የእኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ዘዴዎች

ለመጀመር፣ የእኩልታዎችን ስርዓቶች ለመፍታት በአጠቃላይ ምን አይነት ዘዴዎች እንዳሉ በአጭሩ እናስታውስ።

አለ። አራት ዋና መንገዶችየእኩልታዎች ስርዓቶች መፍትሄዎች;

የመተካት ዘዴ: ከተሰጡት እኩልታዎች ውስጥ አንዱን ይውሰዱ እና $y$ን በ$x$ ይግለጹ, ከዚያም $y$ በሲስተም ቀመር ውስጥ ይተካዋል, ከየትኛው ተለዋዋጭ $ x.$ ይገኛል.ከዚህ በኋላ, በቀላሉ ማስላት እንችላለን. ተለዋዋጭ $y.$

የመደመር ዘዴ፡ በዚህ ዘዴ አንድ ወይም ሁለቱንም እኩልታዎች በእነዚህ ቁጥሮች ማባዛት ያስፈልግዎታል ሁለቱንም አንድ ላይ ሲጨምሩ ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱ “ይጠፋል።

ስዕላዊ ዘዴ፡ ሁለቱም የስርዓቱ እኩልታዎች በ ላይ ይታያሉ አውሮፕላን አስተባባሪእና የመስቀለኛ መንገዳቸው ነጥብ ተገኝቷል.

አዳዲስ ተለዋዋጮችን የማስተዋወቅ ዘዴ በዚህ ዘዴ ስርዓቱን ለማቃለል አንዳንድ መግለጫዎችን እንተካለን እና ከዚያ ከላይ ከተጠቀሱት ዘዴዎች ውስጥ አንዱን እንጠቀማለን።

የአርቢ እኩልታዎች ስርዓቶች

ፍቺ 1

ገላጭ እኩልታዎችን ያካተቱ የእኩልታዎች ስርዓቶች የአርቢ እኩልታዎች ስርዓቶች ይባላሉ።

ምሳሌዎችን በመጠቀም የአርቢ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት እንመለከታለን።

ምሳሌ 1

የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት

ምስል 1.

መፍትሄ።

ይህንን ስርዓት ለመፍታት የመጀመሪያውን ዘዴ እንጠቀማለን. በመጀመሪያ፣ በመጀመሪያው እኩልታ $y$ን በ$x$ እንግለጽ።

ምስል 2.

$y$ን ወደ ሁለተኛው ቀመር እንተካው፡-

\\[-2-x=2\] \\

መልስ፡- $(-4,6)$.

ምሳሌ 2

የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት

ምስል 3.

መፍትሄ።

ይህ ስርዓት ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው

ምስል 4.

አራተኛውን እኩልታዎች የመፍታት ዘዴ እንተገብረው። $2^x=u\ (u >0)$፣ እና $3^y=v\ (v >0)$፣ እናገኛለን፡-

ምስል 5.

የመደመር ዘዴን በመጠቀም የተገኘውን ስርዓት እንፍታ. እኩልታዎቹን እንጨምር፡-

\ \

ከዚያ ከሁለተኛው እኩልታ, ያንን እናገኛለን

ወደ መተኪያው ስመለስ፣ አዲስ የአርቢ እኩልታዎች ስርዓት ደረሰኝ፡-

ምስል 6.

እናገኛለን፡-

ምስል 7.

መልስ፡- $(0,1)$.

የአርቢ እኩልነት ስርዓቶች

ፍቺ 2

ገላጭ እኩልታዎችን ያካተቱ የእኩልነት ስርዓቶች ስርዓት ይባላሉ ገላጭ አለመመጣጠን.

ምሳሌዎችን በመጠቀም የአርቢ እኩልነት ስርዓቶችን መፍታት እንመለከታለን።

ምሳሌ 3

የእኩልነት ስርዓትን ይፍቱ

ምስል 8.

መፍትሄ፡-

ይህ የእኩልነት ስርዓት ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው።

ምስል 9.

የመጀመሪያውን ኢ-እኩልነት ለመፍታት፣ በገለፃ እኩልነት እኩልነት ላይ የሚከተለውን ንድፈ ሃሳብ አስታውስ።

ቲዎሪ 1.እኩልነት $a^(f(x)) >a^(\varphi (x))$፣ $a >0፣a\ne 1$ ከሁለት ስርዓቶች ስብስብ ጋር እኩል ነው።

\

የ$b$ ሚና ተራ ቁጥር ሊሆን ይችላል፣ ወይም ምናልባት የበለጠ ከባድ ነገር ሊሆን ይችላል። ምሳሌዎች? አዎ እባክዎ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ ኳድ ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) (x)))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ትርጉሙ ግልጽ ነው ብዬ አስባለሁ፡ ገላጭ ተግባር $((a)^(x))$ አለ፣ ከአንድ ነገር ጋር ይነጻጸራል፣ እና ከዚያም $x$ን ለማግኘት ይጠየቃል። በተለይ ክሊኒካዊ ጉዳዮች፣ ከተለዋዋጭ $x$ ይልቅ፣ አንዳንድ ተግባራትን $f በግራ(x \ቀኝ)$ ማስቀመጥ ይችላሉ እና በዚህም እኩልነትን ትንሽ ያወሳስባሉ። :)

እርግጥ ነው, በአንዳንድ ሁኔታዎች አለመመጣጠን የበለጠ ከባድ መስሎ ሊታይ ይችላል. ለምሳሌ:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

ወይም ይህ እንኳን:

በአጠቃላይ የእንደዚህ አይነት እኩልነት ውስብስብነት በጣም የተለየ ሊሆን ይችላል, ነገር ግን በመጨረሻ አሁንም ወደ ቀላል ግንባታ $ ((a) ^ (x)) \ gt b$ ይቀንሳሉ. እና እንደዚህ አይነት ግንባታን እንደምንም እናውጣለን (በተለይ ክሊኒካዊ ጉዳዮች, ምንም ወደ አእምሮ በማይመጣበት ጊዜ, ሎጋሪዝም ይረዳናል). ስለዚህ, አሁን እንደዚህ ያሉ ቀላል ግንባታዎችን እንዴት እንደሚፈቱ እናስተምራለን.

ቀላል ገላጭ አለመመጣጠን መፍታት

በጣም ቀላል የሆነን ነገር እንመልከት። ለምሳሌ ይህ፡-

\[((2)^(x)) \gt 4\]

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው በቀኝ በኩል ያለው ቁጥር እንደ ሁለት ኃይል እንደገና ሊጻፍ ይችላል: $ 4= ((2) ^ (2)) $. ስለዚህ የዋናው አለመመጣጠን በጣም ምቹ በሆነ ቅጽ እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

እና አሁን $ x \gt 2$ መልሱን ለማግኘት እጆቼ በሃይሎች መሠረት ሁለቱን "ለመሻገር" ማሳከክ አለባቸው። ግን ማንኛውንም ነገር ከማቋረጣችን በፊት የሁለቱን ሀይሎች እናስታውስ፡-

\[((2)^(1)=2;\quad ((2)^(2)=4;\quad (2)^(3)=8;\quad ((2)^(2)^( 4))=16፤...\]

እንደምናየው ከ ትልቅ ቁጥርበአርቢው ውስጥ ነው, የውጤት ቁጥሩ ይበልጣል. "አመሰግናለሁ ካፕ!" - ከተማሪዎቹ አንዱ ይጮኻል። ከዚህ የተለየ ነው? በሚያሳዝን ሁኔታ, ይከሰታል. ለምሳሌ:

\[((\ግራ(\frac(1)(2)\ቀኝ)))^(1)=\frac(1)(2));\quad ((\ግራ(\frac(1)(2)) ቀኝ))^(2))=\frac(1)(4)፤\quad ((\ግራ(\frac(1)(2) \ቀኝ))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

እዚህ ደግሞ ሁሉም ነገር አመክንዮአዊ ነው-ከፍተኛው ዲግሪ, ብዙ ጊዜ ቁጥር 0.5 በራሱ ተባዝቷል (ማለትም, በግማሽ ይከፈላል). ስለዚህ ፣ የቁጥሮች ቅደም ተከተል እየቀነሰ ነው ፣ እና በመጀመሪያው እና በሁለተኛው ቅደም ተከተል መካከል ያለው ልዩነት በመሠረቱ ላይ ብቻ ነው-

• የዲግሪው መሠረት $a \gt 1$ ከሆነ፣ $n$ አርቢው ሲጨምር፣ ቁጥሩ $((a)^(n))$ ይጨምራል።
• እና በተቃራኒው፣ $0 \lt a \lt 1$ ከሆነ፣ $n$ አርቢው ሲጨምር፣ ቁጥሩ $((a)^(n))$ ይቀንሳል።

እነዚህን እውነታዎች ጠቅለል አድርገን ስንገልጽ፣ አጠቃላይ የአብነት አለመመጣጠን መፍትሄ የተመሰረተበትን በጣም አስፈላጊ መግለጫ እናገኛለን፡-

$a \gt 1$ ከሆነ፣ የ$((a)^(x)) \gt((a)^(n))$ እኩልነት ከ$x \gt n$ ጋር እኩል ነው። $0 \lt a \lt 1$ ከሆነ፣ የ$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ እኩልነት ከ$x \lt n$ ጋር እኩል ነው።

በሌላ አነጋገር, መሠረት ከሆነ ከአንድ በላይ, በቀላሉ ሊያስወግዱት ይችላሉ - የእኩልነት ምልክት አይለወጥም. እና መሰረቱ ከአንድ ያነሰ ከሆነ, ከዚያም ሊወገድ ይችላል, ግን በተመሳሳይ ጊዜ የእኩልነት ምልክቱን መቀየር አለብዎት.

እባኮትን $a=1$ እና $a\le 0$ አማራጮችን ያላጤንን መሆናችንን ልብ ይበሉ። ምክንያቱም በእነዚህ አጋጣሚዎች እርግጠኛ አለመሆን ይከሰታል. የቅጹን እኩልነት እንዴት እንደሚፈታ እንበል $((1)^(x)) \gt 3$? አንድ ለማንኛዉም ሃይል እንደገና አንድ ይሰጣል - በጭራሽ ሶስት ወይም ከዚያ በላይ አናገኝም። እነዚያ። ምንም መፍትሄዎች የሉም.

በአሉታዊ ምክንያቶች ሁሉም ነገር የበለጠ አስደሳች ነው። ለምሳሌ፣ ይህንን እኩልነት አስቡበት፡-

\[((\ግራ(-2 \በቀኝ)))^(x)) \gt 4\]

በመጀመሪያ ሲታይ ሁሉም ነገር ቀላል ነው-

ቀኝ? ግን አይደለም! መፍትሄው የተሳሳተ መሆኑን ለማረጋገጥ ከ$x$ ይልቅ ሁለት እኩል እና ሁለት ያልተለመዱ ቁጥሮችን መተካት በቂ ነው። ተመልከት:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=4\ቀኝ ቀስት ((\ግራ(-2 \ቀኝ)))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\ቀኝ ቀስት ((\ ግራ(-2 \ቀኝ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\ቀኝ ቀስት ((\ ግራ(-2 \ቀኝ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\ ቀኝ ቀስት ((\ ግራ(-2 \ቀኝ))^(7)=-128 \lt 4. \\\መጨረሻ(align)\]

እንደሚመለከቱት, ምልክቶቹ ይለዋወጣሉ. ግን ተጨማሪ አለ ክፍልፋይ ኃይሎችእና ሌላ ቆርቆሮ. ለምሳሌ እንዴት $((\ግራ(-2 \ቀኝ)))^(\sqrt(7))$(ከሰባት ሃይል ሁለት ሲቀነስ) ለማስላት ያዝዛሉ? በጭራሽ!

ስለዚህ፣ ለትክክለኛነቱ፣ በሁሉም ገላጭ አለመመጣጠን (እና እኩልታዎች፣ በነገራችን ላይም) $1\ne a \gt 0$ ብለን እንገምታለን። እና ከዚያ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው-

\[(((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\ቀኝ \በግራ[\ጀምር(align) & x \gt n\quad \ግራ(a \gt 1 \ቀኝ) ፣ \\ & x \lt n\quad \ግራ(0 \lt a \lt 1 \ ቀኝ)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \\ቀኝ\]

በአጠቃላይ, ዋናውን ህግ አንድ ጊዜ አስታውስ-በአንድ ገላጭ እኩልታ ውስጥ ያለው መሠረት ከአንድ በላይ ከሆነ, በቀላሉ ማስወገድ ትችላለህ; እና መሰረቱ ከአንድ ያነሰ ከሆነ, ሊወገድም ይችላል, ነገር ግን የእኩልነት ምልክት ይለወጣል.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

ስለዚህ፣ ጥቂት ቀላል ገላጭ አለመመጣጠኖችን እንመልከት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0፣2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በሁሉም ጉዳዮች ውስጥ ዋናው ተግባር ተመሳሳይ ነው: እኩል ያልሆኑትን ወደ ቀላሉ ቅጽ $ ((a) ^ (x)) \gt ((a) ^ (n)) $ ለመቀነስ. በእያንዳንዱ እኩልነት አሁን የምናደርገው ይህ ነው, እና በተመሳሳይ ጊዜ የዲግሪዎችን ባህሪያት እንደግማለን እና ገላጭ ተግባር. ስለዚህ እንሂድ!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

እዚህ ምን ማድረግ ይችላሉ? ደህና ፣ በግራ በኩል ቀድሞውኑ አመላካች አገላለጽ አለን - ምንም መለወጥ አያስፈልግም። ነገር ግን በቀኝ በኩል አንድ ዓይነት ቆሻሻ አለ-ክፍልፋይ እና ሌላው ቀርቶ በዲኖሚኔተር ውስጥ ሥር!

ሆኖም፣ ከክፍልፋዮች እና ሀይሎች ጋር ለመስራት ህጎቹን እናስታውስ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \frac(1)((((a)^(n))))=(((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k)))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ምን ማለት ነው? በመጀመሪያ, ክፍልፋዩን አሉታዊ ገላጭ ወደ ኃይል በመቀየር በቀላሉ ማስወገድ እንችላለን. በሁለተኛ ደረጃ ፣ መለያው ሥር ስላለው ፣ ወደ ኃይል ቢቀይሩት ጥሩ ይሆናል - በዚህ ጊዜ ክፍልፋይ ገላጭ።

እነዚህን ድርጊቶች በቅደም ተከተል ወደ እኩልነት በቀኝ በኩል እንተገብራቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ፡

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\ግራ(\sqrt(2)\ቀኝ))^(-1))=((\ግራ((2)^(\frac( 1)(3))) \ቀኝ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \ግራ(-1 \ቀኝ))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

አንድ ዲግሪን ወደ ሃይል ሲያሳድጉ የእነዚህ ዲግሪዎች ገላጭዎች እንደሚጨመሩ አይርሱ። እና በአጠቃላይ ፣ ከገለፃ እኩልታዎች እና እኩልነት ጋር ሲሰሩ ከስልጣኖች ጋር ለመስራት ቢያንስ ቀላሉ ህጎችን ማወቅ በጣም አስፈላጊ ነው-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=(((ሀ)^(x-y)); \\ & ((\ግራ(((a)^(x)) \ቀኝ))^(y))=((a)^(x\cdot y))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደ እውነቱ ከሆነ የመጨረሻውን ህግ ብቻ ተግባራዊ አድርገናል። ስለዚህ የእኛ የመጀመሪያ አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ ይጻፋል።

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\ቀኝ ቀስት ((2)^(x-1))\ le ((2)^(-- frac(1)(3)))\]

አሁን ሁለቱን በመሠረቱ ላይ እናስወግዳለን. ከ 2> 1 ጀምሮ፣ የእኩልነት ምልክቱ እንዳለ ይቆያል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x-1 \ le -\frac(1)(3)\ቀኝ ቀስት x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\በግራ(-\infty;\frac(2)(3) \ቀኝ]።\\\መጨረሻ(align)\]

ያ ነው መፍትሄው! ዋናው ችግር በአጠቃላይ ገላጭ ተግባር ውስጥ አይደለም, ነገር ግን የዋናውን አገላለጽ ብቃት ባለው ለውጥ ውስጥ በጥንቃቄ እና በፍጥነት ወደ ቀላሉ ቅርጽ ማምጣት ያስፈልግዎታል.

ሁለተኛውን አለመመጣጠን እንመልከት፡-

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

ስለሆነ. የአስርዮሽ ክፍልፋዮች እዚህ ይጠብቁናል። ደጋግሜ እንደተናገርኩት፣ ከስልጣኖች ጋር ባሉ ማናቸውም አገላለጾች ውስጥ አስርዮሽዎችን ማስወገድ አለቦት - ብዙ ጊዜ ፈጣን እና ቀላል መፍትሄ ለማየት ብቸኛው መንገድ ይህ ነው። እዚህ እናስወግዳለን-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.1=\frac(1)(10)፤\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\ግራ(\frac(1)(10) \ ቀኝ)))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\ ቀኝ ቀስት ((\ግራ(\frac(1)(10) \ቀኝ))^(1-x)) \lt (\ግራ(\frac(1)(10) \ቀኝ))^(2))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እዚህ እንደገና በጣም ቀላሉ እኩልነት አለን, እና በ 1/10 መሠረት እንኳን, ማለትም. ከአንድ ያነሰ. ደህና ፣ መሠረቶቹን እናስወግዳለን ፣ በተመሳሳይ ጊዜ ምልክቱን ከ “ከትንሽ” ወደ “ተጨማሪ” እንለውጣለን እና እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻውን መልስ ተቀብለናል: $ x \ በግራ \ (-\ infty ; - 1 \ ቀኝ)$. እባክዎን ያስተውሉ: መልሱ በትክክል ስብስብ ነው, እና በምንም መልኩ የ $ x \lt -1$ ቅፅ ግንባታ. ምክንያቱም በመደበኛነት, እንዲህ ዓይነቱ ግንባታ ጨርሶ አይደለም, ነገር ግን ከተለዋዋጭ $ x$ ጋር እኩል ያልሆነ. አዎ, በጣም ቀላል ነው, ግን መልሱ አይደለም!

ጠቃሚ ማስታወሻ. ይህ እኩልነት በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል - ሁለቱንም ወገኖች ከአንድ በላይ ወደሆነ ኃይል በመቀነስ። ተመልከት:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\ቀኝ ቀስት ((\ግራ((((10)^(-1))\ቀኝ)))^(1-x)) lt ((\ ግራ(((10)^(-1)) \ቀኝ))^(2))\ቀኝ ቀስት ((10)^(-1\cdot \ግራ(1-x \ቀኝ)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

ከእንደዚህ አይነት ለውጥ በኋላ, እንደገና ገላጭ እኩልነት እናገኛለን, ነገር ግን ከ 10> 1 መሠረት ጋር. እናገኛለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & -1\cdot \ግራ(1-x \ቀኝ) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \ lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደምታየው, መልሱ በትክክል አንድ አይነት ነበር. በተመሳሳይ ጊዜ, ምልክቱን ለመለወጥ እና በአጠቃላይ ማንኛውንም ደንቦችን ከማስታወስ እራሳችንን አድነናል. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

ሆኖም፣ ይህ እንዲያስፈራዎት አይፍቀዱ። በአመላካቾች ውስጥ ምንም ይሁን ምን, አለመመጣጠን የመፍታት ቴክኖሎጂ ራሱ ይቀራል. ስለዚህ በመጀመሪያ 16 = 2 4 መሆኑን እናስተውል. ይህንን እውነታ ከግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እንደገና እንፃፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^((((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & (((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & (((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\መጨረሻ(align)\]

ሆሬ! የተለመደውን አግኝተናል ኳድራቲክ አለመመጣጠን! ምልክቱ በየትኛውም ቦታ አልተለወጠም, ምክንያቱም መሰረቱ ሁለት - ከአንድ በላይ የሆነ ቁጥር.

በቁጥር መስመር ላይ የአንድ ተግባር ዜሮዎች

የተግባር ምልክቶችን እናደራጃለን $f\ግራ(x \ቀኝ)=(((x)^(2))-7x+10$ - በግልጽ ግራፉ ከቅርንጫፎች ጋር ፓራቦላ ይሆናል፣ ስለዚህ "ፕላስ" ይኖራል። "በጎኖቹ ላይ. ተግባሩ ከዜሮ በታች በሆነበት ክልል ላይ ፍላጎት አለን, ማለትም. $x\in \በግራ(2;5 \ቀኝ)$ ለዋናው ችግር መልስ ነው።

በመጨረሻም፣ ሌላ እኩልነትን አስቡበት፡-

\[((0፣2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

እንደገና የአስርዮሽ ክፍልፋይ ያለው ገላጭ ተግባር እናያለን። ይህን ክፍልፋይ ወደ የጋራ ክፍልፋይ እንለውጠው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\ቀኝ ቀስት \\ & \ ቀኝ ቀስት ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\ግራ((5)^(-1)) \ቀኝ))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \ግራ(1+((x)^(2)) \ቀኝ)))\መጨረሻ(align)\]

በዚህ ሁኔታ, ቀደም ሲል የተሰጠውን አስተያየት ተጠቅመንበታል - ተጨማሪ መፍትሄችንን ለማቃለል መሰረቱን ወደ ቁጥር 5> 1 ቀንሰነዋል. በቀኝ በኩል ተመሳሳይ ነገር እናድርግ፡-

\[\frac(1)(25)=((\ግራ(\frac(1)(5) \ቀኝ)))^(2))=(\ግራ((5)^(-1)) ቀኝ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

ሁለቱንም ለውጦች ግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እንደገና እንፃፍ።

\[((0,2)^(1+(((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\ቀኝ ቀስት ((5)^(-1\cdot \ ግራ(1+) ((x)^(2)) \ቀኝ)))\ge ((5)^(-2))\]

በሁለቱም በኩል ያሉት መሠረቶች ተመሳሳይ እና ከአንድ በላይ ናቸው. በቀኝ እና በግራ ምንም ሌሎች ቃላቶች የሉም ፣ ስለሆነም በቀላሉ አምስቱን “እናቋርጣለን” እና በጣም ቀላል አገላለጽ እናገኛለን።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & -1\cdot \ግራ(1+((x)^(2)) \ቀኝ)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x)^(2))\ le 1. \\\ መጨረሻ(align)\]

የበለጠ ጥንቃቄ ማድረግ ያለብዎት እዚህ ነው። ብዙ ተማሪዎች በቀላሉ ማውጣት ይወዳሉ ካሬ ሥርየሁለቱም እኩልነት አለመመጣጠን እና እንደ $ x \ le 1 \ ቀኝ ቀስት x \ በግራ \ (- \ infty; - 1 \ ቀኝ] $ ይፃፉ ። በምንም ሁኔታ ይህንን ማድረግ የለብዎትም ፣ ምክንያቱም የአንድ ትክክለኛ ካሬ ሥሩ ነው ። ሞጁል፣ እና በምንም ሁኔታ ዋናው ተለዋዋጭ፡-

\[\sqrt (((x)^(2)))=\ግራ| x\ቀኝ|\]

ሆኖም ከሞጁሎች ጋር መሥራት በጣም አስደሳች ተሞክሮ አይደለም ፣ አይደለም እንዴ? ስለዚህ አንሰራም። ይልቁንስ በቀላሉ ሁሉንም ቃላቶች ወደ ግራ እናንቀሳቅሳቸዋለን እና የእረፍት ዘዴን በመጠቀም የተለመደውን እኩልነት እንፈታለን-

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((x)^(2)) -1 \ le 0; \\ & \ግራ(x-1 \ቀኝ)\ግራ(x+1 \ቀኝ)\le 0 \\ & ((x)__(1)=1;\quad ((x)__(2)) = -1; \\ መጨረሻ (አሰላለፍ)$

የተገኙትን ነጥቦች እንደገና በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን እና ምልክቶቹን እንመለከታለን-

እባክዎን ያስተውሉ: ነጥቦቹ ጥላ ናቸው

ጥብቅ ያልሆነ እኩልነት እየፈታን ስለነበር፣ በግራፉ ላይ ያሉት ሁሉም ነጥቦች ጥላ ናቸው። ስለዚህ መልሱ ይሆናል፡-$x\በግራ[-1;1 \ቀኝ]$ ክፍተት ሳይሆን ክፍል ነው።

በአጠቃላይ ፣ በገለፃ እኩል አለመመጣጠን ላይ ምንም የተወሳሰበ ነገር እንደሌለ ማስተዋል እፈልጋለሁ። ዛሬ ያደረግናቸው የሁሉም ለውጦች ትርጉም ወደ ቀላል ስልተ ቀመር ይወርዳል፡-

• ሁሉንም ዲግሪዎች የምንቀንስበትን መሠረት ይፈልጉ;
• የ$((a)^(x)) \gt (((a)^(n))$) ቅፅ አለመመጣጠን ለማግኘት ለውጦቹን በጥንቃቄ ያከናውኑ። እርግጥ ነው፣ ከተለዋዋጭዎቹ $x$ እና $n$ ብዙ ተጨማሪ ሊኖሩ ይችላሉ። ውስብስብ ተግባራት, ግን ትርጉሙ አይለወጥም;
• የዲግሪዎችን መሰረቶች ያቋርጡ. በዚህ አጋጣሚ፣ መሰረቱ $a \lt 1$ ከሆነ የእኩልነት ምልክቱ ሊቀየር ይችላል።

በመሰረቱ ይህ ነው። ሁለንተናዊ አልጎሪዝምለሁሉም እንደዚህ ያሉ እኩል ያልሆኑ መፍትሄዎች. እና በዚህ ርዕስ ላይ የሚነግሩዎት ነገሮች ሁሉ ለውጡን የሚያቃልሉ እና የሚያፋጥኑ ልዩ ቴክኒኮች እና ዘዴዎች ብቻ ናቸው። አሁን ከእነዚህ ዘዴዎች ውስጥ አንዱን እንነጋገራለን. :)

ምክንያታዊነት ዘዴ

ሌላ የእኩልነት ስብስቦችን እንመልከት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\text( )\!\!\pi\!\! \!\! ጽሑፍ ( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\ግራ(2\sqrt(3))\ቀኝ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ግራ(\frac(1)(3) \ቀኝ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\ግራ(\frac(1)(9))) \ቀኝ)) ^ (16-x)); \\ & ((\ግራ(3-2\sqrt(2)\ቀኝ))^(3x-((((x)^(2))))) \lt 1. \\\መጨረሻ(align)\]

ታዲያ ለእነሱ ምን ልዩ ነገር አለ? ብርሃን ናቸው። ምንም እንኳን ፣ አቁም! ቁጥሩ π ወደ የተወሰነ ኃይል ተነስቷል? ምን ከንቱ ነገር ነው?

ቁጥሩን $2\sqrt(3)-3$ ወደ ሃይል እንዴት ማሳደግ ይቻላል? ወይም $3-2\sqrt(2)$? የችግሮቹ ጸሃፊዎች ለስራ ከመቀመጡ በፊት ብዙ Hawthorn ጠጥተዋል. :)

በእውነቱ, በእነዚህ ተግባራት ውስጥ ምንም አስፈሪ ነገር የለም. ላስታውስህ፡ ገላጭ ተግባር የ$((a)^(x))$ ቅጽ መግለጫ ሲሆን መሰረቱ $a$ ከአንዱ በስተቀር ማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር ነው። ቁጥሩ π አዎንታዊ ነው - አስቀድመን አውቀናል. $2\sqrt(3)-3$ እና $3-2\sqrt(2)$ ቁጥሮችም አዎንታዊ ናቸው - ይህ ከዜሮ ጋር ካነጻጸሯቸው ለማየት ቀላል ነው።

እነዚህ ሁሉ “አስፈሪ” እኩልነቶች የተፈቱት ከላይ ከተገለጹት ቀላል አይደሉም? እና በተመሳሳይ መንገድ ተፈትተዋል? አዎ፣ ፍፁም ትክክል ነው። ሆኖም ግን, የእነሱን ምሳሌ በመጠቀም, ጊዜን በእጅጉ የሚቆጥብ አንድ ዘዴን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ ገለልተኛ ሥራእና ፈተናዎች. ስለ ምክንያታዊነት ዘዴ እንነጋገራለን. ስለዚህ ትኩረት:

የ$((a)^(x)) \gt((a)^(n))$ የቅፅ ማንኛውም ገላጭ አለመመጣጠን ከ$\ግራ(x-n \ቀኝ)\cdot \ግራ(a-1 \) ጋር እኩል ነው። በቀኝ) \gt 0 $.

ያ አጠቃላይ ዘዴው ነው። :) ሌላ ዓይነት ጨዋታ ይኖራል ብለው አስበው ነበር? እንደዚህ ያለ ነገር የለም! ነገር ግን ይህ ቀላል ሃቅ፣ በጥሬው በአንድ መስመር የተፃፈ፣ ስራችንን በእጅጉ ያቀልልናል። ተመልከት:

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((\ጽሑፍ ( )\!\!\pi\!\! !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \ቁልቁል \\ \ግራ(x+7-\ግራ(((x)^(2))) -3x+2 \ቀኝ) \\ ቀኝ)\cdot \ግራ(\ጽሑፍ()\!\!\pi\!\!\text( -1 \ቀኝ) \gt 0 \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

ስለዚህ ምንም ተጨማሪ ገላጭ ተግባራት የሉም! እና ምልክቱ ይለወጥ እንደሆነ ወይም እንዳልሆነ ማስታወስ የለብዎትም. ግን አዲስ ችግር ተፈጥሯል-በእርግማን ብዜት \[\ ግራ (\ጽሑፍ () \!\ ፒ \!\! ጽሑፍ ( -1 \ ቀኝ) \] ምን ይደረግ? የቁጥር ትክክለኛ ዋጋ ምን እንደሆነ አናውቅም። ሆኖም ካፒቴኑ ግልፅ የሆነውን ነገር ፍንጭ የሰጠ ይመስላል።

\[\ጽሑፍ ( ) 1\gt 3-1=2\]

በአጠቃላይ የ π ትክክለኛ ዋጋ እኛን አይመለከትም - በማንኛውም ሁኔታ $\text ( ) $, ቲ.ኢ. ይህ አዎንታዊ ቋሚ ነው, እና ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በእሱ መከፋፈል እንችላለን:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \ግራ(x+7-\ግራ(((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(\ጽሑፍ()\!\! \pi\!\!\text() -1 \በቀኝ) \gt 0 \\ & x+7-\ግራ((((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x) ^ (2)) -4x-5 \ lt 0; \\ & \ግራ(x-5 \ቀኝ)\ግራ(x+1 \ቀኝ) \lt 0. \\\መጨረሻ(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ በአንድ የተወሰነ ጊዜ አንድ ሲቀነስ መከፋፈል ነበረብን - እና የእኩልነት ምልክት ተለወጠ። በመጨረሻ ፣ የቪዬታ ቲዎሬምን በመጠቀም አራት ማዕዘናዊ ትሪኖሚሎችን አስፋፍቻለሁ - ሥሮቹ ከ$((x)_(1)) = 5$ እና $((x)_(2)) = -1$ ጋር እኩል መሆናቸውን ግልፅ ነው። . ከዚያ ሁሉም ነገር በጥንታዊው የጊዜ ክፍተት ዘዴ ይፈታል-

የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም አለመመጣጠን መፍታት

የመጀመሪያው አለመመጣጠን ጥብቅ ስለሆነ ሁሉም ነጥቦች ይወገዳሉ. እኛ በአሉታዊ እሴቶች ክልል ላይ ፍላጎት አለን ፣ ስለዚህ መልሱ $ x \ በ \ በግራ (-1; 5 \ በቀኝ)$ ነው። መፍትሄው ያ ነው። :)

ወደሚቀጥለው ተግባር እንሂድ፡-

\[((\ግራ(2\sqrt(3)-3 \ቀኝ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

እዚህ ሁሉም ነገር በአጠቃላይ ቀላል ነው, ምክንያቱም በቀኝ በኩል አንድ ክፍል አለ. እና አንድ ሰው ወደ ዜሮ ሃይል የሚወጣው ማንኛውም ቁጥር መሆኑን እናስታውሳለን. ይህ ቁጥር ቢሆንም ምክንያታዊ ያልሆነ አገላለጽበግራ በኩል ግርጌ ቆሞ;

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((\ግራ(2\sqrt(3)-3 \ቀኝ))^((((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\ግራ(2) \sqrt(3)-3 \ቀኝ))^(0)); \\ & ((\ግራ(2\sqrt(3)-3 \ቀኝ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\ግራ(2\sqrt(3))) \ቀኝ))^(0)); \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ምክንያታዊ እናድርገው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ ግራ((((x)^(2))-2x-0 \ቀኝ)\cdot \ግራ(2\sqrt(3)-3-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ((((x)^(2))) -2x-0 \\cdot \ግራ(2\sqrt(3)-4 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ((((x)^(2)))-2x-0 \cdot 2\ left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\ end(align)\ ]

የቀረው ሁሉ ምልክቶቹን መለየት ነው. ፋክቱ $2 \ ግራ(\sqrt(3)-2 \ቀኝ)$ ተለዋዋጭ $x$ የለውም - ልክ ቋሚ ነው፣ እና ምልክቱን ማወቅ ያስፈልገናል። ይህንን ለማድረግ የሚከተለውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\\ታች \\ 2\ግራ(\sqrt(3)-2 \ቀኝ) \lt 2\cdot \ግራ(2) -2 \ቀኝ)=0 \\\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

ሁለተኛው ምክንያት ቋሚ ብቻ ሳይሆን አሉታዊ ቋሚ ነው! እና በእሱ ሲከፋፈሉ የዋናው እኩልነት ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ ግራ(((x)^(2))) -2x-0 \ቀኝ\cdot 2\ግራ(\sqrt(3)-2 \ቀኝ) \lt 0; \\ & ((x)^ (2)) -2x-0 \ gt 0; \\ & x\ግራ(x-2 \ቀኝ) \gt 0. \\\ መጨረሻ(align)\]

አሁን ሁሉም ነገር ሙሉ በሙሉ ግልጽ ይሆናል. ሥሮች ኳድራቲክ ሶስትዮሽበቀኝ በኩል ቆሞ፡ $((x)_(1))=0$ እና $((x)__(2))=2$። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን እና የ $ f\left(x \right)=x\ግራ(x-2 \ቀኝ)$: ምልክቶችን እንመለከታለን።

የጎን ክፍተቶችን ስንፈልግ ጉዳዩ

በመደመር ምልክት ምልክት የተደረገባቸውን ክፍተቶች እንፈልጋለን። የቀረው መልሱን መጻፍ ብቻ ነው።

ወደ ቀጣዩ ምሳሌ እንሂድ፡-

\[((\ግራ(\frac(1)(3)\ቀኝ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\ግራ(\frac(1)(9)) ቀኝ))^(16-x))\]

ደህና ፣ እዚህ ሁሉም ነገር ሙሉ በሙሉ ግልፅ ነው-መሠረቶች ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸውን ኃይሎች ይይዛሉ። ስለዚህ ሁሉንም ነገር በአጭሩ እጽፋለሁ-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \frac(1) (3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)((3)^((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ታች \\ ((\ግራ(((3)^(-1)) \ቀኝ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\ግራ(((3)^(-2))\ቀኝ))^(16-x)) \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

\[\ጀምር (አሰላለፍ) እና ((3)^(-1\cdot \ግራ(((x)^(2))+2x \ቀኝ))) \gt ((3)^(-2\cdot \) ግራ (16-x \ ቀኝ))); \\ & (((3)^(((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \ግራ((((x)^(2))) -2x-\ግራ(-32+2x \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(3-1 \ቀኝ) \gt 0; \\ & -((x)^ (2)) -2x+32-2x \gt 0; \\ & -(((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \ግራ(x+8 \ቀኝ)\ግራ(x-4 \ቀኝ) \lt 0. \\\መጨረሻ(align)\]

እንደምታየው በለውጥ ሂደት ውስጥ ማባዛት ነበረብን አሉታዊ ቁጥር, ስለዚህ የእኩልነት ምልክት ተለውጧል. በመጨረሻ፣ ኳድራቲክ ትሪኖሚል ለማድረግ የቪዬታን ቲዎሬም እንደገና ተግባራዊ አድርጌ ነበር። በውጤቱም, መልሱ የሚከተለው ይሆናል: $ x \ በግራ \u003e\u003e በግራ (-8; 4 \u003e ቀኝ)$ - ማንም ሰው የቁጥር መስመርን በመሳል, ነጥቦቹን በማመልከት እና ምልክቶችን በመቁጠር ማረጋገጥ ይችላል. ይህ በእንዲህ እንዳለ፣ ከ “ስብስብ” ወደ መጨረሻው እኩልነት እንሸጋገራለን፡-

\[((\ግራ(3-2\sqrt(2)\ቀኝ)))^(3x-(((x)^(2)))) \lt 1\]

እንደሚመለከቱት ፣ በመሠረቱ ላይ እንደገና ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር አለ ፣ በቀኝ በኩል ደግሞ አንድ ክፍል አለ። ስለዚህ፣ የእኛን ገላጭ አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንጽፋለን።

\[((\ግራ(3-2\sqrt(2)\ቀኝ)))^(3x-(((x)^(2))))) \lt ((\ግራ(3-2\sqrt(2))) ቀኝ))^(0))\]

ምክንያታዊነትን እንተገብራለን፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & \ ግራ(3x-(((x)^(2))) -0 \ቀኝ)\cdot \ግራ(3-2\sqrt(2)-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ(3x-(((x)^(2))-0 \ቀኝ)\cdot \ግራ(2-2\sqrt(2) \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ(3x-(((x)^(2))-0 \ቀኝ)\cdot 2\ግራ(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\ end(align)\ ]

ሆኖም፣ $1-\sqrt(2) \lt 0$፣ ከ$\sqrt(2) ጀምሮ 1,4... \gt 1$ መሆኑ በጣም ግልፅ ነው። ስለዚህ ፣ ሁለተኛው ምክንያት እንደገና አሉታዊ ቋሚ ነው ፣ በዚህም ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ሊከፋፈሉ ይችላሉ-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) \ግራ(3x-(((x)^(2))-0 \ቀኝ)\cdot 2\ግራ(1-\sqrt(2) \ቀኝ) \lt 0 \\ \ታች \\ \\ መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 3x-((x)^ (2)) -0 \ gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \ ግራ| \cdot \ግራ(-1 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & ((x)^ (2)) -3x \lt 0; \\ & x\ግራ(x-3 \ቀኝ) \lt 0. \\\ መጨረሻ(align)\]

ወደ ሌላ መሠረት ውሰድ

ገላጭ እኩልነቶችን በሚፈታበት ጊዜ የተለየ ችግር "ትክክለኛ" መሠረት መፈለግ ነው. እንደ አለመታደል ሆኖ በአንድ ሥራ ላይ በመጀመሪያ እይታ ምን እንደ መሠረት መውሰድ እንዳለበት እና በዚህ መሠረት ደረጃ ምን ማድረግ እንዳለበት ሁል ጊዜ ግልፅ አይደለም ።

ግን አይጨነቁ: እዚህ ምንም አስማት ወይም "ሚስጥራዊ" ቴክኖሎጂ የለም. በሂሳብ ውስጥ ማንኛውም ችሎታ በአልጎሪዝም ሊደረግ የማይችል በተግባር በቀላሉ ሊዳብር ይችላል። ግን ለዚህ የተለያዩ ውስብስብ ደረጃዎች ችግሮችን መፍታት ይኖርብዎታል. ለምሳሌ፣ እንደዚህ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\ግራ(\frac(1)(3) \ቀኝ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\ ግራ(0,16 \ቀኝ))^(1+2x))\cdot ((\ ግራ(6,25 \ቀኝ))^(x))\ge 1; \\ & ((\ ግራ(\frac(27)(\sqrt(3))\ቀኝ)))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ መጨረሻ (አሰላለፍ)\]

አስቸጋሪ? አስፈሪ? አስፋልት ላይ ዶሮ ከመምታት ይቀላል! እንሞክር። የመጀመሪያው አለመመጣጠን;

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ደህና ፣ እዚህ ሁሉም ነገር ግልፅ ነው ብዬ አስባለሁ-

ሁሉንም ነገር ወደ ሁለት መሠረት በመቀነስ የመጀመሪያውን እኩልነት እንደገና እንጽፋለን-

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\ቀኝ ቀስት \ግራ(\frac(x)(2)) \frac(8)(x) \ቀኝ)\cdot \ግራ(2-1 \ቀኝ) \lt 0\]

አዎ፣ አዎ፣ በትክክል ሰምተሃል፡ ከላይ የተገለጸውን የምክንያታዊነት ዘዴ ብቻ ነው የተጠቀምኩት። አሁን በጥንቃቄ መስራት አለብን: ክፍልፋይ-ምክንያታዊ እኩልነት አለን (ይህ በዲቪዲው ውስጥ ተለዋዋጭ ያለው ነው), ስለዚህ አንድን ነገር ከዜሮ ጋር ከማመሳሰል በፊት ሁሉንም ነገር ማምጣት አለብን. የጋራእና የማያቋርጥ መንስኤን ያስወግዱ.

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & \ግራ(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \ቀኝ)\cdot \ግራ(2-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & \ግራ(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \ቀኝ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\ end(align)\]

አሁን መደበኛውን የጊዜ ክፍተት ዘዴ እንጠቀማለን. የቁጥር ዜሮዎች፡- $x=\pm 4$። መለያው ወደ ዜሮ የሚሄደው $x=0$ ሲሆን ብቻ ነው። በአጠቃላይ በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ሊደረግባቸው የሚገቡ ሶስት ነጥቦች አሉ (የእኩልነት ምልክቱ ጥብቅ ስለሆነ ሁሉም ነጥቦች ተጣብቀዋል). እናገኛለን፡-

ተጨማሪ አስቸጋሪ ጉዳይ: ሶስት ሥሮች

እርስዎ እንደሚገምቱት ፣ ጥላው በግራ በኩል ያለው አገላለጽ አሉታዊ እሴቶችን የሚወስድባቸውን ክፍተቶች ያሳያል። ስለዚህ፣ የመጨረሻው መልስ በአንድ ጊዜ ሁለት ክፍተቶችን ያካትታል፡-

የመጀመሪያው አለመመጣጠን ጥብቅ ስለነበር የክፍለ-ጊዜዎቹ ጫፎች በመልሱ ውስጥ አልተካተቱም። የዚህ መልስ ተጨማሪ ማረጋገጫ አያስፈልግም። በዚህ ረገድ, ገላጭ አለመመጣጠን ከሎጋሪዝም በጣም ቀላል ነው: ምንም ODZ, ምንም ገደቦች, ወዘተ.

ወደሚቀጥለው ተግባር እንሂድ፡-

\[((\ግራ(\frac(1)(3)\ቀኝ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

እዚህም ምንም ችግሮች የሉም፣ አስቀድመን $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ መሆኑን ስለምናውቅ አጠቃላይ እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(((3)^(-1))\ቀኝ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\ቀኝ ቀስት ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \ግራ(-\frac(3)(x)-\ግራ(2+x \ቀኝ) \ቀኝ)\cdot \ግራ(3-1 \ቀኝ)\ge 0; \\ & \ግራ(-\frac(3)(x)-2-x \ቀኝ)\cdot 2\ge 0;\quad \ ግራ| : \ ግራ(-2 \ቀኝ) \ቀኝ። \\ & \ frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac((((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\መጨረሻ(align)\]

እባክዎን ያስተውሉ-በሦስተኛው መስመር በጥቃቅን ነገሮች ላይ ጊዜ ላለማባከን ወሰንኩ እና ወዲያውኑ ሁሉንም ነገር በ (-2) ለመከፋፈል ወሰንኩ ። ሚኑል ወደ መጀመሪያው ቅንፍ ገባ (አሁን በሁሉም ቦታ ፕላስ አለ) እና ሁለቱ በቋሚ ምክንያት ተቀንሰዋል። በገለልተኛ እና በእውነተኛ ማሳያዎች ላይ በሚዘጋጁበት ጊዜ ማድረግ ያለብዎት ይህ ነው። ፈተናዎች- እያንዳንዱን ድርጊት እና ለውጥ መግለጽ አያስፈልግም.

በመቀጠል, የሚታወቀው የጊዜ ክፍተት ዘዴ ወደ ሥራው ይመጣል. የቁጥር ዜሮዎች፡ ግን የሉም። ምክንያቱም አድልዎ አሉታዊ ይሆናል. በተራው፣ አካፋው እንደገና የሚጀመረው $x=0$ - ልክ እንደ መጨረሻ ጊዜ ነው። ደህና, በ $ x = 0 $ በቀኝ በኩል ክፍልፋዩ አዎንታዊ እሴቶችን እንደሚወስድ ግልጽ ነው, እና በግራ በኩል - አሉታዊ. በአሉታዊ እሴቶች ላይ ፍላጎት ስላለን, የመጨረሻው መልስ: $ x \ በግራ (-\ infty; 0 \ ቀኝ)$ ነው.

\[((\ ግራ(0.16 \በቀኝ)))^(1+2x))\cdot ((\ግራ(6.25 \ቀኝ))^(x))\ge 1\]

በአስርዮሽ ክፍልፋዮች በገለፃ እኩልነት ምን ማድረግ አለቦት? ልክ ነው: አስወግዷቸው, ወደ ተራ ሰዎች ይቀይሯቸው. እዚህ እንተረጉማለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\ቀኝቀስት ((\ግራ(0.16 \ቀኝ)))^(1+2x)) =(\ ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\ቀኝቀስት ((\ግራ(6.25 \ቀኝ)))^(x))=(\ግራ(\ frac(25) (4)\ቀኝ))^(x))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ በአርቢ ተግባራት መሠረቶች ውስጥ ምን አገኘን? እና ሁለት የተገላቢጦሽ ቁጥሮች አግኝተናል፡-

\[\frac(25)(4)=((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ)))^(-1))\ቀኝ ቀስት ((\ግራ(\frac(25)(4)) ቀኝ))^(x))=((\ግራ((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ)))^(-1)) \ቀኝ))^(x))=((\ ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(-x))\]

ስለዚህ የመነሻው አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ)))^(1+2x))\cdot ((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ)) )^ (-x))\ge 1; \\ & ((\ ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(1+2x+\ግራ(-x \ቀኝ)))\ge ((\ግራ(\frac(4)(25))) \ቀኝ))^(0)); \\ & ((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(x+1))\ge ((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ))^(0) ). \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እርግጥ ነው, ተመሳሳይ መሠረት ያላቸውን ኃይሎች ሲያባዙ, ገላጭዎቻቸው ይጨምራሉ, ይህም በሁለተኛው መስመር ላይ የተከሰተው ነው. በተጨማሪም, እኛ በቀኝ በኩል ያለውን ክፍል ወክለው, እንዲሁም መሠረት 4/25 ውስጥ ኃይል እንደ. የቀረው ነገር ምክንያታዊ ማድረግ ነው፡-

\[((\ግራ(\frac(4)(25)\ቀኝ)))^(x+1))\ge ((\ግራ(\frac(4)(25) \ቀኝ))^(0)) \ ቀኝ ቀስት \ ግራ(x+1-0 \ ቀኝ) \cdot \ግራ(\frac(4)(25)-1 \ቀኝ)\ge 0\]

ልብ ይበሉ $\frac (4) (25) -1=\frac(4-25)(25) \lt 0$፣ i.e. ሁለተኛው ምክንያት አሉታዊ ቋሚ ነው, እና በእሱ ሲከፋፈሉ, የእኩልነት ምልክቱ ይለወጣል.

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1-0\le 0\ ቀኝ ቀስት x\le -1; \\ & x\በግራ (-\ infty ;-1 \ ቀኝ)። \\\ መጨረሻ(align)\]

በመጨረሻ፣ ከአሁኑ “ስብስብ” የመጨረሻው አለመመጣጠን፡-

\[((\ግራ(\frac(27)\sqrt(3))\ቀኝ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

በመርህ ደረጃ, የመፍትሄው ሀሳብ እዚህም ግልጽ ነው-በእኩልነት ውስጥ የተካተቱ ሁሉም ገላጭ ተግባራት ወደ "3" መሠረት መቀነስ አለባቸው. ግን ለዚህ ከሥሮች እና ከስልጣኖች ጋር ትንሽ መቆንጠጥ አለብዎት-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና \frac(27)(\sqrt(3)=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3))) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2)));\quad 81=((3)^(4))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እነዚህን እውነታዎች ከግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመርያው እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) እና ((\ግራ(((3)^(\frac(8)(3)))\ቀኝ))^(-x)) \lt ((\ግራ((3))) ^(2))\ቀኝ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & (((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & (((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & (((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x))። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለስሌቶቹ 2 ኛ እና 3 ኛ መስመሮች ትኩረት ይስጡ-ከእኩልነት ጋር ማንኛውንም ነገር ከማድረግዎ በፊት ፣ ከትምህርቱ መጀመሪያ ጀምሮ ወደ ተነጋገርነው ቅጽ ማምጣትዎን ያረጋግጡ-$ ((a) ^ (x)) \ lt ((a)^(n))$. በግራ ወይም በቀኝ አንዳንድ የግራ እጆች፣ ተጨማሪ ቋሚዎች፣ ወዘተ እስካልዎት ድረስ፣ ምንም ዓይነት ምክንያታዊነት ወይም "መሻገር" ሊደረግ አይችልም! ይህን ቀላል እውነታ ባለመረዳት ምክንያት ስፍር ቁጥር የሌላቸው ተግባራት በስህተት ተከናውነዋል። የአብነት እና የሎጋሪዝም አለመመጣጠንን መተንተን ስንጀምር እኔ ራሴ ከተማሪዎቼ ጋር ይህንን ችግር በተከታታይ እመለከተዋለሁ።

ግን ወደ ተግባራችን እንመለስ። በዚህ ጊዜ ያለምክንያታዊነት ለመስራት እንሞክር። እናስታውስ-የዲግሪው መሠረት ከአንድ በላይ ነው ፣ ስለሆነም ሶስት እጥፍ በቀላሉ ሊሻገሩ ይችላሉ - የእኩልነት ምልክቱ አይቀየርም። እናገኛለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & -\frac (8x) (3) \lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\ መጨረሻ(align)\]

ይኼው ነው. የመጨረሻ መልስ፡-$x\በግራ(-\infty;3 \ቀኝ)$

የተረጋጋ አገላለጽ መለየት እና ተለዋዋጭ መተካት

በማጠቃለያው፣ ላልዘጋጁ ተማሪዎች ቀድሞውንም አስቸጋሪ የሆኑትን አራት ተጨማሪ ገላጭ አለመመጣጠን እንዲፈታ ሀሳብ አቀርባለሁ። እነሱን ለመቋቋም ከዲግሪዎች ጋር ለመስራት ደንቦቹን ማስታወስ ያስፈልግዎታል. በተለይም የተለመዱ ነገሮችን ከቅንፍ ውስጥ ማስቀመጥ.

ነገር ግን በጣም አስፈላጊው ነገር በትክክል በቅንፍ ውስጥ ምን ሊወሰድ እንደሚችል ለመረዳት መማር ነው. እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ የተረጋጋ ተብሎ ይጠራል - በአዲስ ተለዋዋጭ ሊገለጽ ይችላል እና ስለዚህ ገላጭ ተግባሩን ያስወግዳል. እንግዲያው ተግባራቶቹን እንመልከት፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & (((25)^(x+1.5))((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ግራ(0.5 \በቀኝ)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\መጨረሻ(align)\]

ከመጀመሪያው መስመር እንጀምር። ይህንን እኩልነት ለየብቻ እንፃፍ፡-

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

ልብ ይበሉ $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ስለዚህ የቀኝ እጅ ጎን እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

ከ$((5)^(x+1))$ በቀር ምንም ሌላ ገላጭ ተግባራት እንደሌሉ ልብ ይበሉ። እና በአጠቃላይ፣ ተለዋዋጭ $x$ ሌላ ቦታ አይታይም፣ ስለዚህ አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ፡ $((5)^(x+1))=t$። የሚከተለውን ግንባታ እናገኛለን:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\ መጨረሻ(align)\]

ወደ መጀመሪያው ተለዋዋጭ ($t=((5)^(x+1))$) እንመለሳለን፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ 1=5 0 እናስታውስ። እና አለነ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ያ ነው መፍትሄው! መልስ፡-$x\በግራ[-1+\infty \ቀኝ)$። ወደ ሁለተኛው እኩልነት እንሂድ፡-

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

እዚህ ሁሉም ነገር አንድ ነው. ልብ ይበሉ $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$። ከዚያ የግራ ጎን እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \ ግራ| ((3)^(x))=t \ቀኝ። \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\ ቀኝ ቀስት ((3)^(x))\ge 9\ቀኝ ቀስት ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ቀኝ ቀስት x\በግራ[2+\infty \በቀኝ)። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለትክክለኛ ሙከራዎች እና ገለልተኛ ስራዎች መፍትሄ ማዘጋጀት የሚያስፈልግዎ ይህ በግምት ነው.

ደህና፣ የበለጠ የተወሳሰበ ነገር እንሞክር። ለምሳሌ፣ አለመመጣጠን እዚህ አለ።

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

እዚህ ያለው ችግር ምንድን ነው? በመጀመሪያ ደረጃ በግራ በኩል ያሉት የአርቢ ተግባራት መሠረቶች የተለያዩ ናቸው 5 እና 25. ሆኖም 25 = 5 2, ስለዚህ የመጀመሪያው ቃል ሊለወጥ ይችላል.

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((25)^(x+1.5))=((\ግራ((5)^(2)) \ቀኝ))^(x+1.5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & (((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\መጨረሻ(align) )\]

እንደሚመለከቱት, መጀመሪያ ላይ ሁሉንም ነገር ወደ ተመሳሳይ መሠረት አመጣን, ከዚያም የመጀመሪያውን ቃል በቀላሉ ወደ ሁለተኛው እንደሚቀንስ አስተውለናል - ገላጭውን ማስፋት ብቻ ያስፈልግዎታል. አሁን አዲስ ተለዋዋጭ በደህና ማስተዋወቅ ይችላሉ፡$((5)^(2x+2))=t$፣ እና አጠቃላይ እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና ይፃፋል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ &2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\ መጨረሻ(align)\]

እና እንደገና ፣ ምንም ችግሮች የሉም! የመጨረሻ መልስ፡-$x\በግራ[1+\infty \ቀኝ)$። በዛሬው ትምህርት ወደ መጨረሻው እኩልነት እንሂድ፡-

\[((\ግራ(0.5 \በቀኝ)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

ትኩረት መስጠት ያለብዎት የመጀመሪያው ነገር ፣ በእርግጥ ፣ አስርዮሽበመጀመሪያው ዲግሪ መሠረት. እሱን ማስወገድ አስፈላጊ ነው ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ ሁሉንም ገላጭ ተግባራትን ወደ ተመሳሳይ መሠረት ያቅርቡ - “2” ቁጥር

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\ቀኝ ቀስት ((\ግራ(0.5 \ቀኝ))^(-4x- 8))= ((\ግራ((2)^(-1)) \ቀኝ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\ቀኝ ቀስት ((16)^(x+1.5))=((\ግራ((2)^(4)) \ቀኝ))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & (((2)^(4x+8))((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\መጨረሻ(align)\]

በጣም ጥሩ, የመጀመሪያውን እርምጃ ወስደናል - ሁሉም ነገር ወደ ተመሳሳይ መሠረት መርቷል. አሁን መምረጥ ያስፈልግዎታል የተረጋጋ አገላለጽ. ልብ ይበሉ $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$። አዲስ ተለዋዋጭ $((2)^(4x+6))=t$ ካስተዋወቅን የዋናው አለመመጣጠን በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \ gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በተፈጥሮ፣ ጥያቄው ሊነሳ ይችላል፡ 256 = 2 8 መሆኑን እንዴት አወቅን? እንደ አለመታደል ሆኖ እዚህ የሁለት (እና በተመሳሳይ ጊዜ የሶስት እና የአምስት ኃይሎች) ኃይላትን ማወቅ ያስፈልግዎታል። ደህና፣ ወይም 256ን በ2 ይካፈሉ (መከፋፈል ይችላሉ፣ 256 ስለሆነ ሙሉ ቁጥር) ውጤቱን እስክናገኝ ድረስ. እንደዚህ ያለ ነገር ይመስላል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8))\መጨረሻ(align) )\]

ከሶስት ጋር ተመሳሳይ ነው (ቁጥር 9 ፣ 27 ፣ 81 እና 243 ዲግሪዎቹ ናቸው) እና በሰባት (ቁጥር 49 እና 343 እንዲሁ ማስታወስ ጥሩ ይሆናል)። ደህና፣ አምስቱ ማወቅ ያለብዎት “ቆንጆ” ዲግሪዎች አሏቸው፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በእርግጥ ከፈለጉ, እነዚህ ሁሉ ቁጥሮች እርስ በእርሳቸው በቀላሉ በማባዛት ወደ አእምሮዎ ሊመለሱ ይችላሉ. ሆኖም ፣ በርካታ ገላጭ እኩልነቶችን መፍታት ሲኖርብዎት እና እያንዳንዱ ቀጣዩ ከቀዳሚው የበለጠ ከባድ ነው ፣ ከዚያ ሊያስቡበት የሚፈልጉት የመጨረሻው ነገር የአንዳንድ ቁጥሮች ኃይሎች ነው። እናም በዚህ መልኩ, እነዚህ ችግሮች በ "ክላሲካል" አለመመጣጠን ዘዴው ከተፈቱት የበለጠ ውስብስብ ናቸው.

ይህ ትምህርት ይህንን ርዕስ ለመቆጣጠር እንደረዳዎት ተስፋ አደርጋለሁ። የሆነ ነገር ግልጽ ካልሆነ በአስተያየቶቹ ውስጥ ይጠይቁ. እና በሚቀጥሉት ትምህርቶች እንገናኝ. :)

በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ፡- "ገላጭ እኩልታዎች እና ገላጭ አለመመጣጠን"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ11ኛ ክፍል በIntegral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የማስተማሪያ መርጃዎች እና አስመሳይዎች
ከ9-11ኛ ክፍል "ትሪጎኖሜትሪ" በይነተገናኝ መመሪያ
ከ10-11ኛ ክፍል "ሎጋሪዝም" በይነተገናኝ መመሪያ

ገላጭ እኩልታዎች ፍቺ

ጓዶች፣ ገላጭ ተግባራትን አጥንተናል፣ ንብረታቸውን ተማርን እና ግራፎችን ገንብተናል፣ አርቢ ተግባራት የተገኙባቸውን የእኩልታ ምሳሌዎችን ተንትነናል። ዛሬ ገላጭ እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን እናጠናለን።

ፍቺ የቅጹ እኩልታዎች፡- $a^(f(x))=a^(g(x))$፣ $a>0$፣ $a≠1$ ገላጭ እኩልታዎች ይባላሉ።

በ"ኤግዚቢሽን ተግባር" ርዕስ ላይ ያጠናናቸውን ንድፈ ሐሳቦች በማስታወስ አዲስ ንድፈ ሐሳብ ማስተዋወቅ እንችላለን፡-
ቲዎረም. ገላጭ እኩልታ$a^(f(x))=a^(g(x))$፣ $a>0$፣$a≠1$ ከ$f(x)=g(x)$ ጋር እኩል ነው።

የገለጻ እኩልታዎች ምሳሌዎች

ለምሳሌ.
እኩልታዎችን ፍታ
ሀ) $3^(3x-3)=27$።
ለ) $ ((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$።
ሐ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$።
መፍትሄ።
ሀ) $27=3^3$ መሆኑን በደንብ እናውቃለን።
የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡ $3^(3x-3)=3^3$።
ከላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ በመጠቀም የኛ እኩልታ ወደ $3x-3=3$ ሲቀንስ እናገኘዋለን።ይህን እኩልነት በመፍታት $x=2$ እናገኛለን።
መልስ፡- $x=2$

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$)።
ከዚያ የእኛ እኩልነት እንደገና ሊፃፍ ይችላል: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x+0.2) = ((\frac (2) (3))) ^ (\frac (1) (5) ) == ((\ frac (2) (3)))^ (0.2)$.
$2х+0.2=0.2$
$x=0$
መልስ፡$x=0$

ሐ) የመጀመሪያው እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው፡ $x^2-6x=-3x+18$።
$x^2-3x-18=0$።
$(x-6)(x+3)=0$።
$x_1=6$ እና $x_2=-3$።
መልስ፡- $x_1=6$ እና $x_2=-3$።

ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ: $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\sqrt (4) = 16* ((0.0625)) ^ (x+1) $.
መፍትሄ፡-
ተከታታይ ድርጊቶችን በቅደም ተከተል እንፈጽም እና ሁለቱንም የእኩልታዎቻችንን ጎኖች ወደ ተመሳሳይ መሰረት እናምጣ።
በግራ በኩል ብዙ ስራዎችን እናከናውን-
1) $ ((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$።
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$።
3) $\frac (((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4)=\frac((\frac(1)(4))))^(x-0፣5)) (4^(\frac(1)(2))))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
ወደ ቀኝ በኩል እንሂድ፡-
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$።
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$።
የመጀመሪያው እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው፡-
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$።
$x=2x$
$x=0$
መልስ፡$x=0$

ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ፡ $9^x+3^(x+2)-36=0$።
መፍትሄ፡-
የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡- $((3^2))^x+9*3^x-36=0$።
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$።
ተለዋዋጮችን እንቀይር፣ $a=3^x$ እናድርግ።
በአዲስ ተለዋዋጭ እኩልታቅጹን ይወስዳል፡ $a^2+9a-36=0$።
$(a+12)(a-3)=0$።
$a_1=-12$ እና $a_2=3$።
የተለዋዋጮችን ተገላቢጦሽ ለውጥ እናድርግ፡$3^x=-12$ እና $3^x=3$።
ባለፈው ትምህርት ያንን ተምረናል ገላጭ መግለጫዎችአዎንታዊ እሴቶችን ብቻ መውሰድ ይችላል, ግራፉን ያስታውሱ. ይህ ማለት የመጀመሪያው እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የሉትም, ሁለተኛው እኩልታ አንድ መፍትሄ አለው: $ x=1$.
መልስ፡- $x=1$

ገላጭ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደምንችል አስታዋሽ እናድርግ፡-
1. የግራፊክ ዘዴ.የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በተግባሮች መልክ እንወክላለን እና ግራፎችን እንገነባለን ፣ የግራፎቹን መገናኛ ነጥቦችን ይፈልጉ። (ይህን ዘዴ በመጨረሻው ትምህርት ውስጥ ተጠቅመንበታል).
2. የአመላካቾች እኩልነት መርህ.መርሆው የተመሰረተው የእነዚህ መሰረቶች ዲግሪዎች (ኤክስፖነሮች) እኩል ከሆኑ እና ተመሳሳይ መሰረት ያላቸው ሁለት መግለጫዎች እኩል ናቸው በሚለው እውነታ ላይ ነው. $a^(f(x))=a^(g(x))$$f(x)=g(x)$።
3. ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ.ይህ ዘዴ ተለዋዋጮችን በሚተካበት ጊዜ, ቅጹን ቀላል ካደረገ እና ለመፍታት በጣም ቀላል ከሆነ ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ መዋል አለበት.

ለምሳሌ.
የእኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡ $\ጀማሪ (ጉዳይ) (27)^y*3^x=1፣ \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12። መጨረሻ (ጉዳይ)$
መፍትሄ።
ሁለቱንም የስርዓቱን እኩልታዎች ለየብቻ እንመልከታቸው፡-
$27^y*3^x=1$።
$3^(3ይ)*3^x=3^0$።
$3^(3ይ+x)=3^0$።
$x+3y=0$
ሁለተኛውን እኩልታ አስቡበት፡-
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$።
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$።
የተለዋዋጮችን ለውጥ ዘዴ እንጠቀም፣ $y=2^(x+y)$ ይሁን።
ከዚያ ቀመር ቅጹን ይወስዳል-
$y^2-y-12=0$።
$(y-4)(y+3)=0$።
$y_1=4$ እና $y_2=-3$።
ወደ መጀመሪያዎቹ ተለዋዋጮች እንሂድ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ $x+y=2$ እናገኛለን። ሁለተኛው እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የሉትም. ከዚያ የእኛ የመጀመርያ የእኩልታ ስርዓታችን ከስርአቱ ጋር እኩል ነው፡ $\ጀማሪ (cases) x+3y=0፣ \\ x+y=2። መጨረሻ (ጉዳይ)$
ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ስሌት ቀንስ: $\ጀምር (cases) 2y=-2, \\ x+y=2 እናገኛለን. መጨረሻ (ጉዳይ)$
$\ጀማሪ (ጉዳይ) y=-1፣ \\ x=3። መጨረሻ (ጉዳይ)$
መልስ፡- $(3;-1)$

ገላጭ አለመመጣጠን

ወደ እኩልነት እንሂድ። እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ ለዲግሪው መሠረት ትኩረት መስጠት ያስፈልጋል. አለመመጣጠን በሚፈታበት ጊዜ ለክስተቶች እድገት ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ ሁኔታዎች አሉ።

ቲዎረም. $a>1$ ከሆነ፣ የገለጻው አለመመጣጠን $a^(f(x))>a^(g(x))$ ከ$f(x)>g(x)$ እኩልነት ጋር እኩል ነው።
$0 ከሆነ a^(g(x))$ ከ$f(x) እኩልነት ጋር እኩል ነው።

ለምሳሌ.
አለመመጣጠን መፍታት፡-
ሀ) $3^(2x+3)>81$።
ለ) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) ሐ) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$
መፍትሄ።
ሀ) $3^(2x+3)>81$።
$3^(2x+3)>3^4$።
የእኛ አለመመጣጠን ከእኩልነት ጋር እኩል ነው፡-
$2x+3>4$
$2x>1$
$x>0.5$

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\frac (1) (4))) ^ (2x-4) በእኛ እኩልታ, መሰረቱ ዲግሪው ሲሆን ነው. ከ 1 ያነሰ ነው, ከዚያም እኩልነትን በተመጣጣኝ በሚተካበት ጊዜ, ምልክቱን መቀየር አስፈላጊ ነው.
$2x-4>2$
$x>3$

ሐ) የእኛ አለመመጣጠን ከእኩልነት ጋር እኩል ነው።
$x^2+6x≥4x+15$።
$x^2+2x-15≥0$።
$(x-3)(x+5)≥0$።
የጊዜ ክፍተት የመፍትሄ ዘዴን እንጠቀም፡-
መልስ፡- $(-∞;-5]U)