የተግባር ግራፍ በተቀናጀ አውሮፕላን ላይ የአንድ ተግባር ባህሪ ምስላዊ መግለጫ ነው። ግራፎች ከራሱ ተግባር ሊወሰኑ የማይችሉትን የተግባርን የተለያዩ ገፅታዎች ለመረዳት ይረዳሉ። የበርካታ ተግባራትን ግራፎች መገንባት ይችላሉ, እና እያንዳንዳቸው የተወሰነ ቀመር ይሰጣቸዋል. የማንኛውም ተግባር ግራፍ የተገነባው የተወሰነ ስልተ-ቀመር በመጠቀም ነው (የተወሰነውን ተግባር ግራፍ የማድረግ ትክክለኛውን ሂደት ከረሱ)።

እርምጃዎች

መስመራዊ ተግባርን መቅረጽ

ተግባሩ መስመራዊ መሆኑን ይወስኑ።መስመራዊ ተግባሩ በቅጹ ቀመር ይሰጣል F (x) = k x + b (\ displaystyle F(x)=kx+b)ወይም y = k x + b (\ displaystyle y=kx+b)(ለምሳሌ ፣) ፣ እና ግራፉ ቀጥተኛ መስመር ነው። ስለዚህ, ቀመሩ ምንም አይነት ገላጭ, የስር ምልክቶች እና የመሳሰሉት አንድ ተለዋዋጭ እና አንድ ቋሚ (ቋሚ) ያካትታል. ተመሳሳይ አይነት ተግባር ከተሰጠ, የእንደዚህ አይነት ተግባር ግራፍ ማቀድ በጣም ቀላል ነው. ሌሎች የመስመራዊ ተግባራት ምሳሌዎች እዚህ አሉ

በY ዘንግ ላይ አንድ ነጥብ ምልክት ለማድረግ ቋሚ ይጠቀሙ።ቋሚው (ለ) ግራፉ የ Y ዘንግ የሚያቋርጥበት ነጥብ የ “y” መጋጠሚያ ነው።ይህም የ “x” መጋጠሚያው ከ 0 ጋር እኩል የሆነ ነጥብ ነው።በመሆኑም x = 0 በቀመር ውስጥ ከተተካ። ፣ ከዚያ y = b (ቋሚ)። በእኛ ምሳሌ y = 2 x + 5 (\ displaystyle y=2x+5)ቋሚው ከ 5 ጋር እኩል ነው, ማለትም, ከ Y ዘንግ ጋር ያለው የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች (0.5) አለው. ይህንን ነጥብ ያስቀምጡ አውሮፕላን አስተባባሪ.

አግኝ ተዳፋትቀጥታ።ከተለዋዋጭ ብዜት ጋር እኩል ነው. በእኛ ምሳሌ y = 2 x + 5 (\ displaystyle y=2x+5)ከተለዋዋጭ "x" ጋር 2 ነጥብ አለ; በመሆኑም ተዳፋት Coefficient ጋር እኩል ነው 2. ተዳፋት Coefficient ቀጥተኛ መስመር ወደ X ዘንግ ያለውን ዝንባሌ አንግል ይወስናል, ማለትም, ተዳፋት Coefficient የበለጠ, በፍጥነት ተግባር ይጨምራል ወይም ይቀንሳል.

ቁልቁለቱን እንደ ክፍልፋይ ይፃፉ።የማዕዘን ጥምርታ ከጣሪያው አንግል ታንጀንት ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ የቋሚ ርቀት ሬሾ (በቀጥታ መስመር ላይ ባሉት ሁለት ነጥቦች መካከል) ወደ አግድም ርቀት (በተመሳሳይ ነጥቦች መካከል)። በምሳሌአችን ቁልቁለቱ 2 ነው፣ ስለዚህ የቋሚው ርቀት 2 እና አግድም ርቀት 1 መሆኑን መግለፅ እንችላለን። 2 1 (\ displaystyle (\frac (2) (1))).

• ቁልቁል አሉታዊ ከሆነ, ተግባሩ እየቀነሰ ነው.

1. ቀጥተኛው መስመር የ Y ዘንግን ከሚያቋርጥበት ቦታ, ቀጥ ያለ እና አግድም ርቀቶችን በመጠቀም ሁለተኛ ነጥብ ያስይዙ. መርሐግብር መስመራዊ ተግባርከሁለት ነጥቦች መገንባት ይቻላል. በእኛ ምሳሌ, ከ Y ዘንግ ጋር ያለው የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች (0.5); ከዚህ ነጥብ, 2 ክፍተቶችን ወደ ላይ እና ከዚያ 1 ቦታ ወደ ቀኝ ያንቀሳቅሱ. አንድ ነጥብ ምልክት ያድርጉ; መጋጠሚያዎች ይኖሩታል (1፣7)። አሁን ቀጥታ መስመር መሳል ይችላሉ.

   ገዢን በመጠቀም, በሁለት ነጥቦች በኩል ቀጥታ መስመር ይሳሉ.ስህተቶችን ለማስወገድ, ሶስተኛውን ነጥብ ያግኙ, ነገር ግን በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች ግራፉ ሁለት ነጥቦችን በመጠቀም ሊቀረጽ ይችላል. ስለዚህ፣ መስመራዊ ተግባር ቀይረሃል።

   በመጋጠሚያው አውሮፕላን ላይ የማሴር ነጥቦች

   1. ተግባር ይግለጹ።ተግባሩ እንደ f(x) ይገለጻል። የተለዋዋጭ "y" ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች የተግባሩ ጎራ ተብለው ይጠራሉ ፣ እና ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የ"x" እሴቶች የተግባሩ ጎራ ይባላሉ። ለምሳሌ፣ ተግባር y = x+2፣ ማለትም f(x) = x+2ን ተመልከት።

      ሁለት የተጠላለፉ ቀጥ ያሉ መስመሮችን ይሳሉ።አግድም መስመሩ የ X ዘንግ ነው ቀጥ ያለ መስመር Y ዘንግ ነው።

      የማስተባበሪያ ዘንጎችን ምልክት ያድርጉ።እያንዳንዱን ዘንግ ወደ እኩል ክፍሎች ይከፋፍሏቸው እና ይቁጠሩዋቸው. የመጥረቢያዎቹ መገናኛ ነጥብ 0. ለ X ዘንግ: አወንታዊ ቁጥሮች ወደ ቀኝ (ከ 0), እና አሉታዊ ቁጥሮች ወደ ግራ ተቀርፀዋል. ለ Y ዘንግ: አወንታዊ ቁጥሮች ከላይ (ከ 0) እና ከታች አሉታዊ ቁጥሮች ተቀርፀዋል.

      የ "y" እሴቶችን ከ "x" ዋጋዎች ያግኙ.በእኛ ምሳሌ f(x) = x+2። ተዛማጅ y እሴቶችን ለማስላት የተወሰኑ x እሴቶችን በዚህ ቀመር ውስጥ ይተኩ። ውስብስብ ተግባር ከተሰጠ, በአንድ በኩል "y" ን በማግለል ቀለል ያድርጉት.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. በመጋጠሚያው አውሮፕላን ላይ ነጥቦቹን ያቅዱ.ለእያንዳንዱ ጥንድ መጋጠሚያዎች የሚከተሉትን ያድርጉ-በ X ዘንግ ላይ ያለውን ተዛማጅ እሴት ይፈልጉ እና ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ (ነጥብ); በ Y ዘንግ ላይ ያለውን ተዛማጅ እሴት ይፈልጉ እና አግድም መስመር ይሳሉ (የተሰበረ መስመር)። የሁለት ነጥብ መስመሮች መገናኛ ነጥብ ምልክት ያድርጉ; ስለዚህ, በግራፉ ላይ አንድ ነጥብ አዘጋጅተዋል.

      ነጠብጣብ መስመሮችን ያጥፉ.በአስተባባሪው አውሮፕላን ላይ በግራፉ ላይ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ካዘጋጁ በኋላ ይህን ያድርጉ. ማሳሰቢያ፡ የተግባሩ ግራፍ f(x) = x በማስተባበሪያ ማዕከሉ ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ነው [ነጥብ ከመጋጠሚያዎች ጋር (0,0)]; ግራፉ f(x) = x + 2 ከመስመሩ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር ነው f(x) = x፣ ነገር ግን በሁለት ክፍሎች ወደ ላይ ተቀይሯል እና ነጥቡን በመጋጠሚያዎች (0፣2) በማለፍ (ቋሚው 2 ስለሆነ) .

   ውስብስብ ተግባርን መቅረጽ

   የተግባር ዜሮዎችን ያግኙ.የአንድ ተግባር ዜሮዎች የ x ተለዋዋጭ እሴቶች ናቸው y = 0 ፣ ማለትም ፣ እነዚህ ግራፉ የ X-ዘንግን የሚያቋርጡባቸው ነጥቦች ናቸው ። ሁሉም ተግባራት ዜሮዎች እንደሌሏቸው ያስታውሱ ፣ ግን የመጀመሪያዎቹ ናቸው ። ማንኛውንም ተግባር በግራፍ በማውጣት ሂደት ውስጥ ደረጃ። የአንድ ተግባር ዜሮዎችን ለማግኘት ከዜሮ ጋር ያመሳስሉት። ለምሳሌ:

   አግድም አሲምፖችን ይፈልጉ እና ምልክት ያድርጉባቸው።አሲምፕቶት የአንድ ተግባር ግራፍ የሚቀርብበት ነገር ግን ፈጽሞ የማይገናኝ መስመር ነው (ይህም በዚህ ክልል ውስጥ ተግባሩ አልተገለጸም ለምሳሌ በ 0 ሲካፈል)። በነጠብጣብ መስመር (asymptote) ላይ ምልክት ያድርጉ። ተለዋዋጭ "x" በአንድ ክፍልፋይ መለያ ውስጥ ከሆነ (ለምሳሌ፣ y = 1 4 - x 2 (\ displaystyle y = (\ frac (1) (4-x^ (2))))), መለያውን ወደ ዜሮ ያዘጋጁ እና "x" ያግኙ. በተለዋዋጭ “x” በተገኙት እሴቶች ውስጥ ተግባሩ አልተገለጸም (በእኛ ምሳሌ ፣ በ x = 2 እና x = -2 በኩል ነጠብጣብ ያላቸውን መስመሮች ይሳሉ) ፣ ምክንያቱም በ 0 መከፋፈል አይችሉም። ነገር ግን አሲምፕቶስ የሚኖረው ተግባሩን ባካተተባቸው ጉዳዮች ላይ ብቻ አይደለም። ክፍልፋይ አገላለጽ. ስለዚ፡ ኣእምሮኣዊ ምኽንያታት፡ ንጥ ⁇ ሚ ኽንጥቀም ይግባእ።

1. ክፍልፋይ መስመራዊ ተግባር እና ግራፍ

ቅጽ y = P (x) / Q (x) ፣ P (x) እና Q (x) ብዙ ቁጥር ያላቸውበት ፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ይባላል።

ምናልባት እርስዎ የምክንያታዊ ቁጥሮች ጽንሰ-ሐሳብን አስቀድመው ያውቃሉ። እንደዚሁም ምክንያታዊ ተግባራት እንደ ሁለት ፖሊኖሚሎች ጥቅስ ሊወከሉ የሚችሉ ተግባራት ናቸው።

ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር የሁለት መስመራዊ ተግባራት ብዛት ከሆነ - የመጀመሪያ ዲግሪ ፖሊኖሚሎች ፣ ማለትም። የቅጹ ተግባር

y = (ax + b) / (cx + d), ከዚያም ክፍልፋይ መስመራዊ ይባላል.

በ y = (ax + b) / (cx + d) ውስጥ ፣ c ≠ 0 (አለበለዚያ ተግባሩ መስመራዊ ይሆናል y = ax/d + b/d) እና a/c ≠ b/d (አለበለዚያ ተግባር ቋሚ ነው). መስመራዊ ክፍልፋይ ተግባር ከ x = -d/c በስተቀር ለሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ይገለጻል። የክፍልፋይ መስመራዊ ተግባራት ግራፎች ከግራፍ y = 1/x ቅርጽ አይለያዩም። የተግባር y = 1/x ግራፍ የሆነ ኩርባ ይባላል ግትርነት. በ x ያልተገደበ ጭማሪ ፍጹም ዋጋተግባሩ y = 1/x ላልተወሰነ ጊዜ በፍፁም ዋጋ ይቀንሳል እና ሁለቱም የግራፍ ቅርንጫፎች ወደ x-ዘንግ ይጠጋሉ: ቀኝ ከላይ እና በግራ በኩል ከታች. የሃይፐርቦላ አቀራረብ ቅርንጫፎች የእሱ ተብለው የሚጠሩበት መስመሮች ምልክቶች.

ምሳሌ 1.

y = (2x + 1) / (x - 3)።

መፍትሄ።

ሙሉውን ክፍል እንምረጥ፡ (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3)።

አሁን የዚህ ተግባር ግራፍ ከተግባሩ ግራፍ y = 1/x በሚከተሉት ለውጦች እንደሚገኝ ማየት ቀላል ነው-በ 3 አሃድ ክፍሎች ወደ ቀኝ ፣ በኦይ ዘንግ ላይ 7 ጊዜ በመዘርጋት እና በ 2 ይቀየራል ። የንጥል ክፍሎችን ወደ ላይ.

ማንኛውም ክፍልፋይ y = (ax + b) / (cx + d) በተመሳሳይ መንገድ ሊጻፍ ይችላል, ይህም "ኢንቲጀር ክፍል" አጉልቶ ያሳያል. በዚህ ምክንያት የሁሉም ክፍልፋይ መስመራዊ ተግባራት ግራፎች ሃይፐርቦላዎች ናቸው፣ በተለያዩ መንገዶች በተጋጠሙትም ዘንጎች ላይ የሚቀያየሩ እና በኦይ ዘንግ ላይ የተዘረጉ ናቸው።

የማንኛውንም የዘፈቀደ ግራፍ ለመገንባት ክፍልፋይ መስመራዊ ተግባርይህንን ተግባር የሚገልጽ ክፍልፋዮችን መለወጥ በጭራሽ አስፈላጊ አይደለም። ግራፉ ሃይፐርቦላ መሆኑን ስለምናውቅ ቅርንጫፎቹ የሚቀርቡበትን ቀጥታ መስመሮችን ማግኘት በቂ ይሆናል - የ hyperbola x = -d/c እና y = a/c ምልክቶች።

ምሳሌ 2.

የተግባሩ ግራፍ ምልክቶችን ይፈልጉ y = (3x + 5)/(2x + 2)።

መፍትሄ።

ተግባሩ አልተገለጸም፣ በ x = -1። ይህ ማለት ቀጥታ መስመር x = -1 እንደ ቋሚ አሲምፕቶት ሆኖ ያገለግላል። አግድም አሲምፕቶት ለማግኘት፣ ነጋሪቱ x በፍፁም እሴት ሲጨምር የተግባሩ y(x) እሴቶች ምን እንደሆኑ እንወቅ።

ይህንን ለማድረግ የክፋዩን አሃዛዊ እና መለያ ቁጥር በ x ይከፋፍሉት፡

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x)።

እንደ x → ∞ ክፍልፋዩ ወደ 3/2 ይቀዘቅዛል። ይህ ማለት አግድም አሲምፕቶት ቀጥተኛ መስመር y = 3/2 ነው.

ምሳሌ 3.

ተግባሩን ግራፍ y = (2x + 1)/(x + 1)።

መፍትሄ።

የክፍልፋዩን “ሙሉ ክፍል” እንምረጥ፡-

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/ (x + 1) =

2 - 1/(x + 1)።

አሁን የዚህ ተግባር ግራፍ ከተግባሩ ግራፍ y = 1/x በሚከተሉት ለውጦች የተገኘ መሆኑን ማየት ቀላል ነው-በ 1 አሃድ ወደ ግራ ፣ ከኦክስ ጋር የተመጣጠነ ማሳያ እና ፈረቃ በ በኦይ ዘንግ በኩል 2 ክፍሎች ወደ ላይ።

ጎራ D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1፤ +∞)።

የእሴቶች ክልል ኢ(y) = (-∞; 2)ᴗ(2፤ +∞)።

የመገናኛ ነጥቦች በመጥረቢያ፡ c ኦይ፡ (0፤ 1); c ኦክስ፡ (-1/2፤ 0)። ተግባሩ በእያንዳንዱ የትርጉም ጎራ ክፍተት ይጨምራል።

መልስ፡- ምስል 1

2. ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር

P(x) እና Q(x) የዲግሪ ፖሊኖሚሎች የሆኑበት ቅጽ y = P(x)/Q(x) ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባርን አስቡበት።

እንደዚህ ያሉ ምክንያታዊ ተግባራት ምሳሌዎች

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ወይም y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)።

ተግባር y = P (x) / Q (x) የዲግሪ ሁለት ፖሊኖሚል መጠኖች ከመጀመሪያው ከፍ ያለ ከሆነ ፣ ከዚያ የእሱ ግራፍ እንደ አንድ ደንብ የበለጠ የተወሳሰበ ይሆናል ፣ እና አንዳንድ ጊዜ በትክክል ለመገንባት አስቸጋሪ ሊሆን ይችላል። , ከሁሉም ዝርዝሮች ጋር. ይሁን እንጂ ብዙውን ጊዜ ከላይ ካስተዋወቅናቸው ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ቴክኒኮችን መጠቀም በቂ ነው.

ክፍልፋዩ ትክክለኛ ክፍልፋይ ይሁን (n< m). Известно, что любую несократимую ምክንያታዊ ክፍልፋይአንድ ሰው መገመት ይችላል, እና በተጨማሪ ብቸኛው መንገድ፣ እንደ ድምር የመጨረሻ ቁጥር የመጀመሪያ ደረጃ ክፍልፋዮችየክፍልፋይ Q(x) መለያ ወደ እውነተኛ ሁኔታዎች ምርት በመበስበስ የሚወሰን ነው፡-

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x +q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x +q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t)።

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የአንድ ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ግራፍ እንደ የአንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች ግራፎች ድምር ሊገኝ ይችላል።

የክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባራት ግራፎችን ማቀድ

የክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ግራፎችን ለመስራት ብዙ መንገዶችን እንመልከት።

ምሳሌ 4.

የተግባርን ግራፍ ይሳሉ y = 1/x 2 .

መፍትሄ።

የ y = 1/x 2 ግራፍ ለመሥራት የተግባሩን ግራፍ እንጠቀማለን እና ግራፎችን "የመከፋፈል" ዘዴን እንጠቀማለን.

ጎራ D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0፤ +∞)።

የእሴቶች ክልል ኢ(y) = (0፤ +∞)።

ከመጥረቢያዎቹ ጋር ምንም የመገናኛ ነጥቦች የሉም. ተግባሩ እኩል ነው። ለሁሉም x ይጨምራል (-∞; 0)፣ ለ x ከ 0 ወደ +∞ ይቀንሳል።

መልስ፡- ምስል 2

ምሳሌ 5.

ተግባሩን ግራፍ y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x)።

መፍትሄ።

ጎራ D(y) = (-∞፤ 3)ᴗ(3፤ +∞)።

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3

እዚህ ላይ የማባዛት፣ የመቀነስ እና የመቀነስ ዘዴን ወደ መስመራዊ ተግባር ተጠቀምን።

መልስ፡- ምስል 3

ምሳሌ 6.

ተግባሩን ግራፍ y = (x 2 - 1)/(x 2 + 1)።

መፍትሄ።

የፍቺው ጎራ D(y) = R ነው። ተግባሩ እኩል ስለሆነ፣ ግራፉ ስለ ordinate የተመጣጠነ ነው። ግራፍ ከመገንባታችን በፊት አገላለጹን እንደገና እንለውጠው፣ ሙሉውን ክፍል በማጉላት፡-

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/ (x 2 + 1)።

በክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ቀመር ውስጥ ኢንቲጀር ክፍልን ማግለል ግራፎችን በሚገነቡበት ጊዜ ከዋናዎቹ ውስጥ አንዱ መሆኑን ልብ ይበሉ።

x → ±∞ ከሆነ፣ ከዚያ y → 1፣ i.e. ቀጥተኛ መስመር y = 1 አግድም አሲምፕቶት ነው.

መልስ፡- ምስል 4

ምሳሌ 7.

ተግባሩን y = x/(x 2 + 1) እናስብ እና ትልቁን እሴቱን በትክክል ለማግኘት እንሞክር፣ ማለትም። በጣም ብዙ ከፍተኛ ነጥብየግራፉ የቀኝ ግማሽ. ይህንን ግራፍ በትክክል ለመገንባት, የዛሬው እውቀት በቂ አይደለም. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የእኛ ኩርባ በጣም ከፍ ሊል አይችልም, ምክንያቱም መለያው በፍጥነት አሃዛዊውን "መሻገር" ይጀምራል. የተግባሩ ዋጋ ከ 1 ጋር እኩል ሊሆን እንደሚችል እንይ. ይህንን ለማድረግ, እኩልታውን መፍታት ያስፈልገናል x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. ይህ እኩልታ የለውም. እውነተኛ ሥሮች. ይህ ማለት የእኛ ግምት ትክክል አይደለም. ብዙ ለማግኘት ትልቅ ጠቀሜታተግባር፣ በየትኛው ትልቅ ሀ እኩልታ A = x/(x 2 + 1) መፍትሄ እንደሚኖረው ማወቅ አለቦት። የመጀመሪያውን እኩልታ በአራት ማዕዘን እንተካው፡ Аx 2 – x + А = 0. ይህ እኩልታ 1 – 4А 2 ≥ ሲሆን መፍትሄ ይኖረዋል። ከፍተኛ ዋጋሀ = 1/2

መልስ፡- ምስል 5፣ ከፍተኛ y(x) = ½።

አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? ተግባራትን እንዴት እንደሚስሉ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት ይመዝገቡ።
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!

ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።

ተግባር y=x^2 ኳድራቲክ ተግባር ይባላል። መርሐግብር ኳድራቲክ ተግባርፓራቦላ ነው። አጠቃላይ ቅጽፓራቦላ ከዚህ በታች ባለው ስእል ላይ ይታያል.

ባለአራት ተግባር

ምስል 1. የፓራቦላ አጠቃላይ እይታ

በግራፉ ላይ እንደሚታየው, ስለ ኦይ ዘንግ የተመጣጠነ ነው. የኦይ ዘንግ የፓራቦላ የሲሜትሪ ዘንግ ተብሎ ይጠራል. ይህ ማለት በግራፉ ላይ ቀጥታ መስመር ከዚህ ዘንግ በላይ ካለው የኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ ከሆነ። ከዚያም ፓራቦላውን በሁለት ነጥብ ያቋርጣል. ከእነዚህ ነጥቦች እስከ ኦይ ዘንግ ያለው ርቀት ተመሳሳይ ይሆናል.

የሲሜትሪ ዘንግ የፓራቦላውን ግራፍ በሁለት ክፍሎች ይከፍላል. እነዚህ ክፍሎች የፓራቦላ ቅርንጫፎች ይባላሉ. እና በሲሜትሪ ዘንግ ላይ የተቀመጠው የፓራቦላ ነጥብ የፓራቦላ ጫፍ ተብሎ ይጠራል. ያም ማለት የሲሜትሪ ዘንግ በፓራቦላ ጫፍ በኩል ያልፋል. የዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች (0;0) ናቸው.

የኳድራቲክ ተግባር መሰረታዊ ባህሪያት

1. በ x =0፣ y=0፣ እና y>0 በ x0

2. ኳድራቲክ ተግባሩ በትንሹ እሴቱ በጫፉ ላይ ይደርሳል. Ymin በ x=0; በተጨማሪም ተግባሩ ከፍተኛ ዋጋ እንደሌለው ልብ ሊባል ይገባል.

3. በመካከሉ (-∞; 0) ላይ ያለው ተግባር ይቀንሳል እና በክፍለ-ጊዜው ላይ ይጨምራል እኩልታውን መፍታት \(x"\ ግራ (t \ ቀኝ) = 0, \) የተግባሩ ቋሚ ነጥቦችን እንወስናለን \ (x\) ግራ (t \ ቀኝ): \) \[ (x"\ግራ (t \ ቀኝ) = 0,)\;\; (\ ቀኝ ቀስት 3 (t ^ 2) + 2t - 1 = 0,) \;\; (\ ቀኝ ቀስት (t_(1, 2)) = \ frac ((- 2 \pm \sqrt (16)))(6) = - 1;\;\frac(1)(3)) \] ለ \] (t = 1\) ተግባር \ (x\ግራ(t \ ቀኝ)\) ከ \ (t = \ትልቅ\frac(1)(3)\normalsize\) ጋር እኩል የሆነ ከፍተኛ ደረጃ ላይ ይደርሳል። ቢያንስ \[ (x\ ግራ(( \ frac (1)(3)) \ቀኝ) = ((\ግራ((\frac(1)(3)) \ቀኝ)^3) + (\ ቀኝ) ጋር እኩል ነው። ግራ ((\frac(1)(3)) \ቀኝ)^2) - \ግራ(\frac(1)(3)) \ቀኝ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27))) \] \(y"\ግራ(t \ቀኝ):\) \\\\ግራ(t \ቀኝ):\) [ (y"\ግራ(t \ቀኝ) = ( \ግራ((t^3) + 2(t^2) - 4t) \ቀኝ)^\ፕሪም )) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] የተግባሩ ቋሚ ነጥቦችን ይፈልጉ \(y \ግራ(t \ቀኝ):\) \[ (y"\ግራ(t \ቀኝ) = 0,)\;\; (\ ቀኝ ቀስት 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\; (\ቀኝ ቀስት (t_(1,2)) = \frac((- 4 \pm \sqrt (64))))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3)) \] እዚህ በተመሳሳይ መልኩ \(y\ግራ(t \ቀኝ)\) ተግባር \(t = -2:\) \(t = -2:\) \\\\ በትንሹ \(t = \ትልቅ\frac(2)(3)\normalize:\) \[(y\ግራ((\frac(2)(3)))\ቀኝ))) = ((\ግራ ((\frac(2)(3)) \ቀኝ)^3) + 2(\ ግራ((\frac(2)(3)) \ቀኝ)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3)) = (- \frac((40))((27))) \] የተግባሮች ግራፍ \(x\ግራ(t \ ቀኝ)\) ፣ \(y\ግራ(t \ቀኝ)\) በስዕል \(15a.\) ላይ በስዕል ይታያል።

ምስል 15 ሀ		ምስል 15 ለ

ምስል.15c

ከ \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty)) x\ግራ(t \ቀኝ) = \pm \ infty,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \ infty) y\left(t \right) = \pm \ infty ,) \] ከዚያም ጥምዝ \(y\ግራ(x \ቀኝ)\) አቀባዊ የለውም። ምንም አግድም asymptotes. ከዚህም በላይ ከ \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \ infty) \frac((y\left(t \right)))))((x\ግራ (t \ቀኝ)))) = \lim\limits_(t \to \pm \infty) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t)) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \ infty) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)((t^2)))))))(( 1 + \frac (1) (t) - \frac (1) (((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \ infty)) \ ግራ[ (y\ግራ(t \ቀኝ) - kx\ግራ(t \ቀኝ)) \ቀኝ]) = (\lim\limits_(t \to \pm \ infty) \ግራ((\ሰርዝ (\ ቀለም) (ሰማያዊ) (t^3)) + \ቀለም (ቀይ) (2 (t^2)) - \ቀለም (አረንጓዴ) (4t) - \ሰርዝ (\ቀለም (ሰማያዊ) (t^3)) - \ ቀለም (ቀይ)(t^2) + \ቀለም(አረንጓዴ)(t)) \ቀኝ)) = (\lim\limits_(t \to \pm \ infty) \ ግራ((\ቀለም(ቀይ)(t^ 2) ) - \ቀለም (አረንጓዴ) (3t)) \ቀኝ) = + \ infty ፣) \] ከዚያም ጥምዝ \(y\ግራ(x \ቀኝ)\) እንዲሁ አስገዳጅ ምልክቶች የሉትም።

የግራፍ \(y\ግራ(x \ቀኝ)\) መገናኛ ነጥቦችን ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር እንወስን። ከ x-ዘንግ ጋር ያለው መገናኛ በሚከተሉት ነጥቦች ላይ ይከሰታል: \[ (y\ግራ (t \ ቀኝ) = (t^3) + 2 (t^2) - 4t = 0,)\;\; (\ ቀኝ ቀስት t \ ግራ(((t^2) + 2t - 4) \ቀኝ) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\ ቀኝ ቀስት D = 4 - 4 \cdot \ ግራ(( - 4) \ቀኝ) = 20,)\;\; (\ የቀኝ ቀስት (t_(2,3)) = \ትልቅ\frac((- 2 \pm \sqrt (20)))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

\\[ (x\ ግራ(((t_2))\ቀኝ) = x\ግራ(- 1 - \sqrt 5) \ቀኝ)) = (\ግራ((- 1 - \sqrt 5) \ቀኝ) ^3) + (\ግራ(- 1 - \sqrt 5) \ቀኝ)^2) - \ግራ(- 1 - \sqrt 5) \ቀኝ)) = ( - \ግራ((1 + 3\sqrt) 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \ቀኝ) + \ግራ ((1 + 2\sqrt 5 + 5) \ right) + 1 + \sqrt 5) = (- 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \ በግምት 20.18 ፤ sqrt 5) \ቀኝ)) = ((\ግራ(- 1 + \sqrt 5) \ቀኝ)^3) + (\ግራ((- 1 + \sqrt 5) \ቀኝ)^2) - \ ግራ( (- 1 + \sqrt 5) \ቀኝ)) = ( - \ግራ ((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5) \ቀኝ) + \ግራ(1 - 2\sqrt 5 + 5) \ቀኝ) + 1 - \sqrt 5) = (- 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \ approx 2.18. ) \] በ በተመሳሳይ መንገድ የግራፉን መጋጠሚያ ነጥቦች ከ ordinate ዘንግ ጋር እናገኛለን: \[ (x \ ግራ (t \ ቀኝ) = (t ^ 3) + (t ^ 2) - t = 0,) \;\; (\ ቀኝ ቀስት t \ ግራ(((t^2) + t - 1) \ቀኝ) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\ ቀኝ ቀስት D = 1 - 4 \cdot \ ግራ(( - 1) \ቀኝ) = 5,)\;\; (\ የቀኝ ቀስት (t_(2,3)) = \ትልቅ\frac((- 1 \pm \sqrt (5)))(2)\nመደበኛ መጠን።) \)

\\[ (y\ግራ((t_2)) \ቀኝ) = y\ግራ((\frac(- 1 - \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)) = (\ግራ(\ frac ((- 1 - \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)^3) + 2(\ግራ((\frac(- 1 - \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)^2) - 4\ግራ((\frac(- 1 - \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)) = (- \frac(1)(8)\ግራ((1 + 3\sqrt 5 + 15) 5\sqrt 5) \ቀኝ) + \frac(1)(2)\ግራ((1 + 2\sqrt 5+ 5) \ right) + 2\ግራ((1 + \sqrt 5) \ቀኝ)) = ( - \ሰርዝ (2) - \ሰርዝ (\sqrt 5) + 3 + \ሰርዝ (\sqrt 5) + \ሰርዝ (2) + 2\sqrt 5) = (3 + 2\sqrt 5 \u003e 7.47;) \] \[ (y\ግራ((t_3)) \ቀኝ) = y\ግራ((\frac(- 1 + \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)) = (\ግራ (( \frac((- 1 + \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)^3) + 2(\ግራ((\frac(- 1 + \sqrt 5))(2)) \ቀኝ) ^2 ) - 4\ግራ((\frac(- 1 + \sqrt 5))(2)) \ቀኝ)) = (- \frac(1)(8)\ግራ((1 - 3\sqrt 5+15) - 5\sqrt 5 ) \ቀኝ) + \frac(1)(2)\ግራ((1 - 2\sqrt 5 + 5) \ right) + 2\ግራ(1 - \sqrt 5) \ቀኝ = ( - \ሰርዝ (2) + \ሰርዝ (\sqrt 5) + 3 - \ሰርዝ (\sqrt 5) + \ሰርዝ (2) - 2\sqrt 5) = (3 - 2\sqrt 5 \ approx - 1.47 .) \] ዘንግ \(t \) ወደ \(5\) ክፍተቶች ይከፋፍሉት: \[ (\ ግራ (( \ infty, - 2) \ ቀኝ),)\;\; (\ግራ(- 2, - 1) \ቀኝ),)\;\; (\ግራ(- 1፣\frac(1)(3)) \ቀኝ))\;\; (\ግራ((\frac(1)(3))፣\frac(2)(3)) \ቀኝ))\;\; (\ ግራ ((\ frac (2) (3) ፣ + \ infty \\ በቀኝ) \] በመጀመሪያው ክፍተት \ (\ ግራ (( - \ infty ፣ - 2) \ ቀኝ) \) እሴቶች \(x \) እና \(y \) ከ \(-\ infty \) ወደ \(x\ግራ(- 2) \ቀኝ) = - 2\) እና \(y\ግራ((- 2)) ይጨምራሉ። \ ቀኝ) = 8.\) ይህ በስእል \ (15 ለ.

በሁለተኛው የጊዜ ክፍተት \(\ ግራ ((- 2, - 1) \ ቀኝ) \) ተለዋዋጭ \ (x \) ከ \ (x \ ግራ ( ( - 2) \ ቀኝ) = - 2 \) ወደ \ ይጨምራል. (x \ ግራ (( - 1) \ቀኝ) = 1 ፣ \) እና \(y \) ተለዋዋጭ ከ \ (y \ ግራ (( - 2) \ ቀኝ) = 8 \) ወደ \(y\ግራ) ይቀንሳል ((- 1) \ቀኝ) = 5.\) እዚህ ላይ እየቀነሰ የሚሄድ ጥምዝ ክፍል አለን \(y\ግራ(x \ቀኝ)\)\(\ግራ(0.3) በተባለው ቦታ ላይ ያለውን የአውራጃ ዘንግ ያቋርጣል። + 2\sqrt 5) \ቀኝ)\)

በሶስተኛው ክፍተት \(\ ግራ ((- 1,\ትልቅ\frac(1)(3)\normalsize) \ ቀኝ)\) ሁለቱም ተለዋዋጮች ይቀንሳሉ. የ \(x\) ዋጋ ከ \(x\ግራ(- 1) \ቀኝ) = 1\) ወደ \(x\ግራ((\ትልቅ\frac(1)(3)\normalize)\ቀኝ ይቀየራል) ) = - \ትልቅ\frac(5)((27))\normalsize። \(ይ \ቀኝ)\) የመጋጠሚያዎችን አመጣጥ ያቋርጣል።

በአራተኛው ክፍተት \(\ ግራ((\ትልቅ\frac(1)(3)\normalsize፣\ትልቅ\frac(2)(3)\normalsize)\ቀኝ)\)ተለዋዋጭ \(x\) ከ ይጨምራል \( x \ ግራ ((\ ትልቅ \ frac (1) (3) \ መደበኛ መጠን) \ ቀኝ) = - \ ትልቅ \ frac (5) ((27)) \ normalize \) ወደ \ (x \ ግራ ((\) ትልቅ \ frac(2)(3)\normalsize) \ቀኝ) = \ትልቅ\frac(2)((27))\normalsize ፣\) እና \(y \) ተለዋዋጭ \(y \) ከ \(y\ግራ) (((((y))) ይቀንሳል። \ ትልቅ \ frac (1) (3) \ መደበኛ መጠን) \ ቀኝ) = - \ ትልቅ \ frac (29) ((27)) \ normalsize \) ወደ \ (y \ ግራ ((\ትልቅ\frac(2)) 3)\ normalsize) \right) = - \ትልቅ\frac(40)((27))\normalsize። ነጥብ \ (\ ግራ ( (0.3 - 2 \\ ካሬ 5) \ በቀኝ)።

በመጨረሻ ፣ በመጨረሻው የጊዜ ክፍተት \ (\ ግራ ((\ ትልቅ \ frac (2) (3) \ normalsize ፣ + \ infty \ ቀኝ) \) ሁለቱም ተግባራት \ (x \ ግራ (t \ ቀኝ) \) ፣ \\ (y\ግራ(t \ቀኝ)\) ጨምር። ኩርባው \(y\ግራ(x \ቀኝ)\) የ x-ዘንግ ነጥቡን በ \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \ approx 2.18.\) ያቋርጣል።

የጠመዝማዛውን \(y\ግራ(x \ቀኝ)\\\\\\\\\\\\\\\\\\ውንቀፅን ቅርፅ ግልጽ ለማድረግ, ከፍተኛውን እና ዝቅተኛውን ነጥቦችን እናሰላለን. ተዋጽኦው \(y"\ግራ(x \ቀኝ)\) ተብሎ ይገለጻል \[ (y"\ግራ(x \ቀኝ) = (y"_x)) = (\frac(((y"_t))))) (((x"_t)))) = (\frac(((\ግራ((t^3) + 2(t^2) - 4t) \ቀኝ))^\ፕሪም )))) ( \ ግራ(( (t^3) + (t^2) - t) \ቀኝ))^\ፕሪም 3 (t^2) + 2t - 1))) = (\frac ((\ሰርዝ (3)\ግራ((t + 2) \ቀኝ)\ግራ((t - \frac(2)(3)))) \ ቀኝ))) ((\ሰርዝ (3)\ግራ((t + 1) \ቀኝ)\ግራ(t - \frac(1)(3)) \ቀኝ))) = (\frac(( \ ግራ((t + 2) \ቀኝ)\ግራ((t - \frac(2)(3)) \ቀኝ))(\ግራ(t + 1) \ቀኝ)\ግራ((t - \ frac (1) (3)) \ቀኝ))))) \] የመነጩ ምልክት ለውጥ \(y"\ግራ(x \ቀኝ)\) በስእል \(15c.\) ላይ ይታያል ። በ ነጥቡ \(t = - 2,\) ማለትም. በ \(I\) -th እና \(II\) -th intervals ድንበር ላይ ኩርባው ከፍተኛው ሲሆን በ \(t = \ትልቅ\frac(2)(3)\normalsize\))(በ የ \(IV \) ኛ እና \(V \) ኛ ክፍተቶች) ወሰን ቢያንስ አለ። ነጥቡ \(t = \ትልቅ\frac(1)(3)\normalsize\) ነጥቡን ሲያልፉ ፣ ተዋጽኦው እንዲሁ ምልክትን ከፕላስ ወደ መቀነስ ይለውጣል ፣ ግን በዚህ ክልል ውስጥ ኩርባ \(y\ግራ(x \ ቀኝ)) \) ልዩ ተግባር አይደለም. ስለዚህ, የተጠቆመው ነጥብ አክራሪ አይደለም.

እንዲሁም የዚህን ኩርባ ውጣ ውረድ እንመረምራለን. ሁለተኛ ተዋጽኦ\(y""\ግራ(x \ቀኝ)\) ቅፅ አለው፡ \[ y""\ግራ(x \right) = (y""_(xx)) = \frac(((\ግራ((\ግራ) ( (y"_x)) \ቀኝ))"_t))) ((x"_t))) = \frac(((\ግራ(\frac(\frac(3(t^2))) )) ((3(t^2) + 2t - 1))) \ቀኝ))^\ፕሪም )))(((\ግራ((t^3) + (t^2) - t) \ ቀኝ ))^\ፕራይም ))) = \frac((\ግራ((\ግራ((6t + 4))\ቀኝ)\ግራ((3(t^2))+2t - 1)\ right) - \ግራ(3(3(3(3)))) t ^2) + 4t - 4) \ቀኝ)\ግራ(6t + 2) \ቀኝ)) )) = \frac ((18 (t^3) + 12 (t^2) + 12 (t^2) + 8t - 6t - 4 - \ ግራ((18 (t^3) + 24(t^) 2) - 24t + 6 (t^2) + 8t - 8) \ቀኝ))) \ frac ((\መሰረዝ(\ቀለም(ሰማያዊ)(18(t^3))))) +\ቀለም(ቀይ)(24(t^2)) ( 4) - \ሰርዝ (\ ቀለም (ሰማያዊ) (18 (t^3))) - \ቀለም (ቀይ) (30 (t^2)) + \ቀለም (አረንጓዴ) (16t) + \ ቀለም (ማሮን) ( 8))) (((\ ግራ ((3 (t^2) + 2t - 1) \ቀኝ))^3))) = \ frac (( - \ ቀለም (ቀይ) (6 (t^2) )) + \ቀለም (አረንጓዴ) (18t) + \ቀለም (ማሮን) (4))) = \ frac (( - 6 \ ግራ ((t - \ frac ((9 - \sqrt (105))))(6)) \ቀኝ)\ግራ((t - \frac((9 + \sqrt (105))) )) (6)) \ቀኝ))) (((\ግራ((t + 1) \ቀኝ))^3)((\ግራ(3t - 1) \ቀኝ))^3)))። \] በዚህም ምክንያት, ሁለተኛው ተወላጅ የሚከተሉትን ነጥቦች በሚያልፉበት ጊዜ ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይለውጠዋል (ምስል \ (15с ) \ቀኝ) = 1,)\;\; (y\ግራ(- 1) \ቀኝ) = 5 ፤) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105))))(6):)\;\; (x\ ግራ((\frac(9 - \sqrt (105))))(6)) \ቀኝ) \በግምት 0.24;)\;\; (y\ግራ((\frac(9 - \sqrt (105))))(6)) \ቀኝ) \በግምት 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x \ ግራ ((\ frac (1) (3)) \ቀኝ) = - \ frac (5) ((27)),)\;\; (y\ግራ((\frac (1)(3)) \ቀኝ) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + sqrt (105)))(6):)\;\; (x\ ግራ((\frac((9 + \sqrt (105))))(6)) \ቀኝ) \በግምት 40.1;)\;\; (y\ግራ((\frac((9 + \sqrt (105))))(6))\ቀኝ) \በግምት 40.8።) \]ስለዚህ የተጠቆሙት ነጥቦቹ የጠመዝማዛ ነጥቦችን ይወክላሉ \(y\ግራ) x \\ ቀኝ)

የከርቭ \(y\ግራ(x \ቀኝ)\) ንድፍ ግራፍ በስእል \(15b.\) ላይ ይታያል