መፍትሄእኛ የምናደርገው ካልኩሌተር በመጠቀም ነው። የተራዘሙትን እና ዋና ማትሪክቶችን እንፃፍ፡- 
ዋናው ማትሪክስ A በነጠብጣብ መስመር ተለያይቷል።በስርአቱ እኩልታዎች ውስጥ ያሉትን የቃላቶች መልሶ ማደራጀት ከግምት ውስጥ በማስገባት ያልታወቁ ስርዓቶችን ከላይ እንጽፋለን። የተራዘመውን ማትሪክስ ደረጃ በመወሰን, በተመሳሳይ ጊዜ ዋናውን ደረጃ እናገኛለን. በማትሪክስ B, የመጀመሪያው እና ሁለተኛው አምዶች ተመጣጣኝ ናቸው. ከሁለቱ ተመጣጣኝ አምዶች ውስጥ አንድ ብቻ በመሠረታዊ ጥቃቅን ውስጥ ሊወድቅ ይችላል, ስለዚህ እንንቀሳቀስ, ለምሳሌ, ከነጥብ መስመር ባሻገር የመጀመሪያውን አምድ በተቃራኒው ምልክት. ለስርዓቱ፣ ይህ ማለት ቃላትን ከ x 1 ወደ እኩልታዎች በቀኝ በኩል ማስተላለፍ ማለት ነው። 
ማትሪክስ ወደዚህ እንቀንስ የሶስት ማዕዘን እይታ. እኛ የምንሰራው በረድፎች ብቻ ነው, ምክንያቱም የማትሪክስ ረድፎችን ከዜሮ በተለየ ቁጥር በማባዛት እና ለስርዓቱ ወደ ሌላ ረድፍ መጨመር ማለት እኩልታውን በተመሳሳይ ቁጥር ማባዛትና በሌላ ቀመር መጨመር ነው, ይህ ደግሞ የመፍትሄውን መፍትሄ አይቀይርም. ስርዓት. ከመጀመሪያው ረድፍ ጋር እንሰራለን-የማትሪክስ የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-3) ማባዛት እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው ረድፎች ላይ በቅደም ተከተል እንጨምራለን. ከዚያም የመጀመሪያውን መስመር በ (-2) በማባዛት ወደ አራተኛው ይጨምሩ. 
ሁለተኛው እና ሦስተኛው መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው, ስለዚህ, ከመካከላቸው አንዱ, ለምሳሌ ሁለተኛው, ሊሻገር ይችላል. ይህ የሦስተኛው ውጤት ስለሆነ የስርዓቱን ሁለተኛ እኩልታ ከማቋረጥ ጋር እኩል ነው። 
አሁን ከሁለተኛው መስመር ጋር እንሰራለን: በ (-1) ማባዛት እና ወደ ሶስተኛው እንጨምራለን. 
በነጥብ መስመር የተከበበው ትንሹ አለው። ከፍተኛ ትዕዛዝ(ከሚቻሉት ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች) እና ዜሮ ያልሆነ (በዋናው ዲያግናል ላይ ካሉት ንጥረ ነገሮች ምርት ጋር እኩል ነው) እና ይህ ትንሽ የሁለቱም የዋናው ማትሪክስ እና የተዘረጋው ነው ፣ ስለሆነም rangA = rangB = 3።
አናሳ 
መሰረታዊ ነው። ለማይታወቁት ጥምርታዎችን ያካትታል x 2፣ x 3፣ x 4፣ ይህም ማለት ያልታወቁት x 2፣ x 3፣ x 4 ጥገኛ ናቸው፣ እና x 1፣ x 5 ነጻ ናቸው ማለት ነው።
ማትሪክስ እንለውጠው፣ በግራ በኩል ያለውን ትንሽ ብቻ በመተው (ከላይ ካለው የመፍትሄው ስልተ ቀመር ነጥብ 4 ጋር ይዛመዳል)። 
የዚህ ማትሪክስ ቅንጅቶች ያለው ስርዓት ከዋናው ስርዓት ጋር እኩል ነው እና ቅጹ አለው።
x 4 =3-4x 5፣ x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
ጥገኛ ተለዋዋጮችን x 2፣ x 3፣ x 4ን የሚገልጹ ግንኙነቶችን በነጻዎቹ x 1 እና x 5 በኩል አግኝተናል፣ ማለትም፣ አጠቃላይ መፍትሄ አግኝተናል።
ማንኛቸውም እሴቶችን ለነጻ ያልታወቁ ሰዎች በመመደብ፣ ማንኛውንም ልዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን። ሁለት ልዩ መፍትሄዎችን እንፈልግ፡-
1) x 1 = x 5 = 0, ከዚያም x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1 ፣ x 5 = -1 ፣ ከዚያ x 2 = 4 ፣ x 3 = -7 ፣ x 4 = 7 አስቀምጡ።
ስለዚህ, ሁለት መፍትሄዎች ተገኝተዋል (0,1,-3,3,0) - አንድ መፍትሄ, (1,4,-7,7,-1) - ሌላ መፍትሄ.
ምሳሌ 2. ተኳኋኝነትን ያስሱ፣ ለስርዓቱ አጠቃላይ እና አንድ የተለየ መፍትሄ ያግኙ 
መፍትሄ. በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ አንድ እንዲኖራቸው የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን እኩልታዎች እንደገና እናስተካክል እና ማትሪክስ B ን እንፃፍ። 
ከመጀመሪያው ረድፍ ጋር በመስራት በአራተኛው ረድፍ ዜሮዎችን እናገኛለን: 
አሁን ሁለተኛውን መስመር በመጠቀም በሶስተኛው ዓምድ ውስጥ ዜሮዎችን እናገኛለን: 
ሦስተኛው እና አራተኛው መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው ፣ ስለሆነም ከመካከላቸው አንዱ ደረጃውን ሳይቀይሩ ሊሻገር ይችላል-
ሶስተኛውን መስመር በ (–2) በማባዛት ወደ አራተኛው ጨምረው፡- 
የዋና እና የተራዘሙ ማትሪክስ ደረጃዎች ከ 4 ጋር እኩል መሆናቸውን እናያለን ፣ እና ደረጃው ከማያውቁት ብዛት ጋር ይዛመዳል ፣ ስለሆነም ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው ።
-x 1 = -3 → x 1 = 3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5።
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11።
ምሳሌ 3. የተኳሃኝነት ስርዓቱን ይፈትሹ እና ካለ መፍትሄ ይፈልጉ። 
መፍትሄ. የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንሰራለን. 
በላይኛው ግራ ጥግ ላይ 1 እንዲኖር የመጀመሪያዎቹን ሁለት እኩልታዎች እንደገና እናስተካክላለን።
የመጀመሪያውን መስመር በ (-1) ማባዛት፣ ወደ ሶስተኛው መጨመር፡- 
ሁለተኛውን መስመር በ (-2) ያባዙትና ወደ ሦስተኛው ያክሉት፡- 
ስርዓቱ የማይጣጣም ነው, ምክንያቱም በዋናው ማትሪክስ ውስጥ ዜሮዎችን ያካተተ ረድፍ ተቀብለናል, ይህም ደረጃው ሲገኝ ይሻገራል, ነገር ግን በተዘረጋው ማትሪክስ ውስጥ የመጨረሻው ረድፍ ይቀራል, ማለትም r B> r A .
የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ. ይህን የእኩልታዎች ስርዓት ለተኳሃኝነት መርምር እና ማትሪክስ ካልኩለስን በመጠቀም ፍታው።
መፍትሄ
ለምሳሌ. የስርዓት ተኳሃኝነትን ያረጋግጡ መስመራዊ እኩልታዎችእና በሁለት መንገዶች ይፍቱ: 1) የጋውስ ዘዴ; 2) የክሬመር ዘዴ. (መልሱን በቅጹ አስገባ፡ x1፣x2፣x3)
መፍትሄ :doc :doc :xls
መልስ፡- 2,-1,3.
ለምሳሌ. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል. ተኳሃኝነትን ያረጋግጡ። የስርዓቱን አጠቃላይ መፍትሄ እና አንድ የተለየ መፍትሄ ያግኙ.
መፍትሄ
መልስ፡- x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ. የእያንዳንዱን ስርዓት አጠቃላይ እና ልዩ መፍትሄዎችን ያግኙ.
መፍትሄ።ይህንን ስርዓት በ Kronecker-Capelli theorem በመጠቀም እናጠናለን.
የተራዘሙትን እና ዋና ማትሪክቶችን እንፃፍ፡-
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
እዚህ ማትሪክስ A በደማቅ ጎልቶ ይታያል።
ማትሪክስ ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርፅ እንቀንስ። እኛ የምንሰራው በረድፎች ብቻ ነው, ምክንያቱም የማትሪክስ ረድፎችን ከዜሮ በተለየ ቁጥር በማባዛት እና ለስርዓቱ ወደ ሌላ ረድፍ መጨመር ማለት እኩልታውን በተመሳሳይ ቁጥር ማባዛትና በሌላ ቀመር መጨመር ነው, ይህ ደግሞ የመፍትሄውን መፍትሄ አይቀይርም. ስርዓት.
1ኛውን መስመር በ(3) እናባዛው ። ሁለተኛውን መስመር በ (-1) ማባዛት። 2ኛውን መስመር ወደ 1ኛው እንጨምር፡-
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
2ተኛውን መስመር በ(2) እናባዛው ። 3ተኛውን መስመር በ (-3) ማባዛት። 3ተኛውን መስመር ወደ 2ኛው እንጨምር፡-
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
ሁለተኛውን መስመር በ (-1) ማባዛት። 2ኛውን መስመር ወደ 1ኛው እንጨምር፡-
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
የተመረጠው ለአካለ መጠን ያልደረሰው ከፍተኛው ቅደም ተከተል አለው (ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች) እና ዜሮ ያልሆነ (በተቃራኒው ዲያግናል ላይ ካሉት ንጥረ ነገሮች ምርት ጋር እኩል ነው) እና ይህ ትንሽ የሁለቱም የዋናው ማትሪክስ እና የተዘረጋው ነው ፣ ስለሆነም ጮኸ( ሀ) = ሬንግ (ቢ) = 3 የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ስለሆነ ፣ ከዚያ ስርዓቱ የትብብር ነው.
ይህ ትንሽ መሠረታዊ ነው. ለማይታወቁት ጥምርታዎችን ያካትታል x 1, x 2, x 3, ይህም ማለት ያልታወቁ x 1, x 2, x 3 ጥገኛ ናቸው (መሰረታዊ) እና x 4, x 5 ነፃ ናቸው.
በግራ በኩል ያለውን ትንሽ ብቻ በመተው ማትሪክስ እንለውጠው።
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
ያልታወቁ ነገሮችን የማስወገድ ዘዴን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን-
ጥገኛ ተለዋዋጮችን x 1 ፣ x 2 ፣ x 3ን በነፃዎቹ x 4 ፣ x 5 የሚገልፁ ግንኙነቶች አግኝተናል ፣ ማለትም አገኘን ። የጋራ ውሳኔ:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
እርግጠኛ ያልሆነ, ምክንያቱም ከአንድ በላይ መፍትሄዎች አሉት.
የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ. የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ.
መልስ:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
ማንኛቸውም እሴቶችን ለነጻ ያልታወቁ ሰዎች በመመደብ፣ ማንኛውንም ልዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን። ስርዓቱ ነው። እርግጠኛ ያልሆነ
የ m መስመራዊ እኩልታዎች ከ n የማይታወቁ ጋርየቅጹ ስርዓት ተብሎ ይጠራል
የት አ ijእና b i (እኔ=1,…,ኤም; ለ=1,…,n) አንዳንድ የታወቁ ቁጥሮች ናቸው, እና x 1 ፣…, x n- ያልታወቀ. በ Coefficients ስያሜ ውስጥ አ ijየመጀመሪያ መረጃ ጠቋሚ እኔየእኩልታ ቁጥርን ያመለክታል, እና ሁለተኛው ጄ- ይህ ቅንጅት የሚቆምበት ያልታወቀ ቁጥር።
ለማይታወቁት ቅንጅቶችን በማትሪክስ መልክ እንጽፋለን። 
እኛ የምንጠራው የስርዓቱ ማትሪክስ.
በእኩልታዎቹ በቀኝ በኩል ያሉት ቁጥሮች ናቸው። b 1፣…፣b mተብለው ይጠራሉ ነጻ አባላት.
ድምር nቁጥሮች ሐ 1፣…፣c nተብሎ ይጠራል ውሳኔየአንድ የተወሰነ ስርዓት ፣ እያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልነት ቁጥሮችን ከተተካ በኋላ እኩልነት ከሆነ ሐ 1፣…፣c nበምትኩ ተጓዳኝ የማይታወቁ x 1 ፣…, x n.
የእኛ ተግባር ለስርዓቱ መፍትሄዎችን መፈለግ ይሆናል. በዚህ ሁኔታ ሶስት ሁኔታዎች ሊፈጠሩ ይችላሉ-
ቢያንስ አንድ መፍትሄ ያለው የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ይባላል መገጣጠሚያ. አለበለዚያ, i.e. ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ከሌለው, ከዚያም ይባላል የጋራ ያልሆነ.
ለስርዓቱ መፍትሄ የምንፈልግባቸውን መንገዶች እናስብ።
የማትሪክስ ዘዴ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት
ማትሪክስ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በአጭሩ ለመፃፍ ያስችለዋል። ከሶስት የማይታወቁ የ 3 እኩልታዎች ስርዓት ይስጥ፡
የስርዓት ማትሪክስ አስቡበት 
እና የማይታወቁ እና ነፃ ውሎች አምዶችን ያማክራል። 
ስራውን እንፈልግ
እነዚያ። በምርቱ ምክንያት, የዚህን ስርዓት እኩልታዎች በግራ በኩል እናገኛለን. ከዚያም, የማትሪክስ እኩልነት ፍቺን በመጠቀም, ይህ ስርዓት በቅጹ ውስጥ ሊጻፍ ይችላል
ወይም አጭር ሀ∙X=B.
ማትሪክስ እነኚሁና። ሀእና ለይታወቃሉ, እና ማትሪክስ Xየማይታወቅ. እሱን ለማግኘት አስፈላጊ ነው, ምክንያቱም ... የእሱ ንጥረ ነገሮች ለዚህ ስርዓት መፍትሄ ናቸው. ይህ እኩልታ ይባላል የማትሪክስ እኩልታ.
የማትሪክስ መወሰኛ ከዜሮ ይለይ | ሀ| ≠ 0. ከዚያም የማትሪክስ እኩልታ እንደሚከተለው ተፈትቷል. በግራ በኩል ያለውን የእኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በማትሪክስ ማባዛት። ሀ-1, የማትሪክስ ተገላቢጦሽ ሀ. ምክንያቱም ሀ -1 ሀ = ኢእና ኢ∙X = X, ከዚያም በቅጹ ውስጥ ለማትሪክስ እኩልታ መፍትሄ እናገኛለን X = A -1 B .
የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ለካሬ ማትሪክስ ብቻ ሊገኝ ስለሚችል, ከዚያ ማትሪክስ ዘዴእነዚያን ስርዓቶች ብቻ መፍታት ይቻላል የእኩልታዎች ብዛት ከማያውቁት ቁጥር ጋር ይዛመዳል. ሆኖም ፣ የስርዓቱ ማትሪክስ ቀረጻ እንዲሁ የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁ ቁጥሮች ጋር እኩል ካልሆነ ፣ ከዚያ ማትሪክስ እንዲሁ ይቻላል ። ሀካሬ አይሆንም እና ስለዚህ በቅጹ ላይ ለስርዓቱ መፍትሄ ለማግኘት የማይቻል ነው X = A -1 B.
ምሳሌዎች።የእኩልታዎች ስርዓቶችን ይፍቱ.
የ CRAMER ደንብ
ከሶስት የማይታወቁ ጋር የ3 መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን አስቡ።
ከስርአቱ ማትሪክስ ጋር የሚዛመድ የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ, ማለትም. ለማይታወቁ ውህዶች የተዋቀረ፣
ተብሎ ይጠራል የስርዓቱን የሚወስን.
ሶስት ተጨማሪ መወሰኛዎችን እንደሚከተለው እናዘጋጅ፡- በቅደም ተከተል 1፣ 2 እና 3 አምዶችን በመወሰን ዲ ውስጥ በነፃ ቃላት አምድ እንተካ።
ከዚያም የሚከተለውን ውጤት ማረጋገጥ እንችላለን.
ቲዮረም (የክሬመር አገዛዝ).የስርዓቱ Δ ≠ 0 የሚወስነው ከሆነ, ከግምት ውስጥ ያለው ስርዓት አንድ እና አንድ መፍትሄ ብቻ ነው, እና
ማረጋገጫ. እንግዲያው፣ ሦስት የማይታወቁ የ 3 እኩልታዎች ስርዓትን እንመልከት። የስርአቱን 1ኛ እኩልታ በአልጀብራ ማሟያ እናባዛው አ 11ኤለመንት ሀ 11, 2 ኛ እኩልታ - በርቷል አ 21እና 3 ኛ - በርቷል አ 31:
እነዚህን እኩልታዎች እንጨምር፡-
እያንዳንዱን ቅንፎች እና የዚህን እኩልታ የቀኝ ጎን እንይ። በ 1 ኛ ዓምድ አካላት ውስጥ የመወሰን መስፋፋት ላይ ባለው ጽንሰ-ሐሳብ
በተመሳሳይም, ያንን እና ማሳየት ይቻላል.
በመጨረሻም, ያንን ማስተዋል ቀላል ነው 
ስለዚህ, እኩልነትን እናገኛለን: .
ስለዚህም .
እኩልነት እና በተመሳሳይ መልኩ የተገኙ ናቸው, ከእሱ የንድፈ ሃሳብ መግለጫው ይከተላል.
ስለዚህ, የስርዓቱ መወሰኛ Δ ≠ 0 ከሆነ, ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ እንዳለው እና በተቃራኒው እንደሆነ እናስተውላለን. የስርአቱ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት አለው ወይም ምንም መፍትሄዎች የሉትም ፣ ማለትም። የማይጣጣም.
ምሳሌዎች።የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት
የጋውስ ዘዴ
ቀደም ሲል የተብራሩት ዘዴዎች የእኩልታዎች ቁጥር ከማይታወቁ ቁጥሮች ጋር የሚጣጣሙባቸውን ስርዓቶች ብቻ ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ, እና የስርዓቱ መወሰኛ ከዜሮ የተለየ መሆን አለበት. የጋውስ ዘዴ የበለጠ ዓለም አቀፋዊ እና ከማንኛውም እኩልታዎች ላላቸው ስርዓቶች ተስማሚ ነው። የማይታወቁትን ከስርአቱ እኩልታዎች ወጥነት ባለው መልኩ ማስወገድን ያካትታል።
ከሶስት የማይታወቁ ጋር የሶስት እኩልታዎች ስርዓት እንደገና አስቡበት፡
.
የመጀመሪያውን እኩልታ ሳይለወጥ እንተወዋለን, እና ከ 2 ኛ እና 3 ኛ ውስጥ ያሉትን ውሎች እናስወግዳለን x 1. ይህንን ለማድረግ ሁለተኛውን እኩልታ በ ሀ 21 እና ማባዛት - ሀ 11, እና ከዚያ ወደ 1 ኛ እኩልነት ያክሉት. በተመሳሳይ, ሶስተኛውን እኩልታ በ ሀ 31 እና ማባዛት - ሀ 11, እና ከዚያ ከመጀመሪያው ጋር ይጨምሩ. በውጤቱም, ዋናው ስርዓት ቅጹን ይወስዳል:
አሁን ከመጨረሻው እኩልታ ያለውን ቃል እናስወግዳለን x 2. ይህንን ለማድረግ, የሶስተኛውን እኩልታ በ, በማባዛት እና ከሁለተኛው ጋር ይጨምሩ. ከዚያ የእኩልታዎች ስርዓት ይኖረናል፡-
ከዚህ, ከመጨረሻው እኩልታ ማግኘት ቀላል ነው x 3, ከዚያም ከ 2 ኛ እኩልታ x 2እና በመጨረሻም ፣ ከ 1 ኛ - x 1.
የ Gaussian ዘዴን ሲጠቀሙ, አስፈላጊ ከሆነ እኩልታዎቹ ሊለዋወጡ ይችላሉ.
ብዙ ጊዜ፣ አዲስ የእኩልታዎች ስርዓት ከመፃፍ ይልቅ፣ የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ በመፃፍ እራሳቸውን ይገድባሉ፡-
እና ከዚያም የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ሶስት ማዕዘን ወይም ሰያፍ ቅርጽ አምጡ.
ለ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችማትሪክስ የሚከተሉትን ለውጦች ያካትታል:
- ረድፎችን ወይም ዓምዶችን ማስተካከል;
- ሕብረቁምፊን ከዜሮ በተለየ ቁጥር ማባዛት;
- ሌሎች መስመሮችን ወደ አንድ መስመር ማከል.
ምሳሌዎች፡-የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ስርዓቶችን ይፍቱ።
ስለዚህ, ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት.
የተቀበሏቸው የእኩልታዎች ስርዓቶች ሰፊ መተግበሪያጋር በኢኮኖሚው ዘርፍ የሂሳብ ሞዴሊንግየተለያዩ ሂደቶች. ለምሳሌ, የምርት አስተዳደር እና እቅድ, የሎጂስቲክስ መስመሮች (የትራንስፖርት ችግር) ወይም የመሳሪያ አቀማመጥ ችግሮችን ሲፈቱ.
የእኩልታዎች ስርዓቶች በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ ፣ በኬሚስትሪ እና በባዮሎጂ ውስጥ የህዝብ ብዛትን የመፈለግ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ ።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎች ከብዙ ተለዋዋጮች ጋር የጋራ መፍትሄ መፈለግ አስፈላጊ ነው። ሁሉም እኩልታዎች እውነተኛ እኩልነት የሚሆኑበት ወይም ቅደም ተከተላቸው አለመኖሩን የሚያረጋግጡበት የቁጥር ቅደም ተከተል።
መስመራዊ እኩልታ
የቅርጽ ax+by=c እኩልታዎች መስመራዊ ይባላሉ። ስያሜዎቹ x፣ y እሴታቸው መገኘት ያለባቸው ያልታወቁ ናቸው፣ b፣ a የተለዋዋጮች ውህደቶች ናቸው፣ c የእኩልታው ነፃ ቃል ነው።
እኩልታውን በማቀድ መፍታት ቀጥተኛ መስመር ይመስላል ፣ ሁሉም ነጥቦች ለፖሊኖሚል መፍትሄዎች ናቸው።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ዓይነቶች
በጣም ቀላሉ ምሳሌዎች ከሁለት ተለዋዋጮች X እና Y ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ተደርገው ይወሰዳሉ።
F1 (x, y) = 0 እና F2 (x, y) = 0, F1,2 ተግባራት ሲሆኑ (x, y) የተግባር ተለዋዋጮች ናቸው.
የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት - ይህ ማለት ስርዓቱ ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀየርባቸውን እሴቶች (x፣ y) መፈለግ ወይም የ x እና y ተስማሚ እሴቶች የሉም ማለት ነው።
ጥንድ እሴቶች (x፣ y)፣ እንደ የነጥብ መጋጠሚያዎች የተጻፉት፣ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይባላል።
ስርዓቶች አንድ የጋራ መፍትሄ ካላቸው ወይም ምንም መፍትሄ ከሌለ, ተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ.
የመስመር እኩልታዎች ተመሳሳይነት ያላቸው ስርዓቶች ስርዓቶች ናቸው። ትክክለኛው ክፍልከዜሮ ጋር እኩል የሆነ. ከእኩል ምልክት በኋላ ያለው ትክክለኛው ክፍል ዋጋ ካለው ወይም በአንድ ተግባር ከተገለጸ, እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የተለያየ ነው.
የተለዋዋጮች ብዛት ከሁለት በላይ ሊሆን ይችላል፣ ከዚያ ከሶስት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ያሉት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መነጋገር አለብን።
ከስርአቶች ጋር ሲጋፈጡ፣የትምህርት ቤት ልጆች የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር መገጣጠም አለበት ብለው ያስባሉ፣ነገር ግን ይህ እንደዛ አይደለም። በስርዓቱ ውስጥ ያሉት የእኩልታዎች ብዛት በተለዋዋጭዎቹ ላይ የተመካ አይደለም፤ የተፈለገውን ያህል ሊኖሩ ይችላሉ።
የእኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ቀላል እና ውስብስብ ዘዴዎች
እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት አጠቃላይ የትንታኔ ዘዴ የለም, ሁሉም ዘዴዎች የተመሰረቱ ናቸው የቁጥር መፍትሄዎች. ውስጥ የትምህርት ቤት ኮርስሒሳብ እንደ ፐርሙቴሽን፣ አልጀብራዊ መደመር፣ ምትክ፣ እንዲሁም ስዕላዊ እና ማትሪክስ ዘዴዎችን በጋውሲያን ዘዴ የመፍትሄ ዘዴዎችን በዝርዝር ይገልጻል።
የመፍትሄ ዘዴዎችን በሚያስተምርበት ጊዜ ዋናው ተግባር ስርዓቱን እንዴት በትክክል መተንተን እና ለእያንዳንዱ ምሳሌ ጥሩውን የመፍትሄ ስልተ ቀመር ማግኘት ነው. ዋናው ነገር ለእያንዳንዱ ዘዴ ደንቦችን እና ድርጊቶችን ስርዓት ማስታወስ አይደለም, ነገር ግን የተወሰነ ዘዴን የመጠቀም መርሆዎችን መረዳት ነው.
የ 7 ኛ ክፍል ፕሮግራም የመስመር እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትበጣም ቀላል እና በጣም በዝርዝር ተብራርቷል. በማንኛውም የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ, ይህ ክፍል በቂ ትኩረት ተሰጥቶታል. የ Gauss እና Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ምሳሌዎችን መፍታት በመጀመሪያዎቹ የከፍተኛ ትምህርት ዓመታት በበለጠ ዝርዝር ተጠንቷል።
የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት
የመተኪያ ዘዴው ድርጊቶች የአንድን ተለዋዋጭ እሴት ከሁለተኛው አንፃር ለመግለጽ ያተኮሩ ናቸው. አገላለጹ በቀሪው ቀመር ውስጥ ተተክቷል, ከዚያም ወደ አንድ ተለዋዋጭ ቅፅ ይቀንሳል. በስርዓቱ ውስጥ በማይታወቁት ቁጥር ላይ በመመስረት ድርጊቱ ይደገማል
የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም የክፍል 7 መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን እንስጥ።
ከምሳሌው ላይ እንደሚታየው፣ ተለዋዋጭ x በF(X) = 7 + Y ተገለፀ። የተገኘው አገላለጽ፣ በ 2 ኛው የስርዓቱ እኩልታ በ X ምትክ ተተክቶ፣ በ 2 ኛው እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ Y ለማግኘት ረድቷል። . ይህንን ምሳሌ መፍታት ቀላል እና የ Y እሴትን እንዲያገኙ ያስችልዎታል የመጨረሻው ደረጃ የተገኙትን እሴቶች መፈተሽ ነው.
የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን በመተካት ሁልጊዜ መፍታት አይቻልም። እኩልታዎቹ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ እና ተለዋዋጭውን በሁለተኛው የማይታወቅ ሁኔታ መግለጽ ለቀጣይ ስሌቶች በጣም አስቸጋሪ ይሆናል. በስርአቱ ውስጥ ከ3 በላይ ያልታወቁ ነገሮች ሲኖሩ፣ በመተካት መፍታትም ተገቢ አይደለም።
የመስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መፍትሄ፡-
የአልጀብራ መጨመርን በመጠቀም መፍትሄ
የመደመር ዘዴን በመጠቀም ለስርዓቶች መፍትሄዎችን በሚፈልጉበት ጊዜ, እኩልታዎች በጊዜ ቃል ይጨመሩ እና በተለያዩ ቁጥሮች ይባዛሉ. የሂሳብ ስራዎች የመጨረሻ ግብ በአንድ ተለዋዋጭ ውስጥ እኩልነት ነው.
የዚህ ዘዴ አተገባበር ልምምድ እና ምልከታ ይጠይቃል. 3 ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ሲኖሩ የመደመር ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ቀላል አይደለም። እኩልታዎች ክፍልፋዮች እና አስርዮሽ ሲይዙ አልጀብራ መጨመር ለመጠቀም ምቹ ነው።
የመፍትሄው ስልተ ቀመር፡
- የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በተወሰነ ቁጥር ማባዛት። በሂሳብ አሠራሩ ምክንያት፣ ከተለዋዋጭዎቹ ጥምርታዎች አንዱ ከ 1 ጋር እኩል መሆን አለበት።
- የተገኘውን የቃላት አገላለጽ በቃላት ይጨምሩ እና ከማይታወቁት ውስጥ አንዱን ያግኙ።
- የቀረውን ተለዋዋጭ ለማግኘት የተገኘውን እሴት ወደ ስርዓቱ 2 ኛ እኩልታ ይለውጡ።
አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ የመፍትሄ ዘዴ
ስርዓቱ ከሁለት ላልበለጠ እኩልታዎች መፍትሄ መፈለግን ካስፈለገ አዲስ ተለዋዋጭ ማስተዋወቅ ይቻላል፤ ያልታወቁት ቁጥርም ከሁለት በላይ መሆን የለበትም።
ዘዴው አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ አንዱን እኩልታ ለማቃለል ይጠቅማል። አዲሱ እኩልታ ለተዋወቀው ያልታወቀ ተፈትቷል፣ እና የተገኘው እሴት የመጀመሪያውን ተለዋዋጭ ለመወሰን ጥቅም ላይ ይውላል።
ምሳሌው እንደሚያሳየው አዲስ ተለዋዋጭ t በማስተዋወቅ የስርዓቱን 1 ኛ እኩልታ ወደ መደበኛው መቀነስ ተችሏል ኳድራቲክ ሶስትዮሽ. አድሎአዊውን በማግኘት ብዙ ቁጥርን መፍታት ይችላሉ።
በጣም የታወቀውን ቀመር በመጠቀም የአድሎውን ዋጋ ማግኘት አስፈላጊ ነው: D = b2 - 4 * a * c, D የሚፈለገው አድልዎ, b, a, c የፖሊኖሚል ምክንያቶች ናቸው. በተሰጠው ምሳሌ a=1, b=16, c=39, ስለዚህ D=100. አድሏዊው ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ ሁለት መፍትሄዎች አሉ፡- t = -b±√D/2*ሀ፣ አድሎአዊው ከዜሮ ያነሰ ከሆነ አንድ መፍትሄ አለ፡- x = -b/2*a።
ለተፈጠሩት ስርዓቶች መፍትሄ የሚገኘው በመደመር ዘዴ ነው.
ስርዓቶችን ለመፍታት ምስላዊ ዘዴ
ለ 3 እኩልታ ስርዓቶች ተስማሚ. ዘዴው በሲስተሙ ውስጥ የተካተቱትን የእያንዳንዱን እኩልታ ግራፎችን በመገጣጠም ዘንግ ላይ በመገንባት ላይ ነው። የመንገዶች መጋጠሚያ ነጥቦች መጋጠሚያዎች እና ይሆናሉ አጠቃላይ ውሳኔስርዓቶች.
የግራፊክ ዘዴው በርካታ ጥቃቅን ነገሮች አሉት. የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን በእይታ መንገድ ለመፍታት በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት።
በምሳሌው ላይ እንደሚታየው ለእያንዳንዱ መስመር ሁለት ነጥቦች ተገንብተዋል ፣ የተለዋዋጭ x ዋጋዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል 0 እና 3. በ x እሴቶች ላይ በመመስረት ፣ የ y እሴቶች ተገኝተዋል። 3 እና 0. መጋጠሚያዎች (0፣ 3) እና (3፣ 0) ያላቸው ነጥቦች በግራፉ ላይ ምልክት ተደርጎባቸዋል እና በመስመር ተገናኝተዋል።
ደረጃዎቹ ለሁለተኛው እኩልታ መደገም አለባቸው. የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ የስርዓቱ መፍትሄ ነው.
የሚከተለው ምሳሌ መፈለግን ይጠይቃል ግራፊክ መፍትሄየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች፡ 0.5x-y+2=0 እና 0.5x-y-1=0።
ከምሳሌው እንደሚታየው, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ምክንያቱም ግራፎች ትይዩ ናቸው እና ሙሉውን ርዝመት አይገናኙም.
በምሳሌ 2 እና 3 ያሉት ስርዓቶች ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን ሲገነቡ መፍትሄዎቻቸው የተለያዩ እንደሆኑ ግልጽ ይሆናል. አንድ ሥርዓት መፍትሔ አለው ወይም የለውም ማለት ሁልጊዜ የማይቻል መሆኑን ማስታወስ ይገባል, ሁልጊዜ ግራፍ መገንባት አስፈላጊ ነው.
ማትሪክስ እና ዝርያዎቹ
ማትሪክስ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በአጭሩ ለመፃፍ ያገለግላሉ። ማትሪክስ ጠረጴዛ ነው ልዩ ዓይነትበቁጥሮች የተሞላ. n * m n - ረድፎች እና m - አምዶች አሉት.
የአምዶች እና የረድፎች ብዛት እኩል ሲሆኑ ማትሪክስ ካሬ ነው። ማትሪክስ-ቬክተር ወሰን በሌለው የረድፎች ብዛት ያለው የአንድ አምድ ማትሪክስ ነው። ከአንዱ ዲያግናል እና ሌሎች ዜሮ አካላት ጋር ያለው ማትሪክስ ማንነት ይባላል።
የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማትሪክስ ሲባዛ ማትሪክስ ሲሆን ይህም የመጀመሪያው ወደ አሃድ ማትሪክስ ይቀየራል ፣ እንደዚህ ያለ ማትሪክስ የሚገኘው ለዋናው ካሬ ብቻ ነው።
የእኩልታዎችን ስርዓት ወደ ማትሪክስ ለመቀየር ህጎች
ከእኩልታዎች ስርዓቶች ጋር በተያያዘ፣ የእኩልታዎች ቅንጅቶች እና ነፃ ቃላቶች እንደ ማትሪክስ ቁጥሮች ተጽፈዋል። አንድ እኩልታ የማትሪክስ አንድ ረድፍ ነው።
ቢያንስ አንድ የረድፉ አካል ዜሮ ካልሆነ የማትሪክስ ረድፍ ዜሮ ነው ይባላል። ስለዚህ, በማናቸውም እኩልታዎች ውስጥ የተለዋዋጮች ቁጥር ቢለያይ, በማይታወቅ ቦታ ላይ ዜሮን ማስገባት አስፈላጊ ነው.
የማትሪክስ አምዶች ከተለዋዋጮች ጋር በጥብቅ መዛመድ አለባቸው። ይህ ማለት የተለዋዋጭ x ጥምርታዎች በአንድ አምድ ውስጥ ብቻ ሊጻፉ ይችላሉ, ለምሳሌ የመጀመሪያው, የማይታወቅ y - በሁለተኛው ውስጥ ብቻ.
ማትሪክስ በሚባዙበት ጊዜ ሁሉም የማትሪክስ አካላት በቅደም ተከተል በቁጥር ይባዛሉ።
ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት አማራጮች
የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ቀመር በጣም ቀላል ነው፡ K -1 = 1 / |K|፣ K -1 ተገላቢጦሽ ማትሪክስ እና |K| የማትሪክስ ወሳኙ ነው. |ክ| ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም, ከዚያ ስርዓቱ መፍትሄ አለው.
ወሳኙ በቀላሉ ለሁለት-ሁለት ማትሪክስ ይሰላል፤ የዲያግናል ክፍሎችን እርስ በርስ ማባዛት ብቻ ያስፈልግዎታል። ለ"ሶስት በሶስት" አማራጭ |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 ለ 2 ሐ 1። ቀመሩን መጠቀም ይችላሉ, ወይም በእያንዳንዱ ረድፍ እና በእያንዳንዱ አምድ ውስጥ የአምዶች እና የረድፎች ቁጥሮች በስራው ውስጥ እንዳይደጋገሙ አንድ ኤለመንት መውሰድ እንዳለቦት ማስታወስ ይችላሉ.
የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት
የመፍትሄ ፍለጋ የማትሪክስ ዘዴ ብዙ ተለዋዋጮች እና እኩልታዎች ያላቸውን ስርዓቶች ሲፈቱ አስቸጋሪ ግቤቶችን እንዲቀንሱ ያስችልዎታል።
በምሳሌው፣ nm የእኩልታዎች ጥምርታ፣ ማትሪክስ ቬክተር x n ተለዋዋጭ ናቸው፣ እና b n ነፃ ቃላት ናቸው።
የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት
በከፍተኛ ሒሳብ ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ ከ Cramer ዘዴ ጋር ይጠናል, እና ለስርዓቶች መፍትሄዎችን የማግኘት ሂደት የ Gauss-Cramer መፍትሄ ዘዴ ይባላል. እነዚህ ዘዴዎች ብዙ ቁጥር ያላቸው የመስመር እኩልታዎች ያላቸውን የስርዓቶች ተለዋዋጮችን ለማግኘት ያገለግላሉ።
የጋውስ ዘዴ ተተኪዎችን በመጠቀም መፍትሄዎች ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው አልጀብራ መጨመር፣ ግን የበለጠ ስልታዊ። በት / ቤት ኮርስ, በ Gaussian ዘዴ መፍትሄው ለ 3 እና 4 እኩልታዎች ስርዓቶች ጥቅም ላይ ይውላል. የስልቱ አላማ ስርዓቱን ወደ ተገላቢጦሽ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ ነው. በአልጀብራ ለውጦች እና ምትክዎች አማካኝነት የአንድ ተለዋዋጭ እሴት በስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ በአንዱ ውስጥ ይገኛል. ሁለተኛው እኩልታ 2 ያልታወቀ አገላለጽ ሲሆን 3 እና 4 ደግሞ በቅደም ተከተል 3 እና 4 ተለዋዋጮች ናቸው።
ስርዓቱን ወደተገለጸው ቅፅ ካመጣ በኋላ, ተጨማሪው መፍትሄ ወደ ስርዓቱ እኩልታዎች የታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል መተካት ይቀንሳል.
ለ 7 ኛ ክፍል በት / ቤት የመማሪያ መጽሐፍት ፣ በጋውስ ዘዴ የመፍትሄ ምሳሌ እንደሚከተለው ተብራርቷል ።
ከምሳሌው እንደሚታየው በደረጃ (3) ሁለት እኩልታዎች ተገኝተዋል 3x 3 -2x 4 = 11 እና 3x 3 +2x 4 =7. ማናቸውንም እኩልታዎች መፍታት ከተለዋዋጭ x n አንዱን ለማወቅ ያስችልዎታል።
በጽሁፉ ውስጥ የተጠቀሰው ቲዎረም 5, ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ በተመጣጣኝ ከተተካ, የተገኘው ስርዓት ከዋናው ጋር እኩል ይሆናል.
የ Gauss ዘዴ ለተማሪዎች ለመረዳት አስቸጋሪ ነው ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት, ነገር ግን በፕሮግራሙ ስር የሚማሩ ልጆችን ብልህነት ለማዳበር በጣም ከሚያስደስቱ መንገዶች አንዱ ነው ጥልቅ ጥናትበሂሳብ እና በፊዚክስ ክፍሎች.
ለመቅዳት ቀላልነት፣ ስሌቶች ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይከናወናሉ፡
የእኩልታዎች እና የነፃ ቃላት ጥምርታዎች በማትሪክስ መልክ የተፃፉ ሲሆን እያንዳንዱ የማትሪክስ ረድፍ ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ ጋር ይዛመዳል። የቀመርውን ግራ ጎን ከቀኝ ይለያል. የሮማውያን ቁጥሮች በስርዓቱ ውስጥ ያሉትን የእኩልታዎች ቁጥሮች ያመለክታሉ.
በመጀመሪያ, የሚሠራውን ማትሪክስ ይፃፉ, ከዚያም በአንደኛው ረድፍ የተከናወኑትን ድርጊቶች በሙሉ. የተገኘው ማትሪክስ ከ "ቀስት" ምልክት በኋላ የተፃፈ እና አስፈላጊውን መፈጸምን ይቀጥላል የአልጀብራ ስራዎችውጤቱ እስኪሳካ ድረስ.
ውጤቱም ከዲያግኖቹ አንዱ ከ 1 ጋር እኩል የሆነበት ማትሪክስ መሆን አለበት ፣ እና ሁሉም ሌሎች ጥምርታዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ማለትም ፣ ማትሪክስ ወደ አንድ አሃድ ቅርፅ የተቀነሰ ነው። በስሌቱ በሁለቱም በኩል ከቁጥሮች ጋር ስሌቶችን ማከናወን መዘንጋት የለብንም.
ይህ የመቅዳት ዘዴ ብዙም አስቸጋሪ አይደለም እና ብዙ ያልታወቁ ነገሮችን በመዘርዘር ትኩረታችሁን እንዳይከፋፍሉ ያስችልዎታል።
የማንኛውም የመፍትሄ ዘዴ ነፃ አጠቃቀም እንክብካቤ እና የተወሰነ ልምድ ይጠይቃል። ሁሉም ዘዴዎች ተግባራዊ ተፈጥሮ አይደሉም. አንዳንድ መፍትሄዎችን የመፈለግ ዘዴዎች በተወሰነ የሰው ልጅ እንቅስቃሴ ውስጥ የበለጠ ተመራጭ ናቸው ፣ ሌሎች ደግሞ ለትምህርታዊ ዓላማዎች አሉ።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መቋቋም እንቀጥላለን። እስካሁን ድረስ ልዩ የሆነ መፍትሄ ያላቸውን ስርዓቶች ተመልክተናል. እንደዚህ ያሉ ስርዓቶች በማንኛውም መንገድ ሊፈቱ ይችላሉ- በመተካት ዘዴ("ትምህርት ቤት"), በ Cramer ቀመሮች መሰረት, የማትሪክስ ዘዴ, Gaussian ዘዴ. ሆኖም ፣ በተግባር ፣ ሁለት ተጨማሪ ጉዳዮች በሰፊው ተሰራጭተዋል-
1) ስርዓቱ ወጥነት የለውም (መፍትሄዎች የሉትም);
2) ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች አሉት።
ለእነዚህ ስርዓቶች ከሁሉም የመፍትሄ ዘዴዎች ሁሉ በጣም ዓለም አቀፋዊ ጥቅም ላይ ይውላል - Gaussian ዘዴ. እንደ እውነቱ ከሆነ, "ትምህርት ቤት" የሚለው ዘዴም ወደ መልሱ ይመራል, ነገር ግን በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ የጋውስያን ዘዴን መጠቀም የተለመደ ነው. የ Gaussian ዘዴ አልጎሪዝምን የማያውቁ, እባክዎን መጀመሪያ ትምህርቱን ያጠኑ Gaussian ዘዴ
የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ለውጦች እራሳቸው ተመሳሳይ ናቸው, ልዩነቱ በመፍትሔው መጨረሻ ላይ ይሆናል. በመጀመሪያ፣ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ሲኖረው (ወጥነት የሌለው) ሁለት ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌ 1
በዚህ ሥርዓት ላይ ወዲያውኑ ዓይንዎን የሚይዘው ምንድን ነው? የእኩልታዎች ብዛት ከተለዋዋጮች ብዛት ያነሰ ነው። የሚል ቲዎሬም አለ፡- "በስርዓቱ ውስጥ ያሉት የእኩልታዎች ብዛት ከተለዋዋጮች ቁጥር ያነሰ ከሆነ, ከዚያ ስርዓቱ ወጥነት የለውም ወይም ብዙ መፍትሄዎች አሉት።እና የቀረው ነገር ለማወቅ ነው.
የመፍትሄው መጀመሪያ ሙሉ በሙሉ ተራ ነው - የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናመጣለን-
(1) በላይኛው ግራ ደረጃ ላይ (+1) ወይም (-1) ማግኘት አለብን። በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች የሉም, ስለዚህ ረድፎቹን እንደገና ማስተካከል ምንም ነገር አይሰጥም. ክፍሉ እራሱን ማደራጀት አለበት, እና ይህ በብዙ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህን አደረግን። ወደ መጀመሪያው መስመር ሶስተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ (-1) ተባዝተናል.
(2) አሁን በመጀመሪያው አምድ ውስጥ ሁለት ዜሮዎችን እናገኛለን. በሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን, በ 3 ተባዝተናል. ወደ ሶስተኛው መስመር የመጀመሪያውን, በ 5 ተባዝተናል.
(3) ትራንስፎርሜሽኑ ከተጠናቀቀ በኋላ የተገኙትን ሕብረቁምፊዎች ማቅለል ይቻል እንደሆነ ለማየት ሁልጊዜ ይመከራል? ይችላል. ሁለተኛውን መስመር በ 2 እንከፍላለን, በተመሳሳይ ጊዜ የሚፈለገውን (-1) በሁለተኛው ደረጃ ላይ እናገኛለን. ሶስተኛውን መስመር በ (-3) ይከፋፍሉት.
(4) ወደ ሦስተኛው መስመር ሁለተኛ መስመር ያክሉ። ምናልባት ሁሉም ሰው በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት የሚመጣውን መጥፎ መስመር አስተውሏል፡-
. ይህ ሊሆን እንደማይችል ግልጽ ነው.
በእርግጥ, የተገኘውን ማትሪክስ እንደገና እንፃፍ
ወደ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መመለስ
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት የቅጹ ሕብረቁምፊ ከተገኘ ፣ የትλ ከዜሮ ሌላ ቁጥር ነው, ከዚያ ስርዓቱ ወጥነት የለውም (መፍትሄዎች የሉትም).
የአንድን ተግባር መጨረሻ እንዴት መፃፍ ይቻላል? የሚለውን ሐረግ መፃፍ አለብህ፡-
"በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት የቅጹ ሕብረቁምፊ ተገኝቷል፣ የት λ ≠ 0 " መልስ፡- “ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም (ወጥነት የሌለው)።”
እባክዎን በዚህ ሁኔታ ውስጥ የ Gaussian ስልተ-ቀመር መቀልበስ የለም, ምንም መፍትሄዎች የሉም እና በቀላሉ ምንም የሚያገኙት ነገር የለም.
ምሳሌ 2
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ 
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። የተሟላ መፍትሄእና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልሱ.
የእርስዎ መፍትሔ ከእኛ መፍትሔ ሊለያይ እንደሚችል በድጋሚ እናስታውስዎታለን፤ የጋውሲያን ዘዴ ግልጽ ያልሆነ ስልተ-ቀመርን አይገልጽም ፣ የእርምጃዎች ቅደም ተከተል እና ድርጊቶቹ እራሳቸው በእያንዳንዱ ጉዳይ ላይ እራሳቸውን ችለው መገመት አለባቸው።
ሌላው የመፍትሄው ቴክኒካዊ ባህሪ: የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ሊቆሙ ይችላሉ አንድ ጊዜ, ልክ እንደ መስመር, የት λ ≠ 0 . ሁኔታዊ ምሳሌን እንመልከት-ከመጀመሪያው ለውጥ በኋላ ማትሪክስ ተገኝቷል እንበል
.
ይህ ማትሪክስ ገና ወደ echelon ቅርጽ አልተቀነሰም, ነገር ግን ተጨማሪ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አያስፈልግም, ምክንያቱም የቅጹ መስመር ብቅ አለ, እዚያም λ ≠ 0 . መልሱ ስርዓቱ ተኳሃኝ እንዳልሆነ ወዲያውኑ መሰጠት አለበት.
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄ በማይኖርበት ጊዜ, አጭር መፍትሄ በመገኘቱ, አንዳንድ ጊዜ በ 2-3 ደረጃዎች ውስጥ, ለተማሪው ስጦታ ነው ማለት ይቻላል. ነገር ግን በዚህ ዓለም ውስጥ ያለው ሁሉም ነገር ሚዛናዊ ነው፣ እና ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ያሉትበት ችግር ረዘም ያለ ነው።
ምሳሌ 3፡
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ
4 እኩልታዎች እና 4 ያልታወቁ ናቸው፣ ስለዚህ ስርዓቱ አንድ ነጠላ መፍትሄ ሊኖረው ይችላል፣ ወይም ምንም መፍትሄ የለውም፣ ወይም እጅግ በጣም ብዙ መፍትሄዎች ሊኖሩት ይችላል። ምንም ይሁን ምን, የ Gaussian ዘዴ በማንኛውም ሁኔታ ወደ መልሱ ይመራናል. ይህ ሁለገብነቱ ነው።
ጅምር እንደገና መደበኛ ነው። የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
ያ ብቻ ነው፣ እና ፈራህ።
(1) እባክዎ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ቁጥሮች በ 2 ይከፈላሉ, ስለዚህ 2 ከላይ በግራ በኩል ጥሩ ነው. ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ (-4) ተባዝተን እንጨምራለን. ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ (-2) ተባዝተን እንጨምራለን. ወደ አራተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን, በ (-1) ተባዝተናል.
ትኩረት!ብዙዎች በአራተኛው መስመር ሊፈተኑ ይችላሉ። መቀነስየመጀመሪያ መስመር. ይህንን ማድረግ ይቻላል, ነገር ግን አስፈላጊ አይደለም, ልምድ እንደሚያሳየው በስሌቶች ውስጥ የስህተት እድል ብዙ ጊዜ ይጨምራል. እኛ ብቻ እንጨምራለን-ወደ አራተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን ፣ በ (-1) ተባዝተናል - በትክክል!
(2) የመጨረሻዎቹ ሶስት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው, ሁለቱ ሊሰረዙ ይችላሉ. እዚህ እንደገና ማሳየት አለብን ትኩረት ጨምሯል ግን መስመሮቹ በእርግጥ ተመጣጣኝ ናቸው? በአስተማማኝ ጎን ለመሆን, ሁለተኛውን መስመር በ (-1) ማባዛት እና አራተኛውን መስመር በ 2 መከፋፈል ጥሩ ሀሳብ ነው, በዚህም ምክንያት ሶስት ተመሳሳይ መስመሮችን ያመጣል. እና ከዚያ በኋላ ብቻ ሁለቱን ያስወግዱ. በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት የስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ ይቀንሳል።
በማስታወሻ ደብተር ውስጥ አንድን ሥራ ሲጽፉ ግልጽነት ለማግኘት ተመሳሳይ ማስታወሻዎችን በእርሳስ ማድረግ ይመረጣል.
ተጓዳኝ የእኩልታዎች ስርዓትን እንደገና እንፃፍ፡- 
እዚህ ለስርዓቱ "ተራ" ነጠላ መፍትሄ ምንም ሽታ የለም. መጥፎ መስመር የት λ ≠ 0, እንዲሁም አይደለም. ይህ ማለት ይህ ሦስተኛው የቀረው ጉዳይ ነው - ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው ብዙ መፍትሄዎች አሉት።
ለሥርዓት ያልተገደበ የመፍትሄዎች ስብስብ በአጭሩ በተባለው መልክ ተጽፏል የስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ.
የ Gaussian ዘዴን ተገላቢጦሽ በመጠቀም የስርዓቱን አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን. ከ ጋር እኩልታዎች ስርዓቶች ማለቂያ የሌለው ቁጥርአዲስ ጽንሰ-ሀሳቦች ይታያሉ "መሰረታዊ ተለዋዋጮች"እና "ነጻ ተለዋዋጮች". በመጀመሪያ ምን አይነት ተለዋዋጮች እንዳለን እንገልፃለን። መሰረታዊእና የትኞቹ ተለዋዋጮች - ፍርይ. የመስመራዊ አልጀብራን ውሎች በዝርዝር ማብራራት አስፈላጊ አይደለም, እንደነዚህ ያሉ መኖራቸውን ማስታወስ በቂ ነው መሰረታዊ ተለዋዋጮችእና ነጻ ተለዋዋጮች.
መሰረታዊ ተለዋዋጮች ሁልጊዜ በማትሪክስ ደረጃዎች ላይ በጥብቅ "ይቀመጡ".. በዚህ ምሳሌ, መሰረታዊ ተለዋዋጮች ናቸው x 1 እና x 3 .
ነፃ ተለዋዋጮች ሁሉም ነገር ናቸው። ቀሪአንድ እርምጃ ያልተቀበሉ ተለዋዋጮች. በእኛ ሁኔታ ሁለቱ አሉ፡- x 2 እና x 4 - ነፃ ተለዋዋጮች.
አሁን ያስፈልግዎታል ሁሉምመሰረታዊ ተለዋዋጮችመግለጽ በኩል ብቻነጻ ተለዋዋጮች. የ Gaussian አልጎሪዝም ተገላቢጦሽ በተለምዶ ከታች ወደ ላይ ይሠራል. ከስርአቱ ሁለተኛ እኩልታ መሰረታዊውን ተለዋዋጭ እንገልፃለን x 3:
አሁን የመጀመሪያውን እኩልታ ይመልከቱ- 
. በመጀመሪያ የተገኘውን መግለጫ በእሱ ውስጥ እንተካለን-
መሠረታዊውን ተለዋዋጭ ለመግለጽ ይቀራል x 1 በነጻ ተለዋዋጮች በኩል x 2 እና x 4:
በመጨረሻ የምንፈልገውን አግኝተናል - ሁሉምመሰረታዊ ተለዋዋጮች ( x 1 እና x 3) ተገልጸዋል በኩል ብቻነፃ ተለዋዋጮች ( x 2 እና x 4):
በእውነቱ, አጠቃላይ መፍትሔው ዝግጁ ነው-
.
አጠቃላይ መፍትሔውን በትክክል እንዴት መጻፍ እንደሚቻል? በመጀመሪያ ደረጃ, ነፃ ተለዋዋጮች ወደ አጠቃላይ መፍትሄ "በራሳቸው" እና በጥብቅ በቦታቸው ላይ ተጽፈዋል. በዚህ ሁኔታ, ነፃ ተለዋዋጮች x 2 እና x 4 በሁለተኛውና በአራተኛው ቦታ መፃፍ አለበት፡-
.
ለመሠረታዊ ተለዋዋጮች የመነጩ መግለጫዎች በመጀመሪያ እና በሦስተኛ ደረጃ መፃፍ እንዳለበት ግልፅ ነው-
ከስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ አንድ ሰው እጅግ በጣም ብዙ ማግኘት ይችላል። የግል መፍትሄዎች. በጣም ቀላል ነው። ነፃ ተለዋዋጮች x 2 እና x 4 ተጠርተዋል ምክንያቱም ሊሰጡ ይችላሉ ማንኛውም የመጨረሻ እሴቶች. በጣም የታወቁት ዋጋዎች ዜሮ እሴቶች ናቸው, ምክንያቱም ይህ ለማግኘት በጣም ቀላሉ ከፊል መፍትሄ ነው.
መተካት ( x 2 = 0; x 4 = 0) ወደ አጠቃላይ መፍትሄ ፣ ከተወሰኑ መፍትሄዎች ውስጥ አንዱን እናገኛለን
ወይም ከዋጋዎች ጋር ከነጻ ተለዋዋጮች ጋር የሚዛመድ የተለየ መፍትሄ ነው ( x 2 = 0; x 4 = 0).
ሌላ ጣፋጭ ጥንድ ጥንድ ነው ፣ እንተካ ( x 2 = 1 እና x 4 = 1) ወደ አጠቃላይ መፍትሄ;
ማለትም (-1; 1; 1; 1) - ሌላ የተለየ መፍትሄ.
የእኩልታዎች ስርዓት እንዳለው ለማየት ቀላል ነው። እጅግ በጣም ብዙ መፍትሄዎችነፃ ተለዋዋጮችን መስጠት ስለምንችል ማንኛውምትርጉሞች.
እያንዳንዱየተለየ መፍትሄ ማሟላት አለበት ለእያንዳንዱየስርዓቱ እኩልነት. ይህ የመፍትሄውን ትክክለኛነት "ፈጣን" ለማጣራት መሰረት ነው. ለምሳሌ ልዩውን መፍትሄ (-1; 1; 1; 1) ውሰድ እና በእያንዳንዱ የዋናው ስርዓት እኩልታ በግራ በኩል ተካው:
ሁሉም ነገር አንድ ላይ መሆን አለበት. እና ከተቀበሉት ማንኛውም የተለየ መፍትሄ, ሁሉም ነገር እንዲሁ መስማማት አለበት.
በትክክል ለመናገር, አንድ የተወሰነ መፍትሄ መፈተሽ አንዳንድ ጊዜ ማታለል ነው, ማለትም. አንዳንድ ልዩ መፍትሄዎች እያንዳንዱን የስርዓቱን እኩልነት ሊያሟሉ ይችላሉ, ነገር ግን አጠቃላይ መፍትሔው ራሱ በትክክል በስህተት ተገኝቷል. ስለዚህ, በመጀመሪያ ደረጃ, የአጠቃላይ መፍትሔው ማረጋገጫ የበለጠ ጥልቀት ያለው እና አስተማማኝ ነው.
የተገኘውን አጠቃላይ መፍትሄ እንዴት ማረጋገጥ እንደሚቻል 
?
አስቸጋሪ አይደለም, ነገር ግን አንዳንድ ረጅም ለውጦችን ይፈልጋል. መግለጫዎችን መውሰድ አለብን መሰረታዊተለዋዋጮች, በዚህ ጉዳይ ላይ 
እና , እና በእያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታ በግራ በኩል ይተኩዋቸው.
በስርአቱ የመጀመሪያ እኩልታ በግራ በኩል፡-
የስርዓቱ የመጀመሪያ የመጀመሪያ እኩልታ በቀኝ በኩል ይገኛል.
በሁለተኛው የስርዓቱ እኩልታ በግራ በኩል:
የስርዓቱ የመጀመሪያ ሁለተኛ እኩልታ በቀኝ በኩል ይገኛል.
እና ከዚያ - ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እና አራተኛው እኩልታ በግራ በኩል። ይህ ቼክ ረዘም ያለ ጊዜ ይወስዳል ነገር ግን የአጠቃላይ መፍትሄ 100% ትክክለኛነት ዋስትና ይሰጣል። በተጨማሪም, አንዳንድ ስራዎች አጠቃላይ መፍትሄን መፈተሽ ይጠይቃሉ.
ምሳሌ 4፡
የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ. አጠቃላይ መፍትሔ እና ሁለት ልዩ የሆኑትን ያግኙ. አጠቃላይ መፍትሔውን ይፈትሹ.
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። እዚህ ፣ በነገራችን ላይ ፣ እንደገና ፣ የእኩልታዎች ቁጥር ከማይታወቁት ብዛት ያነሰ ነው ፣ ይህ ማለት ስርዓቱ የማይጣጣም ወይም ያልተገደበ የመፍትሄዎች ብዛት እንዳለው ወዲያውኑ ግልፅ ነው።
ምሳሌ 5፡
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ. ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ካሉት ሁለት ልዩ መፍትሄዎችን ይፈልጉ እና አጠቃላይ መፍትሄውን ያረጋግጡ
መፍትሄ፡-የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
(1) የመጀመሪያውን መስመር ወደ ሁለተኛው መስመር ያክሉት. ወደ ሶስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ 2 ተባዝተን እንጨምራለን. በአራተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ 3 ተባዝተናል.
(2) ወደ ሦስተኛው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ (-5) ተባዝተናል. ወደ አራተኛው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ (-7) ተባዝተናል.
(3) ሦስተኛው እና አራተኛው መስመሮች አንድ ናቸው, ከመካከላቸው አንዱን እንሰርዛለን. ይህ እንደዚህ ያለ ውበት ነው-
መሰረታዊ ተለዋዋጮች በደረጃዎች ላይ ተቀምጠዋል, ስለዚህ - መሰረታዊ ተለዋዋጮች.
እዚህ አንድ እርምጃ ያላገኘው አንድ ነጻ ተለዋዋጭ ብቻ አለ፡.
(4) የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ. መሰረታዊ ተለዋዋጮችን በነጻ ተለዋዋጭ እንግለጽ፡-
ከሦስተኛው እኩልታ፡-
ሁለተኛውን እኩልታ እናስብ እና የተገኘውን አገላለጽ በእሱ ውስጥ እንተካው።
, 
, ,
የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና የተገኙትን አገላለጾች እንተካውና በእሱ ውስጥ፡-
ስለዚህ, አጠቃላይ መፍትሄ ከአንድ ነፃ ተለዋዋጭ ጋር x 4:
አሁንም እንዴት ሆነ? ነፃ ተለዋዋጭ x 4 ብቻውን በትክክለኛው አራተኛ ቦታ ተቀምጧል። ለመሠረታዊ ተለዋዋጮች የመነጩ መግለጫዎች እንዲሁ በቦታው አሉ።
ወዲያውኑ አጠቃላይ መፍትሔውን እንፈትሽ.
በእያንዳንዱ የስርአቱ እኩልታ በግራ በኩል ያሉትን መሰረታዊ ተለዋዋጮችን እንተካለን።
የእኩልታዎቹ ተጓዳኝ የቀኝ እጆች ይገኛሉ, ስለዚህም ትክክለኛው አጠቃላይ መፍትሄ ተገኝቷል.
አሁን ከተገኘው አጠቃላይ መፍትሄ 
ሁለት ልዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን. ሁሉም ተለዋዋጮች እዚህ በአንድ ነጠላ በኩል ተገልጸዋል ነፃ ተለዋዋጭ x 4 . አእምሮዎን መጨናነቅ አያስፈልግም.
ፍቀድ x 4 = 0 እንግዲህ 
- የመጀመሪያው ልዩ መፍትሄ.
ፍቀድ x 4 = 1 እንግዲህ 
- ሌላ የግል መፍትሄ.
መልስ፡-የጋራ ውሳኔ፡- . የግል መፍትሄዎች;
እና.
ምሳሌ 6፡
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ።
አጠቃላዩን መፍትሄ አስቀድመን መርምረናል, መልሱ ሊታመን ይችላል. የእርስዎ መፍትሔ ከኛ መፍትሔ ሊለያይ ይችላል. ዋናው ነገር አጠቃላይ ውሳኔዎች ይጣጣማሉ. ብዙ ሰዎች በመፍትሔዎቹ ውስጥ አንድ ደስ የማይል ጊዜ አስተውለው ይሆናል፡- ብዙ ጊዜ የጋውስ ዘዴን ስንቀይር፣ መመርመር ነበረብን። ተራ ክፍልፋዮች. በተግባር ፣ ይህ በእርግጥ ነው ፣ ክፍልፋዮች የሌሉባቸው ጉዳዮች በጣም አናሳ ናቸው። በአእምሯዊ እና ከሁሉም በላይ, በቴክኒካዊ ሁኔታ ዝግጁ ይሁኑ.
በተፈቱ ምሳሌዎች ውስጥ ያልተገኙ የመፍትሄው ገፅታዎች ላይ እናተኩር. የስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ አንዳንድ ጊዜ ቋሚ (ወይም ቋሚ) ሊያካትት ይችላል.
ለምሳሌ አጠቃላይ መፍትሄ፡. እዚህ አንዱ መሠረታዊ ተለዋዋጮች እኩል ነው። ቋሚ ቁጥር. በዚህ ውስጥ ምንም እንግዳ ነገር የለም, ይከሰታል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በዚህ ሁኔታ, ማንኛውም የተለየ መፍትሄ በመጀመሪያ ቦታ ላይ አምስት ይይዛል.
በጣም አልፎ አልፎ ፣ ግን በውስጣቸው ያሉ ስርዓቶች አሉ። የእኩልታዎች ብዛት ከተለዋዋጮች ብዛት ይበልጣል. ይሁን እንጂ የጋውሲያን ዘዴ በጣም አስቸጋሪ በሆኑ ሁኔታዎች ውስጥ ይሠራል. መደበኛውን ስልተ-ቀመር በመጠቀም የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ በረጋ መንፈስ መቀነስ አለብዎት። እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት ወጥነት የሌለው ሊሆን ይችላል፣ ብዙ መፍትሔዎች ሊኖሩት ይችላል፣ እና በሚያስገርም ሁኔታ፣ አንድ ነጠላ መፍትሔ ሊኖረው ይችላል።
ምክራችንን እንድገመው - የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓትን ሲፈቱ ምቾት እንዲሰማዎት, ቢያንስ አስራ ሁለት ስርዓቶችን በመፍታት ጥሩ መሆን አለብዎት.
መፍትሄዎች እና መልሶች:
ምሳሌ 2፡
መፍትሄ፡-የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ደረጃ መሄጃ ቅፅ እናምጣው.
የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ተከናውነዋል፡-
(1) የመጀመሪያው እና ሦስተኛው መስመሮች ተለዋውጠዋል.
(2) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ (-6) ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር በ (-7) ተባዝቶ ወደ ሶስተኛው መስመር ተጨምሯል።
(3) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ (-1) ተባዝቷል.
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት የቅጹ ሕብረቁምፊ ተገኝቷል፣ የት λ ≠ 0 .ይህ ማለት ስርዓቱ ወጥነት የለውም.መልስ፡- ምንም መፍትሄዎች የሉም.
ምሳሌ 4፡
መፍትሄ፡-የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
የተደረጉ ልወጣዎች፡-
(1) የመጀመሪያው መስመር በ 2 ተባዝቶ ወደ ሁለተኛው መስመር ተጨምሯል ።
ለሁለተኛው ደረጃ ምንም አሃድ የለም , እና ትራንስፎርሜሽን (2) እሱን ለማግኘት ያለመ ነው።
(2) ሦስተኛው መስመር ወደ ሁለተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል.
(3) ሁለተኛው እና ሦስተኛው መስመሮች ተለዋወጡ (ውጤቱን -1 ወደ ሁለተኛው ደረጃ አንቀሳቅሰናል)
(4) ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 3 ተባዝቷል.
(5) የመጀመሪያዎቹ ሁለት መስመሮች ምልክታቸው ተቀይሯል (በ-1 ተባዝቷል)፣ ሦስተኛው መስመር በ14 ተከፍሏል።
ተገላቢጦሽ፡
(1) እዚህ መሰረታዊ ተለዋዋጮች (በእርምጃዎች ላይ ያሉት) እና - ነፃ ተለዋዋጮች (እርምጃ ያላገኙ)።
(2) መሰረታዊ ተለዋዋጮችን በነፃ ተለዋዋጮች እንግለጽ፡-
ከሦስተኛው እኩልታ፡- .
(3) ሁለተኛውን እኩልታ አስቡበት፡-የግል መፍትሄዎች፡-
መልስ፡- የጋራ ውሳኔ፡- 
ውስብስብ ቁጥሮች
በዚህ ክፍል ውስጥ ጽንሰ-ሐሳቡን እናስተዋውቃለን ውስብስብ ቁጥር፣ አስቡበት አልጀብራ, ትሪግኖሜትሪክእና ገላጭ ቅጽውስብስብ ቁጥር. እንዲሁም ውስብስብ ቁጥሮችን እንዴት ማከናወን እንደሚቻል እንማራለን-መደመር ፣ መቀነስ ፣ ማባዛት ፣ ማካፈል ፣ ገላጭ እና ስር ማውጣት።
ውስብስብ ቁጥሮችን ለመቆጣጠር ከከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ልዩ እውቀት አያስፈልግም, እና ቁሱ ለትምህርት ቤት ልጆች እንኳን ተደራሽ ነው. የአልጀብራ ስራዎችን በ "ተራ" ቁጥሮች ማከናወን መቻል በቂ ነው, እና ትሪጎኖሜትሪ ያስታውሱ.
በመጀመሪያ፣ “ተራ” የሆኑትን ቁጥሮች እናስታውስ። በሂሳብ ተጠርተዋል የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብእና በደብዳቤው ተለይተዋል አር፣ወይም R (ወፍራም)። ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች በሚታወቀው የቁጥር መስመር ላይ ይቀመጣሉ፡
የእውነተኛ ቁጥሮች ኩባንያ በጣም የተለያየ ነው - እዚህ ኢንቲጀር, ክፍልፋዮች እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች አሉ. በዚህ ሁኔታ ፣ በቁጥር ዘንግ ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ ከአንዳንድ እውነተኛ ቁጥሮች ጋር ይዛመዳል።
ከ ግልጽ ነው የክሬመር ቲዎሪየመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ሲፈቱ ሶስት ጉዳዮች ሊከሰቱ ይችላሉ፡
የመጀመሪያው ጉዳይ፡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው።
(ስርአቱ ወጥነት ያለው እና የተወሰነ ነው)
ሁለተኛ ጉዳይ፡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት
(ስርአቱ ወጥነት ያለው እና እርግጠኛ ያልሆነ)
** 
,
እነዚያ። የማያውቁት እና የነጻው ቃላቶች ተመጣጣኝ ናቸው።
ሦስተኛው ጉዳይ፡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም።
(ስርአቱ ወጥነት የለውም)
ስለዚህ ስርዓቱ ኤምጋር መስመራዊ እኩልታዎች nተለዋዋጮች ተብለው ይጠራሉ የጋራ ያልሆነ, አንድ ነጠላ መፍትሄ ከሌለች እና መገጣጠሚያ, ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለው. አንድ መፍትሄ ብቻ ያለው በአንድ ጊዜ ያለው የእኩልታዎች ስርዓት ይባላል የተወሰነእና ከአንድ በላይ - እርግጠኛ ያልሆነ.
የCramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ምሳሌዎች
ስርዓቱ ይሰጥ
.
በ Cramer's ቲዎሬም ላይ የተመሠረተ
………….
,
የት 
-
የስርዓት መወሰኛ. ዓምዱን በተዛማጅ ተለዋዋጭ (የማይታወቅ) ቅንጅቶች በነፃ ቃላት በመተካት ቀሪዎቹን ቆራጮች እናገኛለን፡-
ምሳሌ 2.
.
ስለዚህ, ስርዓቱ የተወሰነ ነው. የእሱን መፍትሄ ለማግኘት, ወሳኙን እናሰላለን
የCramer ቀመሮችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን
ስለዚህ, (1; 0; -1) ለስርዓቱ ብቸኛው መፍትሄ ነው.
የእኩልታዎች 3 X 3 እና 4 X 4 መፍትሄዎችን ለመፈተሽ የCramer's መፍታት ዘዴን በመጠቀም የመስመር ላይ ካልኩሌተርን መጠቀም ይችላሉ።
በመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ውስጥ በአንድ ወይም በብዙ እኩልታዎች ውስጥ ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉ ፣በወሳኙ ውስጥ ተጓዳኝ አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው! ይህ ቀጣዩ ምሳሌ ነው።
ምሳሌ 3.የCramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡-
.
መፍትሄ። የስርዓቱን መመዘኛ እናገኛለን-
የእኩልታዎችን ስርዓት በጥንቃቄ ይመልከቱ እና የስርዓቱን ወሳኙን ይመልከቱ እና አንድ ወይም ብዙ የወሳኙ አካላት ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆኑበት ጊዜ ለሚለው ጥያቄ መልሱን ይድገሙት። ስለዚህ, ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ ስርዓቱ የተወሰነ ነው. የእሱን መፍትሄ ለማግኘት, ለማይታወቁት መለኪያዎችን እናሰላለን
የCramer ቀመሮችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን
ስለዚህ የስርዓቱ መፍትሄ (2; -1; 1) ነው.
6. አጠቃላይ የመስመር ስርዓት የአልጀብራ እኩልታዎች. Gauss ዘዴ.
እንደምናስታውሰው, የ Cramer's አገዛዝ እና የማትሪክስ ዘዴ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ውስጥ ተስማሚ አይደሉም. Gauss ዘዴ – ለማንኛውም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁለገብ መሳሪያ፣ የትኛው በእያንዳንዱ ሁኔታወደ መልሱ ይመራናል! የስልት አልጎሪዝም በራሱ በሶስቱም ሁኔታዎች ተመሳሳይ ነው የሚሰራው. የ Cramer እና ማትሪክስ ዘዴዎች የመወሰን ዕውቀትን የሚሹ ከሆነ የጋውስ ዘዴን ለመተግበር የሂሳብ ስራዎችን እውቀት ብቻ ያስፈልግዎታል ፣ ይህም ለትምህርት ቤት ልጆች እንኳን ተደራሽ ያደርገዋል ። የመጀመሪያ ደረጃ ክፍሎች.
በመጀመሪያ፣ ስለ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ትንሽ እውቀትን እናውጅ። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ማድረግ ይችላል:
1) ልዩ መፍትሄ ይኑርዎት.
2) ብዙ መፍትሄዎች አሉ ።
3) መፍትሄ የለንም (ይሁን የጋራ ያልሆነ).
የ Gauss ዘዴ መፍትሔ ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁሉን አቀፍ መሳሪያ ነው ማንኛውምየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. እንደምናስታውሰው፣ የክሬመር ደንብ እና ማትሪክስ ዘዴስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ውስጥ ተስማሚ አይደሉም። እና የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ለማንኛውምወደ መልሱ ይመራናል! በዚህ ትምህርት, የጋውስ ዘዴን ለጉዳይ ቁጥር 1 (ለስርዓቱ ብቸኛው መፍትሄ) እንደገና እንመለከታለን, ጽሑፉ በነጥቦች ቁጥር 2-3 ላይ ያተኮረ ነው. የስልቱ ስልተ ቀመር በራሱ በሶስቱም ጉዳዮች ላይ ተመሳሳይ እንደሚሰራ አስተውያለሁ።
ከትምህርቱ ወደ ቀላሉ ስርዓት እንመለስ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ?
እና የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መፍታት.
የመጀመሪያው እርምጃ መጻፍ ነው የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ:
. እኔ እንደማስበው ፣ ሁሉም ሰው ውህዶች በየትኛው መርህ እንደተፃፉ ማየት ይችላል። በማትሪክስ ውስጥ ያለው ቀጥ ያለ መስመር ምንም ዓይነት የሂሳብ ትርጉም የለውም - በቀላሉ ለንድፍ ቀላልነት ምልክት ነው።
ማጣቀሻ:እንድታስታውስ እመክራለሁ። ውሎችመስመራዊ አልጀብራ. የስርዓት ማትሪክስለማይታወቁ ውህዶች ብቻ የተዋቀረ ማትሪክስ ነው፣ በዚህ ምሳሌ የስርዓቱ ማትሪክስ፡. የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ- ይህ የስርዓቱ ተመሳሳይ ማትሪክስ እና የነፃ ቃላት አምድ ነው፣ በዚህ ሁኔታ፡. በአጭሩ ማንኛውም ማትሪክስ በቀላሉ ማትሪክስ ተብሎ ሊጠራ ይችላል።
የተራዘመው የስርዓት ማትሪክስ ከተፃፈ በኋላ አንዳንድ ድርጊቶችን ከእሱ ጋር ማከናወን አስፈላጊ ነው, እነሱም ይጠራሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች.
የሚከተሉት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ:
1) ሕብረቁምፊዎችማትሪክስ እንደገና ማስተካከል ይቻላልበአንዳንድ ቦታዎች. ለምሳሌ ፣ ከግምት ውስጥ ባለው ማትሪክስ ውስጥ ፣ የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን ያለምንም ህመም እንደገና ማስተካከል ይችላሉ- 
2) ማትሪክስ ካለው (ወይም ከታየ) ተመጣጣኝ (እንደ ልዩ ጉዳይ- ተመሳሳይ) መስመሮች, ከዚያም ይከተላል ሰርዝእነዚህ ሁሉ ረድፎች ከአንድ በስተቀር ከማትሪክስ ናቸው። ለምሳሌ ማትሪክስን አስቡበት 
. በዚህ ማትሪክስ ውስጥ የመጨረሻዎቹ ሶስት ረድፎች ተመጣጣኝ ናቸው ፣ ስለሆነም ከመካከላቸው አንዱን ብቻ መተው በቂ ነው- 
.
3) በትራንስፎርሜሽን ጊዜ ዜሮ ረድፍ በማትሪክስ ውስጥ ከታየ እንዲሁ መሆን አለበት። ሰርዝ. እኔ አልሳልም, በእርግጥ, ዜሮ መስመር በውስጡ መስመር ነው ሁሉም ዜሮዎች.
4) የማትሪክስ ረድፍ ሊሆን ይችላል ማባዛት (መከፋፈል)ለማንኛውም ቁጥር ዜሮ ያልሆነ. ለምሳሌ, ማትሪክስ . እዚህ የመጀመሪያውን መስመር በ -3 መከፋፈል እና ሁለተኛውን መስመር በ 2 ማባዛት ጥሩ ነው. 
. ይህ እርምጃ የማትሪክስ ተጨማሪ ለውጦችን ስለሚያቃልል በጣም ጠቃሚ ነው.
5) ይህ ለውጥ በጣም ችግሮችን ያስከትላል, ግን በእውነቱ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. ወደ ማትሪክስ ረድፍ ማድረግ ይችላሉ። በቁጥር ተባዝቶ ሌላ ሕብረቁምፊ ጨምር, ከዜሮ የተለየ. የእኛን ማትሪክስ ከተግባራዊ ምሳሌ እንመልከተው፡. በመጀመሪያ ለውጡን በሰፊው እገልጻለሁ። የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ማባዛት: 
, እና ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን: 
. አሁን የመጀመሪያው መስመር "ተመለስ" በ -2: ሊከፋፈል ይችላል. እንደሚመለከቱት ፣ የታከለው መስመር ኤል.አይ – አልተለወጠም. ሁሌምየታከለው መስመር ይለወጣል ዩቲ.
በተግባር ፣ በእርግጥ ፣ በእንደዚህ ዓይነት ዝርዝር ውስጥ አይጽፉም ፣ ግን በአጭሩ ይፃፉ- 
አንዴ በድጋሚ: ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር ተጨምሯል -2 ተባዝቷል።. አንድ መስመር ብዙውን ጊዜ የሚባዛው በቃል ወይም በረቂቅ ላይ ነው፣ የአዕምሮ ስሌት ሂደቱ እንደዚህ ይመስላል፡-
"ማትሪክስ እንደገና ጻፍኩ እና የመጀመሪያውን መስመር እንደገና ጻፍኩት፡- 
»
"የመጀመሪያው አምድ። ከታች ዜሮ ማግኘት አለብኝ. ስለዚህ, ከላይ ያለውን በ -2: በማባዛት, እና የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 2 + (-2) = 0. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. 
»
"አሁን ሁለተኛው ዓምድ። ከላይ, እኔ -1 በ -2 ማባዛት:. የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 1 + 2 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. 
»
"እና ሦስተኛው ዓምድ. ከላይ -5 በ -2 እባዛለሁ: የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: -7 + 10 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »
እባክዎን ይህንን ምሳሌ በጥንቃቄ ያስቡ እና ይረዱ ተከታታይ ስልተ ቀመርስሌቶች ፣ ይህንን ከተረዱ ፣ ከዚያ የ Gaussian ዘዴ በተግባር “በኪስዎ ውስጥ” አለ። ግን በእርግጥ በዚህ ለውጥ ላይ አሁንም እንሰራለን።
የአንደኛ ደረጃ ለውጦች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ አይለውጡም።
! ትኩረት: እንደ ማጭበርበር ይቆጠራል መጠቀም አይቻልምማትሪክስ “በራሳቸው” የተሰጡበት ተግባር ከቀረበልዎ። ለምሳሌ፣ ከ “ክላሲካል” ጋር ማትሪክስ ጋር ክወናዎችበምንም አይነት ሁኔታ በማትሪክስ ውስጥ ማንኛውንም ነገር እንደገና ማስተካከል የለብዎትም!
ወደ ስርዓታችን እንመለስ። በተግባር ወደ ቁርጥራጮች ይወሰዳል.
የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ላይ እንቀንስ በደረጃ እይታ:
(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. እና በድጋሚ: ለምን የመጀመሪያውን መስመር በ -2 እናባዛለን? ከታች ዜሮ ለማግኘት, ይህም ማለት በሁለተኛው መስመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ማስወገድ ማለት ነው.
(2) ሁለተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.
የአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዓላማ –
ማትሪክስ ወደ ደረጃ በደረጃ ቅፅ ይቀንሱ 
. በምደባው ቅጽ ላይ በግልጽ ተቀምጧል በቀላል እርሳስ"ደረጃዎች", እና እንዲሁም በ "ደረጃዎች" ላይ የሚገኙትን ቁጥሮች ክብ. "የእርምጃ እይታ" የሚለው ቃል በራሱ ሙሉ በሙሉ ንድፈ ሐሳብ አይደለም, በሳይንሳዊ እና ትምህርታዊ ሥነ ጽሑፍብዙ ጊዜ ይባላል ትራፔዞይድ እይታወይም የሶስት ማዕዘን እይታ.
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት, አገኘን ተመጣጣኝኦሪጅናል የእኩልታዎች ስርዓት;
አሁን ስርዓቱ በተቃራኒው አቅጣጫ "መቀልበስ" ያስፈልጋል - ከታች ወደ ላይ ይህ ሂደት ይባላል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ.
በታችኛው እኩልታ ውስጥ አስቀድመን አለን። የተጠናቀቀ ውጤት: .
የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና ቀድሞውንም በእሱ ውስጥ እንተካው። የታወቀ ዋጋ"Y":
የ Gaussian ዘዴ የሶስት መስመር እኩልታዎችን ከሶስት የማይታወቁ ጋር መፍታት ሲፈልግ በጣም የተለመደውን ሁኔታ እናስብ።
ምሳሌ 1
የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡- 
የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ፡- 
አሁን በመፍትሔው ጊዜ የምንመጣበትን ውጤት ወዲያውኑ እሳለሁ- 
እና እደግመዋለሁ ፣ ግባችን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ ማምጣት ነው። የት መጀመር?
መጀመሪያ ከላይ በግራ በኩል ያለውን ቁጥር ይመልከቱ፡- 
ሁልጊዜ ማለት ይቻላል እዚህ መሆን አለበት። ክፍል. በአጠቃላይ፣ -1 (እና አንዳንድ ጊዜ ሌሎች ቁጥሮች) ይሰራሉ፣ ግን በሆነ መንገድ አንድ ሰው ብዙውን ጊዜ እዚያ እንደሚቀመጥ በተለምዶ ተከሰተ። ክፍልን እንዴት ማደራጀት ይቻላል? የመጀመሪያውን አምድ እንመለከታለን - የተጠናቀቀ ክፍል አለን! ትራንስፎርሜሽን አንድ፡ የመጀመሪያውን እና ሶስተኛውን መስመር ይቀያይሩ፡ 
አሁን የመጀመሪያው መስመር እስከ መፍትሄው መጨረሻ ድረስ ሳይለወጥ ይቆያል. አሁን ደህና።
በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ያለው ክፍል ተደራጅቷል. አሁን በእነዚህ ቦታዎች ላይ ዜሮዎችን ማግኘት አለብዎት: 
"አስቸጋሪ" ለውጥን በመጠቀም ዜሮዎችን እናገኛለን. በመጀመሪያ ከሁለተኛው መስመር (2, -1, 3, 13) ጋር እንገናኛለን. በመጀመሪያ ቦታ ዜሮ ለማግኘት ምን መደረግ አለበት? ያስፈልጋል ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአስተሳሰብ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ -2: (–2, -4, 2, -18) ማባዛት. እና በተከታታይ (በድጋሚ በአእምሮ ወይም በረቂቅ) መደመርን እናከናውናለን ፣ ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን, ቀድሞውኑ በ -2 ተባዝተናል:
ውጤቱን በሁለተኛው መስመር ውስጥ እንጽፋለን- 
ሶስተኛውን መስመር በተመሳሳይ መንገድ (3, 2, -5, -1) እንሰራለን. በመጀመሪያው ቦታ ላይ ዜሮ ለማግኘት, ያስፈልግዎታል ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአስተሳሰብ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ -3: (–3, -6, 3, -27) ማባዛት. እና ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝተን እንጨምራለን:
ውጤቱን በሶስተኛው መስመር እንጽፋለን-
በተግባር እነዚህ ድርጊቶች በአብዛኛው የሚከናወኑት በቃል እና በአንድ ደረጃ ነው፡- 
ሁሉንም ነገር በአንድ ጊዜ እና በተመሳሳይ ጊዜ መቁጠር አያስፈልግም. የስሌቶች ቅደም ተከተል እና ውጤቱን "በመፃፍ". ወጥነት ያለውእና ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ነው-መጀመሪያ የመጀመሪያውን መስመር እንደገና እንጽፋለን ፣ እና ቀስ በቀስ እራሳችንን እንመካለን - ያለማቋረጥ እና በትኩረት:
እና ቀደም ሲል ስለ ስሌቶቹ እራሳቸው ስለ አእምሮአዊ ሂደት ተወያይቻለሁ.
በዚህ ምሳሌ, ይህን ማድረግ ቀላል ነው, ሁለተኛውን መስመር በ -5 እንከፍላለን (ሁሉም ቁጥሮች ሳይቀሩ በ 5 ይከፈላሉ). በተመሳሳይ ጊዜ, ሶስተኛውን መስመር በ -2 እናካፋለን, ምክንያቱም ምን ያነሰ ቁጥር፣ እነዚያ ቀለል ያለ መፍትሄ:
በርቷል የመጨረሻ ደረጃየመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች እዚህ ሌላ ዜሮ ለማግኘት ያስፈልግዎታል 
ለዚህ ወደ ሦስተኛው መስመር ሁለተኛውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን:
ይህንን ድርጊት እራስዎ ለማወቅ ይሞክሩ - በአእምሮ ሁለተኛውን መስመር በ -2 በማባዛት እና ተጨማሪውን ያከናውኑ።
የመጨረሻው የተከናወነው ተግባር የውጤቱ የፀጉር አሠራር ነው, ሶስተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት ተመጣጣኝ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት ተገኝቷል- 
ጥሩ.
አሁን የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ ወደ ጨዋታ ይመጣል። እኩልታዎቹ ከታች ወደ ላይ "ይቀልጣሉ".
በሦስተኛው እኩልታ ውስጥ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን-
ሁለተኛውን እኩልታ እንመልከት፡- . የ"zet" ትርጉም አስቀድሞ ይታወቃል፣ ስለዚህም፡-
እና በመጨረሻም, የመጀመሪያው እኩልታ:. “ኢግሬክ” እና “ዜት” ይታወቃሉ፣ የትንሽ ነገሮች ጉዳይ ብቻ ነው።
መልስ: 
ቀደም ሲል በተደጋጋሚ እንደተገለጸው, ለማንኛውም የእኩልታዎች ስርዓት የተገኘውን መፍትሄ ማረጋገጥ ይቻላል እና አስፈላጊ ነው, እንደ እድል ሆኖ, ይህ ቀላል እና ፈጣን ነው.
ምሳሌ 2
ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው, የመጨረሻው ንድፍ ናሙና እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልስ.
የእርስዎ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል የውሳኔው ሂደትከውሳኔዬ ጋር ላይስማማ ይችላል ፣ እና ይህ የጋውስ ዘዴ ባህሪ ነው. ግን መልሱ አንድ መሆን አለበት!
ምሳሌ 3
የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ 
የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
የላይኛውን ግራ "ደረጃ" እንመለከታለን. እዚያ ሊኖረን ይገባል. ችግሩ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ምንም ክፍሎች ስለሌሉ ረድፎችን ማስተካከል ምንም ነገር አይፈታም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ክፍሉ በአንደኛ ደረጃ ለውጥን በመጠቀም መደራጀት አለበት. ይህ አብዛኛውን ጊዜ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህን አደረግሁ፡-
(1) ወደ መጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ -1 ተባዝተናል. ማለትም ሁለተኛውን መስመር በ-1 በማባዛት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ስንጨምር ሁለተኛው መስመር ግን አልተለወጠም።
አሁን ከላይ በግራ በኩል "አንድ ሲቀነስ" አለ, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው. +1 ማግኘት የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ተጨማሪ እንቅስቃሴ ማድረግ ይችላል፡ የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ማባዛት (ምልክቱን ይቀይሩ)።
(2) የመጀመሪያው መስመር በ 5 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል ።
(3) የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል, በመርህ ደረጃ, ይህ ለውበት ነው. የሶስተኛው መስመር ምልክትም ተለወጠ እና ወደ ሁለተኛ ቦታ ተወስዷል, ስለዚህም በሁለተኛው "ደረጃ" ላይ አስፈላጊው ክፍል ነበረን.
(4) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 2 ተባዝቷል.
(5) ሦስተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል.
በስሌቶች ውስጥ ስህተትን የሚያመለክት መጥፎ ምልክት (በጣም አልፎ አልፎ, ትየባ) "መጥፎ" የታችኛው መስመር ነው. ማለትም፣ እንደ ከታች፣ እና፣ በዚህ መሰረት፣ 
, ከዚያም በከፍተኛ ደረጃ ዕድል በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ወቅት ስህተት ተፈጥሯል ማለት እንችላለን.
ተቃራኒውን እናስከፍላለን ፣ በምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ ብዙውን ጊዜ ስርዓቱን እንደገና አይጽፉም ፣ ግን እኩልታዎቹ “ከተሰጠው ማትሪክስ በቀጥታ የተወሰዱ ናቸው”። የተገላቢጦሽ ምት, አስታውሳችኋለሁ, ከታች ወደ ላይ ይሠራል. አዎ ስጦታ ይኸውና፡-
መልስ: 
.
ምሳሌ 4
የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ 
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው, በተወሰነ ደረጃ የተወሳሰበ ነው. አንድ ሰው ግራ ቢገባ ችግር የለውም። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና ናሙና ንድፍ. የእርስዎ መፍትሔ ከእኔ መፍትሔ የተለየ ሊሆን ይችላል.
በመጨረሻው ክፍል የ Gaussian ስልተ ቀመር አንዳንድ ባህሪያትን እንመለከታለን.
የመጀመሪያው ባህሪ አንዳንድ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች ከስርዓት እኩልታዎች ይጎድላሉ፣ ለምሳሌ፡- 
የተራዘመውን የስርዓት ማትሪክስ እንዴት በትክክል መጻፍ እንደሚቻል? በክፍል ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ አስቀድሜ ተናግሬያለሁ. የክሬመር አገዛዝ. ማትሪክስ ዘዴ. በተዘረጋው የስርዓቱ ማትሪክስ ውስጥ፣ የጎደሉትን ተለዋዋጮች ምትክ ዜሮዎችን እናስቀምጣለን። 
በነገራችን ላይ ይህ በጣም ቀላል ምሳሌ ነው ፣ ምክንያቱም የመጀመሪያው አምድ ቀድሞውኑ አንድ ዜሮ ስላለው እና ለማከናወን ጥቂት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ።
ሁለተኛው ባህሪ ይህ ነው. በተጠቀሱት ሁሉም ምሳሌዎች ውስጥ -1 ወይም +1 በ "ደረጃዎች" ላይ አስቀምጠናል. እዚያ ሌሎች ቁጥሮች ሊኖሩ ይችላሉ? በአንዳንድ ሁኔታዎች ይችላሉ. ስርዓቱን አስቡበት፡- 
.
እዚህ በላይኛው ግራ "እርምጃ" ላይ ሁለት አለን. ነገር ግን በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ቁጥሮች ያለቀሪ በ 2 የሚካፈሉ መሆናቸውን እናስተውላለን - ሌላኛው ደግሞ ሁለት እና ስድስት ነው። እና ከላይ በግራ በኩል ያሉት ሁለቱ ተስማሚ ይሆናሉ! በመጀመሪያው ደረጃ, የሚከተሉትን ለውጦች ማከናወን ያስፈልግዎታል: የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ተባዝቶ ወደ ሁለተኛው መስመር ይጨምሩ; ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ። በዚህ መንገድ በመጀመሪያው አምድ ውስጥ አስፈላጊዎቹን ዜሮዎች እናገኛለን.
ወይም ሌላ የተለመደ ምሳሌ: 
. እዚህ በሁለተኛው “እርምጃ” ላይ ያሉት ሦስቱ እኛንም ይስማማናል ምክንያቱም 12 (ዜሮ የምናገኝበት ቦታ) ያለቀሪ በ 3 ይከፈላል ። የሚከተለውን ለውጥ ማካሄድ አስፈላጊ ነው-ሁለተኛውን መስመር ወደ ሶስተኛው መስመር ይጨምሩ, በ -4 ተባዝተዋል, በዚህም ምክንያት የምንፈልገው ዜሮ ይገኛል.
የጋውስ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው, ግን አንድ የተለየ ነገር አለ. ሌሎች ዘዴዎችን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት በልበ ሙሉነት መማር ይችላሉ (Cramer's method, matrix method) በጥሬው ለመጀመሪያ ጊዜ - በጣም ጥብቅ ስልተ-ቀመር አላቸው. ነገር ግን በ Gaussian ዘዴ በራስ መተማመን እንዲሰማዎት, በጥሩ ሁኔታ ማግኘት እና ቢያንስ 5-10 ስርዓቶችን መፍታት ያስፈልግዎታል. ስለዚህ, መጀመሪያ ላይ በስሌቶች ውስጥ ግራ መጋባት እና ስህተቶች ሊኖሩ ይችላሉ, እና በዚህ ውስጥ ምንም ያልተለመደ ወይም አሳዛኝ ነገር የለም.
ዝናባማ የበልግ የአየር ሁኔታ ከመስኮቱ ውጭ .... ስለዚህ, የበለጠ ለሚፈልጉ ሁሉ ውስብስብ ምሳሌለገለልተኛ መፍትሄ;
ምሳሌ 5
የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ከአራት የማይታወቁ ጋር የአራት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ። 
እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በተግባር እምብዛም አይደለም. እኔ ይህን ገጽ በደንብ ያጠና የሻይ ማንኪያ እንኳን እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት ለመፍታት ስልተ ቀመሩን የሚረዳው ይመስለኛል። በመሠረቱ, ሁሉም ነገር አንድ ነው - ተጨማሪ ድርጊቶች ብቻ አሉ.
ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ሳይኖረው (ወጥነት የሌለው) ወይም ብዙ መፍትሄዎች ያሉት ጉዳዮች በትምህርቱ ውስጥ ተብራርተዋል ከጋራ መፍትሄ ጋር የማይጣጣሙ ስርዓቶች እና ስርዓቶች. እዚያ የታሰበውን የ Gaussian ዘዴ ስልተ ቀመር ማስተካከል ይችላሉ።
ስኬት እመኛለሁ!
መፍትሄዎች እና መልሶች:
ምሳሌ 2፡ መፍትሄ: የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ደረጃ መሄጃ ቅፅ እናምጣው.
የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ተከናውነዋል፡-
(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -1 ተባዝቷል. ትኩረት!እዚህ የመጀመሪያውን ከሶስተኛው መስመር ለመቀነስ ትፈተኑ ይሆናል ። እንዳይቀንስ በጣም እመክራለሁ - የስህተት አደጋ በጣም ይጨምራል። ብቻ አጣጥፈው!
(2) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሁለተኛውና ሦስተኛው መስመር ተለዋውጧል። ማስታወሻ, በ "እርምጃዎች" ላይ አንድ ብቻ ሳይሆን በ -1 ረክተናል, ይህም የበለጠ ምቹ ነው.
(3) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 5 ተባዝቷል.
(4) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሦስተኛው መስመር በ 14 ተከፍሏል.
ተገላቢጦሽ፡
መልስ: 
.
ምሳሌ 4፡ መፍትሄየተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
የተደረጉ ልወጣዎች፡-
(1) ሁለተኛው መስመር በመጀመሪያው መስመር ላይ ተጨምሯል. ስለዚህ, የሚፈለገው ክፍል ከላይ በግራ "እርምጃ" ላይ ይደራጃል.
(2) የመጀመሪያው መስመር በ 7 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል ።
በሁለተኛው "እርምጃ" ሁሉም ነገር እየባሰ ይሄዳል, ለእሱ "እጩዎች" ቁጥሮች 17 እና 23 ናቸው, እና አንድ ወይም -1 ያስፈልገናል. ትራንስፎርሜሽን (3) እና (4) የሚፈለገውን ክፍል ለማግኘት ያለመ ይሆናል።
(3) ሁለተኛው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ ተባዝቷል -1።
(4) ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል.
በሁለተኛው ደረጃ ላይ አስፈላጊው ነገር ደርሷል.
.
(5) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 6 ተባዝቷል.
እንደ የትምህርቶቹ አካል Gaussian ዘዴእና ከጋራ መፍትሄ ጋር የማይጣጣሙ ስርዓቶች / ስርዓቶችየሚለውን ተመልክተናል ተመጣጣኝ ያልሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓቶች፣ የት ነጻ አባል(ብዙውን ጊዜ በቀኝ በኩል ነው) ቢያንስ አንድከ እኩልታዎች ከዜሮ የተለየ ነበር.
እና አሁን ፣ ከጥሩ ሙቀት በኋላ ማትሪክስ ደረጃ, ቴክኒኩን ማበጠርን እንቀጥላለን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችላይ የመስመር እኩልታዎች ተመሳሳይ ስርዓት.
በመጀመሪያዎቹ አንቀጾች ላይ በመመስረት, ቁሱ አሰልቺ እና መካከለኛ ሊመስል ይችላል, ነገር ግን ይህ ስሜት አታላይ ነው. ከተጨማሪ እድገት በተጨማሪ ቴክኒኮችብዙ አዳዲስ መረጃዎች ይኖራሉ, ስለዚህ እባክዎን በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያሉትን ምሳሌዎች ችላ እንዳይሉ ይሞክሩ.
