አንዳንድ ጊዜ በእኩልታዎች ውስጥ አንዳንድ ጥምርታዎች በተወሰኑ የቁጥር እሴቶች አልተሰጡም፣ ነገር ግን በፊደላት ይገለጻሉ።

ለምሳሌ: ax+b=c.

በዚህ እኩልታ X- ያልታወቀ, a, b, c- የተለያዩ ሊወስዱ የሚችሉ መጠኖች የቁጥር እሴቶች. በዚህ መንገድ የተገለጹት ቅንጅቶች ይባላሉ መለኪያዎች.

አንድ እኩልታ ከመለኪያዎች ጋር ብዙ እኩልታዎችን ይገልፃል (ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የመለኪያ እሴቶች)።

ምሳሌ፡-5 X+10=– 1;

x+4y= 0;

–102–1000y=; ወዘተ.

እነዚህ ሁሉ ከመለኪያዎች ጋር በቀመር የተገለጹት እኩልታዎች ናቸው። ax+b=c.

ከመለኪያዎች ጋር እኩልታን መፍታት ማለት፡-

1. በየትኞቹ የመለኪያዎች እሴቶች ላይ እኩልታው ሥሮች እንዳሉት እና ምን ያህል እንዳሉ ያመልክቱ የተለያዩ ትርጉሞችመለኪያዎች.

2. ለሥሮቹ ሁሉንም አገላለጾች ይፈልጉ እና ለእያንዳንዳቸው ይህ አገላለጽ የእኩልታውን ሥር የሚወስንበትን የመለኪያ እሴቶችን ያመልክቱ።

አስቀድመን ወደ ተሰጠው እኩልታ ከግቤቶች ጋር እንሸጋገር ax+b=cእና እንፈታዋለን.

ከሆነ ሀ¹0፣ ከዚያ https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

በ ሀ=0እና b=c፣ x- ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር;

በ ሀ=0እና ለ¹ ሐ፣እኩልታው ሥር የለውም.

ይህንን እኩልታ በመፍታት ሂደት ውስጥ የመለኪያውን ዋጋ ለይተናል ሀ=0, በቀመር ውስጥ የጥራት ለውጥ በሚከሰትበት ጊዜ, ይህንን የመለኪያ እሴት "ቁጥጥር" ብለን እንጠራዋለን. በምን አይነት እኩልነት ላይ በመመስረት, የመለኪያው "መቆጣጠሪያ" ዋጋዎች በተለየ መንገድ ይገኛሉ. የተለያዩ የእኩልታ ዓይነቶችን እንይ እና የመለኪያውን “ቁጥጥር” እሴቶችን እንዴት ማግኘት እንደምንችል እንጠቁም።

I. መስመራዊ እኩልታዎች ከመለኪያ ጋር እና ወደ መስመራዊዎቹ የሚቀነሱ እኩልታዎች

በእንደዚህ ዓይነት እኩልታዎች ውስጥ ፣ የመለኪያዎቹ “ቁጥጥር” እሴቶች ፣ እንደ ደንቡ ፣ ውህደቶቹን በዜሮ የሚያደርጉ እሴቶች ናቸው ። X.

ምሳሌ 1. : 2ሀ(ሀ–2)x=a– 2

1. “የቁጥጥር” እሴቶች ሁኔታውን የሚያሟሉ እሴቶች ናቸው-

2ሀ(ሀ–2)=0

ይህንን እኩልነት ለተለዋዋጭ እንፈታው። ሀ.

2ሀ= 0 ወይም ሀ–2= 0፣ ከየት ሀ= 0, ሀ= 2.

2. የመለኪያውን "ቁጥጥር" እሴቶችን የመጀመሪያውን እኩልታ እንፍታ.

በ ሀ= 0 0 × አለን x=– 2, ነገር ግን ይህ ለማንኛውም እውነተኛ እሴቶች ጉዳዩ አይደለም X, ማለትም, በዚህ ሁኔታ, እኩልታው ሥሮች የሉትም.

በ ሀ= 2 0 × አለን x= 0, ይህ ለማንኛውም ዋጋ እውነት ነው X, ይህም ማለት የእኩልታው ሥር ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ነው X.

3. መቼ በጉዳዩ ውስጥ የመጀመሪያውን እኩልታ እንፍታ ሀ¹ 0 እና ሀ¹ 2 ከዚያም 2 ሀ(ሀ–2)¹ 0 እና ሁለቱም የእኩልታው ጎኖች በ 2 ሊከፈሉ ይችላሉ። ሀ(ሀ-2) እናገኛለን:

ምክንያቱም ሀ¹ 2፣ ከዚያ ክፍልፋዩ በ () ሊቀነስ ይችላል። ሀ-2) ከዚያም አለን።

መልስ፡-በ ሀ= 0, ምንም ሥሮች የሉም;

በ ሀ= 2, ሥር - ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር;

በ ሀ¹ 0, ሀ¹ 2, .

አንድ ሰው የዚህ ዓይነቱን እኩልታ ለመፍታት ስልተ ቀመር መገመት ይችላል።

1. የመለኪያውን "ቁጥጥር" እሴቶችን ይወስኑ.

2. እኩልታውን ለ X, በመቆጣጠሪያ መለኪያ ዋጋዎች.

3. እኩልታውን ለ X, ከ "ቁጥጥር" በተለየ ዋጋዎች.

4. መልሱን በቅጹ ይጻፉ፡-

መልስ፡ 1) ለፓራሜትር እሴቶች...፣ እኩልታው ሥር አለው...;

2) ለፓራሜትር እሴቶች ..., እኩልታው ሥሮች አሉት ...;

3) ለፓራሜትሩ እሴቶች ... ፣ እኩልታው ሥሮች የሉትም።

ምሳሌ 2. እኩልታን በመለኪያ ይፍቱ

(ሀ 2–2ሀ+1)x=a 2+2ሀ - 3

1. የመለኪያውን የቁጥጥር ዋጋዎች ያግኙ

ሀ 2–2ሀ+1=0 Û ( ሀ–1)2=0 Û ሀ=1

2. እኩልታውን ለ ሀ= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ X- ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር.

3. እኩልታውን ለ ሀ¹ 1

ሀ 2–2ሀ+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

ምክንያቱም ሀ¹ 1, ክፍልፋዩ ሊቀንስ ይችላል

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width = "64" ቁመት = "41 src = ">.

ምሳሌ 3. እኩልታን በመለኪያ ይፍቱ

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width = "72" ቁመት = "41 src = ">.

4. መልስ፡- 1) በ ሀ= 2, ምንም ሥሮች የሉም;

2) መቼ ሀ¹ 0,ሀ¹ 2, ;

3) መቼ ሀ= 0 እኩልነት ትርጉም የለውም።

ምሳሌ 4. እኩልታን በመለኪያ ይፍቱ

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

ምክንያቱም X¹ 0 እና ሀ¹ – 2, ሒሳቡ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው።

(ሀ+3)x= 2ሀ–1

የመለኪያውን የቁጥጥር ዋጋዎችን እንፈልግ

ሀ+3= 0 Þ ሀ=– 3.

2. እኩልታውን ለ ሀ=– 3.

0× x=– 7

በማንኛውም Xእኩልነት የለም።

3. እኩልታውን ለ ሀ¹ – 3, ሀ+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û,

ስለዚህ, ለእኩል ትርጉም https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, ምንም ሥሮች የሉም;

2) መቼ ሀ¹ – 2, ሀ¹ – 3, , .

II. ኳድራቲክ እኩልታዎች ከመለኪያ ጋር እና ወደ ኳድራቲክ የሚቀነሱ እኩልታዎች

በእንደዚህ ዓይነት እኩልታዎች ውስጥ ፣ በዜሮ ዜሮ ላይ የሚፈጠረውን የመለኪያ እሴቶች ብዙውን ጊዜ እንደ “ቁጥጥር” ይወሰዳሉ። X 2, በዚህ ሁኔታ ውስጥ እኩልዮሽ መስመራዊ ስለሚሆን የመለኪያው ዋጋ ፣ ይህም የእኩልታው አድልዎ እንዲጠፋ ያደርገዋል ፣ ምክንያቱም ቁጥሩ በአድሎአዊው ዋጋ ላይ የተመሠረተ ነው። እውነተኛ ሥሮችኳድራቲክ እኩልታ.

ምሳሌ 5. እኩልታን በመለኪያ ይፍቱ

(ሀ–1)X 2+2(2ሀ+1)X+(4ሀ+3)= 0

1. ንፅፅርን በዜሮ የሚያደርጉትን የመለኪያ እሴቶችን እናገኝ X

ሀ - 1=0 Û ሀ= 1

2. እኩልታውን ለ ሀ= 1

0× X 2+2(2×1+1) X+4×1+3=0 Û 6 X+7=0 Û .

3. የእኩልታውን አድልዎ እንዲጠፋ የሚያደርገውን የመለኪያ እሴቶችን እናገኝ

ዲ=(2(2ሀ+1))2–4(ሀ–1)(4ሀ+3)=(4ሀ+1)2–(4ሀ–4)(4ሀ+3)=4(5ሀ+4)

4(5ሀ+4)=0 Û .

4. ለ እኩልታውን እንፈታው, በዚህ ሁኔታ እኩልታው አንድ እውነተኛ ሥር ይኖረዋል

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9X 2+6X+1=0 Û (3 X+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. በዚህ አጋጣሚ ዲ<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. ቀመርን ለ ሀቁጥር 1፣ https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. መልስ፡- 1) በ https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width = "51" ቁመት = "41 src = ">;

2) መቼ ሀ= 1, ;

3) ለ , ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም;

4) በ እና ሀቁጥር 1፣ https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. ጀምሮ ሀበክፍልፋይ መለያ ውስጥ ነው፣ ከዚያ እኩልታው ትርጉም ያለው የሚሆነው መቼ ነው። ሀ#0. መለያው መግለጫዎቹንም ይዟል አ2x– 2ሀእና 2- ኦ, እሱም ደግሞ ዜሮ ያልሆነ መሆን አለበት

አ2x– 2ሀ¹0 Û ሀ(ኦ-2)¹0 Û ሀ¹0, ኦ-2¹0 Û ሀ¹0, ;

2–ኦ¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">።

2. እኩልታውን ለ ሀ¹0፣ https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" ቁመት="47 src="> Û Û

(1–ሀ)X 2+2X+1+ሀ=0 ...................(*)

3. ውህደቱን ዜሮ የሚያደርገውን የመለኪያ እሴቶችን እናገኝ X 2

1–ሀ=0 Û ሀ=1

4. እኩልታ መፍታት (*) ለ ሀ=1

0× X 2+2X+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

የሚዛመድ መሆኑን ለማየት ወዲያውኑ እንፈትሽ Xከ https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">፣ ይህም ማለት መቼ ነው ሀ=1, x=– 1.

ዒላማ፡

• የስርዓቶችን መፍትሄ ይድገሙት መስመራዊ እኩልታዎችከሁለት ተለዋዋጮች ጋር
• የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ከግቤቶች ጋር ይግለጹ
• የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ከመለኪያዎች ጋር እንዴት እንደሚፈቱ ያስተምርዎታል።

በክፍሎቹ ወቅት

1. የማደራጀት ጊዜ
2. መደጋገም።
3. ማብራሪያ አዲስ ርዕስ
4. ማጠናከር
5. የትምህርቱ ማጠቃለያ
6. የቤት ስራ

2. መደጋገም።

I. መስመራዊ እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር፡-

1. መስመራዊ እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ይግለጹ

[የቅርጽ ax=b፣x ተለዋዋጭ፣ a እና b አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር መስመራዊ እኩልታ ይባላል]

2. የመስመራዊ እኩልታ ስንት ሥሮች ሊኖሩት ይችላል?

[- a=0፣ b0 ከሆነ፣ እኩልታው ምንም መፍትሄዎች የሉትም፣ x

a=0፣ b=0 ከሆነ፣ ከዚያ x R

a0 ከሆነ፣ እኩልታው ልዩ መፍትሄ አለው፣ x =

3. እኩልታው ምን ያህል ሥር እንዳለው ይወቁ (በአማራጮች መሠረት)

II. መስመራዊ እኩልታ ከ 2 ተለዋዋጮች እና ከ 2 ተለዋዋጮች ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት።

1. መስመራዊ እኩልታ በሁለት ተለዋዋጮች ይግለጹ። አንድ ምሳሌ ስጥ።

[ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት መስመራዊ እኩልታ የቅርጽ መጥረቢያ + በ = c እኩልታ ነው፣ ​​እሱም x እና y ተለዋዋጮች፣ a፣ b እና c የተወሰኑ ቁጥሮች ናቸው። ለምሳሌ x-y=5]

2. ቀመርን ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር መፍታት ምን ይባላል?

[ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ላለው እኩልታ መፍትሄው እኩልታውን ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀይሩት የተለዋዋጮች ጥንድ ጥንድ ነው።]

3. የተለዋዋጮች ጥንድ እሴት x = 7 ፣ y = 3 ለእኩል 2x + y = 17 መፍትሄ ነው?

4. በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ የአንድ እኩልታ ግራፍ ምን ይባላል?

[ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የአንድ እኩልታ ግራፍ በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ያሉት የሁሉም ነጥቦች ስብስብ መጋጠሚያዎቹ ለዚህ እኩልታ መፍትሄዎች ናቸው።]

5. የእኩልታው ግራፍ ምን እንደሆነ እወቅ፡-

[ተለዋዋጭ ከ y እስከ x: y=-1.5x+3 እንግለጽ

ቀመር y=-1.5x+3 ቀጥተኛ ተግባር ሲሆን ግራፉ ቀጥተኛ መስመር ነው። እኩልታዎቹ 3x+2y=6 እና y=-1.5x+3 እኩል ስለሆኑ፣ ይህ መስመርም የእኩልታው ግራፍ ነው 3x+2y=6]

6. የእኩልታ ax+bу=c ከተለዋዋጮች x እና y ጋር ያለው ግራፍ ምንድ ነው፣ የት a0 ወይም b0?

[ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የመስመራዊ እኩልታ ግራፍ ቢያንስ አንዱ ከተለዋዋጮች ዜሮ ያልሆነው ቀጥተኛ መስመር ነው።]

7. የእኩልታዎችን ስርዓት ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር መፍታት ምን ይባላል?

[ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሔው እያንዳንዱን የስርዓቱን እኩልነት ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀይር ጥንድ ጥንድ እሴት ነው]

8. የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ማለት ምን ማለት ነው?

[የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ማለት ሁሉንም መፍትሄዎች መፈለግ ወይም መፍትሄ አለመኖሩን ማረጋገጥ ማለት ነው።]

9. እንደዚህ አይነት ስርዓት ሁልጊዜ መፍትሄዎች እንዳሉት እና እንደዚያ ከሆነ, ስንት (በግራፊክ) ይወቁ.

10. የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ስንት መፍትሄዎች ሊኖሩት ይችላል?

[መፍትሔው መስመሮቹ ከተጣመሩ ብቻ ነው; መስመሮቹ ትይዩ ከሆኑ መፍትሄዎች የሉትም; መስመሮቹ ከተገጣጠሙ እጅግ በጣም ብዙ ናቸው]

11. ብዙውን ጊዜ ቀጥተኛ መስመርን የሚገልጸው የየትኛው እኩልታ ነው?

12. በአንግል ኮፊፊሸንት እና በነጻ ቃላት መካከል ግንኙነት መፍጠር፡-

አማራጭ I፡ y=-x+2 y= -x-3፣ k 1 = k 2, b 1 b 2, ምንም መፍትሄዎች የሉም;

አማራጭ II፡- y=-x+8 y=2x-1፣ k 1 k 2, አንድ መፍትሄ;

አማራጭ III፡ y=-x-1 y=-x-1፣ k 1 = k 2, b 1 = b 2, ብዙ መፍትሄዎች.

ማጠቃለያ፡-

1. ከሆነ ተዳፋትየእነዚህ ተግባራት ግራፎች የሆኑ መስመሮች የተለያዩ ናቸው, ከዚያም እነዚህ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ እና ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው.
2. የመስመሮቹ የማዕዘን ጥምርታዎች ተመሳሳይ ከሆኑ እና ከ y-ዘንግ ጋር ያለው የመገናኛ ነጥቦች የተለያዩ ናቸው, ከዚያም መስመሮቹ ትይዩ ናቸው, እና ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም.
3. የማዕዘን ጥምርታዎች እና ከ y ዘንግ ጋር ያለው መገናኛ ነጥብ ተመሳሳይ ከሆኑ መስመሮቹ አንድ ላይ ሲሆኑ ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው ብዙ መፍትሄዎች አሉት።

በቦርዱ ላይ መምህሩ እና ተማሪዎች ቀስ በቀስ የሚሞሉበት ጠረጴዛ አለ።

III. ስለ አዲስ ርዕስ ማብራሪያ.

ፍቺ: ስርዓትን ይመልከቱ

• A 1 x+B 1 y=C
• ሀ 2 x+B 2 y=C 2

A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 በመለኪያዎች ላይ የተመሰረቱ አገላለጾች ሲሆኑ x እና y የማይታወቁ ሲሆኑ የሁለት መስመራዊ ስርዓት ይባላል. የአልጀብራ እኩልታዎችከሁለት የማይታወቁ መለኪያዎች ጋር.

የሚከተሉት ሁኔታዎች ሊኖሩ ይችላሉ:

1) ከሆነ, ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው

2) ከሆነ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም

3) ከሆነ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች አሉት።

IV. ማጠናከር

ምሳሌ 1.

ስርዓቱ በየትኛው የመለኪያ እሴቶች ይሠራል

• 2x - 3ይ = 7
• አህ - 6y = 14

ሀ) አለው ማለቂያ የሌለው ስብስብውሳኔዎች;

ለ) ልዩ መፍትሄ አለው

መልስ፡-

ሀ) a=4 ከሆነ ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት።

ለ) ከሆነ ሀ4, ከዚያም አንድ መፍትሄ ብቻ ነው.

ምሳሌ 2.

የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

መፍትሄ፡- ሀ)፣ ማለትም፣ ለ m1 ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

ለ) ማለትም እ.ኤ.አ. ለ m=1 (2=m+1) እና n1 ዋናው ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም።

ሐ) ፣ ለ m=1 እና n=1 ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች አሉት።

መልስ፡ ሀ) m=1 እና n1 ከሆነ ምንም መፍትሄዎች የሉም

b) m=1 እና n=1, ከዚያም መፍትሄው ማለቂያ የሌለው ስብስብ ነው

• y - ማንኛውም
• x=n-2y

ሐ) m1 እና n ካሉ ፣ ከዚያ

ምሳሌ 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

መፍትሄ፡- ከቁጥር II x = 1-аy እና ተተኪ እኩልታ Iን ወደ ቀመር እናገኛለን

а (1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮች፡-

1) a=0 ከዚያ እኩልታው 0*y=3 [y] ይመስላል

ስለዚህ, ለ a=0 ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም

2) a=-3 ከዚያ 0*y=0።

ስለዚህ፣ y. በዚህ ሁኔታ x=1-ау=1+3у

3) a0 እና a-3. ከዚያ y=-፣ x=1-a(-=1+1=2)

መልስ፡-

1) a=0 ከሆነ (x; y)

2) a=-3 ከሆነ፣ ከዚያ x=1+3y፣ y

3) ከሆነ ሀ0 እና a?-3፣ ከዚያ x=2፣ y=-

ሁለተኛውን የመፍትሄ ዘዴን እንመልከት (1)።

ስርዓት (1) የአልጀብራ የመደመር ዘዴን ተጠቅመን እንፍታ፡ በመጀመሪያ የስርአቱን የመጀመሪያ እኩልታ በ B 2 ፣ ሁለተኛው በ B 1 እናባዛለን እና እነዚህን እኩልታዎች በ ቃል እንጨምር ፣ እና ተለዋዋጭውን y ያስወግዳል።

ምክንያቱም A 1 B 2 -A 2 B 1 0፣ ከዚያም x =

አሁን ተለዋዋጭ xን እናስወግድ. ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን የስርዓት (1) እኩልታ በ A 2 እና ሁለተኛውን በ 1 ማባዛት እና ሁለቱንም እኩልታዎች በቃላት ይጨምሩ።

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1C 2
• y (A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2C 1 -A 1C 2

ምክንያቱም A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

ለመፍትሄ ስርዓት (1) ምቾት የሚከተለውን ማስታወሻ እናስተዋውቃለን-

- ዋና መወሰኛ

አሁን የስርዓት (1) መፍትሄ ወሳኞችን በመጠቀም ሊፃፍ ይችላል፡-

የተሰጡት ቀመሮች ክሬመር ቀመሮች ይባላሉ።

ከሆነ፣ ሥርዓት (1) ልዩ መፍትሔ አለው፡ x=; y=

ከሆነ ፣ ወይም ፣ ከዚያ ስርዓት (1) ምንም መፍትሄዎች የላቸውም

ከሆነ፣፣፣፣፣ ከዚያ ስርዓት (1) ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ቁጥር አለው።

በዚህ ሁኔታ ስርዓቱን የበለጠ መመርመር ያስፈልጋል. በዚህ ሁኔታ, እንደ አንድ ደንብ, ወደ አንድ መስመራዊ እኩልነት ይቀንሳል. በዚህ ሁኔታ ስርዓቱን በሚከተለው መንገድ ለማጥናት ብዙውን ጊዜ ምቹ ነው-እኩልታውን በመፍታት የተወሰኑ መለኪያዎችን እናገኛለን ወይም ከሌሎቹ አንፃር አንዱን መመዘኛ እንገልፃለን እና እነዚህን የመለኪያ እሴቶችን በመተካት ስርዓቱ. ከዚያም የተወሰኑ የቁጥር መለኪያዎች ወይም አነስተኛ ቁጥር ያላቸው መለኪያዎች ያለው ስርዓት እናገኛለን, እሱም ማጥናት አለበት.

የስርዓቱ አሃዞች A 1, A 2, B 1, B 2 በበርካታ መመዘኛዎች ላይ የሚመረኮዙ ከሆነ የስርዓቱን መለኪያዎችን በመጠቀም ስርዓቱን ለማጥናት ምቹ ነው.

ምሳሌ 4.

ለሁሉም የመለኪያ ሀ እሴቶች ፣ የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

መፍትሒ፡ ንስርዓተ-ኣእምሮኣውን ወሳኒ ምዃን ንፈልጥ።

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

ለ ተግባራት ከመለኪያ ጋርሊያካትት ይችላል, ለምሳሌ, ለመስመር እና መፍትሄዎች ፍለጋ ኳድራቲክ እኩልታዎችቪ አጠቃላይ እይታ, በመለኪያው ዋጋ ላይ በመመስረት የሚገኙትን የስርወ-ቁጥር ብዛት ስሌት ጥናት.

ዝርዝር ፍቺዎችን ሳይሰጡ፣ የሚከተሉትን እኩልታዎች እንደ ምሳሌ ያስቡ።

y = kx፣ x፣ y ተለዋዋጮች ሲሆኑ፣ k መለኪያ ነው;

y = kx + b፣ የት x፣ y ተለዋዋጮች፣ k እና b መለኪያዎች ናቸው፤

ax 2 + bx + c = 0፣ x ተለዋዋጮች ሲሆኑ፣ a፣ b እና c መለኪያ ናቸው።

እኩልነት (እኩልነት ፣ ስርዓት) በመለኪያ መፍታት ማለት እንደ አንድ ደንብ ማለቂያ የሌለውን የእኩልታዎች ስብስብ መፍታት ማለት ነው (እኩልነቶች ፣ ሥርዓቶች)።

ከመለኪያ ጋር ያሉ ተግባራት በሁለት ዓይነቶች ሊከፈሉ ይችላሉ-

ሀ)ሁኔታው እንዲህ ይላል-እኩልታውን መፍታት (እኩልነት ፣ ስርዓት) - ይህ ማለት ለሁሉም የመለኪያ እሴቶች ሁሉንም መፍትሄዎች ያግኙ። ቢያንስ አንድ ጉዳይ ሳይመረመር ከቀጠለ, እንዲህ ዓይነቱ መፍትሔ አጥጋቢ ተደርጎ ሊወሰድ አይችልም.

ለ)እኩልታ (እኩልነት ፣ ስርዓት) የተወሰኑ ንብረቶች ያሉትበትን የመለኪያው ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችን ማመልከት ያስፈልጋል። ለምሳሌ አንድ መፍትሔ አለው፣ መፍትሔ የለውም፣ መፍትሔ አለው፣ የክፍተቱ አካል የሆነወዘተ በእንደዚህ ያሉ ተግባራት ውስጥ, አስፈላጊው ሁኔታ በምን አይነት መለኪያ እሴት ላይ በግልጽ ማመልከት አስፈላጊ ነው.

መለኪያው ያልታወቀ ቋሚ ቁጥር በመሆኑ ልዩ ድርብ አይነት አለው። በመጀመሪያ ደረጃ, የታሰበው ተወዳጅነት መለኪያው እንደ ቁጥር መቆጠር እንዳለበት የሚያመለክት መሆኑን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል. በሁለተኛ ደረጃ, መለኪያውን የመጠቀም ነፃነት በጨለመበት የተገደበ ነው. ለምሳሌ መለኪያን በያዘ አገላለጽ የመከፋፈል ወይም ሥሩን የማውጣት ክዋኔዎች ዲግሪ እንኳንከእንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ የመጀመሪያ ጥናት ያስፈልገዋል. ስለዚህ, መለኪያውን ሲይዙ ጥንቃቄ ያስፈልጋል.

ለምሳሌ፣ ሁለት ቁጥሮችን -6a እና 3aን ለማነጻጸር፣ ሶስት ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አለብህ።

1) -6a አሉታዊ ቁጥር ከሆነ ከ 3a የበለጠ ይሆናል;

2) -6a = 3a በጉዳዩ ላይ a = 0;

3) -6a አወንታዊ ቁጥር 0 ከሆነ ከ3a ያነሰ ይሆናል።

መፍትሄው መልስ ይሆናል.

እኩልታው kx = b ይስጥ። ይህ እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ላልተወሰነ የእኩልታዎች ቁጥር አጭር ቅጽ ነው።

እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች በሚፈታበት ጊዜ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ-

1. k ከዜሮ ጋር የማይተካከል ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ይሁን እና b ከ R ማንኛውም ቁጥር ይሁን ከዚያም x = b/k።

2. K = 0 እና b ≠ 0, ዋናው እኩልታ 0 x = b ቅጽ ይወስዳል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ እኩልነት ምንም መፍትሄዎች የለውም.

3. K እና b ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ቁጥሮች ይሁኑ, ከዚያም እኩልነት 0 x = 0 አለን. የእሱ መፍትሄ ማንኛውም ትክክለኛ ቁጥር ነው.

የዚህ ዓይነቱን እኩልታ ለመፍታት ስልተ ቀመር፡-

1. የመለኪያውን "ቁጥጥር" እሴቶችን ይወስኑ.

2. በመጀመሪያው አንቀጽ ላይ ለተወሰኑት የመለኪያ እሴቶች ለ x የመጀመሪያውን እኩልታ ይፍቱ።

3. በመጀመሪያው አንቀጽ ላይ ከተመረጡት የሚለየውን ለ x የመጀመሪያውን እኩልታ ይፍቱ።

4. መልሱን በሚከተለው ፎርም መፃፍ ይችላሉ።

1) ለ ... (የመለኪያ እሴቶች) ፣ እኩልታው ሥሮች አሉት ...;

2) ለ ... (የመለኪያ እሴቶች) ፣ በቀመር ውስጥ ምንም ሥሮች የሉም።

ምሳሌ 1.

እኩልታውን በመለኪያው ይፍቱ |6 – x| = ሀ.

መፍትሄ።

እዚህ ≥ 0 ማየት ቀላል ነው።

በሞጁል 6 - x = ± a ህግ መሰረት x:

መልስ፡- x = 6 ± a፣ የት a ≥ 0።

ምሳሌ 2.

ከተለዋዋጭ x ጋር እኩልቱን a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 ፍታ።

መፍትሄ።

ቅንፎችን እንክፈተው፡ aх – а + 2х – 2 = 0

ቀመርን በመደበኛ ፎርም እንፃፍ፡ x(a + 2) = a + 2።

አ + 2 የሚለው አገላለጽ ዜሮ ካልሆነ፣ ማለትም፣ ≠ -2 ከሆነ፣ መፍትሄው x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2) አለን። x = 1.

አንድ + 2 ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ማለትም. a = -2፣ ከዚያ ትክክለኛ እኩልነት አለን 0 x = 0፣ ስለዚህ x ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ነው።

መልስ፡- x = 1 ለ ≠ -2 እና x € R ለ = -2።

ምሳሌ 3.

ከተለዋዋጭ x አንጻር ያለውን እኩልታ x/a + 1 = a + x ፍታ።

መፍትሄ።

a = 0 ከሆነ፣ እኩልታውን ወደ ቅጽ a + x = a 2+ ax ወይም (a – 1) x = -a (a – 1) እንለውጣለን:: ለ a = 1 የመጨረሻው እኩልታ 0 x = 0 አለው, ስለዚህ x ማንኛውም ቁጥር ነው.

≠ 1 ከሆነ፣ የመጨረሻው ቀመር x = -a የሚለውን ቅጽ ይወስዳል።

ይህ መፍትሔ በአስተባባሪ መስመር ላይ ሊገለጽ ይችላል (ምስል 1)

መልስ: ለ a = 0 ምንም መፍትሄዎች የሉም; x - ማንኛውም ቁጥር ከ a = 1 ጋር; x = -a ለ ≠ 0 እና ≠ 1።

ስዕላዊ ዘዴ

እኩልታዎችን በመለኪያ ለመፍታት ሌላ መንገድ እናስብ - በግራፊክ። ይህ ዘዴ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

ምሳሌ 4.

እንደ ፓራሜትር ሀ፣ ቀመር ስንት ስሮች ይሰራል ||x| – 2| = ሀ?

መፍትሄ።

ለመፍትሄዎች ስዕላዊ ዘዴየተግባር ግራፎችን ይገንቡ y = ||x| – 2| እና y = a (ምስል 2).

ስዕሉ የቀጥታ መስመር y = a ቦታ እና በእያንዳንዳቸው ውስጥ ያሉ ስሮች ቁጥር ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮችን በግልፅ ያሳያል።

መልስ፡- እኩልታው ሥር አይኖረውም ሀ< 0; два корня будет в случае, если a >2 እና a = 0; እኩልታው በ a = 2 ጉዳይ ላይ ሶስት ሥሮች ይኖረዋል. አራት ሥሮች - በ 0< a < 2.

ምሳሌ 5.

በምን አይነት እኩልታ ነው 2|x| + |x – 1| = አንድ ነጠላ ሥር አለው?

መፍትሄ።

የተግባራቶቹን ግራፎች እናሳይ y = 2|x| + |x – 1| እና y = a. ለ y = 2|x| + |x – 1|፣ ክፍተቱን ዘዴ በመጠቀም ሞጁሎቹን በማስፋት እናገኛለን፡-

(-3x + 1፣ በ x< 0,

y = (x + 1፣ ለ 0 ≤ x ≤ 1፣

(3x – 1፣ ለ x > 1።

በርቷል ምስል 3በግልጽ የሚታየው እኩልታው ነጠላ ሥር ያለው a = 1 ሲሆን ብቻ ነው።

መልስ፡ a = 1

ምሳሌ 6.

ለእኩል |x + 1| የመፍትሄዎች ብዛት ይወስኑ + |x + 2| = a እንደ መለኪያው ይወሰናል a?

መፍትሄ።

የተግባሩ ግራፍ y = |x + 1| + |x + 2| የተሰበረ መስመር ይሆናል. ጫፎቹ በነጥቦች (-2፤ 1) እና (-1፤ 1) ይገኛሉ። (ምስል 4).

መልስ: መለኪያ a ከአንድ ያነሰ ከሆነ, እኩልታው ሥሮች አይኖራቸውም; a = 1 ከሆነ, ከዚያም ወደ እኩልታው መፍትሄው ከክፍለ ጊዜው ውስጥ ያልተገደበ የቁጥሮች ስብስብ ነው [-2; -1]; የመለኪያ a እሴቶች ከአንድ በላይ ከሆኑ ፣ ከዚያ እኩልታው ሁለት ሥሮች ይኖረዋል።

አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? እኩልታዎችን በመለኪያ እንዴት እንደሚፈቱ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት -.
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!

blog.site፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ዋናው ምንጭ ማገናኛ ያስፈልጋል።

የእኩልታዎችን ስርዓት በመለኪያ እንፍታ (A. Larin፣ አማራጭ 98)

የመለኪያውን ሁሉንም እሴቶች ይፈልጉ ፣ ለእያንዳንዳቸው ስርዓቱ

በትክክል አንድ መፍትሔ አለው.

ስርዓቱን ጠለቅ ብለን እንመርምር። በስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ, የግራ በኩል ነው, እና የቀኝ ጎን በመለኪያው ላይ የተመካ አይደለም. ያም ማለት, ይህንን እኩልነት እንደ የተግባር እኩልነት ልንቆጥረው እንችላለን

እና ይህን ተግባር ማቀድ እንችላለን.

የስርዓቱ ሁለተኛ እኩልታ

በመለኪያው ላይ የተመሰረተ ነው, እና በግራ በኩል በግራ በኩል በማጉላት ፍጹም ካሬ, የክበብ እኩልታ እናገኛለን.

ስለዚህ የእያንዳንዱን እኩልታ ግራፎችን ማቀድ እና እነዚህ ግራፎች አንድ የመገናኛ ነጥብ ምን ያህል ዋጋ እንዳላቸው ማየት ጠቃሚ ነው።

በመጀመሪያው እኩልታ እንጀምር። በመጀመሪያ, ሞጁሎችን እንከፍት. ይህንን ለማድረግ ምልክቱ የሚቀየርባቸውን ነጥቦች ለማግኘት እያንዳንዱን ንዑስ ሞዱል አገላለጽ ከዜሮ ጋር እናነፃፅራለን።

የመጀመሪያው ንዑስ ሞዱላር አገላለጽ በ, ሁለተኛው - በ ላይ ይለውጣል.

እነዚህን ነጥቦች በአስተባባሪ መስመር ላይ እናስቀምጣቸው እና የእያንዳንዱን ንዑስ ሞዱላር አገላለጽ ምልክቶች በእያንዳንዱ ክፍተት ላይ እናገኛለን።

ለ እና እኩልታው ትርጉም አይሰጥም፣ ስለዚህ እነዚህን ነጥቦች እንበዳለን።

አሁን በእያንዳንዱ ክፍተት ላይ ሞጁሎችን እናስፋፋ. (አስታውስ፡ ንዑስ ሞዱላር አገላለጽ ከዜሮ የሚበልጥ ወይም እኩል ከሆነ፣ ሞጁሉን በተመሳሳይ ምልክት እናሰፋዋለን፣ እና ከዜሮ ያነሰ ከሆነ፣ ከዚያ በተቃራኒው ምልክት።)

ሁለቱም ንዑስ ሞዱል አገላለጾች አሉታዊ ናቸው፣ ስለዚህ ሁለቱንም ሞጁሎች በተቃራኒው ምልክት እናሰፋለን፡-

ማለትም ዋናው ተግባር ቅጹ ሲኖረው ነው።

በዚህ ጊዜ ውስጥ የመጀመሪያው ንዑስ ሞዱል አገላለጽ አሉታዊ ነው, ሁለተኛው ደግሞ አዎንታዊ ነው, ስለዚህ እናገኛለን:

- ተግባሩ በዚህ ክፍተት ውስጥ የለም.

3. title="x>2">!}

በዚህ ክፍተት፣ ሁለቱም ንዑስ ሞዱል አገላለጾች አዎንታዊ ናቸው፣ ሁለቱንም ሞጁሎች በተመሳሳይ ምልክት እናሰፋለን። እናገኛለን፡-

ይኸውም በርዕስ = "x>2"> исходная функция имеет вид !}

ስለዚህ, የተግባሩን ግራፍ አግኝተናል

አሁን ሁለተኛውን እኩልታ እንመልከት፡-

በቀመርው በግራ በኩል አንድ ሙሉ ካሬን እንምረጥ፤ ይህንን ለማድረግ ቁጥሩን 4 ን በሁለቱም በኩል ወደ እኩልታው ጎን ይጨምሩ።

ለአንድ የተወሰነ የመለኪያ እሴት, የዚህ እኩልታ ግራፍ በአንድ ነጥብ ላይ መሃከል ያለው ክብ ነው መጋጠሚያዎች , ራዲየስ 5. ለ የተለያዩ ትርጉሞችተከታታይ ክበቦች አሉን

የመጀመሪያውን ተግባር በግራ በኩል በግራ በኩል እስኪነካ ድረስ ክብውን ከታች ወደ ላይ እናንቀሳቅሳለን. በሥዕሉ ላይ ይህ ክበብ ቀይ ነው. የዚህ ክበብ ማእከል ነጥብ ነው, መጋጠሚያዎቹ (-2; -3) ናቸው. በተጨማሪም, ወደ ላይ በሚንቀሳቀስበት ጊዜ, ክበቡ በግራ በኩል ካለው የተግባር ግራፍ ጋር አንድ መገናኛ ነጥብ አለው, ማለትም, ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

የመጀመሪያውን ተግባር በግራፍ በቀኝ በኩል እስኪነካ ድረስ ክብ ወደ ላይ ማንቀሳቀስ እንቀጥላለን. ይህ የሚሆነው የክበቡ መሃከል ከመጋጠሚያዎች ጋር (-2; 0) ነጥብ ላይ ሲሆን - በሥዕሉ ላይ ይህ ክበብ ሰማያዊ ነው.

ወደ ላይ የበለጠ በሚንቀሳቀስበት ጊዜ, ክብ የመጀመሪያው ተግባር ግራፍ ግራ እና ቀኝ ሁለቱንም ክፍሎች ያቋርጣል, ማለትም, ክበብ ከመጀመሪያው ተግባር ግራፍ ጋር ሁለት መገናኛ ነጥብ ይኖረዋል, እና ስርዓቱ ሁለት መፍትሄዎች ይኖረዋል. ይህ ሁኔታ የክበቡ መሃከል መጋጠሚያዎች (-2; 5) ነጥብ ላይ እስኪሆን ድረስ ይቀጥላል - ይህ ክበብ አረንጓዴ ነው. በዚህ ጊዜ ክበቡ በግራፉ ግራ በኩል ይነካዋል እና በቀኝ በኩል ያቋርጣል. ማለትም ስርዓቱ አንድ መፍትሄ አለው።

ስለዚህ, ሲስተሙ ልዩ መፍትሄ አለው(-3;0) \ ተለዋዋጮች ሲሆኑ \\ ግቤት ነው;

\[y = kx + b,\] \\ ተለዋዋጮች ሲሆኑ, \ መለኪያ ነው;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] ተለዋዋጭ ሲሆን \[а, b, с\] መለኪያ ነው.

ቀመርን በመለኪያ መፍታት ማለት እንደ አንድ ደንብ ማለቂያ የሌለውን የእኩልታዎች ስብስብ መፍታት ማለት ነው።

ሆኖም ፣ አንድ የተወሰነ ስልተ ቀመር በመከተል የሚከተሉትን እኩልታዎች በቀላሉ መፍታት ይችላሉ-

1. የመለኪያውን "ቁጥጥር" እሴቶችን ይወስኑ.

2. የመጀመሪያውን እኩልታ ለ [\ x\] በመጀመሪያው አንቀጽ ላይ ከተገለጹት የመለኪያ እሴቶች ጋር ይፍቱ።

3. በመጀመሪያው አንቀጽ ላይ ከተመረጡት የተለየ ለ[\ x\] የመጀመሪያውን እኩልታ ይፍቱ።

የሚከተለው እኩልነት ተሰጥቶናል እንበል፡-

\[\መካከለኛ 6 - x \mid = a.\]

የመነሻውን መረጃ ከመረመርን በኋላ፣ \[\ge 0.\] እንደሆነ ግልጽ ነው።

በሞጁሉስ ህግ መሰረት \ እንገልፃለን \

መልስ፡- \የት

በመስመር ላይ ከመለኪያ ጋር እኩልታን የት መፍታት እችላለሁ?

በድረ-ገፃችን https://site ላይ እኩልታውን መፍታት ይችላሉ. ነፃው የመስመር ላይ ፈላጊ በመስመር ላይ ማንኛውንም ውስብስብነት በሰከንዶች ጊዜ ውስጥ እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። የሚያስፈልግህ ነገር በቀላሉ ውሂብህን ወደ ፈላጊው ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው. እንዲሁም የቪዲዮ መመሪያዎችን ማየት እና በድረ-ገፃችን ላይ ያለውን እኩልታ እንዴት እንደሚፈቱ መማር ይችላሉ. እና አሁንም ጥያቄዎች ካሉዎት በ VKontakte ቡድናችን http://vk.com/pocketteacher ውስጥ ሊጠይቋቸው ይችላሉ። ቡድናችንን ይቀላቀሉ ፣ እርስዎን ለመርዳት ሁል ጊዜ ደስተኞች ነን።