ብዙዎች፣ “የይችላል ንድፈ ሐሳብ” ጽንሰ-ሐሳብ ሲገጥማቸው፣ በጣም የሚያስደንቅ፣ በጣም የተወሳሰበ ነገር እንደሆነ በማሰብ ይፈራሉ። ነገር ግን ሁሉም ነገር በእውነቱ በጣም አሳዛኝ አይደለም. ዛሬ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብን እንመለከታለን እና የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም ችግሮችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ እንማራለን.

ሳይንስ

እንደ “የይቻላል ንድፈ ሐሳብ” የሂሳብ ክፍል ምን ያጠናል? ቅጦችን እና መጠኖችን ታስታውሳለች። ሳይንቲስቶች ለመጀመሪያ ጊዜ በዚህ ጉዳይ ላይ ፍላጎት ያደረባቸው በአሥራ ስምንተኛው ክፍለ ዘመን, ቁማር ሲያጠኑ ነው. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ክስተት ነው። በልምድ ወይም በትዝብት የተመሰረተ ማንኛውም እውነታ ነው። ግን ልምድ ምንድን ነው? ሌላው መሠረታዊ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. ይህ የሁኔታዎች ስብስብ የተፈጠረው በአጋጣሚ ሳይሆን ለተወሰነ ዓላማ ነው ማለት ነው። ስለ ምልከታ, እዚህ ላይ ተመራማሪው እራሱ በሙከራው ውስጥ አይሳተፍም, ነገር ግን በቀላሉ ለእነዚህ ክስተቶች ምስክር ነው;

ክስተቶች

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ክስተት መሆኑን ተምረናል ነገርግን ምደባውን አላጤንነውም። ሁሉም በሚከተሉት ምድቦች ተከፍለዋል.

• አስተማማኝ።
• የማይቻል።
• በዘፈቀደ.

በልምድ ወቅት ምን አይነት ክስተቶች ቢሆኑ፣ ቢታዩም ወይም ቢፈጠሩ ሁሉም ለዚህ ምድብ ተገዢ ናቸው። ከእያንዳንዱ አይነት ጋር እንዲተዋወቁ እንጋብዝዎታለን.

አስተማማኝ ክስተት

ይህ አስፈላጊው የእርምጃዎች ስብስብ የተወሰደበት ሁኔታ ነው. ምንነቱን የበለጠ ለመረዳት ጥቂት ምሳሌዎችን መስጠት የተሻለ ነው። ፊዚክስ፣ ኬሚስትሪ፣ ኢኮኖሚክስ እና ከፍተኛ ሂሳብ በዚህ ህግ ተገዢ ናቸው። የአቅም ፅንሰ-ሀሳብ እንደ አስተማማኝ ክስተት እንደ አስፈላጊ ጽንሰ-ሀሳብ ያካትታል. አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ፡-

• እንሰራለን እና ካሳ እንቀበላለን በደመወዝ መልክ።
• ፈተናዎችን በጥሩ ሁኔታ አልፈናል, ውድድሩን አልፈናል, ለዚህም ወደ ትምህርት ተቋም በመግባት ሽልማት እናገኛለን.
• በባንክ ውስጥ ገንዘብ አውጥተናል፣ አስፈላጊ ከሆነም እንመልሰዋለን።

እንደነዚህ ያሉ ክስተቶች አስተማማኝ ናቸው. ሁሉንም አስፈላጊ ሁኔታዎች ካሟላን, በእርግጠኝነት የሚጠበቀው ውጤት እናገኛለን.

የማይቻሉ ክስተቶች

አሁን የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አካላትን እያጤንን ነው። ወደ ቀጣዩ የዝግጅቱ አይነት ማለትም የማይቻል ወደ ማብራርያ ለመሄድ እንመክራለን. በመጀመሪያ, በጣም አስፈላጊ የሆነውን ህግ እናስቀምጥ - የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው.

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ አንድ ሰው ከዚህ አጻጻፍ ሊወጣ አይችልም. ለማብራራት የእንደዚህ አይነት ክስተቶች ምሳሌዎች እዚህ አሉ

• ውሃው በፕላስ አስር የሙቀት መጠን ቀዘቀዘ (ይህ የማይቻል ነው)።
• የኤሌክትሪክ እጥረት በምንም መልኩ ምርትን አይጎዳውም (ልክ እንደ ቀድሞው ምሳሌ የማይቻል ነው).

ከዚህ በላይ የተገለጹት የዚህን ምድብ ምንነት በግልፅ ስለሚያንፀባርቁ ተጨማሪ ምሳሌዎችን መስጠት ተገቢ አይደለም ። በማንኛውም ሁኔታ በሙከራ ጊዜ የማይቻል ክስተት ፈጽሞ አይከሰትም.

የዘፈቀደ ክስተቶች

ንጥረ ነገሮቹን በሚያጠኑበት ጊዜ ለዚህ ዓይነቱ ክስተት ልዩ ትኩረት መስጠት አለበት. ሳይንስ የሚያጠናው ይህ ነው። በተሞክሮው ምክንያት የሆነ ነገር ሊከሰትም ላይሆንም ይችላል። በተጨማሪም, ፈተናው ያልተገደበ ቁጥር ሊደረግ ይችላል. ግልጽ ምሳሌዎች የሚከተሉትን ያካትታሉ:

• የሳንቲም መወርወር ልምድ ወይም ፈተና ነው, የጭንቅላት ማረፊያ ክስተት ነው.
• ኳስን ከከረጢት ውስጥ በጭፍን ማውጣት ፈተና ነው;

እንደነዚህ ያሉ ምሳሌዎች ያልተገደበ ቁጥር ሊኖሩ ይችላሉ, ግን በአጠቃላይ, ዋናው ነገር ግልጽ መሆን አለበት. ስለ ክስተቶቹ የተገኘውን እውቀት ለማጠቃለል እና ለማደራጀት, ሰንጠረዥ ቀርቧል. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ጥናቶች የቀረቡት የሁሉም የመጨረሻ ዓይነቶች ብቻ ናቸው።

ህጎች

ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አንድ ክስተት ሊከሰት የሚችልበትን ሁኔታ የሚያጠና ሳይንስ ነው። እንደ ሌሎቹ, አንዳንድ ደንቦች አሉት. የሚከተሉት የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ሕጎች አሉ፡-

• የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል መቀላቀል።
• የትላልቅ ቁጥሮች ህግ.

አንድ ውስብስብ ነገር ሊኖር የሚችልበትን ሁኔታ ሲያሰሉ ቀላል እና ፈጣን በሆነ መንገድ ውጤቱን ለማግኘት የቀላል ክስተቶችን ስብስብ መጠቀም ይችላሉ። የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ህጎች በቀላሉ የተወሰኑ ንድፈ ሃሳቦችን በመጠቀም የተረጋገጡ መሆናቸውን ልብ ይበሉ። በመጀመሪያ ከመጀመሪያው ህግ ጋር እንዲተዋወቁ እንመክራለን.

የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል መቀላቀል

በርካታ የመገጣጠም ዓይነቶች እንዳሉ ልብ ይበሉ:

• የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል በፕሮባቢሊቲ ውስጥ ይሰበሰባል።
• ፈጽሞ የማይቻል ነው።
• የአማካይ ካሬ መጋጠሚያ።
• የስርጭት ውህደት.

ስለዚህ, ልክ ከሌሊት ወፍ, ምንነቱን ለመረዳት በጣም አስቸጋሪ ነው. ይህንን ርዕስ ለመረዳት የሚረዱዎት ትርጓሜዎች እዚህ አሉ። በመጀመሪያ እይታ እንጀምር. ቅደም ተከተል ይባላል በፕሮባቢሊቲ ውስጥ convergent, የሚከተለው ሁኔታ ከተሟላ: n ወደ ማለቂያ የለውም, ቅደም ተከተል ያለው ቁጥር ከዜሮ በላይ እና ወደ አንድ ቅርብ ነው.

ወደ ቀጣዩ እይታ እንሂድ በእርግጠኝነት ማለት ይቻላል. ቅደም ተከተላቸው ይሰበሰባል ተብሏል። በእርግጠኝነት ማለት ይቻላልወደ አንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ n ወደ ወሰን አልባነት እና P ለአንድነት ቅርብ የሆነ እሴት በመያዝ።

የሚቀጥለው ዓይነት ነው አማካይ የካሬ መጋጠሚያ. SC convergence በሚጠቀሙበት ጊዜ የቬክተር የዘፈቀደ ሂደቶች ጥናት ወደ አስተባባሪ የዘፈቀደ ሂደቶች ጥናት ይቀንሳል.

የመጨረሻው ዓይነት ይቀራል, በቀጥታ ችግሮችን ለመፍታት እንድንችል በአጭሩ እንመልከተው. በስርጭት ውስጥ ያለው ውህደት ሌላ ስም አለው - “ደካማ” ፣ እና ለምን በኋላ ላይ እናብራራለን። ደካማ ውህደትየመገደብ ስርጭት ተግባር በሁሉም ቀጣይነት ቦታዎች ላይ የማከፋፈያ ተግባራት መገጣጠም ነው።

የገባነውን ቃል በእርግጠኝነት እንፈጽማለን፡ ደካማ መገጣጠም ከላይ ከተጠቀሱት ሁሉ ይለያል ምክንያቱም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በአቅም ቦታ ላይ አልተገለጸም። ይህ ሊሆን የቻለው ሁኔታው ​​የተፈጠረው የማከፋፈያ ተግባራትን በመጠቀም ብቻ ስለሆነ ነው.

የትልቅ ቁጥሮች ህግ

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ንድፈ ሃሳቦች፣ እንደ፡-

• የ Chebyshev እኩልነት.
• የ Chebyshev ጽንሰ-ሐሳብ.
• አጠቃላይ የ Chebyshev ጽንሰ-ሐሳብ.
• የማርኮቭ ጽንሰ-ሐሳብ.

እነዚህን ሁሉ ጽንሰ-ሐሳቦች ከተመለከትን, ይህ ጥያቄ ለብዙ ደርዘን ሉሆች ሊጎተት ይችላል. የእኛ ዋና ሥራ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብን በተግባር ላይ ማዋል ነው። ይህንን አሁኑኑ እንዲያደርጉ እንመክርዎታለን። ነገር ግን ከዚያ በፊት, የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞችን እንመልከታቸው, ችግሮችን ለመፍታት ዋና ረዳቶች ይሆናሉ.

Axioms

ስለ የማይቻል ክስተት ስንነጋገር ከመጀመሪያው ጋር ተገናኘን. እናስታውስ፡ የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው። በጣም ግልጽ እና የማይረሳ ምሳሌ ሰጥተናል፡ በረዶ በሠላሳ ዲግሪ ሴልሺየስ የአየር ሙቀት ወደቀ።

ሁለተኛው እንደሚከተለው ነው-አስተማማኝ ክስተት የሚከሰተው ከአንድ እኩል እድል ጋር ነው. አሁን ይህንን የሂሳብ ቋንቋ በመጠቀም እንዴት እንደሚፃፍ እናሳያለን-P(B)=1.

ሦስተኛ፡ የዘፈቀደ ክስተት ሊከሰትም ላይሆንም ይችላል፣ ነገር ግን ዕድሉ ሁልጊዜ ከዜሮ ወደ አንድ ይደርሳል። እሴቱ ወደ አንድ ሲጠጋ ዕድሉ እየጨመረ ይሄዳል; እሴቱ ወደ ዜሮ ከተቃረበ, እድሉ በጣም ዝቅተኛ ነው. ይህንን በሂሳብ ቋንቋ እንፃፍ፡ 0<Р(С)<1.

የመጨረሻውን ፣ አራተኛውን አክሲየም እናስብ ፣ እሱም እንደዚህ ይመስላል-የሁለት ክስተቶች ድምር ዕድል ከእድላቸው ድምር ጋር እኩል ነው። እኛ በሒሳብ ቋንቋ እንጽፋለን፡ P(A+B)=P(A)+P(B)።

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞች ለማስታወስ የማይከብዱ በጣም ቀላሉ ህጎች ናቸው። ባገኘነው እውቀት መሰረት አንዳንድ ችግሮችን ለመፍታት እንሞክር።

የሎተሪ ቲኬት

በመጀመሪያ, ቀላሉን ምሳሌ እንመልከት - ሎተሪ. ለመልካም እድል አንድ የሎተሪ ቲኬት እንደገዛህ አድርገህ አስብ። ቢያንስ ሃያ ሩብልስ የማሸነፍ እድሉ ምን ያህል ነው? በአጠቃላይ አንድ ሺህ ትኬቶች በስርጭት ላይ እየተሳተፉ ሲሆን ከነዚህም አንዱ የአምስት መቶ ሩብል ሽልማት ያለው፣ አስሩ እያንዳንዳቸው መቶ ሩብል፣ ሃምሳ ሃያ ሩብል እና አንድ መቶ የአምስት ሽልማት አላቸው። የችግሮች ችግር ዕድልን በመፈለግ ላይ የተመሰረተ ነው. አሁን ከላይ ለተጠቀሰው ተግባር መፍትሄውን በጋራ እንመረምራለን ።

የአምስት መቶ ሩብሎችን ድል ለመጠቆም ሀ የሚለውን ፊደል ከተጠቀምን, A የማግኘት እድሉ ከ 0.001 ጋር እኩል ይሆናል. ይህንን እንዴት አገኘን? የ "እድለኛ" ቲኬቶችን ቁጥር በጠቅላላ ቁጥራቸው ማካፈል ብቻ ያስፈልግዎታል (በዚህ ጉዳይ ላይ: 1/1000).

B የአንድ መቶ ሩብሎች ድል ነው, እድሉ 0.01 ይሆናል. አሁን እኛ በቀደመው ድርጊት (10/1000) ላይ ባለው ተመሳሳይ መርህ ላይ ሠርተናል

ሐ - አሸናፊዎቹ ሃያ ሩብልስ ናቸው። እድሉን እናገኛለን, ከ 0.05 ጋር እኩል ነው.

የሽልማት ፈንድ በሁኔታው ላይ ከተጠቀሰው ያነሰ ስለሆነ የቀሩትን ቲኬቶች ፍላጎት የለንም ። አራተኛውን አክሱም እንተገብረው፡ ቢያንስ ሃያ ሩብል የማሸነፍ እድሉ P(A)+P(B)+P(C) ነው። ፊደሉ ፒ የአንድ የተወሰነ ክስተት የመከሰት እድልን በቀድሞ ድርጊቶች ውስጥ አግኝተናል. የሚቀረው አስፈላጊውን መረጃ መጨመር ነው, እና ያገኘነው መልስ 0.061 ነው. ይህ ቁጥር ለተግባር ጥያቄው መልስ ይሆናል.

የካርድ ወለል

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ ችግሮች የበለጠ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ, ለምሳሌ, የሚከተለውን ተግባር እንውሰድ. ከፊት ለፊትዎ ሠላሳ ስድስት ካርዶች የመርከቧ ወለል አለ። የእርስዎ ተግባር አንድ ቁልል በውዝ ያለ በአንድ ረድፍ ውስጥ ሁለት ካርዶችን መሳል ነው, የመጀመሪያው እና ሁለተኛ ካርዶች aces መሆን አለበት, ጉዳዩ ምንም አይደለም.

በመጀመሪያ ፣ የመጀመሪያው ካርድ ኤሲ የመሆን እድሉን እንፈልግ ፣ ለዚህም አራቱን በሰላሳ ስድስት እናካፍላለን። ወደ ጎን አስቀመጡት። ሁለተኛውን ካርድ እናወጣለን, ሶስት ሠላሳ አምስተኛ ሊሆን የሚችል ኤሲ ይሆናል. የሁለተኛው ክስተት ዕድል በመጀመሪያ በምንሳልበት ካርድ ላይ የተመሰረተ ነው, አሴ ነበር ወይስ አይደለም ብለን እናስባለን. ከዚህ በመነሳት ክስተት B በክስተት A ላይ ይወሰናል.

ቀጣዩ እርምጃ በአንድ ጊዜ የመከሰት እድልን መፈለግ ነው ፣ ማለትም ፣ እናባዛቸዋለን ሀ እና ለ. ምርታቸው እንደሚከተለው ይገኛል-የአንደኛውን ክስተት ዕድል በሌላ ሁኔታዊ ዕድል እናባዛለን ፣ ይህም የመጀመሪያውን ብለን እናሰላለን ። ክስተት ተከስቷል፣ ማለትም፣ ከመጀመሪያው ካርድ ጋር አንድ አሴን ሳብን።

ሁሉንም ነገር ግልጽ ለማድረግ፣ ለእንደዚህ አይነት አካል እንደ ክስተቶች ስያሜ እንስጥ። ክስተት ሀ እንደተከሰተ በማሰብ ይሰላል። እንደሚከተለው ይሰላል: P (B / A).

ችግራችንን መፍታት እንቀጥል፡ P(A * B) = P(A) * P(B/A) or P(A *B) = P(B) * P(A/B)። ዕድሉ ከ (4/36) * ((3/35)/(4/36) ጋር እኩል ነው።ወደ መቶኛ በማጠጋጋት እናሰላለን። 0.09 በተከታታይ ሁለት አሴዎችን የመሳል እድሉ ዘጠኝ መቶኛ ነው, ይህም ማለት የዝግጅቱ እድል በጣም ትንሽ ነው.

የተረሳ ቁጥር

በአቅም ፅንሰ-ሀሳብ የተጠኑ በርካታ ተጨማሪ ተለዋጮችን ለመተንተን ሀሳብ አቅርበናል። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አንዳንዶቹን የመፍታት ምሳሌዎችን ከዚህ በፊት አይተሃል የሚከተለውን ችግር ለመፍታት እንሞክር፡ ልጁ የጓደኛውን ስልክ ቁጥር የመጨረሻውን አሃዝ ረሳው ነገር ግን ጥሪው በጣም አስፈላጊ ስለነበር ሁሉንም ነገር አንድ በአንድ መደወል ጀመረ። . ከሶስት እጥፍ ያልበለጠ የመደወል እድልን ማስላት ያስፈልገናል. የችግሩ መፍትሔ ቀላል የሚሆነው የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ሕጎች፣ ሕጎች እና አክሶሞች የሚታወቁ ከሆነ ነው።

መፍትሄውን ከመመልከትዎ በፊት, እራስዎን ለመፍታት ይሞክሩ. የመጨረሻው አሃዝ ከዜሮ ወደ ዘጠኝ ማለትም በአጠቃላይ አስር ​​እሴቶች ሊሆን እንደሚችል እናውቃለን. ትክክለኛውን የማግኘት እድሉ 1/10 ነው።

በመቀጠል ለክስተቱ አመጣጥ አማራጮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን, ልጁ በትክክል እንደገመተ እና ወዲያውኑ ትክክለኛውን መተየብ, የዚህ ዓይነቱ ክስተት ዕድል 1/10 ነው. ሁለተኛው አማራጭ፡ የመጀመሪያው ጥሪ ቀርቷል፣ ሁለተኛው ደግሞ ዒላማው ላይ ነው። የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን እናሰላለን፡ 9/10ን በ1/9 ማባዛት እና በውጤቱም 1/10 እናገኛለን። ሦስተኛው አማራጭ: የመጀመሪያው እና ሁለተኛው ጥሪዎች በተሳሳተ አድራሻ ተገለጡ, በሦስተኛው ብቻ ልጁ ወደ ፈለገበት ቦታ ደረሰ. የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን እናሰላለን-9/10 በ 8/9 እና 1/8 ተባዝቷል ፣ ውጤቱም 1/10። እንደ ችግሩ ሁኔታ ሌሎች አማራጮች ፍላጎት የለንም, ስለዚህ የተገኘውን ውጤት ብቻ መደመር አለብን, በመጨረሻ 3/10 አለን. መልስ: ልጁ ከሶስት ጊዜ ያልበለጠ የመደወል እድሉ 0.3 ነው.

ቁጥሮች ያላቸው ካርዶች

ከፊት ለፊትዎ ዘጠኝ ካርዶች አሉ, በእያንዳንዳቸው ላይ ከአንድ እስከ ዘጠኝ ያለው ቁጥር ተጽፏል, ቁጥሮቹ አይደገሙም. በሳጥን ውስጥ ተጭነው በደንብ ተቀላቅለዋል. የዚያን ዕድል ማስላት ያስፈልግዎታል

• እኩል የሆነ ቁጥር ይታያል;
• ባለ ሁለት አሃዝ.

ወደ መፍትሄው ከመሄዳችን በፊት, m የተሳካላቸው ጉዳዮች ቁጥር እንደሆነ እና n አጠቃላይ የአማራጮች ቁጥር እንደሆነ እንገልፃለን. ቁጥሩ እኩል ሊሆን የሚችልበትን ዕድል እንፈልግ። አራት እኩል ቁጥሮች እንዳሉ ለማስላት አስቸጋሪ አይሆንም, ይህ የእኛ m ይሆናል, በአጠቃላይ ዘጠኝ ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች አሉ, ማለትም m=9. ከዚያ እድሉ 0.44 ወይም 4/9 ነው.

ሁለተኛውን ጉዳይ እናስብ የአማራጮች ቁጥር ዘጠኝ ነው, እና ምንም የተሳካ ውጤት ሊኖር አይችልም, ማለትም, m ከዜሮ ጋር እኩል ነው. የተሳለው ካርድ ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር የመያዝ እድሉም ዜሮ ነው።

ፕሮባቢሊቲው የተወሰነ ድግግሞሽ የተሰጠው የአንድ የተወሰነ ክስተት እድል ያሳያል። አንድ ወይም ከዚያ በላይ ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች በጠቅላላው ሊሆኑ በሚችሉ ክስተቶች ብዛት የተከፋፈሉ ውጤቶች ቁጥር ነው. የበርካታ ክስተቶች እድላቸው የሚሰላው ችግሩን ወደ ግለሰባዊ እድሎች በመከፋፈል እና ከዚያም እነዚህን እድሎች በማባዛት ነው።

እርምጃዎች

የአንድ ነጠላ የዘፈቀደ ክስተት ዕድል

1. እርስ በርስ የሚደጋገፉ ውጤቶች ያለው ክስተት ይምረጡ።ፕሮባቢሊቲ ሊሰላ የሚችለው በጥያቄ ውስጥ ያለው ክስተት ከተከሰተ ወይም ካልተከሰተ ብቻ ነው። አንድ ክስተት እና ተቃራኒውን ውጤት በአንድ ጊዜ ማግኘት አይቻልም. የእንደዚህ አይነት ክስተቶች ምሳሌዎች 5 በዳይስ ላይ ማንከባለል ወይም አንድን ፈረስ በሩጫ ማሸነፍ ናቸው። አምስቱ ወይ ይመጣሉ ወይም አይሆንም; አንድ ፈረስ መጀመሪያ ይመጣል ወይም አይመጣም።

   • ለምሳሌ, የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን ለማስላት የማይቻል ነው: በአንድ የሞት መወርወር, 5 እና 6 በተመሳሳይ ጊዜ ይታያሉ.

2. ሊከሰቱ የሚችሉ ሁሉንም ክስተቶች እና ውጤቶች ይለዩ.ጨዋታውን በ 6 ቁጥሮች ሲወረውሩ ሶስት የማግኘት እድልን መወሰን ያስፈልግዎታል እንበል። "ሶስት ማንከባለል" ክስተት ነው፣ እና ከ6ቱ ቁጥሮች ማንኛቸውም ሊጠቀለሉ እንደሚችሉ ስለምናውቅ፣ የሚቻሉት ውጤቶች ቁጥር ስድስት ነው። ስለዚህ, በዚህ ሁኔታ ውስጥ 6 ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች እና አንድ ክስተት, እኛ የምንፈልገውን የመወሰን እድል መኖሩን እናውቃለን. ከዚህ በታች ሁለት ተጨማሪ ምሳሌዎች አሉ.

   • ምሳሌ 1. በዚህ ሁኔታ, ክስተቱ "በሳምንቱ መጨረሻ ላይ የሚወድቀውን ቀን መምረጥ" ነው, እና ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ቁጥር ከሳምንቱ ቀናት ማለትም ሰባት ጋር እኩል ነው.
   • ምሳሌ 2. ክስተቱ "ቀይ ኳስ ይሳሉ" ነው, እና ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ቁጥር ከጠቅላላው የኳስ ብዛት ጋር እኩል ነው, ማለትም, ሃያ.

3. የክስተቶችን ብዛት በተቻለ ውጤቶች ብዛት ይከፋፍሉ.በዚህ መንገድ የአንድ ነጠላ ክስተት እድልን ይወስናሉ. ዳይ ማንከባለልን እንደ 3 ከተመለከትን የክስተቶቹ ብዛት 1 ነው (3ቱ በሟች አንድ ወገን ብቻ) እና አጠቃላይ የውጤቶቹ ብዛት 6 ነው። ውጤቱም 1/6 ጥምርታ ነው። 0.166፣ ወይም 16.6%. ከላይ ለተጠቀሱት ሁለት ምሳሌዎች ክስተት የመከሰቱ ዕድል እንደሚከተለው ይገኛል።

   • ምሳሌ 1. በሳምንቱ መጨረሻ ላይ የሚወድቀውን ቀን በዘፈቀደ የመምረጥ እድሉ ምን ያህል ነው?በአንድ ሳምንት ውስጥ የሁለት ቀናት እረፍት ስላለ የክስተቶቹ ብዛት 2 ነው, እና አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት 7. ስለዚህ, እድሉ 2/7 ነው. የተገኘው ውጤት 0.285 ወይም 28.5% ተብሎ ሊጻፍ ይችላል.
   • ምሳሌ 2. ሳጥኑ 4 ሰማያዊ፣ 5 ቀይ እና 11 ነጭ ኳሶችን ይዟል። የዘፈቀደ ኳስ ከሳጥን ካወጡት ቀይ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?በሳጥኑ ውስጥ 5 ቀይ ኳሶች ስላሉ የክስተቶቹ ብዛት 5 ነው, እና አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት 20 ነው. እድሉን እናገኛለን: 5/20 = 1/4. የተገኘው ውጤት 0.25 ወይም 25% ተብሎ ሊጻፍ ይችላል.

4. የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶችን እድሎች ጨምሩ እና ድምሩ 1 እንደሆነ ይመልከቱ።የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች አጠቃላይ ዕድል 1 ወይም 100% መሆን አለበት። 100% ካላገኙ ምናልባት ስህተት ሰርተው አንድ ወይም ከዚያ በላይ ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶችን አምልጠዋል። የእርስዎን ስሌት ያረጋግጡ እና ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን ግምት ውስጥ ማስገባትዎን ያረጋግጡ።

   • ለምሳሌ፣ ዳይስ በሚንከባለሉበት ጊዜ 3 የማግኘት እድሉ 1/6 ነው። በዚህ ሁኔታ፣ ከቀሩት አምስት ቁጥሮች የመውደቅ እድሉ ከ1/6 ጋር እኩል ነው። በውጤቱም, 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 ማለትም 100% እናገኛለን.
   • ለምሳሌ ፣ በዳይ ላይ ያለውን ቁጥር 4 ከረሱ ፣ ዕድሎቹን ማከል 5/6 ወይም 83% ብቻ ይሰጥዎታል ፣ ይህም ከአንድ ጋር እኩል ያልሆነ እና ስህተትን ያሳያል።

5. የማይቻል ውጤት የመሆን እድልን እንደ 0 ይግለጹ።ይህ ማለት የተሰጠው ክስተት ሊከሰት አይችልም እና ዕድሉ 0. በዚህ መንገድ የማይቻሉ ክስተቶችን መቁጠር ይችላሉ.

   • ለምሳሌ፣ በ2020 ፋሲካ ሰኞ ላይ የመውደቁን እድል ብታሰሉ፣ 0 ታገኛላችሁ ምክንያቱም ፋሲካ ሁል ጊዜ የሚከበረው በእሁድ ነው።

   የበርካታ የዘፈቀደ ክስተቶች ዕድል

   1. ገለልተኛ ክስተቶችን በሚያስቡበት ጊዜ እያንዳንዱን ዕድል ለየብቻ ያሰሉ.አንዴ የክስተቶች እድሎች ምን እንደሆኑ ከወሰኑ, በተናጥል ሊሰሉ ይችላሉ. አንድ ዳይ በተከታታይ ሁለት ጊዜ ማንከባለል እና 5 የማግኘት እድልን ማወቅ እንፈልጋለን እንበል። የመጀመሪያው ውጤት ከሁለተኛው ጋር የተያያዘ አይደለም.

      • በርካታ የአምስት ጥቅልሎች ይባላሉ ገለልተኛ ክስተቶችለመጀመሪያ ጊዜ የሚከሰተው በሁለተኛው ክስተት ላይ ተጽዕኖ ስለማይኖረው.

   2. የጥገኛ ክስተቶችን እድል ሲያሰሉ የቀደሙትን ውጤቶች ተፅእኖ ግምት ውስጥ ያስገቡ።የመጀመሪያው ክስተት የሁለተኛው ውጤት የመሆን እድልን የሚነካ ከሆነ, እድሉን ስለማስላት እንነጋገራለን ጥገኛ ክስተቶች. ለምሳሌ, ከ 52-ካርድ ካርታ ውስጥ ሁለት ካርዶችን ከመረጡ, የመጀመሪያውን ካርድ ከሳሉ በኋላ, የመርከቧ ቅንብር ይለወጣል, ይህም በሁለተኛው ካርድ ምርጫ ላይ ተጽዕኖ ያሳድራል. ከሁለቱ ጥገኛ ክስተቶች ሁለተኛውን ዕድል ለማስላት የሁለተኛውን ክስተት እድል ሲያሰሉ ከሚቻሉት ውጤቶች ብዛት 1 መቀነስ ያስፈልግዎታል።

      • ምሳሌ 1. የሚከተለውን ክስተት ተመልከት። ሁለት ካርዶች ከመርከቡ በዘፈቀደ ይሳላሉ, አንዱ ከሌላው በኋላ. ሁለቱም ካርዶች የክለቦች ሊሆኑ የሚችሉበት ዕድል ምን ያህል ነው?የመጀመሪው ካርድ የክለብ ልብስ የመሆን እድሉ 13/52 ወይም 1/4 ነው, ምክንያቱም በመርከቡ ውስጥ 13 ተመሳሳይ ካርዶች ስላሉ.
        • ከዚህ በኋላ አንድ የክለብ ካርድ ስለሌለ ሁለተኛው ካርድ የክለብ ልብስ የመሆን እድሉ 12/51 ነው። ምክንያቱም የመጀመሪያው ክስተት በሁለተኛው ላይ ተጽእኖ ስለሚያሳድር ነው. ሦስቱን ክለቦች ከሳሉ እና መልሰው ካላስቀመጡት በካርታው ላይ አንድ ያነሰ ካርድ ይኖራል (ከ52 ይልቅ 51)።
      • ምሳሌ 2. በሳጥኑ ውስጥ 4 ሰማያዊ፣ 5 ቀይ እና 11 ነጭ ኳሶች አሉ። ሶስት ኳሶች በዘፈቀደ ከተሳሉ የመጀመሪያው ቀይ ፣ ሁለተኛው ሰማያዊ ፣ ሦስተኛው ነጭ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?
        • የመጀመሪያው ኳስ ቀይ የመሆን እድሉ 5/20 ወይም 1/4 ነው። በሳጥኑ ውስጥ አንድ ትንሽ ኳስ ስለሚቀር ሁለተኛው ኳስ ሰማያዊ የመሆን እድሉ 4/19 ነው ፣ ግን አሁንም 4 ሰማያዊኳስ. በመጨረሻም, ሶስተኛው ኳስ ነጭ የመሆን እድሉ 11/18 ነው ምክንያቱም አስቀድመን ሁለት ኳሶችን ስለሳልን.

   3. የእያንዳንዱን ግለሰብ ክስተት እድሎች ማባዛት።ከገለልተኛም ሆነ ከጥገኛ ክስተቶች፣ ወይም የውጤቶች ብዛት (2፣ 3፣ ወይም 10 እንኳን ሊኖር ይችላል) ምንም ይሁን ምን በጥያቄ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ክስተቶች እድላቸውን እርስ በርስ በማባዛት አጠቃላይ እድላቸውን ማስላት ይችላሉ። በውጤቱም, የበርካታ ክስተቶች እድልን ያገኛሉ, የሚከተለው አንዱ ከሌላው በኋላ. ለምሳሌ, ተግባሩ ነው ዳይን በተከታታይ ሁለት ጊዜ ሲያንከባለሉ 5 ሊያገኙ የሚችሉበትን እድል ይፈልጉ. እነዚህ ሁለት ገለልተኛ ክስተቶች ናቸው, የእያንዳንዳቸው ዕድል 1/6 ነው. ስለዚህ የሁለቱም ክስተቶች ዕድል 1/6 x 1/6 = 1/36 ማለትም 0.027 ወይም 2.7% ነው።

      • ምሳሌ 1. ሁለት ካርዶች በዘፈቀደ ከመርከቧ ይሳላሉ, አንዱ በሌላ. ሁለቱም ካርዶች የክለቦች ሊሆኑ የሚችሉበት ዕድል ምን ያህል ነው?የመጀመሪያው ክስተት ዕድል 13/52 ነው። የሁለተኛው ክስተት ዕድል 12/51 ነው። አጠቃላይ እድልን እናገኛለን: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, ማለትም, 0.058, ወይም 5.8%.
      • ምሳሌ 2. ሳጥኑ 4 ሰማያዊ፣ 5 ቀይ እና 11 ነጭ ኳሶችን ይዟል። ሶስት ኳሶች በዘፈቀደ ከሳጥን ውስጥ አንድ በአንድ ከተሳቡ የመጀመሪያው ቀይ ፣ ሁለተኛው ሰማያዊ እና ሦስተኛው ነጭ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?የመጀመሪያው ክስተት ዕድል 5/20 ነው። የሁለተኛው ክስተት ዕድል 4/19 ነው። የሦስተኛው ክስተት ዕድል 11/18 ነው። ስለዚህ አጠቃላይ እድሉ 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032 ወይም 3.2% ነው።

ከታች ያሉት ቀላል ክንውኖች በሚታወቁት እድሎች ላይ በመመርኮዝ ውስብስብ ክስተት የመከሰት እድልን ለመወሰን መሰረታዊ ህጎች አሉ።

1. የአንድ የተወሰነ ክስተት ዕድልከአንድ ጋር እኩል:

2. ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ጥምረት (ድምር) ዕድልከእድላቸው ድምር ጋር እኩል ነው።

እነዚህ ሁለት እኩልነቶች የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ አክሲሞች ናቸው፣ ማለትም፣ እንደ መጀመሪያ ተቀባይነት አላቸው፣ ነገር ግን ማረጋገጫ የሚያስፈልጋቸው የይሆናልነት ባህሪያት። አጠቃላይ የፕሮባቢሊቲ ፅንሰ-ሀሳብ በእነሱ መሰረት የተገነባ ነው።

ያለማስረጃ ከዚህ በታች የተሰጡት ሁሉም ሌሎች ቀመሮች ተቀባይነት ካላቸው አክሲሞች ሊገኙ ይችላሉ።

3. የማይቻል ክስተት የመሆን እድልከዜሮ ጋር እኩል:

4. የተቃራኒው ክስተት ዕድልክስተት A እኩል ነው።

(4.5)

ቀመር (4.5) የክስተቱን እድል በራሱ በማስላት ጊዜ በተግባር ጠቃሚ ሆኖ ተገኝቷል ሀአስቸጋሪ, የተቃራኒው ክስተት ዕድል ለማግኘት ቀላል ቢሆንም (ከዚህ በታች ያለውን አንቀጽ ይመልከቱ). 9 ).

5. ፕሮባቢሊቲ የመደመር ቲዎሬም. የዘፈቀደ ክስተቶችን የማጣመር እድላቸው የክስተቶች ጥምር እድልን ከመቀነሱ የእድላቸው ድምር ጋር እኩል ነው።

ተኳሃኝ ላልሆኑ ክስተቶች እና፣ ቀመር (4.6) ወደ (4.3) ይቀየራል።

6. ሁኔታዊ ዕድል.የክስተቱን እድል ማግኘት ከፈለጉ ውስጥሌላ ክስተት እስካልተፈጠረ ድረስ ሀ, ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ሁኔታ ሁኔታዊ ዕድልን በመጠቀም ይገለጻል. ሁኔታዊ ዕድል የክስተቶች መከሰት እድል ጥምርታ ጋር እኩል ነው። ሀእና ውስጥወደ ክስተት ዕድል ሀ:

(4.7)

በክስተቶች ውስጥ ሀእና ውስጥየማይጣጣም, እና በዚህ መሠረት.

7. በቅጹ (4.7) ውስጥ ያለው ሁኔታዊ ዕድል ፍቺው የተከሰቱትን ክስተቶች ዕድል ለማስላት የሚከተለውን ቀመር ለመጻፍ ያስችላል። (ፕሮባቢሊቲ ማባዛት ቲዎሪ)

8. የአንድ ክስተት ዕድል ስለሆነ ሀ(ወይም ውስጥ) ለገለልተኛ ክንውኖች በትርጉም ፣ ሌላ ክስተት ሲከሰት አይለወጥም ፣ ከዚያ ሁኔታዊው ዕድል ከክስተቱ ዕድል ጋር ይጣጣማል። ሀ, እና ሁኔታዊ ዕድል አብሮ ነው ፒ(ለ). ሊሆኑ የሚችሉ ነገሮች ፒ(ኤ)እና ፒ(ቢ) በተቃራኒው ሁኔታዊ እድሎች ቅድመ ሁኔታ አልባ ተብለው ይጠራሉ.

ለገለልተኛ ክስተቶች የፕሮባቢሊቲ ማባዛት ቲዎሪእንደሚከተለው ተጽፏል።

ማለትም ገለልተኛ ክስተቶችን የማምረት እድሉ ከምርታቸው ውጤት ጋር እኩል ነው።

9. እንቆጥረው በ n ሙከራዎች ውስጥ ቢያንስ አንድ ክስተት የመከሰት እድል

ሀ- ውስጥ መልክ nፈተናዎች ቢያንስአንድ ጊዜ ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት.

- የምንፈልገው ክስተት አልታየም nፈተናዎች በፍጹም.

ሀ 1 - ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት በመጀመሪያው ፈተና ውስጥ ታየ.

ሀ 2 - ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት በሁለተኛው ፈተና ውስጥ ታየ.

ሀ n - እኛ የምንፈልገው ክስተት ታየ n- ፈተና.

10. ጠቅላላ ፕሮባቢሊቲ ፎርሙላ.

ክስተቱ ከሆነ ሀየማይጣጣሙ ክስተቶች አንዱ ሲከሰት ብቻ ሊከሰት ይችላል ኤን 1 ፣ ኤን 2 ፣… ፣ ኤን n፣ ያ

ምሳሌ 4.3

አንድ ሽንት በመጠን የማይለያዩ 5 ነጭ፣ 20 ቀይ እና 10 ጥቁር ኳሶችን ይይዛል። ኳሶቹ በደንብ ይደባለቃሉ ከዚያም 1 ኳስ በዘፈቀደ ይወሰዳል. የተሳለው ኳስ ነጭ ወይም ጥቁር የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ክስተቱ ይሁን ሀ- ነጭ ወይም ጥቁር ኳስ መልክ. ይህን ክስተት ወደ ቀላል ክፍሎች እንከፋፍለው። ፍቀድ ውስጥ 1 - ነጭ ኳስ መልክ, እና ውስጥ 2 - ጥቁር. ከዚያም፣ A=B 1 +ለ 2 P(A)=P(B 1 +ለ 2 ) . ምክንያቱም ውስጥ 1 እና ውስጥ 2 ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች ናቸው፣ ከዚያ በንድፈ ሃሳብ መሰረት የማይጣጣሙ ክስተቶች ድምር ዕድል (ቀመር 4.3) ፒ(ቢ 1 +ለ 2 = ፒ (ቢ 1 )+P(B 2 ) .

የክስተቶችን ዕድል እናሰላል። ውስጥ 1 እና ውስጥ 2 . በዚህ ምሳሌ ውስጥ 35 እኩል ሊሆኑ የሚችሉ (ኳሶቹ በመጠን አይለያዩም) የሙከራው ውጤት ፣ ክስተቱ ውስጥ 1 (የነጭ ኳስ መልክ) በ 5 ቱ ተወዳጅ ነው, ስለዚህም . እንደዚሁም,. ስለዚህም እ.ኤ.አ. .

ምሳሌ 4.4

የሁለት ወንጀለኞች ፍለጋ እየተካሄደ ነው። እያንዳንዳቸው ከሌላው ተለይተው በ 24 ሰዓታት ውስጥ በ 0.5 ሊሆኑ ይችላሉ. በቀን ውስጥ ቢያንስ አንድ ወንጀለኛ የመገኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ክስተቱ ይሁን ሀ- ቢያንስ አንድ ወንጀለኛ ተገኝቷል። ይህን ክስተት ወደ ቀላል ክፍሎች እንከፋፍለው። ፍቀድ ውስጥ 1 ውስጥ 2 - ሁለተኛው ወንጀለኛ ተገኝቷል. ከዚያም፣ A=B 1 +ለ 2 የክስተቶችን ድምር በመወሰን. ስለዚህ P(A)=P(B 1 +ለ 2 ) . ምክንያቱም ውስጥ 1 እና ውስጥ 2 የጋራ ክንውኖች ናቸው፣ከዚያም በክስተቶች ድምር ዕድል ላይ ባለው ንድፈ ሃሳብ መሰረት (ቀመር 4.6)

ፒ(ቢ 1 +ለ 2 = ፒ (ቢ 1 )+P(B 2 - ፒ (ቢ 1 ውስጥ 2 ) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75 .

እንዲሁም በተገላቢጦሽ ክስተት መፍታት ይችላሉ:

ምሳሌ 4፡5 ሀ)

ወንጀለኛው 3 ቁልፎች አሉት። በጨለማ ውስጥ, በዘፈቀደ ቁልፍ በመምረጥ በሩን ይከፍታል. እያንዳንዱን በር ለመክፈት 5 ሰከንድ ያጠፋል. በ 15 ሰከንዶች ውስጥ ሁሉንም በሮች የሚከፍትበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ።ክስተቱ ይሁን ሀ- "ሁሉም በሮች ክፍት ናቸው." ይህን ክስተት ወደ ቀላል ክፍሎች እንከፋፍለው። ፍቀድ ውስጥ- "የመጀመሪያው ክፍት ነው" ጋር- "2 ኛ ክፍት ነው", እና ዲ- "ሦስተኛው ክፍት ነው." ከዚያም፣ A=BCD P(A)=P(BCD). በገለልተኛ ክስተቶች ምርት ዕድል ጽንሰ-ሀሳብ (ቀመር 4.10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C) Р(D).

የክስተቶችን ዕድል እናሰላል። ቢ፣ ሲእና ዲ. በዚህ ምሳሌ፣ 3 እኩል ሊሆኑ የሚችሉ (እያንዳንዱን ቁልፍ ከ3 እንመርጣለን) የሙከራው ውጤቶች አሉ። እያንዳንዱ ክስተቶች ቢ፣ ሲእና ዲከእነርሱ 1 ሞገስ, ስለዚህ ..

ምሳሌ 4፡5 ለ)

ችግሩን እንለውጠው፡ ወንጀለኛው የተረሳ ሰው ነው ብለን እንገምታለን። ወንጀለኛው በሩን ከፍቶ ቁልፉን ይተውት። በ 15 ሰከንድ ውስጥ ሁሉንም በሮች የመክፈት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ክስተት ሀ- "ሁሉም በሮች ክፍት ናቸው." እንደገና፣ A=BCDበክስተቶች ምርት ትርጉም. ስለዚህ P(A)=P(BCD). አሁን ግን ክስተቶች ቢ፣ ሲእና ዲ- ጥገኛ. ጥገኛ ክስተቶች ምርት ዕድል ላይ ያለውን ንድፈ መሠረት Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

እድሎችን እናሰላለን:, (ሁለት ቁልፎች ብቻ የቀሩ እና አንዱ ተስማሚ ነው!), እና, ስለዚህ, .

ምሳሌ 4.6

የሁለት ወንጀለኞች ፍለጋ እየተካሄደ ነው። እያንዳንዳቸው ከሌላው ተለይተው በ 24 ሰዓታት ውስጥ በ 0.5 ሊሆኑ ይችላሉ. ከመካከላቸው አንዱ ከተያዘ በኋላ, በፍለጋው ውስጥ የተሳተፉ ሰራተኞች ብዛት በመጨመሩ, ሁለተኛውን የማግኘት እድሉ ወደ 0.7 ይጨምራል. ሁለቱም ወንጀለኞች በ24 ሰዓት ውስጥ የመገኘታቸው ዕድል ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ክስተቱ ይሁን ሀ- "ሁለት ወንጀለኞች ተገኝተዋል." ይህን ክስተት ወደ ቀላል ክፍሎች እንከፋፍለው። ፍቀድ ውስጥ 1 - የመጀመሪያው ወንጀለኛ ተገኝቷል, እና ውስጥ 2 - ሁለተኛው ወንጀለኛ የመጀመሪያው ከተያዘ በኋላ ተገኝቷል. ከዚያም፣ A=B 1 ውስጥ 2 በክስተቶች ምርት ትርጉም. ስለዚህ P(A)=P(B 1 ውስጥ 2 ) . ምክንያቱም ውስጥ 1 እና ውስጥ 2 ጥገኛ ክስተቶች ናቸው፣ ከዚያም የጥገኛ ክንውኖች ምርት እድልን በተመለከተ በንድፈ ሃሳብ (ቀመር 4.8) ፒ(ቢ 1 ውስጥ 2 = ፒ (ቢ 1 ፒ (ቢ 2 /ውስጥ 1 ) = 0,5 0,7=0,35 .

ምሳሌ 4.7

አንድ ሳንቲም 10 ጊዜ ሲወረውር ቢያንስ አንድ ጊዜ የመታየት እድሉን ይፈልጉ።

መፍትሄ።ክስተቱ ይሁን ሀ- “የጦር ቀሚስ ይወድቃል ቢያንስ 1 ጊዜ". ተቃራኒውን ክስተት አስቡበት፡ – “የክንድ ቀሚስ አይወድቅም። በፍጹም" በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የተገላቢጦሽ ክስተት ከመጀመሪያው ይልቅ ቀላል ወደሆኑት ለመከፋፈል ቀላል ነው. ፍቀድ ሀ 1 - የጦር ቀሚስ በመጀመሪያ ውርወራ ላይ አልወደቀም ፣ ሀ 2 - የጦር ቀሚስ በሁለተኛው ውርወራ ላይ አልወደቀም ... ሀ 10 - የጦር ቀሚስ በ 10 ኛው ውርወራ ላይ አልወደቀም. ሁሉም ክስተቶች ሀ 1 …ሀ 10 ገለልተኛ ፣ ስለሆነም (ቀመር 4.11)

ምሳሌ 4.8

ታጋቾቹን ለማስለቀቅ በተደረገው ዘመቻ ሁለት ተኳሾች እየተሳተፉ ይገኛሉ፡ 10 ሰዎች OP21 ሽጉጥ እና 20 ሰዎች AKM47 የያዙ ናቸው። ከ OP21 የመሸነፍ እድሉ 0.85 ነው ፣ እና AKM47 0.65 ነው። በዘፈቀደ ተኳሽ አንድ ጥይት ወንጀለኛው ሊመታ የሚችልበትን እድል ይፈልጉ።

መፍትሄ።ክስተቱ ይሁን ሀ- "ወንጀለኛው ተመታ" ይህን ክስተት ወደ ቀላል ክፍሎች እንከፋፍለው። ወንጀለኛው በ OP21 ወይም በ AKM47 ሊመታ ይችላል። የዘፈቀደ ተኳሽ OP21 የታጠቀ የመሆን እድሉ (ክስተት ኤን 1 ) ከ10/30 ጋር እኩል ነው። የዘፈቀደ ተኳሽ AKM47 የታጠቀ የመሆን እድሉ (ክስተት ኤን 2 ) ከ20/30 ጋር እኩል ነው።

ወንጀለኛው የመመታቱ ዕድል (ቀመር 4.12)

በእንደዚህ አይነት ችግሮች ውስጥ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን (የእያንዳንዱን ውጤት እድሎች የሚያመለክት) ዛፍ መሳል ጠቃሚ ነው.

ሳንቲም ሲወረወር፣ ጭንቅላትን ወደ ላይ ያርፋል ወይም ማለት እንችላለን የመሆን እድል ይህ 1/2 ነው. በእርግጥ ይህ ማለት አንድ ሳንቲም 10 ጊዜ ከተጣለ 5 ጊዜ በጭንቅላቱ ላይ ያርፍበታል ማለት አይደለም. ሳንቲሙ “ፍትሃዊ” ከሆነ እና ብዙ ጊዜ ከተወረወረ ራሶች በግማሽ ጊዜ በጣም ቅርብ ይሆናሉ። ስለዚህ ፣ ሁለት ዓይነት ፕሮባቢሊቲዎች አሉ- የሙከራ እና በንድፈ ሃሳባዊ .

የሙከራ እና የቲዮሬቲክ ፕሮባቢሊቲ

አንድ ሳንቲም ብዙ ጊዜ ገለበጥን - 1000 እንበል - እና ስንት ጊዜ በጭንቅላቱ ላይ እንደሚያርፍ ብንቆጥር፣ በጭንቅላቶች ላይ የሚያርፍበትን ዕድል መወሰን እንችላለን። ጭንቅላቶች 503 ጊዜ ከተጣሉ ፣ የማረፍ እድሉን ማስላት እንችላለን-
503/1000 ወይም 0.503.

ይህ የሙከራ ዕድል መወሰን. ይህ የይሆናልነት ፍቺ የመጣው መረጃን ከመመልከት እና ከማጥናት ሲሆን በጣም የተለመደ እና በጣም ጠቃሚ ነው። እዚህ፣ ለምሳሌ፣ በሙከራ የተወሰኑ አንዳንድ እድሎች አሉ።

1. አንዲት ሴት የጡት ካንሰር የመያዝ እድሉ 1/11 ነው።

2. ጉንፋን ያለበትን ሰው የምትሳሙ ከሆነ አንተም ጉንፋን የመያዝ እድሉ 0.07 ነው።

3. አሁን ከእስር ቤት የተለቀቀ ሰው 80% ወደ እስር ቤት የመመለስ እድል አለው.

አንድ ሳንቲም መወርወርን ከግምት ውስጥ ስናስገባ ወደ ጭንቅላት ወይም ጅራት የመምጣት እድሉ ሰፊ መሆኑን ከግምት ውስጥ ካስገባን፣ ጭንቅላት የማግኘት እድልን እናሰላለን፡ 1/2 ይህ የፍቺ ጽንሰ-ሀሳብ ነው። ሒሳብን በመጠቀም በንድፈ ሐሳብ ደረጃ የተወሰኑ ሌሎች ዕድሎች እነኚሁና፡

1. በአንድ ክፍል ውስጥ 30 ሰዎች ካሉ ሁለቱ አንድ የልደት ቀን (አመት ሳይጨምር) የመሆን እድሉ 0.706 ነው።

2. በጉዞ ወቅት፣ ከአንድ ሰው ጋር ይገናኛሉ፣ እና በውይይቱ ወቅት የጋራ ጓደኛ እንዳለዎት ይገነዘባሉ። የተለመደ ምላሽ፡ "ይህ ሊሆን አይችልም!" እንደ እውነቱ ከሆነ, ይህ ሐረግ ተስማሚ አይደለም, ምክንያቱም የእንደዚህ አይነት ክስተት እድል በጣም ከፍተኛ ስለሆነ - ከ 22% በላይ ብቻ ነው.

ስለዚህ የሙከራ እድሎች የሚወሰኑት በመመልከት እና በመረጃ መሰብሰብ ነው። የንድፈ ሃሳባዊ እድሎች የሚወሰኑት በሂሳብ አመክንዮ ነው። እንደ ከላይ የተገለጹት እና በተለይም የማንጠብቀው የሙከራ እና የንድፈ ሃሳባዊ እድሎች ምሳሌዎች ወደ ፕሮባቢሊቲ ማጥናት አስፈላጊነት ይመሩናል። "እውነተኛ ዕድል ምንድን ነው?" ብለህ ልትጠይቅ ትችላለህ። እንደ እውነቱ ከሆነ, እንደዚህ አይነት ነገር የለም. በተወሰኑ ገደቦች ውስጥ ያሉ እድሎች በሙከራ ሊወሰኑ ይችላሉ። በንድፈ ሀሳብ ካገኘናቸው እድሎች ጋር ሊገጣጠሙም ላይሆኑም ይችላሉ። አንድ ዓይነት ዕድል ከሌላው ይልቅ ለመወሰን በጣም ቀላል የሆኑ ሁኔታዎች አሉ. ለምሳሌ, ቲዎሪቲካል ፕሮባቢሊቲ በመጠቀም ጉንፋን የመያዝ እድልን ማግኘት በቂ ይሆናል.

የሙከራ እድሎች ስሌት

እስቲ በመጀመሪያ የችሎታውን የሙከራ ፍቺ እንመልከት። እንደዚህ ያሉ እድሎችን ለማስላት የምንጠቀመው መሰረታዊ መርህ እንደሚከተለው ነው.

መርህ P (የሙከራ)

n ምልከታዎች በተደረጉበት ሙከራ ውስጥ አንድ ሁኔታ ወይም ክስተት E በ n ምልከታዎች ውስጥ m ጊዜ የሚከሰት ከሆነ የዝግጅቱ የሙከራ እድል P (E) = m/n ይባላል።

ምሳሌ 1 የሶሺዮሎጂ ጥናት. ውጤቶቹ በግራፍ ላይ የሚታዩት የግራ እጆች፣ የቀኝ እጅ ሰዎች እና ሁለቱም እጆቻቸው በእኩል ደረጃ የተገነቡ ሰዎችን ቁጥር ለመወሰን የሙከራ ጥናት ተካሂዷል።

ሀ) ሰውዬው ቀኝ እጅ የመሆኑን እድል ይወስኑ።

ለ) ሰውዬው ግራኝ የመሆኑን እድል ይወስኑ።

ሐ) አንድ ሰው በሁለቱም እጆች ውስጥ እኩል የመሆን እድሉን ይወስኑ።

መ) አብዛኛው የፕሮፌሽናል ቦውሊንግ ማህበር ውድድሮች በ120 ተጫዋቾች የተገደቡ ናቸው። ከዚህ ሙከራ በተገኘ መረጃ መሰረት ስንት ተጫዋቾች በግራ እጃቸው ሊሆኑ ይችላሉ?

መፍትሄ

ሀ) የቀኝ እጅ የሆኑ ሰዎች ቁጥር 82፣ የግራ ቀኙ 17፣ እና በሁለቱም እጆች እኩል አቀላጥፈው የሚናገሩት 1. አጠቃላይ የታዛቢዎች ቁጥር 100 ነው.ስለዚህ የመሆን እድሉ አንድ ሰው ቀኝ እጅ ነው የሚለው ፒ
P = 82/100, ወይም 0.82, ወይም 82%.

ለ) አንድ ሰው ግራ-እጅ የመሆን እድሉ P, የት ነው
P = 17/100, ወይም 0.17, ወይም 17%.

ሐ) አንድ ሰው በሁለቱም እጆች ውስጥ እኩል የመሆን እድሉ P, የት ነው
P = 1/100, ወይም 0.01, ወይም 1%.

መ) 120 ቦውለሮች፣ እና ከ (ለ) 17% ግራ-እጅ ናቸው ብለን መጠበቅ እንችላለን። ከዚህ
17% ከ 120 = 0.17.120 = 20.4,
ማለትም ወደ 20 የሚጠጉ ተጫዋቾች በግራ እጅ ይሆናሉ ብለን መጠበቅ እንችላለን።

ምሳሌ 2 የጥራት ቁጥጥር . አንድ አምራች የምርቶቹን ጥራት በከፍተኛ ደረጃ ማቆየት በጣም አስፈላጊ ነው. በእርግጥ ኩባንያዎች ይህንን ሂደት ለማረጋገጥ የጥራት ቁጥጥር ተቆጣጣሪዎችን ይቀጥራሉ. ግቡ ዝቅተኛውን የተበላሹ ምርቶችን ቁጥር ማምረት ነው. ነገር ግን ኩባንያው በየቀኑ በሺዎች የሚቆጠሩ ምርቶችን ስለሚያመርት እያንዳንዱን ምርት ጉድለት እንዳለበት ወይም እንዳልሆነ ለማወቅ መሞከር አይችልም. የምርት መቶኛ ጉድለት እንዳለበት ለማወቅ ኩባንያው በጣም ያነሱ ምርቶችን ይፈትሻል።
USDA በአምራቾች የሚሸጡት 80% ዘሮች እንዲበቅሉ ይፈልጋል። አንድ የግብርና ኩባንያ የሚያመርተውን የዘር ጥራት ለመወሰን ከተመረቱት ውስጥ 500 ዘሮች ተዘርተዋል። ከዚህ በኋላ 417 ዘሮች እንደበቀሉ ተሰላ።

ሀ) ዘሩ የመብቀል እድሉ ምን ያህል ነው?

ለ) ዘሮቹ የመንግስት ደረጃዎችን ያሟላሉ?

መፍትሄሀ) ከተዘሩት 500 ዘሮች 417ቱ እንደበቀሉ እናውቃለን። የዘር ማብቀል እድል P, እና
P = 417/500 = 0.834, ወይም 83.4%.

ለ) የበቀለው ዘር መቶኛ እንደአስፈላጊነቱ ከ 80% በላይ ስለነበረ ዘሮቹ የመንግስት መስፈርቶችን ያሟላሉ.

ምሳሌ 3 የቴሌቪዥን ደረጃዎች. እንደ አኃዛዊ መረጃ፣ በዩናይትድ ስቴትስ ውስጥ 105,500,000 ቴሌቪዥን ያላቸው አባወራዎች አሉ። በየሳምንቱ ስለ ፕሮግራሞች እይታ መረጃ ይሰበሰባል እና ይከናወናል. በአንድ ሳምንት ውስጥ 7,815,000 አባወራዎች በሲቢኤስ እና 8,302,000 አባወራዎች በNBC (ምንጭ፡- ኒልሰን ሚዲያ ጥናትና ምርምር) የተሰኘውን ተወዳጅ ተከታታይ አስቂኝ ተከታታይ "ሬይመንድን ይወዳል" እና 8,302,000 ቤተሰቦች ተከታተሉ። በአንድ ሳምንት ውስጥ የአንድ ቤተሰብ ቴሌቪዥን "ሁሉም ሰው ሬይመንድን ይወዳል" ወደ "ህግ እና ትዕዛዝ" የመሄድ እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄበአንድ ቤተሰብ ውስጥ ያለው ቴሌቪዥኑ "ሁሉም ሰው ሬይመንድን ይወዳል" ከሚለው ጋር የመስተካከል እድሉ P ነው፣ እና
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
የአንድ ቤተሰብ ቴሌቪዥን በሕግ እና በሥርዓት የተስተካከለ ዕድል P ነው፣ እና
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
እነዚህ መቶኛ ደረጃዎች ይባላሉ።

ቲዎሬቲካል ፕሮባቢሊቲ

ሙከራ እያደረግን እንበል፣ ለምሳሌ ሳንቲም ወይም ዳርት መወርወር፣ ከመርከቧ ላይ ካርድ መሳል ወይም ምርቶችን በመሰብሰቢያ መስመር ላይ ጥራት በመሞከር ላይ ነን። እንዲህ ዓይነቱ ሙከራ እያንዳንዱ ሊሆን የሚችል ውጤት ይባላል ዘፀአት . የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ስብስብ ይባላል የውጤት ቦታ . ክስተት የውጤቶች ስብስብ ነው, ማለትም, የውጤቶች ቦታ ንዑስ ስብስብ.

ምሳሌ 4 ድፍረቶችን መወርወር. በዳርት መወርወር ሙከራ ውስጥ ዳርት ኢላማውን መታ። የሚከተሉትን እያንዳንዳቸውን ያግኙ:

ለ) የውጤት ቦታ

መፍትሄ
ሀ) ውጤቶቹ፡ ጥቁር (ለ) መምታት፣ ቀይ (R) እና ነጭ (ቢ) መምታት ናቸው።

ለ) የውጤቶች ቦታ (ጥቁር መምታት ፣ ቀይ መምታት ፣ ነጭ መምታት) ነው ፣ እሱም በቀላሉ እንደ (H ፣ K ፣ B) ሊፃፍ ይችላል።

ምሳሌ 5 ዳይስ መወርወር. ዳይ ስድስት ጎን ያለው ኩብ ሲሆን እያንዳንዳቸው ከአንድ እስከ ስድስት ነጥቦች አሉት።


ዳይ እየወረወርን እንበል። አግኝ
ሀ) ውጤቶች
ለ) የውጤት ቦታ

መፍትሄ
ሀ) ውጤቶች፡ 1፣ 2፣ 3፣ 4፣ 5፣ 6
ለ) የውጤት ቦታ (1, 2, 3, 4, 5, 6).

አንድ ክስተት E የመከሰት እድልን እንደ P(E) እንገልፃለን። ለምሳሌ “ሳንቲሙ በጭንቅላቶች ላይ ያርፋል” በ H ሊገለጽ ይችላል። ከዚያም P(H) ሳንቲሙ በጭንቅላቶች ላይ የማረፍ እድልን ይወክላል። ሁሉም የሙከራ ውጤቶች ተመሳሳይ የመከሰት እድላቸው ሲኖራቸው፣ እኩል ሊሆኑ እንደሚችሉ ይነገራል። በእኩል ሊሆኑ በሚችሉ ክስተቶች እና ባልሆኑ ክስተቶች መካከል ያለውን ልዩነት ለማየት ከታች የሚታየውን ኢላማ ግምት ውስጥ ያስገቡ።

ለዒላማ ሀ, ጥቁር, ቀይ እና ነጭ ዘርፎች ተመሳሳይ ስለሆኑ ጥቁር, ቀይ እና ነጭ የመምታት ክስተቶች እኩል ናቸው. ነገር ግን, ለዒላማ ቢ, እነዚህ ቀለሞች ያሉት ዞኖች አንድ አይነት አይደሉም, ማለትም እነሱን መምታት እኩል ሊሆን አይችልም.

መርህ P (ቲዎሬቲካል)

አንድ ክስተት E በ m መንገዶች ሊከሰት የሚችል ከሆነ ከውጤት ቦታ S እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች፣ እንግዲያውስ የንድፈ ዕድል ክስተቶች, P (E) ነው
P(E) = m/n

ምሳሌ 6 3 ለማግኘት ዳይ ማንከባለል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄበዳይስ ላይ 6 እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች አሉ እና ቁጥሩን ለመንከባለል አንድ ዕድል ብቻ ነው 3. ከዚያም ፕሮባቢሊቲ ፒ P (3) = 1/6 ይሆናል.

ምሳሌ 7በዳይ ላይ እኩል ቁጥር የመንከባለል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄክስተቱ እኩል የሆነ ቁጥር መወርወር ነው። ይህ በ 3 መንገዶች ሊከሰት ይችላል (አንድ 2, 4 ወይም 6 ካነሱ). እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ቁጥር 6 ነው. ከዚያም ፕሮባቢሊቲ P (እንኳን) = 3/6, ወይም 1/2.

መደበኛ 52 የካርድ ንጣፍን የሚያካትቱ በርካታ ምሳሌዎችን እንጠቀማለን. ይህ የመርከቧ ወለል ከታች ባለው ስእል ላይ የሚታዩትን ካርዶች ያካትታል.

ምሳሌ 8በደንብ ከተደባለቀ የካርድ ሰሌዳ ላይ Aceን የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ 52 ውጤቶች (በመርከቧ ውስጥ ያሉት የካርዶች ብዛት) ፣ እነሱ እኩል ናቸው (የመርከቧ ወለል በጥሩ ሁኔታ ከተዋሃደ) እና Ace ለመሳል 4 መንገዶች አሉ ፣ ስለሆነም በፒ መርህ መሠረት እድሉ
ፒ (ኤሲ ይሳሉ) = 4/52፣ ወይም 1/13።

ምሳሌ 9ሳናይ አንድ ኳስ ከቦርሳ 3 ቀይ ኳሶች እና 4 አረንጓዴ ኳሶችን እንመርጣለን እንበል። ቀይ ኳስ የመምረጥ እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄማንኛውንም ኳስ ለመሳል 7 እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች አሉ ፣ እና ቀይ ኳስ ለመሳል መንገዶች ብዛት 3 ስለሆነ ፣ እኛ እናገኛለን
P (ቀይ ኳስ ምርጫ) = 3/7.

የሚከተሉት መግለጫዎች ከመሠረታዊ ፒ.

የይሆናልነት ባህሪያት

ሀ) ክስተት ኢ ሊከሰት የማይችል ከሆነ ፣ ከዚያ P (E) = 0።
ለ) ክስተት E መከሰቱ ከተረጋገጠ P(E) = 1።
ሐ) ክስተት ኢ የመከሰት እድሉ ከ 0 እስከ 1፡ 0 ≤ ፒ(ኢ) ≤ 1 ቁጥር ነው።

ለምሳሌ፣ በሳንቲም መወርወር፣ ሳንቲም በጫፉ ላይ ያረፈበት ክስተት ዜሮ ዕድል የለውም። ሳንቲም ጭንቅላት ወይም ጅራት የመሆን እድሉ 1 ነው።

ምሳሌ 10 2 ካርዶች ከ 52-ካርድ ወለል ላይ እንደተሳሉ እናስብ። ሁለቱም ቁንጮዎች የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ 2 ካርዶችን በጥሩ ሁኔታ ከተዋሃደ የ 52 ካርዶች የመሳል መንገዶች ቁጥር n 52 C 2 ነው. ከ 52 ካርዶች ውስጥ 13 ቱ ስፔዶች ስለሆኑ, 2 ስፖንዶችን ለመሳል m መንገዶች ቁጥር 13 C 2 ነው. ከዚያም፣
P (2 ጫፎችን መጎተት) = m / n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

ምሳሌ 11ከ6 ወንዶች እና 4 ሴቶች ቡድን 3 ሰዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል እንበል። 1 ወንድ እና 2 ሴት የመመረጥ እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄከ 10 ሰዎች ቡድን ውስጥ ሶስት ሰዎችን ለመምረጥ መንገዶች ብዛት 10 C 3 ነው. አንድ ወንድ በ 6 C 1 መንገድ ሊመረጥ ይችላል, እና 2 ሴቶች በ 4 C 2 መንገድ ሊመረጡ ይችላሉ. በመቁጠር መሰረታዊ መርህ መሰረት 1 ወንድ እና 2 ሴትን ለመምረጥ መንገዶች ቁጥር 6 C 1 ነው. 4 C 2 . ከዚያ 1 ወንድ እና 2 ሴት የመመረጥ እድሉ ነው።
P = 6C 1. 4 C 2/10 C 3 = 3/10.

ምሳሌ 12 ዳይስ መወርወር. በሁለት ዳይስ ላይ በአጠቃላይ 8 የመንከባለል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄእያንዳንዱ ዳይስ 6 ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች አሉት. ውጤቶቹ በእጥፍ ይጨምራሉ፣ ይህም ማለት በሁለቱ ዳይስ ላይ ያሉት ቁጥሮች ሊታዩ የሚችሉባቸው 6.6 ወይም 36 መንገዶች አሉ። (ኩባዎቹ ቢለያዩ ይሻላል ፣ አንዱ ቀይ ነው ፣ ሌላኛው ደግሞ ሰማያዊ ነው - ይህ ውጤቱን በዓይነ ሕሊና ለመመልከት ይረዳል)

እስከ 8 የሚደርሱ ጥንድ ቁጥሮች ከታች ባለው ስእል ይታያሉ. ከ 8 ጋር እኩል የሆነ ድምር ለማግኘት 5 ሊሆኑ የሚችሉ መንገዶች አሉ ፣ ስለሆነም እድሉ 5/36 ነው።

እድሎችን መጨመር እና ማባዛት. ይህ ጽሑፍ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ችግሮችን በመፍታት ላይ ያተኩራል. ቀደም ሲል, አንዳንድ ቀላል ስራዎችን አስቀድመን ተንትነናል, ቀመሩን ማወቅ እና መረዳት በቂ ነው (እንዲደግሙት እመክርዎታለሁ).

ትንሽ ውስብስብ የሆኑ አንዳንድ ችግሮች አሉ, እነሱን ለመፍታት ማወቅ እና መረዳት አለብዎት: እድሎችን የመደመር ደንብ, የፕሮባቢሊቲዎችን ማባዛት ደንብ, ጥገኛ እና ገለልተኛ ክስተቶች ጽንሰ-ሐሳቦች, ተቃራኒ ክስተቶች, ተኳሃኝ እና ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች. በትርጉሞቹ አትፍሩ, ቀላል ነው)).በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንደነዚህ ያሉትን ሥራዎች ብቻ እንመለከታለን.

ትንሽ ጠቃሚ እና ቀላል ንድፈ ሃሳብ፡-

የማይጣጣም , የአንዳቸው መልክ የሌሎችን መልክ የሚያካትት ከሆነ. ማለትም አንድ ወይም ሌላ ክስተት ብቻ ሊከሰት ይችላል።

የሚታወቅ ምሳሌ፡- ዳይስ በሚወረውርበት ጊዜ አንድ ብቻ ሊወጣ ይችላል፣ ወይም ሁለት ብቻ፣ ወይም ሶስት ብቻ፣ ወዘተ. እያንዳንዳቸው እነዚህ ክስተቶች ከሌሎቹ ጋር የማይጣጣሙ ናቸው, እና የአንደኛው መከሰት የሌላውን ክስተት (በአንድ ሙከራ) አያካትትም. ከሳንቲም ጋር ተመሳሳይ ነው - ጭንቅላቶች ሲወጡ, ጭራዎች ወደ ላይ የሚመጡበትን እድል ያስወግዳል.

ይህ ይበልጥ ውስብስብ በሆኑ ውህዶች ላይም ይሠራል. ለምሳሌ, ሁለት የመብራት መብራቶች በርተዋል. እያንዳንዳቸው በጊዜ ሂደት ሊቃጠሉ ወይም ላያቃጥሉ ይችላሉ. አማራጮች አሉ፡-

1. የመጀመሪያው ይቃጠላል እና ሁለተኛው ይቃጠላል
2. የመጀመሪያው ይቃጠላል እና ሁለተኛው አይቃጣም
3. የመጀመሪያው አይቃጠልም ሁለተኛው ደግሞ ይቃጠላል
4. የመጀመሪያው አይቃጠልም ሁለተኛው ደግሞ ይቃጠላል.

እነዚህ ሁሉ 4 ለክስተቶች አማራጮች ተኳሃኝ አይደሉም - በቀላሉ አንድ ላይ ሊከሰቱ አይችሉም እና አንዳቸውም ከሌላው ጋር አይደሉም ...

ፍቺ፡- ክስተቶች ተጠርተዋል። መገጣጠሚያ, የአንዳቸው መልክ የሌላውን መልክ ካላስቀረ.

ምሳሌ፡- ንግሥት ከካርዶች ወለል ላይ ትወሰዳለች እና ከካርዶቹ ላይ የስፓድስ ካርድ ትወሰዳለች። ሁለት ክስተቶች ግምት ውስጥ ይገባል. እነዚህ ክስተቶች እርስ በርስ የሚጣረሱ አይደሉም - የስፔዶች ንግስት መሳል ይችላሉ እና ሁለቱም ክስተቶች ይከሰታሉ.

ስለ እድሎች ድምር

የሁለት ክስተቶች ድምር ሀ እና ለ ክስተቱ A+B ነው፣ ያም ማለት ክስተት A ወይም ክስተት B፣ ወይም ሁለቱም በተመሳሳይ ጊዜ ይከሰታሉ ማለት ነው።

ከተከሰተ የማይጣጣምክስተቶች A እና B፣ ከዚያ የእነዚህ ክስተቶች ድምር ዕድል ከክስተቶች ድምር ጋር እኩል ነው።

የዳይስ ምሳሌ፡-

ዳይቹን እንጥላለን. ከአራት ያነሰ ቁጥር የመንከባለል እድሉ ምን ያህል ነው?

ከአራት ያነሱ ቁጥሮች 1፣2፣3 ናቸው። አንድ የማግኘት እድሉ 1/6፣ ሁለቱ 1/6 እና ሶስት 1/6 እንደሆነ እናውቃለን። እነዚህ ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች ናቸው። የመደመር ደንቡን መተግበር እንችላለን። ከአራት ያነሰ ቁጥር የመንከባለል እድሉ፡-

እኛ ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ጽንሰ ከ መቀጠል ከሆነ በእርግጥ: ከዚያም በተቻለ ውጤቶች ቁጥር 6 ነው (የኩብ ሁሉ ጎኖች ቁጥር), ምቹ ውጤቶች ቁጥር 3 (አንድ, ሁለት ወይም ሦስት መልክ). የሚፈለገው ዕድል ከ 3 እስከ 6 ወይም 3/6 = 0.5 ነው.

*የሁለት የጋራ ክንውኖች ድምር ዕድል የነዚህ ክስተቶች የጋራ መከሰታቸው ግምት ውስጥ ሳያስገባ የሁኔታዎች ድምር እኩል ነው፡ P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

ዕድልን ስለማባዛት።

ሁለት ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች A እና B ይከሰቱ፣ እድላቸውም እንደቅደም ተከተላቸው P(A) እና P(B) እኩል ናቸው። የሁለት ክንውኖች A እና B ክስተት ሀ ለ ነው፣ እሱም እነዚህ ሁነቶች አንድ ላይ ሆነው፣ ማለትም ሁለቱም ክስተት A እና ክስተት ቢ ይከሰታሉ የክስተት ሀ እና ቢ እድሎች።በቀመር የተሰላ፡

አስቀድመህ እንዳስተዋለው፣ አመክንዮአዊ ትስስር "AND" ማለት ማባዛት ማለት ነው።

ምሳሌ ከተመሳሳይ ሞት ጋር፡-ዳይቹን ሁለት ጊዜ እንጥላለን. ሁለት ስድስቶችን የመንከባለል እድሉ ምን ያህል ነው?

ለመጀመሪያ ጊዜ ስድስት የመንከባለል እድሉ 1/6 ነው። ሁለተኛው ጊዜ ደግሞ ከ1/6 ጋር እኩል ነው። ስድስትን ለመጀመሪያ ጊዜ እና ለሁለተኛ ጊዜ የመንከባለል እድሉ ከፕሮባቢሊቲዎች ምርት ጋር እኩል ነው።

በቀላል አነጋገር፡- በአንድ ሙከራ ውስጥ አንድ የተወሰነ ክስተት ሲከሰት እና ከዚያም ሌላ (ሌሎች) ሲከሰት፣ አብረው የመከሰታቸው ዕድላቸው የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ውጤት ጋር እኩል ነው።

ችግሮችን በዳይስ ፈትተናል፣ ነገር ግን አመክንዮአዊ ምክንያትን ብቻ ነው የተጠቀምነው እና የምርት ቀመሩን አልተጠቀምንም። ከዚህ በታች በተገለጹት ተግባራት ውስጥ, ያለ ቀመሮች ማድረግ አይችሉም, ወይም ይልቁንስ, ውጤቱን ለማግኘት ቀላል እና ፈጣን ይሆናል.

አንድ ተጨማሪ ልዩነት መጥቀስ ተገቢ ነው. ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ፣የክስተቶች ተመሳሳይነት ጽንሰ-ሀሳብ ጥቅም ላይ ይውላል። ክስተቶች በአንድ ጊዜ ይከሰታሉ - ይህ ማለት በአንድ ሰከንድ (በአንድ ጊዜ ውስጥ) ይከሰታሉ ማለት አይደለም. ይህም ማለት በተወሰነ ጊዜ ውስጥ (በአንድ ፈተና ውስጥ) ይከሰታሉ.

ለምሳሌ፥

በአንድ አመት ውስጥ ሁለት መብራቶች ይቃጠላሉ (ይህ ማለት ይቻላል - በአንድ አመት ውስጥ በአንድ ጊዜ)

በአንድ ወር ውስጥ ሁለት ማሽኖች ይበላሻሉ (አንድ ሰው በአንድ ወር ውስጥ በአንድ ጊዜ ሊናገር ይችላል)

ዳይሶቹ ሶስት ጊዜ ይንከባለሉ (ነጥቦች በተመሳሳይ ጊዜ ይታያሉ ፣ ይህ ማለት በአንድ ሙከራ ላይ)

ባያትሌት አምስት ጥይቶችን ተኮሰ። በአንድ ሙከራ ወቅት ክስተቶች (ተኩሶች) ይከሰታሉ.

የሁለቱም የመሆን እድሉ በሌላው ክስተት መከሰት ወይም አለመከሰት ላይ ካልተመሠረተ ክስተቶች ሀ እና ለ ገለልተኛ ናቸው።

ተግባራቶቹን እናስብ፡-

ሁለት ፋብሪካዎች ለመኪና የፊት መብራቶች አንድ አይነት ብርጭቆ ያመርታሉ. የመጀመሪያው ፋብሪካ ከእነዚህ ብርጭቆዎች ውስጥ 35% ያመርታል, ሁለተኛው - 65%. የመጀመሪያው ፋብሪካ 4% ጉድለት ያለበት ብርጭቆ, እና ሁለተኛው - 2%. በድንገት በመደብር ውስጥ የተገዛው ብርጭቆ ጉድለት ያለበትበትን እድል ይፈልጉ።

የመጀመሪያው ፋብሪካ 0.35 ምርቶችን (መስታወት) ያመርታል. ከመጀመሪያው ፋብሪካ የተበላሹ ብርጭቆዎችን የመግዛት እድሉ 0.04 ነው.

ሁለተኛው ፋብሪካ 0.65 ብርጭቆዎችን ያመርታል. ከሁለተኛው ፋብሪካ የተበላሹ ብርጭቆዎችን የመግዛት እድሉ 0.02 ነው.

መስታወቱ በመጀመሪያው ፋብሪካ የተገዛበት እና ጉድለት ያለበት የመሆኑ እድሉ 0.35∙0.04 = 0.0140 ነው።

መስታወቱ በሁለተኛው ፋብሪካ የተገዛበት እና ጉድለት ያለበት የመሆኑ እድሉ 0.65∙0.02 = 0.0130 ነው።

ጉድለት ያለበት መስታወት በመደብር ውስጥ መግዛቱ (ጉድለት ያለው ብርጭቆ) የተገዛው ከመጀመሪያው ፋብሪካ ወይም ከሁለተኛው መሆኑን ያሳያል። እነዚህ ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች ናቸው፣ ማለትም፣ የተፈጠሩትን እድሎች እንጨምራለን፡

0,0140 + 0,0130 = 0,027

መልስ፡ 0.027

አያት ኤ. ነጭ የሚጫወት ከሆነ፣ ከሴት ጌታ B. ጋር በ 0.62 ያሸንፋል። A. ጥቁር የሚጫወት ከሆነ፣ ሀ. በ ቢ ላይ ያሸንፋል በ 0.2 ሊሆን ይችላል። Grandmasters A. እና B. ሁለት ጨዋታዎችን ይጫወታሉ, እና በሁለተኛው ጨዋታ የቁራጮቹን ቀለም ይቀይራሉ. A. ሁለቱንም ጊዜ የሚያሸንፍበትን ዕድል ይፈልጉ።

የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ጨዋታዎችን የማሸነፍ እድል እርስ በርስ የተመካ አይደለም. አንድ ትልቅ ጌታ ሁለቱንም ጊዜ ማሸነፍ አለበት, ማለትም, ለመጀመሪያ ጊዜ ማሸነፍ እና በተመሳሳይ ጊዜ ለሁለተኛ ጊዜ ማሸነፍ አለበት. ገለልተኛ ክስተቶች አንድ ላይ መከሰት ሲኖርባቸው፣ የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ተባዝተዋል፣ ማለትም የማባዛት ደንቡ ጥቅም ላይ ይውላል።

የእነዚህ ክስተቶች የመከሰቱ ዕድል ከ 0.62∙0.2 = 0.124 ጋር እኩል ይሆናል.

መልስ፡ 0.124

በጂኦሜትሪ ፈተና ተማሪው ከፈተና ጥያቄዎች ዝርዝር ውስጥ አንድ ጥያቄ ያገኛል። ይህ የተቀረጸ የክበብ ጥያቄ የመሆን እድሉ 0.3 ነው። ይህ የፓራሎግራም ጥያቄ የመሆኑ እድሉ 0.25 ነው። ከእነዚህ ሁለት ርዕሶች ጋር በአንድ ጊዜ የሚዛመዱ ጥያቄዎች የሉም። አንድ ተማሪ በፈተናው ውስጥ ከነዚህ ሁለት ርዕሶች በአንዱ ላይ ጥያቄ የሚያገኝበትን እድል ይፈልጉ።

ማለትም ፣ ተማሪው ጥያቄን የሚያገኝበትን ዕድል መፈለግ አስፈላጊ ነው ፣ ወይም “የተቀረጸ ክበብ” በሚለው ርዕስ ላይ ወይም በ “ፓራሌሎግራም” ርዕስ ላይ። በዚህ ሁኔታ, ዕድሎች ተጠቃለዋል, እነዚህ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ስለሆኑ እና ከእነዚህ ክስተቶች ውስጥ ማንኛቸውም ሊከሰቱ ይችላሉ: 0.3 + 0.25 = 0.55.

*ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች በአንድ ጊዜ ሊከሰቱ የማይችሉ ክስተቶች ናቸው።

መልስ፡ 0.55

ባያትሌት አምስት ጊዜ ኢላማዎችን ተኩሷል። ዒላማውን በአንድ ምት የመምታት እድሉ 0.9 ነው። ባይትሌት የመጀመሪያዎቹን አራት ጊዜ ኢላማዎችን የመምታት እና የመጨረሻውን የሚያመልጠውን እድል ይፈልጉ። ውጤቱን ወደ መቶኛ ያዙሩት.

ባያትሌት ዒላማውን በ 0.9 ዕድል ስለሚመታ፣ ከ1-0.9 = 0.1 ያመልጣል።

* ማጣት እና መምታት ከአንድ ምት ጋር በአንድ ጊዜ የማይከሰቱ ክስተቶች ናቸው፤ የእነዚህ ክስተቶች እድል ድምር 1 እኩል ነው።

እየተነጋገርን ያለነው ስለ ብዙ (ገለልተኛ) ክስተቶች መከሰት ነው። አንድ ክስተት ከተከሰተ እና በተመሳሳይ ጊዜ ሌላ (ቀጣይ) ክስተት በተመሳሳይ ጊዜ (ሙከራ) ከተከሰተ, የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ይባዛሉ.

የገለልተኛ ክንውኖች ምርት የመሆን እድሉ ከምርታቸው ውጤት ጋር እኩል ነው።

ስለዚህ "መምታት, መምታት, መምታት, መምታት, ያመለጠ" የዝግጅቱ እድል 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561 ነው.

ወደ መቶኛው ቅርብ ወደሆነው ዙር፣ 0.07 እናገኛለን

መልስ፡ 0.07

በመደብሩ ውስጥ ሁለት የክፍያ ማሽኖች አሉ። ሌላው ማሽን ምንም ይሁን ምን እያንዳንዳቸው በ 0.07 ዕድል ስህተት ሊሆኑ ይችላሉ. ቢያንስ አንድ ማሽን የሚሰራበትን እድል ይፈልጉ።

ሁለቱም ማሽኖች የተሳሳቱ ሊሆኑ የሚችሉበትን ዕድል እንፈልግ።

እነዚህ ክስተቶች ራሳቸውን የቻሉ ናቸው፣ ይህም ማለት ዕድሉ የእነዚህ ክስተቶች እድል ውጤት ጋር እኩል ይሆናል፡ 0.07∙0.07 = 0.0049።

ይህ ማለት ሁለቱም ማሽኖች ወይም ከመካከላቸው አንዱ የመሥራት እድሉ ከ 1 - 0.0049 = 0.9951 ጋር እኩል ይሆናል.

* ሁለቱም የሚሰሩ ናቸው እና ከመካከላቸው አንዱ ሙሉ በሙሉ እየሰራ ነው - "ቢያንስ አንድ" ሁኔታን ያሟላል።

አንድ ሰው ለመፈተሽ የሁሉም (ገለልተኛ) ክስተቶች እድሎችን ሊያቀርብ ይችላል፡-

1. "ስህተት-ስህተት" 0.07∙0.07 = 0.0049

2. "ጉድለት-ጉድለት" 0.93∙0.07 = 0.0651

3. "ጉድለት-ጉድለት" 0.07∙0.93 = 0.0651

4. "ጉድለት-ጉድለት" 0.93∙0.93 = 0.8649

ቢያንስ አንድ ማሽን የሚሰራበትን እድል ለመወሰን የገለልተኛ ክስተቶች 2፣3 እና 4 እድሎችን ማከል አስፈላጊ ነው። አስተማማኝ ክስተት በተሞክሮ ምክንያት ሊከሰት የሚችል ክስተት ይባላል. ክስተቱ ተጠርቷል። የማይቻል ፣በተሞክሮ ምክንያት ፈጽሞ የማይከሰት ከሆነ.

ለምሳሌ አንድ ኳስ ቀይ እና አረንጓዴ ኳሶችን ብቻ ከያዘው ሳጥን ውስጥ በዘፈቀደ የተሳለ ከሆነ ከተሳሉት ኳሶች መካከል የነጭው ገጽታ የማይቻል ክስተት ነው። የቀይው ገጽታ እና የአረንጓዴ ኳሶች ገጽታ የተሟላ የቡድን ክስተቶች ይመሰርታሉ.

ፍቺ፡ክስተቶቹ ተጠርተዋል እኩል ይቻላል ከመካከላቸው አንዱ በተሞክሮ ምክንያት የመታየት ዕድሉ ከፍተኛ ነው ብሎ ለማመን የሚያስችል ምክንያት ከሌለ በስተቀር።

ከላይ ባለው ምሳሌ, ቀይ እና አረንጓዴ ኳሶች በሳጥኑ ውስጥ ተመሳሳይ ቀይ እና አረንጓዴ ኳሶች ካሉ የቀይ እና አረንጓዴ ኳሶች ገጽታ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ናቸው. በሳጥኑ ውስጥ ከአረንጓዴው የበለጠ ቀይ ኳሶች ካሉ የአረንጓዴ ኳስ መልክ ከቀይ ቀለም ያነሰ ሊሆን የሚችል ክስተት ነው።

በውስጡም የክስተቶች እድል ድምር እና ምርት ጥቅም ላይ የሚውሉባቸውን ተጨማሪ ችግሮች እንመለከታለን፣ እንዳያመልጥዎ!

ይኼው ነው። ስኬት እመኛለሁ!

ከሰላምታ ጋር ፣ አሌክሳንደር ክሩቲስኪክ።

ማሪያ ኢቫኖቭና ቫስያን ወቀሰችው፡-
- ፔትሮቭ ፣ ትናንት ለምን ትምህርት ቤት አልነበርክም?!
"እናቴ ትናንት ሱሪዬን አጥባለች።"
- እና ምን፧
- እና ቤቱን አልፌ ሄጄ ያንተ እንደተሰቀለ አየሁ። አትመጣም ብዬ ነበር።

P.S: በማህበራዊ አውታረመረቦች ላይ ስለ ጣቢያው ብትነግሩኝ አመስጋኝ ነኝ።