የንዑስ ቦታዎችን መሠረት እና ልኬት ማግኘት። መስመራዊ ቦታዎች. ንዑስ ቦታዎች መጠን እና መሠረት። በቬክተር ቦታ መሰረት የቬክተር መበስበስ

የመስመር ላይ ተመሳሳይ እኩልታዎች ስርዓቶች

የችግሩ መፈጠር. የተወሰነ መሠረት ይፈልጉ እና የስርዓቱን የመስመራዊ መፍትሄ ቦታን መጠን ይወስኑ

የመፍትሄ እቅድ.

1. የስርዓት ማትሪክስ ይጻፉ፡-

እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ማትሪክስ እንለውጣለን የሶስት ማዕዘን እይታ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ከዋናው ዲያግናል በታች ያሉት ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ ወደ እንደዚህ ያለ ቅጽ። የስርዓት ማትሪክስ ደረጃ ከመስመር ነፃ ከሆኑ ረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ በእኛ ሁኔታ ፣ ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች የሚቀሩባቸው የረድፎች ብዛት።

የመፍትሄው ቦታ ልኬት ነው. ከሆነ ፣ ከዚያ ተመሳሳይነት ያለው ስርዓት ልዩ አለው። ዜሮ መፍትሄ, ከሆነ , ከዚያም ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት.

2. መሰረታዊ እና ነፃ ተለዋዋጮችን ይምረጡ። ነፃ ተለዋዋጮች የሚገለጹት በ. ከዚያም መሠረታዊ የሆኑትን ተለዋዋጮች በነፃነት እንገልፃለን, በዚህም ማግኘት የጋራ ውሳኔተመሳሳይነት ያለው ስርዓት መስመራዊ እኩልታዎች.

3. የስርአቱን የመፍትሄ ቦታ መሰረት እንጽፋለን ከነፃ ተለዋዋጮች ውስጥ አንዱን በቅደም ተከተል በማዘጋጀት ከአንድ ጋር እኩል ነው።, እና ቀሪው ወደ ዜሮ. የስርዓቱ መስመራዊ የመፍትሄ ቦታ ልኬት ከመሠረታዊ ቬክተሮች ብዛት ጋር እኩል ነው።

ማስታወሻ. የመጀመሪያ ደረጃ ማትሪክስ ለውጦች የሚከተሉትን ያካትታሉ:

1. ሕብረቁምፊን በዜሮ ባልሆነ ሁኔታ ማባዛት (መከፋፈል);

2. በማንኛውም መስመር ላይ ሌላ መስመር መጨመር, በማንኛውም ቁጥር ተባዝቷል;

3. የመስመሮች ማስተካከል;

4. ትራንስፎርሜሽን 1-3 ለአምዶች (የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን በመፍታት ረገድ, የአምዶች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ጥቅም ላይ አይውሉም).

ተግባር 3.የተወሰነ መሠረት ይፈልጉ እና የስርዓቱን የመስመራዊ መፍትሄ ቦታን መጠን ይወስኑ።

የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ እንቀንሳለን-

ከዚያ እንገምታለን።

የ n-dimensional vector ጽንሰ-ሀሳቦችን ስንመረምር እና በቬክተሮች ላይ ስራዎችን ስናስተዋውቅ, የሁሉም n-dimensional vectors ስብስብ የመስመር ቦታን እንደሚያመነጭ አውቀናል. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ በጣም አስፈላጊ ተዛማጅ ጽንሰ-ሐሳቦች እንነጋገራለን - የቬክተር ቦታ ስፋት እና መሠረት. በተጨማሪም የዘፈቀደ ቬክተርን ወደ መሠረት ማስፋፋት እና በተለያዩ የ n-dimensional space መሠረቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በተመለከተ ያለውን ንድፈ ሐሳብ እንመለከታለን. ለተለመዱ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን በዝርዝር እንመርምር.

የገጽ አሰሳ።

የቬክተር ቦታ እና የመሠረት ልኬት ጽንሰ-ሐሳብ.

የቬክተር ቦታ የመለኪያ እና የቦታ ፅንሰ-ሀሳቦች በቀጥታ ከመስመር ነፃ የሆነ የቬክተር ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር የተገናኙ ናቸው, ስለዚህ አስፈላጊ ከሆነ, የቬክተሮች ስርዓት, የመስመራዊ ጥገኝነት እና የነጻነት ባህሪያት ጽሑፉን እንዲመለከቱ እንመክራለን. .

ፍቺ

የቬክተር ቦታ መጠንበዚህ ቦታ ውስጥ ካሉት ከፍተኛ የመስመር ላይ ገለልተኛ ቬክተሮች ብዛት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው።

ፍቺ

የቬክተር ቦታ መሰረትየታዘዘ የዚህ ቦታ ቀጥተኛ ገለልተኛ ቬክተሮች ስብስብ ነው ፣ ቁጥራቸው ከቦታው ስፋት ጋር እኩል ነው።

በእነዚህ ትርጓሜዎች ላይ በመመስረት አንዳንድ ምክንያቶችን እንስጥ።

የ n-dimensional vectors ቦታን አስቡበት.

የዚህ ቦታ ስፋት n መሆኑን እናሳይ.

ቅጽ n ዩኒት vectors አንድ ሥርዓት እንውሰድ

እነዚህን ቬክተሮች እንደ ማትሪክስ A ረድፎች እንይ። በዚህ አጋጣሚ ማትሪክስ A የመለኪያ n በ n የማንነት ማትሪክስ ይሆናል። የዚህ ማትሪክስ ደረጃ n ነው (አስፈላጊ ከሆነ ጽሑፉን ይመልከቱ)። ስለዚህ, የቬክተሮች ስርዓት በመስመራዊ ነጻ ነው, እና አንድም ቬክተር ወደዚህ ስርዓት የመስመር ነጻነቱን ሳይጥስ ሊጨመር አይችልም. በስርዓቱ ውስጥ ካሉ የቬክተሮች ብዛት ጀምሮ n እኩል ነው፣ እንግዲህ የ n-dimensional vectors ቦታ ልኬት n ነው, እና ዩኒት ቬክተር የዚህ ቦታ መሠረት ናቸው.

ከመሠረቱ የመጨረሻ መግለጫ እና ፍቺ ወደዚያ መደምደም እንችላለን ማንኛውም የ n-dimensional vectors ስርዓት, ከ n ያነሰ የቬክተር ብዛት, መሰረት አይደለም..

አሁን የስርዓቱን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ቬክተሮች እንለዋወጥ . የቬክተሮችን ውጤት ስርዓት ለማሳየት ቀላል ነው እንዲሁም n-dimensional vector space መሰረት ነው። የዚህን ሥርዓት ቬክተር እንደ ረድፎቹ በመውሰድ ማትሪክስ እንፍጠር። ይህ ማትሪክስ የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን በመቀያየር ከማንነት ማትሪክስ ሊገኝ ይችላል, ስለዚህም የእሱ ደረጃ n ይሆናል. ስለዚህ, የ n ቬክተሮች ስርዓት በመስመራዊ ገለልተኛ እና n-dimensional vector space መሰረት ነው.

ሌሎች የስርዓቱን ቬክተሮች እንደገና ካስተካከልን , ከዚያም ሌላ መሠረት እናገኛለን.

ዩኒት ያልሆኑ ቬክተሮችን በመስመራዊ ገለልተኛ ስርዓት ከወሰድን የ n-dimensional vector space መሰረትም ነው።

ስለዚህም የ vector space of dimension n ብዙ መሰረቶች አሉት ልክ እንደ n n -dimensional vectors የመስመር ላይ ገለልተኛ ስርዓቶች አሉ።

ስለ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ (ይህም ስለ አውሮፕላን) ከተነጋገርን መሰረቱ ሁለት አይደለም ኮላይኔር ቬክተር. መሰረት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታማንኛቸውም ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ናቸው.

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ለምሳሌ.

ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ናቸው?

መፍትሄ።

ለመስመር ጥገኝነት ይህንን የቬክተር ስርዓት እንመርምር። ይህንን ለማድረግ ረድፎቹ የቬክተሮች መጋጠሚያ የሚሆኑ ማትሪክስ እንፍጠር እና ደረጃውን እናገኛለን

ስለዚህ, ቬክተሮች a, b እና c በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው እና ቁጥራቸው ከቬክተር ቦታው ስፋት ጋር እኩል ነው, ስለዚህ, የዚህ ቦታ መሰረት ናቸው.

መልስ፡-

አዎ ናቸው።

ለምሳሌ.

የቬክተር ስርዓት የቬክተር ቦታ መሰረት ሊሆን ይችላል?

መፍትሄ።

ከፍተኛው ከመስመር ነጻ የሆኑ ባለሶስት አቅጣጫዊ ቬክተሮች ብዛት ሶስት ስለሆነ ይህ የቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ጥገኛ ነው። ስለዚህም ይህ የቬክተር ስርዓት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ሊሆን አይችልም (ምንም እንኳን የዋናው የቬክተር ስርዓት ንዑስ ስርዓት መሰረት ቢሆንም).

መልስ፡-

አይ, አይችልም.

ለምሳሌ.

ቬክተሮችን ያረጋግጡ

ባለአራት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት ሊሆን ይችላል.

መፍትሄ።

የመጀመሪያዎቹን ቬክተሮች እንደ ረድፎቹ በመውሰድ ማትሪክስ እንፍጠር፡-

እንፈልግ፡-

ስለዚህ የቬክተሮች ስርዓት a, b, c, d ቀጥተኛ ገለልተኛ እና ቁጥራቸው ከቬክተር ቦታው ስፋት ጋር እኩል ነው, ስለዚህም, a, b, c, d መሰረቱ ናቸው.

መልስ፡-

የመጀመሪያዎቹ ቬክተሮች በእርግጥ የአራት አቅጣጫዊ ቦታ መሠረት ናቸው.

ለምሳሌ.

ቬክተሮች የልኬት 4 የቬክተር ቦታ መሰረት ይመሰርታሉ?

መፍትሄ።

ምንም እንኳን የቬክተር ኦሪጅናል ስርዓት በመስመር ላይ ገለልተኛ ቢሆንም, በውስጡ ያሉት የቬክተሮች ብዛት ለአራት-ልኬት ቦታ መሰረት ለመሆን በቂ አይደለም (የዚህ ቦታ መሠረት 4 ቬክተሮችን ያካትታል).

መልስ፡-

አይ፣ አይሆንም።

በቬክተር ቦታ መሰረት የቬክተር መበስበስ.

የዘፈቀደ ቬክተሮች ይሁን የ n-dimensional vector space መሰረት ናቸው. በእነሱ ላይ አንዳንድ n-dimensional vector x ብንጨምር የቬክተር ውጤቶቹ ስርዓት በመስመር ላይ ጥገኛ ይሆናል። ከመስመር ጥገኝነት ባህሪያቶች የምንረዳው ቢያንስ አንድ የመስመር ላይ ጥገኛ ስርዓት ቬክተር በሌሎቹ በኩል በቀጥታ ይገለጻል። በሌላ አገላለጽ፣ ቢያንስ አንዱ የመስመር ላይ ጥገኛ ስርዓት ቬክተር ወደ ቀሪዎቹ ቬክተሮች ተዘርግቷል።

ይህ በጣም አስፈላጊ ወደሆነ ቲዎሪ ያመጣናል።

ቲዎረም.

ማንኛውም የ n-dimensional vector space ቬክተር በልዩ ሁኔታ ወደ መሠረት ሊበሰብስ ይችላል።

ማረጋገጫ።

ፍቀድ - n-dimensional vector space መሠረት. በእነዚህ ቬክተሮች ላይ n-dimensional vector x እንጨምር። ከዚያም የሚወጣው የቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ጥገኛ ይሆናል እና ቬክተር x በቬክተር መልክ ሊገለጽ ይችላል. :, አንዳንድ ቁጥሮች የት አሉ. ከመሠረቱ አንጻር የቬክተር x መስፋፋትን ያገኘነው በዚህ መንገድ ነው። ይህ መበስበስ ልዩ መሆኑን ለማረጋገጥ ይቀራል.

ሌላ መበስበስ እንዳለ እናስብ, የት - አንዳንድ ቁጥሮች. ከመጨረሻው እኩልነት ግራ እና ቀኝ የእኩልነት ግራ እና ቀኝን እንቀንስ፡-

መሠረት vectors ሥርዓት ጀምሮ በመስመራዊ ገለልተኛ ነው፣ ከዚያም በቬክተር ስርዓት ቀጥተኛ ነፃነት ፍቺ፣ የተገኘው እኩልነት የሚቻለው ሁሉም ውህዶች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ ብቻ ነው። ስለዚህ, ይህም የቬክተር መበስበስን ከመሠረቱ ጋር ያለውን ልዩነት የሚያረጋግጥ ነው.

ፍቺ

ቅንጅቶች ተጠርተዋል በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎች .

የቬክተር መበስበስን ወደ መሰረት መጣል የሚለውን ንድፈ ሃሳብ ካወቅን በኋላ “n-dimensional vector ተሰጥቶናል” የሚለውን አገላለጽ ምንነት መረዳት እንጀምራለን። " ይህ አገላለጽ የ x n -dimensional vector space ቬክተር እያሰብን ነው፣ መጋጠሚያዎቹ በተወሰነ ደረጃ የተገለጹ ናቸው። በተመሳሳይ ጊዜ፣ በ n-ልኬት ቬክተር ቦታ ላይ ያለው ተመሳሳይ ቬክተር x ከ የተለየ መጋጠሚያዎች እንደሚኖራቸው እንረዳለን።

እስቲ የሚከተለውን ችግር እናስብ።

በተወሰነ ደረጃ n-dimensional vector space መሠረት የ n መስመራዊ ገለልተኛ ቬክተሮች ስርዓት ይሰጠን።

እና ቬክተር . ከዚያም ቬክተሮች የዚህ የቬክተር ክፍተት መሰረትም ናቸው.

በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎችን ማግኘት ያስፈልገናል . እነዚህን መጋጠሚያዎች እንደ እንጥቀስ .

ቬክተር x መሠረት የሚል ሀሳብ አለው። ይህንን እኩልነት በቅንጅት እንፃፍ፡-

ይህ እኩልነት ከ n መስመራዊ ስርዓት ጋር እኩል ነው። የአልጀብራ እኩልታዎችከ n የማይታወቁ ተለዋዋጮች ጋር :

የዚህ ሥርዓት ዋና ማትሪክስ ቅጹ አለው

በፊደል A እንጠቁመው። የማትሪክስ ሀ አምዶች ከመስመር ነፃ የሆነ የቬክተር ስርዓት ቬክተሮችን ይወክላሉ ስለዚህ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ n ነው ፣ ስለሆነም የሚወስነው ዜሮ አይደለም። ይህ እውነታ የሚያመለክተው የእኩልታዎች ስርዓት በማንኛውም ዘዴ ሊገኝ የሚችል ልዩ መፍትሄ እንዳለው ነው, ለምሳሌ, ወይም.

በዚህ መንገድ አስፈላጊዎቹ መጋጠሚያዎች ይገኛሉ ቬክተር x መሠረት .

ምሳሌዎችን በመጠቀም ንድፈ ሃሳቡን እንይ።

ለምሳሌ.

በአንዳንድ የሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ, ቬክተሮች

የቬክተሮች ስርዓትም የዚህ ቦታ መሰረት መሆኑን ያረጋግጡ እና በዚህ መሰረት የቬክተር x መጋጠሚያዎችን ያግኙ.

መፍትሄ።

የቬክተር ስርዓት ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የቬክተር ቦታ መሰረት እንዲሆን በመስመራዊ ገለልተኛ መሆን አለበት. የማትሪክስ A ደረጃን በመወሰን ይህንን ለማወቅ እንሞክር, ረድፎቹ ቬክተሮች ናቸው. የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ደረጃውን እንፈልግ

ስለዚህም ደረጃ (A) = 3, ይህም ያሳያል የመስመር ነጻነትየቬክተር ስርዓቶች.

ስለዚህ, ቬክተሮች መሰረት ናቸው. በዚህ መሠረት ቬክተር x መጋጠሚያዎች ይኑርዎት። ከዚያም ከላይ እንዳሳየነው በዚህ የቬክተር መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ግንኙነት በእኩልታዎች ስርዓት ይሰጣል

ከሁኔታው የሚታወቁትን እሴቶች በእሱ ውስጥ በመተካት እናገኛለን

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም እንፍታው፡-

ስለዚህ, በመሠረቱ ውስጥ ያለው ቬክተር x መጋጠሚያዎች አሉት .

መልስ፡-

ለምሳሌ.

በተወሰነ መሰረት ባለአራት-ልኬት የቬክተር ቦታ, ቀጥተኛ ገለልተኛ የቬክተሮች ስርዓት ተሰጥቷል

መሆኑ ይታወቃል . በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎችን ያግኙ .

መፍትሄ።

የቬክተሮች ሥርዓት ጀምሮ በመስመራዊ ገለልተኛ በሁኔታ ፣ ከዚያ ባለአራት-ልኬት ቦታ መሠረት ነው። ከዚያም እኩልነት በመሠረቱ ውስጥ ቬክተር x ማለት ነው መጋጠሚያዎች አሉት. የቬክተር x መጋጠሚያዎችን በመሠረት ላይ እናሳይ እንዴት .

በመሠረት ውስጥ በቬክተር x መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ግንኙነት የሚገልጽ የእኩልታዎች ስርዓት እና መምሰል

እኛ ተክተነዋል የታወቁ እሴቶችእና አስፈላጊዎቹን መጋጠሚያዎች ያግኙ:

መልስ፡-

በመሠረት መካከል ያለው ግንኙነት.

በ n-ልኬት የቬክተር ቦታ ላይ ሁለት የመስመር ገለልተኛ የቬክተር ስርዓቶች ይስጥ

እና

ያም ማለት የዚህ ቦታ መሠረቶችም ናቸው.

ከሆነ - በመሠረቱ ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች , ከዚያም የተቀናጀ ግንኙነት እና በመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል (በቀደመው አንቀጽ ላይ ስለዚህ ጉዳይ ተናግረናል)

, በማትሪክስ መልክ እንደ ሊጻፍ ይችላል

በተመሳሳይ ለቬክተር እኛ መጻፍ እንችላለን

የቀደሙት ማትሪክስ እኩልነቶች ወደ አንድ ሊጣመሩ ይችላሉ ፣ ይህም በመሠረቱ በሁለት የተለያዩ መሠረቶች ቫክተሮች መካከል ያለውን ግንኙነት ይገልጻል ።

በተመሳሳይ, ሁሉንም መሰረት የሆኑትን ቬክተሮች መግለጽ እንችላለን መሠረት በኩል :

ፍቺ

ማትሪክስ ተብሎ ይጠራል የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ወደ መሠረት , ከዚያም እኩልነት እውነት ነው

የዚህን እኩልነት ሁለቱንም ጎኖች ከቀኝ በኩል በማባዛት

እናገኛለን

የሽግግር ማትሪክስ እንፈልግ፣ ነገር ግን የተገላቢጦሹን ማትሪክስ በማግኘት እና ማትሪክስ ማባዛትን በተመለከተ በዝርዝር አንቀመጥም (ጽሁፎችን እና አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ)

በተሰጡት መሠረቶች ውስጥ በቬክተር x መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ግንኙነት ለማወቅ ይቀራል.

ቬክተር x በመሠረቱ ላይ መጋጠሚያዎች ይኑርዎት, ከዚያ

እና በመሠረቱ ቬክተር x መጋጠሚያዎች አሉት, ከዚያ

የመጨረሻዎቹ ሁለት እኩልታዎች የግራ ጎኖች ተመሳሳይ ስለሆኑ የቀኝ ጎኖቹን ማመሳሰል እንችላለን-

ሁለቱንም ወገኖች በቀኝ በኩል ብናባዛው

ከዚያም እናገኛለን

በሌላ በኩል

(ተገላቢጦሹን ማትሪክስ እራስዎ ይፈልጉ)።
የመጨረሻዎቹ ሁለት እኩልነቶች በቬክተር x መጋጠሚያዎች እና በመሠረቶቹ መካከል አስፈላጊውን ግንኙነት ይሰጡናል.

መልስ፡-

የሽግግር ማትሪክስ ከመሠረቱ ወደ መሠረት ቅጹ አለው
;
በመሠረት ውስጥ የቬክተር x መጋጠሚያዎች እና በግንኙነቶች የተያያዙ ናቸው

ወይም
.

የቬክተር ቦታን የመጠን እና የመሠረት ጽንሰ-ሀሳቦችን መርምረናል, ቬክተርን ወደ መሰረት መበስበስን ተምረናል, እና በ n-dimensional vector space ውስጥ በተለያዩ መሠረቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በሽግግር ማትሪክስ በኩል አግኝተናል.

ገጽ 1

ንዑስ ቦታ፣ መሰረቱ እና ልኬቱ።

ፍቀድ ኤል- በመስክ ላይ መስመራዊ ቦታ ፒ እና ሀ- ንዑስ ስብስብ ኤል. ከሆነ ሀእራሱ በመስክ ላይ ቀጥተኛ ቦታን ይመሰርታል ፒተመሳሳይ ስራዎችን በተመለከተ ኤል፣ ያ ሀየቦታ ንዑስ ቦታ ይባላል ኤል.

በመስመራዊ ቦታ ፍቺ መሰረት, ስለዚህ ሀንዑስ ቦታ ነበር ፣ አዋጭነቱን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው። ሀተግባራት፡-

1) :
;

2)
:
;

እና ክዋኔዎቹ ውስጥ መሆናቸውን ያረጋግጡ ሀለስምንት አክሲዮኖች ተገዢ ናቸው. ነገር ግን፣ የኋለኛው ደግሞ ተደጋጋሚ ይሆናል (ምክንያቱም እነዚህ አክሲዮኖች በ L ውስጥ በመያዛቸው)፣ ማለትም፣ ማለትም፣ እ.ኤ.አ. የሚከተለው እውነት ነው።

ቲዎረም. L በመስክ P ላይ መስመራዊ ቦታ ይሁን
. ስብስብ A የሚከተሉት መስፈርቶች ከተሟሉ ብቻ የL ንዑስ ቦታ ነው፡

1. :
;

2.
:
.

መግለጫ.ከሆነ ኤል – n-ልኬት መስመራዊ ቦታ እና ሀየእሱ ንዑስ ቦታ፣ እንግዲህ ሀእንዲሁም ውሱን-ልኬት መስመራዊ ቦታ ነው እና መጠኑ አይበልጥም። n.

ፒ ምሳሌ 1.የክፍል ቬክተር V 2 የቦታ ንዑስ ቦታ የሁሉም አውሮፕላን ቬክተሮች ስብስብ S ነው፣ እያንዳንዱም በአንዱ አስተባባሪ መጥረቢያ 0x ወይም 0y ላይ ይተኛል?

መፍትሄ: ፍቀድ
,
እና
,
. ከዚያም
. ስለዚህ ኤስ ንዑስ ቦታ አይደለም .

ምሳሌ 2. ቪ 2 ብዙ የአውሮፕላን ክፍል ቬክተሮች አሉ። ኤስመጀመሪያ እና መጨረሻቸው ሁሉም የአውሮፕላን ቬክተሮች በተሰጠው መስመር ላይ ይተኛሉ። ኤልይህ አውሮፕላን?

መፍትሄ.

ኢ sli ቬክተር
በእውነተኛ ቁጥር ማባዛት። ክ, ከዚያም ቬክተሩን እናገኛለን
, እንዲሁም የ S. If እና ከኤስ ሁለት ቬክተሮች ናቸው, ከዚያ
(በቀጥታ መስመር ላይ ቬክተሮችን የመጨመር ደንብ). ስለዚህ ኤስ ንዑስ ቦታ ነው። .

ምሳሌ 3.የመስመራዊ ቦታ መስመራዊ ንዑስ ቦታ ነው። ቪ 2 ስብስብ ሀጫፎቻቸው በተሰጠው መስመር ላይ ያሉ ሁሉም የአውሮፕላን ቬክተሮች ኤል፣ (የማንኛውም ቬክተር አመጣጥ ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር እንደሚገጣጠም አስብ)?

አር ውሳኔ.

ቀጥተኛ መስመር ባለበት ሁኔታ ኤልስብስቡ በመነሻው ውስጥ አያልፍም ሀየቦታ መስመራዊ ንዑስ ቦታ ቪ 2 አይደለም, ምክንያቱም
.

ቀጥተኛ መስመር ባለበት ሁኔታ ኤል በመነሻው ውስጥ ያልፋል, ስብስብ ሀየቦታው መስመራዊ ንዑስ ቦታ ነው። ቪ 2 , ምክንያቱም
እና ማንኛውንም ቬክተር ሲባዛ
ወደ እውነተኛ ቁጥር α ከሜዳው አርእናገኛለን
. ስለዚህ, ለአንድ ስብስብ የመስመር ቦታ መስፈርቶች ሀተጠናቋል።

ምሳሌ 4.የቬክተር ስርዓት ይሰጥ
ከመስመር ቦታ ኤልበመስክ ላይ ፒ. የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የመስመራዊ ጥምሮች ስብስብ መሆኑን ያረጋግጡ
ከዕድል ጋር
ከ ፒንዑስ ቦታ ነው። ኤል(ይህ ንዑስ ቦታ ነው። ሀበቬክተር ሲስተም የተፈጠረ ንዑስ ቦታ ይባላል
ወይም መስመራዊ ቅርፊት ይህ የቬክተር ስርዓት፣ እና እንደሚከተለው ተጠቁሟል።
ወይም
).

መፍትሄ. በእርግጥ፣ ጀምሮ፣ ከዚያ ለማንኛውም ንጥረ ነገሮች x, yሀእና አለነ:
,
፣ የት
,
. ከዚያም

ምክንያቱም
፣ ያ
, ለዛ ነው
.

የቲዎሬም ሁለተኛ ሁኔታ መሟላቱን እንፈትሽ. ከሆነ x- ማንኛውም ቬክተር ከ ሀእና ቲ- ማንኛውም ቁጥር ከ ፒ, ያ. ምክንያቱም
እና
,
፣ ያ
,
, ለዛ ነው
. ስለዚህ, በንድፈ-ሀሳቡ መሰረት, ስብስቡ ሀ- የመስመራዊ ቦታ ንዑስ ቦታ ኤል.

ለአጭር-ልኬት መስመራዊ ክፍተቶች ንግግሩም እውነት ነው።

ቲዎረም.ማንኛውም ንዑስ ቦታ ሀመስመራዊ ቦታ ኤልበመስክ ላይ የአንዳንድ የቬክተር ስርዓት መስመራዊ ስፋት ነው።

የመስመራዊ ቅርፊቱን መሠረት እና ስፋት የማግኘት ችግርን በሚፈታበት ጊዜ የሚከተለው ቲዎሪ ጥቅም ላይ ይውላል።

ቲዎረም.የመስመር ቅርፊት መሠረት
ከቬክተር ስርዓት መሰረት ጋር ይጣጣማል
. የመስመር ቅርፊት ልኬት
ከቬክተር ሲስተም ደረጃ ጋር ይጣጣማል
.

ምሳሌ 4.የንዑስ ቦታውን መሠረት እና ልኬት ያግኙ
መስመራዊ ቦታ አር 3 [ x] ፣ ከሆነ
,
,
,
.

መፍትሄ. ቬክተሮች እና መጋጠሚያ ረድፎች (አምዶች) ተመሳሳይ ባህሪያት እንዳላቸው ይታወቃል (ከዚህ ጋር በተያያዘ) መስመራዊ ጥገኛ). ማትሪክስ መስራት ሀ=
ከቬክተሮች መጋጠሚያ አምዶች
መሠረት ውስጥ
.

የማትሪክስ ደረጃን እንፈልግ ሀ.

. ኤም 3 =
.
.

ስለዚህ, ደረጃው አር(ሀ)= 3. ስለዚህ, የቬክተር ስርዓት ደረጃ
እኩል ነው 3. ይህ ማለት የንዑስ ቦታ S ልኬት ከ 3 ጋር እኩል ነው, እና መሰረቱ ሶስት ቬክተሮችን ያቀፈ ነው.
(ከመሠረታዊ ጥቃቅን ጀምሮ
የእነዚህን ቬክተሮች ብቻ መጋጠሚያዎች ያካትታል).,. ይህ የቬክተር ስርዓት ከመስመር ነጻ የሆነ ነው። በእርግጥም ይሁን።

እና
.

ስርዓቱን ማረጋገጥ ይችላሉ
ለማንኛውም ቬክተር በቀጥታ ጥገኛ xከ ኤች. ይህ ያረጋግጣል
የንዑስ ጠፈር ቬክተሮች ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ስርዓት ኤች፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
- መሰረት ኤችእና ደብዛዛ ኤች=n 2 .

ገጽ 1

የመስመራዊ ቦታ ንኡስ ስብስብ በቬክተር እና በስካላር ማባዛት ከተዘጋ ንዑስ ቦታ ይፈጥራል።

ምሳሌ 6.1. በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ንዑስ ቦታ ጫፎቻቸው የሚዋሹ የቬክተር ስብስቦችን ይመሰርታሉ: ሀ) በመጀመሪያው ሩብ ውስጥ; ለ) በመነሻው በኩል በሚያልፈው ቀጥታ መስመር ላይ? (የቬክተሮች አመጣጥ በመጋጠሚያዎች መነሻ ላይ ነው)

መፍትሄ።

ሀ) አይደለም፣ ስብስቡ በስካላር በማባዛት ስላልተዘጋ፡ ሲባዛ አሉታዊ ቁጥርየቬክተሩ መጨረሻ ወደ ሦስተኛው ሩብ ውስጥ ይወድቃል.

ለ) አዎ፣ ቬክተር ሲጨምሩ እና በማንኛውም ቁጥር ሲባዙ ጫፎቻቸው በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ ስለሚቆዩ።

መልመጃ 6.1. የሚከተሉትን የተዛማጅ መስመራዊ ክፍተቶች ንዑስ ክፍሎችን ይመሰርታሉ።

ሀ) ጫፎቹ በአንደኛው ወይም በሦስተኛው ሩብ ጊዜ ውስጥ የሚገኙ የአውሮፕላን ቬክተሮች ስብስብ;

ለ) ጫፎቹ በመነሻው ውስጥ በማያልፍ ቀጥታ መስመር ላይ የሚተኛ የአውሮፕላን ቬክተሮች ስብስብ;

ሐ) የመጋጠሚያ መስመሮች ስብስብ ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

መ) የመጋጠሚያ መስመሮች ስብስብ ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

ሠ) የመጋጠሚያ መስመሮች ስብስብ ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

የመስመራዊ ቦታ ልኬት L በማንኛውም መሠረት ውስጥ የተካተቱት የቬክተሮች ቁጥር ደብዛዛ L ነው።

የድምሩ ልኬቶች እና የንዑስ ቦታዎች መገናኛ ከግንኙነት ጋር የተያያዙ ናቸው

ደብዛዛ (U + V) = ደብዛዛ ዩ + ዲም ቪ - ደብዛዛ (U Ç V)።

ምሳሌ 6.2. በሚከተሉት የቬክተር ስርዓቶች የተዘረጉትን የንዑስ ቦታዎች ድምር እና መገናኛ መሰረት እና መጠን ያግኙ፡

መፍትሔው U እና V ንዑስ ክፍፍሎችን የሚያመነጩት እያንዳንዱ የቬክተሮች ስርዓቶች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው ፣ ይህ ማለት ተዛማጅ ንዑስ ቦታ መሠረት ነው። ከእነዚህ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ማትሪክስ እንገንባ, በአምዶች ውስጥ በማስተካከል እና አንዱን ስርዓት ከሌላው መስመር ጋር በመለየት. የተገኘውን ማትሪክስ ወደ ደረጃ ቅደም ተከተል እንቀንስ.

~ ~ ~ .

መሰረቱ U + V በቬክተሮች,,,,, በደረጃ ማትሪክስ ውስጥ ያሉት ዋና ዋና ነገሮች ይመሰረታሉ. ስለዚህ ደብዛዛ (U + V) = 3. ከዚያም

ደብዛዛ (UÇV) = ደብዛዛ U + ደብዛዛ V – ደብዛዛ (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1።

የንዑስ ቦታዎች መገናኛው እኩልታውን የሚያረኩ የቬክተሮች ስብስብ ይመሰርታል (በግራ በኩል ቆሞ እና ትክክለኛ ክፍሎችይህ እኩልታ)። በመጠቀም የመስቀለኛ መንገድን እናገኛለን መሠረታዊ ሥርዓትከዚህ የቬክተር እኩልታ ጋር ለሚዛመዱ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች። የዚህ ሥርዓት ማትሪክስ ቀድሞውኑ ወደ ደረጃ አቅጣጫ ተቀንሷል. በእሱ ላይ በመመስረት, y 2 ነፃ ተለዋዋጭ ነው ብለን መደምደም እንችላለን, እና y 2 = c አዘጋጅተናል. ከዚያም 0 = y 1 - y 2, y 1 = c,. እና የንዑስ ቦታዎች መገናኛ የቅርጹን የቬክተሮች ስብስብ ይመሰርታል = ሐ (3, 6, 3, 4). ስለዚህ፣ መሰረቱ UōV ቬክተርን ይመሰርታል (3፣ 6፣ 3፣ 4)።

ማስታወሻዎች. 1. ስርዓቱን መፍታት ከቀጠልን, የተለዋዋጮችን ዋጋዎች በማግኘት x, x 2 = c, x 1 = c, እና በቬክተር እኩልታ በግራ በኩል ከላይ ከተገኘው ጋር እኩል የሆነ ቬክተር እናገኛለን. .

2. የተጠቆመውን ዘዴ በመጠቀም የቬክተሮች የማመንጨት ስርዓቶች በመስመር ላይ ምንም ቢሆኑም የድምሩ መሰረት ማግኘት ይችላሉ. ነገር ግን የመስቀለኛ መንገድ መሰረቱ በትክክል ሊገኝ የሚችለው ቢያንስ ሁለተኛውን ንዑስ ቦታ የሚያመነጨው ስርዓት በቀጥታ ነፃ ከሆነ ብቻ ነው.

3. የመስቀለኛ መንገድ መስቀለኛ መንገድ 0 እንደሆነ ከተወሰነ, መገናኛው ምንም መሠረት የለውም እና መፈለግ አያስፈልግም.

መልመጃ 6.2. በሚከተሉት የቬክተር ስርዓቶች የተዘረጉትን የንዑስ ቦታዎች ድምር እና መገናኛ መሰረት እና መጠን ያግኙ፡

ሀ)

ለ)

Euclidean ቦታ

Euclidean space በመስክ ላይ ያለ መስመራዊ ቦታ ነው። አርለእያንዳንዱ ጥንድ ቬክተር፣ scalar እና የሚከተሉት ሁኔታዎች የሚሟሉበት ስካላር ብዜት ይገለጻል።

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

መደበኛ scalar ምርትበቀመር የተሰላ

(a 1፣ …፣ a n) (b 1፣ …፣ b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

ቬክተሮች እና orthogonal ይባላሉ፣ የተፃፈ ^ ስኬር ምርታቸው ከ0 ጋር እኩል ከሆነ።

በውስጡ ያሉት ቬክተሮች ጥንድ ኦርቶጎን ከሆኑ የቬክተሮች ስርዓት ኦርቶጎን ይባላል.

የቬክተሮች ኦርቶጎን ሲስተም ከመስመር ነፃ ነው።

የቬክተር ሥርዓትን የማቀናጀት ሂደት፣...፣ ወደ ተመጣጣኝ ኦርቶጎን ሥርዓት ሽግግር፣...፣ በቀመሮቹ መሠረት ይከናወናል፡-

፣ የት ፣ k = 2 ፣… ፣ n.

ምሳሌ 7.1. የቬክተሮችን ስርዓት ማቀናጀት

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

መፍትሄ እኛ = = (1, 2, 2, 1) አለን;

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

መልመጃ 7.1. የቬክተር ስርዓቶችን ማደራጀት;

ሀ) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

ለ) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

ምሳሌ 7.2. የተሟላ የቬክተር ስርዓት = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), ወደ ቦታው ኦርቶጎን መሠረት.

መፍትሔው፡ ዋናው ሥርዓት ኦርቶጎን ነው፣ ስለዚህ ችግሩ ምክንያታዊ ነው። ቬክተሮቹ በአራት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ስለሚሰጡ, ሁለት ተጨማሪ ቬክተሮችን መፈለግ አለብን. ሦስተኛው ቬክተር = (x 1, x 2, x 3, x 4) ከሁኔታዎች = 0, = 0. እነዚህ ሁኔታዎች የእኩልታዎች ስርዓት ይሰጣሉ, ማትሪክስ የሚሠራው ከቬክተሮች መጋጠሚያ መስመሮች ነው. . ስርዓቱን እንፈታዋለን;

~ ~ .

ነፃ ተለዋዋጮች x 3 እና x 4 ከዜሮ በስተቀር ማንኛውንም የእሴቶች ስብስብ ሊሰጡ ይችላሉ። ለምሳሌ, x 3 = 0, x 4 = 1. ከዚያም x 2 = 0, x 1 = 1, እና = (1, 0, 0, 1) እናስባለን.

በተመሳሳይም = (y 1, y 2, y 3, y 4) እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ ከዚህ በላይ በተገኘው ደረጃ በደረጃ ማትሪክስ ላይ አዲስ የማስተባበሪያ መስመር እንጨምራለን እና ወደ ደረጃ አቅጣጫ እንቀንሳለን-

~ ~ .

ለነፃው ተለዋዋጭ y 3 እናስቀምጣለን y 3 = 1. ከዚያም y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, and = (0, 1, 1, 0).

በ Euclidean ጠፈር ውስጥ ያለው የቬክተር መደበኛ አሉታዊ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ነው።

መደበኛው 1 ከሆነ ቬክተር መደበኛ ይባላል።

ቬክተርን መደበኛ ለማድረግ, በተለመደው መከፋፈል አለበት.

የመደበኛ ቬክተር ኦርቶጎን ሲስተም ኦርቶኖርማል ይባላል።

መልመጃ 7.2. የቦታውን መደበኛ መሠረት የቬክተሮችን ስርዓት ያጠናቅቁ-

ሀ) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

ለ) = (1/3, -2/3, 2/3).

መስመራዊ ካርታዎች

U እና V በሜዳው ላይ መስመራዊ ክፍተቶች ይሁኑ F. A mapping f: U ® V ይባላል መስመራዊ ከሆነ እና .

ምሳሌ 8.1. ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የጠፈር መስመራዊ ለውጦች ናቸው፡

ሀ) ረ(x 1፣ x 2፣ x 3) = (2x 1፣ x 1 – x 3፣ 0);

ለ) ረ(x 1፣ x 2፣ x 3) = (1፣ x 1 + x 2፣ x 3)።

መፍትሄ።

ሀ) f ((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) = አለን።

= (2 (x 1 + y 1), (x 1 + y 1) - (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2ይ 1, y 1 - y 3, 0) =

ረ((x 1፣ x 2፣ x 3) + f(y 1፣ y 2፣ y 3));

f (l (x 1, x 2, x 3)) = f (lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 - lx 3, 0) = l (2x 1, x 1 - x 3). ፣ 0) =

L f(x 1፣ x 2፣ x 3)።

ስለዚህ ትራንስፎርሜሽኑ መስመራዊ ነው።

ለ) f ((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) = አለን።

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

ረ ((x 1፣ x 2፣ x 3) + ረ (y 1፣ y 2፣ y 3)) = (1፣ x 1 + x 2፣ x 3) + (1፣ y 1 + y 2፣ y 3 ) =

= (2፣ (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2)፣ x 3 + y 3) ¹ ረ((x 1፣ x 2፣ x 3) + (y 1፣ y 2፣ y 3) ).

ስለዚህ ትራንስፎርሜሽኑ መስመራዊ አይደለም።

የመስመራዊ ካርታ ምስል ረ፡ ዩ ® ቪ ከ ዩ የቬክተር ምስሎች ስብስብ ነው፣ ይህም ማለት ነው።

ኢም (f) = (f () ï О U)። + M1

መልመጃ 8.1. በማትሪክስ የተሰጠውን ደረጃ፣ ጉድለት፣ የምስሉን መሰረት እና የመስመራዊ ካርታ ስራ ፍሬን ያግኙ፡

ሀ) ሀ =; ለ) ሀ =; ሐ) ሀ = .

ፒ እና ሀ- ንዑስ ስብስብ ኤል. ከሆነ ሀእራሱ በመስክ ላይ ቀጥተኛ ቦታን ይመሰርታል ፒተመሳሳይ ስራዎችን በተመለከተ ኤል፣ ያ ሀየቦታ ንዑስ ቦታ ይባላል ኤል.

በመስመራዊ ቦታ ፍቺ መሰረት, ስለዚህ ሀንዑስ ቦታ ነበር ፣ አዋጭነቱን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው። ሀተግባራት፡-

1) :
;

2)
:
;

ቲዎረም. L በመስክ P ላይ መስመራዊ ቦታ ይሁን
. ስብስብ A የሚከተሉት መስፈርቶች ከተሟሉ ብቻ የL ንዑስ ቦታ ነው፡

ፒ ምሳሌ 1. የክፍል ቬክተር V 2 የቦታ ንዑስ ቦታ የሁሉም አውሮፕላን ቬክተሮች ስብስብ S ነው፣ እያንዳንዱም በአንዱ አስተባባሪ መጥረቢያ 0x ወይም 0y ላይ ይተኛል?

መፍትሄ: ፍቀድ
,
እና
,
. ከዚያም
. ስለዚህ ኤስ ንዑስ ቦታ አይደለም .

ምሳሌ 2.የመስመራዊ ቦታ መስመራዊ ንዑስ ቦታ ነው። ቪ 2 ብዙ የአውሮፕላን ክፍል ቬክተሮች አሉ። ኤስመጀመሪያ እና መጨረሻቸው ሁሉም የአውሮፕላን ቬክተሮች በተሰጠው መስመር ላይ ይተኛሉ። ኤልይህ አውሮፕላን?

መፍትሄ.

አር ውሳኔ.

ቀጥተኛ መስመር ባለበት ሁኔታ ኤልስብስቡ በመነሻው ውስጥ አያልፍም ሀየቦታ መስመራዊ ንዑስ ቦታ ቪ 2 አይደለም, ምክንያቱም
.

ምሳሌ 4.የቬክተር ስርዓት ይሰጥ
ከመስመር ቦታ ኤልበመስክ ላይ ፒ. የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የመስመራዊ ጥምሮች ስብስብ መሆኑን ያረጋግጡ
ከዕድል ጋር
ከ ፒንዑስ ቦታ ነው። ኤል(ይህ ንዑስ ቦታ ነው። ሀበቬክተር ስርዓት የተፈጠረ ንዑስ ቦታ ይባላል ወይም መስመራዊ ቅርፊት ይህ የቬክተር ስርዓት፣ እና እንደሚከተለው ተጠቁሟል።
ወይም
).

መፍትሄ. በእርግጥ፣ ጀምሮ፣ ከዚያ ለማንኛውም ንጥረ ነገሮች x, yሀእና አለነ:
,
፣ የት
,
. ከዚያም

ከዛን ጊዜ ጀምሮ
, ለዛ ነው
.

የቲዎሬም ሁለተኛ ሁኔታ መሟላቱን እንፈትሽ. ከሆነ x- ማንኛውም ቬክተር ከ ሀእና ቲ- ማንኛውም ቁጥር ከ ፒ, ያ. ምክንያቱም
እና
፣ ያ
, , ለዛ ነው
. ስለዚህ, በንድፈ-ሀሳቡ መሰረት, ስብስቡ ሀ- የመስመራዊ ቦታ ንዑስ ቦታ ኤል.

ለአጭር-ልኬት መስመራዊ ክፍተቶች ንግግሩም እውነት ነው።

ቲዎረም.ማንኛውም ንዑስ ቦታ ሀመስመራዊ ቦታ ኤልበመስክ ላይ የአንዳንድ የቬክተር ስርዓት መስመራዊ ስፋት ነው።

የመስመራዊ ቅርፊቱን መሠረት እና ስፋት የማግኘት ችግርን በሚፈታበት ጊዜ የሚከተለው ቲዎሪ ጥቅም ላይ ይውላል።

ቲዎረም.የመስመር ቅርፊት መሠረት
ከቬክተር ስርዓት መሰረት ጋር ይጣጣማል. የመስመራዊው ቅርፊት መጠን ከቬክተሮች ስርዓት ደረጃ ጋር ይዛመዳል.

ምሳሌ 4.የንዑስ ቦታውን መሠረት እና ልኬት ያግኙ
መስመራዊ ቦታ አር 3 [ x] ፣ ከሆነ
,
,
,
.

መፍትሄ. ቬክተሮች እና መጋጠሚያ ረድፎች (አምዶች) ተመሳሳይ ባህሪያት እንዳላቸው ይታወቃል (ከመስመር ጥገኝነት አንፃር)። ማትሪክስ መስራት ሀ=
ከቬክተሮች መጋጠሚያ አምዶች
መሠረት ውስጥ
.

የማትሪክስ ደረጃን እንፈልግ ሀ.

. ኤም 3 =
.
.

ስለዚህ, ደረጃው አር(ሀ)= 3. ስለዚህ የቬክተሮች ስርዓት ደረጃ 3. ይህ ማለት የንዑስ ቦታ S ልኬት 3 ነው, እና መሰረቱ ሶስት ቬክተሮችን ያቀፈ ነው.
(ከመሠረታዊ ጥቃቅን ጀምሮ
የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ብቻ ተካተዋል).

ምሳሌ 5.ስብስቡን ያረጋግጡ ኤችአርቲሜቲክ የጠፈር ቬክተሮች
የመጀመሪያ እና የመጨረሻ መጋጠሚያዎቹ 0 ናቸው ፣ መስመራዊ ንዑስ ቦታን ይመሰርታል። መሰረቱን እና ልኬቱን ያግኙ።

መፍትሄ. ፍቀድ
.

ከዚያ እና. ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ለማንኛውም . ከሆነ
,
, ያ. ስለዚህ, በመስመራዊው የንዑስ ቦታ ቲዎሬም መሰረት, ስብስቡ ኤችየቦታው መስመራዊ ንዑስ ቦታ ነው። መሰረቱን እንፈልግ ኤች. የሚከተሉትን ቬክተሮች አስቡባቸው ኤች:
,
, . ይህ የቬክተር ስርዓት ከመስመር ነጻ የሆነ ነው። በእርግጥም ይሁን።