የ n-dimensional vector ጽንሰ-ሀሳቦችን ስንመረምር እና በቬክተሮች ላይ ስራዎችን ስናስተዋውቅ, የሁሉም n-dimensional vectors ስብስብ የመስመር ቦታን እንደሚያመነጭ አውቀናል. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ በጣም አስፈላጊ ተዛማጅ ጽንሰ-ሐሳቦች እንነጋገራለን - የቬክተር ቦታ ስፋት እና መሠረት. በተጨማሪም የዘፈቀደ ቬክተርን ወደ መሠረት ማስፋፋት እና በተለያዩ የ n-dimensional space መሠረቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በተመለከተ ያለውን ንድፈ ሐሳብ እንመለከታለን. ለተለመዱ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን በዝርዝር እንመርምር.
የገጽ አሰሳ።
የቬክተር ቦታ እና የመሠረት ልኬት ጽንሰ-ሐሳብ.
የቬክተር ቦታ የመለኪያ እና የቦታ ፅንሰ-ሀሳቦች በቀጥታ ከመስመር ነፃ የሆነ የቬክተር ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር የተገናኙ ናቸው, ስለዚህ አስፈላጊ ከሆነ, የቬክተሮች ስርዓት, የመስመራዊ ጥገኝነት እና የነጻነት ባህሪያት ጽሑፉን እንዲመለከቱ እንመክራለን. .
ፍቺ
የቬክተር ቦታ መጠንበዚህ ቦታ ውስጥ ካሉት ከፍተኛ የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ብዛት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው።
ፍቺ
የቬክተር ቦታ መሰረትየታዘዘ የዚህ ቦታ ቀጥተኛ ገለልተኛ ቬክተሮች ስብስብ ነው ፣ ቁጥራቸው ከቦታው ስፋት ጋር እኩል ነው።
በእነዚህ ትርጓሜዎች ላይ በመመስረት አንዳንድ ምክንያቶችን እንስጥ።
የ n-dimensional vectors ቦታን አስቡበት.
የዚህ ቦታ ስፋት n መሆኑን እናሳይ.
ቅጽ n ዩኒት vectors አንድ ሥርዓት እንውሰድ
እነዚህን ቬክተሮች እንደ ማትሪክስ A ረድፎች እንይ። በዚህ አጋጣሚ ማትሪክስ A የመለኪያ n በ n የማንነት ማትሪክስ ይሆናል። የዚህ ማትሪክስ ደረጃ n ነው (አስፈላጊ ከሆነ ጽሑፉን ይመልከቱ)። ስለዚህ, የቬክተሮች ስርዓት 
በመስመራዊ ነጻ ነው, እና አንድም ቬክተር ወደዚህ ስርዓት የመስመር ነጻነቱን ሳይጥስ ሊጨመር አይችልም. በስርዓቱ ውስጥ ካሉ የቬክተሮች ብዛት ጀምሮ n እኩል ነው፣ እንግዲህ የ n-dimensional vectors ቦታ ልኬት n ነው, እና ዩኒት ቬክተር የዚህ ቦታ መሠረት ናቸው.
ከመሠረቱ የመጨረሻ መግለጫ እና ፍቺ ወደዚያ መደምደም እንችላለን ማንኛውም የ n-dimensional vectors ስርዓት, ከ n ያነሰ የቬክተር ብዛት, መሰረት አይደለም..
አሁን የስርዓቱን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ቬክተሮች እንለዋወጥ . የቬክተሮችን ውጤት ስርዓት ለማሳየት ቀላል ነው 
እንዲሁም n-dimensional vector space መሰረት ነው። የዚህን ሥርዓት ቬክተር እንደ ረድፎቹ በመውሰድ ማትሪክስ እንፍጠር። ይህ ማትሪክስ የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን በመቀያየር ከማንነት ማትሪክስ ሊገኝ ይችላል, ስለዚህም የእሱ ደረጃ n ይሆናል. ስለዚህ, የ n ቬክተሮች ስርዓት በመስመራዊ ገለልተኛ እና n-dimensional vector space መሰረት ነው.
ሌሎች የስርዓቱን ቬክተሮች እንደገና ካስተካከልን , ከዚያም ሌላ መሠረት እናገኛለን.
ዩኒት ያልሆኑ ቬክተሮችን በመስመራዊ ገለልተኛ ስርዓት ከወሰድን የ n-dimensional vector space መሰረትም ነው።
ስለዚህም የ vector space of dimension n ብዙ መሰረቶች አሉት ልክ እንደ n n -dimensional vectors የመስመር ላይ ገለልተኛ ስርዓቶች አሉ።
ስለ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ (ይህም ስለ አውሮፕላን) ከተነጋገርን, መሰረቱ ማንኛውም ሁለት ኮሊነር ያልሆኑ ቬክተሮች ነው. መሰረት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታማንኛቸውም ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ናቸው.
ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።
ለምሳሌ.
ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ናቸው?
መፍትሄ።
ለመስመር ጥገኝነት ይህንን የቬክተር ስርዓት እንመርምር። ይህንን ለማድረግ ረድፎቹ የቬክተሮች መጋጠሚያ የሚሆኑ ማትሪክስ እንፍጠር እና ደረጃውን እናገኛለን 
ስለዚህ, ቬክተሮች a, b እና c በመስመራዊ ገለልተኛ ናቸው እና ቁጥራቸው ከቬክተር ቦታ ስፋት ጋር እኩል ነው, ስለዚህ, የዚህ ቦታ መሰረት ናቸው.
መልስ፡-
አዎ ናቸው።
ለምሳሌ.
የቬክተር ስርዓት የቬክተር ቦታ መሰረት ሊሆን ይችላል?
መፍትሄ።
ከፍተኛው ከመስመር ነጻ የሆኑ ባለሶስት አቅጣጫዊ ቬክተሮች ብዛት ሶስት ስለሆነ ይህ የቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ጥገኛ ነው። ስለዚህም ይህ የቬክተር ስርዓት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ሊሆን አይችልም (ምንም እንኳን የዋናው የቬክተር ስርዓት ንዑስ ስርዓት መሰረት ቢሆንም).
መልስ፡-
አይ, አይችልም.
ለምሳሌ.
ቬክተሮችን ያረጋግጡ 
ባለአራት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ሊሆን ይችላል.
መፍትሄ።
የመጀመሪያዎቹን ቬክተሮች እንደ ረድፎቹ በመውሰድ ማትሪክስ እንፍጠር፡- 
እንፈልግ፡- 
ስለዚህ የቬክተሮች ስርዓት a, b, c, d ቀጥተኛ ገለልተኛ እና ቁጥራቸው ከቬክተር ቦታው ስፋት ጋር እኩል ነው, ስለዚህም, a, b, c, d መሰረቱ ናቸው.
መልስ፡-
የመጀመሪያዎቹ ቬክተሮች በእርግጥ የአራት አቅጣጫዊ ቦታ መሠረት ናቸው.
ለምሳሌ.
ቬክተሮች የልኬት 4 የቬክተር ቦታ መሰረት ይመሰርታሉ?
መፍትሄ።
ምንም እንኳን የቬክተር ኦሪጅናል ስርዓት በመስመር ላይ ገለልተኛ ቢሆንም, በውስጡ ያሉት የቬክተሮች ብዛት የአራት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ለማድረግ በቂ አይደለም (የዚህ ቦታ መሰረት 4 ቬክተሮችን ያካትታል).
መልስ፡-
አይ፣ አይሆንም።
በቬክተር ቦታ መሰረት የቬክተር መበስበስ.
የዘፈቀደ ቬክተሮች ይሁን የ n-dimensional vector space መሰረት ናቸው. በእነሱ ላይ አንዳንድ n-dimensional vector x ብንጨምር የቬክተር ውጤቶቹ ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ ይሆናል። ከመስመር ጥገኝነት ባህሪያቶች የምንረዳው ቢያንስ አንድ የመስመር ላይ ጥገኛ ስርዓት ቬክተር በሌሎቹ በኩል በቀጥታ ይገለጻል። በሌላ አገላለጽ፣ ቢያንስ አንዱ የመስመር ላይ ጥገኛ ስርዓት ቬክተር ወደ ቀሪዎቹ ቬክተሮች ተዘርግቷል።
ይህ በጣም አስፈላጊ ወደሆነ ቲዎሪ ያመጣናል።
ቲዎረም.
n-dimensional vector space ማንኛውም ቬክተር ብቸኛው መንገድበመሠረቱ መሠረት መበስበስ ነው.
ማረጋገጫ።
ፍቀድ - n-dimensional vector space መሠረት. በእነዚህ ቬክተሮች ላይ n-dimensional vector x እንጨምር። ከዚያም የሚወጣው የቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ጥገኛ ይሆናል እና ቬክተር x በቬክተር መልክ ሊገለጽ ይችላል. :, አንዳንድ ቁጥሮች የት አሉ. ከመሠረቱ አንጻር የቬክተር x መስፋፋትን ያገኘነው በዚህ መንገድ ነው። ይህ መበስበስ ልዩ መሆኑን ለማረጋገጥ ይቀራል.
ሌላ መበስበስ እንዳለ እናስብ, የት 
- አንዳንድ ቁጥሮች. ከመጨረሻው እኩልነት ግራ እና ቀኝ የእኩልነት ግራ እና ቀኝን እንቀንስ፡-
መሠረት vectors ሥርዓት ጀምሮ በመስመራዊ ገለልተኛ ነው፣ ከዚያም በቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ነፃነት ፍቺ፣ የተገኘው እኩልነት የሚቻለው ሁሉም ውህዶች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ ብቻ ነው። ስለዚህ, ይህም የቬክተር መበስበስን ከመሠረቱ ጋር ያለውን ልዩነት የሚያረጋግጥ ነው.
ፍቺ
ቅንጅቶች ተጠርተዋል በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎች .
የቬክተር መበስበስን ወደ መሰረት መጣል የሚለውን ንድፈ ሃሳብ ካወቅን በኋላ “n-dimensional vector ተሰጥቶናል” የሚለውን አገላለጽ ምንነት መረዳት እንጀምራለን። 
" ይህ አገላለጽ የ x n -dimensional vector space ቬክተር እያሰብን ነው፣ መጋጠሚያዎቹ በተወሰነ ደረጃ የተገለጹ ናቸው። በተመሳሳይ ጊዜ፣ በ n-ልኬት ቬክተር ቦታ ላይ ያለው ተመሳሳይ ቬክተር x ከ የተለየ መጋጠሚያዎች እንደሚኖራቸው እንረዳለን።
እስቲ የሚከተለውን ችግር እናስብ።
በተወሰነ ደረጃ n-dimensional vector space መሠረት የ n መስመራዊ ገለልተኛ ቬክተሮች ስርዓት ይሰጠን። 
እና ቬክተር . ከዚያም ቬክተሮች የዚህ የቬክተር ክፍተት መሰረትም ናቸው.
በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎችን ማግኘት ያስፈልገናል . እነዚህን መጋጠሚያዎች እንደ እንጥቀስ .
ቬክተር x መሠረት የሚል ሀሳብ አለው። ይህንን እኩልነት በቅንጅት እንፃፍ፡-
ይህ እኩልነት ከ n መስመራዊ ስርዓት ጋር እኩል ነው። የአልጀብራ እኩልታዎችከ n የማይታወቁ ተለዋዋጮች ጋር :
የዚህ ሥርዓት ዋና ማትሪክስ ቅጹ አለው 
በፊደል A እንጠቁመው። የማትሪክስ ሀ አምዶች ከመስመር ነፃ የሆነ የቬክተር ስርዓት ቬክተሮችን ይወክላሉ ስለዚህ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ n ነው ፣ ስለሆነም የሚወስነው ዜሮ አይደለም። ይህ እውነታ የሚያመለክተው የእኩልታዎች ስርዓት በማንኛውም ዘዴ ሊገኝ የሚችል ልዩ መፍትሄ እንዳለው ነው, ለምሳሌ, ወይም.
በዚህ መንገድ አስፈላጊዎቹ መጋጠሚያዎች ይገኛሉ ቬክተር x መሠረት .
ምሳሌዎችን በመጠቀም ንድፈ ሃሳቡን እንይ።
ለምሳሌ.
በአንዳንድ የሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ, ቬክተሮች 
የቬክተሮች ስርዓትም የዚህ ቦታ መሰረት መሆኑን ያረጋግጡ እና በዚህ መሰረት የቬክተር x መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
መፍትሄ።
የቬክተር ስርዓት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት እንዲሆን በመስመራዊ ገለልተኛ መሆን አለበት. የማትሪክስ A ደረጃን በመወሰን ይህንን ለማወቅ እንሞክር, ረድፎቹ ቬክተሮች ናቸው. የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ደረጃውን እንፈልግ 
ስለዚህ, ደረጃ (A) = 3, ይህም የቬክተሮች ስርዓት ቀጥተኛ ነፃነትን ያሳያል.
ስለዚህ, ቬክተሮች መሰረት ናቸው. በዚህ መሠረት ቬክተር x መጋጠሚያዎች ይኑርዎት። ከዚያም ከላይ እንዳሳየነው በዚህ የቬክተር መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ግንኙነት በእኩልታዎች ስርዓት ይሰጣል 
ከሁኔታው የሚታወቁትን እሴቶች በእሱ ውስጥ በመተካት እናገኛለን 
የክሬመር ዘዴን በመጠቀም እንፍታው፡- 
ስለዚህ, በመሠረቱ ውስጥ ያለው ቬክተር x መጋጠሚያዎች አሉት 
.
መልስ፡-
ለምሳሌ.
በተወሰነ መሰረት 
ባለአራት-ልኬት የቬክተር ቦታ, ቀጥተኛ ገለልተኛ የቬክተሮች ስርዓት ተሰጥቷል 
መሆኑ ይታወቃል 
. በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎችን ያግኙ .
መፍትሄ።
የቬክተሮች ሥርዓት ጀምሮ 
በመስመራዊ ገለልተኛ በሁኔታ ፣ ከዚያ ባለአራት-ልኬት ቦታ መሠረት ነው። ከዚያም እኩልነት በመሠረቱ ውስጥ ቬክተር x ማለት ነው መጋጠሚያዎች አሉት. የቬክተር x መጋጠሚያዎችን በመሠረት ላይ እናሳይ እንዴት .
በመሠረት ውስጥ በቬክተር x መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ግንኙነት የሚገልጽ የእኩልታዎች ስርዓት እና መምሰል 
እኛ ተክተነዋል የታወቁ እሴቶችእና የሚፈለጉትን መጋጠሚያዎች ያግኙ፡- 
መልስ፡-
.
በመሠረት መካከል ያለው ግንኙነት.
በ n-ልኬት የቬክተር ቦታ ላይ ሁለት የመስመር ገለልተኛ የቬክተር ስርዓቶች ይስጥ 
እና
ያም ማለት የዚህ ቦታ መሠረቶችም ናቸው.
ከሆነ 
- በመሠረቱ ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች , ከዚያም የተቀናጀ ግንኙነት 
እና በመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል (በቀደመው አንቀጽ ላይ ስለዚህ ጉዳይ ተናግረናል) 
, በማትሪክስ መልክ እንደ ሊጻፍ ይችላል 
በተመሳሳይ ለቬክተር እኛ መጻፍ እንችላለን 
የቀደሙት ማትሪክስ እኩልነቶች ወደ አንድ ሊጣመሩ ይችላሉ ፣ ይህም በመሠረቱ በሁለት የተለያዩ መሠረቶች ቫክተሮች መካከል ያለውን ግንኙነት ይገልጻል ። 
በተመሳሳይ, ሁሉንም መሰረት የሆኑትን ቬክተሮች መግለጽ እንችላለን መሠረት በኩል 
:
ፍቺ
ማትሪክስ 
ተብሎ ይጠራል የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ወደ መሠረት , ከዚያም እኩልነት እውነት ነው 
የዚህን እኩልነት ሁለቱንም ጎኖች ከቀኝ በኩል በማባዛት
እናገኛለን 
የሽግግር ማትሪክስ እንፈልግ፣ ነገር ግን የተገላቢጦሹን ማትሪክስ በማግኘት እና ማትሪክስ ማባዛትን በተመለከተ በዝርዝር አንቀመጥም (ጽሁፎችን እና አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ) 
በተሰጡት መሠረቶች ውስጥ በቬክተር x መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ግንኙነት ለማወቅ ይቀራል.
ቬክተር x በመሠረቱ ላይ መጋጠሚያዎች ይኑርዎት, ከዚያ 
እና በመሠረቱ ቬክተር x መጋጠሚያዎች አሉት, ከዚያ 
የመጨረሻዎቹ ሁለት እኩልታዎች የግራ ጎኖች ተመሳሳይ ስለሆኑ የቀኝ ጎኖቹን ማመሳሰል እንችላለን- 
ሁለቱንም ወገኖች በቀኝ በኩል ብናባዛው
ከዚያም እናገኛለን 
በሌላ በኩል 
(ተገላቢጦሹን ማትሪክስ እራስዎ ይፈልጉ)።
የመጨረሻዎቹ ሁለት እኩልነቶች በቬክተር x መጋጠሚያዎች እና በመሠረቶቹ መካከል አስፈላጊውን ግንኙነት ይሰጡናል.
መልስ፡-
የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ወደ መሠረት ቅጹ አለው 
;
በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎች እና በግንኙነቶች የተያያዙ ናቸው 
ወይም .
የቬክተር ቦታን የመጠን እና የመሠረት ጽንሰ-ሀሳቦችን መርምረናል, ቬክተርን ወደ መሰረት መበስበስን ተምረናል, እና በ n-dimensional vector space ውስጥ በተለያዩ መሠረቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በሽግግር ማትሪክስ በኩል አግኝተናል.
በመሠረት ውስጥ ያልተካተቱ የቬክተሮች እና የቬክተሮች ስርዓትን መሠረት ይፈልጉ, በመሠረት ላይ ያስፋፏቸው:
ሀ 1 = {5, 2, -3, 1}, ሀ 2 = {4, 1, -2, 3}, ሀ 3 = {1, 1, -1, -2}, ሀ 4 = {3, 4, -1, 2}, ሀ 5 = {13, 8, -7, 4}.
መፍትሄ. አንድ ወጥ የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓትን አስቡበት
ሀ 1 X 1 + ሀ 2 X 2 + ሀ 3 X 3 + ሀ 4 X 4 + ሀ 5 X 5 = 0
ወይም በተስፋፋ ቅርጽ 
.
ይህንን ስርዓት በጋውሲያን ዘዴ እንፈታዋለን, ረድፎችን እና ዓምዶችን ሳንለዋወጥ, እና በተጨማሪ, ዋናውን አካል በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ሳይሆን በጠቅላላው ረድፍ ላይ እንመርጣለን. ፈተናው ነው የተለወጠውን የቬክተሮች ስርዓት ሰያፍ ክፍል ይምረጡ.
~ 
~
~ 
~ 
~ 
.
የተፈቀደው የቬክተር ስርዓት, ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ, መልክ አለው
ሀ 1 1 X 1 + ሀ 2 1 X 2 + ሀ 3 1 X 3 + ሀ 4 1 X 4 + ሀ 5 1 X 5 = 0 ,
የት ሀ 1 1 = , ሀ 2 1 = , ሀ 3 1 = , ሀ 4 1 = , ሀ 5 1 = . (1)
ቬክተሮች ሀ 1 1 , ሀ 3 1 , ሀ 4 1 ሰያፍ ሥርዓት ይመሰርታሉ። ስለዚህ, ቬክተሮች ሀ 1 , ሀ 3 , ሀ 4 የቬክተር ስርዓት መሰረት ይመሰርታሉ ሀ 1 , ሀ 2 , ሀ 3 , ሀ 4 , ሀ 5 .
አሁን ቬክተሮችን እናስፋፋ ሀ 2 እና ሀ 5 መሠረት ሀ 1 , ሀ 3 , ሀ 4 . ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ ተጓዳኝ ቬክተሮችን እናሰፋለን ሀ 2 1 እና ሀ 5 1 ሰያፍ ሥርዓት ሀ 1 1 , ሀ 3 1 , ሀ 4 1, የቬክተር መስፋፋት በዲያግኖል ሲስተም ውስጥ ያለው መጋጠሚያዎች መጋጠሚያዎች መሆናቸውን ከግምት ውስጥ በማስገባት. x i.
ከ (1) አለን።
ሀ 2 1 = ሀ 3 1 · (-1) + ሀ 4 10 + ሀ 1 1 · 1 => ሀ 2 1 = ሀ 1 1 – ሀ 3 1 .
ሀ 5 1 = ሀ 3 10 + ሀ 4 1 1 + ሀ 1 1 · 2 => ሀ 5 1 = 2ሀ 1 1 + ሀ 4 1 .
ቬክተሮች ሀ 2 እና ሀ 5 በመሠረት ላይ ተዘርግተዋል ሀ 1 , ሀ 3 , ሀ 4 ልክ እንደ ቬክተር ተመሳሳይ ውህዶች ሀ 2 1 እና ሀ 5 1 ሰያፍ ሥርዓት ሀ 1 1 , ሀ 3 1 , ሀ 4 1 (እነዚህ ጥምርታዎች x i). ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ሀ 2 = ሀ 1 – ሀ 3 , ሀ 5 = 2ሀ 1 + ሀ 4 .
ተግባራት 1.በመሠረቱ ውስጥ ያልተካተቱ የቬክተር እና የቬክተሮች ስርዓት መሰረትን ይፈልጉ, በመሠረት መሰረት ያስፋፉ.
1. ሀ 1 = { 1, 2, 1 }, ሀ 2 = { 2, 1, 3 }, ሀ 3 = { 1, 5, 0 }, ሀ 4 = { 2, -2, 4 }.
2. ሀ 1 = { 1, 1, 2 }, ሀ 2 = { 0, 1, 2 }, ሀ 3 = { 2, 1, -4 }, ሀ 4 = { 1, 1, 0 }.
3. ሀ 1 = { 1, -2, 3 }, ሀ 2 = { 0, 1, -1 }, ሀ 3 = { 1, 3, 0 }, ሀ 4 = { 0, -7, 3 }, ሀ 5 = { 1, 1, 1 }.
4. ሀ 1 = { 1, 2, -2 }, ሀ 2 = { 0, -1, 4 }, ሀ 3 = { 2, -3, 3 }.
2. ሁሉንም የቬክተር ስርዓቱን መሠረት ይፈልጉ
1. ሀ 1 = { 1, 1, 2 }, ሀ 2 = { 3, 1, 2 }, ሀ 3 = { 1, 2, 1 }, ሀ 4 = { 2, 1, 2 }.
2. ሀ 1 = { 1, 1, 1 }, ሀ 2 = { -3, -5, 5 }, ሀ 3 = { 3, 4, -1 }, ሀ 4 = { 1, -1, 4 }.
ስለ n-dimensional vectors በሚለው ጽሑፍ ውስጥ ወደ ጽንሰ-ሐሳቡ ደርሰናል መስመራዊ ቦታ, በ n-dimensional vectors ስብስብ የተፈጠረ. አሁን እንደ የቬክተር ቦታ ስፋት እና መሰረት ያሉ እኩል አስፈላጊ ጽንሰ-ሐሳቦችን ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን. እነሱ በቀጥታ ከመስመር ነፃ የሆነ የቬክተር ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር የተገናኙ ናቸው, ስለዚህ የዚህን ርዕስ መሰረታዊ ነገሮች እራስዎን እንዲያስታውሱ ይመከራል.
አንዳንድ ትርጓሜዎችን እናስተዋውቅ።
ፍቺ 1
የቬክተር ቦታ መጠን- በዚህ ቦታ ውስጥ ካሉት ከፍተኛ የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ብዛት ጋር የሚዛመድ ቁጥር።
ፍቺ 2
የቬክተር ቦታ መሰረት- በመስመር ላይ ገለልተኛ የሆኑ የቬክተሮች ስብስብ ፣ የታዘዙ እና በቁጥር ከቦታ ስፋት ጋር እኩል ናቸው።
የ n -vectors የተወሰነ ቦታን እንመልከት። የእሱ ልኬት በተመሳሳይ ከ n ጋር እኩል ነው። የ n-unit vectors ስርዓት እንውሰድ፡-
ሠ (1) = (1, 0, . . . 0) ሠ (2) = (0, 1, .
እነዚህን ቬክተሮች እንደ ማትሪክስ A አካል እንጠቀማለን፡ አሃድ ማትሪክስ በ n በ n ልኬት ይሆናል። የዚህ ማትሪክስ ደረጃ n. ስለዚህ የቬክተር ሥርዓት ሠ (1)፣ ሠ (2)፣ . . . , e (n) በቀጥታ ነጻ ነው. በዚህ ሁኔታ, መስመራዊ ነፃነቱን ሳይጥስ አንድ ነጠላ ቬክተር ወደ ስርዓቱ መጨመር አይቻልም.
በስርዓቱ ውስጥ ያሉት የቬክተሮች ብዛት n ስለሆነ የ n-dimensional vectors ቦታ ልኬት n ነው, እና አሃድ ቬክተሮች e (1), e (2), . . . , ሠ (n) የተጠቀሰው ቦታ መሠረት ናቸው.
ከተገኘው ትርጉም እኛ መደምደም እንችላለን- ማንኛውም የ n-dimensional vectors ስርዓት የቬክተር ብዛት ከ n ያነሰ ነው የቦታ መሰረት አይደለም.
የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ቬክተር ከተለዋወጥን, የቬክተር ስርዓት እናገኛለን e (2), e (1), . . . ፣ ኢ (n) እንዲሁም n-dimensional vector space መሰረት ይሆናል. የውጤቱን ስርዓት ቬክተሮች እንደ ረድፎቹ በመውሰድ ማትሪክስ እንፍጠር። ማትሪክስ የመጀመሪያዎቹን ሁለት ረድፎች በመቀያየር ከማንነት ማትሪክስ ሊገኝ ይችላል, ደረጃው n ይሆናል. ሥርዓት ሠ (2)፣ ሠ (1)፣ . . , e (n) በመስመራዊ ገለልተኛ እና n-dimensional vector space መሰረት ነው.
በዋናው ስርዓት ውስጥ ሌሎች ቬክተሮችን በማስተካከል, ሌላ መሠረት እናገኛለን.
እኛ አሃድ ያልሆኑ ቬክተር መካከል መስመራዊ ነጻ ሥርዓት መውሰድ ይችላሉ, እና ደግሞ n-ልኬት ቬክተር ቦታ መሠረት ይወክላል.
ፍቺ 3
ልኬት n ያለው የቬክተር ቦታ ብዙ መሰረቶች አሉት ልክ እንደ n-dimensional vectors of number n.
አውሮፕላኑ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ቦታ ነው - መሰረቱ ማንኛውም ሁለት ኮሊኔር ያልሆኑ ቬክተሮች ይሆናል. የሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ማንኛውም ሶስት ኮፕላነር ያልሆኑ ቬክተሮች ይሆናሉ.
የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም የዚህን ንድፈ ሐሳብ አተገባበር እንመልከት።
ምሳሌ 1
የመጀመሪያ ውሂብ፡ቬክተሮች
a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)
የተገለጹት ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት መሆናቸውን መወሰን ያስፈልጋል.
መፍትሄ
ችግሩን ለመፍታት, የተሰጠውን የቬክተሮች ስርዓት ለመስመር ጥገኝነት እናጠናለን. ረድፎች የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የሆኑበት ማትሪክስ እንፍጠር። የማትሪክስ ደረጃን እንወስን.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3
በዚህም ምክንያት በችግሩ ሁኔታ የተገለጹት ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው, እና ቁጥራቸው ከቬክተር ቦታ ስፋት ጋር እኩል ነው - እነሱ የቬክተር ቦታ መሰረት ናቸው.
መልስ፡-የተጠቆሙት ቬክተሮች የቬክተር ቦታ መሰረት ናቸው.
ምሳሌ 2
የመጀመሪያ ውሂብ፡ቬክተሮች
a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)
የተገለፀው የቬክተሮች ስርዓት የሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ሊሆን እንደሚችል መወሰን ያስፈልጋል.
መፍትሄ
በችግር መግለጫው ውስጥ የተገለጹት የቬክተሮች ስርዓት በመስመር ላይ የተመሰረተ ነው, ምክንያቱም ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ብዛት 3 ነው. ስለዚህ የተጠቆመው የቬክተር ስርዓት ለሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ሆኖ ሊያገለግል አይችልም. ነገር ግን የዋናው ስርዓት ንዑስ ስርዓት a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) መሠረት መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል.
መልስ፡-የተጠቆመው የቬክተር ስርዓት መሰረት አይደለም.
ምሳሌ 3
የመጀመሪያ ውሂብ፡ቬክተሮች
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
ባለአራት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ሊሆኑ ይችላሉ?
መፍትሄ
የተሰጡትን የቬክተሮች መጋጠሚያዎች እንደ ረድፎች በመጠቀም ማትሪክስ እንፍጠር
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንወስናለን-
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4
በዚህም ምክንያት, የተሰጠው ቬክተር ሥርዓት መስመር ነጻ እና ቁጥራቸው የቬክተር ቦታ ልኬት ጋር እኩል ነው - አራት-ልኬት ቬክተር ቦታ መሠረት ናቸው.
መልስ፡-የተሰጡት ቬክተሮች የአራት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ናቸው.
ምሳሌ 4
የመጀመሪያ ውሂብ፡ቬክተሮች
ሀ (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)
የልኬት 4 ቦታ መሰረት ይመሰርታሉ?
መፍትሄ
የቬክተር ኦሪጅናል ሲስተም በቀጥታ ነጻ ነው, ነገር ግን በውስጡ ያሉት የቬክተሮች ብዛት ባለ አራት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ለመሆን በቂ አይደለም.
መልስ፡-አይደለም, አያደርጉትም.
የቬክተር መበስበስ ወደ መሠረት
የዘፈቀደ ቬክተሮች ሠ (1)፣ ሠ (2)፣ . . . ፣ ሠ (n) የ n-ልኬት የቬክተር ቦታ መሠረት ናቸው። በእነሱ ላይ የተወሰነ n-ልኬት ቬክተር x → እንጨምርላቸው፡ የውጤቱ የቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ጥገኛ ይሆናል። የመስመራዊ ጥገኝነት ባህሪያት ቢያንስ አንዱ የዚህ ስርዓት ቬክተር በሌሎቹ በኩል በመስመር ሊገለጽ እንደሚችል ይናገራሉ. ይህንን አረፍተ ነገር ስናስተካክል፣ ቢያንስ አንዱ ከመስመር ላይ ጥገኛ የሆነ ስርዓት ቬክተር ወደ ቀሪዎቹ ቬክተር ሊሰፋ ይችላል ማለት እንችላለን።
ስለዚህ፣ በጣም አስፈላጊ የሆነውን ቲዎሪ ወደ ቀረጻ ደርሰናል፡-
ፍቺ 4
ማንኛውም የ n-dimensional vector space ቬክተር በልዩ ሁኔታ ወደ መሠረት ሊበሰብስ ይችላል።
ማስረጃ 1
ይህንን ጽንሰ ሐሳብ እናረጋግጥ፡-
የ n-ልኬት ቬክተር ቦታን መሠረት እናስቀምጥ - ሠ (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . . ፣ ኢ (n) n-dimensional vector x → በመጨመር ስርዓቱን ቀጥተኛ ጥገኛ እናድርገው። ይህ ቬክተር በቀጥታ ከዋነኞቹ ቬክተሮች አንፃር ሊገለጽ ይችላል ሠ፡
x = x 1 · ሠ (1) + x 2 · ሠ (2) +። . . + x n · ሠ (n)፣ የት x 1፣ x 2፣ . . , x n - አንዳንድ ቁጥሮች.
አሁን እንዲህ ዓይነቱ መበስበስ ልዩ መሆኑን እናረጋግጣለን. ይህ እንዳልሆነ እና ሌላ ተመሳሳይ መበስበስ እንዳለ እናስብ፡-
x = x ~ 1 ሠ (1) + x 2 ~ ሠ (2) +። . . + x ~ n (n) ፣ በ x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ . . . , x ~ n - አንዳንድ ቁጥሮች.
ከዚህ እኩልነት ግራ እና ቀኝ በቅደም ተከተል፣ የእኩልነት ግራ እና ቀኝ ጎኖችን እንቀንስ x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · ሠ (n)። እናገኛለን፡-
0 = (x ~ 1 - x 1) · ሠ (1) + (x ~ 2 - x 2) · ሠ (2) +። . . (x ~ n - x n) ሠ (2)
የመሠረት ቬክተሮች ሥርዓት ሠ (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . . , e (n) በቀጥታ ገለልተኛ ነው; የቬክተር ስርዓትን የመስመራዊ ነፃነትን በመግለጽ ከላይ ያለው እኩልነት የሚቻለው ሁሉም መጠኖች (x ~ 1 - x 1) ፣ (x ~ 2 - x 2) ፣ , ሲሆኑ ብቻ ነው። . . , (x ~ n - x n) ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል. ከዚ ፍትሃዊ ይሆናል፡ x 1 = x ~ 1፣ x 2 = x ~ 2፣ . . . , x n = x ~ n . እናም ይህ ቬክተርን ወደ መሰረት ለመበስበስ ብቸኛው አማራጭን ያረጋግጣል.
በዚህ ሁኔታ, የቁጥሮች x 1, x 2,. . . ፣ x n የቬክተር መጋጠሚያዎች ተብለው ይጠራሉ x → በመሠረቱ ሠ (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . . ፣ ኢ (n)
የተረጋገጠው ንድፈ ሐሳብ ግልጽ ያደርገዋል "N-dimensional vector x = (x 1, x 2, . . . , x n) የተሰጠ": የቬክተር x → n-ልኬት የቬክተር ቦታ ግምት ውስጥ ይገባል, እና መጋጠሚያዎቹ በ a ውስጥ ተገልጸዋል. የተወሰነ መሠረት. በተጨማሪም n-dimensional ቦታ ሌላ መሠረት ውስጥ ተመሳሳይ ቬክተር የተለያዩ መጋጠሚያዎች እንደሚኖራቸው ግልጽ ነው.
የሚከተለውን ምሳሌ ተመልከት፡ በአንዳንድ የ n-dimensional vector space መሰረት n መስመራዊ ገለልተኛ የሆኑ ቬክተሮች ስርዓት ተሰጥቷል እንበል።
እና እንዲሁም ቬክተር x = (x 1, x 2, ..., x n) ተሰጥቷል.
ቬክተሮች ሠ 1 (1)፣ ሠ 2 (2)፣. . . , ሠ n (n) በዚህ ጉዳይ ላይ ደግሞ የዚህ የቬክተር ቦታ መሠረት ናቸው.
የቬክተር x → መጋጠሚያዎችን መወሰን አስፈላጊ ነው እንበል ሠ 1 (1) ፣ ሠ 2 (2) ፣ . . . ፣ ሠ n (n) ፣ እንደ x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ . . . ፣ x ~ n.
ቬክተር x → እንደሚከተለው ይወከላል፡-
x = x ~ 1 ሠ (1) + x ~ 2 ሠ (2) +። . . + x ~ n e (n)
ይህንን አገላለጽ በተቀናጀ መልኩ እንፃፍ፡-
(x 1, x 2, ..., x n) = x ~ 1 (ሠ (1) 1, ሠ (1) 2, . ., ሠ (1) n) + x ~ 2 (ሠ (2) 1, ሠ (2) 2፣...፣ ሠ (2) n) + . . + + x ~ n · (ሠ (n) 1፣ ሠ (n) 2፣…፣ ሠ (n) n) = (x ~ 1 ሠ 1 (1) + x ~ 2 ሠ 1 (2) + . . + x ~ n 1 (n) ፣ x ~ 1 ሠ 2 (1) + x ~ 2 ሠ 2 (2) + + (1) + x ~ 2 ሠ n (2) + ... + x ~ n n (n))
የተገኘው እኩልነት ከ n መስመራዊ የአልጀብራ አገላለጾች ስርዓት ጋር እኩል ነው n ያልታወቁ መስመራዊ ተለዋዋጮች x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ . . . , x ~ n:
x 1 = x ~ 1 ሠ 1 1 + x ~ 2 ሠ 1 2 +። . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 ሠ 2 1 + x ~ 2 ሠ 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 ሠ n 1 + x ~ 2 ሠ n 2 +። . . + x ~ n n n
የዚህ ሥርዓት ማትሪክስ የሚከተለው ቅጽ ይኖረዋል።
ሠ 1 (1) ሠ 1 (2) ⋯ ሠ 1 (n) ሠ 2 (1) ሠ 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮
ይህ ማትሪክስ ሀ ይሁን፣ እና ዓምዶቹ ከመስመር ነፃ የሆነ የቬክተር ስርዓት ቬክተሮች ናቸው ሠ 1 (1)፣ ሠ 2 (2)፣ . . . ፣ ሠ n (n) . የማትሪክስ ደረጃ n ነው፣ እና የሚወስነው ዜሮ ነው። ይህ የሚያመለክተው የእኩልታዎች ስርዓት ልዩ የሆነ መፍትሄ እንዳለው ነው, በማንኛውም ምቹ ዘዴ ይወሰናል: ለምሳሌ, Cramer method ወይም matrix method. በዚህ መንገድ መጋጠሚያዎቹን x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ . . . ፣ x ~ n ቬክተር x → በመሠረት ሠ 1 (1) ፣ ሠ 2 (2) ፣ . . . ፣ ሠ n (n) .
የተገመተውን ንድፈ ሐሳብ ለአንድ የተወሰነ ምሳሌ እንተገብረው።
ምሳሌ 6
የመጀመሪያ ውሂብ፡ቬክተሮች በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ይገለፃሉ
ሠ (1) = (1, - 1, 1) ሠ (2) = (3, 2, - 5) ሠ (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)
የቬክተር ስርዓት ሠ (1)፣ ሠ (2)፣ ሠ (3) የቦታ መሠረት ሆኖ የሚያገለግል መሆኑን ማረጋገጥና እንዲሁም የቬክተር x መጋጠሚያዎችን በተወሰነ መሠረት መወሰን ያስፈልጋል።
መፍትሄ
የቬክተሮች ሥርዓት ሠ (1)፣ ሠ (2)፣ ሠ (3) ከመስመር ነፃ ከሆነ ባለሦስት አቅጣጫዊ ቦታ መሠረት ይሆናል። የማትሪክስ A ደረጃን በመወሰን ይህንን ዕድል እንወቅ, ረድፎቹ የተሰጡት ቬክተሮች e (1), e (2), e (3) ናቸው.
የ Gaussian ዘዴን እንጠቀማለን-
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
R a n k (A) = 3. ስለዚህ የቬክተሮች ሥርዓት ሠ (1) ሠ (2) ሠ (3) ከመስመር ነፃ የሆነና መሠረት ነው።
ቬክተር x → መጋጠሚያዎች x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ x ~ 3 መሠረት ይኑርዎት። በእነዚህ መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ግንኙነት የሚወሰነው በቀመር ነው፡-
x 1 = x ~ 1 ሠ 1 (1) + x ~ 2 ሠ 1 (2) + x ~ 3 ሠ 1 (3) x 2 = x ~ 1 ሠ 2 (1) + x ~ 2 ሠ 2 (2) + x ~ 3 ሠ 2 (3) x 3 = x ~ 1 ሠ 3 (1) + x ~ 2 ሠ 3 (2) + x ~ 3 ሠ 3 (3)
በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት እሴቶቹን እንተገብራቸው፡-
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7
የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ፡-
∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 ፣ x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 ፣ x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 ፣ x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
ስለዚህም ቬክተር x → በመሠረቱ ሠ (1)፣ ሠ (2)፣ ሠ (3) መጋጠሚያዎች x ~ 1 = 1፣ x ~ 2 = 1፣ x ~ 3 = 1 መጋጠሚያዎች አሉት።
መልስ፡- x = (1, 1, 1)
በመሠረት መካከል ያለው ግንኙነት
በአንዳንድ የ n-ልኬት ቬክተር ቦታ ላይ ሁለት ቀጥተኛ ገለልተኛ የቬክተሮች ስርዓቶች ተሰጥተዋል ብለን እናስብ፡-
ሐ (1) = (ሐ 1 (1) ፣ ሐ 2 (1) ፣ . . . . ፣ ሐ n (1) (2)) ⋮ ሐ (n) = (c 1 (n)፣ e 2 (n)፣ …፣ c n (n))
ሠ (1) = (ሠ 1 (1) ፣ ሠ 2 (1) ፣ ሠ 2 (1) ፣ ሠ (2)) ⋮ ሠ (n) = (ሠ 1 (n)፣ ሠ 2 (n)፣...፣ ሠ n (n))
እነዚህ ስርዓቶችም የአንድ ቦታ መሰረት ናቸው.
ሐ ~ 1 (1) ፣ ሐ ~ 2 (1) ፣ . . . , c ~ n (1) - የቬክተር ሐ (1) መጋጠሚያዎች e (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . . ፣ ሠ (3) ፣ ከዚያ የማስተባበር ግንኙነቱ የሚከናወነው በመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ነው።
ሐ 1 (1) = ሐ ~ 1 (1) ሠ 1 (1) + ሐ ~ 2 (1) ሠ 1 (2) + . . . + c ~ n (1) ሠ 1 (n) ሐ 2 (1) = ሐ ~ 1 (1) ሠ 2 (1) + ሐ ~ 2 (1) ሠ 2 (2) + . . . + c ~ n (1) ሠ 2 (n) ⋮ ሐ n (1) = ሐ ~ 1 (1) ሠ n (1) + ሐ ~ 2 (1) ሠ n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)
ስርዓቱ እንደ ማትሪክስ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል-
(ሐ 1 (1)፣ ሐ 2 (1)፣...፣ ሐ n (1)) = (ሐ ~ 1 (1)፣ ሐ ~ 2 (1)፣ . . . . . . , ሐ ~ n (1)) ሠ 1 (1) ሠ 2 (1) … ሠ n (1) ሠ 1 (2) ሠ 2 (2) … ሠ n (2) ⋮ ⋮ ⋮
ለቬክተር ሐ (2) ተመሳሳይ ግቤት እናድርግ፡-
(ሐ 1 (2)፣ ሐ 2 (2)፣...፣ ሐ n (2)) = (ሐ ~ 1 (2)፣ ሐ ~ 2 (2)፣ . 1 (1) ሠ 2 (1) … ሠ n (1) ሠ 1 (2) ሠ 2 (2) … ሠ n (2) ⋮ ⋮ ⋮
(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . . , c ~ n (n)) ሠ 1 (1) ሠ 2 (1) … ሠ n (1) ሠ 1 (2) ሠ 2 (2) … ሠ n (2) ⋮ ⋮ ⋮
የማትሪክስ እኩልነቶችን ወደ አንድ አገላለጽ እናጣምር፡-
ሐ 1 (1) ሐ 2 (1) ⋯ ሐ n (1) ሐ 1 (2) ሐ 2 (2) ⋯ ሐ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ሐ ~ 1 (1) ሐ ~ 2 (1) ⋯ ሐ ~ n (1) ሐ ~ 1 (2) ሐ ~ 2 (2) ⋯ ሐ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሐ ~ 1 (n) ሐ ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) ሠ 1 (2) ሠ 2 (2) ⋯ ሠ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ሠ 2 (n) ⋯ e n (n)
በሁለት የተለያዩ መሠረቶች ቬክተር መካከል ያለውን ግንኙነት ይወስናል.
በተመሳሳዩ መርህ መሰረት ሁሉንም መሰረታዊ ቬክተሮችን መግለጽ ይቻላል e (1), e (2), . . . ፣ ሠ (3) በመሠረት ሐ (1) ፣ ሐ (2) ፣ . . . , c (n):
ሠ 1 (1) ሠ 2 (1) ⋯ ኢ n (1) ሠ 1 (2) ሠ 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ሠ ~ 1 (1) ሠ ~ 2 (1) ⋯ ሠ ~ n (1) ሠ ~ 1 (2) ሠ ~ 2 (2) ⋯ ሠ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሠ ~ 1 (n) ሠ ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ሐ 1 (1) ሐ 2 (1) ⋯ ሐ n (1) ሐ 1 (2) ሐ 2 (2) ⋯ ሐ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሐ 1 (n) ሐ 2 (n) ⋯ c n (n)
የሚከተሉትን ፍቺዎች እንስጥ፡-
ፍቺ 5
ማትሪክስ ሐ ~ 1 (1) ሐ ~ 2 (1) ⋯ ሐ ~ n (1) ሐ ~ 1 (2) ሐ ~ 2 (2) ⋯ ሐ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሐ ~ 1 (n) ሐ ~ 2 (n) ⋯ ሐ ~ n (n) የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ሠ (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . . ፣ ሠ (3)
ወደ መሠረት ሐ (1) ፣ ሐ (2) ፣ . . . ፣ ሐ (n) ።
ትርጉም 6
ማትሪክስ ሠ ~ 1 (1) ሠ ~ 2 (1) ⋯ ሠ ~ n (1) ሠ ~ 1 (2) ሠ ~ 2 (2) ⋯ ሠ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሠ ~ 1 (n) ሠ ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ሐ (1) ፣ ሐ (2) ፣ . . . ፣ ሐ(n)
ወደ መሠረት ሠ (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . ፣ ሠ (3) ።
ከእነዚህ እኩልነቶች መረዳት እንደሚቻለው
ሐ ~ 1 (1) ሐ ~ 2 (1) ⋯ ሐ ~ n (1) ሐ ~ 1 (2) ሐ ~ 2 (2) ⋯ ሐ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሐ ~ 1 (n) ሐ ~ 2 (n) ⋯ ሐ ~ n (n) ሠ ~ 1 (1) ሠ ~ 2 (1) ⋯ ሠ ~ n (1) ሠ ~ 1 (2) ሠ ~ 2 (2) ⋯ ሠ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሠ ~ 1 (n) ሠ ~ 2 (n) ⋯ ሠ ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ሠ ~ 1 (1) ሠ ~ 2 ) ⋯ ሠ ~ n (1) ሠ ~ 1 (2) ሠ ~ 2 (2) ⋯ ሠ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሠ ~ 1 (n) ሠ ~ 2 (n) · ሐ ~ 1 (1) ሐ ~ 2 (1) ⋯ ሐ ~ n (1) ሐ ~ 1 (2) ሐ ~ 2 (2) ⋯ ሐ ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ሐ ~ 1 (n) ሐ ~ 2 (n) ⋯ ሐ ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
እነዚያ። የሽግግር ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ነው.
አንድ የተወሰነ ምሳሌ ተጠቅመን ንድፈ ሃሳቡን እንመልከተው።
ምሳሌ 7
የመጀመሪያ ውሂብ፡የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ማግኘት አስፈላጊ ነው
ሐ (1) = (1, 2, 1) ሐ (2) = (2, 3, 3) ሲ (3) = (3, 7, 1)
ሠ (1) = (3 ፣ 1 ፣ 4) ሠ (2) = (5 ፣ 2 ፣ 1) ሠ (3) = (1 ፣ 1 ፣ - 6)
እንዲሁም በተሰጡት መሠረቶች ውስጥ በዘፈቀደ የቬክተር x → መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ግንኙነት ማመልከት ያስፈልግዎታል።
መፍትሄ
1. ቲ የሽግግር ማትሪክስ ይሁን, ከዚያም እኩልነት እውነት ይሆናል.
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 3 7 1
የእኩልነት ሁለቱንም ጎኖች በ ማባዛት።
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
እና እናገኛለን:
ቲ = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 3 7 1 - 1
2. የሽግግር ማትሪክስ ይግለጹ፡
ቲ = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. በቬክተር x → መካከል ያለውን ግንኙነት እንገልፃለን፡
በመሠረት ሐ (1) ፣ ሐ (2) ፣ . . . ፣ ሐ (n) ቬክተር x → መጋጠሚያዎች x 1 ፣ x 2 ፣ x 3 ፣ ከዚያ፡-
x = (x 1 ፣ x 2 ፣ x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ፣
እና በመሠረቱ ሠ (1) ፣ ሠ (2) ፣ . . . ፣ ሠ (3) መጋጠሚያዎች አሉት x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ x ~ 3 ፣ ከዚያ፡-
x = (x ~ 1፣ x ~ 2፣ x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
ምክንያቱም የእነዚህ እኩልታዎች ግራ-እጆች እኩል ከሆኑ የቀኝ እጆችንም እንዲሁ ማመሳሰል እንችላለን-
(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
ሁለቱንም ጎኖች በቀኝ በኩል ማባዛት።
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
እና እናገኛለን:
(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 ፣ x 2 ፣ x 3) = (x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ x ~ 3) ቲ ⇔ ⇔ (x 1 ፣ x 2 ፣ x 3) = ( x ~ 1 ፣ x ~ 2 ፣ x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
በሌላ በኩል
(x ~ 1፣ x ~ 2፣ x ~ 3) = (x 1፣ x 2፣ x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
የመጨረሻዎቹ እኩልታዎች በሁለቱም መሠረቶች ውስጥ በቬክተር x → መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ግንኙነት ያሳያሉ.
መልስ፡-የሽግግር ማትሪክስ
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
በተሰጡት መሰረቶች ውስጥ የቬክተር x → መጋጠሚያዎች ከግንኙነት ጋር የተያያዙ ናቸው፡-
(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1፣ x ~ 2፣ x ~ 3) = (x 1፣ x 2፣ x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን
ምሳሌ 8
ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮች በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ መሰረት እንደሚፈጥሩ አሳይ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ.
መፍትሄ፡-በመጀመሪያ, ሁኔታውን እንይ. እንደ ሁኔታው, አራት ቬክተሮች ተሰጥተዋል, እና እርስዎ እንደሚመለከቱት, ቀድሞውኑ በተወሰነ ደረጃ መጋጠሚያዎች አሏቸው. ይህ መሠረት የሆነው ለእኛ ፍላጎት አይደለም. እና የሚከተለው ነገር ትኩረት የሚስብ ነው-ሦስት ቬክተሮች በደንብ አዲስ መሠረት ሊፈጥሩ ይችላሉ. እና የመጀመሪያው ደረጃ ከምሳሌ 6 መፍትሄ ጋር ሙሉ በሙሉ ይዛመዳል ፣ ቬክተሮች በእውነት በመስመር ገለልተኛ መሆናቸውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል ።
በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡- 
, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.
! አስፈላጊየቬክተር መጋጠሚያዎች የግድጹፍ መጻፍ ወደ አምዶችበገመድ ሳይሆን ቆራጥ። አለበለዚያ, ተጨማሪ የመፍትሄው ስልተ ቀመር ውስጥ ግራ መጋባት ይኖራል.
አሁን እናስታውስ የንድፈ ሐሳብ ክፍልቬክተሮች መሠረት ከፈጠሩ ማንኛውም ቬክተር ወደዚህ መሠረት ሊሰፋ የሚችለው ብቸኛው መንገድ: የቬክተር መጋጠሚያዎች በመሠረት ላይ ባሉበት.
የእኛ ቬክተሮች የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ስለሚይዙ (ይህ አስቀድሞ የተረጋገጠ ነው) በዚህ መሠረት ቬክተሩ በልዩ መንገድ ሊሰፋ ይችላል. 
, በመሠረቱ ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች የት ይገኛሉ.
እንደ ሁኔታው እና መጋጠሚያዎችን ማግኘት ያስፈልጋል.
ለቀላል ማብራሪያ ክፍሎቹን እለዋወጣለሁ፡- 
. እሱን ለማግኘት፣ ይህንን የእኩልነት ማስተባበሪያ-በ-መጋጠሚያ ይፃፉ፡- 
ቅንጅቶች የተቀመጡት በምን መሰረት ነው? በግራ በኩል ያሉት ሁሉም ጥምርታዎች በትክክል ከመወሰኛ ይተላለፋሉ 
፣ ቪ በቀኝ በኩልየቬክተሩ መጋጠሚያዎች ይመዘገባሉ.
ውጤቱ ከሶስት የማይታወቁ ጋር የሶስት መስመር እኩልታዎች ስርዓት ነው። ብዙውን ጊዜ የሚፈታው በ የክሬመር ቀመሮች, ብዙውን ጊዜ በችግር መግለጫ ውስጥ እንኳን እንዲህ ዓይነት መስፈርት አለ.
የስርዓቱ ዋና መመዘኛ አስቀድሞ ተገኝቷል-
, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.
የሚከተለው የቴክኒክ ጉዳይ ነው። 
ስለዚህም፡-
- በመሠረቱ መሠረት የቬክተር መበስበስ.
መልስ፡- 
ቀደም ብዬ እንደገለጽኩት ችግሩ በተፈጥሮ ውስጥ አልጀብራ ነው። የታሰቡት ቬክተሮች የግድ በጠፈር ውስጥ ሊሳቡ የሚችሉ ቬክተሮች አይደሉም ነገር ግን በመጀመሪያ ደረጃ የመስመር አልጀብራ ኮርስ ረቂቅ ቬክተር። ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ቬክተሮችን በተመለከተ, ተመሳሳይ ችግር ሊቀረጽ እና ሊፈታ ይችላል, መፍትሄው በጣም ቀላል ይሆናል. ነገር ግን በተግባር ግን እንደዚህ አይነት ስራ አጋጥሞኝ አያውቅም, ለዚህም ነው ባለፈው ክፍል ውስጥ የዘለለው.
ለገለልተኛ መፍትሄ ከሶስት አቅጣጫዊ ቬክተሮች ጋር ተመሳሳይ ችግር:
ምሳሌ 9
ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮቹ መሰረት እንደሚሆኑ ያሳዩ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ. የCramer's ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ።
የተሟላ መፍትሄእና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የመጨረሻው ንድፍ ግምታዊ ናሙና.
በተመሳሳይ፣ ባለአራት፣ ባለ አምስት አቅጣጫ፣ ወዘተ ልንመለከት እንችላለን። የቬክተር ክፍተቶች፣ ቬክተሮች በቅደም ተከተል 4፣ 5 ወይም ከዚያ በላይ መጋጠሚያዎች ያሏቸው። ለእነዚህ የቬክተር ክፍተቶች, የመስመራዊ ጥገኛ ጽንሰ-ሐሳብም አለ, የቬክተሮች ቀጥተኛ ነጻነት, መሠረት አለ, ኦርቶርማል መሰረትን ጨምሮ, ከመሠረት አንጻር የቬክተር መስፋፋት. አዎን, እንደዚህ ያሉ ቦታዎች በጂኦሜትሪክ መንገድ መሳል አይችሉም, ነገር ግን ሁሉም ደንቦች, ንብረቶች እና የሁለት እና ሶስት አቅጣጫዊ ጉዳዮች ንድፈ ሃሳቦች በውስጣቸው ይሠራሉ - ንጹህ አልጀብራ. በእውነቱ ፣ ኦ ፍልስፍናዊ ጉዳዮችበአንቀጹ ውስጥ ለመናገር ቀድሞውኑ ተፈትኜ ነበር። የሶስት ተለዋዋጮች ተግባር ከፊል ተዋጽኦዎች, ከዚህ ትምህርት ቀደም ብሎ የታየ.
ቬክተሮችን ይወዳሉ፣ እና ቬክተሮች ይወዱሃል!
መፍትሄዎች እና መልሶች:
ምሳሌ 2፡ መፍትሄ: ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች መጠን እናድርገው፡
መልስ፡-
በ
ምሳሌ 4፡ ማረጋገጫ: ትራፔዝአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሲሆን ይህም ሁለት ጎኖች ትይዩ ሲሆኑ የቀሩት ሁለት ጎኖች ደግሞ ተመሳሳይ አይደሉም.
1) የተቃራኒ ጎኖችን ትይዩነት እንፈትሽ እና .
ቬክተሮችን እንፈልግ፡-
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም እና ጎኖቹ ትይዩ አይደሉም.
2) የተቃራኒ ጎኖችን ትይዩነት ያረጋግጡ እና .
ቬክተሮችን እንፈልግ፡-
በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው, እና.
ማጠቃለያ፡-
አራት ማዕዘን ቅርጽ ያላቸው ሁለት ጎኖች ትይዩ ናቸው, የቀሩት ሁለት ጎኖች ግን ትይዩ አይደሉም, ይህም ማለት በትርጉሙ ትራፔዞይድ ነው. ጥ.ኢ.ዲ.
ምሳሌ 5፡ መፍትሄ:
ለ) ለተጓዳኙ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተመጣጣኝነት ቅንጅት መኖሩን እንፈትሽ፡-
ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.
ቀላል ንድፍ;
- ሁለተኛው እና ሦስተኛው መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.
መልስ፡-
ቬክተሮቹ ኮላይኔር አይደሉም.
ሐ) ቬክተሮችን ለኮላላይን እንመረምራለን 
. ስርዓት እንፍጠር፡
የቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው, ይህም ማለት ነው
ይህ የ "foppish" ንድፍ ዘዴ ያልተሳካበት ነው.
መልስ፡-
ምሳሌ 6፡ መፍትሄለ) በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው (ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተገልጿል)
, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት አይሆኑም.
መልስ
እነዚህ ቬክተሮች መሰረት አይሆኑም
ምሳሌ 9፡ መፍትሄ፡-በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-
ስለዚህ, ቬክተሮች በመስመር ላይ እራሳቸውን የቻሉ እና መሰረትን ይፈጥራሉ.
ቬክተሩን በቅጹ እንወክል መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች:
ማስተባበር፡-
የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን እንፍታው፡-
, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.
መልስ፡-ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ,
ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ለደብዳቤ ተማሪዎች እና ሌሎችም >>>
(ወደ ዋናው ገጽ ይሂዱ)
የቬክተር ጥበብ ስራቬክተሮች.
የቬክተሮች ድብልቅ ምርት
በዚህ ትምህርት ሁለት ተጨማሪ ክንዋኔዎችን ከቬክተሮች ጋር እንመለከታለን፡- የቬክተሮች የቬክተር ምርትእና የተደባለቀ ሥራቬክተሮች. ደህና ነው ፣ አንዳንድ ጊዜ ለደስታ ፣ በተጨማሪ ፣ ይከሰታል የቬክተሮች scalar ምርት፣ ብዙ እና ብዙ ይፈለጋል። ይህ የቬክተር ሱስ ነው። ወደ ዱር ውስጥ እየገባን ያለ ሊመስል ይችላል። የትንታኔ ጂኦሜትሪ. ይህ ስህተት ነው። በዚህ የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል ውስጥ ለፒኖቺዮ በቂ ካልሆነ በስተቀር በአጠቃላይ ትንሽ እንጨት አለ. በእውነቱ, ቁሱ በጣም የተለመደ እና ቀላል ነው - ከተመሳሳይ የበለጠ የተወሳሰበ ነው scalar ምርት, እንዲያውም ያነሱ የተለመዱ ተግባራት ይኖራሉ. በአናቲቲካል ጂኦሜትሪ ውስጥ ዋናው ነገር ብዙዎች እንደሚያምኑት ወይም ቀድሞውኑ አሳማኝ ሆኖ ሳለ በስሌቶች ውስጥ ስህተቶችን ማድረግ አይደለም. እንደ ፊደል ይድገሙ እና ደስተኛ ይሆናሉ =)
ቬክተሮች ከሩቅ ቦታ ቢያበሩ፣ ልክ በአድማስ ላይ እንዳለ መብረቅ፣ ምንም አይደለም፣ በትምህርቱ ይጀምሩ Vectors ለ dummiesስለ ቬክተሮች መሠረታዊ እውቀትን ወደነበረበት ለመመለስ ወይም መልሶ ለማግኘት. ብዙ የተዘጋጁ አንባቢዎች መረጃውን እየመረጡ ማወቅ ይችላሉ፤ በተቻለ መጠን ለመሰብሰብ ሞከርኩ። የተሟላ ስብስብብዙውን ጊዜ በ ውስጥ የሚገኙት ምሳሌዎች ተግባራዊ ሥራ
ወዲያውኑ ምን ያስደስትዎታል? ትንሽ ሳለሁ ሁለት ወይም ሶስት ኳሶችን መጎተት እችል ነበር። በጥሩ ሁኔታ ሠርቷል. አሁን ስለምንመረምር መሮጥ የለብዎትም የቦታ ቬክተሮች ብቻ, እና ሁለት መጋጠሚያዎች ያሉት ጠፍጣፋ ቬክተሮች ይቀራሉ. ለምን? እነዚህ ድርጊቶች የተወለዱት በዚህ መንገድ ነው - የቬክተሮች ቬክተር እና ድብልቅ ምርቶች ተገልጸዋል እና በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ይሠራሉ. ቀድሞውኑ ቀላል ነው!
የመስመር ጥገኝነት እና የቬክተሮች ቀጥተኛ ነፃነት።
የቬክተሮች መሠረት. የአፊን ቅንጅት ስርዓት
በአዳራሹ ውስጥ ቸኮሌት ያለው ጋሪ አለ ፣ እና እያንዳንዱ ጎብኚ ዛሬ ጣፋጭ ባልና ሚስት ያገኛሉ - የትንታኔ ጂኦሜትሪ ከመስመር አልጀብራ ጋር። ይህ መጣጥፍ በአንድ ጊዜ የከፍተኛ ሂሳብ ሁለት ክፍሎችን ይዳስሳል፣ እና በአንድ ጥቅል ውስጥ እንዴት አብረው እንደሚኖሩ እንመለከታለን። እረፍት ይውሰዱ ፣ Twix ይበሉ! ... እርግማን፣ ምን አይነት ከንቱዎች ስብስብ ነው። ምንም እንኳን፣ እሺ፣ አላስቆጥርም፣ በመጨረሻ፣ ለማጥናት አዎንታዊ አመለካከት ሊኖርህ ይገባል።
የቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ, የመስመር ቬክተር ነፃነት, የቬክተሮች መሠረትእና ሌሎች ቃላት የጂኦሜትሪክ ትርጉም ብቻ ሳይሆን፣ ከሁሉም በላይ፣ አልጀብራ ትርጉም አላቸው። ከመስመር አልጀብራ አንፃር የ“ቬክተር” ጽንሰ-ሀሳብ ሁል ጊዜ በአውሮፕላንም ሆነ በህዋ ላይ የምናሳየው “ተራ” ቬክተር አይደለም። ለማስረጃ ሩቅ መፈለግ አያስፈልግዎትም፣ ባለ አምስት አቅጣጫዊ ቦታ ቬክተር ለመሳል ይሞክሩ 
. ወይም ወደ ጂሴሜቴ የሄድኩበት የአየር ሁኔታ ቬክተር፡- የሙቀት መጠን እና የከባቢ አየር ግፊትበቅደም ተከተል. ምሳሌ, እርግጥ ነው, የቬክተር ቦታ ንብረቶች እይታ ነጥብ ጀምሮ ትክክል አይደለም, ነገር ግን, ማንም ሰው እነዚህን መለኪያዎች እንደ ቬክተር formalize አይከለክልም. የበልግ እስትንፋስ...
አይ፣ በቲዎሪ፣ በሊኒየር ቬክተር ክፍተቶች አላሰለቸኝዎትም፣ ተግባሩ ማድረግ ነው። መረዳትትርጓሜዎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች. አዲሶቹ ቃላት (የመስመራዊ ጥገኝነት፣ ነፃነት፣ መስመራዊ ጥምር፣ መሰረት፣ ወዘተ) ሁሉንም ቬክተሮች ከአልጀብራ እይታ አንጻር ይተገበራሉ፣ነገር ግን የጂኦሜትሪክ ምሳሌዎች ይቀርባሉ። ስለዚህ, ሁሉም ነገር ቀላል, ተደራሽ እና ግልጽ ነው. ከትንተና ጂኦሜትሪ ችግሮች በተጨማሪ የተወሰኑትን እንመለከታለን የተለመዱ ተግባራትአልጀብራ ትምህርቱን ለመቆጣጠር እራስዎን ከትምህርቶቹ ጋር በደንብ እንዲያውቁት ይመከራል Vectors ለ dummiesእና ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?
የአውሮፕላን ቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ እና ነፃነት።
የአውሮፕላን መሠረት እና የአፊን ቅንጅት ስርዓት
የኮምፒተርዎን ዴስክ አውሮፕላን (ጠረጴዛ ፣ የአልጋ ላይ ጠረጴዛ ፣ ወለል ፣ ጣሪያ ፣ የፈለጉትን) እናስብ። ተግባሩ የሚከተሉትን ተግባራት ያቀፈ ይሆናል-
1) የአውሮፕላን መሠረት ይምረጡ. በመጠኑ አነጋገር የጠረጴዛው ጫፍ ርዝመትና ስፋት ስላለው መሠረቱን ለመሥራት ሁለት ቬክተሮች እንደሚያስፈልጉት ሊታወቅ የሚችል ነው። አንድ ቬክተር በግልጽ በቂ አይደለም, ሶስት ቬክተሮች በጣም ብዙ ናቸው.
2) በተመረጠው መሠረት ቅንጅት ሥርዓት አዘጋጅ(መጋጠሚያ ፍርግርግ) በጠረጴዛው ላይ ለሚገኙ ሁሉም ነገሮች መጋጠሚያዎችን ለመመደብ.
አትደነቁ, መጀመሪያ ላይ ማብራሪያዎቹ በጣቶቹ ላይ ይሆናሉ. ከዚህም በላይ, በእርስዎ ላይ. እባክዎን ያስቀምጡ የግራ አመልካች ጣትተቆጣጣሪውን እንዲመለከት በጠረጴዛው ጫፍ ላይ. ይህ ቬክተር ይሆናል. አሁን ቦታ ትንሿ ጣት ቀኝ እጅ
በጠረጴዛው ጠርዝ ላይ በተመሳሳይ መንገድ - በማያ ገጹ ላይ እንዲመራው. ይህ ቬክተር ይሆናል. ፈገግ ይበሉ ፣ በጣም ጥሩ ይመስላል! ስለ ቬክተሮች ምን ማለት እንችላለን? የውሂብ ቬክተሮች ኮላይኔር, ማ ለ ት መስመራዊእርስ በእርሳቸው ይገለጻሉ:
, ጥሩ, ወይም በተቃራኒው:, አንዳንድ ቁጥር ከዜሮ የተለየ የት ነው.
በክፍል ውስጥ የዚህን ድርጊት ምስል ማየት ይችላሉ. Vectors ለ dummies፣ ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ደንቡን ገለጽኩበት።
ጣቶችዎ በኮምፒተር ጠረጴዛው አውሮፕላን ላይ መሰረት ያዘጋጃሉ? እንዳልሆነ ግልጽ ነው። ኮላይኔር ቬክተሮች ወደ ኋላ እና ወደ ፊት ይጓዛሉ ብቻውንአቅጣጫ, እና አውሮፕላን ርዝመት እና ስፋት አለው.
እንዲህ ያሉት ቬክተሮች ይባላሉ በመስመር ላይ ጥገኛ.
ዋቢ፡ “መስመራዊ”፣ “መስመራዊ” የሚሉት ቃላት በ ውስጥ ያለውን እውነታ ያመለክታሉ የሂሳብ እኩልታዎች, አገላለጾች ካሬዎች, ኪዩቦች, ሌሎች ሀይሎች, ሎጋሪዝም, ሳይኖች, ወዘተ አያካትቱም. ቀጥተኛ (1 ኛ ዲግሪ) መግለጫዎች እና ጥገኞች ብቻ አሉ።
ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛከሆነ እና እነሱ ኮላይነር ከሆኑ ብቻ.
በመካከላቸው ከ 0 ወይም 180 ዲግሪዎች ውጭ የሆነ አንግል እንዲኖር ጣቶችዎን በጠረጴዛው ላይ ያቋርጡ። ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮችመስመራዊ አይደለምኮላይነር ካልሆኑ ብቻ ጥገኛ ነው።. ስለዚህ, መሠረቱ ተገኝቷል. መሠረቱ የተለያየ ርዝመት ያላቸው ቋሚ ባልሆኑ ቬክተሮች "የተጣመመ" ሆኖ መገኘቱን ማሳፈር አያስፈልግም. በጣም በቅርብ ጊዜ የ 90 ዲግሪ ማዕዘን ብቻ ሳይሆን ለግንባታው ተስማሚ መሆኑን እና እኩል ርዝመት ያላቸውን ቬክተሮች ብቻ ሳይሆን እናያለን.
ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር ብቸኛው መንገድበመሠረት መሠረት ይስፋፋል- 
እውነተኛ ቁጥሮች የት አሉ? ቁጥሮቹ ተጠርተዋል የቬክተር መጋጠሚያዎችበዚህ መሠረት.
እንደሆነም ተነግሯል። ቬክተርተብሎ ቀርቧል መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች. ማለትም አገላለጹ ይባላል የቬክተር መበስበስበመሠረትወይም መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች.
ለምሳሌ, ቬክተሩ በአውሮፕላኑ ውስጥ በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ተበላሽቷል ማለት እንችላለን, ወይም እንደ ቀጥተኛ የቬክተሮች ጥምረት ይወከላል ማለት እንችላለን.
እንቅረፅ የመሠረት ትርጉምመደበኛ፡ የአውሮፕላኑ መሠረትጥንድ ቀጥተኛ ገለልተኛ (ኮላይነር ያልሆኑ) ቬክተሮች ይባላል። ፣ በውስጡ ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር የመሠረት ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት ነው።
የትርጓሜው አስፈላጊ ነጥብ ቬክተሮች መወሰዳቸው ነው በተወሰነ ቅደም ተከተል. መሠረቶች 
- እነዚህ ሁለት ሙሉ ለሙሉ የተለያዩ መሠረቶች ናቸው! እነሱ እንደሚሉት፣ በቀኝ እጃችሁ ትንሽ ጣት ምትክ የግራ እጃችሁን ትንሽ ጣት መተካት አትችሉም።
መሰረቱን አውጥተናል፣ ነገር ግን የተቀናጀ ፍርግርግ ማዘጋጀት እና በኮምፒተርዎ ጠረጴዛ ላይ ለእያንዳንዱ ንጥል መጋጠሚያዎችን መመደብ በቂ አይደለም። ለምን በቂ አይደለም? ቬክተሮቹ ነፃ ናቸው እና በመላው አውሮፕላን ውስጥ ይንከራተታሉ። ስለዚህ ከዱር ቅዳሜና እሁድ በተረፈ ጠረጴዛው ላይ ለእነዚያ ትንሽ ቆሻሻ ቦታዎች መጋጠሚያዎችን እንዴት ይመድባሉ? መነሻ ነጥብ ያስፈልጋል። እና እንደዚህ ዓይነቱ ምልክት ለሁሉም ሰው የሚታወቅ ነጥብ ነው - የመጋጠሚያዎች አመጣጥ። የአስተባባሪ ስርዓቱን እንረዳ፡-
በ "ትምህርት ቤት" ስርዓት እጀምራለሁ. ቀድሞውኑ በመግቢያ ትምህርት ውስጥ Vectors ለ dummiesበአራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት እና በኦርቶዶክስ መሠረት መካከል አንዳንድ ልዩነቶችን አጉልቻለሁ። መደበኛው ሥዕል ይኸውና፡-
ሲያወሩ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት, ከዚያም ብዙውን ጊዜ መነሻው, መጥረቢያዎችን እና ሚዛንን በመጥረቢያዎቹ ላይ ያስተባብራሉ. በፍለጋ ሞተር ውስጥ "አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት" ለመተየብ ይሞክሩ እና ብዙ ምንጮች ከ5ኛ-6ኛ ክፍል ስለሚያውቁት የአስተባበር መጥረቢያዎች እና በአውሮፕላን ላይ ነጥቦችን እንዴት ማቀድ እንደሚችሉ ይነግሩዎታል።
በሌላ በኩል፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበር ሥርዓት ከኦርቶዶክሳዊ መሠረት አንፃር ሙሉ በሙሉ ሊገለጽ የሚችል ይመስላል። ያ ደግሞ እውነት ነው ማለት ይቻላል። ቃሉ እንደሚከተለው ነው፡-
መነሻ, እና ኦርቶዶክሳዊመሰረቱ ተዘጋጅቷል የካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የአውሮፕላን ማስተባበሪያ ስርዓት . ማለትም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ሥርዓት በእርግጠኝነትበአንድ ነጥብ እና በሁለት ዩኒት ኦርቶጎን ቬክተሮች ይገለጻል. ለዚህም ነው ከላይ የሰጠሁትን ስዕል የምታዩት - ውስጥ የጂኦሜትሪክ ችግሮችብዙ ጊዜ (ነገር ግን ሁልጊዜ አይደለም) ሁለቱም ቬክተር እና አስተባባሪ መጥረቢያዎች ይሳላሉ.
እኔ እንደማስበው ነጥብ (መነሻ) እና ኦርቶዶክሳዊ መሠረት በመጠቀም ሁሉም ሰው የሚረዳው ይመስለኛል በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ነጥብ እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም VECTORመጋጠሚያዎች ሊመደቡ ይችላሉ. በምሳሌያዊ አነጋገር፣ “በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉት ሁሉም ነገሮች ሊቆጠሩ ይችላሉ።
የተቀናጁ ቬክተሮች አሃድ እንዲሆኑ ያስፈልጋል? አይ፣ የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ርዝመት ሊኖራቸው ይችላል። የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ርዝመት አንድ ነጥብ እና ሁለት ኦርቶጎን ቬክተሮችን አስቡባቸው፡
እንዲህ ዓይነቱ መሠረት ይባላል orthogonal. ከቬክተሮች ጋር የመጋጠሚያዎች አመጣጥ በተቀናጀ ፍርግርግ ይገለጻል, እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ማንኛውም ነጥብ, ማንኛውም ቬክተር በተወሰነው መሰረት መጋጠሚያዎች አሉት. ለምሳሌ, ወይም. ግልጽ የሆነ አለመመቸት አስተባባሪዎቹ ቬክተሮች ናቸው ቪ አጠቃላይ ጉዳይ
ከአንድነት ሌላ የተለያየ ርዝመት አላቸው. ርዝመቶቹ ከአንድነት ጋር እኩል ከሆኑ, የተለመደው የኦርቶዶክስ መሠረት ተገኝቷል.
! ማስታወሻ : በኦርቶጎን መሠረት ፣ እንዲሁም በአውሮፕላን እና በቦታ አፊን መሠረቶች ውስጥ ፣ በመጥረቢያዎቹ ላይ ያሉ ክፍሎች ይቆጠራሉ። ሁኔታዊ. ለምሳሌ በ x-ዘንጉ ላይ ያለው አንድ አሃድ 4 ሴ.ሜ ሲይዝ እና በተራራው ዘንግ ላይ ያለው አንድ አሃድ 2 ሴ.ሜ ይይዛል ይህ መረጃ አስፈላጊ ከሆነ "መደበኛ ያልሆኑ" መጋጠሚያዎችን ወደ "የእኛ የተለመደው ሴንቲሜትር" ለመለወጥ በቂ ነው.
እና ሁለተኛው ጥያቄ, በትክክል ቀድሞውኑ መልስ ያገኘው, በመሠረታዊ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል መሆን አለበት ወይ? አይ! ትርጉሙ እንደሚለው, መሰረቱ ቬክተሮች መሆን አለባቸው ኮላይነር ያልሆነ ብቻ. በዚህ መሠረት አንግል ከ 0 እና 180 ዲግሪ በስተቀር ማንኛውም ሊሆን ይችላል.
በአውሮፕላኑ ላይ አንድ ነጥብ ተጠርቷል መነሻ, እና ኮላይነር ያልሆነቬክተሮች, , አዘጋጅ አፊን አውሮፕላን ማስተባበሪያ ስርዓት :
አንዳንድ ጊዜ እንዲህ ዓይነቱ የተቀናጀ ሥርዓት ይባላል ግዴለሽስርዓት. እንደ ምሳሌ, ስዕሉ ነጥቦችን እና ቬክተሮችን ያሳያል- 
እርስዎ እንደተረዱት ፣ የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት በጣም ምቹ ነው ፣ በትምህርቱ ሁለተኛ ክፍል ላይ የተነጋገርንባቸው የቪክቶሮች እና ክፍሎች ርዝመት ቀመሮች በእሱ ውስጥ አይሰሩም ። Vectors ለ dummies, ጋር የተያያዙ ብዙ ጣፋጭ ቀመሮች የቬክተሮች scalar ምርት. ነገር ግን ቬክተርን ለመጨመር እና ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ሕጎች፣ በዚህ ግንኙነት ውስጥ ክፍልን ለመከፋፈል ቀመሮች እና ሌሎች በቅርቡ የምንመለከታቸው የችግሮች ዓይነቶች ትክክለኛ ናቸው።
እና መደምደሚያው በጣም ምቹ የሆነው የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት ልዩ ጉዳይ የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት ነው. ለዚያም ነው ብዙውን ጊዜ እሷን ማየት ያለብዎት, ውዴ. ሆኖም ፣ በዚህ ሕይወት ውስጥ ያለው ሁሉም ነገር አንጻራዊ ነው - ብዙ ሁኔታዎች አሉ ፣ የተገደበ አንግል (ወይም ሌላ ፣ ለምሳሌ ፣ የዋልታ) የማስተባበር ሥርዓት. እና ሂውሞይድስ እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ሊወድ ይችላል =)
ወደ ተግባራዊ ክፍል እንሂድ። በዚህ ትምህርት ውስጥ ያሉት ሁሉም ችግሮች ለአራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት እና ለአጠቃላይ የአፊን ጉዳይ ሁለቱም ልክ ናቸው. እዚህ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ሁሉም ቁሳቁሶች ለትምህርት ቤት ልጅ እንኳን ተደራሽ ናቸው.
የአውሮፕላኑን ቬክተሮች ጋራነት እንዴት መወሰን ይቻላል?
የተለመደ ነገር። ለሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ቅደም ተከተል 
ኮላይኔር ነበሩ፣ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።በመሠረቱ፣ ይህ ግልጽ የሆነ ግንኙነትን የሚገልጽ አስተባባሪ-በ-መጋጠሚያ ነው።
ምሳሌ 1
ሀ) ቬክተሮቹ ኮላይኔር መሆናቸውን ያረጋግጡ 
.
ለ) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ? 
?
መፍትሄ፡-
ሀ) ለቬክተሮች መኖር አለመኖሩን እንወቅ 
የተመጣጠነ ጥምርታ፣ እኩልነቶቹ እስኪሟሉ ድረስ፡- 
ይህንን ህግ ተግባራዊ ለማድረግ ስለ "foppish" ስሪት በእርግጠኝነት እነግራችኋለሁ, ይህም በተግባር በጣም ጥሩ ነው. ሃሳቡ ወዲያውኑ መጠኑን ማካካስ እና ትክክል መሆኑን ለማየት ነው፡-
ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ሬሾ እናድርገው፡-
እናሳጥር፡-
ስለዚህ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው, ስለዚህም,
ግንኙነቱ በሌላ መንገድ ሊከናወን ይችላል ፣ ይህ ተመጣጣኝ አማራጭ ነው-
ለራስ-ምርመራ, ያንን እውነታ መጠቀም ይችላሉ ኮላይኔር ቬክተሮችእርስ በእርሳቸው በቀጥታ ይገለጻሉ. በዚህ ሁኔታ, እኩልነቶች ይከናወናሉ 
. ትክክለኛነታቸው በአንደኛ ደረጃ ኦፕሬሽኖች ከቬክተሮች ጋር በቀላሉ ሊረጋገጥ ይችላል፡- 
ለ) ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ኮሊንየር ካልሆኑ (መስመራዊ ገለልተኛ) ካልሆኑ መሠረት ይመሰርታሉ። ቬክተሮችን ለ collinearity እንመረምራለን 
. ስርዓት እንፍጠር፡ 
ከመጀመሪያው እኩልነት ይከተላል, ከሁለተኛው እኩልታ ይከተላል, ይህም ማለት ነው ስርዓቱ ወጥነት የለውም(መፍትሄዎች የሉም)። ስለዚህ, የቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም.
መደምደሚያ: ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ እና መሰረት ይመሰርታሉ.
ቀለል ያለ የመፍትሄው ስሪት ይህንን ይመስላል።
ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች መጠን እናድርገው 
:
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ከመስመር ነጻ ናቸው እና መሰረት ይመሰርታሉ.
ብዙውን ጊዜ ይህ አማራጭ በገምጋሚዎች ውድቅ አይደለም, ነገር ግን አንዳንድ መጋጠሚያዎች ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆኑበት ጊዜ ችግር ይፈጠራል. ልክ እንደዚህ: 
. ወይም እንደዚህ፡- 
. ወይም እንደዚህ፡- 
. እዚህ በተመጣጣኝ መጠን እንዴት እንደሚሰራ? (በእርግጥ በዜሮ መከፋፈል አይችሉም)። በዚህ ምክንያት ነው ቀለል ያለ መፍትሄ "ፎፒሽ" ያልኩት.
መልስ፡-ሀ) ፣ ለ) ቅፅ ።
ለእራስዎ መፍትሄ ትንሽ የፈጠራ ምሳሌ:
ምሳሌ 2
በመለኪያው ምን ዋጋ ላይ ቬክተሮች ናቸው 
ኮላይነር ይሆናሉ?
በናሙና መፍትሄ, መለኪያው በተመጣጣኝ መጠን ይገኛል.
ቬክተሮችን ኮላይኔሪቲ ለመፈተሽ የሚያምር የአልጀብራ መንገድ አለ።እውቀታችንን በስርዓት እናስተካክለው እና እንደ አምስተኛው ነጥብ እንጨምር፡-
ለሁለት አውሮፕላን ቬክተሮች የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው:
2) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ;
3) ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም;
+ 5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ዜሮ ነው።.
በቅደም ተከተል፣ የሚከተሉት ተቃራኒ መግለጫዎች እኩል ናቸው።:
1) ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው;
2) ቬክተሮች መሰረት አይፈጥሩም;
3) ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው;
4) ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር ሊገለጹ ይችላሉ;
+ 5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.
እኔ በእውነት፣ በእውነት ተስፋ አደርጋለሁ በዚህ ቅጽበትየሚያገኟቸውን ሁሉንም ውሎች እና መግለጫዎች አስቀድመው ተረድተዋል.
አዲሱን አምስተኛውን ነጥብ በዝርዝር እንመልከት፡- ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች 
ከተሰጡት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ኮሊኔር ናቸው:: ይህንን ባህሪ ለመጠቀም, በእርግጥ, መቻል አለብዎት መወሰኛዎችን ያግኙ.
እንወስንምሳሌ 1 በሁለተኛው መንገድ፡-
ሀ) ከቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው 
:
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው.
ለ) ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ኮሊንየር ካልሆኑ (መስመራዊ ገለልተኛ) ካልሆኑ መሠረት ይመሰርታሉ። በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው። 
:
, ይህም ማለት ቬክተሮች ከመስመር ነጻ ናቸው እና መሰረት ይመሰርታሉ.
መልስ፡-ሀ) ፣ ለ) ቅፅ ።
በተመጣጣኝ መጠን ከመፍትሔው የበለጠ የታመቀ እና የሚያምር ይመስላል።
በተገመተው ቁሳቁስ እገዛ የቬክተሮችን ኮሊኔሪቲ ብቻ ሳይሆን የክፍሎችን እና ቀጥታ መስመሮችን ትይዩነት ማረጋገጥ ይቻላል. የተወሰኑ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ያላቸውን ሁለት ችግሮች እንመልከት።
ምሳሌ 3
የአራት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል. ባለአራት ጎን ትይዩ መሆኑን ያረጋግጡ።
ማረጋገጫ: በችግሩ ውስጥ ስዕል መፍጠር አያስፈልግም, ምክንያቱም መፍትሄው ሙሉ በሙሉ ትንታኔ ይሆናል. ትይዩአዊ ፍቺውን እናስታውስ፡-
Parallelogram
ተቃራኒ ጎኖቹ በጥንድ ትይዩ የሆነ ባለአራት ጎን ይባላል።
ስለዚህም የሚከተለውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።
1) የተቃራኒ ጎኖች ትይዩነት እና;
2) የተቃራኒ ጎኖች ትይዩ እና.
እናረጋግጣለን፡-
1) ቫይረሶችን ይፈልጉ; 
2) ቫክተሮችን ይፈልጉ; 
ውጤቱም ተመሳሳይ ቬክተር ነው ("እንደ ትምህርት ቤት" - እኩል ቬክተር). ኮሊኔሪቲ በጣም ግልፅ ነው ፣ ግን ውሳኔውን በግልፅ ፣ በዝግጅት ማድረግ የተሻለ ነው። በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡- 
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው, እና.
መደምደሚያ: የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ ትይዩ ናቸው ይህም ማለት በትርጉም ትይዩ ነው. ጥ.ኢ.ዲ.
የበለጠ ጥሩ እና የተለያዩ አሃዞች:
ምሳሌ 4
የአራት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትራፔዞይድ መሆኑን ያረጋግጡ.
የማረጋገጫው የበለጠ ጥብቅ አሠራር, በእርግጥ, የ trapezoid ፍቺን ማግኘት የተሻለ ነው, ነገር ግን ምን እንደሚመስል በቀላሉ ማስታወስ በቂ ነው.
ይህ በራስዎ የመፍታት ተግባር ነው። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ.
እና አሁን ከአውሮፕላኑ ወደ ጠፈር ቀስ ብሎ ለመንቀሳቀስ ጊዜው አሁን ነው-
የጠፈር ቬክተሮች የጋራነት እንዴት እንደሚወሰን?
ደንቡ በጣም ተመሳሳይ ነው. ሁለት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይኔር እንዲሆኑ፣ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ እንዲሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ነው።.
ምሳሌ 5
የሚከተሉት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይነር መሆናቸውን እወቅ፡
ሀ) ;
ለ)
ቪ) 
መፍትሄ፡-
ሀ) ለተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተመጣጣኝነት ቅንጅት መኖሩን እንፈትሽ፡-
ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.
"ቀለል ያለ" መጠኑን በማጣራት መደበኛ ነው. በዚህ ሁኔታ፡-
- ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.
መልስ፡-ቬክተሮቹ ኮላይኔር አይደሉም.
ለ-ሐ) እነዚህ ለገለልተኛ ውሳኔ ነጥቦች ናቸው. በሁለት መንገዶች ይሞክሩት።
በሦስተኛ ደረጃ መወሰኛ በኩል የቦታ ቬክተሮችን ለኮላይኔሪቲነት ለማረጋገጥ የሚያስችል ዘዴ አለ፤ ይህ ዘዴ በአንቀጹ ውስጥ ተካትቷል። የቬክተር የቬክተር ምርት.
ከአውሮፕላኑ መያዣው ጋር ተመሳሳይነት ያላቸው መሳሪያዎች የቦታ ክፍሎችን እና ቀጥታ መስመሮችን ትይዩነት ለማጥናት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ.
እንኳን ወደ ሁለተኛው ክፍል በደህና መጡ፡-
በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ እና ነጻነት.
የቦታ መሠረት እና የአፊን ቅንጅት ስርዓት
በአውሮፕላኑ ላይ የመረመርናቸው ብዙዎቹ ቅጦች ለቦታ ልክ ይሆናሉ። የመረጃው የአንበሳውን ድርሻ ቀድሞውኑ ስለታኘክ የንድፈ ሃሳብ ማስታወሻዎችን ለማሳነስ ሞከርኩ። ይሁን እንጂ የመግቢያውን ክፍል በጥንቃቄ እንዲያነቡ እመክራለሁ, ምክንያቱም አዲስ ውሎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች ስለሚታዩ.
አሁን, ከኮምፒዩተር ጠረጴዛው አውሮፕላን ይልቅ, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን እንቃኛለን. በመጀመሪያ, መሠረቱን እንፍጠር. አንድ ሰው አሁን በቤት ውስጥ ነው, አንድ ሰው ከቤት ውጭ ነው, ነገር ግን በማንኛውም ሁኔታ, ሶስት ልኬቶችን ማምለጥ አንችልም: ስፋት, ርዝመት እና ቁመት. ስለዚህ, መሰረትን ለመገንባት, ሶስት የቦታ ቬክተሮች ያስፈልጋሉ. አንድ ወይም ሁለት ቬክተሮች በቂ አይደሉም, አራተኛው ከመጠን በላይ ነው.
እና እንደገና በጣቶቻችን ላይ እናሞቅላለን. እባክህ እጅህን ወደ ላይ አንስተህ ዘርጋ የተለያዩ ጎኖች አውራ ጣት, መረጃ ጠቋሚ እና መካከለኛ ጣት. እነዚህ ቬክተሮች ይሆናሉ, በተለያዩ አቅጣጫዎች ይመለከታሉ, የተለያየ ርዝመት አላቸው እና በእራሳቸው መካከል የተለያዩ ማዕዘኖች አሏቸው. እንኳን ደስ አለዎት, የሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ዝግጁ ነው! በነገራችን ላይ ጣቶቻችሁን የቱንም ያህል ብታጣምሙ ይህንን ለአስተማሪዎች ማሳየት አያስፈልግም ነገር ግን ከትርጓሜዎች ማምለጥ አይቻልም =)
በመቀጠል አንድ ጠቃሚ ጥያቄ እራሳችንን እንጠይቅ፡- ማንኛውም ሶስት ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ይመሰርታሉ? እባክዎን ሶስት ጣቶችን በኮምፒተር ዴስክ አናት ላይ አጥብቀው ይጫኑ። ምን ሆነ? ሦስት ቬክተሮች በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛሉ, እና, በግምት, እኛ ልኬቶች መካከል አንዱ አጥተዋል - ቁመት. እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ናቸው ኮፕላላርእና, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት አለመፈጠሩ በጣም ግልጽ ነው.
ኮፕላላር ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ መዋሸት እንደሌለባቸው ልብ ሊባል ይገባል, ወደ ውስጥ ሊገቡ ይችላሉ ትይዩ አውሮፕላኖች(ይህን በጣቶችዎ ብቻ አያድርጉ, በዚህ መንገድ ሳልቫዶር ዳሊ ብቻ ነው የወጣው =)).
ፍቺ: ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮፕላላር, እነሱ ትይዩ የሆኑበት አውሮፕላን ካለ. እዚህ ላይ መጨመር ምክንያታዊ ነው, እንደዚህ አይነት አውሮፕላን ከሌለ, ከዚያም ቬክተሮች ኮፕላላር አይሆኑም.
ሶስት ኮፕላላር ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።ማለትም እርስ በርሳቸው በመስመር ይገለጣሉ ማለት ነው። ለቀላልነት፣ እነሱ በአንድ አውሮፕላን ውስጥ እንደሚዋሹ እንደገና እናስብ። በመጀመሪያ, ቬክተሮች ኮፕላላር ብቻ አይደሉም, ኮላይኔርም ሊሆኑ ይችላሉ, ከዚያም ማንኛውም ቬክተር በማንኛውም ቬክተር ሊገለጽ ይችላል. በሁለተኛው ጉዳይ ላይ ፣ ለምሳሌ ፣ ቬክተሮች ኮሊነር ካልሆኑ ፣ ሦስተኛው ቬክተር በልዩ መንገድ በእነሱ በኩል ይገለጻል ። 
(እና በቀደመው ክፍል ውስጥ ካሉት ቁሳቁሶች ለመገመት ቀላል የሆነው ለምንድነው).
ንግግሩም እውነት ነው፡- ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ገለልተኛ ናቸው።ማለትም እርስ በርሳቸው በምንም መንገድ አልተገለጹም። እና, በግልጽ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ብቻ የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ሊፈጥሩ ይችላሉ.
ፍቺ: ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረትበመስመር ላይ ገለልተኛ (ኮፕላነር ያልሆኑ) ቬክተሮች ሶስት እጥፍ ይባላል ፣ በተወሰነ ቅደም ተከተል ተወስዷል, እና ማንኛውም የቦታ ቬክተር ብቸኛው መንገድበዚህ መሠረት የቬክተር መጋጠሚያዎች ባሉበት በተወሰነው መሠረት መበስበስ ነው
ቬክተር በቅጹ ውስጥ ተወክሏል ማለት እንደምንችል ላስታውስህ መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች.
የመጋጠሚያ ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ ልክ እንደ አውሮፕላን ጉዳይ ተመሳሳይ በሆነ መንገድ አስተዋውቋል ፣ አንድ ነጥብ እና ማንኛውም ሶስት መስመር ላይ ያሉ ገለልተኛ ቫክተሮች በቂ ናቸው ።
መነሻ, እና ኮፕላላር ያልሆነቬክተሮች, በተወሰነ ቅደም ተከተል ተወስዷል, አዘጋጅ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ affine coordinate system
:
እርግጥ ነው, የመጋጠሚያው ፍርግርግ "ግዴታ" እና የማይመች ነው, ነገር ግን, ነገር ግን, የተገነባው የማስተባበር ስርዓት ይፈቅድልናል. በእርግጠኝነትየማንኛውንም ቬክተር መጋጠሚያዎች እና የቦታ ቦታዎችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ. ከአውሮፕላን ጋር በሚመሳሰል መልኩ፣ ቀደም ብዬ የጠቀስኳቸው አንዳንድ ቀመሮች በአፊን መጋጠሚያ የቦታ ስርዓት ውስጥ አይሰሩም።
ሁሉም ሰው እንደሚገምተው የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት በጣም የተለመደው እና ምቹ ልዩ ጉዳይ ነው። አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የቦታ መጋጠሚያ ስርዓት:
በጠፈር ውስጥ ያለ ነጥብ ይባላል መነሻ, እና ኦርቶዶክሳዊመሰረቱ ተዘጋጅቷል የካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የጠፈር መጋጠሚያ ስርዓት
. የሚታወቅ ሥዕል 
ወደ ተግባራዊ ተግባራት ከመሄዳችን በፊት፣ መረጃውን እንደገና እናስተካክል፡-
ለሶስት የጠፈር ቬክተሮች የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው:
1) ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው;
2) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ;
3) ቬክተሮች ኮፕላላር አይደሉም;
4) ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር ሊገለጹ አይችሉም;
5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተውጣጣው ወሳኙ ከዜሮ የተለየ ነው.
እኔ እንደማስበው ተቃራኒዎቹ መግለጫዎች ሊረዱ የሚችሉ ናቸው.
የመስመራዊ ጥገኝነት/የጠፈር ቬክተሮች ገለልተኛነት በባህላዊ መንገድ መወሰኛ (ነጥብ 5) በመጠቀም ይፈትሻል። የቀረው ተግባራዊ ተግባራትግልጽ የሆነ የአልጀብራ ባሕርይ ይኖረዋል። የጂኦሜትሪ ዱላውን ለመስቀል እና የመስመራዊ አልጀብራ ቤዝቦል ባት ለመጠቀም ጊዜው አሁን ነው።
የቦታ ሶስት ቬክተሮችከተሰጡት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ኮፕላላር ናቸው፡ 
.
ትኩረታችሁን ወደ ትንሽ ቴክኒካዊ ልዩነት ለመሳብ እፈልጋለሁ: የቬክተሮች መጋጠሚያዎች በአምዶች ውስጥ ብቻ ሳይሆን በመደዳዎች ውስጥ ሊጻፉ ይችላሉ (የመወሰን ዋጋ በዚህ ምክንያት አይለወጥም - የመወሰን ባህሪያትን ይመልከቱ). ነገር ግን አንዳንድ ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት የበለጠ ጠቃሚ ስለሆነ በአምዶች ውስጥ በጣም የተሻለ ነው.
ለእነዚያ አንባቢዎች የመወሰን ዘዴዎችን ትንሽ ለዘነጉ ወይም ስለእነሱ ትንሽ ግንዛቤ ለሌላቸው አንባቢዎች ከጥንታዊ ትምህርቶቼ ውስጥ አንዱን እመክራለሁ- ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?
ምሳሌ 6
የሚከተሉት ቬክተሮች የሶስት-ልኬት ቦታ መሰረት መሆናቸውን ያረጋግጡ፡
መፍትሄ: እንደ እውነቱ ከሆነ, አጠቃላይ መፍትሔው የሚወስነውን በማስላት ላይ ነው.
ሀ) በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው (ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተገልጿል) 
, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ (ኮፕላላር ሳይሆን) እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.
መልስእነዚህ ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ
ለ) ይህ የገለልተኛ ውሳኔ ነጥብ ነው. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.
እንዲሁም የፈጠራ ስራዎች አሉ-
ምሳሌ 7
በምን አይነት መለኪያ መለኪያ ቬክተሮች ኮፕላላር ይሆናሉ?
መፍትሄየእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ቬክተሮች ኮፕላላር ናቸው፡ 
በመሠረቱ፣ ከወሳኙ ጋር እኩልታ መፍታት ያስፈልግዎታል። በጄርቦስ ላይ እንደ ካይትስ ያሉ ዜሮዎችን እናጠፋለን - ወሳኙን በሁለተኛው መስመር ውስጥ መክፈት እና ወዲያውኑ ማነስን ማስወገድ ጥሩ ነው- 
ተጨማሪ ማቃለያዎችን እናከናውናለን እና ጉዳዩን ወደ ቀላሉ እንቀንሳለን መስመራዊ እኩልታ:
መልስ: በ
እዚህ መፈተሽ ቀላል ነው፣ ይህንን ለማድረግ የተገኘውን እሴት ወደ ዋናው መወሰኛ መተካት እና ያንን ያረጋግጡ። 
፣ እንደገና ይከፍታል።
በማጠቃለያው አንድ ተጨማሪ እንመልከት የተለመደ ተግባርበተፈጥሮ ውስጥ የበለጠ አልጀብራ ያለው እና በባህላዊው የመስመር አልጀብራ ሂደት ውስጥ የተካተተ ነው። በጣም የተለመደ ስለሆነ የራሱ ርዕስ ይገባዋል፡-
3 ቬክተሮች የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት እንደሚያደርጉ ያረጋግጡ
እና በዚህ መሠረት የ 4 ኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ
ምሳሌ 8
ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮች በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ መሰረት እንደሚፈጥሩ አሳይ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ.
መፍትሄበመጀመሪያ, ሁኔታውን እንይ. እንደ ሁኔታው, አራት ቬክተሮች ተሰጥተዋል, እና እርስዎ እንደሚመለከቱት, ቀድሞውኑ በተወሰነ ደረጃ መጋጠሚያዎች አሏቸው. ይህ መሠረት የሆነው ለእኛ ፍላጎት አይደለም. እና የሚከተለው ነገር ትኩረት የሚስብ ነው-ሦስት ቬክተሮች በደንብ አዲስ መሠረት ሊፈጥሩ ይችላሉ. እና የመጀመሪያው ደረጃ ከምሳሌ 6 መፍትሄ ጋር ሙሉ በሙሉ ይዛመዳል ፣ ቬክተሮች በእውነት በመስመር ገለልተኛ መሆናቸውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል ።
በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡- 
, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.
! አስፈላጊ የቬክተር መጋጠሚያዎች የግድጹፍ መጻፍ ወደ አምዶችበገመድ ሳይሆን ቆራጥ። አለበለዚያ, ተጨማሪ የመፍትሄው ስልተ ቀመር ውስጥ ግራ መጋባት ይኖራል.
