በዚህ ትምህርት ሁለት ተጨማሪ ክንዋኔዎችን ከቬክተሮች ጋር እንመለከታለን፡- የቬክተሮች የቬክተር ምርትእና የቬክተሮች ድብልቅ ምርት (ለሚፈልጉት አፋጣኝ አገናኝ). ደህና ነው ፣ አንዳንድ ጊዜ ለደስታ ፣ በተጨማሪ ፣ ይከሰታል የቬክተሮች scalar ምርት፣ ብዙ እና ብዙ ይፈለጋል። ይህ የቬክተር ሱስ ነው። ወደ ዱር ውስጥ እየገባን ያለ ሊመስል ይችላል። የትንታኔ ጂኦሜትሪ. ይህ ስህተት ነው። በዚህ የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል ውስጥ ለፒኖቺዮ በቂ ካልሆነ በስተቀር በአጠቃላይ ትንሽ እንጨት አለ. በእውነቱ, ቁሱ በጣም የተለመደ እና ቀላል ነው - ከተመሳሳይ የበለጠ የተወሳሰበ ነው scalar ምርት፣ እንኳን የተለመዱ ተግባራትያነሰ ይሆናል. በአናቲቲካል ጂኦሜትሪ ውስጥ ዋናው ነገር ብዙዎች እንደሚያምኑት ወይም ቀድሞውኑ አሳማኝ ሆኖ ሳለ በስሌቶች ውስጥ ስህተቶችን ማድረግ አይደለም. እንደ ፊደል ይድገሙ እና ደስተኛ ይሆናሉ =)

ቬክተሮች ከሩቅ ቦታ ቢያበሩ፣ ልክ በአድማስ ላይ እንዳለ መብረቅ፣ ምንም አይደለም፣ በትምህርቱ ይጀምሩ Vectors ለ dummiesስለ ቬክተሮች መሠረታዊ እውቀትን ወደነበረበት ለመመለስ ወይም መልሶ ለማግኘት. ብዙ የተዘጋጁ አንባቢዎች መረጃውን እየመረጡ ማወቅ ይችላሉ፤ በተቻለ መጠን ለመሰብሰብ ሞከርኩ። የተሟላ ስብስብብዙውን ጊዜ በ ውስጥ የሚገኙት ምሳሌዎች ተግባራዊ ሥራ

ወዲያውኑ ምን ያስደስትዎታል? ትንሽ ሳለሁ ሁለት ወይም ሶስት ኳሶችን መጎተት እችል ነበር። በጥሩ ሁኔታ ሠርቷል. አሁን ስለምንመረምር መሮጥ የለብዎትም የቦታ ቬክተሮች ብቻ, እና ሁለት መጋጠሚያዎች ያሉት ጠፍጣፋ ቬክተሮች ይቀራሉ. ለምን? እነዚህ ድርጊቶች የተወለዱት በዚህ መንገድ ነው - የቬክተሮች ቬክተር እና ድብልቅ ምርቶች ተገልጸዋል እና ይሠራሉ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ. ቀድሞውኑ ቀላል ነው!

ይህ ክዋኔ፣ ልክ እንደ ስካላር ምርቱ፣ ያካትታል ሁለት ቬክተሮች. እነዚህ የማይበሰብሱ ፊደላት ይሁኑ።

ድርጊቱ ራሱ በ ተጠቁሟልበሚከተለው መንገድ፡. ሌሎች አማራጮች አሉ ነገር ግን የቬክተርን የቬክተር ምርትን በዚህ መንገድ ለማመልከት ተጠቀምኩኝ, በካሬ ቅንፎች ውስጥ በመስቀል.

እና ወዲያውኑ ጥያቄ: ከገባ የቬክተሮች scalar ምርትሁለት ቬክተሮች ይሳተፋሉ, እና እዚህ ሁለት ቬክተሮች ተባዝተዋል, ከዚያ ልዩነቱ ምንድን ነው? ግልጽ የሆነው ልዩነት፣ በመጀመሪያ፣ በውጤቱ ውስጥ ነው፡-

የቬክተሮች ስኬር ውጤት NUMBER ነው፡-

የቬክተሮች የመስቀለኛ መንገድ ውጤት VECTOR ነው።: ማለትም ቬክተሮችን እናባዛለን እና እንደገና ቬክተር እናገኛለን. የተዘጋ ክለብ። በእውነቱ, ይህ የክዋኔው ስም የመጣው ከየት ነው. በተለያዩ ትምህርታዊ ሥነ ጽሑፍስያሜዎችም ሊለያዩ ይችላሉ, ደብዳቤውን እጠቀማለሁ.

የመስቀል ምርት ትርጉም

በመጀመሪያ ከሥዕል ጋር ፍቺ ይኖረዋል ፣ ከዚያ አስተያየቶች።

ፍቺየቬክተር ምርት ኮላይነር ያልሆነቬክተሮች, ገብቷል በዚህ ቅደም ተከተል VECTOR ተብሎ የሚጠራው ርዝመትይህም በቁጥር ነው። ከትይዩው ስፋት ጋር እኩል ነውበእነዚህ ቬክተሮች ላይ የተገነባ; ቬክተር orthogonal ወደ vectors, እና መሰረቱ ትክክለኛ አቅጣጫ እንዲኖረው ተመርቷል፡-

ፍቺውን በክፍል እንከፋፍል, እዚህ ብዙ አስደሳች ነገሮች አሉ!

ስለዚህ የሚከተሉትን ጉልህ ነጥቦችን ማጉላት ይቻላል-

1) በቀይ ቀስቶች የተጠቆሙት ኦሪጅናል ቬክተሮች በትርጉም ኮላይኔር አይደለም. እየተከሰተ ነው። ኮላይኔር ቬክተሮችትንሽ ቆይቶ ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ይሆናል.

2) ቬክተሮች ይወሰዳሉ በጥብቅ በተገለጸው ቅደም ተከተል: – "ሀ" በ "ቤ" ተባዝቷልከ "ሀ" ጋር "መሆን" አይደለም. የቬክተር ማባዛት ውጤትበሰማያዊ የተመለከተው VECTOR ነው። ቬክተሮቹ በተገላቢጦሽ ከተባዙ, ርዝመቱ እኩል የሆነ ቬክተር እና በአቅጣጫ ተቃራኒ (የራስበሪ ቀለም) እናገኛለን. ማለትም እኩልነቱ እውነት ነው። .

3) አሁን ከቬክተር ምርት ጂኦሜትሪክ ትርጉም ጋር እንተዋወቅ። ይህ በጣም አስፈላጊ ነጥብ ነው! የሰማያዊ ቬክተር ርዝመት (እና፣ ስለዚህ፣ ክሪምሰን ቬክተር) በቁጥር በቬክተሮች ላይ ከተገነባው ትይዩ AREA ጋር እኩል ነው። በሥዕሉ ላይ, ይህ ትይዩ ጥቁር ጥላ ነው.

ማስታወሻ ስዕሉ ንድፍ ነው, እና በተፈጥሮ, የቬክተር ምርት ስም ርዝመት ከትይዩው ስፋት ጋር እኩል አይደለም.

አንዱን እናስታውስ የጂኦሜትሪክ ቀመሮች: የትይዩው ስፋት ከአጎራባች ጎኖች ምርት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ጎን ጋር እኩል ነው።. ስለዚህ፣ ከላይ በተጠቀሰው መሰረት፣ የቬክተር ምርትን LENGTH ለማስላት ቀመር ትክክለኛ ነው፡-

አፅንዖት የምሰጠው ቀመሩ ስለ ቬክተሩ LENGTH እንጂ ስለ ቬክተሩ ራሱ እንዳልሆነ አፅንዖት እሰጣለሁ። ተግባራዊ ትርጉሙ ምንድን ነው? እና ትርጉሙ በትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች ውስጥ ፣ የትይዩው ክፍል ብዙውን ጊዜ በቬክተር ምርት ጽንሰ-ሀሳብ በኩል ይገኛል-

ሁለተኛውን አስፈላጊ ቀመር እናገኝ. የትይዩ ሰያፍ (ቀይ ነጠብጣብ መስመር) ለሁለት ይከፍለዋል። እኩል ትሪያንግል. ስለዚህ በቬክተሮች ላይ የተገነባው የሶስት ማዕዘን ቦታ (ቀይ ጥላ) ቀመሩን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል-

4) እኩል የሆነ ጠቃሚ እውነታ ቬክተሩ ለቬክተሮች ኦርቶጎን ነው, ማለትም . እርግጥ ነው፣ በተቃራኒው የሚመራው ቬክተር (የራስበሪ ቀስት) ለዋናዎቹ ቬክተሮችም እንዲሁ orthogonal ነው።

5) ቬክተሩ ተመርቷል ስለዚህም መሠረትአለው ቀኝአቅጣጫ. በትምህርቱ ውስጥ ስለ ወደ አዲስ መሠረት ሽግግርስለ በበቂ ሁኔታ ተናግሬአለሁ። የአውሮፕላን አቅጣጫ, እና አሁን የቦታ አቀማመጥ ምን እንደሆነ እንገነዘባለን. በጣቶችዎ ላይ እገልጻለሁ ቀኝ እጅ . በአዕምሯዊ ሁኔታ ያጣምሩ የጣት ጣትበቬክተር እና መካከለኛ ጣትከቬክተር ጋር. የቀለበት ጣት እና ትንሽ ጣትወደ መዳፍዎ ይጫኑት. ከዚህ የተነሳ አውራ ጣት- የቬክተር ምርቱ ወደላይ ይመለከታል. ይህ ትክክለኛ-ተኮር መሠረት ነው (ይህ በሥዕሉ ላይ ያለው ነው)። አሁን ቬክተሮችን ይለውጡ ( ጠቋሚ እና መካከለኛ ጣቶች) በአንዳንድ ቦታዎች, በዚህ ምክንያት አውራ ጣት ወደ ኋላ ይመለሳል, እና የቬክተር ምርቱ ቀድሞውኑ ወደታች ይመለከታል. ይህ ደግሞ ትክክለኛ ተኮር መሰረት ነው። ጥያቄ ሊኖርዎት ይችላል፡ አቅጣጫውን የቀረው የትኛው መሰረት ነው? ለተመሳሳይ ጣቶች "መድብ". ግራ አጅ vectors፣ እና የቦታውን የግራ መሰረት እና የግራ አቅጣጫን ያግኙ (በዚህ ሁኔታ, አውራ ጣት ወደ ታችኛው ቬክተር አቅጣጫ ይቀመጣል). በምሳሌያዊ አነጋገር፣ እነዚህ መሠረቶች ወደ ውስጥ “ይጠምማሉ” ወይም ወደ ውስጥ ያስገባሉ። የተለያዩ ጎኖች. እና ይህ ጽንሰ-ሀሳብ እንደ ሩቅ ወይም ረቂቅ ነገር ተደርጎ መወሰድ የለበትም - ለምሳሌ ፣ የቦታ አቅጣጫ በጣም በተለመደው መስታወት ይቀየራል ፣ እና “የተንጸባረቀውን ነገር ከመስታወት ውስጥ ካወጡት” ያኔ ይሆናል ። አጠቃላይ ጉዳይከ "የመጀመሪያው" ጋር ሊጣመር አይችልም. በነገራችን ላይ ሶስት ጣቶች ወደ መስተዋቱ ያዙ እና ነጸብራቁን ይተንትኑ ;-)

... አሁን ማወቅህ እንዴት ጥሩ ነው። ቀኝ እና ግራ-ተኮርመሰረት፣ ምክንያቱም የአቅጣጫ ለውጥን አስመልክቶ የአንዳንድ መምህራን አስተያየት አስፈሪ ነው =)

የኮሊኔር ቬክተሮች ተሻጋሪ ምርት

ትርጉሙ በዝርዝር ተብራርቷል, ቬክተሮች ኮሊነር ሲሆኑ ምን እንደሚሆን ለማወቅ ይቀራል. ቬክተሮቹ ኮላይኔር ከሆኑ፣ እነሱ በአንድ ቀጥታ መስመር ላይ ሊቀመጡ ይችላሉ እና የእኛ ትይዩ እንዲሁ ወደ አንድ ቀጥታ መስመር “ይጣበቃል”። የሂሳብ ሊቃውንት እንደሚሉት የእንደዚህ ዓይነቶቹ አካባቢዎች የተበላሸ parallelogram ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ከቀመርው ተመሳሳይ ነው - የዜሮ ወይም 180 ዲግሪ ሳይን ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ይህም ማለት ቦታው ዜሮ ነው.

ስለዚህ ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ እና . እባክዎን ያስተውሉ የቬክተር ምርቱ እራሱ ከዜሮ ቬክተር ጋር እኩል ነው, ነገር ግን በተግባር ግን ይህ ብዙውን ጊዜ ችላ ይባላል እና ከዜሮ ጋር እኩል ነው ብለው ተጽፈዋል.

ልዩ ጉዳይ- የቬክተር የቬክተር ምርት ከራሱ ጋር;

የቬክተር ምርቱን በመጠቀም, የሶስት አቅጣጫዊ ቬክተሮችን ኮሊኔሪቲ ማረጋገጥ ይችላሉ, እና ይህንን ችግር ከሌሎች ጋር እንመረምራለን.

ተግባራዊ ምሳሌዎችን ለመፍታት ያስፈልጉ ይሆናል ትሪግኖሜትሪክ ሰንጠረዥከእሱ የሳይንስ እሴቶችን ለማግኘት.

እሺ እሳቱን እናብራ፡-

ምሳሌ 1

ሀ) ከሆነ የቬክተሮችን የቬክተር ምርት ርዝመት ይፈልጉ

ለ) ከሆነ በቬክተሮች ላይ የተገነባውን ትይዩ ቦታ ይፈልጉ

መፍትሄ: አይ፣ ይህ የፊደል አጻጻፍ አይደለም፣ በአንቀጹ ውስጥ ያለውን የመጀመሪያ መረጃ ሆን ብዬ ተመሳሳይ አድርጌዋለሁ። ምክንያቱም የመፍትሄዎቹ ንድፍ የተለየ ይሆናል!

ሀ) እንደ ሁኔታው ​​​​መፈለግ ያስፈልግዎታል ርዝመትቬክተር (የተሻገረ ምርት). በተዛማጅ ቀመር መሰረት፡-

መልስ:

ስለ ርዝመት ከተጠየቁ, በመልሱ ውስጥ ልኬቱን - አሃዶችን እንጠቁማለን.

ለ) እንደ ሁኔታው, ማግኘት ያስፈልግዎታል ካሬበቬክተሮች ላይ የተገነባ ትይዩ. የዚህ ትይዩ ስፋት ከቬክተር ምርት ርዝመት ጋር በቁጥር እኩል ነው።

መልስ:

እባክዎን መልሱ ስለ ቬክተር ምርት በጭራሽ አይናገርም ፣ ተጠይቀናል የምስሉ አካባቢ, በዚህ መሠረት, ልኬቱ የካሬ ክፍሎች ነው.

እንደ ሁኔታው ​​ምን ማግኘት እንዳለብን ሁልጊዜ እንመለከታለን, እና በዚህ መሰረት, እንፈጥራለን ግልጽመልስ። ቃል በቃል ሊመስል ይችላል፣ ነገር ግን በመምህራን መካከል ብዙ የቃል ሊቃውንት አሉ፣ እና ምደባው ለክለሳ የመመለስ እድሉ ሰፊ ነው። ምንም እንኳን ይህ በጣም ሩቅ ያልሆነ ጩኸት ባይሆንም - መልሱ የተሳሳተ ከሆነ አንድ ሰው ግለሰቡ ያልተረዳውን ስሜት ያገኛል። ቀላል ነገሮችእና/ወይም የስራውን ምንነት አልተረዳም። ይህ ነጥብ በከፍተኛ ሂሳብ እና በሌሎች የትምህርት ዓይነቶች ላይ ማንኛውንም ችግር በሚፈታበት ጊዜ ሁል ጊዜ በቁጥጥር ስር መሆን አለበት።

“ኤን” የሚለው ትልቅ ፊደል የት ሄደ? በመርህ ደረጃ, ከመፍትሔው ጋር በተጨማሪነት መያያዝ ይችል ነበር, ነገር ግን መግባቱን ለማሳጠር, ይህን አላደረግኩም. ሁሉም ሰው ያንን እንደሚረዳ እና ለተመሳሳይ ነገር ስያሜ እንደሆነ ተስፋ አደርጋለሁ.

ታዋቂ ምሳሌ ለ DIY መፍትሔ፡

ምሳሌ 2

ከሆነ በቬክተር ላይ የተገነባውን የሶስት ማዕዘን ቦታ ያግኙ

በቬክተር ምርት በኩል የሶስት ማዕዘን ቦታን ለማግኘት ቀመር ለትርጉሙ በአስተያየቶች ውስጥ ተሰጥቷል. መፍትሄው እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

በተግባር፣ ስራው በእውነት በጣም የተለመደ ነው፤ ትሪያንግሎች በአጠቃላይ ሊያሰቃዩህ ይችላሉ።

ሌሎች ችግሮችን ለመፍታት እኛ ያስፈልጉናል-

የቬክተሮች የቬክተር ምርት ባህሪያት

የቬክተር ምርትን አንዳንድ ባህሪያት አስቀድመን ተመልክተናል, ሆኖም ግን, በዚህ ዝርዝር ውስጥ እጨምራለሁ.

የዘፈቀደ ቬክተሮች እና የዘፈቀደ ቁጥር፣ የሚከተሉት ንብረቶች እውነት ናቸው፡

1) በሌሎች የመረጃ ምንጮች ውስጥ, ይህ ንጥል በአብዛኛው በንብረቶቹ ውስጥ ጎልቶ አይታይም, ነገር ግን በተግባራዊ ሁኔታ በጣም አስፈላጊ ነው. ስለዚህ ይሁን።

2) - ንብረቱ ከዚህ በላይ ተብራርቷል, አንዳንድ ጊዜ ይባላል ፀረ-ተመጣጣኝ. በሌላ አነጋገር የቬክተሮች ቅደም ተከተል አስፈላጊ ነው.

3) - ተባባሪ ወይም ተባባሪየቬክተር ምርት ህጎች. ቋሚዎች ከቬክተር ምርት ውጭ በቀላሉ ሊንቀሳቀሱ ይችላሉ. በእርግጥ እዚያ ምን ማድረግ አለባቸው?

4) - ስርጭት ወይም አከፋፋይየቬክተር ምርት ህጎች. ቅንፎችን ለመክፈት ምንም ችግሮች የሉም.

ለማሳየት፣ አንድ አጭር ምሳሌ እንመልከት፡-

ምሳሌ 3

ከሆነ አግኝ

መፍትሄ፡-ሁኔታው እንደገና የቬክተር ምርቱን ርዝመት መፈለግ ያስፈልገዋል. ድንክያችንን እንቀባው፡-

(1) እንደ ተባባሪ ሕጎች, ቋሚዎችን ከቬክተር ምርት ወሰን ውጭ እንወስዳለን.

(2) ቋሚውን ከሞጁሉ ውጭ እናንቀሳቅሳለን, እና ሞጁሉ የመቀነስ ምልክትን "ይበላል". ርዝመቱ አሉታዊ ሊሆን አይችልም.

(3) የቀረው ግልጽ ነው።

መልስ:

በእሳቱ ላይ ተጨማሪ እንጨት ለመጨመር ጊዜው አሁን ነው:

ምሳሌ 4

ከሆነ በቬክተር ላይ የተገነባውን የሶስት ማዕዘን ቦታ አስሉ

መፍትሄቀመሩን በመጠቀም የሶስት ማዕዘኑን ቦታ ይፈልጉ . የሚይዘው ቬክተሮች "tse" እና "de" እራሳቸው እንደ የቬክተር ድምር ሆነው ቀርበዋል. እዚህ ያለው ስልተ ቀመር መደበኛ እና በመጠኑም ቢሆን የትምህርቱን ምሳሌዎች ቁጥር 3 እና 4 የሚያስታውስ ነው። የቬክተሮች ነጥብ ውጤት. ግልጽ ለማድረግ, መፍትሄውን በሶስት ደረጃዎች እንከፍላለን.

1) በመጀመሪያ ደረጃ የቬክተር ምርቱን በቬክተር ምርት በኩል እንገልፃለን, በእውነቱ, ቬክተርን በቬክተር እንግለጽ. ስለ ርዝመቱ እስካሁን ምንም ቃል የለም!

(፩) የቬክተሮችን መግለጫዎች ይተኩ።

(2) የማከፋፈያ ህጎችን በመጠቀም, በፖሊኖሚሎች ማባዛት ደንብ መሰረት ቅንፎችን እንከፍተዋለን.

(3) ተጓዳኝ ህጎችን በመጠቀም ሁሉንም ቋሚዎች ከቬክተር ምርቶች በላይ እናንቀሳቅሳለን. በትንሽ ልምድ, እርምጃዎች 2 እና 3 በአንድ ጊዜ ሊከናወኑ ይችላሉ.

(፬) በመልካም ንብረት ምክንያት የመጀመሪያዎቹ እና የመጨረሻዎቹ ቃላት ከዜሮ (ዜሮ ቬክተር) ጋር እኩል ናቸው። በሁለተኛው ቃል የቬክተር ምርት ፀረ-ተመጣጣኝ ባህሪን እንጠቀማለን-

(5) ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን.

በውጤቱም, ቬክተሩ በቬክተር በኩል ይገለጻል, ይህም ለማሳካት የሚያስፈልገውን ነው.

2) በሁለተኛው እርከን, የምንፈልገውን የቬክተር ምርት ርዝመት እናገኛለን. ይህ ድርጊት ከምሳሌ 3 ጋር ተመሳሳይ ነው፡-

3) የሚፈለገውን የሶስት ማዕዘን ቦታ ይፈልጉ

የመፍትሄው ደረጃዎች 2-3 በአንድ መስመር ሊጻፉ ይችሉ ነበር.

መልስ:

የታሰበው ችግር በጣም የተለመደ ነው ፈተናዎችለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ይኸውና፡-

ምሳሌ 5

ከሆነ አግኝ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ. የቀደሙትን ምሳሌዎች በምታጠናበት ጊዜ ምን ያህል ትኩረት እንደሰጡ እንይ ;-)

በመጋጠሚያዎች ውስጥ የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርት

፣ በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ፣ በቀመርው ተገልጿል:

ቀመሩ በጣም ቀላል ነው-በመወሰን ሰጪው የላይኛው መስመር ላይ አስተባባሪ ቬክተሮችን እንጽፋለን, በሁለተኛው እና በሦስተኛው መስመሮች ውስጥ የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች "አስቀምጠናል". በጥብቅ ቅደም ተከተል- በመጀመሪያ የ "ve" ቬክተር መጋጠሚያዎች, ከዚያም የ "double-ve" ቬክተር መጋጠሚያዎች. ቬክተሮች በተለያየ ቅደም ተከተል ማባዛት ካስፈለጋቸው, ረድፎቹ መለዋወጥ አለባቸው:

ምሳሌ 10

የሚከተሉት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይነር መሆናቸውን ያረጋግጡ፡
ሀ)
ለ)

መፍትሄ: ቼኩ በዚህ ትምህርት ውስጥ ካሉት መግለጫዎች በአንዱ ላይ የተመሰረተ ነው፡ ቬክተሮች ኮሊኔር ከሆኑ የቬክተር ምርታቸው ከዜሮ (ዜሮ ቬክተር) ጋር እኩል ነው፡ .

ሀ) የቬክተር ምርትን ያግኙ;

ስለዚህ, ቬክተሮቹ ኮሊነር አይደሉም.

ለ) የቬክተር ምርቱን ይፈልጉ;

መልስ: ሀ) ኮላይነር አይደለም ፣ ለ)

እዚህ, ምናልባት, ስለ ቬክተሮች የቬክተር ምርት ሁሉም መሰረታዊ መረጃ ነው.

የቬክተሮች ድብልቅ ምርት ጥቅም ላይ የሚውልባቸው ጥቂት ችግሮች ስላሉት ይህ ክፍል በጣም ትልቅ አይሆንም. በእውነቱ ፣ ሁሉም ነገር በትርጉሙ ላይ የተመሠረተ ነው ፣ ጂኦሜትሪክ ትርጉምእና ሁለት የስራ ቀመሮች.

የተቀላቀለ ቁራጭቬክተሮች የሶስት ቬክተር ውጤቶች ናቸው:

እናም እንደ ባቡር ተሰልፈው እስኪታወቁ ድረስ መጠበቅ አልቻሉም።

በመጀመሪያ ፣ እንደገና ፣ ትርጓሜ እና ስዕል

ፍቺ: የተቀላቀለ ስራ ኮፕላላር ያልሆነቬክተሮች, በዚህ ቅደም ተከተል ተወስዷል, ተጠርቷል ትይዩ የሆነ መጠን, በእነዚህ ቬክተሮች ላይ የተገነባ, መሰረቱ ትክክል ከሆነ "+" ምልክት እና "-" ምልክት ከተተወ.

ስዕሉን እንሰራው. ለእኛ የማይታዩ መስመሮች በነጥብ መስመሮች የተሳሉ ናቸው፡-

ወደ ትርጉሙ እንዝለቅ፡-

2) ቬክተሮች ይወሰዳሉ በተወሰነ ቅደም ተከተል, ማለትም, በምርቱ ውስጥ የቬክተሮችን እንደገና ማስተካከል, እርስዎ እንደሚገምቱት, ያለ መዘዝ አይከሰትም.

3) በጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ላይ አስተያየት ከመስጠቴ በፊት፣ ግልጽ የሆነ እውነታ አስተውያለሁ፡- የቬክተሮች ድብልቅ ምርት NUMBER ነው።. በትምህርታዊ ሥነ-ጽሑፍ ውስጥ ፣ ዲዛይኑ ትንሽ የተለየ ሊሆን ይችላል ፣ እኔ የተደባለቀ ምርትን ለማመልከት ልምዳለሁ ፣ እና የሂሳብ ውጤቱን በ “pe” ፊደል።

A-priory የተቀላቀለው ምርት የትይዩ መጠን ነው, በቬክተሮች ላይ የተገነባ (ምስሉ በቀይ ቬክተሮች እና ጥቁር መስመሮች ተስሏል). ማለትም ቁጥሩ ከተሰጠው ትይዩ ጋር እኩል ነው።

ማስታወሻ : ስዕሉ ንድፍ ነው.

4) የመሠረት እና የቦታ አቀማመጥ ጽንሰ-ሐሳብ እንደገና አንጨነቅ. የመጨረሻው ክፍል ትርጉም የመቀነስ ምልክት ወደ ድምጹ ሊጨመር ይችላል. በቀላል ቃላትየተቀላቀለው ምርት አሉታዊ ሊሆን ይችላል:

ከትርጉሙ በቀጥታ በቬክተሮች ላይ የተገነባውን ትይዩ መጠን ለማስላት ቀመር ይከተላል.

በመጀመሪያ የቬክተር ምርት ምን እንደሆነ እናስታውስ.

ማስታወሻ 1

የቬክተር ጥበብ ስራለ$\vec(a)$ እና $\vec(b)$ $\vec(c)$ ነው፣ እሱም አንዳንድ ሶስተኛ ቬክተር $\vec(c)= ||$ ሲሆን ይህ ቬክተር ልዩ ባህሪያት አሉት፡

• የውጤቱ ቬክተር ስክላር የ$|\vec(a)|$ እና $|\vec(b)|$ በማዕዘን ኃጢአት $\vec(c)= ||= |\vec(a) ውጤት ነው። )| \cdot |\vec(b)|\cdot \ sin α \ግራ(1\ቀኝ)$;
• ሁሉም $\vec(a) \vec(b)$ እና $\vec(c)$ ትክክለኛ ሶስት እጥፍ ይመሰርታሉ።
• የተገኘው ቬክተር ኦርቶጎን ወደ $\vec(a)$ እና $\vec(b)$ ነው።

ቬክተሮች አንዳንድ መጋጠሚያዎች ካሉ ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ እና $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$)፣ ከዚያም የቬክተር ምርታቸው በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓቱ በቀመር ሊወሰን ይችላል-

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

ይህንን ቀመር ለማስታወስ ቀላሉ መንገድ በሚወስነው ቅጽ መጻፍ ነው-

$ = \ጀማሪ(ድርድር) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \መጨረሻ(ድርድር)$።

ይህ ፎርሙላ ለመጠቀም በጣም ምቹ ነው, ነገር ግን እንዴት እንደሚጠቀሙበት ለመረዳት በመጀመሪያ ስለ ማትሪክስ እና ወሳኙን ርዕስ ማወቅ አለብዎት.

ትይዩ የሆነ አካባቢጎኖቻቸው በሁለት ቬክተር የሚወሰኑት $\vec(a)$ እና $vec(b)$ እኩል ነው። የተሰጡት ሁለት ቬክተሮች የቬክተር ምርት scalar.

ይህ ግንኙነት በፍፁም አስቸጋሪ አይደለም.

ተራ ትይዩአሎግራም አካባቢን ለማግኘት ቀመርን እናስታውስ፣ እሱም በሚፈጥሩት $a$ እና $b$ ሊገለጽ ይችላል፡

$S = a \cdot b \cdot \ sin α$

በዚህ ሁኔታ, የጎን ርዝመቶች ከቬክተሮች $\vec(a)$ እና $\vec(b)$ ጋር እኩል ናቸው, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው, ማለትም, የ scalar. የእነዚህ ቬክተሮች የቬክተር ምርት በስዕሉ ላይ ያለው ቦታ ይሆናል.

ምሳሌ 1

ቬክተሮች $\vec(c)$ ከመጋጠሚያዎች ጋር $\(5;3; 7\)$ እና ቬክተር $\vec(g)$ ከ መጋጠሚያዎች $\(3; 7; 10\)$ ጋር የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ተሰጥቷቸዋል . በ$\vec(c)$ እና $\vec(g)$ የተሰራውን የትይዩውን ቦታ ይፈልጉ።

መፍትሄ፡-

ለእነዚህ ቬክተሮች የቬክተር ምርትን እንፈልግ፡-

$ = \ጀማሪ(ድርድር) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \መጨረሻ(array)= i \cdot \መጀመር(ድርድር)(|cc |) 3 እና 7 \\ 7 እና 10 \\ \ መጨረሻ (ድርድር) - j \cdot \ መጀመሪያ (ድርድር) (|cc|) 5 እና 7 \\ 3 እና 10 \\ \ መጨረሻ(ድርድር) + k \cdot \\ጀማሪ(ድርድር) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \ መጨረሻ(ድርድር) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

አሁን ለተፈጠረው የተመራው ክፍል ሞጁል ዋጋን እንፈልግ ፣ እሱ የተገነባው ትይዩ ስፋት ዋጋ ነው-

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43.34$።

ይህ የአመክንዮ መስመር በ 3-ልኬት ቦታ ላይ አካባቢን ለማግኘት ብቻ ሳይሆን ባለ ሁለት-ልኬት ቦታም ይሠራል። በዚህ ርዕስ ላይ የሚከተለውን እንቆቅልሽ ይመልከቱ።

ምሳሌ 2

የትይዩ ሎግራም ክፍሎቹ በቬክተር $\vec(m)$ ከ $\(2፤ 3\)$ እና $\vec(d)$ ከመጋጠሚያዎች ጋር ከተገለጹ የትይዩውን ቦታ አስላ። ; 6 \)$

መፍትሄ፡-

ይህ ችግር ከላይ የተፈታ የችግር 1 ልዩ ምሳሌ ነው, ነገር ግን ሁለቱም ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ, ይህም ማለት ሶስተኛው መጋጠሚያ $ z$, እንደ ዜሮ ሊወሰድ ይችላል.

ከላይ የተጠቀሱትን ሁሉ ለማጠቃለል ፣ የትይዩው ስፋት የሚከተለው ይሆናል-

$S = \ጀማሪ(ድርድር) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \መጨረሻ(ድርድር) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$።

ምሳሌ 3

የተሰጡ ቬክተሮች $\vec (a) = 3i - j + k; \vec(b)= 5i$ የሚፈጥሩትን ትይዩአዊ አካባቢ ይወስኑ።

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

ለክፍል ቬክተሮች ከዚህ በታች ባለው ሠንጠረዥ መሠረት ቀለል እናድርገው-

ምስል 1. የቬክተር መበስበስ በመሠረቱ. Author24 - የተማሪ ስራዎች የመስመር ላይ ልውውጥ

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$።

የማስላት ጊዜ፡-

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$።

የቀደሙት ችግሮች መጋጠሚያዎቻቸው በካርቴዥያ አስተባባሪ ስርዓት ውስጥ ስለተገለጹ ቬክተሮች ነበሩ፣ ነገር ግን በመሠረታዊ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ$90°$ የሚለይ ከሆነ ጉዳዩን አስቡበት።

ምሳሌ 4

ቬክተር $\vec(መ) = 2a + 3b$፣ $\vec(f)=a – 4b$፣ ርዝመቶች $\vec(a)$ እና $\vec(b)$ አንዳቸው ከሌላው ጋር እኩል ናቸው እና ከአንድ ጋር እኩል ናቸው። , እና በ$\vec(a)$ እና $\vec(b)$ መካከል ያለው አንግል 45° ነው።

መፍትሄ፡-

የቬክተር ምርቱን $\vec(d) \ times \vec(f)$ እናሰላው::

$[\vec (መ) \ ጊዜ \vec(f) ]= (2a + 3b) \ ጊዜ (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $።

ለቬክተር ምርቶች, እንደ ንብረታቸው, የሚከተለው እውነት ነው: $$ እና $$ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, $ = - $.

ይህንን ለማቃለል እንጠቀምበት፡-

$[\vec (መ) \ ጊዜ \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$።

አሁን ቀመሩን $(1)$ እንጠቀም፡-

$[\vec(መ) \ጊዜ \vec(f)] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=$5.5.

በቬክተሮች ላይ የተገነባው ትይዩ ስፋት የእነዚህ ቬክተሮች ርዝማኔ እና በመካከላቸው ካለው የማዕዘን አንግል ምርት ጋር እኩል ነው።

ሁኔታዎቹ የእነዚህ ተመሳሳይ ቬክተሮች ርዝማኔ ሲሰጡ ጥሩ ነው. ይሁን እንጂ በቬክተሮች ላይ የተገነባው ትይዩግራም አካባቢ ቀመር መጋጠሚያዎችን በመጠቀም ስሌቶች ከተደረጉ በኋላ ብቻ ሊተገበር ይችላል.
እድለኞች ከሆኑ እና ሁኔታዎቹ የቬክተሮችን ርዝማኔ የሚሰጡ ከሆነ, በአንቀጹ ውስጥ በዝርዝር የተነጋገርነውን ቀመር ብቻ መተግበር ያስፈልግዎታል. አካባቢው ከሞጁሎች ምርት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ሳይን ጋር እኩል ይሆናል፡

በቬክተሮች ላይ የተገነባውን ትይዩ (ፓራሎሎግራም) አካባቢን ለማስላት ምሳሌን እንመልከት.

ተግባር፡-ትይዩው የተገነባው በቬክተሮች እና . ከሆነ ቦታውን ይፈልጉ እና በመካከላቸው ያለው አንግል 30° ነው።
ቬክተሮችን በእሴቶቻቸው እንግለጽ፡-

ምናልባት አንድ ጥያቄ አለዎት - ዜሮዎቹ ከየት መጡ? ከቬክተሮች ጋር እየሰራን መሆኑን ማስታወስ ጠቃሚ ነው, እና ለእነሱ . ውጤቱ አገላለጽ ከሆነ ወደ እንደሚቀየርም ልብ ይበሉ። አሁን የመጨረሻውን ስሌት እንሰራለን-

በሁኔታዎች ውስጥ የቬክተሮች ርዝማኔ ሳይገለጽ ወደ ችግሩ እንመለስ. የእርስዎ ትይዩ በካርቴሲያን አስተባባሪ ስርዓት ውስጥ ከሆነ፣ የሚከተሉትን ማድረግ ያስፈልግዎታል።

በመጋጠሚያዎች የተሰጠው የአንድ ምስል ጎኖች ርዝመት ስሌት

በመጀመሪያ, የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን እናገኛለን እና የጅማሬውን ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ከመጨረሻው መጋጠሚያዎች እንቀንሳለን. የቬክተር a መጋጠሚያዎች (x1;y1;z1) እና ቬክተር b (x3;y3;z3) ናቸው እንበል።
አሁን የእያንዳንዱን ቬክተር ርዝመት እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ, እያንዳንዱ መጋጠሚያ አራት ማዕዘን መሆን አለበት, ከዚያም የተገኘውን ውጤት እና ከ የመጨረሻ ቁጥርሥሩን ማውጣት. በእኛ ቬክተር ላይ በመመስረት የሚከተሉት ስሌቶች ይኖራሉ:


አሁን የቬክተሮቻችንን scalar ምርት ማግኘት አለብን. ይህንን ለማድረግ, ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ተባዝተው ይጨምራሉ.

የቬክተሮች ርዝመት እና ስኬር ምርታቸው ስላለን ፣ በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን እናገኛለን ። .
አሁን የተመሳሳዩን ማዕዘን ኃጢአት ማግኘት እንችላለን-
አሁን ሁሉም አስፈላጊ መጠኖች አሉን, እና ቀደም ሲል የታወቀውን ቀመር በመጠቀም በቬክተሮች ላይ የተገነባውን ትይዩ ቦታ በቀላሉ ማግኘት እንችላለን.