የ10ኛ ክፍል ተማሪ ዩሪ ኮቶቭቺኪን።

ተማሪዎች ከ 6 ኛ ክፍል ጀምሮ ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎችን ማጥናት ይጀምራሉ ። ይህን ልዩ ርዕስ የመረጥኩት የበለጠ ጥልቅ እና ጥልቅ ጥናት እንደሚፈልግ ስለማምን ነው፤ በሞጁሉ ላይ ያሉ ችግሮች ለተማሪዎች ትልቅ ችግር ይፈጥራሉ። ውስጥ የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርትበፈተናዎች ውስጥ እንደ ውስብስብነት እንደ ሞጁል የያዙ ተግባራት አሉ ፣ ስለሆነም እንደዚህ አይነት ተግባር ለመቋቋም ዝግጁ መሆን አለብን ።

አውርድ:

ቅድመ እይታ፡

ማዘጋጃ ቤት የትምህርት ተቋም

አማካኝ አጠቃላይ ትምህርት ቤት №5

በርዕሱ ላይ የምርምር ሥራ;

« ሞጁሎችን የያዙ እኩልታዎች እና እኩልነት አልጀብራዊ እና ግራፊክ መፍትሄ»

ሥራውን ሠርቻለሁ፡-

የ10ኛ ክፍል ተማሪ

Kotovchikhin Yuri

ተቆጣጣሪ፡-

የሂሳብ መምህር

ሻንታ ኤን.ፒ.

ኡሩፒንስክ

1. መግቢያ ………………………………………………………………….3

2. ጽንሰ-ሀሳቦች እና ትርጓሜዎች ………………………………………………….5

3. የንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጫ ………………………………………………….6

4. ሞጁሉን የያዙ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች ………………… 7

4.1. በቁጥር ሀ እና ለ መካከል ያሉ ጥገኞችን በመጠቀም፣ ሞጁሎቻቸው እና ካሬዎቻቸው …………………………………………………………………………………

4.2. እኩልታዎችን ለመፍታት የሞጁሉን የጂኦሜትሪክ ትርጉም አጠቃቀም …………………………………………………………………………………………………

4.3. የፍፁም እሴት ምልክት የያዙ በጣም ቀላል ተግባራት ግራፎች.

………………………………………………………………………15

4.4.ሞጁል የያዙ መደበኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን መፍታት....16

5. ማጠቃለያ ………………………………………………………….17

6. ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር ………………………………… 18

የሥራው ዓላማ: ተማሪዎች ከ 6 ኛ ክፍል ሞጁሎች ጋር እኩልታዎችን ማጥናት ይጀምራሉ; ይህን ልዩ ርዕስ የመረጥኩት ጥልቅ እና ጥልቅ ጥናት እንደሚያስፈልግ ስለማምን ነው፤ በሞጁሉ ላይ ያሉ ችግሮች ለተማሪዎች ትልቅ ችግር ይፈጥራሉ። በት / ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ እንደ ውስብስብነት እና በፈተናዎች ውስጥ ሞጁል የያዙ ተግባራት አሉ ፣ ስለሆነም እንደዚህ አይነት ተግባር ለመቋቋም ዝግጁ መሆን አለብን።

1 መግቢያ፥

"ሞዱል" የሚለው ቃል የመጣው "ሞዱሉስ" ከሚለው የላቲን ቃል ሲሆን ትርጉሙም "መለኪያ" ማለት ነው. ይህ ብዙ ትርጉሞች ያሉት እና በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በሥነ ሕንፃ፣ ፊዚክስ፣ ቴክኖሎጂ፣ ፕሮግራሚንግ እና ሌሎች ትክክለኛ ሳይንሶች ውስጥ የሚያገለግል ፖሊሴማንቲክ ቃል (ሆሞኒም) ነው።

በሥነ ሕንፃ ውስጥ፣ ይህ ለአንድ የሥነ ሕንፃ መዋቅር የተቋቋመው እና በውስጡ ያሉትን አካላት በርካታ ሬሾዎችን ለመግለጽ የሚያገለግል የመጀመሪያ መለኪያ ነው።

በቴክኖሎጂ ውስጥ ይህ በ ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውል ቃል ነው። የተለያዩ አካባቢዎችሁለንተናዊ ትርጉም የሌለው እና ለመሰየም የሚያገለግል ቴክኒክ የተለያዩ ቅንጅቶችእና መጠኖች, ለምሳሌ, የተሳትፎ ሞጁሎች, የመለጠጥ ሞጁሎች, ወዘተ.

የጅምላ ሞጁል (በፊዚክስ) በአንድ ቁሳቁስ ውስጥ ያለው መደበኛ ውጥረት እና አንጻራዊ ማራዘሚያ ጥምርታ ነው።

2. ጽንሰ-ሐሳቦች እና ትርጓሜዎች

የእውነተኛ ቁጥር A ሞዱል - ፍፁም እሴት - በ |A| ይገለጻል።

በጥልቀት ለማጥናት። ይህ ርዕስበጣም ቀላል ከሆኑት ትርጉሞች ጋር መተዋወቅ አለብኝ፡-

እኩልነት ተለዋዋጮችን የያዘ እኩልነት ነው።

ከሞዱል ጋር ያለው እኩልታ በፍፁም እሴት ምልክት (በሞጁል ምልክት ስር) ተለዋዋጭ የያዘ እኩልታ ነው።

እኩልታን መፍታት ማለት ሁሉንም ሥሮቹን ማግኘት ወይም ሥሮች አለመኖራቸውን ማረጋገጥ ማለት ነው።

3. የንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጫ

ቲዎሪ 1. ፍጹም ዋጋየእውነተኛው ቁጥር ከሁለቱ ቁጥሮች ትልቅ ሀ ወይም -ሀ ጋር እኩል ነው።

ማረጋገጫ

1. ቁጥሩ አወንታዊ ከሆነ, -a አሉታዊ ነው, ማለትም -a

ለምሳሌ, ቁጥር 5 አዎንታዊ ነው, ከዚያም -5 አሉታዊ እና -5 ነው

በዚህ ሁኔታ |a| = a, ማለትም |a| ከሁለት ቁጥሮች ትልቁን ሀ እና - ሀ ጋር ይዛመዳል።

2. a አሉታዊ ከሆነ -ሀ አዎንታዊ እና ሀ

መዘዝ። |-a| ከሚለው ጽንሰ-ሀሳብ ይከተላል = |አ|

እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁለቱም እና ከትልቅ ቁጥሮች -a እና a ጋር እኩል ናቸው, ይህም ማለት እርስ በርስ እኩል ናቸው.

ቲዎረም 2. የማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ሀ ፍፁም ዋጋ ከሂሳብ ስሌት ጋር እኩል ነው። ካሬ ሥርከኤ 2 .

እንደውም ያኔ ከሆነ የቁጥር ሞጁል ትርጉም ስንል lАl>0 ይኖረናል በሌላ በኩል ለ A>0 |a| = √ሀ 2

ከሆነ 2

ይህ ቲዎሪ አንዳንድ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ |a|ን ለመተካት ያስችላል። ላይ

በጂኦሜትሪ |a| ቁጥር ሀን ወደ መነሻው ከሚወክለው ነጥብ በመጋጠሚያው መስመር ላይ ያለው ርቀት ማለት ነው።

ከዚያ በመጋጠሚያው መስመር ላይ ሁለት ነጥቦች ሀ እና -ሀ ካሉ ከዜሮ እኩል ርቀት ያላቸው ሞጁሎቹ እኩል ናቸው።

a = 0 ከሆነ፣ ከዚያም በማስተባበር መስመር |a| በ ነጥብ 0 የተወከለው

4. ሞጁል የያዙ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች.

የፍፁም እሴት ምልክትን የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት የቁጥር ሞጁሉን ፍቺ እና የቁጥር ፍፁም እሴት ባህሪያት ላይ እንመካለን። የተለያዩ ምሳሌዎችን በተለያዩ መንገዶች እንፈታለን እና ሞጁሉን የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት የትኛው ዘዴ ቀላል እንደሆነ እንመለከታለን።

ምሳሌ 1. በትንታኔ እና በግራፊክ ስሌት እንፍታ |x + 2| = 1.

መፍትሄ

ትንታኔያዊ መፍትሄ

1 ኛ ዘዴ

በአንድ ሞጁል ፍቺ ላይ ተመስርተን እናነሳለን። በሞጁሉ ስር ያለው አገላለጽ አሉታዊ ካልሆነ ማለትም x + 2 ≥0 ከሞጁሉ ምልክት ስር ከተጨማሪ ምልክት ጋር "ይወጣል" እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል: x + 2 = 1. በሞጁል ምልክት ስር ያለው አገላለጽ ዋጋ አሉታዊ ነው, ከዚያም, በትርጉሙ, እኩል ይሆናል: ወይም x + 2=-1

ስለዚህ፣ ወይ x + 2 = 1 ወይም x + 2 = -1 እናገኛለን። የተገኙትን እኩልታዎች በመፍታት፣ X+2=1 ወይም X+2+-1 እናገኛለን

X=-1 X=3

መልስ፡-3;-1።

አሁን መደምደም እንችላለን-የአንዳንድ አገላለጾች ሞጁሎች ከአዎንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ሀ ጋር እኩል ከሆነ በሞጁሉ ስር ያለው አገላለጽ a ወይም -a ነው።

ግራፊክ መፍትሄ

ሞጁል የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት አንዱ መንገድ ግራፊክ ዘዴ ነው። የዚህ ዘዴ ዋናው ነገር የእነዚህን ተግባራት ግራፎች መገንባት ነው. ግራፎቹ እርስ በርስ ከተገናኙ, የእነዚህ ግራፎች መገናኛ ነጥቦች የእኛ እኩልታ ሥሮች ይሆናሉ. ግራፎች ካልተገናኙ, እኩልታው ምንም ሥሮች የለውም ብለን መደምደም እንችላለን. ይህ ዘዴ ምናልባት ሞጁሉን የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት ከሌሎቹ ባነሰ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል ፣ ምክንያቱም በመጀመሪያ ፣ ብዙ ጊዜ የሚወስድ እና ሁል ጊዜ ምክንያታዊ አይደለም ፣ እና በሁለተኛ ደረጃ ፣ ግራፎችን ሲያዘጋጁ የተገኙ ውጤቶች ሁል ጊዜ ትክክል አይደሉም።

ሞጁሉን የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት ሌላኛው መንገድ የቁጥር መስመርን ወደ ክፍተቶች መከፋፈል ነው። በዚህ ሁኔታ, የቁጥር መስመርን መከፋፈል ያስፈልገናል, በሞጁሉ ፍቺ, በእነዚህ ክፍተቶች ላይ ያለው የፍፁም እሴት ምልክት ሊወገድ ይችላል. ከዚያም ለእያንዳንዳቸው ክፍተቶች ይህንን እኩልነት መፍታት እና የተፈጠሩትን ሥሮች (የእኛ ክፍተታችንን ያሟሉም አልሆኑ) መደምደሚያ ላይ መድረስ አለብን. ክፍተቶቹን የሚያረኩ ሥሮች የመጨረሻውን መልስ ይሰጣሉ.

2 ኛ ዘዴ

የ x ሞጁሉ ከዜሮ ጋር የሚተካከለው በምን ያህል ዋጋ እንደሆነ እንወቅ፡ |X+2|=0፣ X=2

ሁለት ክፍተቶችን እናገኛለን ፣ በእያንዳንዳቸው ላይ እኩልታውን እንፈታዋለን-

ሁለት ድብልቅ ስርዓቶችን እናገኛለን-

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

እያንዳንዱን ስርዓት እንፈታዋለን-

X=-3 X=-1

መልስ፡-3;-1።

ግራፊክ መፍትሄ

y= |X+2|፣ y= 1።

ግራፊክ መፍትሄ

እኩልታውን በግራፊክ ለመፍታት, የተግባር እና ግራፎችን መገንባት ያስፈልግዎታል

የአንድ ተግባር ግራፍ ለመገንባት፣ የአንድ ተግባር ግራፍ እንገንባ - ይህ የኦክስ ዘንግ እና የ OY ዘንግ በነጥቦች ላይ የሚያቋርጥ ተግባር ነው።

የተግባር ግራፎች መገናኛ ነጥቦች abcissas ለእኩል መፍትሄዎች ይሰጣሉ.

የተግባሩ ቀጥተኛ ግራፍ y=1 ከተግባሩ ግራፍ ጋር የተቆራረጠ y=|x + 2| ከመጋጠሚያዎች ጋር (-3; 1) እና (-1; 1) ባሉ ነጥቦች ላይ, ስለዚህ የእኩልታ መፍትሄዎች የነጥቦቹ abcissas ይሆናሉ.

x=-3፣ x=-1

መልስ፡-3;-1

ምሳሌ 2. 1 + |x|ን በትንታኔ እና በግራፊክ መፍታት = 0.5.

መፍትሄ፡-

ትንታኔያዊ መፍትሄ

እኩልታውን እንለውጥ፡ 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

በዚህ ጉዳይ ላይ እኩልታው ምንም መፍትሄዎች እንደሌለው ግልጽ ነው, ምክንያቱም በትርጉሙ, ሞጁሉ ሁልጊዜ አሉታዊ አይደለም.

መልስ: ምንም መፍትሄዎች የሉም.

ግራፊክ መፍትሄ

እኩልታውን እንለውጥ፡ : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

የሥራው ግራፍ ጨረሮች - የ 1 ኛ እና 2 ኛ መጋጠሚያ ማዕዘኖች bisectors. የሥራው ግራፍ ከኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር እና በ OY ዘንግ ላይ ባለው ነጥብ -0.5 በኩል የሚያልፍ ነው.

ግራፎቹ አይገናኙም, ይህም ማለት እኩልታው ምንም መፍትሄዎች የሉትም ማለት ነው.

መልስ: ምንም መፍትሄዎች የሉም.

ምሳሌ 3. ሒሳቡን በትንታኔ እና በግራፊክ መፍታት |-x + 2| = 2x + 1

መፍትሄ፡-

ትንታኔያዊ መፍትሄ

1 ኛ ዘዴ

መጀመሪያ አካባቢውን ማዘጋጀት ያስፈልግዎታል ተቀባይነት ያላቸው እሴቶችተለዋዋጭ. ተፈጥሯዊ ጥያቄ የሚነሳው-በቀደሙት ምሳሌዎች ለምን ይህን ማድረግ አያስፈልግም ነበር, አሁን ግን ተነሳ.

እውነታው በዚህ ምሳሌ ውስጥ በግራ በኩል በግራ በኩል የአንዳንድ አገላለጾች ሞጁሎች ናቸው, በቀኝ በኩል ደግሞ ቁጥር አይደለም, ነገር ግን ተለዋዋጭ መግለጫ ያለው አገላለጽ - ይህን ምሳሌ የሚለየው ይህ አስፈላጊ ሁኔታ ነው. የቀድሞዎቹ.

በግራ በኩል ሞጁል አለ ፣ እና በቀኝ በኩል ፣ ተለዋዋጭ የያዘ አገላለጽ ፣ ይህ አገላለጽ አሉታዊ ያልሆነ መሆን አለበት ፣ ማለትም ፣ ትክክለኛው ክልል

ሞጁሎች እሴቶች

አሁን በእኩልነት በቀኝ በኩል አዎንታዊ ቁጥር ሲኖር በምሳሌ 1 ላይ እንደተገለጸው በተመሳሳይ መንገድ ማመዛዘን እንችላለን። ሁለት ድብልቅ ስርዓቶችን እናገኛለን-

(1) -X+2≥0 እና (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

እያንዳንዱን ስርዓት እንፈታዋለን-

(፩) በመካከላቸው የተካተተ እና የእኩልታው ሥር ነው።

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 በክፍተቱ ውስጥ አልተካተተም እና የእኩልታው ሥር አይደለም።

መልስ፡ ⅓

4.1. በቁጥር ሀ እና ለ መካከል ያሉ ጥገኞችን በመጠቀም፣ ሞጁሎቻቸው እና የእነዚህ ቁጥሮች ካሬዎች።

ከላይ ከጠቀስኳቸው ዘዴዎች በተጨማሪ በተሰጡ ቁጥሮች ቁጥሮች እና ሞጁሎች እንዲሁም በተሰጡ ቁጥሮች ካሬዎች እና ሞጁሎች መካከል የተወሰነ አቻነት አለ።

|አ|=|b| a=b ወይም a=-b

A2=b2 a=b ወይም a=-b

እኛ ደግሞ ከዚህ እናገኛለን

|አ|=|b| ሀ 2 = ለ 2

ምሳሌ 4. እኩልታውን ይፍቱ |x + 1|=|2x - 5| በሁለት የተለያዩ መንገዶች.

1. ግንኙነትን (1) ከግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን፡-

X + 1=2x - 5 ወይም x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(፡1) 3x=4

X=6 x=11/3

የመጀመርያው እኩልታ ስር x=6፣ የሁለተኛው እኩልታ ስር x=11/3

ስለዚህ, የዋናው እኩልታ x 1 = 6, x 2 = 11/3

2. በግንኙነት (2) መሰረት, እናገኛለን

(x + 1)2=(2x - 5)2፣ ወይም x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>እኩልታው 2 የተለያዩ ስርወች አሉት።

x 1 = (11 - 7)/3=11/3

x 2 = (11 + 7)/3=6

መፍትሄው እንደሚያሳየው ሥሮቹ የተሰጠው እኩልታእንዲሁም ቁጥሮች 11/3 እና 6

መልስ: x 1 = 6, x 2 = 11/3

ምሳሌ 5. እኩልታውን ይፍቱ (2x + 3) 2 = (x - 1) 2 .

ዝምድናን (2)ን ከግምት ውስጥ በማስገባት ያንን |2x + 3|=|x - 1| እናገኛለን፣ ከዚህ በቀደመው ምሳሌ (እና በግንኙነት (1)))፡-

2x + 3=x - 1 ወይም 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0፣(6)

ስለዚህ፣ የእኩልታው ሥሮች x1 = -4፣ እና x2 = -0፣ (6) ናቸው።

መልስ፡- x1=-4፣ x2 =0፣(6)

ምሳሌ 6. እኩልታውን ይፍቱ |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

ግንኙነቱን በመጠቀም, እኛ እናገኛለን:

x - 6=x2 - 5x + 9 ወይም x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 ዲ=16 - 4 3=4 >0==>2 ር.ክ.

==> ስር የለውም።

X 1 = (4- 2) /2=1

X 2 = (4 + 2) /2=3

አረጋግጥ፡ |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5 (I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (እኔ)

መልስ፡ x 1 =1; x 2 = 3

4.2. እኩልታዎችን ለመፍታት የሞጁሉን የጂኦሜትሪክ ትርጉም መጠቀም.

በመጠን መካከል ያለው ልዩነት ሞጁል የጂኦሜትሪክ ትርጉም በመካከላቸው ያለው ርቀት ነው. ለምሳሌ፣ ጂኦሜትሪክ ትርጉምአባባሎች |x - a | - ነጥቦቹን ከ abscissas a እና x ጋር የሚያገናኝ የመጋጠሚያው ዘንግ ክፍል ርዝመት። የአልጀብራን ችግር ወደ ጂኦሜትሪክ ቋንቋ መተርጎም ብዙ ጊዜ አስቸጋሪ መፍትሄዎችን ለማስወገድ ያስችላል።

ምሳሌ 7. እኩልታውን እንፈታ |x - 1| + |x - 2|=1 የሞጁሉን ጂኦሜትሪክ ትርጉም በመጠቀም።

በሚከተለው ምክንያት እናነሳለን-በሞጁሉ የጂኦሜትሪክ ትርጓሜ ላይ በመመስረት ፣ የግራ በኩል እኩልታ ከአንዳንድ abscissa ነጥብ x እስከ ሁለት ቋሚ ነጥቦች ከ abcissas 1 እና 2 ጋር ያለው የርቀቶች ድምር ነው። ከክፍሉ ውስጥ አስፈላጊው ንብረት አላቸው, እና ከዚህ ክፍል ውጭ የሚገኙ ነጥቦች - ቁ. ስለዚህ መልሱ-የቀመርው መፍትሄዎች ስብስብ ክፍል ነው.

መልስ፡-

ምሳሌ8. እኩልታውን እንፈታ |x - 1| - |x - 2|=1 1 የሞጁሉን ጂኦሜትሪክ ትርጉም በመጠቀም።

ከቀዳሚው ምሳሌ ጋር ተመሳሳይነት እናነሳለን ፣ እና ከቁጥር 2 በስተቀኝ ባለው መጋጠሚያ ዘንግ ላይ ላሉት ነጥቦች ብቻ ከ abcissas 1 እና 2 ጋር ያለው የርቀቶች ልዩነት ከአንድ ጋር እኩል እንደሆነ እናገኘዋለን ። ይህ እኩልታ በነጥቦች 1 እና 2 መካከል ያለው ክፍል እና ከነጥብ 2 የሚወጣው ጨረር እና ወደ ኦክስ ዘንግ አዎንታዊ አቅጣጫ የሚመራ አይሆንም።

መልስ፡- (1+) የ x እኩልታ ሲፈታ የዚህን ነጥብ abcissa እናገኛለን።

ስለዚህ፣ በዚህ ክፍተት፣ እኩልታ (1) መፍትሄ አለው።

 ከሆነ፣ ቀጥተኛው መስመር y=a የእኩልታውን ግራፍ (1) በሁለት ነጥብ ያቋርጣል። የእነዚህ ነጥቦች abcissas ከስሌቶች ውስጥ ሊገኝ ይችላል እና, እናገኛለን

እና.

 ከሆነ፣ ቀጥተኛው መስመር y=a የእኩልታውን ግራፍ (1) አያቆራርጥም፣ ስለዚህ ምንም መፍትሄዎች የሉም።

መልስ፡-

አንድ  (-;-1](1+) ከሆነ፣ እንግዲህ;

 ከሆነ፣ እንግዲህ;

 ከሆነ ምንም መፍትሄዎች የሉም።

II. እኩልታው ሦስት የተለያዩ ሥሮች ያሉትበትን የመለኪያውን ሁሉንም እሴቶች ይፈልጉ።

መፍትሄ።

እኩልታውን በቅጹ ላይ እንደገና ከፃፉ እና ጥንድ ተግባራትን ካገናዘቡ ፣ የሚፈለጉት የመለኪያ እሴቶች እና እነሱ ብቻ ከእነዚያ ጋር በትክክል ሶስት የማቋረጫ ነጥቦች ካሉበት የተግባር ግራፍ ቦታ ጋር እንደሚዛመዱ ልብ ይበሉ። የተግባር ግራፍ.

በ xOy መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የተግባርን ግራፍ እንሰራለን)። ይህንን ለማድረግ በቅጹ ውስጥ ልንወክለው እንችላለን እና አራት የሚነሱ ጉዳዮችን ከግምት ውስጥ በማስገባት ይህንን ተግባር በቅጹ ውስጥ እንጽፋለን ።

የአንድ ተግባር ግራፍ ቀጥታ መስመር ስለሆነ ከኦክስ ዘንግ ጋር እኩል የሆነ እና የ Oy ዘንግ ከ መጋጠሚያዎች (0, a) ጋር የሚያቆራርጠው ቀጥተኛ መስመር ስለሆነ, የተጠቆሙትን ሶስት የማቋረጫ ነጥቦችን ማግኘት የሚቻለው ብቻ ነው ብለን መደምደም እንችላለን. ይህ መስመር የተግባርን ግራፍ በሚነካበት ጊዜ. ስለዚህ ተዋጽኦውን እናገኛለን

መልስ፡.

III. ሁሉንም የመለኪያ እሴቶችን ይፈልጉ ሀ ፣ ለእያንዳንዳቸው የእኩልታዎች ስርዓት

መፍትሄዎች አሉት.

መፍትሄ።

ከስርአቱ የመጀመሪያ እኩልታ ያገኘነው ስለዚህ፣ ይህ እኩልነት የ “ከፊል-ፓራቦላ” ቤተሰብን ይገልፃል - የቀኝ የፓራቦላ ቅርንጫፎች በአቢሲሳ ዘንግ ላይ ከጫፎቻቸው ጋር “ይንሸራተታሉ”።

በሁለተኛው እኩልታ በግራ በኩል እንመርጥ ፍጹም ካሬዎችእና በምክንያቶች ውስጥ አስገባ

ሁለተኛውን እኩልታ የሚያረካ የአውሮፕላኑ የነጥቦች ስብስብ ሁለት ቀጥተኛ መስመሮች ናቸው

ከ "ሴሚፓራቦላ" ቤተሰብ ውስጥ ያለው ኩርባ ቢያንስ አንድ የጋራ ነጥብ ከተፈጠሩት ቀጥታ መስመሮች ጋር በየትኛው የመለኪያ እሴቶች ላይ እንወቅ ።

የሴሚፓራቦላዎቹ ጫፎች ከ ነጥብ A በስተቀኝ ካሉት ግን ነጥብ B በስተግራ (ነጥብ B ከሚነካው "ሴሚፓራቦላ" ጫፍ ጋር ይዛመዳል).

ቀጥታ መስመር), ከዚያም ግምት ውስጥ ያሉት ግራፎች የጋራ ነጥቦች የላቸውም. የ "ሴሚፓራቦላ" ጫፍ ከ ነጥብ A ጋር የሚጣጣም ከሆነ.

ለስርዓቱ ልዩ መፍትሄ ካለበት ሁኔታ መስመርን የሚነካውን "ሴሚፓራቦላ" ጉዳይ እንወስናለን

በዚህ ሁኔታ, እኩልታ

ከምንገኝበት አንድ ሥር አለው፡-

ስለዚህ፣ የመጀመሪያው ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም፣ ነገር ግን ቢያንስ አንድ መፍትሄ አለው።

መልስ፡- a  (-;-3) (+)።

IV. እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ።

እኩልነትን በመጠቀም፣ የተሰጠው እኩልታበቅጹ ላይ እንደገና እንጽፈው

ይህ እኩልነት ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው

ቅጹን እንደገና እንጽፋለን

. (*)

የመጨረሻው እኩልታ የጂኦሜትሪክ ግምቶችን በመጠቀም ለመፍታት ቀላሉ ነው። የተግባሮቹ ግራፎችን እንገንባ እና ከግራፉ ውስጥ ግራፎች እንደማይገናኙ እና ስለዚህ, እኩልታው ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

ከሆነ ፣ ከዚያ የተግባሮቹ ግራፎች ሲገጣጠሙ እና ፣ ስለሆነም ሁሉም እሴቶች ለእኩል (*).

ግራፎች በአንድ ነጥብ ላይ ሲገናኙ, አቢሲሳ የትኛው ነው. ስለዚህ, እኩልታ (*) ልዩ መፍትሄ ሲኖረው -.

አሁን ለእኩል (*) የተገኙት መፍትሄዎች የትኞቹን ዋጋዎች እንደሚያሟሉ እንመርምር

ያኔ ይሁን። ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል

የእሱ መፍትሄ የጊዜ ክፍተት x (1; 5) ይሆናል. ያንን ከግምት ውስጥ በማስገባት የዋናው እኩልታ በሁሉም የ x ዋጋዎች ከተወሰነ ጊዜ ውስጥ ከተሟላ ፣ የመጀመሪያው እኩልነት ከእውነት ጋር እኩል ነው ብለን መደምደም እንችላለን። የቁጥር አለመመጣጠን 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

በዋናው (1+∞) ላይ እንደገና መስመራዊ እኩልነት 2x እናገኛለን<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

ሆኖም ግን, ተመሳሳይ ውጤት ከእይታ እና በተመሳሳይ ጊዜ ጥብቅ የጂኦሜትሪክ ግምት ውስጥ ሊገኝ ይችላል. ምስል 7 የተግባር ግራፎችን ያሳያል-y= ረ( x)=| x-1|+| x+1| እናy=4.

ምስል 7.

በተግባሩ (-2; 2) ግራፍ ላይy= ረ(x) በተግባሩ ግራፍ ስር ይገኛል y = 4 ይህም ማለት አለመመጣጠን ማለት ነውረ(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II ) ከመለኪያዎች ጋር አለመመጣጠን።

ከአንድ ወይም ከዛ በላይ መመዘኛዎች ጋር እኩልነትን መፍታት, እንደ አንድ ደንብ, ምንም መለኪያዎች ከሌሉበት ችግር ጋር ሲነጻጸር የበለጠ ውስብስብ ስራ ነው.

ለምሳሌ፣ √a+x+√a-x>4 ያለውን ኢ-እኩልነት፣ ፓራሜትሩን የያዘው፣ በተፈጥሮው √1+x + √1-x>1 ካለው እኩልነት ለመፍታት ብዙ ጥረት ይጠይቃል።

ከእነዚህ አለመመጣጠን ውስጥ የመጀመሪያውን መፍታት ምን ማለት ነው? ይህ በመሰረቱ አንድን እኩልነት ብቻ ሳይሆን አጠቃላይ ክፍልን መፍታት ማለት ነው፣ ይህም ግቤትን የተወሰኑ የቁጥር እሴቶችን ከሰጠን የሚገኘውን አጠቃላይ እኩልነት ነው። ሁለተኛው የጽሑፍ አለመመጣጠን የመጀመርያው ልዩ ጉዳይ ነው፣ ምክንያቱም ከእሱ የተገኘ በ a = 1 ነው።

ስለዚህ ፣ ግቤቶችን የያዘውን አለመመጣጠን መፍታት ማለት በመለኪያዎቹ እሴቶች ላይ አለመመጣጠን መፍትሄዎች እንዳሉት እና ለእንደዚህ ያሉ ግቤቶች ሁሉ ሁሉንም መፍትሄዎች ለማግኘት መወሰን ማለት ነው ።

ምሳሌ1፡

አለመመጣጠን ይፍቱ |x-a|+|x+a|< ለ, ሀ<>0.

ይህንን እኩልነት በሁለት መመዘኛዎች ለመፍታትሀ ዩ ለየጂኦሜትሪክ ግምቶችን እንጠቀም. ምስል 8 እና 9 የተግባር ግራፎችን ያሳያሉ.

ዋይ= ረ(x)=| x- ሀ|+| x+ ሀ| ዩ y= ለ.

መቼ እንደሆነ ግልጽ ነው።ለ<=2| ሀ| ቀጥታy= ለከመጠምዘዣው አግድም ክፍል በላይ አያልፍምy=| x- ሀ|+| x+ ሀ| እና, ስለዚህ, በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው እኩልነት ምንም መፍትሄዎች የሉትም (ስእል 8). ከሆነለ>2| ሀ|፣ ከዚያም መስመርy= ለየአንድ ተግባር ግራፍ ያቋርጣልy= ረ(xበሁለት ነጥብ (-)ለ/2; ለ) ዩ (ለ/2; ለ(ስእል 6) እና በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው አለመመጣጠን ትክክለኛ ነው -ለ/2< x< ለ/ 2 ፣ ለእነዚህ የተለዋዋጭ ዋጋዎች ኩርባው ስለሆነy=| x+ ሀ|+| x- ሀ| በቀጥታ መስመር ስር ይገኛልy= ለ.

መልስ፡ ከሆነለ<=2| ሀ| ከዚያ ምንም መፍትሄዎች የሉም ፣

ከሆነለ>2| ሀ|፣ እንግዲህx €(- ለ/2; ለ/2).

III) የትሪግኖሜትሪክ አለመመጣጠን;

በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት አለመመጣጠን ሲፈቱ የእነዚህ ተግባራት ወቅታዊነት እና የእነሱ ብቸኛነት በተዛማጅ ክፍተቶች ላይ በዋናነት ጥቅም ላይ ይውላሉ። በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ አለመመጣጠን። ተግባርኃጢአት xአዎንታዊ ጊዜ 2π አለው። ስለዚህ የቅጹ አለመመጣጠን-ኃጢአት x>a፣ኃጢአት x=a፣

ኃጢአት x

በመጀመሪያ በአንዳንድ የርዝመት ክፍል 2 ላይ መፍታት በቂ ነውπ . በዚህ ቅጽ 2 ክፍል ቁጥሮች ላይ የሚገኙትን እያንዳንዳቸው መፍትሄዎች ላይ በመጨመር የሁሉንም መፍትሄዎች ስብስብ እናገኛለንπ ፒ፣ ፒኤዜድ.

ምሳሌ 1፡ እኩልነትን ፍታኃጢአት x>-1/2።(ምስል 10)

በመጀመሪያ፣ ይህንን እኩልነት በጊዜው [-π/2;3π/2] ላይ እንፍታው። የግራ ጎኑን እንመልከት - ክፍል [-π/2;3π/2]ኃጢአት x= -1/2 አንድ መፍትሄ x=-π/6 አለው; እና ተግባሩኃጢአት xበብቸኝነት ይጨምራል. ይህ ማለት -π/2 ከሆነ<= x<= -π/6, то ኃጢአት x<= ኃጢአት(- π /6)=-1/2፣ ማለትም እ.ኤ.አ. እነዚህ የ x እሴቶች ለእኩልነት መፍትሄዎች አይደሉም። ከሆነ -π/6<х<=π/2 то ኃጢአት x> ኃጢአት(-π/6) = -1/2. እነዚህ ሁሉ የ x እሴቶች ለእኩልነት መፍትሄዎች አይደሉም።

በቀሪው ክፍል [π/2;3π/2] ተግባሩኃጢአት xእኩልታው እንዲሁ በብቸኝነት ይቀንሳልኃጢአት x= -1/2 አንድ መፍትሄ x=7π/6 አለው። ስለዚህ, π/2 ከሆነ<= x<7π/, то ኃጢአት x> ኃጢአት(7π/6)=-1/2፣ ማለትም እ.ኤ.አ. እነዚህ ሁሉ የ x እሴቶች ለእኩልነት መፍትሄዎች ናቸው። ለxእና አለነኃጢአት x<= ኃጢአት(7π/6)=-1/2፣ እነዚህ የ x እሴቶች መፍትሄዎች አይደሉም። ስለዚህ የዚህ እኩልነት አለመመጣጠን የሁሉም መፍትሄዎች ስብስብ በ [-π/2; 3π/2] ውስጥ ዋናው (-π/6;7π/6) ነው።

በተግባሩ ወቅታዊነት ምክንያትኃጢአት xከማንኛውም የቅጹ ዋና ይዘት 2π ዋጋዎች x: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn)፣ nЄዜድ, እንዲሁም ለእኩልነት መፍትሄዎች ናቸው. ለዚህ እኩልነት ምንም ሌላ የ x እሴቶች መፍትሄዎች አይደሉም።

መልስ፡-π/6+2πn< x<7π/6+2π n፣ የትnЄ ዜድ.

ማጠቃለያ

እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት የግራፊክ ዘዴን ተመልክተናል; የተወሰኑ ምሳሌዎችን ተመልክተናል, መፍትሄው እንደ ነጠላነት እና እኩልነት ያሉ ተግባራትን ይጠቀም ነበር.የሳይንሳዊ ሥነ-ጽሑፍ እና የሂሳብ መጻሕፍት ትንተና የተመረጠውን ቁሳቁስ በጥናቱ ዓላማዎች መሠረት ለማዋቀር ፣ እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት ውጤታማ ዘዴዎችን መምረጥ እና ማዳበር አስችሏል። ወረቀቱ እነዚህ ዘዴዎች ጥቅም ላይ የሚውሉባቸውን እኩልታዎች እና እኩልነት እና ምሳሌዎችን ለመፍታት ስዕላዊ ዘዴን ያቀርባል. በግራፊክ ዘዴ በመጠቀም እኩልታዎችን እና እኩልነትን የመፍታት ችሎታን ለማዳበር እንደ ረዳት ቁሳቁስ የፕሮጀክቱ ውጤት እንደ የፈጠራ ሥራዎች ሊቆጠር ይችላል።

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር

Dalinger V.A. "ጂኦሜትሪ አልጀብራን ይረዳል።" ማተሚያ ቤት "ትምህርት ቤት - ይጫኑ". ሞስኮ 1996

Dalinger V.A. "በሂሳብ የመጨረሻ እና የመግቢያ ፈተናዎች ስኬትን ለማረጋገጥ ሁሉም ነገር።" የኦምስክ ፔዳጎጂካል ዩኒቨርሲቲ ማተሚያ ቤት. ኦምስክ 1995

Okunev A.A. "የእኩልታዎች ስዕላዊ መፍትሄ ከመለኪያዎች ጋር።" ማተሚያ ቤት "ትምህርት ቤት - ይጫኑ". ሞስኮ 1986

ፒስሜንስኪ ዲ.ቲ. "የሂሳብ ትምህርት ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች" ማተሚያ ቤት "አይሪስ". ሞስኮ 1996

Yastribinetsky G.A. "መለኪያዎችን የያዙ እኩልታዎች እና አለመመጣጠን" ማተሚያ ቤት "Prosveshcheniye". ሞስኮ 1972

ጂ ኮርን እና ቲ. ኮርን “የሂሳብ መጽሐፍ”። የሕትመት ቤት "ሳይንስ" አካላዊ እና ሒሳብ ጽሑፎች. ሞስኮ 1977

Amelkin V.V. እና Rabtsevich V.L. "በመለኪያዎች ላይ ያሉ ችግሮች". ማተሚያ ቤት "አሳር". ሚንስክ 1996

የበይነመረብ ሀብቶች

ኤል.ኤ. ኩስቶቫ

የሂሳብ መምህር

Voronezh, MBOU Lyceum ቁጥር 5

ፕሮጀክት

"ጥቅሞቹ ግራፊክ ዘዴእኩልነትን እና እኩልነትን መፍታት።

ክፍል፡

7-11

ንጥል፡

ሒሳብ

የምርምር ዓላማ፡-

ለማወቅእኩልታዎችን እና እኩልነትን የመፍታት የግራፊክ ዘዴ ጥቅሞች.

መላምት፡-

አንዳንድ እኩልታዎች እና እኩልነቶች በግራፊክ ለመፍታት ቀላል እና የበለጠ ውበት ያላቸው ናቸው።

የምርምር ደረጃዎች፡-

የትንታኔ እና ስዕላዊ የመፍትሄ ዘዴዎችን ያወዳድሩእኩልነት እና አለመመጣጠን.

በምን ጉዳዮች ላይ የግራፊክ ዘዴው ጥቅሞች እንዳሉት ይወቁ.

እኩልታዎችን በሞጁል እና በመለኪያ መፍታት ያስቡበት።

የምርምር ውጤቶች፡-

1.የሂሳብ ውበት የፍልስፍና ችግር ነው።

2. አንዳንድ እኩልታዎችን እና እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ, ስዕላዊ መፍትሄበጣም ተግባራዊ እና ማራኪ.

3. በግራፊክ መፍትሄ በመጠቀም የሂሳብን ማራኪነት በትምህርት ቤት ውስጥ ማመልከት ይችላሉእኩልነት እና አለመመጣጠን.

"የሂሳብ ሳይንስ ከጥንት ጀምሮ ልዩ ትኩረት ስቧል.

በአሁኑ ጊዜ በሥነ ጥበብ እና በኢንዱስትሪ ላይ ያላቸውን ተጽዕኖ የበለጠ ፍላጎት አግኝተዋል።

Pafnutiy Lvovich Chebyshev.

ከ 7 ኛ ክፍል ጀምሮ ፣ ግራፊክስን ጨምሮ ፣ እኩልታዎችን እና እኩልነትን የመፍታት ዘዴዎች ይታሰባሉ። ሒሳብ ደረቅ ሳይንስ ነው ብለው የሚያስቡ ፣ አንዳንድ ዓይነቶች እንዴት በሚያምር ሁኔታ እንደሚፈቱ ሲመለከቱ አስተያየታቸውን ይለውጣሉ ።እኩልነት እና አለመመጣጠን. ጥቂት ምሳሌዎችን ልስጥህ፡-

1) እኩልታውን ይፍቱ; = .

በመተንተን ሊፈቱት ይችላሉ, ማለትም, የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ወደ ሶስተኛው ኃይል እና ወዘተ.

የመፍትሄዎችን ብዛት ማመላከት ከፈለጉ የግራፊክ ዘዴው ለዚህ እኩልነት ምቹ ነው።

የ 9 ኛ ክፍል OGE "ጂኦሜትሪ" ብሎክን ሲፈቱ ተመሳሳይ ስራዎች ብዙውን ጊዜ ያጋጥሟቸዋል.

2) ቀመርን ከመለኪያው ጋር ይፍቱ፡

││ x│- 4│= ሀ

በጣም የተወሳሰበ ምሳሌ አይደለም ፣ ግን በትንታኔ ከፈቱት ፣ የሞጁሉን ቅንፎች ሁለት ጊዜ መክፈት አለብዎት ፣ እና ለእያንዳንዱ ጉዳይ የመለኪያውን ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ያስቡ። በግራፊክ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. የተግባር ግራፎችን እንሳሉ እና ያንን እናያለን-

ምንጮች፡-

የኮምፒውተር ፕሮግራምየላቀ ግራፍ .

የኳድራቲክ እኩልነትን ለመፍታት በጣም ምቹ ከሆኑ ዘዴዎች አንዱ የግራፊክ ዘዴ ነው. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የኳድራቲክ እኩልነት በግራፊክ እንዴት እንደሚፈታ እንመለከታለን. በመጀመሪያ ፣ የዚህ ዘዴ ዋና ነገር ምን እንደሆነ እንወያይ። በመቀጠል፣ አልጎሪዝምን እናቀርባለን እና የኳድራቲክ እኩልነቶችን በግራፊክ የመፍታት ምሳሌዎችን እንመለከታለን።

የገጽ አሰሳ።

የግራፊክ ዘዴው ይዘት

ፈጽሞ እኩልነትን ለመፍታት ስዕላዊ ዘዴከአንድ ተለዋዋጭ ጋር አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት ብቻ ሳይሆን ሌሎች የእኩልነት ዓይነቶችንም ይጠቀማል. እኩልነቶችን ለመፍታት የግራፊክ ዘዴው ይዘትቀጥሎ፡ ከግራ እና ቀኝ እኩልነት ጋር የሚዛመዱትን ተግባራት y=f(x) እና y=g(x) አስቡባቸው፣ ግራፋቸውን በአንድ አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የማስተባበሪያ ስርዓት ይገንቡ እና የአንደኛው ግራፍ በምን አይነት ክፍተቶች እንዳሉ ይወቁ። እነሱ ከሌላው ያነሰ ወይም ከፍ ያለ ነው. እነዚያ ክፍተቶች የት

• የተግባሩ ግራፍ ረ ከስራው ግራፍ በላይ g ለእኩልነት መፍትሄዎች ናቸው f (x)> g (x);
• የተግባሩ ግራፍ ረ ከስራው ግራፍ ያነሰ አይደለም g ለችግሩ እኩልነት መፍትሄዎች ናቸው f (x) ≥g (x);
• ከ g ግራፍ በታች ያለው የ f ግራፍ ለእኩልነት f(x) መፍትሄዎች ናቸው።
• የአንድ ተግባር ግራፍ ረ ከአንድ ተግባር ግራፍ የማይበልጥ g (x) ≤g (x) አለመመጣጠን መፍትሄዎች ናቸው።

እኛ ደግሞ እንናገራለን የ f (x) = g (x) ግራፎች የግራፎች መገናኛ ነጥቦች abcissas ለ ቀመር መፍትሄዎች ናቸው.

እነዚህን ውጤቶች ወደ ጉዳያችን እናስተላልፍ - የኳድራቲክ እኩልነትን ለመፍታት x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

ሁለት ተግባራትን እናስተዋውቃለን-የመጀመሪያው y=a x 2 +b x+c (በ f(x)=a x 2 +b x+c) ከኳድራቲክ እኩልነት በግራ በኩል፣ ሁለተኛው y=0 (በ g ( ጋር) x) = 0) ከእኩልነት ቀኝ ጎን ጋር ይዛመዳል። መርሐግብር ኳድራቲክ ተግባርረ ፓራቦላ እና ግራፍ ነው የማያቋርጥ ተግባር g - ቀጥተኛ መስመር ከአቢሲሳ ዘንግ ኦክስ ጋር የሚገጣጠም.

ቀጥሎም ፣ እኩልነትን ለመፍታት በግራፊክ ዘዴ መሠረት ፣ የአንድ ተግባር ግራፍ ከሌላው በላይ ወይም በታች በየትኛው ክፍተቶች ላይ እንደሚገኝ መተንተን ያስፈልጋል ፣ ይህም የሚፈለገውን የኳድራቲክ አለመመጣጠን ለመጻፍ ያስችለናል ። በእኛ ሁኔታ, ከኦክስ ዘንግ አንጻር የፓራቦላውን አቀማመጥ መተንተን ያስፈልገናል.

እንደ አሃዛዊ አሃዞች a, b እና c, የሚከተሉት ስድስት አማራጮች ሊኖሩ ይችላሉ (ለእኛ ፍላጎቶች, የመርሃግብር ውክልና በቂ ነው, እና የ Oy ዘንግ መግለጽ አያስፈልገንም, ምክንያቱም ቦታው በ. ለእኩልነት መፍትሄዎች)

በዚህ ሥዕል ላይ አንድ ፓራቦላ እናያለን ፣ ቅርንጫፎቹ ወደ ላይ የሚመሩ እና የኦክስ ዘንግ በሁለት ነጥብ የሚያቋርጥ ፣ አቢሲሳ x 1 እና x 2 ናቸው። ይህ ስዕል አወንታዊው አወንታዊ ሲሆን (ለፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደላይ አቅጣጫ ተጠያቂ ነው) እና እሴቱ አዎንታዊ በሚሆንበት ጊዜ ከአማራጭ ጋር ይዛመዳል። የኳድራቲክ ትሪኖሚል አድልዎ a x 2 +b x+c (በዚህ ሁኔታ ትሪኖሚል ሁለት ሥሮች አሉት፣ እነሱም x 1 እና x 2 ብለን ገለጽናቸው እና x 1 ብለን ገምተናል። 0 , D=b 2 -4·a·c=(-1) 2 -4·1 · (-6)=25>0፣ x 1 = -2 ፣ x 2 = 3 ።

ግልጽ ለማድረግ, ከ x-ዘንግ በላይ የሚገኙትን የፓራቦላ ክፍሎችን በቀይ እና በሰማያዊ - ከ x-ዘንግ በታች ያሉትን እንይ.


አሁን የትኞቹ ክፍተቶች ከእነዚህ ክፍሎች ጋር እንደሚዛመዱ ለማወቅ እንሞክር. የሚከተለው ስዕል እነሱን ለመለየት ይረዳዎታል (ለወደፊቱ በአዕምሯዊ ሁኔታ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ተመሳሳይ ምርጫዎችን እናደርጋለን)


ስለዚህ በ abscissa ዘንግ ላይ ሁለት ክፍተቶች (-∞, x 1) እና (x 2, +∞) በቀይ ተለይተዋል, በላያቸው ላይ ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ በላይ ነው, ለአራት እኩል አለመመጣጠን አንድ x 2 + b x መፍትሄ ይመሰርታሉ. +c>0 , እና ክፍተቱ (x 1, x 2) በሰማያዊ ጎልቶ ይታያል, ከኦክስ ዘንግ በታች የሆነ ፓራቦላ አለ, ይህም የእኩልነት መፍትሄን ይወክላል a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

እና አሁን በአጭሩ፡ ለ a> 0 እና D=b 2 -4 a c>0 (ወይም D"=D/4>0 ለተመጣጣኝ መጠን ለ)

• የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍትሄው x 2 +b x+c>0 ነው (-∞፣ x 1)∪(x 2፣ +∞) ወይም በሌላ መግለጫ x x 2;
• የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍትሄው x 2 +b x+c≥0 (-∞፣ x 1 ]∪ ወይም በሌላ አረፍተ ነገር x 1 ≤x≤x 2፣

x 1 እና x 2 የኳድራቲክ ትራይኖሚል ስር ናቸው a x 2 +b x+c እና x 1


እዚህ ጋር አንድ ፓራቦላ እናያለን ፣ ቅርንጫፎቹ ወደ ላይ የሚመሩ እና የአብሲሳ ዘንግ የሚነካ ነው ፣ ማለትም ፣ ከእሱ ጋር አንድ የጋራ ነጥብ ያለው የዚህ ነጥብ አቢሲሳ x 0 ነው ። የቀረበው ጉዳይ ከ a> 0 ጋር ይዛመዳል (ቅርንጫፎቹ ወደ ላይ ይመራሉ) እና D=0 (የካሬው ትሪኖሚል አንድ ስር x 0 አለው)። ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ ተግባር y=x 2 -4·x+4፣ እዚህ a=1>0፣ D=(-4) 2 -4·1·4=0 እና x 0 =2 መውሰድ ትችላለህ።

ስዕሉ በግልጽ የሚያሳየው ፓራቦላ ከመገናኛው ነጥብ በስተቀር በሁሉም ቦታ ከኦክስ ዘንግ በላይ ነው ፣ ማለትም ፣ በመካከላቸው (-∞ ፣ x 0) ፣ (x 0 ፣ ∞)። ግልጽ ለማድረግ, በስዕሉ ውስጥ ያሉትን ቦታዎች ከቀዳሚው አንቀፅ ጋር በማመሳሰል እናሳይ.


መደምደሚያዎችን እናቀርባለን: ለ a> 0 እና D = 0

• የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍትሄው · ax 2 + b·x+c>0 (-∞, x 0) ∪ (x 0, +∞) ወይም በሌላ ምልክት x≠x 0;
• የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍትሔው ax 2 + b·x+c≥0 (-∞, +∞) ወይም በሌላ ማስታወሻ x∈R;
• ኳድራቲክ አለመመጣጠን a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• የኳድራቲክ አለመመጣጠን a x 2 +b x+c≤0 ልዩ የሆነ መፍትሄ x=x 0 አለው (በተንዛዛ ነጥብ ነው የሚሰጠው)

የት x 0 የካሬ ሶስትዮሽ ስር ነው a x 2 + b x + c.


በዚህ ሁኔታ, የፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደ ላይ ይመራሉ, እና ከ abcissa ዘንግ ጋር የተለመዱ ነጥቦች የሉትም. እዚህ ላይ ሁኔታዎች አሉን a>0 (ቅርንጫፎቹ ወደ ላይ ይመራሉ) እና ዲ<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0፣ D=0 2 -4·2·1=-8<0 .

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ፓራቦላ በጠቅላላው ርዝመቱ ከኦክስ ዘንግ በላይ ይገኛል (ከኦክስ ዘንግ በታች ያሉት ክፍተቶች የሉም, ምንም የመነካካት ነጥብ የለም).


ስለዚህ፣ ለ a> 0 እና ዲ<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 እና x 2+b x+c≥0 የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው፣ እና እኩል ያልሆኑት x 2+b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

እና ከኦክስ ዘንግ አንፃር ወደ ላይ ሳይሆን ወደ ታች የሚመሩ ቅርንጫፎች ያሉት የፓራቦላ ቦታ ሦስት አማራጮች ይቀራሉ። በመርህ ደረጃ፣ የእኩልነት ሁለቱን ወገኖች በ-1 ማባዛት ወደ ተመጣጣኝ አለመመጣጠን እንድንሄድ ስለሚያስችለን በ x 2 አዎንታዊ ቅንጅት ውስጥ ከግምት ውስጥ መግባት የለባቸውም። ግን አሁንም ስለእነዚህ ጉዳዮች ሀሳብ ማግኘት አይጎዳም. እዚህ ያለው ምክንያት ተመሳሳይ ነው, ስለዚህ ዋናዎቹን ውጤቶች ብቻ እንጽፋለን.

የመፍትሄው ስልተ ቀመር

የሁሉም የቀድሞ ስሌቶች ውጤት ነው የኳድራቲክ እኩልነቶችን በግራፊክ ለመፍታት አልጎሪዝም:

በርቷል አውሮፕላን አስተባባሪየስዕል ንድፍ ተሠርቷል፣ እሱም የኦክስ ዘንግ (የኦይ ዘንግ መግለጽ አስፈላጊ አይደለም) እና ከኳድራቲክ ተግባር y=ax 2 + bx+c ጋር የሚዛመድ የፓራቦላ ንድፍ ያሳያል። የፓራቦላ ንድፍ ለመሳል ሁለት ነጥቦችን ማብራራት በቂ ነው-

• በመጀመሪያ ፣ በ Coefficient a እሴት የሚወሰነው ቅርንጫፎቹ የት እንደሚመሩ ነው (ለ a> 0 - ወደ ላይ ፣ ለ<0 – вниз).
• በሁለተኛ ደረጃ ፣ በካሬው ትሪኖሚል አድልዎ እሴት a x 2 + b x + c ፓራቦላ የአቢሲሳ ዘንግ በሁለት ነጥብ (ለ D> 0) ያቋርጣል ፣ በአንድ ነጥብ ይነካው እንደሆነ (ለ D=0) ይወሰናል። ወይም ከኦክስ ዘንግ ጋር ምንም የጋራ ነጥቦች የሉትም (በዲ<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• ስዕሉ ሲዘጋጅ, በአልጎሪዝም ሁለተኛ ደረጃ ላይ ይጠቀሙበት

  • የኳድራቲክ እኩልነት ax 2 + b x + c> 0 ሲፈታ, ክፍተቶቹ የሚወሰኑት ፓራቦላ ከ abscissa በላይ ነው;
  • አለመመጣጠን ሲፈታ ax 2 + b·x + c≥0 ፣ ፓራቦላ ከ abscissa ዘንግ በላይ የሚገኝባቸው ክፍተቶች ይወሰናሉ እና የመገናኛ ነጥቦቹ አቢሲሳ (ወይም የታንጀንት ነጥብ abcissa) ይታከላሉ ። እነሱን;
  • አለመመጣጠን ሲፈታ x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • በመጨረሻ ፣ የቅርጽ ax 2 + b·x+c≤0 አራት ማዕዘናዊ አለመመጣጠን ሲፈታ ፣ ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ በታች እና ከመገናኛ ነጥቦቹ አቢሲሳ (ወይም የታንጀንት ነጥብ abcissa) ያሉት ክፍተቶች ይገኛሉ። ) ለእነሱ ተጨምሯል;

  ለአራት እኩልነት እኩልነት የተፈለገውን መፍትሄ ይመሰርታሉ, እና እንደዚህ ያሉ ክፍተቶች ከሌሉ እና ምንም የተዛባ ነጥቦች ከሌሉ, የመጀመሪያው የኳድራቲክ እኩልነት ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

የሚቀረው ይህንን ስልተ ቀመር በመጠቀም ጥቂት ኳድራቲክ እኩልነቶችን መፍታት ነው።

ምሳሌዎች ከመፍትሔ ጋር

ለምሳሌ።

አለመመጣጠን ይፍቱ .

መፍትሄ።

የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍታት አለብን፣ ካለፈው አንቀጽ አልጎሪዝምን እንጠቀም። በመጀመሪያው ደረጃ የኳድራቲክ ተግባሩን ግራፍ መሳል ያስፈልገናል . የ x 2 ጥምርታ ከ 2 ጋር እኩል ነው, አዎንታዊ ነው, ስለዚህ, የፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደ ላይ ይመራሉ. በተጨማሪም ፓራቦላ ከ x-ዘንግ ጋር የጋራ ነጥቦች እንዳሉት እንወቅ, ይህንን ለማድረግ የኳድራቲክ ትሪኖሚል አድልዎ እናሰላለን . እና አለነ . አድሎአዊው ከዜሮ በላይ ሆኖ ተገኝቷል፣ስለዚህ ሥላሴ ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት። እና ማለትም x 1 = -3 እና x 2 =1/3።

ከዚህ በመነሳት ፓራቦላ የኦክስን ዘንግ በሁለት ነጥብ ከ abcissas -3 እና 1/3 ጋር እንደሚያቋርጥ ግልጽ ነው. ጥብቅ ያልሆነን እኩልነት እየፈታን ስለሆነ እነዚህን ነጥቦች በሥዕሉ ላይ እንደ ተራ ነጥቦች እንገልጻቸዋለን። በተብራራው መረጃ ላይ በመመስረት የሚከተለውን ስዕል እናገኛለን (ከጽሁፉ የመጀመሪያ አንቀጽ የመጀመሪያውን አብነት ይስማማል)

ወደ ስልተ ቀመር ሁለተኛ ደረጃ እንሂድ። ጥብቅ ያልሆነ የኳድራቲክ አለመመጣጠን ከምልክቱ ≤ ጋር እየፈታን ስለሆነ ፣ ፓራቦላ ከ abscissa በታች የሚገኝበትን ክፍተቶች መወሰን እና የመገናኛ ነጥቦቹን አብሲሳዎች ለእነሱ ማከል አለብን።

ከሥዕሉ ላይ ፓራቦላ ከ x-ዘንግ በታች ባለው ክፍተት (-3, 1/3) እና በእሱ ላይ የመገናኛ ነጥቦችን አቢሲሳ እንጨምራለን, ማለትም ቁጥሮች -3 እና 1/3. በውጤቱም, በቁጥር ክፍተት [-3, 1/3] ላይ ደርሰናል. የምንፈልገው መፍትሔ ይህ ነው። እንደ ድርብ አለመመጣጠን -3≤x≤1/3 ሊጻፍ ይችላል።

መልስ፡-

[-3፣ 1/3] ወይም -3≤x≤1/3።

ለምሳሌ።

የኳድራቲክ አለመመጣጠን -x 2 +16 x-63 መፍትሄ ያግኙ<0 .

መፍትሄ።

እንደተለመደው በስእል እንጀምራለን. ለተለዋዋጭ ካሬው የቁጥር ቅንጅት አሉታዊ ነው, -1, ስለዚህ, የፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደ ታች ይመራሉ. አድሎአዊውን፣ ወይም በተሻለ ሁኔታ፣ አራተኛውን ክፍል እናሰላው፡- D"=8 2 −(-1)·(-63)=64-63=1. እሴቱ አወንታዊ ነው፣ እስቲ የካሬውን ትሪኖሚል ሥሮች እናሰላለን። እና ፣ x 1 = 7 እና x 2 =9። ስለዚህ ፓራቦላ የኦክስን ዘንግ ከ abscissas 7 እና 9 ጋር በሁለት ነጥቦች ያቋርጣል (የመጀመሪያው እኩልነት ጥብቅ ነው ፣ ስለሆነም እነዚህን ነጥቦች በባዶ ማእከል እናሳያለን) ።

እኛ ከምልክት ጋር ጥብቅ የኳድራቲክ አለመመጣጠን እየፈታን ስለሆነ<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

ስዕሉ እንደሚያሳየው ለዋናው የኳድራቲክ አለመመጣጠን መፍትሄዎች ሁለት ክፍተቶች ናቸው (-∞, 7), (9, +∞) .

መልስ፡-

(-∞፣ 7)∪(9፣ +∞) ወይም በሌላ ማስታወሻ x<7 , x>9 .

ኳድራቲክ እኩልነቶችን በሚፈታበት ጊዜ፣ የኳድራቲክ ትሪኖሚል በግራ ጎኑ ያለው አድልዎ ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ፣ የታንጀንት ነጥቡን abcissa ከመልሱ ውስጥ ማካተት ወይም አለማካተት መጠንቀቅ አለብዎት። ይህ የተመካው በእኩልነት ምልክት ላይ ነው-የእኩልነት አለመመጣጠን ጥብቅ ከሆነ, ለእኩልነት መፍትሄ አይሆንም, ነገር ግን ጥብቅ ካልሆነ, ያ ነው.

ለምሳሌ።

የኳድራቲክ አለመመጣጠን 10 x 2 -14 x+4.9≤0 ቢያንስ አንድ መፍትሄ አለው?

መፍትሄ።

ተግባሩን y=10 x 2 -14 x+4.9 እንይ። ቅርንጫፎቹ ወደ ላይ ይመራሉ፣ የ x 2 ቅንጅት አወንታዊ ስለሆነ፣ እና የ abscissa ዘንግ ከ abcissa 0.7 ጋር የሚነካው ከ D"=(-7) 2 -10 4.9=0፣ ከየት ነው ወይም 0.7 በቅጹ ነው። የአስርዮሽ ክፍልፋይ ይህን ይመስላል።

በ ≤ ምልክት የኳድራቲክ አለመመጣጠን እየፈታን ስለሆነ ፣ መፍትሄው ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ በታች የሚገኝበት ክፍተቶች እንዲሁም የታንጀንት ነጥብ abcissa ይሆናል። ከሥዕሉ ላይ ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ በታች የሚሆንበት አንድ ክፍተት እንደሌለ ግልጽ ነው, ስለዚህ የእሱ መፍትሄ የታንጀንት ነጥብ abcissa ብቻ ይሆናል, ማለትም, 0.7.

መልስ፡-

ይህ አለመመጣጠን ልዩ መፍትሄ አለው 0.7.

ለምሳሌ።

የኳድራቲክ አለመመጣጠን ይፍቱ -x 2 +8 x-16<0 .

መፍትሄ።

የኳድራቲክ እኩልነቶችን ለመፍታት ስልተ ቀመርን እንከተላለን እና ግራፍ በመገንባት እንጀምራለን ። የፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደ ታች ይመራሉ, ምክንያቱም የ x 2 ጥምርታ አሉታዊ ነው, -1. የካሬ ትሪኖሚል -x 2 +8 x-16 አድልዎ እናገኝ D'=4 2 -(-1)·(-16)=16-16=0እና ከዚያ x 0 = -4 / (-1), x 0 = 4. ስለዚህ፣ ፓራቦላ በ abcissa ነጥብ 4 ላይ ያለውን የኦክስ ዘንግ ይነካል። ስዕሉን እንሥራ-

የመጀመሪያውን እኩልነት ምልክት እንመለከታለን, እዚያ አለ<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

በእኛ ሁኔታ, እነዚህ ክፍት ጨረሮች (-∞, 4), (4, +∞) ናቸው. በተናጥል, እኛ እናስተውላለን 4 - የግንኙነት ነጥብ abcissa - መፍትሄ አይደለም, ምክንያቱም በተገናኘበት ቦታ ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ ያነሰ አይደለም.

መልስ፡-

(-∞፣ 4)∪(4፣ +∞) ወይም በሌላ ማስታወሻ x≠4።

በኳድራቲክ አለመመጣጠን በግራ በኩል ያለው የኳድራቲክ ትሪኖሚል አድልዎ ከዜሮ በታች ለሆኑ ጉዳዮች ልዩ ትኩረት ይስጡ ። እዚህ መቸኮል አያስፈልግም እና እኩልነት ምንም መፍትሄዎች የሉትም (ለአራት እኩልታዎች እንደዚህ ያለ መደምደሚያ ከአሉታዊ አድልዎ ጋር ለማድረግ እንጠቀማለን)። ነጥቡ የ quadratic አለመመጣጠን ለዲ<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

ለምሳሌ።

ለአራት እኩልነት 3 x 2 +1>0 መፍትሄ ያግኙ።

መፍትሄ።

እንደተለመደው በስእል እንጀምራለን. Coefficient a 3 ነው, አዎንታዊ ነው, ስለዚህ, የፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደ ላይ ይመራሉ. አድሎአዊውን እናሰላለን፡ D=0 2 -4·3·1=-12 . አድልዎ አሉታዊ ስለሆነ, ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ ጋር ምንም የጋራ ነጥቦች የሉትም. የተገኘው መረጃ ለንድፍ ግራፍ በቂ ነው፡-

ጥብቅ የኳድራቲክ አለመመጣጠን በ> ምልክት እንፈታለን። የእሱ መፍትሄ ፓራቦላ ከኦክስ ዘንግ በላይ የሆነበት ሁሉም ክፍተቶች ይሆናሉ. በእኛ ሁኔታ, ፓራቦላ በጠቅላላው ርዝመት ከ x-ዘንግ በላይ ነው, ስለዚህ የሚፈለገው መፍትሄ የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ይሆናል.

ኦክስ , እና እንዲሁም የመንገጫገጭ ነጥቦችን (abcissa) ወይም የታንጀንሲው (abcissa) መጨመር ያስፈልግዎታል. ነገር ግን ከሥዕሉ ላይ እንደዚህ ዓይነት ክፍተቶች እንደሌሉ በግልጽ ይታያል (ፓራቦላ በሁሉም ቦታ ከአቢሲሳ ዘንግ በታች ስለሚገኝ) ልክ እንደ መገናኛ ነጥብ የለም, ልክ እንደ ታንጀንት ምንም ነጥቦች የሉም. ስለዚህ, የመጀመሪያው የኳድራቲክ አለመመጣጠን ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

መልስ፡-

ምንም መፍትሄዎች ወይም በሌላ ግቤት ∅.

መጽሃፍ ቅዱስ።

• አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ኛ ክፍል. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• አልጀብራ፡ 9 ኛ ክፍል: ትምህርታዊ. ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2009. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 8ኛ ክፍል. በ 2 ሰዓታት ውስጥ ክፍል 1. ለአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ / A.G. Mordkovich. - 11 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 9 ኛ ክፍል. በ 2 ሰዓታት ውስጥ ክፍል 1. የአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 13 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01752-3.
• ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ እና የሂሳብ ትንተና መጀመሪያ። 11ኛ ክፍል። በ 2 ሰዓታት ውስጥ ክፍል 1. ለአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሀፍ (የመገለጫ ደረጃ) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 2 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01027-2.

የፌደራል የትምህርት ኤጀንሲ

የትምህርት ልማት ተቋም

« ስዕላዊ ዘዴዎችእኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን ከመለኪያዎች ጋር መፍታት"

ተጠናቀቀ

የሂሳብ መምህር

የማዘጋጃ ቤት ትምህርት ተቋም ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ቁጥር 62

ሊፕትስክ 2008

መግቢያ................................................. ......................................................... ........... .3

X;በ) 4

1.1. ትይዩ ማስተላለፍ …………………………………………. ................................. 5

1.2. መዞር ................................................................ ................................................. ....... 9

1.3. ግብረ ሰዶማዊነት። ወደ ቀጥታ መስመር መጨናነቅ …………………………………………. ...................... 13

1.4. በአውሮፕላኑ ላይ ሁለት ቀጥታ መስመር. ......................... 15

2. ግራፊክ ቴክኒኮች. አስተባባሪ አውሮፕላን ( X;ሀ) 17

ማጠቃለያ.................................................. ................................. 20

የመጽሐፍ ቅዱስ ዝርዝር................................................. ………………………………… 22

መግቢያ

የትምህርት ቤት ልጆች መደበኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን እና እኩልነትን በሚፈቱበት ጊዜ የሚያጋጥሟቸው ችግሮች የሚከሰቱት በእነዚህ ችግሮች አንጻራዊ ውስብስብነት እና ትምህርት ቤት እንደ አንድ ደንብ መደበኛ ችግሮችን በመፍታት ላይ በማተኮር ነው።

ብዙ የትምህርት ቤት ልጆች መለኪያውን እንደ "መደበኛ" ቁጥር ይገነዘባሉ. በእርግጥ, በአንዳንድ ችግሮች አንድ መለኪያ እንደ ቋሚ እሴት ሊቆጠር ይችላል, ነገር ግን ይህ ቋሚ እሴት የማይታወቁ እሴቶችን ይወስዳል! ስለዚህ, ለዚህ ቋሚ ሊሆኑ ለሚችሉ ሁሉም ዋጋዎች ችግሩን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል. በሌሎች ችግሮች ውስጥ፣ የማይታወቁትን አንዱን እንደ መለኪያ አድርጎ በሰው ሰራሽ መንገድ ማወጅ ሊመች ይችላል።

ሌሎች የትምህርት ቤት ልጆች መለኪያውን እንደ ያልታወቀ መጠን ይቆጥሩታል እና ሳይሸማቀቁ መለኪያውን በተለዋዋጭ በመልሳቸው መግለጽ ይችላሉ። X.

በመጨረሻ እና የመግቢያ ፈተናዎች በዋናነት ሁለት አይነት ችግሮች በመለኪያዎች አሉ። ወዲያውኑ በቃላቸው መለየት ይችላሉ. መጀመሪያ፡ "ለእያንዳንዱ ግቤት እሴት፣ ለአንዳንድ እኩልነት ወይም እኩልነት ሁሉንም መፍትሄዎች ያግኙ።" ሁለተኛ: "የመለኪያውን ሁሉንም እሴቶች ፈልግ, ለእያንዳንዳቸው የተወሰኑ ሁኔታዎች ለተወሰነ እኩልነት ወይም እኩልነት ረክተዋል." በዚህ መሠረት በእነዚህ ሁለት ዓይነቶች ችግሮች ውስጥ ያሉት መልሶች በመሠረቱ ይለያያሉ. ለመጀመሪያው ዓይነት ችግር መልሱ የመለኪያውን ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ይዘረዝራል እና ለእያንዳንዳቸው የእኩልታ መፍትሄዎች ተጽፈዋል። ለሁለተኛው ዓይነት ችግር መልሱ በችግሩ ውስጥ የተገለጹት ሁኔታዎች የተሟሉባቸውን ሁሉንም መለኪያዎች ያሳያል ።

ለአንድ የተወሰነ የመለኪያ ቋሚ እሴት ከመለኪያ ጋር የአንድ እኩልታ መፍትሄ የማይታወቅ እሴት ነው ፣ ወደ ቀመር ሲተካ ፣ ሁለተኛው ወደ ትክክለኛ የቁጥር እኩልነት ይለወጣል። ከፓራሜትር ጋር ላለው እኩልነት መፍትሄው በተመሳሳይ መልኩ ይወሰናል. እኩልነት (እኩልነት) በመለኪያ መፍታት ማለት ለእያንዳንዱ ተቀባይነት ያለው የመለኪያ እሴት ፣ ለተጠቀሰው እኩልነት (እኩልነት) የሁሉንም መፍትሄዎች ስብስብ ማግኘት ነው።

1. ግራፊክ ቴክኒኮች. አስተባባሪ አውሮፕላን ( X;በ)

ከመሠረታዊ የትንታኔ ቴክኒኮች እና ዘዴዎች ጋር ችግሮችን በመለኪያዎች ለመፍታት ፣ የእይታ እና የግራፊክ ትርጓሜዎችን ለመጠቀም መንገዶች አሉ።

መለኪያው በችግሩ ውስጥ ምን ዓይነት ሚና እንደተመደበ (ከተለዋዋጭ እኩል ያልሆነ ወይም እኩል) ላይ በመመስረት, በዚህ መሰረት ሁለት ዋና ዋና የግራፊክ ቴክኒኮችን መለየት ይቻላል-የመጀመሪያው በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ የግራፊክ ምስል መገንባት ነው. (ኤክስ;y)ሁለተኛው - በርቷል (ኤክስ; ሀ)

በአውሮፕላኑ ላይ (x; y) ተግባሩ y =ረ (ኤክስ; ሀ)በመለኪያው ላይ በመመስረት የኩርባ ቤተሰብን ይገልጻል ሀ.እያንዳንዱ ቤተሰብ እንደሆነ ግልጽ ነው ረየተወሰኑ ንብረቶች አሉት. ከቤተሰብ ወደ ሌላ ከርቭ ወደ ሌላ ለመሸጋገር ምን ዓይነት የአውሮፕላን ለውጥ (ትይዩ ትርጉም፣ መሽከርከር፣ ወዘተ) መጠቀም እንደሚቻል በዋነኝነት ትኩረት እናደርጋለን። ለእያንዳንዱ እነዚህ ለውጦች የተለየ አንቀጽ ተሰጥቷል። ለእኛ እንዲህ ዓይነቱ ምደባ ወሳኙ አስፈላጊውን የግራፊክ ምስል ለማግኘት ቀላል ያደርገዋል። በዚህ አቀራረብ ፣ የመፍትሄው ርዕዮተ ዓለም ክፍል በየትኛው አኃዝ (ቀጥታ መስመር ፣ ክበብ ፣ ፓራቦላ ፣ ወዘተ) ላይ የኩርባ ቤተሰብ አባል እንደሚሆን ላይ የተመሠረተ አለመሆኑን ልብ ይበሉ።

እርግጥ ነው, የቤተሰቡ ግራፊክ ምስል ሁልጊዜ አይደለም y =ረ (ኤክስ;ሀ)በቀላል ለውጥ ተገልጿል. ስለዚህ, እንደዚህ ባሉ ሁኔታዎች ውስጥ, የአንድ ቤተሰብ ኩርባዎች እንዴት እንደሚዛመዱ ላይ ሳይሆን በራሳቸው ኩርባዎች ላይ ማተኮር ጠቃሚ ነው. በሌላ አነጋገር የመፍትሄው ሃሳብ በዋናነት በተወሰኑ የጂኦሜትሪክ አሃዞች ባህሪያት ላይ የተመሰረተ እና በአጠቃላይ ቤተሰቡ ላይ የተመሰረተ ሌላ ዓይነት ችግርን መለየት እንችላለን. በመጀመሪያ ምን አሃዞች (በትክክለኛው ፣ የእነዚህ ቁጥሮች ቤተሰቦች) እኛን የሚስቡን? እነዚህ ቀጥተኛ መስመሮች እና ፓራቦላዎች ናቸው. ይህ ምርጫ በት / ቤት ሒሳብ ውስጥ በመስመራዊ እና ኳድራቲክ ተግባራት ልዩ (መሰረታዊ) አቀማመጥ ምክንያት ነው.

ስለ ግራፊክ ዘዴዎች በመናገር, ከተወዳዳሪ ፈተናዎች ልምምድ "የተወለደ" አንድ ችግርን ማስወገድ አይቻልም. በስዕላዊ ግምቶች ላይ የተመሰረተ ውሳኔ ስለ ጥብቅነት, እና ስለዚህ ህጋዊነት, ጥያቄን እንጠቅሳለን. ያለምንም ጥርጥር, ከመደበኛ እይታ አንጻር, ከ "ስዕሉ" የተወሰደው ውጤት, በትንታኔ ያልተደገፈ, በትክክል አልተገኘም. ሆኖም፣ የሁለተኛ ደረጃ ተማሪ መከተል ያለበትን የግትርነት ደረጃ ማን፣ መቼ እና የት ነው የሚወስነው? በእኛ አስተያየት, ለተማሪው የሒሳብ ጥብቅነት ደረጃ የሚያስፈልጉት መስፈርቶች በተለመደው አስተሳሰብ ሊወሰኑ ይገባል. የእንደዚህ አይነት አመለካከት የርእሰ ጉዳይ ደረጃ እንረዳለን። ከዚህም በላይ የግራፊክ ዘዴው ከግልጽነት ዘዴዎች አንዱ ብቻ ነው. እና ታይነት ማታለል ሊሆን ይችላል..gif" width="232" height="28">መፍትሄው አንድ ብቻ ነው።

መፍትሄ።ለመመቻቸት, lgን እንጠቁማለን ለ = ሀ.ከዋናው ጋር የሚመጣጠን እኩልታ እንፃፍ፡- https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

የአንድ ተግባር ግራፍ መገንባት ከትርጉሙ ጎራ ጋር እና (ምስል 1). የተገኘው ግራፍ ቀጥታ መስመር ያለው ቤተሰብ ነው y = ሀበአንድ ነጥብ ላይ ብቻ መቆራረጥ አለበት. ስዕሉ እንደሚያሳየው ይህ መስፈርት ሲሟላ ብቻ ነው ሀ > 2, ማለትም lg ለ 2, ለ 100.

መልስ። https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16">የቀመርውን የመፍትሄዎች ብዛት ይወስኑ .

መፍትሄ. ተግባሩን 102" height="37" style="vertical-align:top">ይቅረጽ

እስቲ እናስብ። ይህ ከኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር ነው።

መልስ..gif" width="41" height="20">፣ ከዚያም 3 መፍትሄዎች;

ከሆነ, ከዚያም 2 መፍትሄዎች;

ከሆነ, 4 መፍትሄዎች.

ወደ አዲስ ተከታታይ ስራዎች እንሂድ..gif" width="107" height="27 src=">።

መፍትሄ።ቀጥ ያለ መስመር እንስራ በ= X+1 (ምስል 3)።.gif" width="92" height="57">

አንድ መፍትሄ ይኑርዎት ፣ እሱም ለእኩል እኩል ነው ( X+1)2 = x + ሀ have one root..gif" width="44 height=47" height="47">የመጀመሪያው ኢ-እኩልነት መፍትሔ የለውም። አንድ ሰው ተዋጽኦውን የሚያውቅ ሰው ይህን ውጤት በተለየ መንገድ ሊያገኝ እንደሚችል ልብ ይበሉ።

በመቀጠል "ከፊል-ፓራቦላ" ወደ ግራ በማሸጋገር, ግራፎች ሲደረጉ የመጨረሻውን ጊዜ እናስተካክላለን. በ = X+ 1 እና ሁለት የጋራ ነጥቦች አሏቸው (ቦታ III)። ይህ ዝግጅት በሚፈለገው መስፈርት የተረጋገጠ ነው ሀ= 1.

ለክፍሉ ግልጽ ነው. X 1; X 2] ፣ የት X 1 እና X 2 - የግራፎች መገናኛ ነጥቦች abcissas, ለዋናው አለመመጣጠን መፍትሄ ይሆናል..gif" width="68 height=47" height="47">፣ ከዚያ

"ከፊል ፓራቦላ" እና ቀጥተኛ መስመር በአንድ ነጥብ ላይ ብቻ ሲገናኙ (ይህ ከጉዳዩ ጋር ይዛመዳል). ሀ > 1) ከዚያ መፍትሄው ክፍል ይሆናል [- ሀ; X 2"]፣ የት X 2" - ከሥሮቹ ውስጥ ትልቁ X 1 እና X 2 (አቀማመጥ IV).

ምሳሌ 4..gif" ስፋት = "85" ቁመት = "29 src = ">.gif" ስፋት = "75" ቁመት = "20 src="> . ከዚህ እናገኛለን .

ተግባራቶቹን እንይ እና . ከነሱ መካከል አንድ ብቻ የኩርባ ቤተሰብን ይገልፃል. አሁን መተኪያው የማያጠራጥር ጥቅም እንዳመጣ እናያለን። በትይዩ, በቀድሞው ችግር ውስጥ, ተመሳሳይ ምትክ በመጠቀም, "ከፊል-ፓራቦላ" እንቅስቃሴን ሳይሆን ቀጥተኛ መስመርን ማድረግ እንደሚችሉ እናስተውላለን. ወደ Fig. 4. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የአከርካሪው አቢሲሳ "ከፊል-ፓራቦላ" ከሆነ. ከአንድ በላይማለትም -3 ሀ > 1, , ከዚያ እኩልታው ምንም ሥሮች የሉትም..gif" width="89" height="29">እና አላቸው። የተለየ ባህሪነጠላነት.

መልስ።ከዚያም እኩልታው አንድ ሥር ካለው; ከሆነ https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

መፍትሄዎች አሉት.

መፍትሄ።ቀጥተኛ ቤተሰቦች https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 እንደሆነ ግልጽ ነው። " >

ትርጉም k1ጥንዶቹን (0;0) ወደ ስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ በመተካት እናገኛለን. ከዚህ ክ1 =-1/4. ትርጉም ክ 2 ከስርአቱ በመጠየቅ እናገኛለን

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47">መቼ ክ> 0 አንድ ሥር አላቸው። ከዚህ k2= 1/4.

መልስ። .

አንድ አስተያየት እናንሳ። በዚህ ነጥብ አንዳንድ ምሳሌዎች ውስጥ, እኛ አንድ መደበኛ ችግር መፍታት አለብን: ለመስመር ቤተሰብ, ከርቭ ጋር tangency ቅጽበት ጋር የሚዛመድ በውስጡ angular Coefficient ያግኙ. ይህንን እንዴት እንደሚያደርጉት እናሳይዎታለን አጠቃላይ እይታተዋጽኦውን በመጠቀም።

ከሆነ (x0; y 0) = የማዞሪያ ማእከል, ከዚያም መጋጠሚያዎች (ኤክስ 1; በ 1) የታንጀንት ነጥቦች ከጥምዝ ጋር y =ረ(x)ስርዓቱን በመፍታት ማግኘት ይቻላል

የሚፈለገው ቁልቁል ክእኩል ይሆናል ።

ምሳሌ 6. ለየትኞቹ የመለኪያው እሴቶች ቀመር ልዩ መፍትሄ አለው?

መፍትሄ..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">፣ ቅስት AB.

በ OA እና OB መካከል የሚያልፉ ሁሉም ጨረሮች ቅስት ABን በአንድ ነጥብ ያቋርጣሉ፣ እንዲሁም ቅስት AB OB እና OM (ታንጀንት) በአንድ ነጥብ ያቋርጣሉ።.gif" width="16" height="48 src=">። የታንጀንት ቅንጅት በቀላሉ ከስርአቱ ጋር እኩል ነው።

ስለዚህ ቀጥታ ቤተሰቦች https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">

መልስ. .

ምሳሌ 7..gif" width="160" height="25 src="> መፍትሔ አለው?

መፍትሄ..gif" width="61" height="24 src="> እና በ ይቀንሳል። ነጥቡ ከፍተኛው ነጥብ ነው።

ተግባር ማለት በነጥቡ https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28">የሚያልፍ ቀጥ ያለ መስመር ያለው ቤተሰብ ነው ቅስት AB ነው። ቀጥተኛው ቀጥታ መስመሮች OA እና OB መካከል የሚቀመጡ መስመሮች የችግሩን ሁኔታ ያሟሉ..gif" width="17" height="47 src=">.

መልስ..gif" width="15" height="20">መፍትሔ የለም።

1.3. ግብረ ሰዶማዊነት። ወደ ቀጥታ መስመር መጨናነቅ.

ምሳሌ 8.ስርዓቱ ስንት መፍትሄዎች አሉት?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም። ለተስተካከለ ሀ > 0 የመጀመሪያው እኩልታ ግራፍ ቁመቶች ያለው ካሬ ነው ( ሀ; 0), (0;-ሀ), (-ሀ;0), (0;ሀ)ስለዚህ, የቤተሰቡ አባላት ግብረ-ሰዶማዊ ካሬዎች ናቸው (የግብረ-ሰዶማዊነት ማእከል ነጥብ O (0; 0) ነው).

ወደ Fig. 8..gif" width="80" height="25">የካሬው እያንዳንዱ ጎን ከክብ ጋር ሁለት የጋራ ነጥቦች አሉት ይህ ማለት ስርዓቱ ስምንት መፍትሄዎች ይኖረዋል ማለት ነው። ማለትም እንደገና አራት መፍትሄዎች ይኖራሉ, ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የለውም.

መልስ።ከሆነ ሀ< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, ከዚያም አራት መፍትሄዎች አሉ; ከሆነ ስምንት መፍትሄዎች አሉ.

ምሳሌ 9. ሁሉንም የመለኪያ እሴቶችን ይፈልጉ ፣ ለእያንዳንዳቸው እኩልታው https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> ነው። ተግባሩን አስቡበት ..jpg" width="195" height="162">

የግማሽ ክበብ ራዲየስ ሲበልጥ እና ያነሰ ሲሆን የስርዎቹ ቁጥር ከቁጥር 8 ጋር ይዛመዳል ማለትም። እንዳለ አስተውል ።

መልስ. ወይም.

1.4. በአውሮፕላን ላይ ሁለት ቀጥተኛ መስመሮች

በመሠረቱ, የዚህን አንቀፅ ችግሮችን የመፍታት ሀሳብ በምርምር ጥያቄ ላይ የተመሰረተ ነው አንጻራዊ አቀማመጥሁለት ቀጥተኛ መስመሮች; እና . የዚህን ችግር መፍትሄ በአጠቃላይ መልክ ማሳየት ቀላል ነው. በቀጥታ ወደ ልዩ የተለመዱ ምሳሌዎች እንሸጋገራለን, በእኛ አስተያየት, የጉዳዩን አጠቃላይ ገጽታ አይጎዳውም.

ምሳሌ 10.ለ እና ለ ስርዓቱ ምን ይሰራል

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width = "160" ቁመት = "25 src = "> ..gif" width = "67" ቁመት = "24 src="> , t..gif" ስፋት = "116" ቁመት = "55">

የስርዓቱ አለመመጣጠን ከድንበር ጋር አንድ ግማሽ አውሮፕላን ይገልጻል በ= 2x- 1 (ምስል 10). የሚፈጠረው ስርዓት ቀጥተኛ መስመር ከሆነ መፍትሄ እንዳለው መገንዘብ ቀላል ነው አህ +በ = 5የግማሽ አውሮፕላንን ድንበር ያቋርጣል ወይም ከእሱ ጋር ትይዩ ሆኖ በግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛል በ– 2x + 1 < 0.

በጉዳዩ እንጀምር ለ = 0. ከዚያ እኩልነቱ ይመስላል ኦ+ በ = 5 በግልጽ መስመሩን የሚያቋርጥ ቀጥ ያለ መስመርን ይገልጻል y = 2X - 1. ነገር ግን ይህ አባባል እውነት የሚሆነው ..gif" width="43" height="20 src=">ሲስተሙ መፍትሄዎች ሲኖረው ብቻ ነው ..gif" width="99" height="48">። በዚህ ሁኔታ የመስመሮች መጋጠሚያ ሁኔታ በ, ማለትም ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20">እና, ወይም እና. ወይም https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" ስፋት = "69" ቁመት = "24 src=">.

- በአስተባባሪ አውሮፕላን xOa ውስጥ የተግባርን ግራፍ እንገነባለን።

- ቀጥ ያሉ መስመሮችን ግምት ውስጥ ያስገቡ እና እነዚህ ቀጥታ መስመሮች የሚያረኩበትን የኦአ ዘንግ ክፍተቶችን ይምረጡ የሚከተሉት ሁኔታዎችሀ) የተግባሩን ግራፍ አያቋርጥም https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24">በአንድ ነጥብ፣ ሐ) በሁለት ነጥቦች, መ) በሶስት ነጥብ እና ወዘተ.

- ሥራው የ x እሴቶችን መፈለግ ከሆነ ፣ ለእያንዳንዳቸው ለተገኙት የእያንዳንዱ እሴት ክፍተቶች xን እንገልፃለን።

የመለኪያ ዕይታ እንደ እኩል ተለዋዋጭ በግራፊክ ዘዴዎች ተንጸባርቋል።.jpg" width="242" height="182">

መልስ። a = 0 ወይም a = 1.

ማጠቃለያ

የተተነተኑ ችግሮች የታቀዱትን ዘዴዎች ውጤታማነት አሳማኝ በሆነ መልኩ እንደሚያሳዩ ተስፋ እናደርጋለን. ሆኖም ግን, በሚያሳዝን ሁኔታ, የእነዚህ ዘዴዎች አተገባበር ወሰን ግራፊክ ምስልን በሚገነቡበት ጊዜ ሊያጋጥሙ በሚችሉ ችግሮች የተገደበ ነው. በእርግጥ ያን ያህል መጥፎ ነው? አይደለም ይመስላል። በእርግጥ ፣ በዚህ አቀራረብ ፣ የችግሮች ዋና ዳይዳክቲክ እሴት እንደ የጥቃቅን ምርምር ተምሳሌትነት በእጅጉ ጠፍቷል። ሆኖም ፣ ከላይ ያሉት ሀሳቦች ለአስተማሪዎች የተነደፉ ናቸው ፣ እና ለአመልካቾች ቀመሩ በጣም ተቀባይነት ያለው ነው-መጨረሻው መንገዱን ያረጋግጣል። ከዚህም በላይ፣ ብዛት ባላቸው ዩኒቨርሲቲዎች ውስጥ የውድድር ችግሮች አቀናባሪዎች ከሥዕሉ ወደ ሁኔታው ​​የሚወስደውን መንገድ ይከተላሉ የሚለውን ነፃነት እንውሰድ።

በእነዚህ ችግሮች ውስጥ በግራ እና በቀኝ በግራ እና በቀኝ የተካተቱ የተግባር ግራፎችን ወይም እኩል ያልሆኑትን በወረቀት ላይ ስንሳል ችግሮችን በሚከፍት መለኪያ በመጠቀም ችግሮችን የመፍታት አማራጮችን ተወያይተናል። መለኪያው የዘፈቀደ እሴቶችን ሊወስድ ስለሚችል, አንድ ወይም ሁለቱም የሚታዩት ግራፎች በአውሮፕላኑ ላይ በተወሰነ መንገድ ይንቀሳቀሳሉ. ከተለያዩ የመለኪያ እሴቶች ጋር የሚዛመድ አጠቃላይ የግራፎች ቤተሰብ ተገኝቷል ማለት እንችላለን።

ሁለት ዝርዝሮችን አጥብቀን እናስብ።

በመጀመሪያ ስለ "ግራፊክ" መፍትሄ እየተነጋገርን አይደለም. ሁሉም ዋጋዎች, መጋጠሚያዎች, ስሮች በጥብቅ, በትንታኔ, እንደ ተጓዳኝ እኩልታዎች እና ስርዓቶች መፍትሄዎች ይሰላሉ. ግራፎችን በመንካት ወይም በማቋረጫ ጉዳዮች ላይም ተመሳሳይ ነው። የሚወሰኑት በአይን ሳይሆን በአድልዎዎች፣ ተዋጽኦዎች እና ሌሎች ለእርስዎ በሚገኙ መሳሪያዎች እርዳታ ነው። ስዕሉ መፍትሄ ብቻ ይሰጣል.

በሁለተኛ ደረጃ, ከሚታየው ግራፎች ጋር የተያያዘውን ችግር ለመፍታት ምንም አይነት መንገድ ባያገኙም, ስለ ችግሩ ያለዎት ግንዛቤ በከፍተኛ ሁኔታ እየሰፋ ይሄዳል, ለራስ-ምርመራ መረጃን ይቀበላሉ እና የስኬት እድሎች በከፍተኛ ሁኔታ ይጨምራሉ. ለተለያዩ የመለኪያ እሴቶች በችግር ውስጥ ምን እንደሚፈጠር በትክክል በመረዳት ትክክለኛውን የመፍትሄ ስልተ ቀመር ማግኘት ይችላሉ።

ስለዚህ, እነዚህን ቃላት በአስቸኳይ የአስተያየት ጥቆማ እንጨርሳለን-በጣም በጣም ውስብስብ በሆነው ችግር ውስጥ እንኳን ግራፎችን እንዴት እንደሚስሉ የሚያውቁ ተግባራት ካሉ, ይህን ለማድረግ እርግጠኛ ይሁኑ, አይቆጩም.

መጽሐፍ ቅዱሳዊ ዝርዝር

1. Cherkasov,: ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች እና ለዩኒቨርሲቲዎች አመልካቾች መመሪያ መጽሃፍ [ጽሑፍ] /,. - M.: AST-PRESS, 2001. - 576 p.

2. ጎርሽታይን ፣ ከግቤቶች ጋር [ጽሑፍ]: 3 ኛ እትም ፣ ተዘርግቷል እና ተሻሽሏል / ፣ . - ኤም: ኢሌክሳ, ካርኮቭ: ጂምናዚየም, 1999. - 336 p.