ስምተራ ልዩነት እኩልታዎች መመሪያ መጽሐፍ።

በታዋቂው ጀርመናዊ የሒሳብ ሊቅ ኤሪክ ካምኬ (1890 - 1961) “የተራ ልዩነት እኩልታዎች የእጅ መጽሐፍ” በቁስ ሽፋን ላይ ልዩ የሆነ ኅትመት ሲሆን በዓለም የሂሳብ ሥነ ጽሑፍ ውስጥ ብቁ ቦታን ይዟል።
የዚህ መጽሐፍ የመጀመሪያ እትም የሩስያ ትርጉም በ 1951 ታየ. ከዚያን ጊዜ ወዲህ ያለፉት ሁለት አስርት ዓመታት የሂሳብ ሒሳብ ፈጣን እድገት እና የኮምፒውተር ቴክኖሎጂ. ዘመናዊ የኮምፒዩተር መሳሪያዎች ቀደም ሲል በጣም አስቸጋሪ የሚመስሉ የተለያዩ ችግሮችን በፍጥነት እና በትክክል ለመፍታት ያስችላሉ. በተለይም ተራ ልዩነት እኩልታዎችን በሚያካትቱ ችግሮች ውስጥ የቁጥር ዘዴዎች በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ሆኖም የአንድ የተወሰነ ልዩነት እኩልታ ወይም ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄን በዝግ መልክ የመፃፍ ችሎታ በብዙ ጉዳዮች ላይ ጉልህ ጥቅሞች አሉት። ስለዚህ, በ E. Kamke መጽሐፍ ሦስተኛው ክፍል ውስጥ የተሰበሰበው ሰፊ የማጣቀሻ ቁሳቁስ - ወደ 1650 ገደማ መፍትሄዎች ከመፍትሄዎች ጋር - ይጠብቃል. ትልቅ ጠቀሜታአና አሁን.

ከላይ ከተጠቀሰው በተጨማሪ የማጣቀሻ ቁሳቁስ, በ E. Kamke መፅሃፍ ውስጥ ከመሠረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች እና ከተራ ልዩነት እኩልታዎች ጋር የተያያዙ በጣም አስፈላጊ ውጤቶችን (ምንም እንኳን ያለምንም ማስረጃ) ማቅረቢያ ይዟል. በዲፈረንሻል እኩልታዎች (ለምሳሌ የድንበር እሴት ችግሮች ንድፈ ሃሳብ እና የኢጂንቫልዩ ችግሮች ፅንሰ-ሀሳብ) ብዙ ጊዜ በመማሪያ መጽሀፍት ውስጥ ያልተካተቱ በርካታ ጉዳዮችንም ይሸፍናል።
የ E. Kamke መጽሐፍ በዕለት ተዕለት ሥራ ውስጥ ጠቃሚ የሆኑ ብዙ እውነታዎችን እና ውጤቶችን ይዟል, ጠቃሚ እና አስፈላጊ ለሆኑት ሰፊ የሳይንስ ሊቃውንት እና በተግባራዊ መስኮች, መሐንዲሶች እና ተማሪዎች ውስጥ ልዩ ባለሙያዎችን አረጋግጧል. የዚህ የማመሳከሪያ መጽሐፍ ወደ ሩሲያኛ የተተረጎመ ሶስት ቀደምት እትሞች በአንባቢዎች መልካም አቀባበል የተደረገላቸው እና ከረጅም ጊዜ በፊት ተሽጠዋል።
የሩሲያ ትርጉም በስድስተኛው የጀርመን እትም (1959) እንደገና ተረጋግጧል; የተስተዋሉ ስህተቶች፣ ስህተቶች እና የአጻጻፍ ስልቶች ተስተካክለዋል። በአርታዒው እና ተርጓሚው ላይ የተደረጉ ሁሉም ማስገባቶች፣ አስተያየቶች እና ተጨማሪዎች በካሬ ቅንፎች ውስጥ ተዘግተዋል። በመጽሐፉ መጨረሻ ላይ "ተጨማሪዎች" በሚለው ርዕስ ስር ደራሲው በስድስተኛው የጀርመን እትም ላይ የጠቀሰውን የማመሳከሪያውን ክፍል የሚያሟሉ የበርካታ የመጽሔት ጽሁፎች አሕጽሮተ ቃል (በN. Kh. Rozov የተሰራ) አሉ።

ክፍል አንድ
አጠቃላይ የመፍትሄ ዘዴዎች
ምዕራፍ I.
§ 1. በተዛማጅነት የተፈቱ ልዩነቶች
መነሻ፡ y" = f(x,y)፤ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች
1.1. ማስታወሻዎች እና ጂኦሜትሪክ ትርጉምልዩነት
እኩልታዎች
1.2. የመፍትሄው መኖር እና ልዩነት
§ 2. በተዛማጅነት የተፈቱ ልዩነቶች
መነሻ፡ y" = f(x,y)፤ የመፍትሄ ዘዴዎች
2.1. የፖሊላይን ዘዴ
2.2. ፒካርድ-ሊንደሎፍ ተከታታይ ግምታዊ ዘዴ
2.3. የኃይል ተከታታይ ትግበራ
2.4. የተከታታይ ማስፋፊያ25 የበለጠ አጠቃላይ ጉዳይ
2.5. በመለኪያ 27 መሠረት ተከታታይ መስፋፋት።
2.6. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጋር ግንኙነት27
2.7. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 28
2.8. ለ x 30 ትልቅ እሴቶች የመፍትሄዎች ባህሪ
§ 3. የልዩነት እኩልታዎች ከ32 ጋር አልተፈቱም።
መነሻ፡ F(y፣ y፣ x)=0
3.1. ስለ መፍትሄዎች እና የመፍትሄ ዘዴዎች 32
3.2. መደበኛ እና ልዩ የመስመር አባሎች33
§ 4. የመጀመሪያዎቹ 34 ልዩ ልዩ እኩልታዎች መፍትሄ
ማዘዝ
4.1. ልዩነት እኩልታዎች ከተለዋዋጮች ጋር 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች 35.
4.4. ወደ መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች የመፍትሄዎች አሲምፕቲክ ባህሪ
4.5. የበርኑሊ እኩልታ y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች እና ለእነሱ የሚቀነሱ38
4.7. አጠቃላይ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች 40
4.8. ልዩ እኩልታሪካቲ፡ y"+аy2=bha 40
4.9. አጠቃላይ እኩልታሪካቲ፡ y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. የመጀመሪያው ዓይነት አቤል እኩልነት44
4.11. የሁለተኛው ዓይነት አቤል እኩልነት47
4.12. ውስጥ እኩልታ ሙሉ ልዩነቶች 49
4.13. ውህደት ምክንያት 49
4.14. F(y፣y፣x)=0፣ "በልዩነት ውህደት" 50
4.15. (a) y=G(x፣ y")፤ (b) x=G(y፣y") 50
4.16. (ሀ) G(y ",x)=0፤ (b) G(y\y)=Q 51
4.17. (ሀ) y"= g(y)፤ (6) x=g(y") 51
4.18. የ Clairaut እኩልታዎች 52
4.19. Lagrange-D'Alembert እኩልታ 52
4.20. ረ(x፣ xy"-y፣ y")=0። Legendre ለውጥ53
ምዕራፍ II. የልዩነት እኩልታዎች የዘፈቀደ ስርዓቶች ተዋጽኦዎችን በተመለከተ ተፈተዋል።
§ 5. መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች54
5.1. የልዩነት እኩልታዎች ስርዓት ማስታወሻ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም
5.2. የመፍትሄው መኖር እና ልዩነት 54
5.3. የካራቴኦዶሪ መኖር ቲዎሪ 5 5
5.4. የመፍትሄው ጥገኛ በመነሻ ሁኔታዎች እና መለኪያዎች56
5.5. የዘላቂነት ጉዳዮች57
§ 6. የመፍትሄ ዘዴዎች 59
6.1. የተበላሹ መስመሮች ዘዴ59
6.2. ፒካርድ-ሊንደሎፍ ተከታታይ ግምታዊ ዘዴ59
6.3. የኃይል ተከታታይ ትግበራ 60
6.4. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጋር ግንኙነት 61
6.5. በመፍትሔዎች መካከል የታወቀ ግንኙነትን በመጠቀም የስርዓቱን መቀነስ
6.6. ልዩነትን እና ማስወገድን በመጠቀም ስርዓትን መቀነስ 62
6.7. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 62
§ 7. ራስ ገዝ ስርዓቶች 63
7.1. ራሱን የቻለ ሥርዓት ፍቺ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም 64
7.2. በጉዳዩ n = 2 ውስጥ ባለ ነጠላ ነጥብ ሰፈር ውስጥ በተዋሃዱ ኩርባዎች ባህሪ ላይ
7.3. የነጠላ ነጥብ ዓይነትን ለመወሰን መስፈርቶች 66
ምዕራፍ III.
§ 8. የዘፈቀደ መስመራዊ ስርዓቶች70
8.1. አጠቃላይ አስተያየቶች70
8.2. የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች። የመፍትሄ ዘዴዎች70
8.3. የተለያየ ስርዓትን ወደ ተመሳሳይነት መቀነስ71
8.4. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 71
§ 9. ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመር ስርዓቶች72
9.1. የመፍትሄዎች ባህሪያት. መሠረታዊ የውሳኔ ሥርዓቶች 72
9.2. የህልውና ንድፈ ሃሳቦች እና የመፍትሄ ዘዴዎች 74
9.3. ጥቂት እኩልታዎች ያለው ስርዓት ወደ ስርዓት መቀነስ75
9.4. የልዩነት እኩልታዎች ውህደት ስርዓት76
9.5. የልዩነት እኩልታዎች እራስ-አቆራኝ ስርዓቶች፣ 76
9.6. የተለያዩ ቅርጾች የተዋሃዱ ስርዓቶች; Lagrange ማንነት፣ የግሪን ቀመር
9.7. መሰረታዊ መፍትሄዎች78
§10. ተመሳሳይ ነጥብ ያላቸው ተመሳሳይ መስመሮች 79
10.1. የነጠላ ነጥቦች ምደባ 79
10.2. ደካማ ነጠላ ነጥቦች80
10.3. ጠንካራ ነጠላ ነጥቦች 82
§አስራ አንድ. የመፍትሄዎች ባህሪ በ x 83 ትልቅ እሴት
§12. በ parameter84 ላይ በመመስረት መስመራዊ ስርዓቶች
§13. መስመራዊ ስርዓቶች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር 86
13.1. ተመሳሳይ ስርዓቶች 83
13.2. ስርዓቶች ተጨማሪ አጠቃላይ እይታ 87
ምዕራፍ IV. የዘፈቀደ nth ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች
§ 14. ከከፍተኛው ተዋጽኦ አንጻር የተፈቱ እኩልታዎች፡ 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§15. ከከፍተኛው ውፅዓት ጋር በተያያዘ እኩልታዎች አልተፈቱም፡90
ረ(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. እኩልታዎች በጠቅላላ ልዩነት90
15.2. አጠቃላይ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች 90
15.3. x ወይም y 91ን በግልፅ ያላካተቱ እኩልታዎች
ምዕራፍ V የ nth ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች፣
§16. የዘፈቀደ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች የ nth ቅደም ተከተል92
16.1. አጠቃላይ አስተያየቶች92
16.2. የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች። የመፍትሄ ዘዴዎች92
16.3. የ(n-1) ኛ ትዕዛዝ ተዋጽኦን ማስወገድ94
16.4. ተመሳሳይ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ወደ ተመሳሳይነት መቀነስ
16.5. በትልቅ x94 እሴቶች ላይ የመፍትሄዎች ባህሪ
§17. የ nth ቅደም ተከተል 95 ወጥ የሆነ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
17.1. የመፍትሄዎች ባህሪያት እና የሕልውና ጽንሰ-ሐሳቦች 95
17.2. የልዩነት እኩልታ ቅደም ተከተል መቀነስ96
17.3. 0 ዜሮ መፍትሄዎች 97
17.4. መሰረታዊ መፍትሄዎች 97
17.5. የተዋሃዱ, እራስ-አብሮ እና ፀረ-የራስ-አጃጅ ልዩነት ቅርጾች
17.6. Lagrange ማንነት; ዲሪችሌት እና አረንጓዴ ቀመሮች 99
17.7. በጠቅላላ ልዩነቶች ውስጥ በተጣመሩ እኩልታዎች እና እኩልታዎች መፍትሄዎች ላይ
§18. ተመሳሳይ የሆኑ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ከነጠላዎች101
ነጥቦች
18.1. የነጠላ ነጥቦች ምደባ 101
18.2. ጉዳዩ መቼ ነጥቡ x = E, መደበኛ ወይም ደካማ ነጠላ104
18.3. ጉዳዩ x=inf ነጥቡ መደበኛ ወይም ደካማ ነጠላ108 ነው።
18.4. ነጥቡ x=% ልዩ የሆነበት ሁኔታ 107
18.5. ነጥቡ x=inf በጣም ልዩ የሆነበት ሁኔታ 108
18.6. ልዩነት እኩልታዎች ከፖሊኖሚል ጥምርታዎች ጋር
18.7. የልዩነት እኩልታዎች ከወቅታዊ መጋጠሚያዎች ጋር
18.8. የልዩነት እኩልታዎች ከእጥፍ ወቅታዊ መጋጠሚያዎች ጋር
18.9. የእውነተኛ ተለዋዋጭ ጉዳይ112
§19. 113 በመጠቀም የመስመር ልዩነት እኩልታዎችን መፍታት
የተወሰኑ ውህዶች
19.1. አጠቃላይ መርህ 113
19.2. የላፕላስ ሽግግር 116
19.3 ልዩ የላፕላስ ሽግግር 119
19.4. ሜሊን ትራንስፎርሜሽን 120
19.5. የኡለር ለውጥ 121
19.6. ድርብ ማያያዣዎችን በመጠቀም መፍትሄ 123
§ 20. ለ x 124 ትልቅ እሴቶች የመፍትሄዎች ባህሪ
20.1. ፖሊኖሚል ቅንጅቶች124
20.2. የአጠቃላይ ቅፅ ቅንጅቶች 125
20.3. ቀጣይነት ያለው ዕድሎች 125
20.4. የመወዛወዝ ንድፈ ሃሳቦች126
§21. በ127 ላይ በመመስረት የ nth ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች
መለኪያ
§ 22. አንዳንዶቹ ልዩ ዓይነቶችመስመራዊ ልዩነት129
የ nth ቅደም ተከተል እኩልታዎች
22.1. ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ መጋጠሚያዎች ጋር
22.2. ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚዎች130
22.3. የኡለር እኩልታዎች 132
22.4. የላፕላስ እኩልታ132
22.5. ከፖሊኖሚል ቅንጅቶች ጋር እኩልታዎች133
22.6. Pochhammer እኩልታ134
ምዕራፍ VI. የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
§ 23. የሁለተኛ ደረጃ መደበኛ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች 139
23.1. የግል ዓይነቶችን ለመፍታት ዘዴዎች አይደሉም መስመራዊ እኩልታዎች 139
23.2. አንዳንድ ተጨማሪ ማስታወሻዎች140
23.3. የእሴት ንድፈ ሃሳቦችን ይገድቡ 141
23.4. የመወዛወዝ ቲዎረም 142
§ 24. የሁለተኛው 142 የዘፈቀደ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
ማዘዝ
24.1. አጠቃላይ አስተያየቶች142
24.2. አንዳንድ የመፍትሄ ዘዴዎች 143
24.3. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 144
§ 25. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ተመሳሳይ የሆነ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች 145
25.1. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች መቀነስ
25.2. የሁለተኛ-ትዕዛዝ መስመራዊ እኩልታዎችን ስለመቀነስ ተጨማሪ አስተያየቶች
25.3. መፍትሄውን ወደ ቀጣይ ክፍልፋይ ማስፋፋት 149
25.4. ስለ መፍትሄ ዜሮዎች አጠቃላይ አስተያየቶች150
25.5. የመፍትሄ ዜሮዎች በመጨረሻው ክፍተት151
25.6. የመፍትሄዎች ባህሪ ለ x-> inf 153
25.7. ሁለተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች ከነጠላ ነጥቦች ጋር
25.8. ግምታዊ መፍትሄዎች. Asymptotic መፍትሄዎች እውነተኛ ተለዋዋጭ
25.9. አሲምፕቲክ መፍትሄዎች; ውስብስብ ተለዋዋጭ161
25.10. VBK ዘዴ 162
ምዕራፍ VII. የሦስተኛው እና አራተኛው የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
የትልቅነት ትዕዛዞች
§ 26. የሶስተኛ ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች163
§ 27. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች 164
ምዕራፍ VIII. ልዩነትን ለማዋሃድ ግምታዊ ዘዴዎች
እኩልታዎች
§ 28. የልዩነት እኩልታዎች ግምታዊ ውህደት 165
የመጀመሪያ ትዕዛዝ
28.1. የተበላሹ መስመሮች ዘዴ165.
28.2. ተጨማሪ የግማሽ ደረጃ ዘዴ 166
28.3. ሬንጅ - ሄይን - ኩታ ዘዴ 167
28.4. መጠላለፍ እና ተከታታይ ግምቶችን በማጣመር168
28.5. አዳምስ ዘዴ 170
28.6. ወደ አዳምስ ዘዴ መጨመር 172
§ 29. የልዩነት እኩልታዎች ግምታዊ ውህደት 174
ከፍተኛ ትዕዛዞች
29.1. የአንደኛ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች ግምታዊ ውህደት ዘዴዎች
29.2. የፖሊላይን ዘዴ ለሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች 176
29.3. የ Runge-Kutta ዘዴ ለሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
29.4. Adams-Stoermer ስልት y"=f(x,y,y) 177
29.5. አዳምስ-ስቶርመር ዘዴ y"=f(x,y) 178
29.6. ለቀመር y"=f(x,y,y) 179 የበረከት ዘዴ

ክፍል ሁለት
የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂን እሴት ችግሮች
ምዕራፍ I. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች ለመስመር
የ nth ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች
§ 1. አጠቃላይ ጽንሰ-ሐሳብየወሰን እሴት ችግሮች182
1.1. ማስታወሻዎች እና የመጀመሪያ ማስታወሻዎች 182
1.2. የድንበር ዋጋ ችግር የሚፈታበት ሁኔታ184
1.3. የተዋሃደ የወሰን እሴት ችግር 185
1.4. የራስ አጥር የድንበር እሴት ችግሮች 187
1.5. የአረንጓዴው ተግባር 188
1.6. የአረንጓዴውን ተግባር በመጠቀም ተመጣጣኝ ያልሆነ የድንበር እሴት ችግር መፍትሄ 190
1.7. አጠቃላይ የአረንጓዴ ተግባር 190
§ 2. የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂንቫል ችግሮች ለእኩል 193
£ШУ(У)+ИХ)У = 1(Х)
2.1. Eigenvalues ​​እና eigenfunctions; ባህሪይ መለያ A(X)
2.2. Conjugate eigenvalue ችግር እና የግሪን መፍትሄ; የተሟላ ባዮግራፊያዊ ስርዓት
2.3. መደበኛ የድንበር ሁኔታዎች; መደበኛ የኢጂን እሴት ችግሮች
2.4. ለመደበኛ እና መደበኛ ያልሆነ የኢጂን እሴት ችግሮች
2.5. መበስበስ የተሰጠው ተግባርበመደበኛ እና መደበኛ ባልሆኑ የኢጂን እሴት ችግሮች በ eigenfunctions
2.6. እራስን ማገናኘት መደበኛ የኢጅን እሴት ችግሮች 200
2.7. በፍሬድሆልም ዓይነት 204 አጠቃላይ እኩልታዎች ላይ
2.8. በድንበር እሴት ችግሮች እና በፍሬድሆልም ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.9. በ eigenvalue ችግሮች እና በፍሬድሆልም ዓይነት መካከል ያለው ግንኙነት
2.10. በ Volterra type211 አጠቃላይ እኩልታዎች ላይ
2.11. የድንበር እሴት ችግሮች እና የቮልቴራ ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.12. በ eigenvalue ችግሮች እና በቮልቴራ ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.13. በ eigenvalue ችግሮች እና ልዩነቶች ስሌት መካከል ያለው ግንኙነት
2.14. የ eigenfunction ማስፋፊያ218 መተግበሪያ
2.15. ተጨማሪ ማስታወሻዎች219
§ 3. የ eigenvalue ችግሮችን ለመፍታት ግምታዊ ዘዴዎች እና222-
የድንበር እሴት ችግሮች
3.1. ግምታዊ ጋለርኪን-ሪትዝ ዘዴ222
3.2. ግምታዊ የግራምሜል ዘዴ224
3.3. የጋለርኪን-ሪትዝ ዘዴን በመጠቀም ተመጣጣኝ ያልሆነ የድንበር እሴት ችግር መፍትሄ
3.4. ተከታታይ መጠገኛ ዘዴ 226
3.5. የድንበር እሴት ችግሮች ግምታዊ መፍትሄ እና የ eigenvalue ችግሮች በመጨረሻው ልዩነት ዘዴ
3.6. የማደናቀፍ ዘዴ 230
3.7. ለ eigenvalues ​​ግምቶች 233
3.8. የ eigenvalues ​​እና eigen236 ተግባራትን ለማስላት ዘዴዎች ግምገማ
§ 4. ለዕኩል238 እራስ-የተቆራኙ ኢኢገንቫል ችግሮች
ረ(y)=ወ(y)
4.1. የችግሩ መግለጫ 238
4.2. አጠቃላይ የቅድሚያ አስተያየቶች 239
4.3. መደበኛ የኢጂንቫል ችግሮች 240
4.4. አወንታዊ የተረጋገጠ የኢጂንቫል ችግሮች 241
4.5. Eigenfunction ማስፋፊያ 244
§ 5. የአጠቃላይ ቅፅ ወሰን እና ተጨማሪ ሁኔታዎች 247
ምዕራፍ II. ለስርዓቶች የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂን እሴት ችግሮች
የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
§ 6. ለስርዓቶች የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጅን እሴት ችግሮች 249
የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
6.1. የማስታወሻ እና የመፍታት ሁኔታዎች 249
6.2. የተዋሃደ የወሰን እሴት ችግር 250
6.3. አረንጓዴ ማትሪክስ252
6.4. የኢጂንቫል ችግሮች 252-
6.5. እራስን ማገናኘት eigenvalue ችግሮች 253
ምዕራፍ III. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች ለእኩልታዎች
ዝቅተኛ ትዕዛዞች
§ 7. የመጀመሪያ ትዕዛዝ ችግሮች256
7.1. የመስመር ችግሮች 256
7.2. የመስመር ላይ ያልሆኑ ችግሮች 257
§ 8. የሁለተኛው ትዕዛዝ መስመራዊ ድንበር እሴት ችግሮች257
8.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 257
8.2. የአረንጓዴው ተግባር 258
8.3. የመጀመርያው ዓይነት የድንበር እሴት ችግሮች የመፍትሄ ግምት259
8.4. የድንበር ሁኔታዎች ለ |x|-> inf259
8.5. ወቅታዊ መፍትሄዎችን መፈለግ 260
8.6. የፈሳሽ ፍሰት 260 ጥናት ጋር የተያያዘ አንድ የወሰን እሴት ችግር
§ 9. የሁለተኛው ትዕዛዝ የመስመር eigenvalue ችግሮች 261
9.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 261
9.2 እራስ-አጎራባች eigenvalue ችግሮች 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y እና የድንበር ሁኔታው ​​እራስ-adjoint266
9.4. የኢጂንቫል ችግሮች እና ተለዋዋጭ መርህ269
9.5. በ eigenvalues ​​እና eigenfunctions ተግባራዊ ስሌት ላይ
9.6. የኢጂንቫል ችግሮች፣ የግድ ራስን ማገናኘት አይደለም271
9.7. ተጨማሪ ውሎችየበለጠ አጠቃላይ ቅጽ273
9.8. በርካታ መለኪያዎችን የያዙ የኢጂንቫል ችግሮች
9.9. ልዩነት እኩልታዎች በድንበር ነጥቦች ላይ ከነጠላ 276
9.10. የኢጂንቫል ችግሮች ማለቂያ በሌለው የጊዜ ክፍተት 277
§10. የመስመር ላይ ያልሆኑ የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂንቫል ችግሮች 278
ሁለተኛ ትዕዛዝ
10.1. የድንበር እሴት ችግሮች ለተወሰነ ጊዜ 278
10.2. የወሰን እሴት ችግሮች ለከፊል-ወሰን ክፍተት 281
10.3. የኢጂንቫል ችግሮች282
§አስራ አንድ. የድንበር እሴት ችግሮች እና ችግሮች በሦስተኛው እሴት ላይ - 283
ስምንተኛ ቅደም ተከተል
11.1. የሦስተኛው ቅደም ተከተል የመስመር eigenvalue ችግሮች283
11.2. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር eigenvalue ችግሮች 284
11.3. የሁለት ሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓት የመስመር ችግሮች
11.4. የአራተኛው ትዕዛዝ መስመር ያልሆኑ የድንበር ዋጋ ችግሮች 287
11.5. የ Eigenvalue ችግሮች የበለጠ ናቸው ከፍተኛ ትዕዛዝ 288

ክፍል ሶስት
የተለዩ ልዩ ልዩ እኩልታዎች
የቅድሚያ አስተያየቶች 290
ምዕራፍ I. የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች
1-367። ከ U 294 አንፃር የመጀመሪያ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች
368-517. የሁለተኛ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች ከ334 ጋር
518-544. ከ 354 አንፃር የሶስተኛ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች
545-576 እ.ኤ.አ. የአጠቃላይ ቅጽ ልዩነት እኩልታዎች358
ምዕራፍ II. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
1-90 አይ" + ...363
91-145. (ax+lyu" + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2±a2)y"+... 410
251-303. (ax2 +bx+c) y" + ... 419
304-341. (ax3 +...) y" + ...435
342-396. (ax4 +...) y" + ...442
397-410. (አህ" +...) y" + ...449
411-445 እ.ኤ.አ. ሌሎች ልዩነቶች እኩልታዎች 454
ምዕራፍ III. የሶስተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ IV. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ V የአምስተኛው እና ከፍተኛው የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
የትልቅነት ትዕዛዞች
ምዕራፍ VI. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ያልተለመደ ልዩነት እኩልታዎች
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103።/(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104-187./(x)xy"CR(x,;y,;y")503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. ሌሎች ልዩነቶች እኩልታዎች 520
ምዕራፍ VII. የሦስተኛው እና የሌሎቹ ያልተለመዱ የልዩነት እኩልታዎች
ከፍተኛ ትዕዛዞች
ምዕራፍ VIII. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
የቅድሚያ አስተያየቶች 530
1-18 የሁለት የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች p530
ቋሚ ዕድሎች 19-25.
የሁለት የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች p534
ተለዋዋጭ ዕድሎች
26-43። የሁለት ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች የከፍተኛ ቅደም ተከተል535
አንደኛ
44-57። ከሁለት በላይ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ስርዓቶች538
ምዕራፍ IX. ያልተለመዱ የልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
1-17 የሁለት ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች541
18-29። ከሁለት በላይ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ሲስተምስ 544
ተጨማሪዎች
የሁለተኛው ቅደም ተከተል (I. Zbornik) መስመራዊ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች መፍትሄ ላይ 547
በ E. Kamke (ዲ. ሚትሪኖቪች) 556 የመጽሐፉ ተጨማሪዎች
መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎችን የሚከፋፍልበት አዲስ መንገድ እና 568
እነሱን መገንባት አጠቃላይ መፍትሔየድግግሞሽ ቀመሮችን በመጠቀም
(አይ. ዝቦርኒክ)
የርዕስ ማውጫ 571

የ Kamke E. መመሪያ መጽሐፍ የመጀመሪያ ትዕዛዝ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች፡ የእጅ መጽሐፍ። በ N.X ተስተካክሏል. Rozova - M.: "Nauka", 1966. - 258 p.
አውርድ(ቀጥታ ማገናኛ) : kamke_es_srav_po_du.djvu ያለፈው 1 .. 4 > .. >> ቀጣይ

ሆኖም ፣ በጣም ላይ ከቅርብ ጊዜ ወዲህየአንደኛ ደረጃ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ፍላጎት እንደገና በከፍተኛ ሁኔታ ጨምሯል። ይህ በሁለት ሁኔታዎች ተመቻችቷል. በመጀመሪያ ደረጃ ፣ የአንደኛ ደረጃ የኳሲሊንየር እኩልታዎች አጠቃላይ መፍትሄዎች የሚባሉት ለትግበራዎች ልዩ ትኩረት የሚሰጡ ናቸው (ለምሳሌ ፣ በጋዝ ተለዋዋጭነት ውስጥ የድንጋጤ ሞገዶች ፅንሰ-ሀሳብ ፣ ወዘተ) ። በተጨማሪም, የከፊል ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች ጽንሰ-ሀሳብ ከፍተኛ እድገት አድርጓል. ቢሆንም፣ እስከ ዛሬ ድረስ በN.M. Gun- ከሚታወቀው መጽሐፍ በስተቀር በአንደኛ ደረጃ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ንድፈ ሐሳብ ውስጥ የተከማቹትን ሁሉንም እውነታዎች የሚሰበስብ እና የሚያቀርብ በሩሲያኛ አንድ ነጠላ ጽሑፍ የለም።

ለሩሲያ እትም ቅድመ

tera, ይህም ለረጅም ጊዜ የመጽሐፍ ቅዱስ ብርቅዬ ሆኗል. ይህ መጽሐፍ ይህንን ክፍተት በተወሰነ ደረጃ ይሞላል።

የቱቢንገን ዩኒቨርሲቲ ፕሮፌሰር ኢ ካምኬ ስም በሶቪየት የሂሳብ ሊቃውንት ዘንድ የታወቀ ነው። እሱ ባለቤት ነው። ትልቅ ቁጥርበዲፈረንሺያል እኩልታዎች እና አንዳንድ ሌሎች የሂሳብ ቅርንጫፎች እንዲሁም በበርካታ ትምህርታዊ መጻሕፍት ላይ ይሰራል። በተለይም “ሌቤስጌ-ስቲልትጄስ ኢንቴግራል” የሚለው ነጠላ ጽሑፉ ወደ ሩሲያኛ ተተርጉሞ በ1959 ታትሟል። የኢ. Kamke መጽሐፍ “Differentialgleichungen (Losungsmethoden und L6sungen)” የ “Gewohnliche Differenlialglchungen” የመጀመሪያ ጥራዝ ትርጉም የሆነው “የተለመዱ ዲፈረንሻል እኩልታዎች የእጅ መጽሃፍ” በ1951፣ 1965 በሩሲያ ውስጥ በሶስት እትሞች አልፏል።

"የመጀመሪያ ትዕዛዝ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች የእጅ መጽሃፍ" የዚሁ መጽሐፍ ሁለተኛ ጥራዝ ትርጉም ነው። ወደ 500 የሚያህሉ እኩልታዎች ከመፍትሔ ጋር እዚህ ተሰብስበዋል ። ከዚህ ጽሑፍ በተጨማሪ, ይህ የማመሳከሪያ መፅሃፍ የንድፈ ሃሳባዊ ጉዳዮችን ማጠቃለያ (ያለ ማረጋገጫ) ይዟል, በመደበኛ ኮርሶች ውስጥ በልዩ እኩልታዎች ላይ ያልተካተቱትን ጨምሮ, ለምሳሌ የሕልውና ጽንሰ-ሀሳቦች, ልዩነት, ወዘተ.

የሩስያ እትም በማዘጋጀት ላይ, በመጽሐፉ ውስጥ ያለው ሰፊ የመፅሃፍ ቅዱስ ጽሑፍ ተሻሽሏል. በተቻለ መጠን፣ የቆዩ እና የማይደረስባቸው የውጭ አገር መጻሕፍት ማጣቀሻዎች የአገር ውስጥና የተተረጎሙ ጽሑፎችን በማጣቀስ ተተኩ። ሁሉም የተስተዋሉ ስህተቶች፣ ስህተቶች እና የአጻጻፍ ስልቶች ተስተካክለዋል። በአርትዖት ጊዜ በመጽሐፉ ላይ የተደረጉ ሁሉም ማስገባቶች፣ አስተያየቶች እና ተጨማሪዎች በካሬ ቅንፎች ውስጥ ተዘግተዋል።

ይህ የማመሳከሪያ መጽሐፍ በአርባዎቹ መጀመሪያ ላይ የተፈጠረ (እና ከዚያ በኋላ በጂዲአር ውስጥ ምንም አይነት ለውጦች ሳይደረጉ በተደጋጋሚ ታትመዋል) ምንም ጥርጥር የለውም አሁን በአንደኛ ደረጃ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ ያሉትን ስኬቶች ሙሉ በሙሉ አያንፀባርቅም። ስለዚህ የማመሳከሪያው መጽሃፍ በ I.M. Gelfand, O.A. Oleinik, ወዘተ ስራዎች ውስጥ በተዘጋጁት የኳሲላይን እኩልታዎች አጠቃላይ መፍትሄዎች ንድፈ ሃሳብ ላይ ምንም አይነት ነጸብራቅ አላገኘም. በማመሳከሪያው መጽሐፍ ውስጥ በቀጥታ ለተገለጹት ጉዳዮች. የPfaff እኩልታዎች ንድፈ ሃሳብ በማመሳከሪያው መጽሐፍ ውስጥም አልተካተተም። ሆኖም፣ በዚህ ቅጽ ውስጥ እንኳን መጽሐፉ ያለምንም ጥርጥር ለጥንታዊው የአንደኛ ደረጃ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጠቃሚ መመሪያ ይሆናል።

በመጽሐፉ ውስጥ የተሰጡት የእኩልታዎች ማጠቃለያ, መፍትሄዎች በመጨረሻው መልክ ሊጻፉ ይችላሉ, በጣም አስደሳች እና ጠቃሚ ናቸው, ግን በእርግጥ, የተሟላ አይደለም. በጸሐፊው የተጠናቀረው ከአርባዎቹ መጀመሪያ በፊት በታዩ ሥራዎች ላይ በመመስረት ነው።

አንዳንድ ማስታወሻዎች

x, y; ሰላም xp; y.... yn - ገለልተኛ ተለዋዋጮች፣ r- (x(, xn) a, b, c; A, B, C - ቋሚዎች, ቋሚ ቅንጅቶች, @, @ (x, y), @ (r) - ክፍት ክልል፣ በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ክልል (x፣ y)፣ በተለዋዋጮች ክፍተት xt፣...፣xn [ብዙውን ጊዜ የቁጥር እና የመፍትሄዎች ቀጣይነት ክልል። - Ed.]፣ g - subdomain @፣ F፣ f - አጠቃላይ ተግባር፣

fi - የዘፈቀደ ተግባር, r;r (x,y); z - ty (x..... ፣ xn) - አስፈላጊው ተግባር ፣ መፍትሄ ፣

Dg_dg_dg_dg

р~~дх "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |L, k, n - ማጠቃለያ ኢንዴክሶች,

\n)~ን! (ገጽ - ቲ)! "

/ግ“...ዝln

det | zkv \ የማትሪክስ ወሳኙ I.....I.

\gsh - gpp I

ተቀባይነት ያላቸው አጽሕሮተ ቃላት በመጽሐፍ ቅዱስ ማስታወሻዎች

ጉንተር - N.M. Gunter፣ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ውህደት፣ GTTI፣ 1934።

ካምኬ - ኢ ካምኬ፣ የመደበኛ ልዩነት እኩልታዎች መመሪያ መጽሐፍ፣ ሳይንስ፣ 1964።

Courant - R. Courant, ከፊል ልዩነት እኩልታዎች, "ዓለም", 1964.

Petrovsky - I.G. Petrovsky, ስለ ተራ ልዩነት እኩልታዎች ንድፈ ሐሳብ ላይ ትምህርቶች, "ሳይንስ", 1964.

Stepanov - V.V. Stepanov, የልዩነት እኩልታዎች ኮርስ, ፊዝማት-ጊዝ, 1959.

Kamke፣ DQlen-E. ካምኬ፣ ዲፈረንሺያልgleihungen ሪለር ፈንክሽንየን፣ ላይፕዚግ፣ 1944

ለጊዜያዊ ጽሑፎች ስም ምህጻረ ቃል በአጠቃላይ ተቀባይነት ካላቸው ጋር ይዛመዳል እና ስለዚህ በትርጉም ውስጥ ተትቷል; ይሁን እንጂ K a m k ተመልከት - በግምት. እትም።]

ክፍል አንድ

አጠቃላይ የመፍትሄ ዘዴዎች

[የሚከተለው ጽሑፍ በመጀመሪያው ክፍል ለተወያዩት ጉዳዮች ያተኮረ ነው።

ፐር. ከሱ ጋር. - 4 ኛ እትም, ራእ. - ኤም.: ሳይንስ: Ch. እትም። ፊዚክስ እና ሒሳብ lit., 1971. - 576 p.

ከመጀመሪያው እስከ አራተኛው እትም

በታዋቂው ጀርመናዊ የሒሳብ ሊቅ ኤሪክ ካምኬ (1890-1961) “የተራ ልዩነት እኩልታዎች የእጅ መጽሐፍ” በቁስ ሽፋን ልዩ የሆነ ኅትመት ሲሆን በዓለም የሂሳብ ሥነ-ጽሑፍ ውስጥ ብቁ ቦታን ይዟል።

የዚህ መጽሐፍ የመጀመሪያ እትም የሩስያ ትርጉም በ 1951 ታየ. ከዚያን ጊዜ ወዲህ ያለፉት ሁለት አስርት ዓመታት የሂሳብ እና የኮምፒዩተር ቴክኖሎጂ ፈጣን እድገት የታየበት ወቅት ነው። ዘመናዊ የኮምፒዩተር መሳሪያዎች ቀደም ሲል በጣም አስቸጋሪ የሚመስሉ የተለያዩ ችግሮችን በፍጥነት እና በትክክል ለመፍታት ያስችላሉ. በተለይም ተራ ልዩነት እኩልታዎችን በሚያካትቱ ችግሮች ውስጥ የቁጥር ዘዴዎች በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ሆኖም የአንድ የተወሰነ ልዩነት እኩልታ ወይም ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄን በዝግ መልክ የመፃፍ ችሎታ በብዙ ጉዳዮች ላይ ጉልህ ጥቅሞች አሉት። ስለዚህ, በ E. Kamke መጽሐፍ ሦስተኛው ክፍል ውስጥ የተሰበሰበው ሰፊ የማጣቀሻ ቁሳቁስ - ወደ 1650 ገደማ መፍትሄዎች ከመፍትሄዎች ጋር - አሁንም ትልቅ ጠቀሜታ አለው.

ከተጠቀሰው የማመሳከሪያ ቁሳቁስ በተጨማሪ, የ E. Kamke መጽሃፍ (ምንም እንኳን ያለማስረጃ) መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችን እና ከተራ ልዩነት እኩልታዎች ጋር የተያያዙ በጣም አስፈላጊ ውጤቶችን ያቀርባል. በዲፈረንሻል እኩልታዎች (ለምሳሌ የድንበር እሴት ችግሮች ንድፈ ሃሳብ እና የኢጂንቫልዩ ችግሮች ፅንሰ-ሀሳብ) ብዙ ጊዜ በመማሪያ መጽሀፍት ውስጥ ያልተካተቱ በርካታ ጉዳዮችንም ይሸፍናል።

የ E. Kamke መጽሐፍ በዕለት ተዕለት ሥራ ውስጥ ጠቃሚ የሆኑ ብዙ እውነታዎችን እና ውጤቶችን ይዟል, ጠቃሚ እና አስፈላጊ ለሆኑት ሰፊ የሳይንስ ሊቃውንት እና በተግባራዊ መስኮች, መሐንዲሶች እና ተማሪዎች ውስጥ ልዩ ባለሙያዎችን አረጋግጧል. የዚህ የማመሳከሪያ መጽሐፍ ወደ ሩሲያኛ የተተረጎመ ሶስት ቀደምት እትሞች በአንባቢዎች መልካም አቀባበል የተደረገላቸው እና ከረጅም ጊዜ በፊት ተሽጠዋል።

• ዝርዝር ሁኔታ
• የአራተኛው እትም መግቢያ 11
• አንዳንድ ምልክቶች 13
• ተቀባይነት ያላቸው አጽሕሮተ ቃላት በመጽሃፍ ቅዱስ መመሪያዎች 13
• ክፍል አንድ
• አጠቃላይ የመፍትሄ ዘዴዎች ምዕራፍ I. በመጀመሪያ ልዩነት እኩልታዎችን ማዘዝ
• § 1. ከ 19 ጋር በተገናኘ ልዩ ልዩ እኩልታዎች ተፈትተዋል
• መነሻ፡ y" =f(x,y); መሠረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች
• 1.1. የልዩነት ማስታወሻ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም 19
• እኩልታዎች
• 1.2. የመፍትሄው መኖር እና ልዩነት 20
• § 2. ከ 21 ጋር በተገናኘ ልዩ ልዩ እኩልታዎች ተፈትተዋል
• መነሻ፡ y" =f(x,y); የመፍትሄ ዘዴዎች
• 2.1. የፖሊላይን ዘዴ 21
• 2.2. ፒካርድ-ሊንደሎፍ ተከታታይ መጠገኛ ዘዴ 23
• 2.3. የኃይል ተከታታይ ትግበራ 24
• 2.4. የበለጠ አጠቃላይ የተከታታይ ማስፋፊያ ጉዳይ 25
• 2.5. በመለኪያ 27 መሠረት ተከታታይ መስፋፋት።
• 2.6. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጋር ግንኙነት 27
• 2.7. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 28
• 2.8. በትላልቅ ዋጋዎች የመፍትሄዎች ባህሪ X 30
• § 3. የልዩነት እኩልታዎች ከ 32 ጋር አልተፈቱም።
• መነሻ፡ ረ(y፣ y፣ x)=0
• 3.1. ስለ መፍትሄዎች እና የመፍትሄ ዘዴዎች 32
• 3.2. መደበኛ እና ልዩ የመስመር አካላት 33
• § 4. የመጀመሪያዎቹ 34 ልዩ ልዩ እኩልታዎች መፍትሄ
• ማዘዝ
• 4.1. ልዩነት እኩልታዎች ከተለዋዋጮች ጋር 35
• 4.2. y"=f(ax+by+c) 35
• 4.3. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች 35.
• 4.4. የመፍትሄዎች አሲምፕቲክ ባህሪ
• 4.5. የቤርኑሊ እኩልታ y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
• 4.6. ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች እና የእነሱ ቅነሳ 38
• 4.7. አጠቃላይ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች 40
• 4.8. ልዩ የሪካቲ እኩልታ፡- y "+ ay 2 = bx a 40
• 4.9. አጠቃላይ ሪካቲ እኩልታ፡- y"=f(x)y 2+g(x)y+h(x) 41
• 4.10. የመጀመሪያው ዓይነት አቤል እኩልነት 44
• 4.11. የሁለተኛው ዓይነት አቤል እኩልነት 47
• 4.12. እኩልነት በጠቅላላ ልዩነቶች 49
• 4.13. ውህደት ምክንያት 49
• 4.14. F(y፣y፣x)=0፣ "በልዩነት ውህደት" 50
• 4.15. (ሀ) y=G(x, y"); (ለ) x=G(y፣y) 50 4.16. (ሀ) ጂ (ይ ",x)=0; (ለ) G(y)=Q 51
• 4L7. (ሀ) y"= g(y)፤ (6) x=g(y") 51
• 4.18. የ Clairaut እኩልታዎች 52
• 4.19. Lagrange-D'Alembert እኩልታ 52
• 4.20. ረ(x፣ xy"-y፣ y")=0። Legendre ያለው ለውጥ 53 ምዕራፍ II. የልዩነት እኩልታዎች የዘፈቀደ ስርዓቶች ፣
• ተዋጽኦዎችን በተመለከተ የተፈቀደ
• § 5. መሠረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች 54
• 5.1. የልዩነት እኩልታዎች ስርዓት ማስታወሻ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም
• 5.2. የመፍትሄው መኖር እና ልዩነት 54
• 5.3. የካራቴኦዶሪ መኖር ቲዎሪ 5 5
• 5.4. የመፍትሄው ጥገኛነት በመጀመሪያዎቹ ሁኔታዎች እና መለኪያዎች 56
• 5.5. የዘላቂነት ጉዳዮች 57
• § 6. የመፍትሄ ዘዴዎች 59
• 6.1. የፖሊላይን ዘዴ 59
• 6.2. ፒካርድ-ሊንደሎፍ ተከታታይ ግምታዊ ዘዴ 59
• 6.3. የኃይል ተከታታይ ትግበራ 60
• 6.4. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጋር ግንኙነት 61
• 6.5. በመፍትሔዎች መካከል የታወቀ ግንኙነትን በመጠቀም የስርዓቱን መቀነስ
• 6.6. ልዩነትን እና ማስወገድን በመጠቀም ስርዓትን መቀነስ 62
• 6.7. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 62
• § 7. ራስ ገዝ ስርዓቶች 63
• 7.1. ራሱን የቻለ ሥርዓት ፍቺ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም 64
• 7.2. በጉዳዩ ውስጥ ባለ ነጠላ ነጥብ ሰፈር ውስጥ በተዋሃዱ ኩርባዎች ባህሪ ላይ n = 2
• 7.3. የነጠላ ነጥብ ዓይነትን ለመወሰን መስፈርቶች 66
• ምዕራፍ III. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
• § 8. የዘፈቀደ የመስመር ስርዓቶች 70
• 8.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 70
• 8.2. የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች። የመፍትሄ ዘዴዎች 70
• 8.3. የተለያዩ ስርዓቶችን ወደ ተመሳሳይነት መቀነስ 71
• 8.4. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 71
• § 9. ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመር ስርዓቶች 72
• 9.1. የመፍትሄዎች ባህሪያት. መሠረታዊ የውሳኔ ሥርዓቶች 72
• 9.2. የህልውና ንድፈ ሃሳቦች እና የመፍትሄ ዘዴዎች 74
• 9.3. ጥቂት እኩልታዎች ያሉት ስርዓት ወደ ስርዓት መቀነስ 75
• 9.4. የልዩነት እኩልታዎች ውህደት ስርዓት 76
• 9.5. የልዩነት እኩልታዎች እራስ-አቆራኝ ስርዓቶች፣ 76
• 9.6. የተለያዩ ቅርጾች የተዋሃዱ ስርዓቶች; Lagrange ማንነት፣ የግሪን ቀመር
• 9.7. መሰረታዊ መፍትሄዎች 78
• §10. ተመሳሳይ ነጥብ ያላቸው ተመሳሳይ መስመሮች 79
• 10.1. የነጠላ ነጥቦች ምደባ 79
• 10.2. ደካማ ነጠላ ነጥቦች 80
• 10.3. ጠንካራ ነጠላ ነጥቦች 82 §11. በትላልቅ ዋጋዎች የመፍትሄዎች ባህሪ X 83
• §12. በመለኪያ 84 ላይ በመመስረት መስመራዊ ስርዓቶች
• §13. መስመራዊ ስርዓቶች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር 86
• 13.1. ተመሳሳይ ስርዓቶች 83
• 13.2. የአጠቃላይ ቅፅ ስርዓቶች 87 ምዕራፍ IV. የዘፈቀደ ልዩነት እኩልታዎች n ኛ ትዕዛዝ
• § 14. ከከፍተኛው ተዋጽኦ አንጻር የተፈቱ እኩልታዎች፡ 89
• yin)=f(x,y,y...,y(n-))
• §15. ከከፍተኛው ተዋጽኦ አንፃር ያልተፈቱ እኩልታዎች፡ 90
• ረ(x፣y፣y...፣y(n))=0
• 15.1. እኩልታዎች በጠቅላላ ልዩነቶች 90
• 15.2. አጠቃላይ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች 90
• 15.3. በግልጽ ያልተካተቱ እኩልታዎች x ወይም በ 91 ምዕራፍ V. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች n ኛ ቅደም ተከተል ፣
• §16. የዘፈቀደ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች n ስለ 92 የሆነ ነገር
• 16.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 92
• 16.2. የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች። የመፍትሄ ዘዴዎች 92
• 16.3. የመነጩን ማስወገድ (n-1) ኛ ትዕዛዝ 94
• 16.4. ተመሳሳይ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ወደ ተመሳሳይነት መቀነስ
• 16.5. በትላልቅ ዋጋዎች የመፍትሄዎች ባህሪ X 94
• §17. ተመሳሳይ የሆነ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች አንድ ነገር ስለ 95
• 17.1. የመፍትሄዎች ባህሪያት እና የሕልውና ጽንሰ-ሐሳቦች 95
• 17.2. የልዩነት እኩልታ ቅደም ተከተል መቀነስ 96
• 17.3. 0 ዜሮ መፍትሄዎች 97
• 17.4. መሰረታዊ መፍትሄዎች 97
• 17.5. የተዋሃዱ, እራስ-አብሮ እና ፀረ-የራስ-አጃጅ ልዩነት ቅርጾች
• 17.6. Lagrange ማንነት; ዲሪችሌት እና አረንጓዴ ቀመሮች 99
• 17.7. በጠቅላላ ልዩነቶች ውስጥ በተጣመሩ እኩልታዎች እና እኩልታዎች መፍትሄዎች ላይ
• §18. ተመሳሳይ የሆኑ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ከነጠላ 101
• ነጥቦች
• 18.1. የነጠላ ነጥቦች ምደባ 101
• 18.2. ጉዳዩ መቼ ነጥብ x=E፣ መደበኛ ወይም ደካማ ልዩ 104
• 18.3. ጉዳዩ x=inf ነጥቡ መደበኛ ወይም ደካማ ነጠላ 108 ነው።
• 18.4. ጉዳዩ መቼ ነጥብ x=% በጣም ልዩ 107
• 18.5. ነጥቡ x=inf በጣም ልዩ የሆነበት ሁኔታ 108
• 18.6. ልዩነት እኩልታዎች ከፖሊኖሚል ጥምርታዎች ጋር
• 18.7. የልዩነት እኩልታዎች ከወቅታዊ መጋጠሚያዎች ጋር
• 18.8. የልዩነት እኩልታዎች ከእጥፍ ወቅታዊ መጋጠሚያዎች ጋር
• 18.9. የእውነተኛ ተለዋዋጭ ጉዳይ 112
• §19. 113 በመጠቀም የመስመር ልዩነት እኩልታዎችን መፍታት
• የተወሰኑ ውህደቶች 19.1. አጠቃላይ መርህ 113
• 19.2. የላፕላስ ሽግግር 116
• 19.3 ልዩ የላፕላስ ሽግግር 119
• 19.4. ሜሊን ትራንስፎርሜሽን 120
• 19.5. የኡለር ለውጥ 121
• 19.6. ድርብ ማያያዣዎችን በመጠቀም መፍትሄ 123
• § 20. ለትልቅ እሴቶች መፍትሄዎች ባህሪ X 124
• 20.1. ፖሊኖሚል ቅንጅቶች 124
• 20.2. የአጠቃላይ ቅፅ ቅንጅቶች 125
• 20.3. ቀጣይነት ያለው ዕድሎች 125
• 20.4. የመወዛወዝ ንድፈ ሃሳቦች 126
• §21. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች n-ትእዛዝ በ 127 ላይ በመመስረት
• መለኪያ
• § 22. አንዳንድ ልዩ የመስመር ልዩነት ዓይነቶች 129
• እኩልታዎች n-ትዕዛዝ
• 22.1. ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ መጋጠሚያዎች ጋር
• 22.2. ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚዎች ጋር 130
• 22.3. የኡለር እኩልታዎች 132
• 22.4. የላፕላስ እኩልታ 132
• 22.5. ከፖሊኖሚል አሃዞች ጋር እኩልታዎች 133
• 22.6. Pochhammer እኩልታ 134
• ምዕራፍ VI. የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
• § 23. የሁለተኛ ደረጃ መደበኛ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች 139
• 23.1. ልዩ ዓይነቶችን ለመፍታት ዘዴዎች ቀጥተኛ ያልሆኑ እኩልታዎች 139
• 23.2. አንዳንድ ተጨማሪ ማስታወሻዎች 140
• 23.3. የእሴት ንድፈ ሃሳቦችን ይገድቡ 141
• 23.4. የመወዛወዝ ቲዎረም 142
• § 24. የሁለተኛው 142 የዘፈቀደ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
• ማዘዝ
• 24.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 142
• 24.2. አንዳንድ የመፍትሄ ዘዴዎች 143
• 24.3. የግምት ንድፈ ሃሳቦች 144
• § 25. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ተመሳሳይ የሆነ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች 145
• 25.1. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች መቀነስ
• 25.2. የሁለተኛ-ትዕዛዝ መስመራዊ እኩልታዎችን ስለመቀነስ ተጨማሪ አስተያየቶች
• 25.3. መፍትሄውን ወደ ቀጣይ ክፍልፋይ ማስፋፋት 149
• 25.4. ስለ መፍትሄ ዜሮዎች 150 አጠቃላይ አስተያየቶች
• 25.5. የመፍትሄ ዜሮዎች በመጨረሻው ክፍተት 151
• 25.6. የመፍትሄዎች ባህሪ በ x-> inf 153
• 25.7. ሁለተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች ከነጠላ ነጥቦች ጋር
• 25.8. ግምታዊ መፍትሄዎች. Asymptotic መፍትሄዎች እውነተኛ ተለዋዋጭ
• 25.9. አሲምፕቲክ መፍትሄዎች; ውስብስብ ተለዋዋጭ 161 25.10. VBK ዘዴ 162 ምዕራፍ VII. የሦስተኛው እና አራተኛው የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
• የትልቅነት ትዕዛዞች
• § 26. የሶስተኛ ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች 163
• § 27. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች 164 ምዕራፍ VIII. ልዩነትን ለማዋሃድ ግምታዊ ዘዴዎች
• እኩልታዎች
• § 28. የልዩነት እኩልታዎች ግምታዊ ውህደት 165
• የመጀመሪያ ትዕዛዝ
• 28.1. የፖሊላይን ዘዴ 165.
• 28.2. ተጨማሪ የግማሽ ደረጃ ዘዴ 166
• 28.3. ሬንጅ - ሄይን - ኩታ ዘዴ 167
• 28.4. መጠላለፍ እና ተከታታይ ግምቶችን በማጣመር 168
• 28.5. አዳምስ ዘዴ 170
• 28.6. ወደ አዳምስ ዘዴ መጨመር 172
• § 29. የልዩነት እኩልታዎች ግምታዊ ውህደት 174
• ከፍተኛ ትዕዛዞች
• 29.1. የአንደኛ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች ግምታዊ ውህደት ዘዴዎች
• 29.2. የፖሊላይን ዘዴ ለሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች 176
• 29.3. የ Runge-Kutta ዘዴ ለሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
• 29.4. የ Adams-Stoermer ዘዴ ለእኩል y"=f(x,y,y) 177
• 29.5. የ Adams-Stoermer ዘዴ ለእኩል y"=f(x,y) 178
• 29.6. ለእኩልነት የበረከት ዘዴ y"=f(x,y,y) 179
• ክፍል ሁለት
• የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂንቫል ችግሮች ምዕራፍ I.
• ልዩነት እኩልታዎች n-ትዕዛዝ
• § 1. የወሰን ዋጋ ችግሮች አጠቃላይ ንድፈ ሐሳብ 182
• 1.1. ማስታወሻዎች እና የመጀመሪያ ማስታወሻዎች 182
• 1.2. የድንበር ዋጋ ችግር የሚፈታበት ሁኔታ 184
• 1.3. የተዋሃደ የወሰን እሴት ችግር 185
• 1.4. የራስ አጥር የድንበር እሴት ችግሮች 187
• 1.5. የአረንጓዴው ተግባር 188
• 1.6. የአረንጓዴውን ተግባር በመጠቀም ተመጣጣኝ ያልሆነ የድንበር እሴት ችግር መፍትሄ 190
• 1.7. አጠቃላይ የአረንጓዴ ተግባር 190
• § 2. የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂንቫል ችግሮች ለእኩል 193
• £shu(y) +Yx)y = 1(x)
• 2.1. Eigenvalues ​​እና eigenfunctions; ባህሪን የሚወስን ኦህ)
• 2.2. Conjugate eigenvalue ችግር እና የግሪን መፍትሄ; የተሟላ ባዮግራፊያዊ ስርዓት
• 2.3. መደበኛ የድንበር ሁኔታዎች; መደበኛ የኢጂንቫል ችግሮች 2.4. ለመደበኛ እና መደበኛ ያልሆነ የኢጂን እሴት ችግሮች
• 2.5. የተሰጠው ተግባር ወደ መደበኛ እና መደበኛ ያልሆነ የኢጂን እሴት ችግሮች ወደ ኢጂን ተግባራት ማስፋፋት።
• 2.6. እራስን ማገናኘት መደበኛ የኢጅን እሴት ችግሮች 200
• 2.7. በፍሬድሆልም ዓይነት 204 አጠቃላይ እኩልታዎች ላይ
• 2.8. በድንበር እሴት ችግሮች እና በፍሬድሆልም ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
• 2.9. በ eigenvalue ችግሮች እና በፍሬድሆልም ዓይነት መካከል ያለው ግንኙነት
• 2.10. በቮልቴራ ዓይነት 211 አጠቃላይ እኩልታዎች ላይ
• 2.11. የድንበር እሴት ችግሮች እና የቮልቴራ ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
• 2.12. በ eigenvalue ችግሮች እና በቮልቴራ ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
• 2.13. በ eigenvalue ችግሮች እና ልዩነቶች ስሌት መካከል ያለው ግንኙነት
• 2.14. የ eigenfunction ማስፋፊያ መተግበሪያ 218
• 2.15. ተጨማሪ ማስታወሻዎች 219
• § 3. የ eigenvalue ችግሮችን ለመፍታት ግምታዊ ዘዴዎች እና 222-
• የድንበር እሴት ችግሮች
• 3.1. ግምታዊ የጋለርኪን-ሪትዝ ዘዴ 222
• 3.2. ግምታዊ የግራምሜል ዘዴ 224
• 3.3. የጋለርኪን-ሪትዝ ዘዴን በመጠቀም ተመጣጣኝ ያልሆነ የድንበር እሴት ችግር መፍትሄ
• 3.4. ተከታታይ መጠገኛ ዘዴ 226
• 3.5. የድንበር እሴት ችግሮች ግምታዊ መፍትሄ እና የ eigenvalue ችግሮች በመጨረሻው ልዩነት ዘዴ
• 3.6. የማደናቀፍ ዘዴ 230
• 3.7. ለ eigenvalues ​​ግምቶች 233
• 3.8. የ eigenvalues ​​እና eigen236 ተግባራትን ለማስላት ዘዴዎች ግምገማ
• § 4. በራስ የተቆራኘ ኢኢንቫልዩ ችግሮች ለእኩል 238
• ረ(y)=ወ(y)
• 4.1. የችግሩ መግለጫ 238
• 4.2. አጠቃላይ የቅድሚያ አስተያየቶች 239
• 4.3. መደበኛ የኢጂንቫል ችግሮች 240
• 4.4. አወንታዊ የተረጋገጠ የኢጂንቫል ችግሮች 241
• 4.5. Eigenfunction ማስፋፊያ 244
• § 5. የአጠቃላይ ቅፅ ወሰን እና ተጨማሪ ሁኔታዎች 247 ምዕራፍ II. ለስርዓቶች የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂን እሴት ችግሮች
• የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
• § 6. ለስርዓቶች የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጅን እሴት ችግሮች 249
• የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
• 6.1. የማስታወሻ እና የመፍታት ሁኔታዎች 249
• 6.2. የተዋሃደ የወሰን እሴት ችግር 250
• 6.3. የግሪን ማትሪክስ 252 6.4. የኢጂንቫል ችግሮች 252-
• 6.5. እራስ-የተያያዘ eigenvalue ችግሮች 253 ምዕራፍ III. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች ለእኩልታዎች
• ዝቅተኛ ትዕዛዞች
• § 7. የመጀመሪያ ትዕዛዝ ችግሮች 256
• 7.1. የመስመር ችግሮች 256
• 7.2. የመስመር ላይ ያልሆኑ ችግሮች 257
• § 8. የሁለተኛው ትዕዛዝ መስመራዊ የድንበር እሴት ችግሮች 257
• 8.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 257
• 8.2. የአረንጓዴው ተግባር 258
• 8.3. የመጀመርያው ዓይነት የድንበር ዋጋ ችግሮች የመፍትሄ ግምት 259
• 8.4. የድንበር ሁኔታዎች ለ |x|-> inf 259
• 8.5. ወቅታዊ መፍትሄዎችን መፈለግ 260
• 8.6. የፈሳሽ ፍሰት 260 ጥናት ጋር የተያያዘ አንድ የወሰን እሴት ችግር
• § 9. የሁለተኛው ትዕዛዝ የመስመር eigenvalue ችግሮች 261
• 9.1. አጠቃላይ ማስታወሻ 261
• 9.2 እራስ-አጎራባች eigenvalue ችግሮች 263
• 9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y እና የድንበር ሁኔታው ​​በራሱ የተቆራኘ ነው 266
• 9.4. የኢጂንቫል ችግሮች እና የልዩነት መርህ 269
• 9.5. በ eigenvalues ​​እና eigenfunctions ተግባራዊ ስሌት ላይ
• 9.6. የኢጂንቫል ችግሮች፣ የግድ ራስን ማገናኘት አይደለም 271
• 9.7. የአጠቃላይ ቅፅ ተጨማሪ ሁኔታዎች 273
• 9.8. በርካታ መለኪያዎችን የያዙ የኢጂንቫል ችግሮች
• 9.9. ልዩነት እኩልታዎች በድንበር ነጥቦች ላይ ከነጠላ 276
• 9.10. የኢጂንቫል ችግሮች ማለቂያ በሌለው የጊዜ ክፍተት 277
• §10. የመስመር ላይ ያልሆኑ የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂንቫል ችግሮች 278
• ሁለተኛ ትዕዛዝ
• 10.1. የድንበር እሴት ችግሮች ለተወሰነ ጊዜ 278
• 10.2. የወሰን እሴት ችግሮች ለከፊል-ወሰን ክፍተት 281
• 10.3. የኢጂንቫል ችግሮች 282
• §አስራ አንድ. የድንበር እሴት ችግሮች እና ችግሮች በሦስተኛው እሴት ላይ - 283
• ስምንተኛ ቅደም ተከተል
• 11.1. የሦስተኛ ቅደም ተከተል የመስመር eigenvalue ችግሮች 283
• 11.2. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር eigenvalue ችግሮች 284
• 11.3. የሁለት ሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓት የመስመር ችግሮች
• 11.4. የአራተኛው ትዕዛዝ መስመር ያልሆኑ የድንበር ዋጋ ችግሮች 287
• 11.5. የከፍተኛ ደረጃ ኢጂንቫል ችግሮች 288
• ክፍል ሶስት
• የተለዩ ልዩ ልዩ እኩልታዎች
• የቅድሚያ አስተያየቶች 290 ምዕራፍ I. የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች
• 1-367። ልዩነት, የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታዎች በተመለከተ ዩ 294
• 368-517. ከ 334 518-544 አንጻር የሁለተኛ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች. ከ 354 አንፃር የሶስተኛ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች
• 545-576 እ.ኤ.አ. የአጠቃላይ ቅፅ ልዩነት 358ምዕራፍ II። የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
• 1-90. አይ" + ... 363
• 91-145. (ax+lyu" + ... 385
• 146-221.x 2 y" +... 396
• 222-250. (x 2 ± a 2) y"+... 410
• 251-303. (አሃ 2 +bx+c)y" + ... 419
• 304-341. (አህ 3 +...) y" +... 435
• 342-396. (አህ 4 +...) y" + ... 442
• 397-410. (ኦ) +...) y" +... 449
• 411-445 እ.ኤ.አ. ሌሎች ልዩነቶች እኩልታዎች 454
• ጂ ላቫ III. የሶስተኛ ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ምዕራፍ IV. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ምዕራፍ V. የአምስተኛው እና ከፍተኛው የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
• ትእዛዝ ምዕራፍ VI. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ያልተለመደ ልዩነት እኩልታዎች
• 1-72. ay"=F(x,y,y) 485
• 73-103።/(x);y"=F(x,;y,;y") 497
• 104-187./(x)xy"CR(x,;y,;y") 503
• 188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
• 226-249. ሌሎች የልዩነት እኩልታዎች 520ምዕራፍ VII. የሦስተኛው እና የሌሎቹ ያልተለመዱ የልዩነት እኩልታዎች
• ከፍተኛ ትዕዛዝ ምዕራፍ VIII. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
• የቅድሚያ አስተያየቶች 530
• 1-18 የሁለት የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች ከ 530 ጋር
• ቋሚ ዕድሎች 19-25.
• የሁለት የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች ከ 534 ጋር
• ተለዋዋጭ ዕድሎች
• 26-43። ከ 535 ከፍ ያለ የሁለት ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
• አንደኛ
• 44-57። ከሁለት በላይ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ስርዓቶች 538ምዕራፍ IX. ያልተለመዱ የልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
• 1-17 የሁለት ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች 541
• 18-29። ከሁለት በላይ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ሲስተምስ 544
• ተጨማሪዎች
• የሁለተኛው ቅደም ተከተል (I. Zbornik) መስመራዊ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች መፍትሄ ላይ 547
• በ E. Kamke (ዲ. ሚትሪኖቪች) 556 የመጽሐፉ ተጨማሪዎች
• መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎችን የሚከፋፍልበት አዲስ መንገድ እና 568
• ተደጋጋሚ ቀመሮችን በመጠቀም አጠቃላይ መፍትሄቸውን በመገንባት ላይ
• (አይ. ዝቦርኒክ)
• የርዕስ ማውጫ 571

ወደ አራተኛው እትም መቅድም
አንዳንድ ማስታወሻዎች
ተቀባይነት ያላቸው አህጽሮተ ቃላት በመጽሐፍ ቅዱሳዊ መመሪያዎች ውስጥ
ክፍል አንድ
አጠቃላይ የመፍትሄ ዘዴዎች
§ 1. ከመነጩ ጋር በተያያዘ የተፈቱ ልዩነቶች፡ (ቀመር) መሠረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች
1.1. የልዩነት እኩልታ ማስታወሻ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም
1.2. የመፍትሄው መኖር እና ልዩነት
§ 2. የመነጩን በተመለከተ የተለያየ እኩልታዎች ተፈትተዋል: (ቀመር); የመፍትሄ ዘዴዎች
2.1. የፖሊላይን ዘዴ
2.2. ፒካርድ-ሊንደሎፍ ተከታታይ ግምታዊ ዘዴ
2.3. የኃይል ተከታታይ ትግበራ
2.4. የተከታታይ መስፋፋት የበለጠ አጠቃላይ ጉዳይ
2.5. ተከታታይ መስፋፋት በመለኪያ
2.6. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጋር ግንኙነት
2.7. የግምት ንድፈ ሃሳቦች
2.8. በትላልቅ ዋጋዎች የመፍትሄዎች ባህሪ (?)
§ 3. የልዩነት እኩልታዎች ከመነጩ ጋር በተያያዘ ያልተፈቱ፡ (ቀመር)
3.1. ስለ መፍትሄዎች እና የመፍትሄ ዘዴዎች
3.2. መደበኛ እና ልዩ የመስመር አካላት
§ 4. የልዩ ዓይነቶች የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች መፍትሄ
4.1. ከተለዋዋጮች ጋር ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች
4.2. (ፎርሙላ)
4.3. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
4.4. ወደ መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች የመፍትሄዎች አሲምፕቲክ ባህሪ
4.5. Bednoulli እኩልታ (ቀመር)
4.6. ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች እና ለእነሱ የሚቀነሱት።
4.7. አጠቃላይ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች
4.8. ልዩ የሪካቲ እኩልታ፡ (ቀመር)
4.9. አጠቃላይ ሪካቲ እኩልታ፡ (ቀመር)
4.10. የመጀመሪያው ዓይነት አቤል እኩልነት
4.11. የሁለተኛው ዓይነት አቤል እኩልነት
4.12. እኩልነት በጠቅላላ ልዩነቶች
4.13. የማዋሃድ ምክንያት
4.14. (ቀመር)፣ “በልዩነት ውህደት”
4.15. (ፎርሙላ)
4.16. (ፎርሙላ)
4.17. (ፎርሙላ)
4.18. Clairaut እኩልታዎች
4.19. Lagrange-D'Alembert እኩልታ
4.20. (ፎርሙላ)። Legendre ለውጥ
ምዕራፍ II. የልዩነት እኩልታዎች የዘፈቀደ ስርዓቶች ተዋጽኦዎችን በተመለከተ ተፈተዋል።
§ 5. መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች
5.1. የልዩነት እኩልታዎች ስርዓት ማስታወሻ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም
5.2. የመፍትሄው መኖር እና ልዩነት
5.3. የካራቴኦዶሪ መኖር ቲዎሪ
5.4. የመፍትሄው ጥገኛ በመነሻ ሁኔታዎች እና መለኪያዎች ላይ
5.5. ዘላቂነት ጉዳዮች
§ 6. የመፍትሄ ዘዴዎች
6.1. የፖሊላይን ዘዴ
6.2. ፒካርድ-ሊንደሎፍ ተከታታይ ግምታዊ ዘዴ
6.3. የኃይል ተከታታይ ትግበራ
6.4. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ጋር ግንኙነት
6.5. በመፍትሔዎች መካከል የታወቀ ግንኙነትን በመጠቀም የስርዓቱን መቀነስ
6.6. ልዩነትን እና መወገድን በመጠቀም ስርዓትን መቀነስ
6.7. የግምት ንድፈ ሃሳቦች
§ 7. ራስ-ሰር ስርዓቶች
7.1. ራስን በራስ የማስተዳደር ስርዓት ፍቺ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም
7.2. በጉዳዩ n = 2 ውስጥ ባለ ነጠላ ነጥብ ሰፈር ውስጥ በተዋሃዱ ኩርባዎች ባህሪ ላይ
7.3. የነጠላ ነጥብ ዓይነትን ለመወሰን መስፈርቶች
ምዕራፍ III. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
§ 8. የዘፈቀደ የመስመር ስርዓቶች
8.1. አጠቃላይ አስተያየቶች
8.2. የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች። የመፍትሄ ዘዴዎች
8.3. የተለያየ ስርዓትን ወደ ተመሳሳይነት መቀነስ
8.4. የግምት ንድፈ ሃሳቦች
§ 9. ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመር ስርዓቶች
9.1. የመፍትሄዎች ባህሪያት. መሰረታዊ ስርዓቶችመፍትሄዎች
9.2. የሕልውና ጽንሰ-ሐሳቦች እና የመፍትሄ ዘዴዎች
9.3. ጥቂት እኩልታዎች ያሉት ስርዓት ወደ ስርዓት መቀነስ
9.4. የልዩነት እኩልታዎች ውህደት ስርዓት
9.5. የልዩነት እኩልታዎች የራስ-አያያዝ ስርዓቶች
9.6. የተለያዩ ቅርጾች የተዋሃዱ ስርዓቶች; Lagrange ማንነት፣ የግሪን ቀመር
9.7. መሰረታዊ መፍትሄዎች
§ 10. ነጠላ ነጥቦች ያላቸው ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመር ስርዓቶች
10.1. የነጠላ ነጥቦች ምደባዎች
10.2. ደካማ ነጠላ ነጥቦች
10.3. ጠንካራ ነጠላ ነጥቦች
§ 11. ለትልቅ የ x እሴት መፍትሄዎች ባህሪ
§ 12. በመለኪያ ላይ በመመስረት መስመራዊ ስርዓቶች
§ 13. ቋሚ ቅንጅቶች ያሉት የመስመር ስርዓቶች
13.1. ተመሳሳይነት ያላቸው ስርዓቶች
13.2. የአጠቃላይ ቅፅ ስርዓቶች
ምዕራፍ IV. የዘፈቀደ nth ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች
§ 14. ከከፍተኛው ተዋጽኦ አንጻር የተፈቱ እኩልታዎች፡ (ቀመር)
§ 15. ከከፍተኛው ተዋጽኦ አንፃር ያልተፈቱ እኩልታዎች፡ (ቀመር)
15.1. በጠቅላላ ልዩነቶች ውስጥ እኩልታዎች
15.2. አጠቃላይ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች
15.3. x ወይም yን ያላካተቱ እኩልታዎች
ምዕራፍ V. የ nth ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
§ 16. የዘፈቀደ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
16.1. አጠቃላይ አስተያየቶች
16.2. የመኖር እና የልዩነት ጽንሰ-ሀሳቦች። የመፍትሄ ዘዴዎች
16.3. የ(n-1) ኛ ትዕዛዝ ተዋጽኦን ማስወገድ
16.4. ተመሳሳይ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ወደ ተመሳሳይነት መቀነስ
16.5. ለትላልቅ የ x እሴቶች የመፍትሄዎች ባህሪ
§ 17. የ Nth ቅደም ተከተል ተመሳሳይ የሆነ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
17.1. የመፍትሄዎች እና የሕልውና ጽንሰ-ሐሳቦች ባህሪያት
17.2. የልዩነት እኩልታ ቅደም ተከተል መቀነስ
17.3. ስለ ዜሮ መፍትሄዎች
17.4. መሰረታዊ መፍትሄዎች
17.5. የተዋሃዱ, እራስ-አብሮ እና ፀረ-የራስ-አጃጅ ልዩነት ቅርጾች
17.6. Lagrange ማንነት; Dirichlet እና አረንጓዴ ቀመሮች
17.7. በጠቅላላ ልዩነቶች ውስጥ በተጣመሩ እኩልታዎች እና እኩልታዎች መፍትሄዎች ላይ
§ 18. ተመሳሳይ የሆኑ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ከነጠላ ነጥቦች ጋር
18.1. የነጠላ ነጥቦች ምደባ
18.2. ጉዳዩ ነጥቡ (?) መደበኛ ወይም ደካማ ነጠላ በሚሆንበት ጊዜ
18.3. ጉዳዩ ነጥቡ (?) መደበኛ ወይም ደካማ ነጠላ በሚሆንበት ጊዜ
18.4. ጉዳዩ (?) በጣም ልዩ በሚሆንበት ጊዜ
18.5. ጉዳዩ (?) በጣም ልዩ በሚሆንበት ጊዜ
18.6. ልዩነት እኩልታዎች ከፖሊኖሚል ጥምርታዎች ጋር
18.7. የልዩነት እኩልታዎች ከወቅታዊ መጋጠሚያዎች ጋር
18.8. የልዩነት እኩልታዎች ከእጥፍ ወቅታዊ መጋጠሚያዎች ጋር
18.9. የእውነተኛ ተለዋዋጭ ጉዳይ
§ 19. ግልጽ የሆኑ ውህዶችን በመጠቀም የመስመር ልዩነት እኩልታዎችን መፍታት
19.1. አጠቃላይ መርህ
19.2. የላፕላስ ሽግግር
19.3. ልዩ የላፕላስ ሽግግር
19.4. የሜሊን ለውጥ
19.5. የኡለር ለውጥ
19.6. ድርብ ውስጠቶችን በመጠቀም መፍትሄ
§ 20. ለትላልቅ የ x እሴት መፍትሄዎች ባህሪ
20.1. ፖሊኖሚል ቅንጅቶች
20.2. የአጠቃላይ ቅፅ ቅንጅቶች
20.3. ተከታታይ ቅንጅቶች
20.4. የመወዛወዝ ንድፈ ሃሳቦች
§ 21. በመለኪያ ላይ በመመስረት የ nth ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች
§ 22. የ Nth ቅደም ተከተል አንዳንድ ልዩ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
22.1. ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ መጋጠሚያዎች ጋር
22.2. ወጥነት የሌላቸው ልዩ ልዩ እኩልታዎች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር
22.3. የኡለር እኩልታዎች
22.4. የላፕላስ እኩልታ
22.5. ከፖሊኖሚል ቅንጅቶች ጋር እኩልታዎች
22.6. የፖክሃመር እኩልታ
ምዕራፍ VI. የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
§ 23. የሁለተኛ ደረጃ መደበኛ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች
23.1. ልዩ ያልሆኑ የመስመር ላይ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች
23.2. አንዳንድ ተጨማሪ ማስታወሻዎች
23.3. የእሴት ንድፈ ሃሳቦችን ይገድቡ
23.4. የመወዛወዝ ቲዎሪ
§ 24. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የዘፈቀደ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
24.1. አጠቃላይ አስተያየቶች
24.2. አንዳንድ የመፍትሄ ዘዴዎች
24.3. የግምት ንድፈ ሃሳቦች
§ 25. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ተመሳሳይነት ያለው የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
25.1. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች መቀነስ
25.2. የሁለተኛ-ትዕዛዝ መስመራዊ እኩልታዎችን ስለመቀነስ ተጨማሪ አስተያየቶች
25.3. መፍትሄውን ወደ ቀጣይ ክፍልፋይ ማስፋፋት
25.4. ስለ መፍትሄ ዜሮዎች አጠቃላይ አስተያየቶች
25.5. በመጨረሻው ክፍተት ላይ የመፍትሄ ዜሮዎች
25.6. የመፍትሄዎች ባህሪ በ (?)
25.7. ሁለተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች ከነጠላ ነጥቦች ጋር
25.8. ግምታዊ መፍትሄዎች. አሲምፕቲክ መፍትሄዎች; እውነተኛ ተለዋዋጭ
25.9. አሲምፕቲክ መፍትሄዎች; ውስብስብ ተለዋዋጭ
25.10. VBK ዘዴ
ምዕራፍ VII. የሦስተኛው እና አራተኛው ትዕዛዞች የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
§ 26. የሶስተኛ ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
§ 27. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ VIII. የልዩነት እኩልታዎችን ለማዋሃድ ግምታዊ ዘዴዎች
§ 28. የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ግምታዊ ውህደት
28.1. የፖሊላይን ዘዴ
28.2. ተጨማሪ የግማሽ ደረጃ ዘዴ
28.3. Runge-Hein-Kutta ዘዴ
28.4. መጠላለፍ እና ተከታታይ ግምቶችን በማጣመር
28.5. አዳምስ ዘዴ
28.6. ወደ አዳምስ ዘዴ ተጨማሪዎች
§ 29. የከፍተኛ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ግምታዊ ውህደት
29.1. የአንደኛ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች ግምታዊ ውህደት ዘዴዎች
29.2. የፖሊላይን ዘዴ ለሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
29.3. Runge * -የኩታ ዘዴ ለዚህ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች
29.4. አዳምስ-ስቶርመር የእኩልታ ዘዴ (ቀመር)
29.5. አዳምስ-ስቶርመር የእኩልታ ዘዴ (ቀመር)
29.6. የበረከት ዘዴ ለእኩል (ቀመር)
ክፍል ሁለት
የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂን እሴት ችግሮች
ምዕራፍ I. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች ለ nth ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
§ 1. የድንበር እሴት ችግሮች አጠቃላይ ንድፈ ሃሳብ
1.1. ማስታወሻዎች እና የመጀመሪያ ማስታወሻዎች
1.2. የድንበር እሴት ችግርን ለመፍታት ሁኔታዎች
1.3. የድንበር ዋጋ ችግር
1.4. የራስ-አጣዳፊ የድንበር እሴት ችግሮች
1.5. የአረንጓዴው ተግባር
1.6. የአረንጓዴውን ተግባር በመጠቀም ተመጣጣኝ ያልሆነ የድንበር እሴት ችግር መፍትሄ
1.7. የአጠቃላይ አረንጓዴ ተግባር
§ 2. የድንበር እሴት ችግሮች እና የኢጂን እሴት ችግሮች ለእኩል (ቀመር)
2.1. Eigenvalues ​​እና eigenfunctions; ባህሪን የሚወስን (?)
2.2. በ Gria ሟሟት eigenvalues ​​ላይ የማጣመር ችግር; የተሟላ ባዮግራፊያዊ ስርዓት
2.3. መደበኛ የድንበር ሁኔታዎች; መደበኛ የኢጂን እሴት ችግሮች
2.4. ለመደበኛ እና መደበኛ ያልሆነ የኢጂን እሴት ችግሮች
2.5. የተሰጠው ተግባር ወደ መደበኛ እና መደበኛ ያልሆነ የኢጂን እሴት ችግሮች ወደ ኢጂን ተግባራት ማስፋፋት።
2.6. እራስን ማገናኘት የተለመደ የኢጂን እሴት ችግሮች
2.7. በፍሬድሆልም ዓይነት እኩልታዎች ላይ
2.8. በድንበር እሴት ችግሮች እና በፍሬድሆልም ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.9. በ eigenvalue ችግሮች እና በፍሬድሆልም ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.10. በቮልቴራ ዓይነት የተዋሃዱ እኩልታዎች ላይ
2.11. የድንበር እሴት ችግሮች እና የቮልቴራ ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.12. በ eigenvalue ችግሮች እና በቮልቴራ ዓይነት እኩልታዎች መካከል ያለው ግንኙነት
2.13. በ eigenvalue ችግሮች እና ልዩነቶች ስሌት መካከል ያለው ግንኙነት
2.14. የ eigenfunction ማስፋፊያ መተግበሪያ
2.15. ተጨማሪ ማስታወሻዎች
§ 3. የ eigenvalue ችግሮችን እና የድንበር እሴት ችግሮችን ለመፍታት ግምታዊ ዘዴዎች
3.1. ግምታዊ የጋለርኪን-ሪትዝ ዘዴ
3.2. ግምታዊ የግራምሜል ዘዴ
3.3. የጋለርኪን-ሪትዝ ዘዴን በመጠቀም ተመጣጣኝ ያልሆነ የድንበር እሴት ችግር መፍትሄ
3.4. ተከታታይ የተጠጋጋ ዘዴ
3.5. የድንበር እሴት ችግሮች ግምታዊ መፍትሄ እና የ eigenvalue ችግሮች በመጨረሻው ልዩነት ዘዴ
3.6. የመበሳጨት ዘዴ
3.7. ለ eigenvalues ​​ግምቶች
3.8. ኢጂን እሴቶችን እና ኢጂን ተግባራትን ለማስላት ዘዴዎች ግምገማ
§ 4. በራስ የተቆራኙ የኢጂን ዋጋ ችግሮች ለአንድ እኩልታ (ቀመር)
4.1. የችግሩ መፈጠር
4.2. አጠቃላይ የቅድሚያ ማስታወሻዎች
4.3. መደበኛ የኢጂን እሴት ችግሮች
4.4. አወንታዊ የተረጋገጠ የ eigenvalue ችግሮች
4.5. Eigenfunction መስፋፋት
§ 5. የአጠቃላይ ቅፅ ወሰን እና ተጨማሪ ሁኔታዎች
ምዕራፍ II. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
§ 6. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
6.1. የማስታወሻ እና የመፍታት ሁኔታዎች
6.2. የድንበር ዋጋ ችግር
6.3. አረንጓዴ ማትሪክስ
6.4. የኢጂንቫል ችግሮች
6.5. እራስ-የተያያዙ የኢጂንቫል ችግሮች
ምዕራፍ III. የድንበር እሴት ችግሮች እና የ eigenvalue ችግሮች ለዝቅተኛ ቅደም ተከተል እኩልታዎች
§ 7. የመጀመሪያ ደረጃ ችግሮች
7.1. የመስመር ችግሮች
7.2. ያልተለመዱ ችግሮች
§ 8. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ወሰን እሴት ችግሮች
8.1. አጠቃላይ አስተያየቶች
8.2. የአረንጓዴው ተግባር
8.3. ለመጀመሪያው ዓይነት የድንበር እሴት ችግሮች መፍትሄዎች ግምቶች
8.4. የድንበር ሁኔታዎች በ (?)
8.5. ወቅታዊ መፍትሄዎችን ማግኘት
8.6. ፈሳሽ ፍሰትን ከማጥናት ጋር የተያያዘ አንድ የድንበር እሴት ችግር
§ 9. የሁለተኛ ደረጃ የመስመር eigenvalue ችግሮች
9.1. አጠቃላይ አስተያየቶች
9.2 እራስ-አጎራባች የኢጂን ዋጋ ችግሮች
9.3. (ፎርሙላ) እና የድንበሩ ሁኔታዎች በራሳቸው የተገጣጠሙ ናቸው
9.4. የ Eigenvalue ችግሮች እና የልዩነት መርህ
9.5. በ eigenvalues ​​እና eigenfunctions ተግባራዊ ስሌት ላይ
9.6. የ Eigenvalue ችግሮች፣ የግድ ራስን ማያያዝ አይደለም።
9.7. የአጠቃላይ ቅፅ ተጨማሪ ሁኔታዎች
9.8. በርካታ መለኪያዎችን የያዙ የኢጂንቫል ችግሮች
9.9. በወሰን ነጥቦች ላይ ከተናጥል ጋር ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች
9.10. Eigenvalue ችግሮች ማለቂያ በሌለው የጊዜ ክፍተት ላይ
§ 10. የመስመር ላይ ያልሆኑ የድንበር እሴት ችግሮች እና የሁለተኛ ደረጃ ኢጂንቫል ችግሮች
10.1. የድንበር እሴት ችግሮች ለተወሰነ ጊዜ
10.2. የድንበር እሴት ችግሮች ለከፊል-ወሰን ክፍተት
10.3. የኢጂንቫል ችግሮች
§ 11. የድንበር እሴት ችግሮች እና የሦስተኛው - ስምንተኛ ትዕዛዞች የ eigenvalue ችግሮች
11.1. መስመራዊ የሶስተኛ ደረጃ ኢጂንቫል ችግሮች
11.2. መስመራዊ የአራተኛ ደረጃ ኢጂንቫል ችግሮች
11.3. የሁለት ሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓት የመስመር ችግሮች
11.4. የአራተኛው ቅደም ተከተል መስመር-አልባ የድንበር እሴት ችግሮች
11.5. ከፍተኛ ቅደም ተከተል eigenvalue ችግሮች
ክፍል ሶስት የግለሰብ ልዩ እኩልታዎች
የቅድሚያ አስተያየቶች
ምዕራፍ I. የመጀመሪያ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች
1-367። ከ (?) ጋር በተያያዘ የመጀመሪያ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች
368-517. የሁለተኛ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች (?) በተመለከተ
518-544. ከ (?) አንፃር የሶስተኛ ዲግሪ ልዩነት እኩልታዎች
545-576 እ.ኤ.አ. የአጠቃላይ ቅፅ ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ II. የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
1-90 (ፎርሙላ)
91-145. (ፎርሙላ)
146-221. (ቀመር)
222-250. (ፎርሙላ)
251-303. (ፎርሙላ)
304-341. (ፎርሙላ)
342-396. (ፎርሙላ)
397-410. (ፎርሙላ)
411-445 እ.ኤ.አ. ሌሎች ልዩነቶች እኩልታዎች
ምዕራፍ III. የሶስተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ IV. የአራተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ V. የአምስተኛው እና ከፍተኛ ትዕዛዞች የመስመር ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ VI. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ያልተለመደ ልዩነት እኩልታዎች
1-72. (ፎርሙላ)
73-103. (ፎርሙላ)
104-187. (ፎርሙላ)
188-225. (ፎርሙላ)
226-249. ሌሎች ልዩነቶች እኩልታዎች
ምዕራፍ VII. የሶስተኛ እና ከፍተኛ ትዕዛዞች መደበኛ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች
ምዕራፍ VIII. የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
የቅድሚያ አስተያየቶች
1-18 የሁለት የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር
19-25። የሁለት የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ልዩነት እኩልታዎች ከተለዋዋጭ ቅንጅቶች ጋር
26-43። ከመጀመሪያው ከፍ ያለ የሁለት ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
44-57። ከሁለት በላይ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ስርዓቶች
ምዕራፍ IX. ያልተለመዱ የልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
1-17 የሁለት ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች
18-29። ከሁለት በላይ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ስርዓቶች
ተጨማሪዎች
የሁለተኛው ቅደም ተከተል (I. Zbornik) መስመራዊ ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች መፍትሄ ላይ
በ E. Kamke (ዲ. ሚትሪኖቪች) የመጽሐፉ ተጨማሪዎች
መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎችን ለመመደብ እና አጠቃላይ መፍትሄቸውን ተደጋጋሚ ቀመሮችን (I. Zbornik) በመጠቀም የሚገነቡበት አዲስ መንገድ
የርዕስ ማውጫ

አይንስ ኢ.ኤል. ተራ ልዩነት እኩልታዎች. ካርኮቭ፡ ኦንቲኤ፣ 1939

Andronov A.A., Leontovich E.V., Gordon I.I., Mayer A.G. የሁለተኛ ደረጃ ተለዋዋጭ ስርዓቶች ጥራት ያለው ንድፈ ሃሳብ. ኤም: ናውካ, 1966

አኖሶቭ ዲ.ቪ. (ed.) ለስላሳ ተለዋዋጭ ስርዓቶች (የትርጉሞች ስብስብ, ሂሳብ በውጭ ሳይንስ N4). መ፡ ሚር፣ 1977 ዓ.ም

አርኖልድ V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. የክላሲካል እና የሰለስቲያል መካኒኮች የሂሳብ ገጽታዎች። M.: VINITI, 1985

ባርባሺን ኢ.ኤ. የሊያፑኖቭ ተግባራት. ኤም: ናውካ, 1970

ቦጎሊዩቦቭ ኤን.ኤን., ሚትሮፖልስኪ ዩ.ኤ. በመስመር ላይ ባልሆኑ ማወዛወዝ (2 ኛ እትም) ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ አሲምፕቶቲክ ዘዴዎች። ኤም: ናውካ, 1974

ተራ ልዩነት እኩልታዎች መካከል Vazov V. Asymptotic መስፋፋት. ሚ፡ ሚር፣ 1968 ዓ.ም

ቫይንበርግ ኤም.ኤም., ትሬኖጂን ቪ.ኤ. የመስመር ላይ ላልሆኑ እኩልታዎች መፍትሄዎች የቅርንጫፍ ፅንሰ-ሀሳብ። ኤም: ናኡካ, 1969

ጎሉቤቭ ቪ.ቪ. የልዩነት እኩልታዎች የትንታኔ ንድፈ ሐሳብ ላይ ትምህርቶች። M.-L.፡ Gostekhteorizdat፣ 1950

Gursa E. የሒሳብ ትንተና ኮርስ፣ ቅጽ 2፣ ክፍል 2. ልዩነት እኩልታዎች። M.-L.: GTI, 1933

ዴሚዶቪች ቢ.ፒ. ላይ ትምህርቶች የሂሳብ ንድፈ ሐሳብዘላቂነት. ኤም: ናውካ, 1967

ዶብሮቮልስኪ ቪ.ኤ. የልዩነት እኩልታዎች የትንታኔ ንድፈ ሐሳብ እድገት ላይ ድርሰቶች። ኪየቭ: ቪሽቻ ትምህርት ቤት, 1974

Egorov D. የልዩነት እኩልታዎች ውህደት (3 ኛ እትም). M.: ያኮቭሌቭ ማተሚያ ቤት, 1913

ኤሩጂን ኤን.ፒ. ለማንበብ መጽሐፍ አጠቃላይ ኮርስልዩነት እኩልታዎች (3 ኛ እትም). Mn.: ሳይንስ እና ቴክኖሎጂ, 1979

ኤሩጂን ኤን.ፒ. የመደበኛ ልዩነት እኩልታዎች መስመራዊ ስርዓቶች ከወቅታዊ እና ከኳሲፔሪዮዲክ ጥምርታዎች ጋር። ሚን፡- የBSSR የሳይንስ አካዳሚ፣ 1963

ኤሩጂን ኤን.ፒ. በመስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች ንድፈ ሃሳብ ውስጥ የላፖ-ዳኒልቭስኪ ዘዴ. L.: ሌኒንግራድ ስቴት ዩኒቨርሲቲ, 1956

Zaitsev V.F. የዘመናዊ ቡድን ትንተና መግቢያ. ክፍል 1: በአውሮፕላኑ ላይ የለውጥ ቡድኖች አጋዥ ስልጠናወደ ልዩ ኮርስ)። SPb.: RGPU im. አ.አይ. ሄርዘን፣ 1996

Zaitsev V.F. የዘመናዊ ቡድን ትንተና መግቢያ. ክፍል 2፡ የመጀመሪያ ደረጃ እኩልታዎች እና የሚቀበሏቸው የነጥብ ቡድኖች (የመማሪያ መጽሐፍ ለልዩ ኮርስ)። SPb.: RGPU im. አ.አይ. ሄርዘን፣ 1996

ኢብራጊሞቭ ኤን.ኬ. የቡድን ትንተና ኤቢሲ. መ: እውቀት, 1989

ኢብራጊሞቭ ኤን.ኬ. ተራ ልዩነት እኩልታዎች የቡድን ትንተና ውስጥ ልምድ. መ: እውቀት, 1991

ካሜንኮቭ ጂ.ቪ. የተመረጡ ስራዎች. ተ.1. የመንቀሳቀስ መረጋጋት. ማወዛወዝ. ኤሮዳይናሚክስ. ኤም: ናውካ, 1971

ካሜንኮቭ ጂ.ቪ. የተመረጡ ስራዎች. ተ.2. መረጋጋት እና መወዛወዝ አይደሉም መስመራዊ ስርዓቶች. ኤም: ናውካ, 1972

የካምኬ ኢ. የተራ ልዩነት እኩልታዎች መመሪያ መጽሃፍ (4ተኛ እትም). ኤም: ናውካ, 1971

ካፕላንስኪ I. ወደ ልዩነት አልጀብራ መግቢያ. M.: IL, 1959

Kartashev A.P., Rozhdestvensky B.L. ተራ ልዩነት እኩልታዎች እና የልዩነቶች ስሌት መሰረቶች (2ኛ እትም)። ኤም: ናውካ, 1979

ኮዲንግተን ኢ.ኤ.፣ ሌቪንሰን ኤን. ተራ ልዩነት እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳብ። M.: IL, 1958

ኮዝሎቭ ቪ.ቪ. በሃሚልቶኒያ ሜካኒክስ ውስጥ ሲሜትሪ ፣ ቶፖሎጂ እና ሬዞናንስ። ኢዝሄቭስክ: ኡድመርት ግዛት ማተሚያ ቤት. ዩኒቨርሲቲ, 1995

Collatz L. Eigenvalue ችግሮች (ከቴክኒካዊ አፕሊኬሽኖች ጋር). ኤም: ናውካ, 1968

Cole J. በተግባራዊ ሒሳብ ውስጥ የመበሳጨት ዘዴዎች. ኤም: ሚር, 1972

ኮያሎቪች ቢ.ኤም. በልዩ ቀመር ydy-ydx=Rdx ላይ ምርምር። ሴንት ፒተርስበርግ: የሳይንስ አካዳሚ, 1894

ክራስቭስኪ ኤን.ኤን. የእንቅስቃሴ መረጋጋት ንድፈ ሐሳብ አንዳንድ ችግሮች. ኤም፡ ፊዝማሊት፣ 1959

Kruskal M. Adiabatic invariants. የሃሚልተን እኩልታዎች እና ሌሎች የልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች አሲምፕቶቲክ ቲዎሪ ፣ ሁሉም መፍትሄዎች በግምት ወቅታዊ ናቸው። M.: IL, 1962

ኩሬንስኪ ኤም.ኬ. ልዩነት እኩልታዎች. መጽሐፍ 1. ተራ ልዩነት እኩልታዎች. L.: የመድፍ አካዳሚ, 1933

ላፖ-ዳኒሌቭስኪ አይ.ኤ. የተግባር ትግበራ ከማትሪክስ ወደ ተራ ልዩነት እኩልታዎች የመስመር ስርዓቶች ጽንሰ-ሀሳብ። ኤም: ጂቲኤል, 1957

ላፖ-ዳኒሌቭስኪ አይ.ኤ. የማትሪክስ ተግባራት ንድፈ ሃሳብ እና የመስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓቶች. ኤል.-ኤም.፣ ጊትል፣ 1934

LaSalle J., Lefschetz S. የመረጋጋት ጥናት በቀጥታ የሊያፑኖቭ ዘዴ. ሚ፡ ሚር፣ 1964 ዓ.ም

ሌቪታን ቢ.ኤም., Zhikov V.V. ከሞላ ጎደል ወቅታዊ ተግባራት እና ልዩነት እኩልታዎች። M.: MSU, 1978

ሌፍሼትዝ ኤስ. የልዩነት እኩልታዎች ጂኦሜትሪክ ቲዎሪ። M.: IL, 1961

ሊያፑኖቭ ኤ.ኤም. የእንቅስቃሴ መረጋጋት አጠቃላይ ችግር. M.-L.: ጂቲኤል, 1950

ማልኪን አይ.ጂ. የእንቅስቃሴ መረጋጋት ጽንሰ-ሐሳብ. ኤም: ናውካ, 1966

ማርቼንኮ ቪ.ኤ. Sturm-Liouville ኦፕሬተሮች እና መተግበሪያዎቻቸው። ኪየቭ፡ ኑክ ዱምካ፣ 1977

ማርቼንኮ ቪ.ኤ. የSturm-Liouville ኦፕሬተሮች ስፔክትራል ንድፈ ሐሳብ። ኪየቭ፡ ኑክ ዱምካ፣ 1972

Matveev N.M. ተራ ልዩነት እኩልታዎችን የማዋሃድ ዘዴዎች (3 ኛ እትም). መ: የድህረ - ምረቃ ትምህርት ቤት, 1967

Mishchenko E.F., Rozov N.X. ከትንሽ ግቤት እና ከመዝናናት ማወዛወዝ ጋር ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች። ኤም: ናውካ, 1975

ሞይሴቭ ኤን.ኤን. የመስመር ላይ ያልሆኑ መካኒኮች አሲምፕቶቲክ ዘዴዎች። ኤም: ናኡካ, 1969

ሞርዱካሂ-ቦልቶቭስኮይ ዲ በመስመር ላይ ልዩነት እኩልታዎች ባለው ውህደት ላይ። ዋርሶ ፣ 1910

ናይማርክ ኤም.ኤ. የመስመር ልዩነት ኦፕሬተሮች (2 ኛ እትም). ኤም: ናኡካ, 1969

Nemytsky V.V., Stepanov V.V. የልዩነት እኩልታዎች ጥራት ያለው ንድፈ ሃሳብ። M.-L.: OGIZ, 1947

ፕሊስ ቪ.ኤ. በመወዛወዝ ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ አካባቢያዊ ያልሆኑ ችግሮች. M.-L.: ናኡካ, 1964

ፖኖማርቭ ኬ.ኬ. ልዩነት እኩልታዎችን በመሳል ላይ። ማን: ቪሽ ትምህርት ቤት, 1973

Pontryagin L.S. ተራ ልዩነት እኩልታዎች (4ኛ እትም). ኤም: ናውካ, 1974

Poincare A. በልዩ እኩልታዎች በሚወሰኑ ኩርባዎች ላይ። M.-L., ጂትል, 1947

ራሱሎቭ ኤም.ኤል. የኮንቱር ውህደት ዘዴ እና አተገባበሩ ለችግሮች ጥናት ልዩነት እኩልታዎች። ኤም: ናውካ, 1964

Rumyantsev V.V., Oziraner A.S. ከአንዳንድ ተለዋዋጮች ጋር በተዛመደ የእንቅስቃሴ መረጋጋት እና መረጋጋት. ኤም: ናውካ, 1987

Sansone J. ተራ ልዩነት እኩልታዎች፣ ጥራዝ 1. M.: IL, 1953