር ላይ የተመለከተው ነጥብ A ከቁጥር -4 ጋር እንደሚመሳሰል እናያለን እና በጥንቃቄ ከተመለከቱ ይህ ነጥብ ከማጣቀሻ ነጥብ 0 በ 4 ክፍሎች ርቀት ላይ እንደሚገኝ እናያለን ። የ OA ክፍል ርዝመት ከአራት ክፍሎች ጋር እኩል ነው. በዚህ ሁኔታ, የ OA ክፍል ርዝመት, ማለትም ቁጥር 4, የቁጥር ሞጁል -4 ይሆናል.
በዚህ ሁኔታ የቁጥር ሞጁል ተጠቁሟል እና በዚህ መንገድ ይፃፋል: | -4| = 4.
አሁን በአስተባባሪው መስመር ላይ ነጥብ B ን ወስደን እንሰይመው።
ይህ ነጥብ B ከቁጥር +2 ጋር ይዛመዳል, እና እንደምናየው, ከመነሻው በሁለት ክፍልፋዮች ርቀት ላይ ይገኛል. ከዚህ በመነሳት የ OB ክፍል ርዝመት ከሁለት ክፍሎች ጋር እኩል ነው. በዚህ ሁኔታ, ቁጥር 2 የቁጥር +2 ሞጁል ይሆናል.
በቀረጻው ውስጥ እንደዚህ ይመስላል፡|+2| = 2 ወይም |2| = 2.
አሁን እናጠቃልል. የተወሰነ ያልታወቀ ቁጥር ሀ ወስደን በማስተባበሪያው መስመር ላይ እንደ ነጥብ A ከመረጥነው በዚህ ሁኔታ ከ A እስከ መነሻ ያለው ርቀት ማለትም የ OA ክፍል ርዝመት በትክክል የቁጥሩ ሞጁል ነው "a ” በማለት ተናግሯል።
በጽሑፍ የሚከተለውን ይመስላል፡ |a| = ኦአ.
የቁጥር ሞጁል እና ባህሪያቱ
አሁን የሞጁሉን ባህሪያት ለማጉላት እንሞክር ፣ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮችን ከግምት ውስጥ እናስገባለን እና ቃል በቃል አባባሎችን እንፃፍ ።
በመጀመሪያ የቁጥር ሞጁል አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው ይህም ማለት የአዎንታዊ ቁጥር ሞጁል ከራሱ ቁጥር ጋር እኩል ነው፡ |a| = a, a > 0 ከሆነ;
በሁለተኛ ደረጃ, ተቃራኒ ቁጥሮችን ያካተቱ ሞጁሎች እኩል ናቸው: |a| = |–ሀ| ያም ማለት ይህ ንብረት ተቃራኒ ቁጥሮች ሁልጊዜ እኩል ሞጁሎች እንዳላቸው ይነግረናል, ልክ እንደ መጋጠሚያ መስመር ላይ, ምንም እንኳን ተቃራኒ ቁጥሮች ቢኖራቸውም, ከማጣቀሻ ነጥብ ጋር ተመሳሳይ ርቀት ላይ ይገኛሉ. ከዚህ በመነሳት የእነዚህ ተቃራኒ ቁጥሮች ሞጁሎች እኩል ናቸው.
በሶስተኛ ደረጃ ይህ ቁጥር ዜሮ ከሆነ የዜሮ ሞጁል ከዜሮ ጋር እኩል ነው፡ |0| = 0 ከሆነ a = 0. እዚህ ላይ የዜሮ ሞጁል በትርጉም ዜሮ ነው ብለን በልበ ሙሉነት መናገር እንችላለን ምክንያቱም ከመጋጠሚያው መስመር አመጣጥ ጋር ይዛመዳል.
አራተኛው የሞጁል ንብረት የሁለት ቁጥሮች ምርት ሞጁል የእነዚህ ቁጥሮች ሞዱል ምርት ጋር እኩል ነው። አሁን ይህ ምን ማለት እንደሆነ ጠለቅ ብለን እንመርምር። ትርጉሙን ከተከተልን እኔ እና አንተ የቁጥሮች ሀ እና ለ ምርት ሞጁል ከ b ጋር እኩል እንደሚሆን እናውቃለን፣ ወይም −(a b)፣ a b ≥ 0፣ ወይም – (a b) ከሆነ፣ a b በላይ ከሆነ 0. B መቅዳት ይህን ይመስላል፡ |a b| = |አ| |ለ|
አምስተኛው ንብረት የቁጥሮች ብዛት ሞጁል የእነዚህ ቁጥሮች ሞዱሊ ሬሾ ጋር እኩል ነው፡ |a: b| = |አ| : |ለ|
እና የቁጥር ሞጁል የሚከተሉት ባህሪዎች
የቁጥር ሞጁሉን የሚያካትቱ እኩልታዎችን እና እኩልነትን መፍታት
የቁጥር ሞጁል ያላቸውን ችግሮች ለመፍታት በሚጀምሩበት ጊዜ እንዲህ ዓይነቱን ተግባር ለመፍታት ይህ ችግር የሚዛመዱትን ንብረቶች እውቀት በመጠቀም የሞጁሉን ምልክት ማሳየት አስፈላጊ መሆኑን ማስታወስ አለብዎት ።
መልመጃ 1
ስለዚህ ፣ ለምሳሌ ፣ በሞጁል ምልክት ስር በተለዋዋጭ ላይ የሚመረኮዝ አገላለጽ ካለ ፣ ሞጁሉ በትርጉሙ መሠረት መስፋፋት አለበት ።
እርግጥ ነው, ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, ሞጁሉ በተለየ ሁኔታ ሲገለጥባቸው ሁኔታዎች አሉ. ለምሳሌ, ብንወስድ
እዚህ በሞጁል ምልክት ስር ያለው መግለጫ ለማንኛውም የ x እና y እሴቶች አሉታዊ እንዳልሆነ እናያለን።
ወይም, ለምሳሌ, እንውሰድ
ይህ ሞጁል አገላለጽ ለማንኛውም የ z እሴቶች አዎንታዊ እንዳልሆነ እናያለን።
ተግባር 2
የማስተባበር መስመር ከፊት ለፊትዎ ይታያል። በዚህ መስመር ላይ ሞጁሎቹ ከ 2 ጋር እኩል የሚሆኑ ቁጥሮችን ምልክት ማድረግ አስፈላጊ ነው.
መፍትሄ
በመጀመሪያ ደረጃ, የተቀናጀ መስመር መሳል አለብን. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ቀጥታ መስመር ላይ የመነሻውን, አቅጣጫውን እና የንጥል ክፍሉን መምረጥ ያስፈልግዎታል. በመቀጠልም ከመነሻው ሁለት የንጥል ክፍሎችን ርቀት ጋር እኩል የሆኑ ነጥቦችን ማስቀመጥ አለብን.
እንደሚመለከቱት, በመጋጠሚያው መስመር ላይ ሁለት እንደዚህ ያሉ ነጥቦች አሉ, አንደኛው ከቁጥር -2, እና ከቁጥር 2 ጋር ይዛመዳል.
ስለ ቁጥሮች ሞጁሎች ታሪካዊ መረጃ
"ሞዱል" የሚለው ቃል የመጣው ከላቲን ስም ሞዱል ሲሆን ትርጉሙም "መለኪያ" ማለት ነው. ይህ ቃል በእንግሊዛዊው የሂሳብ ሊቅ ሮጀር ኮትስ ነው። ነገር ግን የሞዱል ምልክቱ የተዋወቀው ለጀርመናዊው የሂሳብ ሊቅ ካርል ዌይርስትራስ ምስጋና ነው። ሲጻፍ አንድ ሞጁል በሚከተለው ምልክት ይገለጻል: | |
የቁሳቁስን እውቀት ለማጠናከር ጥያቄዎች
በዛሬው ትምህርት እንደ የቁጥር ሞጁል ካለው ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ተዋወቅን ፣ እና አሁን ለጥያቄዎች መልስ በመስጠት ይህንን ርዕስ እንዴት እንደ ተቆጣጠሩት እንፈትሽ ።
1. የአዎንታዊ ቁጥር ተቃራኒ የሆነው የቁጥሩ ስም ማን ይባላል?
2. ከአሉታዊ ቁጥር ተቃራኒ የሆነው የቁጥር ስም ማን ይባላል?
3. የዜሮ ተቃራኒ የሆነውን ቁጥር ይሰይሙ። እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ?
4. የቁጥር ሞጁል ሊሆን የማይችልን ቁጥር ይሰይሙ።
5. የቁጥሩን ሞጁል ይግለጹ.
የቤት ስራ
1. ከፊት ለፊትዎ በሚወርዱ ሞጁሎች ቅደም ተከተል መደርደር የሚያስፈልግዎ ቁጥሮች አሉ። ስራውን በትክክል ካጠናቀቁ, "ሞዱል" የሚለውን ቃል በሂሳብ ውስጥ ለመጀመሪያ ጊዜ ያስተዋወቀውን ሰው ስም ያገኛሉ.
2. የመጋጠሚያ መስመር ይሳሉ እና ከ M (-5) እና K (8) ወደ መነሻው ያለውን ርቀት ይፈልጉ።
ይህ ትምህርት የእውነተኛ ቁጥር ሞጁሉን ፅንሰ-ሀሳብ ይገመግማል እና አንዳንድ መሰረታዊ ፍቺዎቹን ያስተዋውቃል፣ በመቀጠልም የእነዚህን የተለያዩ ፍቺዎች አጠቃቀም የሚያሳዩ ምሳሌዎችን ይከተላል።
ርዕሰ ጉዳይ፡-እውነተኛ ቁጥሮች
ትምህርት፡-የእውነተኛ ቁጥር ሞዱል
1. ሞጁል ፍቺዎች
እንዲህ ዓይነቱን ጽንሰ-ሐሳብ እንደ የእውነተኛ ቁጥር ሞጁሎች እንመልከተው፤ በርካታ ትርጓሜዎች አሉት።
ፍቺ 1. በመጋጠሚያ መስመር ላይ ካለው ነጥብ ወደ ዜሮ ያለው ርቀት ይባላል የሞዱል ቁጥርየዚህ ነጥብ መጋጠሚያ የሆነው (ምስል 1).
ምሳሌ 1. 
. የተቃራኒ ቁጥሮች ሞዱሊዎች እኩል እና አሉታዊ ያልሆኑ መሆናቸውን ልብ ይበሉ ፣ ይህ ርቀት ስለሆነ ፣ ግን አሉታዊ ሊሆን አይችልም ፣ እና ከቁጥሮች ከዜሮ እስከ መነሻው ያለው ርቀት እኩል ነው።
ፍቺ 2. 
.
ምሳሌ 2. የቀረቡትን ትርጓሜዎች እኩያነት ለማሳየት ባለፈው ምሳሌ ላይ ከተነሱት ችግሮች አንዱን እንመልከት። 
, እንደምናየው, በሞጁል ምልክት ስር ካለው አሉታዊ ቁጥር ጋር, ከፊት ለፊቱ ሌላ ተቀንሶ መጨመር አሉታዊ ያልሆነ ውጤት ያቀርባል, ከሞጁል ፍቺው እንደሚከተለው.
መዘዝ። በመጋጠሚያ መስመር ላይ ባሉ መጋጠሚያዎች በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት እንደሚከተለው ሊገኝ ይችላል 
ምንም ይሁን ምን አንጻራዊ አቀማመጥነጥቦች (ምስል 2).
2. የሞጁሉ መሰረታዊ ባህሪያት
1. የማንኛውም ቁጥር ሞጁል አሉታዊ አይደለም
2. የምርት ሞጁሎች የሞጁሎች ውጤት ነው።
3. የቁጥር ሞጁል የሞጁሎች ብዛት ነው።
3. ችግር መፍታት
ምሳሌ 3. እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ሁለተኛውን ሞጁል ትርጉም እንጠቀም፡- 
እና የእኛን እኩልታ በስርዓተ ቀመር መልክ ይፃፉ ለ የተለያዩ አማራጮችሞጁሉን መክፈት.
ምሳሌ 4. እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ከቀዳሚው ምሳሌ ጋር ተመሳሳይነት ያለው, ያንን እናገኛለን.
ምሳሌ 5. እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ከሞጁሉ የመጀመሪያ ትርጉም በመግለጫ እንፍታ። የሚፈለገው ሥር ከ 2 ነጥብ 3 (ምስል 3) በ 2 ርቀት ላይ እንደሚሆን ግምት ውስጥ በማስገባት ይህንን በቁጥር ዘንግ ላይ እናሳይ.
በሥዕሉ ላይ በመመስረት ፣ የእኩልታውን ሥሮች እናገኛለን- 
, እንደዚህ ያሉ መጋጠሚያዎች ያላቸው ነጥቦች ከ 2 ነጥብ 3 ርቀት ላይ ስለሚገኙ, በቀመር ውስጥ እንደ አስፈላጊነቱ.
መልስ። .
ምሳሌ 6. እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ካለፈው ችግር ጋር ሲወዳደር አንድ ውስብስብ ነገር ብቻ ነው - ይህ በሞጁሉ ምልክት ስር የመደመር ምልክት እንጂ የመቀነስ ምልክት ስላለ በመጋጠሚያው ዘንግ ላይ ባሉ ቁጥሮች መካከል ስላለው ርቀት ከኮሎሪ አጻጻፍ ጋር ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይነት የለውም። ምልክት. ነገር ግን ወደ አስፈላጊው ቅጽ ማምጣት አስቸጋሪ አይደለም, እኛ የምናደርገውን ነው:
ይህንን በቁጥር ዘንግ ላይ ከቀዳሚው መፍትሄ ጋር ተመሳሳይ በሆነ መልኩ እናሳይ (ምስል 4)።
የእኩልታው ሥሮች 
.
መልስ። .
ምሳሌ 7. እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ይህ እኩልታ ከቀዳሚው ትንሽ የበለጠ የተወሳሰበ ነው ፣ ምክንያቱም የማይታወቅ በሁለተኛ ደረጃ ላይ የሚገኝ እና የመቀነስ ምልክት ስላለው ፣ በተጨማሪም ፣ የቁጥር ብዜት አለው። የመጀመሪያውን ችግር ለመፍታት ከሞጁል ባህሪዎች ውስጥ አንዱን እንጠቀማለን እና የሚከተሉትን እናገኛለን
ሁለተኛውን ችግር ለመፍታት, የተለዋዋጮችን ለውጥ እናድርግ: ይህም ወደ ቀላሉ እኩልነት ይመራናል. በሁለተኛው የሞጁል ትርጉም 
. እነዚህን ሥሮች በተተኪው እኩልታ ይተኩ እና ሁለት መስመራዊ እኩልታዎችን ያግኙ።
መልስ። 
.
4. ካሬ ሥር እና ሞጁል
ብዙውን ጊዜ ችግሮችን ከሥሮች ጋር ሲፈቱ, ሞጁሎች ይነሳሉ, እና ለሚነሱባቸው ሁኔታዎች ትኩረት መስጠት አለብዎት.
በዚህ ማንነት ላይ በመጀመሪያ ሲታይ ጥያቄዎች ሊነሱ ይችላሉ: "ለምን እዚያ ሞጁል አለ?" እና "ማንነቱ ለምን ውሸት ነው?" ለሁለተኛው ጥያቄ ቀላል ተቃራኒ ምሳሌ ልንሰጥ እንችላለን-ይህ እውነት ከሆነ ፣ እሱ እኩል ነው ፣ ግን ይህ የውሸት ማንነት ነው።
ከዚህ በኋላ ጥያቄው ሊነሳ ይችላል: "እንዲህ ዓይነቱ ማንነት ችግሩን አይፈታውም?", ነገር ግን ለዚህ ሀሳብ ተቃራኒ ምሳሌም አለ. ይህ እውነት ከሆነ, ይህ እኩል ነው, ግን ይህ የውሸት ማንነት ነው.
በዚህ መሠረት, ያንን ካስታወስን ካሬ ሥርአሉታዊ ያልሆነ ቁጥር አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው፣ እና የሞጁል እሴቱ አሉታዊ አይደለም፣ ከላይ ያለው መግለጫ ለምን እውነት እንደሆነ ግልጽ ይሆናል፡-
.
ምሳሌ 8. የገለጻውን ዋጋ አስሉ.
መፍትሄ። በእንደዚህ ዓይነት ተግባራት ውስጥ, ሳያስቡት ወዲያውኑ ሥሩን ማስወገድ ሳይሆን ከላይ የተጠቀሰውን ማንነት መጠቀም አስፈላጊ ነው, ምክንያቱም .
እንደ ልዩ ቁጥር, ምንም ምልክት የለውም.
የአጻጻፍ ቁጥሮች ምሳሌዎች፡- + 36, 6; - 273; 142. (\ displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) የመጨረሻው ቁጥርምንም ምልክት የለውም ስለዚህ አዎንታዊ ነው.
ፕላስ እና ሲቀነስ ለቁጥሮች ምልክት እንደሚያመለክቱ ልብ ሊባል ይገባል ፣ ግን ለጥሬ ተለዋዋጮች ወይም ለአልጀብራ መግለጫዎች አይደለም። ለምሳሌ, በቀመር ውስጥ - ቲ; a+b; - (a 2 + b 2) (\ displaystyle -t;\ a+b; (a^(2)+b^(2)))የመደመር እና የመቀነስ ምልክቶች ምልክቱን እንጂ የሚቀድሙትን አገላለጽ ምልክት አይገልጹም። የሂሳብ አሠራር, ስለዚህ የውጤቱ ምልክት ማንኛውም ሊሆን ይችላል, የሚወሰነው መግለጫው ከተገመገመ በኋላ ብቻ ነው.
ከሒሳብ በተጨማሪ የምልክት ጽንሰ-ሐሳብ በሌሎች የሂሳብ ቅርንጫፎች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል, ለቁጥር ያልሆኑ የሂሳብ ዕቃዎችን (ከዚህ በታች ይመልከቱ). የምልክት ጽንሰ-ሐሳብ እንዲሁ አካላዊ መጠኖች በሁለት ክፍሎች የተከፋፈሉባቸው የፊዚክስ ቅርንጫፎች አስፈላጊ ናቸው ፣ በተለምዶ አወንታዊ እና አሉታዊ ተብለው ይጠራሉ - ለምሳሌ የኤሌክትሪክ ክፍያዎች ፣ አወንታዊ እና አሉታዊ ግብረመልሶች ፣ የተለያዩ የመሳብ እና የማስወገድ ኃይሎች።
የቁጥር ምልክት
አዎንታዊ እና አሉታዊ ቁጥሮች
ዜሮ ምንም ምልክት አልተሰጠም, ማለትም + 0 (\ displaystyle +0)እና - 0 (\ displaystyle -0)- ይህ በሂሳብ ውስጥ ተመሳሳይ ቁጥር ነው. በሂሳብ ትንተና, የምልክቶች ትርጉም + 0 (\ displaystyle +0)እና - 0 (\ displaystyle -0)ሊለያይ ይችላል, ስለዚህ አሉታዊ እና አወንታዊ ዜሮ ይመልከቱ; በኮምፒዩተር ሳይንስ የኮምፒዩተር ኢንኮዲንግ ሁለት ዜሮዎች (ኢንቲጀር ዓይነት) ሊለያይ ይችላል, ቀጥታ ኮድ ይመልከቱ.
ከላይ ከተጠቀሱት ጋር በተያያዘ፣ በርካታ ተጨማሪ ጠቃሚ ቃላት ቀርበዋል።
- ቁጥር አሉታዊ ያልሆነ, ከዜሮ በላይ ወይም እኩል ከሆነ.
- ቁጥር አሉታዊ, ከዜሮ ያነሰ ወይም እኩል ከሆነ.
- ዜሮ የሌላቸው አዎንታዊ ቁጥሮች እና አሉታዊ ቁጥሮች አንዳንድ ጊዜ (ዜሮ ያልሆኑ መሆናቸውን ለማጉላት) እንደ ቅደም ተከተላቸው "ጥብቅ አወንታዊ" እና "ጥብቅ አሉታዊ" ይባላሉ.
አንዳንድ ጊዜ ለትክክለኛ ተግባራት ተመሳሳይ ቃላት ጥቅም ላይ ይውላሉ. ለምሳሌ, ተግባሩ ይባላል አዎንታዊሁሉም እሴቶቹ አዎንታዊ ከሆኑ አሉታዊ ያልሆነሁሉም እሴቶቹ አሉታዊ ካልሆኑ ወዘተ. በተጨማሪም አንድ ተግባር በተወሰነ የጊዜ ልዩነት ላይ አዎንታዊ / አሉታዊ ነው ይላሉ.
ተግባሩን ለመጠቀም ምሳሌ፣ ጽሑፉን ይመልከቱ ካሬ root # ውስብስብ ቁጥሮች።
የቁጥር ሞዱለስ (ፍፁም እሴት)
ቁጥር ከሆነ x (\ displaystyle x)ምልክቱን ያስወግዱ, የተገኘው እሴት ይባላል ሞጁልወይም ፍጹም ዋጋቁጥሮች x (\ displaystyle x)፣ የተሰየመ ነው። | x | . (\ displaystyle |x|.)ምሳሌዎች፡- | 3 | = 3; | - 3 | = 3. (\ displaystyle |3|=3፤\ |(-3)|=3።)
ለማንኛውም እውነተኛ ቁጥሮች a, b (\ displaystyle a,b)የሚከተሉት ንብረቶች ይይዛሉ.
ቁጥር ላልሆኑ ነገሮች ይመዝገቡ
የማዕዘን ምልክት
በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የማዕዘን ዋጋ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ከተለካ እንደ አዎንታዊ ይቆጠራል, አለበለዚያ አሉታዊ. ሁለት የማዞሪያ ጉዳዮች በተመሳሳይ ሁኔታ ይመደባሉ-
- በአውሮፕላን ላይ መሽከርከር - ለምሳሌ በ (-90 °) መዞር በሰዓት አቅጣጫ ይከሰታል;
- "የጂምሌት ደንብ" ከተሟላ፣ በጠቆመ ዘንግ ዙሪያ ያለው የቦታ መሽከርከር በአጠቃላይ እንደ አወንታዊ ይቆጠራል፣ ካልሆነ ግን እንደ አሉታዊ ይቆጠራል።
አቅጣጫ ምልክት
በትንታኔ ጂኦሜትሪ እና ፊዚክስ፣ በተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ወይም ከርቭ ላይ ያሉ እድገቶች ብዙውን ጊዜ በተለምዶ በአዎንታዊ እና በአሉታዊ ይከፋፈላሉ። እንዲህ ዓይነቱ ክፍፍል በችግሩ አሠራር ወይም በተመረጠው የማስተባበር ስርዓት ላይ ሊወሰን ይችላል. ለምሳሌ፣ የክርቭውን ቅስት ርዝመት ሲያሰሉ፣ ብዙውን ጊዜ የመቀነስ ምልክት በዚህ ርዝመት ከሁለት አቅጣጫዎች በአንዱ ለመመደብ ምቹ ነው።
በመለያ ይግቡ
| በጣም አስፈላጊ ትንሽ | |||||||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | = | 127 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | = | 126 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | = | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | = | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | = | −1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | = | −2 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | = | −127 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | −128 |
| የኢንቲጀር ምልክትን ለመወከል አብዛኞቹ ኮምፒውተሮች ይጠቀማሉ | |||||||||
ዛሬ, ጓደኞች, ምንም snot ወይም ስሜታዊነት አይኖርም. በምትኩ፣ ምንም አይነት ጥያቄ ሳይጠየቅ፣ ከ8ኛ-9ኛ ክፍል የአልጀብራ ኮርስ ውስጥ ካሉት በጣም አስፈሪ ተቃዋሚዎች ጋር ወደ ጦርነት እልክሃለሁ።
አዎ, ሁሉንም ነገር በትክክል ተረድተዋል: እየተነጋገርን ያለነው ስለ ሞጁሎች አለመመጣጠን ነው. እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች 90% የሚሆነውን ለመፍታት የሚማሩባቸውን አራት መሰረታዊ ቴክኒኮችን እንመለከታለን። የቀረው 10%ስ? ደህና ፣ ስለእነሱ በተለየ ትምህርት እንነጋገራለን ። :)
ሆኖም ግን, የትኛውንም ቴክኒኮችን ከመተንተን በፊት, አስቀድመው ማወቅ ያለብዎትን ሁለት እውነታዎች ላስታውስዎ እፈልጋለሁ. ያለበለዚያ የዛሬውን ትምህርት ቁሳቁስ ሙሉ በሙሉ ላለመረዳት አደጋ ሊያጋጥምዎት ይችላል።
አስቀድመው ማወቅ ያለብዎት
ካፒቴን ግልጽነት ከሞጁል ጋር እኩልነትን ለመፍታት ሁለት ነገሮችን ማወቅ እንደሚያስፈልግ የሚጠቁም ይመስላል።
- እኩልነት እንዴት እንደሚፈታ;
- ሞጁል ምንድን ነው?
በሁለተኛው ነጥብ እንጀምር።
የሞዱል ፍቺ
እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. ሁለት ትርጓሜዎች አሉ-አልጀብራ እና ግራፊክ. ለመጀመር - አልጀብራ:
ፍቺ የ$x$ የቁጥር ሞጁል ወይ ቁጥሩ ራሱ፣ አሉታዊ ካልሆነ፣ ወይም ቁጥሩ ከእሱ ጋር ተቃራኒ ከሆነ፣ ዋናው $x$ አሁንም አሉታዊ ከሆነ።
እንዲህ ተብሎ ተጽፏል።
\[\ግራ| x \ቀኝ|=\ግራ\(\ጀምር(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\ end(align) \ right.\]
መናገር በቀላል ቋንቋ, ሞጁሉስ "የማይቀነስ ቁጥር" ነው. እና በዚህ ድርብነት ውስጥ ነው (በአንዳንድ ቦታዎች ከዋናው ቁጥር ጋር ምንም ነገር ማድረግ አይጠበቅብዎትም ፣ በሌሎች ውስጥ ግን አንድ ዓይነት ቅነሳን ማስወገድ አለብዎት) ለጀማሪ ተማሪዎች አጠቃላይ ችግር ያለው እዚህ ነው።
ሌላም አለ? የጂኦሜትሪክ ትርጉም. ማወቅም ጠቃሚ ነው, ነገር ግን ወደ እሱ የምንዞረው ውስብስብ እና አንዳንድ ልዩ በሆኑ ጉዳዮች ብቻ ነው, የጂኦሜትሪክ አቀራረብ ከአልጀብራ የበለጠ ምቹ ነው (አስፋፊ: ዛሬ አይደለም).
ፍቺ ነጥብ $a$ በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ይደረግ። ከዚያም ሞጁሉ $ \ ግራ| x-a \right|$ በዚህ መስመር ላይ ከ$x$ እስከ ነጥብ $a$ ያለው ርቀት ነው።
ስዕል ከሳሉት እንደዚህ ያለ ነገር ያገኛሉ።
ግራፊክ ፍቺሞጁል አንድ መንገድ ወይም ሌላ ፣ ከሞጁል ፍቺው ቁልፍ ባህሪው ወዲያውኑ ይከተላል። የቁጥር ሞጁል ሁል ጊዜ አሉታዊ ያልሆነ መጠን ነው።. ይህ እውነታ ዛሬ በአጠቃላይ ትረካችን ውስጥ የሚያልፍ ቀይ ክር ይሆናል።
አለመመጣጠን መፍታት። የጊዜ ክፍተት ዘዴ
አሁን እኩል አለመሆንን እንመልከት። ከእነሱ ውስጥ በጣም ብዙ ናቸው, ነገር ግን የእኛ ተግባር አሁን ቢያንስ ቀላሉን መፍታት መቻል ነው. የሚወርዱት የመስመር አለመመጣጠን, እንዲሁም ወደ ክፍተት ዘዴ.
በዚህ ርዕስ ላይ ሁለት ትላልቅ ትምህርቶች አሉኝ (በነገራችን ላይ ፣ በጣም ፣ በጣም ጠቃሚ - እነሱን እንዲያጠኑ እመክራለሁ)
- ለእኩልነት ክፍተት ዘዴ(በተለይ ቪዲዮውን ይመልከቱ);
- ክፍልፋይ ምክንያታዊ አለመመጣጠን- በጣም ትልቅ ትምህርት ፣ ግን ከዚያ በኋላ ምንም ጥያቄዎች አይኖሩዎትም።
ይህንን ሁሉ ካወቁ ፣ “ከእኩልነት ወደ እኩልነት እንሸጋገር” የሚለው ሐረግ እራስዎን ግድግዳው ላይ ለመምታት ግልፅ ፍላጎት ካላሳየዎት ዝግጁ ነዎት - ወደ ሲኦል እንኳን ደህና መጡ ወደ የትምህርቱ ዋና ርዕስ። :)
1. የቅጹ አለመመጣጠን "ሞዱሉስ ከተግባር ያነሰ ነው"
ይህ በሞጁሎች ውስጥ በጣም የተለመዱ ችግሮች አንዱ ነው. የቅጹን እኩልነት ለመፍታት ያስፈልጋል፡-
\[\ግራ| f\ቀኝ| \ltg\]
ተግባራቶቹ $f$ እና $g$ ማንኛውም ሊሆኑ ይችላሉ፣ ግን አብዛኛውን ጊዜ ፖሊኖሚሎች ናቸው። የእንደዚህ አይነት አለመመጣጠን ምሳሌዎች
\[\ጀምር (አሰላለፍ) & \ ግራ| 2x+3 \ቀኝ| \lt x+7; \\ & \ግራ| ((x)^(2))+2x-3 \ቀኝ|+3\ግራ(x+1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ| ((x)^(2))-2\ግራ| x \ቀኝ|-3 \ቀኝ| \lt 2. \\\ መጨረሻ(align)\]
በሚከተለው ዕቅድ መሠረት ሁሉም በአንድ መስመር ውስጥ በትክክል መፍታት ይችላሉ-
\[\ግራ| f\ቀኝ| \lt g\ቀኝ ቀስት -g \lt f \lt g\quad \ግራ(\ቀኝ ቀስት \ግራ \\\ጀማሪ(align) & f \lt g ፣ \\ & f \gt -g \\\መጨረሻ(align) \ ትክክል \\ ትክክል) \]
ሞጁሉን እንደምናስወግድ ለማየት ቀላል ነው, ነገር ግን በምላሹ ሁለት እኩልነት (ወይም, ተመሳሳይ ነገር, የሁለት እኩልነት ስርዓት) እናገኛለን. ነገር ግን ይህ ሽግግር ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ችግሮችን ግምት ውስጥ ያስገባል: በሞጁሉ ስር ያለው ቁጥር አዎንታዊ ከሆነ, ዘዴው ይሠራል; አሉታዊ ከሆነ, አሁንም ይሰራል; እና በ$ f$ ወይም $g$ ምትክ በጣም በቂ ያልሆነ ተግባር እንኳን ቢሆን፣ ዘዴው አሁንም ይሰራል።
በተፈጥሮ, ጥያቄው የሚነሳው: ቀላል ሊሆን አይችልም? በሚያሳዝን ሁኔታ, አይቻልም. ይህ የሞጁሉ አጠቃላይ ነጥብ ነው።
ሆኖም ፣ ከፍልስፍና ጋር በቂ። ሁለት ችግሮችን እንፍታ፡-
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| 2x+3 \ቀኝ| \lt x+7\]
መፍትሄ። ስለዚህ ፣ በፊታችን “ሞጁሉ ትንሽ ነው” የሚል ቅፅ ክላሲክ አለመመጣጠን አለን - የሚቀየር ምንም እንኳን የለም። በአልጎሪዝም መሠረት እንሰራለን-
\[\ጀምር (አሰላለፍ) & \ ግራ| f\ቀኝ| \lt g\ቀኝ ቀስት -g \lt f \lt g; \\ & \ግራ| 2x+3 \ቀኝ| \lt x+7\ ቀኝ ቀስት -\ ግራ(x+7 \\ lt 2x+3 \lt x+7 \\\ መጨረሻ(align)\]
ከ “መቀነስ” በፊት ያሉትን ቅንፎች ለመክፈት አትቸኩል፡ በችኮላህ ምክንያት አፀያፊ ስህተት ልትሰራ ትችላለህ።
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\ግራ\\(\ጀምር(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\\ end(align) \ right.\]
\[\ግራ\\(\ጀምር(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ end(align) \ right\]
\[\ ግራ \ ( \ መጀመሪያ (align) & x \ gt - \ frac (10) (3) \\ & x \ lt 4 \\ \ መጨረሻ (align) \\ ቀኝ\]
ችግሩ ወደ ሁለት የመጀመሪያ ደረጃ አለመመጣጠን ተቀንሷል። መፍትሄዎቻቸውን በትይዩ ቁጥር መስመሮች ላይ እናስተውል፡-
የብዙዎች መገናኛ
የእነዚህ ስብስቦች መገናኛ መልሱ ይሆናል.
መልስ፡$x\በግራ(-\frac(10)(3);4 \ቀኝ)$
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| ((x)^(2))+2x-3 \ቀኝ|+3\ግራ(x+1 \ቀኝ) \lt 0\]
መፍትሄ። ይህ ተግባር ትንሽ የበለጠ ከባድ ነው. በመጀመሪያ፣ ሁለተኛውን ቃል ወደ ቀኝ በማንቀሳቀስ ሞጁሉን እንለይ።
\[\ግራ| ((x)^(2))+2x-3 \ቀኝ| \lt -3\ግራ(x+1 \በቀኝ)\]
በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው እንደገና “ሞጁሉ ትንሽ ነው” የሚለው ቅጽ እኩልነት አለን ፣ ስለሆነም ሞጁሉን ቀድሞውኑ የሚታወቀውን ስልተ ቀመር በመጠቀም እናስወግዳለን-
\[-\ግራ(-3\ግራ(x+1 \ቀኝ) \ቀኝ) \lt((x)^(2))+2x-3 \lt -3\ግራ(x+1 \ቀኝ)\]
አሁን ትኩረት፡ አንድ ሰው በእነዚህ ሁሉ ቅንፎች ትንሽ ጠማማ ነኝ ይላል። ግን ቁልፍ ግባችን መሆኑን በድጋሚ ላስታውስህ እኩልነትን በትክክል ይፍቱ እና መልሱን ያግኙ. በኋላ፣ በዚህ ትምህርት ውስጥ የተገለጹትን ነገሮች በሙሉ በሚገባ ከተለማመዱ፣ እንደፈለጋችሁት እራስዎ ማጣመም ትችላላችሁ፡ ቅንፍ ክፈት፣ ማይነስ መጨመር፣ ወዘተ.
ለመጀመር፣ በግራ በኩል ያለውን ድርብ መቀነስ በቀላሉ እናስወግደዋለን፡-
\[-\ግራ(-3\ግራ(x+1 \ቀኝ)\ቀኝ)=\ግራ(-1 \ቀኝ)\cdot \ግራ(-3 \ቀኝ)\cdot \ግራ(x+1 \ቀኝ) =3\ግራ(x+1 \በቀኝ)\]
አሁን ሁሉንም ቅንፎች በእጥፍ አለመመጣጠን ውስጥ እንክፈታቸው።
ወደ ድርብ አለመመጣጠን እንሂድ። በዚህ ጊዜ ስሌቶቹ የበለጠ ከባድ ይሆናሉ-
\[\ግራ\(\ጀምር(አሰላለፍ)&((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ መጨረሻ (አሰላለፍ) \\ ቀኝ \]
\[\ ግራ \( \ መጀመሪያ (አሰላለፍ) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \ መጨረሻ() አሰልፍ)\ቀኝ።\]
ሁለቱም አለመመጣጠኖች ኳድራቲክ ናቸው እና በክፍተቱ ዘዴ ሊፈቱ ይችላሉ (ለዚያም ነው የምለው: ይህ ምን እንደሆነ ካላወቁ እስካሁን ድረስ ሞጁሎችን አለመውሰድ የተሻለ ነው). ወደ መጀመሪያው እኩልነት ወደ እኩልነት እንሂድ፡-
\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ግራ(x+5 \ቀኝ)=0; \\ & (((x)__(1))=0;((x)__(2))=-5። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
እንደምታዩት ውጤቱ አልተጠናቀቀም ነበር። ኳድራቲክ እኩልታ, በአንደኛ ደረጃ ሊፈታ የሚችል. አሁን ሁለተኛውን የስርዓቱን እኩልነት እንይ. እዚያ የቪዬታ ቲዎሬምን ተግባራዊ ማድረግ አለቦት፡-
\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((x)^(2)) -x-6=0; \\ & \ግራ(x-3 \ቀኝ)\ግራ(x+2 \ቀኝ)=0; \\& ((x)__(1))=3;((x)__(2))=-2። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
የውጤቱን ቁጥሮች በሁለት ትይዩ መስመሮች ላይ ምልክት እናደርጋለን (ለመጀመሪያው እኩልነት የተለየ እና ለሁለተኛው ይለያል)
እንደገና ፣ የእኩልነት ስርዓትን እየፈታን ስለሆነ ፣ በጥላ የተደረደሩ ስብስቦች መገናኛ ላይ ፍላጎት አለን-$ x \ በ \ በግራ (-5; - 2 \ ቀኝ) $። መልሱ ይህ ነው።
መልስ፡-$x\በግራ(-5;-2 \ቀኝ)$
ከእነዚህ ምሳሌዎች በኋላ የመፍትሄው እቅድ በጣም ግልፅ ነው ብዬ አስባለሁ-
- ሁሉንም ሌሎች ቃላቶች ወደ እኩልነት ወደ ተቃራኒው ጎን በማንቀሳቀስ ሞጁሉን ይንቁ. ስለዚህ የ$\left| ቅጹን እኩልነት እናገኛለን f\ቀኝ| \ltg$
- ከላይ በተገለጸው እቅድ መሰረት ሞጁሉን በማስወገድ ይህንን እኩልነት ይፍቱ. በአንድ ወቅት, ከእጥፍ እኩልነት ወደ ሁለት ገለልተኛ አገላለጾች ስርዓት መሄድ አስፈላጊ ይሆናል, እያንዳንዱም ቀድሞውኑ በተናጠል ሊፈታ ይችላል.
- በመጨረሻም፣ የቀረው ሁሉ የእነዚህን ሁለት ገለልተኛ አገላለጾች መፍትሄዎች መቆራረጥ ብቻ ነው - እና ያ ነው፣ የመጨረሻውን መልስ እናገኛለን።
ተመሳሳይ ስልተ-ቀመር ለሚከተሉት ዓይነት እኩልነት አለ, ሞጁሉ ሲፈጠር ተጨማሪ ባህሪያት. ሆኖም ግን, ሁለት ከባድ "ግን" አሉ. ስለእነዚህ "ግን" አሁን እንነጋገራለን.
2. የቅጹ አለመመጣጠን "ሞዱሉስ ከተግባር ይበልጣል"
እነሱም ይህን ይመስላል።
\[\ግራ| f\ቀኝ| \gtg\]
ከቀዳሚው ጋር ይመሳሰላል? ይመስላል። እና ግን እንደዚህ አይነት ችግሮች ፍጹም በተለየ መንገድ ተፈትተዋል. በመደበኛነት መርሃግብሩ እንደሚከተለው ነው-
\[\ግራ| f\ቀኝ| \gt g\ቀኝ ቀስት \ግራ[\ጀምር(align) & f \gt g፣ \\ & f \lt -g \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
በሌላ አነጋገር ሁለት ጉዳዮችን እንመለከታለን፡-
- በመጀመሪያ, በቀላሉ ሞጁሉን ችላ ብለን የተለመደውን እኩልነት እንፈታለን;
- ከዚያም፣ በመሰረቱ፣ ሞጁሉን በመቀነስ ምልክት እናሰፋዋለን፣ እና ከዚያ ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በ -1 እናባዛለን፣ ምልክቱ እያለኝ ነው።
በዚህ ሁኔታ, አማራጮቹ ከካሬ ቅንፍ ጋር ይጣመራሉ, ማለትም. በፊታችን የሁለት መስፈርቶች ጥምረት አለን።
እባክዎን እንደገና ያስተውሉ፡ ይህ ስርዓት አይደለም፣ ግን አጠቃላይ ነው፣ ስለሆነም በመልሱ ውስጥ ስብስቦቹ ከመጠላለፍ ይልቅ ይጣመራሉ. ይህ ከቀዳሚው ነጥብ መሠረታዊ ልዩነት ነው!
በአጠቃላይ፣ ብዙ ተማሪዎች ከማህበራት እና ከመገናኛዎች ጋር ሙሉ በሙሉ ግራ ተጋብተዋል፣ ስለዚህ ይህን ጉዳይ ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ እንፍታው።
- "∪" የህብረት ምልክት ነው። በመሰረቱ፣ ይህ ወደ እኛ የመጣው በቅጥ የተሰራ ፊደል "U" ነው። በእንግሊዝኛእና ለ "ህብረት" ምህጻረ ቃል ነው, ማለትም. "ማህበራት".
- "∩" የመገናኛ ምልክት ነው። ይህ ቆሻሻ ከየትኛውም ቦታ አልመጣም, ነገር ግን በቀላሉ ለ "∪" እንደ መቃወም ታየ.
ለማስታወስ ቀላል ለማድረግ ፣ መነፅር ለመስራት እግሮችን ወደ እነዚህ ምልክቶች ይሳሉ (ልክ አሁን የአደንዛዥ ዕፅ ሱሰኝነትን እና የአልኮል ሱሰኝነትን በማስተዋወቅ አትክሰሱኝ-ይህን ትምህርት በቁም ነገር እያጠኑ ከሆነ ፣ ከዚያ እርስዎ ቀድሞውኑ የአደንዛዥ ዕፅ ሱሰኛ ነዎት)
በመስቀለኛ መንገድ እና ስብስቦች መካከል ያለው ልዩነት ወደ ሩሲያኛ ተተርጉሟል ፣ ይህ ማለት የሚከተለው ማለት ነው-ህብረቱ (ጠቅላላ) ከሁለቱም ስብስቦች ውስጥ አካላትን ያጠቃልላል ፣ ስለሆነም ከእያንዳንዳቸው ያነሰ አይደለም ። ነገር ግን መገናኛው (ሲስተም) በመጀመሪያው ስብስብ እና በሁለተኛው ውስጥ በአንድ ጊዜ ያሉትን ንጥረ ነገሮች ብቻ ያካትታል. ስለዚህ, ስብስቦች መገናኛ ከምንጩ ስብስቦች ፈጽሞ አይበልጥም.
ስለዚህ የበለጠ ግልጽ ሆነ? አሪፍ ነው. ወደ ልምምድ እንሂድ።
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| 3x+1 \ቀኝ| \gt 5-4x\]
መፍትሄ። በእቅዱ መሠረት እንቀጥላለን-
\[\ግራ| 3x+1 \ቀኝ| \gt 5-4x\ቀኝ ቀስት ግራ[\ጀምር(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\ ግራ(5-4x \ቀኝ) \\\መጨረሻ(align) ቀኝ.\]
በሕዝብ ውስጥ ያለውን እያንዳንዱን እኩልነት እንፈታለን-
\[\ግራ[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
\[\ግራ[\ጀማሪ(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
\[\ግራ[\ጀምር(align) & x \gt 4/7 \\ & x \gt 6 \\ \ መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
እያንዳንዱ የውጤት ስብስብ በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን እና ከዚያ ያጣምሯቸዋል-
ስብስቦች ህብረት
መልሱ $x\በግራ(\frac(4)(7)+\infty \ቀኝ)$ እንደሚሆን ግልፅ ነው።
መልስ፡$x\በግራ(\frac(4)(7)+\infty \ቀኝ)$
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| ((x)^(2))+2x-3 \ቀኝ| \gt x\]
መፍትሄ። ደህና? ምንም - ሁሉም ነገር አንድ ነው. ከሞዱል ጋር ካለው እኩልነት ወደ ሁለት አለመመጣጠን እንሸጋገራለን፡-
\[\ግራ| ((x)^(2))+2x-3 \ቀኝ| \gt x\ ቀኝ ቀስት \ ግራ[ \ጀምር (align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \\ቀኝ\]
እያንዳንዱን እኩልነት እንፈታዋለን. እንደ አለመታደል ሆኖ ሥሮቹ በጣም ጥሩ አይሆኑም-
\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & (((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ሁለተኛው እኩልነት ደግሞ ትንሽ ዱር ነው፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
አሁን እነዚህን ቁጥሮች በሁለት ዘንጎች ላይ ምልክት ማድረግ አለብዎት - ለእያንዳንዱ እኩልነት አንድ ዘንግ. ሆኖም ፣ ነጥቦች በ ውስጥ ምልክት መደረግ አለባቸው በትክክለኛው ቅደም ተከተል: እንዴት ትልቅ ቁጥር, የበለጠ ነጥቡን ወደ ቀኝ እናዞራለን.
እና እዚህ ማዋቀር ይጠብቀናል። ሁሉም ነገር በቁጥሮች ግልጽ ከሆነ $\frac (-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (የመጀመሪያው አሃዛዊ ውል ክፍልፋይ በሁለተኛው አሃዛዊ ውስጥ ካሉት ቃላቶች ያነሱ ናቸው፣ ስለዚህ ድምሩም እንዲሁ ያነሰ ነው) ከቁጥሮች $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21)) (2) $ እንዲሁ ምንም ችግሮች አይኖሩም (አዎንታዊ ቁጥር በግልጽ የበለጠ አሉታዊ) ፣ ከዚያ በመጨረሻዎቹ ጥንዶች ሁሉም ነገር ግልፅ አይደለም ። የትኛው ይበልጣል፡$\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ወይም $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? በቁጥር መስመሮች ላይ የነጥቦች አቀማመጥ እና በእውነቱ, መልሱ ለዚህ ጥያቄ መልስ ይወሰናል.
እንግዲያው እናነፃፅር፡-
\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]
ሥሩን ለይተናል ፣ በሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ላይ አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን አግኝተናል ፣ ስለዚህ ሁለቱንም ጎኖች የማሳጠር መብት አለን።
\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((\ግራ(2+\sqrt(13)\ቀኝ))^(2))\vee ((\ግራ(\sqrt(21)\ቀኝ)))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ end(matrix)\]
እኔ እንደማስበው $4\sqrt(13) \gt 3$፣ so $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) 2)$ ፣ በመጥረቢያዎቹ ላይ የመጨረሻዎቹ ነጥቦች እንደሚከተለው ይቀመጣሉ ።
አስቀያሚ ሥሮች ጉዳይ
አንድን ስብስብ እየፈታን መሆኑን ላስታውስህ፣ ስለዚህ መልሱ ኅብረት ይሆናል እንጂ የተጠላለፉ ስብስቦች መገናኛ አይሆንም።
መልስ፡-$x\በግራ(-\infty)፣\frac(-3+\sqrt(21))(2) \ቀኝ)\bigcup \ግራ(\frac(-1+\sqrt(13)))(2) )+\infty \ቀኝ)$
እንደሚመለከቱት, የእኛ እቅድ ለሁለቱም በጣም ጥሩ ነው ቀላል ተግባራትእና በጣም ከባድ ለሆኑ። በዚህ አቀራረብ ውስጥ ብቸኛው "ደካማ ነጥብ" ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን በትክክል ማወዳደር ያስፈልግዎታል (እና እኔን አምናለሁ: እነዚህ ሥሮች ብቻ አይደሉም). ነገር ግን የተለየ (እና በጣም ከባድ) ትምህርት በንፅፅር ጉዳዮች ላይ ይውላል። እና እንቀጥላለን.
3. ከአሉታዊ ያልሆኑ "ጅራት" ጋር አለመመጣጠን
አሁን ወደ በጣም አስደሳች ክፍል ደርሰናል. እነዚህ የቅጹ እኩልነቶች ናቸው፡-
\[\ግራ| f\ቀኝ| \gt\ግራ| g\ቀኝ|\]
በአጠቃላይ አሁን የምንናገረው ስልተ ቀመር ለሞጁሉ ብቻ ትክክል ነው። በግራ እና በቀኝ የተረጋገጡ አሉታዊ ያልሆኑ መግለጫዎች ባሉበት በሁሉም እኩልነት ውስጥ ይሰራል።
በእነዚህ ተግባራት ምን ይደረግ? ብቻ ያስታውሱ፡-
አሉታዊ ባልሆኑ "ጭራዎች" እኩልነት, ሁለቱም ወገኖች ወደ ማንኛውም ሊነሱ ይችላሉ የተፈጥሮ ዲግሪ. ምንም ተጨማሪ ገደቦች አይኖሩም.
በመጀመሪያ ፣ እኛ ስኩዌር ማድረግን እንፈልጋለን - ሞጁሎችን እና ሥሮችን ያቃጥላል-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\ግራ(\ግራ| f \ቀኝ| \ቀኝ))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ግራ(\sqrt(f) \ቀኝ))^(2))=f. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ይህንን የካሬውን ሥር ከመውሰድ ጋር አያምታቱት፡-
\[\sqrt (((f)^(2)))=\ግራ| f \ቀኝ|\ ne f\]
አንድ ተማሪ ሞጁል መጫን ሲረሳው ስፍር ቁጥር የሌላቸው ስህተቶች ተደርገዋል! ግን ያ ሙሉ ለሙሉ የተለየ ታሪክ ነው (ልክ ነው። ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎች), ስለዚህ አሁን ወደዚህ አንገባም. ሁለት ችግሮችን በተሻለ ሁኔታ እንፍታ፡-
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| x+2 \ቀኝ|\ge \ግራ| 1-2x \ቀኝ|\]
መፍትሄ። ወዲያውኑ ሁለት ነገሮችን እናስተውል፡-
- ይህ ጥብቅ አለመመጣጠን አይደለም. በቁጥር መስመር ላይ ያሉ ነጥቦች ይቀጣሉ።
- ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች አሉታዊ ያልሆኑ (ይህ የሞጁሉ ንብረት ነው፡ $\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|\ge 0$)።
ስለዚህ ሞጁሉን ለማስወገድ እና የተለመደውን የጊዜ ክፍተት ዘዴ በመጠቀም ችግሩን ለመፍታት ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች እናስቀምጠዋለን።
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(\ግራ| x+2 \ቀኝ| \ቀኝ))^(2))\ge ((\ግራ(\ግራ| 1-2x \ቀኝ| \ቀኝ) )^(2)); \\ & ((\ግራ(x+2 \ቀኝ))^(2))\ge ((\ግራ(2x-1 \ቀኝ))^(2))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
በመጨረሻው ደረጃ ትንሽ አጭበርሬያለሁ፡ የሞጁሉን እኩልነት በመጠቀም የቃላቶቹን ቅደም ተከተል ቀይሬያለሁ (በእርግጥ $ 1-2x$ የሚለውን አገላለጽ በ -1 አባዛሁት)።
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\ግራ(2x-1 \ቀኝ))^(2))-((\ግራ(x+2 \ቀኝ))^(2))\ le 0; \\ & \ ግራ(\ ግራ(2x-1 \ ቀኝ) -\ግራ(x+2 \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(\ግራ(2x-1 \ቀኝ)+\ግራ(x+2 \\ ቀኝ)\ቀኝ)\le 0; \\ & \ግራ(2x-1-x-2 \ቀኝ)\cdot \ግራ(2x-1+x+2 \ቀኝ)\le 0; \\ & \ግራ(x-3 \ቀኝ)\cdot \ግራ(3x+1 \ቀኝ)\le 0. \\\መጨረሻ(align)\]
የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም እንፈታለን. ከእኩልነት ወደ እኩልነት እንሸጋገር፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ግራ(x-3 \ቀኝ)\ግራ(3x+1 \ቀኝ)=0; \\ & (((x)__(1))=3;((x)__(2))=-\frac(1)(3)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
የተገኙትን ሥሮች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን. አንዴ በድጋሚ: ሁሉም ነጥቦች ጥላ ናቸው ምክንያቱም የመጀመሪያው አለመመጣጠን ጥብቅ አይደለም!
የሞጁል ምልክትን ማስወገድ
በተለይ ግትር ለሆኑት ላስታውስዎ: ወደ እኩልታው ከመቀጠልዎ በፊት የተጻፈውን የመጨረሻውን እኩልነት ምልክቶች እንወስዳለን. እና በተመሳሳይ እኩልነት በሚፈለገው ቦታ ላይ ቀለም እንቀባለን. በእኛ ሁኔታ $\ግራ(x-3 \ቀኝ)\ግራ(3x+1 \ቀኝ)\le 0$ ነው።
እሺ አሁን ሁሉም አልቋል። ችግሩ ተፈቷል.
መልስ፡-$x\በግራ[-\frac(1)(3);3 \ቀኝ]$።
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| ((x)^(2))+x+1 \ቀኝ|\le \ግራ| ((x)^(2))+3x+4 \ቀኝ|\]
መፍትሄ። ሁሉንም ነገር አንድ አይነት እናደርጋለን. አስተያየት አልሰጥም - የእርምጃዎችን ቅደም ተከተል ብቻ ተመልከት.
ካሬ ያድርጉት፡
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(\ግራ|((\ግራ(\ግራ|((x)^(2)))+x+1 \ቀኝ| \ቀኝ))^(2))\ le ((\ግራ(\ግራ) | ((x)^(2))+3x+4 \ቀኝ| \ቀኝ|\ቀኝ))^(2)); \\ & ((\ግራ((((x)^(2))+x+1 \ቀኝ))^(2))\ le ((\ግራ(((x)^(2))+3x+4 \ቀኝ))^(2)); \\ & ((\ግራ((((x)^(2))+x+1 \ቀኝ))^(2))-((\ግራ((((x)^(2)))+3x+4 ቀኝ))^(2))\ le 0; \\ & \ ግራ((((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \ቀኝ ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \ቀኝ)\le 0; \\ & \ግራ(-2x-3 \ቀኝ)\ግራ(2(x)^(2))+4x+5 \ቀኝ)\ le 0. \\\መጨረሻ(align)\]
የጊዜ ክፍተት ዘዴ;
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ(-2x-3 \ቀኝ)\ግራ(2((x)^(2))+4x+5 \ቀኝ)=0 \\ & -2x-3=0\ የቀኝ ቀስት x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\ ቀኝ መ = 16-40 \ lt 0\ ቀኝ ቀስት \ varnothing . \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
በቁጥር መስመር ላይ አንድ ሥር ብቻ አለ፡-
መልሱ ሙሉ ክፍተት ነው
መልስ፡-$x\በግራ[-1.5+\infty \ቀኝ)$።
ስለ የመጨረሻው ተግባር ትንሽ ማስታወሻ. ከተማሪዎቼ አንዱ በትክክል እንዳስገነዘበው፣ ሁለቱም ንዑስ ሞዱላር አገላለጾች በዚህ አለመመጣጠን ውስጥ በግልጽ አዎንታዊ ናቸው፣ ስለዚህ የሞዱል ምልክቱ በጤና ላይ ጉዳት ሳይደርስ ሊቀር ይችላል።
ግን ይህ ፍጹም የተለየ የአስተሳሰብ ደረጃ እና የተለየ አቀራረብ ነው - በሁኔታዊ ሁኔታ የውጤት ዘዴ ተብሎ ሊጠራ ይችላል። ስለ እሱ - በተለየ ትምህርት. አሁን ወደ ዛሬው ትምህርት የመጨረሻ ክፍል እንሂድና እንይ ሁለንተናዊ አልጎሪዝም, ሁልጊዜ የሚሰራ. ምንም እንኳን ሁሉም የቀደሙት አቀራረቦች አቅመ ቢስ በሆኑበት ጊዜ። :)
4. አማራጮችን የመቁጠር ዘዴ
እነዚህ ሁሉ ዘዴዎች የማይረዱ ከሆነስ? አለመመጣጠን ወደ አሉታዊ ያልሆኑ ጭራዎች መቀነስ ካልተቻለ, ሞጁሉን ለመለየት የማይቻል ከሆነ, በአጠቃላይ ህመም, ሀዘን, መለስተኛነት ካለ?
ከዚያም የሁሉም ሂሳብ “ከባድ መድፍ” ወደ ትእይንቱ ይመጣል - የጭካኔ ኃይል ዘዴ። ከሞጁሎች ጋር ካለው እኩልነት ጋር በተያያዘ ይህ ይመስላል።
- ሁሉንም ንዑስ ሞዱል አባባሎች ይፃፉ እና ከዜሮ ጋር እኩል ያዋቅሯቸው;
- የተገኙትን እኩልታዎች ይፍቱ እና በአንድ የቁጥር መስመር ላይ የሚገኙትን ሥሮች ምልክት ያድርጉ;
- ቀጥተኛ መስመር ወደ ብዙ ክፍሎች ይከፈላል, በውስጡም እያንዳንዱ ሞጁል ቋሚ ምልክት ያለው እና ስለዚህ በልዩ ሁኔታ ይገለጣል;
- በእያንዳንዱ የእንደዚህ አይነት ክፍል ላይ ያለውን እኩልነት ይፍቱ (በደረጃ 2 የተገኙትን ሥሮች-ድንበሮች በተናጠል ማጤን ይችላሉ - ለታማኝነት). ውጤቱን ያጣምሩ - ይህ መልሱ ይሆናል. :)
ታዲያ እንዴት? ደካማ? በቀላሉ! ለረጅም ጊዜ ብቻ. በተግባር እንየው፡-
ተግባር አለመመጣጠን መፍታት;
\[\ግራ| x+2 \ቀኝ| \ lt \ ግራ| x-1 \ቀኝ|+x-\frac(3)(2)\]
መፍትሄ። ይህ ቆሻሻ ወደ $\ግራ| ወደ እኩልነት አይወርድም። f\ቀኝ| \lt g$፣ $\ግራ| f\ቀኝ| \gt g$ ወይም $\ግራ| f\ቀኝ| \ lt \ ግራ| g \right|$፣ስለዚህ ወደፊት እንሰራለን።
ንዑስ ሞዱል አገላለጾችን እንጽፋለን፣ ከዜሮ ጋር እናመሳስላቸዋለን እና ሥሮቹን እናገኛለን፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+2=0\ቀኝ ቀስት x=-2; \\ & x-1=0\ቀኝ ቀስት x=1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
በጠቅላላው ፣ የቁጥሩን መስመር በሦስት ክፍሎች የሚከፍሉ ሁለት ሥሮች አሉን ፣ በዚህ ውስጥ እያንዳንዱ ሞጁል በልዩ ሁኔታ ይገለጣል ።
የቁጥር መስመርን በዜሮዎች ንዑስ ሞዱላር ተግባራት መከፋፈል
እያንዳንዱን ክፍል ለየብቻ እንመልከታቸው።
1. $x \lt -2$ ይሁን። ከዚያ ሁለቱም ንዑስ ሞዱል አገላለጾች አሉታዊ ናቸው፣ እና የመጀመሪያው አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንደገና ይጻፋል።
\[\ጀምር(አሰላለፍ) & -\ግራ(x+2 \ቀኝ) \lt -\ግራ(x-1 \ቀኝ)+x-1.5 \\ & -x-2 \ lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \ gt 1.5 \\\ መጨረሻ(align)\]
በጣም ቀላል የሆነ ገደብ አግኝተናል። $x \lt -2$ ከሚለው የመጀመሪያ ግምት ጋር እናገናኘው፡
\[\ ግራ \ ( \\ ጀምር (align) & x \ lt -2 \\ & x \ gt 1.5 \\\ መጨረሻ (align) \ ቀኝ \\ ቀኝ ቀስት x \ ውስጥ \ varnothing \]
ግልጽ ነው፣ ተለዋዋጭ $x$ በአንድ ጊዜ ከ -2 ያነሰ እና ከ 1.5 በላይ መሆን አይችልም። በዚህ አካባቢ ምንም መፍትሄዎች የሉም.
1.1. የድንበሩን ጉዳይ ለየብቻ እንመልከተው፡$x=-2$። ይህን ቁጥር ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንተካውና እንፈትሽ፡ እውነት ነው?
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\ ግራ \ግራ \ & 0 \lt \ ግራ| -3\ቀኝ|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\ቀኝ ቀስት \ varnothing . \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
የሒሳብ ሰንሰለቱ ወደ የተሳሳተ እኩልነት እንዳመራን ግልጽ ነው። ስለዚህ, የመጀመሪያው እኩልነት እንዲሁ ውሸት ነው, እና $ x=-2$ በመልሱ ውስጥ አልተካተተም.
2. አሁን $-2 \lt x \lt 1$ ይፍቀዱ። የግራ ሞጁል ቀድሞውኑ በ "ፕላስ" ይከፈታል, ነገር ግን ትክክለኛው አሁንም በ "መቀነስ" ይከፈታል. እና አለነ:
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+2 \lt -\ግራ(x-1 \ቀኝ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\ መጨረሻ (አሰላለፍ)\]
እንደገና ከመጀመሪያው መስፈርት ጋር እንገናኛለን፡-
\[\ ግራ \ ( \\ ጀምር (align) & x \ lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ መጨረሻ (align) \\ ቀኝ \\ ቀኝ ቀስት x \ በ \ varnothing \]
እና እንደገና ባዶ ስብስብመፍትሄዎች, ሁለቱም ከ -2.5 ያነሱ እና ከ -2 በላይ የሆኑ ቁጥሮች ስለሌሉ.
2.1. እና እንደገና ልዩ ጉዳይ: $x=1$ ወደ መጀመሪያው አለመመጣጠን እንተካለን፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\ ግራ \ግራ & \ ግራ| 3\ቀኝ| \ lt \ ግራ| 0\ቀኝ|+1-1.5; \\ & 3 \ lt -0.5; \\ & 3 \ lt -0.5 \ ቀኝ ቀስት \ varnothing . \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ከቀዳሚው “ልዩ ጉዳይ” ጋር በሚመሳሰል መልኩ፣ ቁጥሩ $x=1$ በመልሱ ውስጥ በግልጽ አልተካተተም።
3. የመስመሩ የመጨረሻ ክፍል፡- $x \gt 1$። እዚህ ሁሉም ሞጁሎች በመደመር ምልክት ተከፍተዋል፡
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ መጨረሻ(align)\ ]
እና እንደገና የተገኘውን ስብስብ ከመጀመሪያው እገዳ ጋር እናገናኛለን-
\[\ ግራ \ ( \\ ጀምር (align) & x \ gt 4.5 \\ & x \ gt 1 \\\ መጨረሻ (align) \\ ቀኝ \\ ቀኝ ቀስት x \ በ \ በግራ (4.5 +\infty \ ቀኝ)\ ]
በመጨረሻ! መልሱ የሚሆን ክፍተት አግኝተናል።
መልስ፡$x\በግራ(4,5+\infty \ቀኝ)$
በመጨረሻም፣ እውነተኛ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ከሞኝ ስህተቶች ሊያድነዎት የሚችል አንድ አስተያየት፡-
ከሞዱሊ ጋር እኩል አለመሆን መፍትሄዎች ብዙውን ጊዜ በቁጥር መስመር ላይ ተከታታይ ስብስቦችን ይወክላሉ - ክፍተቶች እና ክፍሎች። የተለዩ ነጥቦች በጣም ትንሽ የተለመዱ ናቸው. እና ብዙ ጊዜ ያነሰ ፣ የመፍትሄው ወሰን (የክፍሉ መጨረሻ) ከግምት ውስጥ ካለው ክልል ወሰን ጋር ሲገጣጠም ይከሰታል።
ስለሆነም፣ ድንበሮች (ተመሳሳይ “ልዩ ጉዳዮች”) በመልሱ ውስጥ ካልተካተቱ፣ በነዚህ ወሰኖች ግራ እና ቀኝ ያሉት ቦታዎች በእርግጠኝነት በመልሱ ውስጥ አይካተቱም። እና በተቃራኒው ድንበሩ ወደ መልሱ ውስጥ ገብቷል, ይህም ማለት በዙሪያው ያሉ አንዳንድ አካባቢዎች መልሶች ይሆናሉ ማለት ነው.
መፍትሄዎችዎን በሚገመግሙበት ጊዜ ይህንን ያስታውሱ።
