እስቲ አንድ የተወሰነ አውሮፕላን π እና የዘፈቀደ ነጥብ M 0 በጠፈር ላይ እንይ። ለአውሮፕላኑ እንምረጥ አሃድ መደበኛ ቬክተር n ጋር መጀመርያውበተወሰነ ደረጃ M 1 ∈ π, እና p (M 0,π) ከ M 0 እስከ አውሮፕላን π ያለው ርቀት ይሁን. ከዚያም (ምስል 5.5)

р (М 0,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

ጀምሮ |n| = 1.

π አውሮፕላኑ ከተሰጠ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት ከአጠቃላይ እኩልታ ጋር Ax + By + Cz + D = 0፣ ከዚያ የተለመደው ቬክተር መጋጠሚያዎች ያለው ቬክተር ነው (A; B; C) እና እኛ መምረጥ እንችላለን

(x 0; y 0; z 0) እና (x 1; y 1; z 1) የነጥብ መ 0 እና M 1 መጋጠሚያዎች ይሁኑ። ከዚያም እኩልነት Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 ይይዛል, ነጥቡ M 1 የአውሮፕላኑ ስለሆነ እና የቬክተር M 1 M 0 መጋጠሚያዎች ሊገኙ ይችላሉ: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). መቅዳት scalar ምርት nM 1 M 0 በቅንጅት እና በመለወጥ (5.8) ፣ እናገኛለን

ከ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. ስለዚህ ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለማስላት የነጥቡን መጋጠሚያዎች በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ ውስጥ መተካት ያስፈልግዎታል, ከዚያም ፍጹም ዋጋውጤቱን በተለመደው ሁኔታ መከፋፈል ፣ ከርዝመት ጋር እኩል ነውተጓዳኝ መደበኛ ቬክተር.

, ውድድር "የትምህርቱ አቀራረብ"

ክፍል፡ 11

ለትምህርቱ አቀራረብ

ወደ ፊት ተመለስ

ትኩረት! የስላይድ ቅድመ-ዕይታዎች ለመረጃ ዓላማዎች ብቻ ናቸው እና ሁሉንም የአቀራረብ ባህሪያትን ላይወክሉ ይችላሉ። ፍላጎት ካሎት ይህ ሥራ, እባክዎን ሙሉውን ስሪት ያውርዱ።

ግቦች፡-

• የተማሪዎችን እውቀት እና ችሎታ አጠቃላይ እና ስርዓት;
• ለመተንተን, ለማነፃፀር, መደምደሚያዎችን ለመሳል ክህሎቶችን ማዳበር.

መሳሪያ፡

• መልቲሚዲያ ፕሮጀክተር;
• ኮምፒውተር;
• ሉሆች ከችግር ጽሑፎች ጋር

የክፍል እድገት

I. ድርጅታዊ ጊዜ

II. የእውቀት ማዘመን ደረጃ(ስላይድ 2)

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት እንዴት እንደሚወሰን ደጋግመን እንሰራለን

III. ትምህርት(ስላይድ 3-15)

በክፍል ውስጥ እንመለከታለን የተለያዩ መንገዶችከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ማግኘት.

የመጀመሪያው ዘዴ: የደረጃ በደረጃ ስሌት

ከ M እስከ አውሮፕላን α ያለው ርቀት፡-
- ከአውሮፕላኑ ጋር ካለው ርቀት ጋር እኩል ነው α ከ የዘፈቀደ ነጥብ P ቀጥ ያለ መስመር ላይ ተኝቷል, ይህም በ M ነጥብ በኩል የሚያልፍ እና ከአውሮፕላኑ α ጋር ትይዩ ነው;
- ከአውሮፕላኑ ርቀት ጋር እኩል ነው α ከ የዘፈቀደ ነጥብ P በአውሮፕላኑ ላይ ተኝቷል β , እሱም በ M ነጥብ በኩል የሚያልፍ እና ከአውሮፕላኑ α ጋር ትይዩ ነው.

የሚከተሉትን ችግሮች እንፈታዋለን.

№1. በኩብ A...D 1፣ ከ ነጥብ C 1 እስከ አውሮፕላን AB 1 C ያለውን ርቀት ያግኙ።

የክፍሉን O 1 N ርዝመት ዋጋ ለማስላት ይቀራል.

№2. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም A...F 1 ፣ ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ ከ ነጥብ A እስከ አውሮፕላን DEA 1 ያለውን ርቀት ይፈልጉ።

ቀጣዩ ዘዴ፡- የድምጽ መጠን ዘዴ.

የፒራሚዱ ABCM መጠን ከ V ጋር እኩል ከሆነ ከ M እስከ አውሮፕላን ያለው ርቀት ∆ABC የያዘው በቀመር ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = ይሰላል።
ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, በሁለት የተለያዩ መንገዶች የተገለጹትን የአንድ አሃዝ መጠኖች እኩልነት እንጠቀማለን.

የሚከተለውን ችግር እንፈታው።

№3. የፒራሚድ DABC ጠርዝ ኤ.ዲ.ሲ ከመሠረታዊ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ነው። በኤቢ፣ኤሲ እና ኤ.ዲ.ኤ ጠርዝ መካከለኛ ነጥቦች በኩል የሚያልፈውን አውሮፕላን ከ ሀ ያለውን ርቀት ያግኙ።

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ የማስተባበር ዘዴከ M እስከ አውሮፕላን α ያለው ርቀት በቀመር ρ(M; α) = በመጠቀም ሊሰላ ይችላል። , የት M (x 0; y 0; z 0), እና አውሮፕላኑ በቀመር መጥረቢያ + በ + cz + d = 0 ይሰጣል.

የሚከተለውን ችግር እንፈታው።

№4. ውስጥ አሃድ ኩብ A…D 1 ከ A 1 እስከ አውሮፕላን BDC 1 ያለውን ርቀት ይፈልጉ።

ከመነሻው ጋር የተቀናጀ ስርዓትን እናስተዋውቀው በ A ነጥብ፣ y-ዘንጉ ከዳር AB ጋር፣ የ x-ዘንግ በጠርዝ AD፣ እና z-ዘንግ በዳር AA 1 ላይ ይሰራል። ከዚያም የነጥቦቹ B መጋጠሚያዎች (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
በነጥብ B፣ D፣ C 1 ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ እንፍጠር።

ከዚያም – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. ስለዚህም ρ =

የዚህ ዓይነቱን ችግር ለመፍታት የሚረዳው የሚከተለው ዘዴ ነው ዘዴ ድጋፍ ሰጪ ተግባራት.

የዚህ ዘዴ አተገባበር የሚታወቁትን የማጣቀሻ ችግሮች አጠቃቀምን ያካትታል, እነዚህም እንደ ንድፈ ሃሳቦች ተዘጋጅተዋል.

የሚከተለውን ችግር እንፈታው።

№5. በአንድ ክፍል ኪዩብ A...D 1፣ ከ D 1 እስከ አውሮፕላን AB 1 C ያለውን ርቀት ያግኙ።

ማመልከቻውን እናስብበት የቬክተር ዘዴ.

№6. በአንድ ክፍል ኪዩብ A...D 1፣ ከ A 1 እስከ አውሮፕላን BDC 1 ያለውን ርቀት ያግኙ።

ስለዚህ, ይህንን አይነት ችግር ለመፍታት የተለያዩ ዘዴዎችን ተመልክተናል. የአንድ ወይም ሌላ ዘዴ ምርጫ የሚወሰነው በተለየ ተግባር እና በምርጫዎችዎ ላይ ነው.

IV. የቡድን ሥራ

ችግሩን በተለያዩ መንገዶች ለመፍታት ይሞክሩ.

№1. የኩቤው ጠርዝ ኤ ... ዲ 1 እኩል ነው. ከ vertex C እስከ አውሮፕላን BDC 1 ያለውን ርቀት ይፈልጉ።

№2. በመደበኛ ቴትራሄድሮን ABCD ከጠርዝ ጋር, ከ ነጥብ A እስከ አውሮፕላኑ BDC ያለውን ርቀት ያግኙ

№3. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1 B 1 C 1 ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከ A እስከ አውሮፕላን BCA 1 ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

№4. በመደበኛ ባለ ኳድሪተራል ፒራሚድ SABCD ውስጥ ፣ ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ ከ A እስከ አውሮፕላን SCD ያለውን ርቀት ይፈልጉ።

V. የትምህርት ማጠቃለያ፣ የቤት ስራ, ነጸብራቅ

አውሮፕላን ይኑር . መደበኛውን እንሳል
በ መጋጠሚያዎች አመጣጥ O. ተሰጥቷል
- በተለመደው የተፈጠሩ ማዕዘኖች ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር.
. ፍቀድ - የመደበኛ ክፍል ርዝመት
ከአውሮፕላኑ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ. የመደበኛው አቅጣጫ ኮሳይኖች ይታወቃሉ ብለን እንገምታለን። , የአውሮፕላኑን እኩልነት እናመጣለን .

ፍቀድ
) በአውሮፕላኑ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ነው. አሃዱ መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት። የቬክተሩን ትንበያ እንፈልግ
ወደ መደበኛው.

ከ ነጥብ ጀምሮ ኤምየአውሮፕላኑ ነው እንግዲህ

.

ይህ የተሰጠው አውሮፕላን እኩልነት ነው, ይባላል የተለመደ .

ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት

አውሮፕላን ይሰጥ ,ኤም*
- የጠፈር ነጥብ; መ - ከአውሮፕላኑ ርቀት.

ፍቺ ማፈንገጥ ነጥቦች መ*ከአውሮፕላኑ ውስጥ ቁጥሩ ይባላል ( + መ), ከሆነ ኤም* የመደበኛ ነጥቦቹ አወንታዊ አቅጣጫ በአውሮፕላኑ በሌላኛው በኩል ይተኛል እና ቁጥር (- መ), ነጥቡ በአውሮፕላኑ በሌላኛው በኩል የሚገኝ ከሆነ:

.

ቲዎረም. አውሮፕላኑን ይፍቀዱለት ከመደበኛ ክፍል ጋር በመደበኛ እኩልታ ተሰጥቷል-

ፍቀድ ኤም*
- በጠፈር ውስጥ ነጥብ መዛባት t. ኤም* ከአውሮፕላኑ በገለፃው ተሰጥቷል

ማረጋገጫ።ትንበያ ቲ.
* በተለመደው እንጠቁማለን። ጥ. የነጥብ መዛባት መ*ከአውሮፕላኑ እኩል ነው

.

ደንብ።ማግኘት መዛባት ቲ. ኤም* ከአውሮፕላኑ ውስጥ, መጋጠሚያዎቹን t ወደ አውሮፕላኑ መደበኛ እኩልነት መተካት ያስፈልግዎታል. ኤም* . ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት ነው .

የአጠቃላይ አውሮፕላን እኩልታን ወደ መደበኛ ቅፅ መቀነስ

ተመሳሳይ አውሮፕላን በሁለት እኩልታዎች ይገለጽ።

አጠቃላይ እኩልታ

መደበኛ እኩልታ.

ሁለቱም እኩልታዎች አንድ አይነት አውሮፕላንን የሚገልጹ በመሆናቸው፣ ውጤታቸው ተመጣጣኝ ነው፡-

የመጀመሪያዎቹን ሦስቱን እኩልነት እንይ እና እንጨምርላቸው፡-

ከዚህ እናገኛለን - መደበኛ ሁኔታ;

. (10)

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት በተለመደው ሁኔታ በማባዛት የአውሮፕላኑን መደበኛ እኩልታ እናገኛለን፡-

"አውሮፕላን" በሚለው ርዕስ ላይ የችግሮች ምሳሌዎች.

ምሳሌ 1.የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፍጠሩ በተሰጠው ነጥብ ውስጥ ማለፍ
(2,1,-1) እና ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ.

መፍትሄ. መደበኛ ወደ አውሮፕላን :
. አውሮፕላኖቹ ትይዩ ስለሆኑ, ከዚያም የተለመደው ለተፈለገው አውሮፕላንም የተለመደ ነው . በተሰጠው ነጥብ (3) ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልታ በመጠቀም አውሮፕላኑን እናገኛለን እኩልታው፡-

መልስ፡-

ምሳሌ 2.የፔንዲኩላር መሠረት ከመነሻው ወደ አውሮፕላን ወረደ , ዋናው ነጥብ ነው
. የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ .

መፍትሄ. ቬክተር
ለአውሮፕላኑ የተለመደ ነው . ነጥብ ኤም 0 የአውሮፕላኑ ባለቤት ነው። በተሰጠው ነጥብ (3) ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላን እኩልታ መጠቀም ትችላለህ።

መልስ፡-

ምሳሌ 3.አውሮፕላን ይገንቡ , ነጥቦቹን በማለፍ

እና በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ :.

ስለዚህ, ለተወሰነ ጊዜ ኤም (x, y, ዝ) የአውሮፕላኑ ንብረት ነበር። , ሶስት ቬክተሮች አስፈላጊ ነው
ኮፕላላር ነበሩ

=0.

ወሳኙን መግለጥ እና የተገኘውን አገላለጽ ወደ አጠቃላይ እኩልታ (1) መልክ ማምጣት ይቀራል።

ምሳሌ 4.አውሮፕላን በአጠቃላይ እኩልታ የተሰጠው፡-

የነጥብ መዛባት ይፈልጉ
ከተሰጠው አውሮፕላን.

መፍትሄ. የአውሮፕላኑን እኩልነት ወደ መደበኛ ቅርጽ እናምጣ.

,

.

የነጥቡን መጋጠሚያዎች በተፈጠረው መደበኛ እኩልታ እንተካ መ*.

.

መልስ፡-
.

ምሳሌ 5.አውሮፕላኑ ክፍሉን ያቋርጣል?

መፍትሄ. መቁረጥ ABአውሮፕላኑን ተሻገሩ, ልዩነቶች እና ከአውሮፕላኑ የተለያዩ ምልክቶች ሊኖሩት ይገባል

.

ምሳሌ 6.የሶስት አውሮፕላኖች መገናኛ በአንድ ነጥብ ላይ.

.

ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው, ስለዚህ, ሶስት አውሮፕላኖች አንድ የጋራ ነጥብ አላቸው.

ምሳሌ 7.ቢሴክተሮችን ማግኘት አቅጣጫዊ ማዕዘን, በሁለት የተሰጡ አውሮፕላኖች የተሰራ.

ፍቀድ እና - የአንድ የተወሰነ ነጥብ ልዩነት
ከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው አውሮፕላኖች.

በአንደኛው የብስክሌት አውሮፕላኖች ላይ (የመጋጠሚያዎች አመጣጥ ከሚገኝበት አንግል ጋር የሚዛመድ) እነዚህ ልዩነቶች በመጠን እና በምልክት እኩል ናቸው ፣ በሌላኛው ደግሞ በመጠን እና በምልክት ተቃራኒ ናቸው።

ይህ የመጀመሪያው የቢስክ አውሮፕላን እኩልነት ነው.

ይህ የሁለተኛው ቢሴክተር አውሮፕላን እኩልነት ነው።

ምሳሌ 8.ሁለት የተሰጡ ነጥቦችን ቦታ መወሰን እና በእነዚህ አውሮፕላኖች ከተፈጠሩት የዲይድራል ማዕዘኖች አንጻር.

ፍቀድ
. ይወስኑ፡ በአንድ፣ በአጠገብ ወይም በአቀባዊ ማዕዘኖች ውስጥ ነጥቦች አሉ። እና .

ሀ) ከሆነ እና በአንድ በኩል ተኛ እና ከ , ከዚያም በተመሳሳይ ዳይፐር አንግል ውስጥ ይተኛሉ.

ለ) ከሆነ እና በአንድ በኩል ተኛ እና የተለየ , ከዚያም በአጠገብ ጥግ ላይ ይተኛሉ.

ቪ) ከሆነ እና ተኛ የተለያዩ ጎኖችከ እና , ከዚያም በአቀባዊ ማዕዘኖች ውስጥ ይተኛሉ.

የማስተባበር ስርዓቶች 3

በአውሮፕላን ላይ መስመሮች 8

የመጀመሪያ ትዕዛዝ መስመሮች. በአውሮፕላን ላይ በቀጥታ። 10

ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል 12

የመስመር 13 አጠቃላይ እኩልታ

ያልተሟላ የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታ 14

የቀጥታ መስመር እኩልታ “በክፍል” 14

የሁለት መስመር እኩልታዎች የጋራ ጥናት 15

መደበኛ ወደ መስመር 15

በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል 16

የመስመር 16 ቀኖናዊ እኩልታ

የአንድ መስመር ፓራሜትሪክ እኩልታዎች 17

መደበኛ (የተለመደ) የመስመር እኩልታ 18

ከነጥብ እስከ መስመር 19 ያለው ርቀት

የመስመሮች እርሳስ እኩልነት 20

“በአውሮፕላን ላይ ያለው መስመር” በሚለው ርዕስ ላይ የችግሮች ምሳሌዎች 22

የቬክተር የቬክተር ምርት 24

ንብረቶች የቬክተር ምርት 24

ጂኦሜትሪክ ባህሪያት 24

የአልጀብራ ባህሪያት 25

የቬክተር ምርቱን በምክንያቶች መጋጠሚያዎች መግለጽ 26

የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት 28

ጂኦሜትሪክ ትርጉም የተደባለቀ ምርት 28

ድብልቅ ምርትን በቬክተር መጋጠሚያዎች መግለጽ 29

የችግር አፈታት ምሳሌዎች

ይህ ጽሑፍ ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ስለመወሰን ይናገራል. ርቀቱን ለማግኘት የሚያስችለንን የማስተባበር ዘዴን እንመርምር የተሰጠው ነጥብባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ. ይህንን ለማጠናከር, የበርካታ ስራዎች ምሳሌዎችን እንመልከት.

ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት የሚታወቀውን ርቀት ከአንድ ነጥብ ወደ አንድ ነጥብ በመጠቀም ነው, አንደኛው ከተሰጠበት, ሌላኛው ደግሞ በተሰጠው አውሮፕላን ላይ ትንበያ ነው.

አንድ ነጥብ M 1 ከአውሮፕላን χ ጋር በጠፈር ላይ ሲገለጽ, ከዚያም ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ያለ ቀጥተኛ መስመር በነጥቡ በኩል መሳል ይቻላል. H 1 የጋራ መጋጠሚያ ቦታቸው ነው. ከዚህ የምንረዳው ክፍል M 1 H 1 ከ M 1 ወደ አውሮፕላኑ χ የተሳለ ቀጥ ያለ ነው ፣ እሱም ነጥብ H 1 የቋሚው መሠረት ነው።

ፍቺ 1

ከተጠቀሰው ነጥብ እስከ አውሮፕላን አውሮፕላን ድረስ በተሰየመ ቋሚ መሠረት ያለው ርቀት ይባላል.

ትርጉሙ በተለያዩ ቀመሮች ሊጻፍ ይችላል.

ፍቺ 2

ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀትከተወሰነ ነጥብ ወደ አንድ አውሮፕላን የተዘረጋው የቋሚው ርዝመት ነው.

ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን ያለው ርቀት እንደሚከተለው ይወሰናል-ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን ያለው ርቀት ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላን ውስጥ ያለው ርቀት በጣም ትንሹ ይሆናል. ነጥብ H 2 በ χ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝ ከሆነ እና ከ H 2 ጋር እኩል ካልሆነ, ከዚያም እናገኛለን የቀኝ ሶስት ማዕዘንዓይነት M 2 H 1 H 2 , እሱም አራት ማዕዘን ነው, እዚያም እግር M 2 H 1, M 2 H 2 - hypotenuse; ይህ ማለት M 1 ሸ 1ን ይከተላል ማለት ነው።< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ከ M 1 ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ χ የተሳለው እንደ ዝንባሌ ይቆጠራል. እኛ ከተወሰነ ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ የተቀረጸው ቀጥ ያለ ነጥብ ከነጥቡ ወደ አውሮፕላን ከተሳለው ዘንበል ያነሰ ነው. ይህንን ጉዳይ ከዚህ በታች ባለው ስእል እንመልከተው።

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት - ጽንሰ-ሐሳብ, ምሳሌዎች, መፍትሄዎች

ቁጥር አለ። የጂኦሜትሪክ ችግሮች, መፍትሄዎቹ ከነጥቡ እስከ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት መያዝ አለባቸው. ይህንን ለመለየት የተለያዩ መንገዶች ሊኖሩ ይችላሉ. ለመፍታት፣ የፒታጎሪያን ቲዎረምን ወይም የሶስት ማዕዘኖችን ተመሳሳይነት ይጠቀሙ። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ባለ አራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ማስላት አስፈላጊ በሚሆንበት ጊዜ እንደ ሁኔታው ​​​​በመጋጠሚያ ዘዴው መፍትሄ ያገኛል. ይህ አንቀጽ ይህን ዘዴ ያብራራል.

በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት, በባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ አንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1, z 1) ከአውሮፕላን χ ጋር ተሰጥቷል, ከ M 1 እስከ ርቀት መወሰን አስፈላጊ ነው. አውሮፕላኑ χ. ይህንን ችግር ለመፍታት ብዙ የመፍትሄ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

የመጀመሪያው መንገድ

ይህ ዘዴ ከ ነጥብ M 1 እስከ አውሮፕላኑ χ የቋሚው መሠረት የሆኑትን የ H 1 መጋጠሚያዎች በመጠቀም ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በመፈለግ ላይ የተመሰረተ ነው. በመቀጠል በ M 1 እና H 1 መካከል ያለውን ርቀት ማስላት ያስፈልግዎታል.

ችግሩን በሁለተኛው መንገድ ለመፍታት, የተሰጠውን አውሮፕላን መደበኛውን እኩልታ ይጠቀሙ.

ሁለተኛ መንገድ

በሁኔታዎች ፣ H 1 ከ M 1 ወደ አውሮፕላኑ χ የተቀነሰው የፔንዲኩላር መሠረት ነው ። ከዚያም የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎች (x 2, y 2, z 2) እንወስናለን. ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን የሚፈለገው ርቀት በቀመር M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, M 1 ይገኛል. (x 1, y 1, z 1) እና H 1 (x 2, y 2, z 2). ለመፍታት የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ማወቅ ያስፈልግዎታል።

እኛ H 1 የ χ አይሮፕላን መገናኛ ነጥብ ከመስመር ሀ ጋር ነው ፣ እሱም ከ χ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ብሎ በሚገኘው ነጥብ M 1 ውስጥ ያልፋል። በተሰጠው አውሮፕላን ውስጥ በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ማጠናቀር አስፈላጊ ነው. የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን ለመወሰን የምንችለው ያኔ ነው። የመስመሩን እና የአውሮፕላኑን መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ማስላት አስፈላጊ ነው.

ከአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1, z 1) እስከ χ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለመፈለግ አልጎሪዝም፡

ፍቺ 3

• በነጥብ M 1 ውስጥ ማለፍ እና በተመሳሳይ ጊዜ የቀጥታ መስመር እኩልታ ይሳሉ
• ወደ χ አውሮፕላን ቀጥ ያለ;
• የነጥብ H 1 መጋጠሚያዎችን (x 2 ፣ y 2 ፣ z 2) ይፈልጉ እና ያሰሉ ፣ እነሱም ነጥቦች
• የመስመር መጋጠሚያ ከአውሮፕላን χ ጋር;
• ቀመር M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 በመጠቀም ከ M 1 እስከ χ ያለውን ርቀት አስላ።

ሦስተኛው መንገድ

በተሰጠው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት O x y z አውሮፕላን አለ χ , ከዚያም የአውሮፕላኑን መደበኛ እኩልታ እናገኛለን cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. ከዚህ ርቀቱ M 1 H 1 ከ ነጥብ M 1 (x 1, y 1, z 1) ጋር ወደ አውሮፕላን χ ተስሏል, በቀመር M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos ይሰላል. γ z - p . ይህ ፎርሙላ ለቲዎሬም ምስጋና ስለተመሰረተ ትክክለኛ ነው።

ቲዎረም

ነጥብ M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1) ከተሰጠ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ, የአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ መኖር χ የቅጹ cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, ከዚያም ከነጥቡ እስከ አውሮፕላኑ ድረስ ያለው ርቀት M 1 H 1 ከ ቀመር M ይሰላል. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p፣ ከ x = x 1፣ y = y 1፣ z = z 1 ጀምሮ።

ማረጋገጫ

የንድፈ ሃሳቡ ማረጋገጫ ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ለማግኘት ይወርዳል። ከዚህ በመነሳት ከ M 1 እስከ χ አውሮፕላን ያለው ርቀት በራዲየስ ቬክተር M 1 የቁጥር ትንበያ መካከል ያለው ልዩነት ከመነሻው እስከ χ አውሮፕላን ባለው ርቀት መካከል ያለው ልዩነት ሞጁል ነው ። ከዚያም M 1 H 1 = n p n → O M → - p የሚለውን አገላለጽ እናገኛለን. የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር n → = cos α, cos β, cos γ, እና ርዝመቱ ከአንድ እኩል ነው, n p n → O M → የቬክተር ኦኤም → = (x 1, y 1) የቁጥር ትንበያ ነው. , z 1) በቬክተር n → በተወሰነው አቅጣጫ.

ስካላር ቬክተሮችን ለማስላት ቀመሩን እንተገብረው። ከዚያም ቅጽ ቬክተር ለማግኘት አገላለጽ እናገኛለን n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , ጀምሮ n → = cos α , cos β , cos γ · z እና O M → = (x 1, y 1, z 1) የአጻጻፍ ማስተባበሪያው ቅጽ n → ፣ O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 ፣ ከዚያ M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x ይይዛል። 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ከዚህ ተነስተን ከ M 1 (x 1, y 1, z 1) ወደ አውሮፕላን χ ያለው ርቀት cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ወደ ውስጥ በመተካት ይሰላል. ከ x ፣ y ፣ z መጋጠሚያዎች x 1 ፣ y 1 እና የአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ በግራ በኩል z 1, ነጥብ M 1 ጋር በተያያዘ, የተገኘውን ዋጋ ፍጹም ዋጋ መውሰድ.

ከአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች እስከ ተሰጠው አውሮፕላን ያለውን ርቀት የማግኘት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1

ከመጋጠሚያዎች M 1 (5, - 3, 10) እስከ አውሮፕላኑ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ያለውን ርቀት ከነጥቡ አስላ።

መፍትሄ

ችግሩን በሁለት መንገድ እንፍታው።

የመጀመሪያው ዘዴ የመስመሩን አቅጣጫ ቬክተር በማስላት ይጀምራል ሀ. እንደ ሁኔታው, የተሰጠው እኩልታ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ ነው, እና n → = (2, - 1, 5) የተሰጠው አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር ነው. እንደ ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ጥቅም ላይ ይውላል, እሱም ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ነው. መፃፍ አለበት። ቀኖናዊ እኩልታቀጥ ያለ መስመር በ M 1 (5, - 3, 10) በኩል የሚያልፍ አቅጣጫ ቬክተር ያለው መጋጠሚያዎች 2, - 1, 5.

እኩልታው x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ይሆናል።

የመገናኛ ነጥቦች መወሰን አለባቸው. ይህንን ለማድረግ ከቀኖናዊነት ወደ ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች እኩልታዎች ለማንቀሳቀስ እኩልታዎችን ቀስ ብለው ወደ ስርዓት ያዋህዱ. ይህ ነጥብ H 1 እንውሰድ. ያንን እናገኛለን

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (ዝ - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

ከዚያ በኋላ ስርዓቱን ማንቃት ያስፈልግዎታል

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

ወደ Gaussian ስርዓት መፍትሄ ደንብ እንሸጋገር፡-

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

ያንን H 1 (1, - 1, 0) እናገኛለን.

ከተሰጠው ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት እናሰላለን. ነጥቦች M 1 (5, - 3, 10) እና H 1 (1, - 1, 0) ወስደን እናገኛለን.

M 1 ሸ 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

ሁለተኛው መፍትሄ በመጀመሪያ የተሰጠውን እኩልታ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ወደ መደበኛ መልክ ማምጣት ነው. የመደበኛነት ሁኔታን እንወስናለን እና 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 እናገኛለን። ከዚህ ተነስተን የአውሮፕላኑን እኩልታ 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 እናገኘዋለን። የእኩልታው ግራ በኩል x = 5, y = - 3, z = 10 በመተካት ይሰላል, እና ከ M 1 (5, - 3, 10) እስከ 2 x - y + 5 z - ርቀት መውሰድ ያስፈልግዎታል. 3 = 0 ሞዱሎ. አገላለጹን እናገኛለን፡-

M 1 ሸ 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

መልስ፡- 2 30

የ χ አውሮፕላን አውሮፕላንን ለመጥቀስ ዘዴዎች በሚለው ክፍል ውስጥ በአንዱ ዘዴዎች ሲገለጽ በመጀመሪያ የ χ አውሮፕላንን እኩልነት ማግኘት እና ማንኛውንም ዘዴ በመጠቀም አስፈላጊውን ርቀት ማስላት ያስፈልግዎታል.

ምሳሌ 2

በሶስት-ልኬት ቦታ, መጋጠሚያዎች M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) ያላቸው ነጥቦች ተገልጸዋል. ከ M 1 እስከ አውሮፕላን A B C ያለውን ርቀት አስላ።

መፍትሄ

በመጀመሪያ በተሰጡት ሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት መ 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (መጋጠሚያዎች) ጋር መፃፍ ያስፈልግዎታል 4, 0, - 1) ።

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

ከዚህ በኋላ ችግሩ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ የሆነ መፍትሔ አለው. ይህ ማለት ከ M 1 እስከ አውሮፕላን A B C ያለው ርቀት 2 30 ዋጋ አለው.

መልስ፡- 2 30

በአውሮፕላን ላይ ከተሰጠው ነጥብ ወይም ትይዩ ወደሆኑበት አውሮፕላን ያለውን ርቀት መፈለግ ቀመሩን M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p በመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው. . ከዚህ በመነሳት የአውሮፕላኖች መደበኛ እኩልታዎች በበርካታ ደረጃዎች ተገኝተዋል.

ምሳሌ 3

ከተጠቀሰው ነጥብ ርቀትን በመጋጠሚያዎች M 1 (- 3, 2, - 7) ያግኙ. አውሮፕላን አስተባባሪኦ x y z እና አውሮፕላን፣ በቀመር የተሰጠው 2 y - 5 = 0 .

መፍትሄ

አስተባባሪው አውሮፕላን O y z ከቅጽ x = 0 ጋር ይዛመዳል። ለ Oy z አውሮፕላን የተለመደ ነው. ስለዚህ, እሴቶችን x = - 3 ወደ አገላለጹ በግራ በኩል መተካት እና የርቀቱን ፍፁም ዋጋ ከቦታ መጋጠሚያዎች M 1 (- 3, 2, - 7) ወደ አውሮፕላኑ መውሰድ አስፈላጊ ነው. እኩል የሆነ እሴት እናገኛለን - 3 = 3.

ከለውጡ በኋላ የአውሮፕላኑ 2 y - 5 = 0 መደበኛ እኩልታ y - 5 2 = 0 ቅጽ ይወስዳል። ከዚያም አስፈላጊውን ርቀት ከቦታው መጋጠሚያዎች M 1 (- 3, 2, - 7) ወደ አውሮፕላኑ 2 y - 5 = 0 ማግኘት ይችላሉ. በመተካት እና በማስላት 2 - 5 2 = 5 2 - 2 እናገኛለን።

መልስ፡-ከ M 1 (- 3, 2, - 7) እስከ O y z የሚፈለገው ርቀት 3, እና ወደ 2 y - 5 = 0 ዋጋ 5 2 - 2 አለው.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት መፈለግ የተለያዩ ችግሮችን ሲፈታ የሚነሳ የተለመደ ተግባር ነው የትንታኔ ጂኦሜትሪለምሳሌ, ይህ ችግር በሁለት የተጠላለፉ ቀጥታ መስመሮች ወይም ቀጥታ መስመር እና ከእሱ ጋር ትይዩ በሆነ አውሮፕላን መካከል ያለውን ርቀት ወደ መፈለግ መቀነስ ይቻላል.

አውሮፕላኑን $β$ እና ነጥብ $M_0$ ከአውሮፕላኑ $β$ ያልሆነውን $(x_0;y_0፤ z_0)$ ከመጋጠሚያዎች ጋር አስቡበት።

ፍቺ 1

በጣም አጭር ርቀትበነጥቡ እና በአውሮፕላኑ መካከል ከ $M_0$ ወደ አውሮፕላኑ $β$ የሚወርድ ቀጥ ያለ ይሆናል።

ምስል 1. ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት. Author24 - የተማሪ ስራዎች የመስመር ላይ ልውውጥ

ከዚህ በታች የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እንነጋገራለን.

በጠፈር ውስጥ ከአንድ ነጥብ እስከ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለመፈለግ ለማስተባበር ዘዴ ቀመር ማውጣት

ከ$M_0$ ቀጥ ያለ አዉሮፕላኑን $β$ በ$M_1$ ከመጋጠሚያዎች $(x_1;y_1፤ z_1)$ የሚያቋርጥ ቀጥታ መስመር ላይ ይተኛል የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር $β$። በዚህ ሁኔታ የንጥሉ ቬክተር $n$ ርዝመት ከአንድ ጋር እኩል ነው. በዚህ መሠረት ከ$β$ እስከ ነጥብ $M_0$ ያለው ርቀት፡-

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\ግራ(1\ቀኝ)$፣ $\vec(M_1M_0)$ የ$β$ አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር ሲሆን እና $\vec() n)$ ግምት ውስጥ ያለ የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር ነው።

የአውሮፕላኑ እኩልነት በሚሰጥበት ጊዜ አጠቃላይ እይታ$Ax+ By + Cz + D=0$፣ የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎች የ $\(A;B;C \)$ እኩልታዎች ናቸው፣ እና በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው አሃድ መደበኛ ቬክተር በ የተሰላ መጋጠሚያዎች አሉት። የሚከተለው እኩልታ፡-

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\ግራ(2\ቀኝ)$።

አሁን የመደበኛ ቬክተር $\vec(M_1M_0)$ መጋጠሚያዎችን ማግኘት እንችላለን፡

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\ግራ(3\ቀኝ)$.

እንዲሁም በ$β$ አውሮፕላን ውስጥ ያለውን የነጥብ መጋጠሚያዎች በመጠቀም የ$D$ን መጠን እንገልፃለን።

$D= Ax_1+በ_1+Cz_1$

የክፍሉ መደበኛ ቬክተር ከእኩልነት $(2)$ ወደ $β$ አውሮፕላን እኩልነት ሊተካ ይችላል፣ ከዚያ እኛ አለን፦

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\ግራ(4\ቀኝ)$

እኩልነት $(4)$ በጠፈር ውስጥ ከአንድ ነጥብ እስከ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለማግኘት የሚያስችል ቀመር ነው።

ከነጥብ $M_0$ እስከ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ለመፈለግ አጠቃላይ አልጎሪዝም

1. የአውሮፕላኑ እኩልነት በአጠቃላይ መልክ ካልተሰጠ በመጀመሪያ ወደ አጠቃላይ ቅፅ መቀነስ ያስፈልግዎታል.
2. ከዚህ በኋላ ከ መግለጽ አስፈላጊ ነው አጠቃላይ እኩልታአውሮፕላን፣ የአንድ የተወሰነ አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር በ$M_0$ እና የአንድ የተወሰነ አውሮፕላን ንብረት የሆነ ነጥብ፣ ለዚህም $(3)$ እኩልነትን መጠቀም አለብን።
3. ቀጣዩ ደረጃ $(2)$ ቀመርን በመጠቀም የአውሮፕላኑን ክፍል መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን መፈለግ ነው።
4. በመጨረሻም, ከነጥቡ እስከ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ማግኘት መጀመር ይችላሉ, ይህ የሚደረገው የቬክተሮች $\vec(n)$ እና $\vec(M_1M_0)$ ያለውን ስካላር ምርት በማስላት ነው.