ዘዴው የማንኛውንም ቁጥር ተለዋዋጮች ሎጂካዊ አልጀብራ ተግባራትን ለመቀነስ ተፈጻሚ ይሆናል።

የሶስት ተለዋዋጮችን ሁኔታ እንመልከት። በዲኤንኤፍ ውስጥ ያለው የቦሊያን ተግባር በዲኤንኤፍ ውስጥ ሊካተቱ በሚችሉ ሁሉም ዓይነት ተያያዥ ቃላት መልክ ሊወከል ይችላል፡

kО (0,1) ጥምርታዎች ባሉበት. ዘዴው የተገኘው የዲኤንኤፍ (ዲ ኤን ኤፍ) አነስተኛ እንዲሆን የቁጥር መለኪያዎችን በመምረጥ ላይ ነው።

አሁን ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ የተለዋዋጮችን እሴቶች ከ 000 እስከ 111 ካዘጋጀን ፣ ቅንጅቶችን ለመወሰን 2 n (2 3 = 8) እኩልታዎችን እናገኛለን ክ:

ተግባሩ ዜሮ እሴት የሚወስድባቸውን ስብስቦች ግምት ውስጥ በማስገባት ከ 0 ጋር እኩል የሆኑትን መለኪያዎች ይወስኑ እና በቀኝ ጎናቸው ከያዙት እኩልታዎች ውስጥ ይሻገሩዋቸው 1. በእያንዳንዱ እኩልታ ውስጥ ከቀሪዎቹ ጥራዞች ውስጥ አንድ ኮፊሸን ከአንድ ጋር ይመሳሰላል, ይህም ይወስናል. የዝቅተኛው ደረጃ ጥምረት. የተቀሩት ጥራዞች ከ 0 ጋር እኩል ናቸው. ስለዚህ, የንጥል መጋጠሚያዎች ክተገቢውን ዝቅተኛ ቅጽ ይወስኑ.

ለምሳሌ. የተሰጠውን ተግባር አሳንስ

እሴቶቹ የሚታወቁ ከሆነ:
;
;
;
;
;
;
;
.

መፍትሄ።

የዜሮ ማመሳከሪያዎችን ካቋረጡ በኋላ እኛ እናገኛለን-

=1;

=1;

=1;

=1.

ቅንብሩን ከአንድነት ጋር እናወዳድር , ከዝቅተኛው ደረጃ ትስስር ጋር የሚዛመድ እና የመጨረሻዎቹን አራት እኩልታዎች ወደ 1 በማዞር, እና በመጀመሪያው እኩልዮሽ ውስጥ ኮፊፊሽኑን ከ 1 ጋር ማመሳሰል ጥሩ ነው. . የተቀሩት አሃዞች ወደ 0 ተቀናብረዋል።

መልስዝቅተኛ ተግባር ዓይነት።

የተለዋዋጮች ብዛት አነስተኛ እና ከ5-6 ያልበለጠ ከሆነ ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴ ውጤታማ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል።

ባለብዙ-ልኬት ኪዩብ

በባለብዙ ልኬት ኪዩብ መልክ የአንድ ተግባር ሥዕላዊ መግለጫን እንመልከት። እያንዳንዱ ጫፍ n-ልኬት ኩብ ከክፍሉ አካል ጋር በደብዳቤ ሊቀመጥ ይችላል።

ምልክት የተደረገባቸው ጫፎች ንዑስ ስብስብ በካርታው ላይ ነው። n-የቦሊያን ተግባር ልኬት ኪዩብ ከ nበ SDNF ውስጥ ተለዋዋጮች.

ተግባሩን ከ ለማሳየት nበማናቸውም ዲኤንኤፍ ውስጥ የቀረቡ ተለዋዋጮች፣ በትንሽ ቃላቶቹ እና በንጥረ ነገሮች መካከል ግንኙነት መፍጠር አስፈላጊ ነው። n- ልኬት ኪዩብ.

አነስተኛ ጊዜ (n-1) ኛ ደረጃ
ሁለት ጥቃቅን መለኪያዎችን በማጣበቅ እንደ ውጤት ሊቆጠር ይችላል n- ኛ ደረጃ ፣ ማለትም

=

በርቷል n-ልኬት ኪዩብ ይህ በተቀናጁ እሴቶች ብቻ የሚለያዩ ሁለት ጫፎችን ከመተካት ጋር ይዛመዳል። X እኔ, እነዚህን ጫፎች ከጠርዝ ጋር በማገናኘት (ጠርዙ የተከሰቱትን ጫፎች ይሸፍናል ይባላል).

ስለዚህ, አነስተኛ ቃላት ( n-1) ኛ ቅደም ተከተል ከ n-dimensional cube ጠርዞች ጋር ይዛመዳል።

በተመሳሳይም የትንሽ ቃላት ደብዳቤዎች (እ.ኤ.አ.) n-2) የትእዛዝ ፊቶች n-ልኬት ኩብ, እያንዳንዳቸው አራት ጫፎችን (እና አራት ጠርዞችን) ይሸፍናሉ.

ንጥረ ነገሮች n-ልኬት ኪዩብ, በ ባሕርይ ኤስመለኪያዎች ይባላሉ ኤስ- ኩብ

ስለዚህ ጫፎች 0-cubes፣ ጫፎቹ 1-cubes፣ ፊቶች 2-cubes፣ ወዘተ ናቸው።

ለማጠቃለል ያህል፣ ትንሹ ቃል n-ኤስ) ለተግባሩ በዲኤንኤፍ ውስጥ ደረጃ nተለዋዋጮች ይታያሉ ኤስ- አንድ ኩብ, እያንዳንዱ ኤስ-cube ከጫፎቹ ጋር ብቻ የተገናኙትን ዝቅተኛ መጠን ያላቸውን ኩቦች ይሸፍናል።

ለምሳሌ. በስእል. ካርታውን ሰጥቷል

ሚኒ ቃላት እዚህ አሉ።
እና
ከ 1 ኪዩብ ጋር ይዛመዳል ( ኤስ=3-2=1) እና አነስተኛ ጊዜ X 3 ለ 2-cubes ( ኤስ=3-1=2).

ስለዚህ፣ ማንኛውም ዲኤንኤፍ በካርታ ተዘጋጅቷል። n-ልኬት ኪዩብ በጠቅላላው ኤስ- ከክፍለ አካላት (0-cube) ጋር የሚዛመዱ ሁሉንም ጫፎች የሚሸፍኑ ኩቦች።

አካላት. ለተለዋዋጮች X 1 ,X 2 ,…X nአገላለጽ
የክፍሉ አካል ተብሎ ይጠራል, እና
- ዜሮ አካል ወይ ማለት ነው። , ወይም ).

ይህ የአንድ (ዜሮ) አካል ወደ አንድ (ዜሮ) የሚለወጠው በአንድ ተጓዳኝ በተለዋዋጭ እሴቶች ስብስብ ብቻ ነው፣ ይህም የሚገኘው ሁሉም ተለዋዋጮች ከአንድ (ዜሮ) ጋር እኩል ከተወሰዱ፣ እና የእነሱ ተቃውሞ ከዜሮ (አንድ) ጋር እኩል ከሆነ ነው።

ለምሳሌ፡- የስብስብ ክፍል
ከስብስቡ (1011) ጋር ይዛመዳል፣ እና አካሉ ዜሮ ነው።
ስብስብ (1001).

ኤስዲ (ኬ) ኤንኤፍ የአንድ (ዜሮ) አካላት መጋጠሚያ (ማጣመር) ስለሆነ እሱ የሚወክለው የቦሊያን ተግባር ነው ብሎ መከራከር ይችላል። ረ(x 1 , x 2 ,…, x n) ለተለዋዋጭ እሴቶች ስብስቦች ብቻ ወደ አንድ (ዜሮ) ይቀየራል። x 1 , x 2 ,…, x nከእነዚህ ኮፕስቲቱቶች ጋር የሚዛመድ. በሌሎች ስብስቦች ይህ ተግባር ወደ 0 (አንድ) ይቀየራል።

ተቃራኒው አረፍተ ነገርም እውነት ነው, በእሱ ላይ የተመሰረተ ነው በቀመር መልክ ማንኛውንም ቀመር የሚወክል መንገድበሠንጠረዡ የተገለጸው የቦሊያን ተግባር።

ይህንን ለማድረግ ተግባሩ ከአንድ (ዜሮ) ጋር እኩል የሆነ እሴት የሚወስድባቸው ከተለዋዋጭ እሴቶች ስብስቦች ጋር የሚዛመዱ የአንድ (ዜሮ) አካላት ውዝግቦችን (ማያያዣዎች) መፃፍ አስፈላጊ ነው።

ለምሳሌ, በሠንጠረዥ የተሰጠ ተግባር

መጻጻፍ

በአመክንዮአዊ አልጀብራ ባህሪያት ላይ በመመስረት የተገኙት መግለጫዎች ወደ ሌላ መልክ ሊለወጡ ይችላሉ.

የተገላቢጦሽ መግለጫው እውነት ነው፡ አንዳንድ ስብስብ ከሆነ ኤስ-cubes ከተግባሩ አሃድ እሴቶች ጋር የሚዛመዱትን ሁሉንም ጫፎች ስብስብ ይሸፍናል ፣ ከዚያ ከእነዚህ ጋር የሚዛመደው ልዩነት። ኤስ-cubes of miniterms የዚህ ተግባር መግለጫ በዲኤንኤፍ ነው።

እንዲህ ያለ ስብስብ ይላሉ ኤስ-cubes (ወይም ተጓዳኝ ጥቃቅን ቃላቶቻቸው) የተግባሩን ሽፋን ይመሰርታሉ። የአነስተኛ ቅፅ ፍላጎት በግንዛቤ ተረድቷል እንደዚህ ያለ ሽፋን ፍለጋ ፣ ቁጥሩ ኤስ- ከነሱ ውስጥ ያነሱ ኩቦች እና መጠኖቻቸው ይኖራሉ ኤስ- ተጨማሪ. ከዝቅተኛው ቅፅ ጋር የሚዛመደው ሽፋን ዝቅተኛው ሽፋን ይባላል.

ለምሳሌ, ለተግባሩ በ=
መከለያው ዝቅተኛ ካልሆነ ቅርጽ ጋር ይዛመዳል:

ሩዝ ሀ) በ=,

በሩዝ ላይ ሽፋን ለ) በ=
, ሩዝ ሐ) በ=
ዝቅተኛ.

ሩዝ. የተግባር ሽፋን በ=:

ሀ) ዝቅተኛ ያልሆነ; ለ) ሐ) ዝቅተኛ.

ላይ ተግባርን በማሳየት ላይ n- በግልጽ እና በቀላሉ ይለካል n3. ባለአራት-ልኬት ኩብ በምስል ላይ እንደሚታየው ሊገለጽ ይችላል ፣ ይህም የአራት ተለዋዋጮችን ተግባር እና ከገለፃው ጋር የሚዛመድ አነስተኛውን ሽፋን ያሳያል። በ=

ይህንን ዘዴ ሲጠቀሙ n> 4 ሁሉንም ጥቅሞቹን ስለሚያጣ እንደዚህ አይነት ውስብስብ ቅርጾችን ይፈልጋል.

የባሽኮርቶ ስታን ሪፐብሊክ የሳይንስና ትምህርት ሚኒስቴር

SAOU SPO ባሽኪር የአርክቴክቸር እና ሲቪል ምህንድስና ኮሌጅ

ካሊዩሊን አስካት አዴልዛኖቪች፣

በባሽኪርስኪ የሂሳብ መምህር

የአርክቴክቸር እና ሲቪል ምህንድስና ኮሌጅ

ዩኤፍኤ

2014

መግቢያ ___________________________________________________3

ምዕራፍ አይ. እርግጠኛ ያልሆኑ ውህዶች ዘዴን የመጠቀም ንድፈ-ሀሳባዊ ገጽታዎች _________________________________________________4

ምዕራፍ II. ላልተወሰነ ቅንጅቶች ዘዴን በመጠቀም ፖሊኖሚሎች ለችግሮች መፍትሄዎችን ይፈልጋል

2.1. ብዙ ቁጥር ያላቸውን ምክንያቶች መፍጠር_____________________ 7

2.2. በመለኪያዎች ላይ ችግሮች__________________________________ 10

2.3. እኩልታዎችን መፍታት __________________________________________14

2.4. ተግባራዊ እኩልታዎች ________________________________19

ማጠቃለያ_________________________________________________ 23

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር __________________________________________24

መተግበሪያ ________________________________________________25

መግቢያ።

ይህ ሥራ ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴን ወደ ት / ቤት የሂሳብ ኮርስ ለማስተዋወቅ በንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ ገጽታዎች ላይ ያተኮረ ነው። የዚህ ርዕስ አስፈላጊነት የሚወሰነው በሚከተሉት ሁኔታዎች ነው.

ማንም ሰው አይከራከርም የሂሳብ ሳይንስ እንደ ሳይንስ በአንድ ቦታ ላይ አይቆምም, በየጊዜው እየተሻሻለ ነው, ውስብስብነት ያላቸው አዳዲስ ስራዎች ይታያሉ, ይህም ብዙውን ጊዜ አንዳንድ ችግሮችን ያስከትላል, ምክንያቱም እነዚህ ተግባራት አብዛኛውን ጊዜ ከምርምር ጋር የተያያዙ ናቸው. በቅርብ ዓመታት ውስጥ እንደዚህ አይነት ችግሮች በትምህርት ቤት፣ በዲስትሪክት እና በሪፐብሊካን የሂሳብ ኦሊምፒያድ ላይ ቀርበዋል፣ እና በUnified State Exam ስሪቶች ውስጥም ይገኛሉ። ስለዚህ, ቢያንስ አንዳንዶቹን በፍጥነት, በጥራት እና በተመጣጣኝ ዋጋ ለመፍታት የሚያስችል ልዩ ዘዴ ያስፈልጋል. ይህ ሥራ ከአጠቃላይ የትምህርት ኮርስ ውስጥ ከተካተቱት ጥያቄዎች አንስቶ እስከ እጅግ የላቀ ክፍሎቹ ድረስ በተለያዩ የሒሳብ ዘርፎች በስፋት ጥቅም ላይ የሚውለውን ያልተወሰነ የቁጥር ዘዴን ይዘት በግልፅ ያቀርባል። በተለይ, መለኪያዎች, ክፍልፋይ ምክንያታዊ እና ተግባራዊ እኩልታዎች ጋር ችግሮችን በመፍታት ረገድ ያልተወሰነ Coefficients ያለውን ዘዴ መተግበሪያዎች በተለይ ሳቢ እና ውጤታማ ናቸው; ለሂሳብ ፍላጎት ያላቸውን ሁሉ በቀላሉ ሊስቡ ይችላሉ። የታቀደው ሥራ እና የችግሮች ምርጫ ዋና ዓላማ አጭር እና መደበኛ ያልሆኑ መፍትሄዎችን ለማዳበር እና ለማዳበር ሰፊ እድሎችን መፍጠር ነው።

ይህ ሥራ ሁለት ምዕራፎችን ያቀፈ ነው. የመጀመሪያው ስለ አጠቃቀሙ ጽንሰ-ሀሳባዊ ገጽታዎች ያብራራል

እርግጠኛ ያልሆኑ ጥምርታዎች ዘዴ ፣ እና ሁለተኛ ፣ የዚህ አጠቃቀም ተግባራዊ እና ዘዴያዊ ገጽታዎች።

የሥራው አባሪ ለገለልተኛ መፍትሄ ለተወሰኑ ስራዎች ሁኔታዎችን ይሰጣል.

ምዕራፍ አይ . የአጠቃቀም ጽንሰ-ሀሳባዊ ገጽታዎችያልተረጋገጡ ቅንጅቶች ዘዴ

“ሰው... ሊቅ ሆኖ ተወለደ።

ገዥ ፣ የተፈጥሮ ንጉስ ፣ ግን ጥበብ ፣

ሊገዛው የሚገባው ለእሱ አልተሰጠም

ከመወለዱ ጀምሮ፡ በመማር የተገኘ ነው"

N.I. Lobachevsky

ችግሮችን ለመፍታት የተለያዩ መንገዶች እና ዘዴዎች አሉ, ነገር ግን በጣም ምቹ, በጣም ውጤታማ, ኦሪጅናል, የሚያምር እና በተመሳሳይ ጊዜ በጣም ቀላል እና ለሁሉም ሰው ሊረዳ የሚችል አንዱ ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴ ነው. ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ በሂሳብ ውስጥ ቅርጻቸው አስቀድሞ የሚታወቅባቸውን የቃላት አባባሎችን ለማግኘት በሂሳብ ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውል ዘዴ ነው።

የተለያዩ የችግሮችን ዓይነቶች ለመፍታት ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴን ከመተግበሩ በፊት ፣ በርካታ የንድፈ-ሀሳባዊ መረጃዎችን እናቀርባለን።

ይሰጣቸው

ሀ n (x) = ሀ 0 x n + ሀ 1 x n-1 + ሀ 2 x n-2 + ··· + ሀ n-1 x + ሀ n

ለ ኤም (x ) = ለ 0 x ኤም + ለ 1 x ኤም -1 + ለ 2 x ኤም -2 + ··· + ለ m-1 x + ለ ኤም ,

ፖሊኖሚሎች አንጻራዊ Xከማንኛውም ዕድሎች ጋር።

ቲዎረም. ሁለት ፖሊኖሚሎች በአንድ እና ተመሳሳይ ነጋሪ እሴት ተመሳሳይ ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው።n = ኤም እና የእነሱ ተጓዳኝ ቅንጅቶች እኩል ናቸውሀ 0 = ለ 0 , ሀ 1 = ለ 1 , ሀ 2 = ለ 2 ,··· , ሀ n -1 = ለ ኤም -1 , ሀ n = ለ ኤም እና ቲ. መ.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, እኩል ፖሊኖሚሎች ለሁሉም እሴቶች ይወስዳሉ Xተመሳሳይ እሴቶች. በተቃራኒው ፣ የሁለት ፖሊኖሚሎች እሴቶች ለሁሉም እሴቶች እኩል ከሆኑ X, ከዚያም ፖሊኖሚሎች እኩል ናቸው, ማለትም, የእነሱ ቅንጅቶች በተመሳሳይ ዲግሪዎችXመመሳሰል።

ስለዚህ ለችግሮች መፍትሄ ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴን የመተግበር ሀሳብ እንደሚከተለው ነው ።

በአንዳንድ ለውጦች ምክንያት የአንድ የተወሰነ አይነት መግለጫ እንደተገኘ እና በዚህ አገላለጽ ውስጥ ያሉት ቀመሮች ብቻ የማይታወቁ መሆናቸውን እንወቅ። ከዚያም እነዚህ ጥምርታዎች በፊደላት የተሰየሙ እና እንደ ያልታወቁ ይቆጠራሉ። እነዚህን ያልታወቁ ነገሮች ለማወቅ የእኩልታዎች ስርዓት ይገነባል።

ለምሳሌ, በፖሊኖሚሎች ውስጥ, እነዚህ እኩልታዎች የተሰሩት ውህዶች ለተመሳሳይ ሃይሎች እኩል ናቸው ከሚለው ሁኔታ ነው. Xለሁለት እኩል ፖሊኖሚሎች.

የሚከተሉትን የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም ከላይ ያለውን እናሳያለን እና በቀላል እንጀምር።

ስለዚህ, ለምሳሌ, በንድፈ ሃሳቦች ላይ በመመስረት, ክፍልፋዩ

እንደ ድምር ሊወከል ይችላል

፣ የት ሀ , ለ እና ሐ - የሚወሰኑት ጥራዞች. እነሱን ለማግኘት፣ ሁለተኛውን አገላለጽ ከመጀመሪያው ጋር እናመሳሰለዋለን፡-

=

እና እራሳችንን ከአካፋው ነፃ በማውጣት እና በግራ በኩል ተመሳሳይ ኃይሎች ያላቸውን ውሎች መሰብሰብ Xእኛ እናገኛለን:

(ሀ + ለ + ሐ )X 2 + ( ለ - ሐ )x - ሀ = 2X 2 – 5 X– 1

የመጨረሻው እኩልነት ለሁሉም እሴቶች እውነት መሆን ስላለበት X, ከዚያም ተመሳሳይ ዲግሪዎች (coefficients).Xቀኝ እና ግራ ተመሳሳይ መሆን አለባቸው. ስለዚህ ሦስቱን ያልታወቁ ውህዶችን ለመወሰን ሦስት እኩልታዎች ተገኝተዋል።

a+b+c = 2

ለ - ሐ = - 5

ሀ= 1፣ ከየት ሀ = 1 , ለ = - 2 , ሐ = 3

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

=
,

የዚህን እኩልነት ትክክለኛነት በቀጥታ ለማረጋገጥ ቀላል ነው.

ክፍልፋይን መወከልም ያስፈልግዎታል እንበል

እንደ ሀ + ለ
+ ሐ
+ መ
፣ የት ሀ , ለ , ሐ እና መ- ያልታወቁ ምክንያታዊ ቅንጅቶች. ሁለተኛውን አገላለጽ ከመጀመሪያው ጋር እናመሳሰለዋለን፡-

ሀ + ለ
+ ሐ
+ መ
=
ወይም፣ እራሳችንን ከአካፋው ነፃ በማውጣት ፣ ከተቻለ ፣ ከስሩ ምልክቶች ስር ያሉ ምክንያታዊ ምክንያቶችን ማስወገድ እና በግራ በኩል ተመሳሳይ ቃላትን በማምጣት እናገኛለን-

(ሀ - 2 ለ + 3 ሐ ) + (- a+b +3 መ )
+ (አ+ሐ - 2 መ )
+

+ (ለ - ሐ + መ )
= 1 +
-
.

ነገር ግን እንዲህ ዓይነቱ እኩልነት የሚቻለው የሁለቱም ክፍሎች ምክንያታዊ ቃላቶች እና ተመሳሳይ አክራሪዎች እኩል ሲሆኑ ብቻ ነው። ስለዚህ, ያልታወቁትን ቁጥሮች ለማግኘት አራት እኩልታዎች ተገኝተዋል ሀ , ለ , ሐ እና መ :

ሀ - 2b+ 3ሐ = 1

- a+b +3 መ = 1

አ+ሐ - 2 መ = - 1

ለ - ሐ + መ= 0፣ ከየት ሀ = 0 ; ለ = - ; ሐ = 0 ; መ= ማለት ነው።
= -
+
.

ምዕራፍ II. ከፖሊኖሚሎች ጋር ለችግሮች መፍትሄዎችን ይፈልጋል ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ.

“ለአንድ ርዕሰ ጉዳይ የበለጠ አስተዋፅዖ የሚያደርግ ነገር የለም።

በተለያዩ ሁኔታዎች ውስጥ ከእሱ ጋር እርምጃ መውሰድ የሚቻልበት መንገድ"

የአካዳሚክ ሊቅ B.V. Gnedenko

2. 1. ፖሊኖሚል መፈጠር.

ፖሊኖሚሎችን የመለኪያ ዘዴዎች

1) የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ ማስቀመጥ 2) የመቧደን ዘዴ; 3) መሰረታዊ የማባዛት ቀመሮችን መተግበር; 4) ረዳት ቃላትን ማስተዋወቅ 5) የተወሰኑ ቀመሮችን በመጠቀም የተሰጠውን ፖሊኖሚል የመጀመሪያ ደረጃ መለወጥ; 6) የተሰጠውን ፖሊኖሚል ሥር በማግኘት መስፋፋት; 7) መለኪያውን የመግባት ዘዴ; 8) ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ።

ችግር 1. ፖሊኖሚል ወደ ተጨባጭ ሁኔታዎች ያቅርቡ X 4 + X 2 + 1 .

መፍትሄ። የዚህ ፖሊኖሚል ነፃ ቃል ከፋፋዮች መካከል ምንም ሥሮች የሉም። የፖሊኖሚል ሥሮቹን በሌሎች የመጀመሪያ ደረጃ ዘዴዎች ማግኘት አንችልም። ስለዚህ, የዚህን ፖሊኖሚል ሥሮች በመጀመሪያ በማግኘት አስፈላጊውን መስፋፋት ማከናወን አይቻልም. ለችግሩ ረዳት ቃላትን በማስተዋወቅ ወይም ባልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ ለችግሩ መፍትሄ መፈለግ ይቀራል። እንደሆነ ግልጽ ነው። X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

የተገኙት ኳድራቲክ ትሪኖሚሎች ሥሮች የላቸውም ስለዚህም ወደ እውነተኛ መስመራዊ ሁኔታዎች የማይበሰብሱ ናቸው።

የተገለፀው ዘዴ በቴክኒካል ቀላል ነው, ነገር ግን በሰው ሰራሽነቱ ምክንያት አስቸጋሪ ነው. በእርግጥ, አስፈላጊ የሆኑትን ረዳት ውሎችን ማምጣት በጣም ከባድ ነው. ይህን መበስበስ እንድናገኝ የረዳን ግምት ብቻ ነው። ግን

እንደዚህ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት የበለጠ አስተማማኝ መንገዶች አሉ.

አንድ ሰው እንደሚከተለው ሊቀጥል ይችላል-የተሰጠው ፖሊኖሚል ወደ ምርቱ እንደሚበሰብስ አስብ

(X 2 + ሀ X + ለ )(X 2 + ሐ X + መ )

ባለ ሁለት ካሬ ባለሶስትዮሽ ኢንቲጀር ኮፊሸን።

ስለዚህ, ያንን ይኖረናል

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + ሀ X + ለ )(X 2 + ሐ X + መ )

ቅንጅቶችን ለመወሰን ይቀራልሀ , ለ , ሐ እና መ .

በመጨረሻው እኩልነት በቀኝ በኩል ፖሊኖሚሎችን በማባዛት እናገኛለን፡-X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (ሀ + ሐ ) X 3 + (ለ + ሀ ሐ + መ ) X 2 + (ማስታወቂያ + BC ) x + bd .

ነገር ግን የዚህ እኩልነት የቀኝ ጎን በግራ በኩል ወደሚገኝ ተመሳሳይ ፖሊኖሚል እንዲቀየር ስለሚያስፈልገን የሚከተሉትን ሁኔታዎች መሟላት አለብን።

ሀ + ሐ = 0

ለ + ሀ ሐ + መ = 1

ማስታወቂያ + BC = 0

bd = 1 .

ውጤቱም አራት የማይታወቁ አራት እኩልታዎች ያሉት ስርዓት ነው።ሀ , ለ , ሐ እና መ . ከዚህ ስርዓት ኮፊፊሴፍቶችን ማግኘት ቀላል ነው።ሀ = 1 , ለ = 1 , ሐ = -1 እና መ = 1.

አሁን ችግሩ ሙሉ በሙሉ ተፈቷል. አግኝተናል፡-

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

ችግር 2. ፖሊኖሚሉን ወደ እውነተኛ ምክንያቶች ያቅርቡ X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

መፍትሄ። ይህንን ፖሊኖሚል በቅጹ እንወክል

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + ሀ )(X 2 + bx + ሐ) ፣ የት ሀ , ለ እና ጋር - ቅንጅቶች ገና አልተወሰኑም. ሁለት ፖሊኖሚሎች በተመሳሳይ ሁኔታ እኩል ስለሚሆኑ እና ከተመሳሳይ ሀይሎች ጥምርታዎች ብቻX እኩል ናቸው፣ እንግዲያውስ ውህደቶቹን በቅደም ተከተል ለX 2 , X እና ነፃ ቃላት፣ ከሶስት የማይታወቁ ጋር የሶስት እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

a+b= - 6

አብ + ሐ = 14

ac = - 15 .

ቁጥር 3 (የነፃው ቃል አከፋፋይ) የዚህ እኩልታ ሥር መሆኑን ከግምት ውስጥ ካስገባን የዚህ ሥርዓት መፍትሔ በከፍተኛ ሁኔታ ቀላል ይሆናል ፣ እና ስለዚህ ፣ሀ = - 3 ,

ለ = - 3 እና ጋር = 5 .

ከዚያም X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

የተተገበረው ያልተወሰነ ኮፊሸንትስ ዘዴ ከላይ ከተጠቀሰው የረዳት ቃላትን የማስተዋወቅ ዘዴ ጋር ሲነጻጸር ምንም አይነት ሰው ሰራሽ ነገር አልያዘም, ነገር ግን ብዙ የንድፈ ሃሳቦችን መተግበርን ይጠይቃል እና ከትልቅ ስሌቶች ጋር አብሮ ይመጣል. ከፍተኛ ዲግሪ ላለው ፖሊኖሚሎች፣ ይህ ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ ወደ አስጨናቂ የእኩልታዎች ስርዓቶች ይመራል።

2.2.ተግባራት እና ከግቤቶች ጋር.

በቅርብ ዓመታት ውስጥ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ስሪቶች ከመለኪያዎች ጋር ተግባራትን አቅርበዋል. የእነሱ መፍትሔ ብዙውን ጊዜ አንዳንድ ችግሮችን ያስከትላል. ችግሮችን ከመለኪያዎች ጋር ሲፈቱ ፣ ከሌሎች ዘዴዎች ጋር ፣ ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን በትክክል መጠቀም ይችላሉ። የእነሱን መፍትሄ በእጅጉ ለማቃለል እና በፍጥነት መልስ ለማግኘት የሚያስችል ይህ ዘዴ ነው.

ተግባር 3. የመለኪያው እሴቶች ምን እንደሆኑ ይወስኑ ሀቀመር 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + ሀ - 3 = 0 በትክክል ሁለት ሥሮች አሉት.

መፍትሄ። 1 መንገድ. ተዋጽኦን በመጠቀም።

ይህንን እኩልነት በሁለት ተግባራት መልክ እንወክል

2 x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – ሀ .

ረ (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X- 3 እና φ( X ) = – ሀ .

ተግባሩን እንመርምርረ (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 የመነጩን በመጠቀም እና በግራፍ (ስዕል 1.) ንድፍ መገንባት።

ረ( – x )ረ (x ) , ረ (– x ) – ረ (x ). ተግባሩ እንኳን ያልተለመደም አይደለም.

3. የተግባሩ ወሳኝ ነጥቦችን, የመጨመር እና የመቀነስ ክፍተቶችን, ጽንፈኝነትን እንፈልግ. ረ / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. ዲ (ረ / ) = አር , ስለዚህ ሁሉንም የተግባር ወሳኝ ነጥቦችን እኩልታውን በመፍታት እናገኛለን ረ / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = - 2 በቲዎሬም ተገላቢጦሽ ወደ የቪዬታ ቲዎሬም።

ረ / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ ከፍተኛ - ደቂቃ +

2 3 x

ረ / (x) > 0 ለሁሉም X< - 2 እና X > 3 እና ተግባሩ በነጥቦች ላይ ቀጣይ ነውx =- 2 እና X = 3, ስለዚህ በእያንዳንዱ ክፍተቶች ላይ ይጨምራል (- ; - 2] እና [3; ).

ረ / (x ) < 0 በ - 2 < X< 3, ስለዚህ, በክፍተቱ ላይ ይቀንሳል [- 2; 3 ].

X = - 2 ኛ ከፍተኛ ነጥብ, ምክንያቱም በዚህ ጊዜ የመነሻው ምልክት ከ"+" ወደ "-".

ረ (- 2) = 2· (- 8) – 3·4 – 36· (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 ዝቅተኛ ነጥብ, ምክንያቱም በዚህ ጊዜ የመነሻ ምልክት ለውጦች"-" ወደ "+"

ረ (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84።

የተግባሩ ግራፍ φ(X ) = – ሀ ቀጥ ያለ መስመር ከ x-ዘንግ ጋር ትይዩ እና ነጥቡን በመጋጠሚያዎች (0; – ሀ ). ስዕሎቹ ሁለት የተለመዱ ነጥቦች አሏቸው-ሀ= 41, ማለትም. ሀ =- 41 እና - ሀ= - 84, ማለትም. ሀ = 84 .

በ

41φ( X)

2 3 X

3 ረ ( x ) = 2 x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

ዘዴ 2. ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ.

በችግሩ ሁኔታዎች መሠረት ይህ እኩልነት ሁለት ሥሮች ብቻ ሊኖረው ይገባል ፣እኩልነቱ ግልፅ ነው-

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + ሀ – 3 = (x + ለ ) 2 (2 x + ሐ ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + ሀ – 3 = 2 x 3 + (4 ለ + ሐ ) x 2 + (2 ለ 2 + +2 BC ) x + ለ 2 ሐ ,

አሁን ጥራቶቹን በተመሳሳይ ዲግሪዎች ማመሳሰል X, የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን

4 b + c = - 3

2ለ 2 + 2bc = - 36

ለ 2 ሐ = ሀ – 3 .

ከመጀመሪያዎቹ ሁለት የስርዓቱ እኩልታዎች እናገኛለንለ 2 + ለ – 6 = 0፣ ከየት ለ 1 = - 3 ወይም ለ 2 = 2 . ተጓዳኝ እሴቶችጋር 1 እና ጋር 2 ከስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ ለማግኘት ቀላልጋር 1 = 9 ወይም ጋር 2 = - 11 . በመጨረሻም ፣ የሚፈለገው የመለኪያ እሴት ከስርዓቱ የመጨረሻ እኩልታ ሊወሰን ይችላል-

ሀ = ለ 2 ሐ + 3 , ሀ 1 = - 41 ወይም ሀ 2 = 84.

መልስ፡- ይህ እኩልታ በትክክል ሁለት የተለያዩ ነው።

ሥር በ ሀ= - 41 እና ሀ= 84 .

ተግባር 4. የመለኪያውን ትልቁን እሴት ያግኙሀ , ለዚህም እኩልታX 3 + 5 X 2 + ኦ + ለ = 0

ኢንቲጀር ኮፊፊሸንስ ጋር ሦስት የተለያዩ ሥሮች አሉት, አንዱ እኩል ነው - 2.

መፍትሄ። 1 መንገድ. በመተካት ላይ X= - 2 ወደ እኩልታው በግራ በኩል, እናገኛለን

8 + 20 – 2 ሀ + ለ= 0 ማለት ነው። ለ = 2 ሀ – 12 .

ቁጥሩ - 2 ሥር ስለሆነ, የተለመደውን ምክንያት ማውጣት እንችላለን X + 2:

X 3 + 5 X 2 + ኦ + ለ = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + ኦ + (2 ሀ – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + ኦ + (2 ሀ – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (ሀ – 6)(x +2) - 2(ሀ – 6)+ (2 ሀ - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (ሀ – 6) ) .

እንደ ሁኔታው ​​፣ የእኩልታው ሁለት ተጨማሪ ሥሮች አሉ። ይህ ማለት የሁለተኛው ምክንያት አድልዎ አዎንታዊ ነው ማለት ነው.

ዲ =3 2 - 4 (ሀ – 6) = 33 – 4 ሀ > 0፣ ማለትም ሀ < 8,25 .

መልሱ የሚሆን ይመስላል ሀ = 8 . ነገር ግን ቁጥር 8ን ወደ መጀመሪያው እኩልነት ስንተካው የሚከተለውን እናገኛለን፡-

X 3 + 5 X 2 + ኦ + ለ = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

ማለትም፣ እኩልታው ሁለት የተለያዩ ሥሮች ብቻ አሉት። ግን መቼ ሀ = 7 በእውነቱ ሶስት የተለያዩ ሥሮችን ይፈጥራል.

ዘዴ 2. ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ.

ቀመር ከሆነ X 3 + 5 X 2 + ኦ + ለ = 0 ሥር አለው። X = - 2, ከዚያ ሁልጊዜ ቁጥሮቹን ማንሳት ይችላሉሐ እና መ ስለዚህ በሁሉም ሰው ፊትX እኩልነት እውነት ነበር።

X 3 + 5 X 2 + ኦ + ለ = (X + 2)(X 2 + ጋር x + መ ).

ቁጥሮች ለማግኘትሐ እና መ በቀኝ በኩል ያሉትን ቅንፎች እንከፍት, ተመሳሳይ ቃላትን እንጨምር እና አግኝ

X 3 + 5 X 2 + ኦ + ለ = X 3 + (2 + ጋር ) X 2 +(2 ኤስ + መ ) X + 2 መ

ተጓዳኝ ኃይላትን (coefficients) ማመሳሰል Xስርዓት አለን።

2 + ጋር = 5

2 ጋር + መ = ሀ

2 መ = ለ , የት ሐ = 3 .

ስለዚህም እ.ኤ.አ. X 2 + 3 x + መ = 0 , ዲ = 9 – 4 መ > 0 ወይም

መ < 2.25፣ ስለዚህ መ (- ; 2 ].

የችግሩ ሁኔታዎች በእሴቱ ረክተዋል መ = 111 1 . የመለኪያው የመጨረሻ ተፈላጊ እሴትሀ = 7.

መልስ፡ መቼ ሀ = 7 ይህ እኩልታ ሶስት የተለያዩ ስሮች አሉት።

2.3. እኩልታዎችን መፍታት.

"ትንንሽ ችግሮችን በመፍታት እርስዎ እንዳሉ ያስታውሱ

ትልቅ እና ከባድ ለመቋቋም እራስዎን ያዘጋጁ

አዳዲስ ተግባራት"

የአካዳሚክ ሊቅ ኤስ.ኤል. ሶቦሌቭ

አንዳንድ እኩልታዎችን በሚፈቱበት ጊዜ ብልሃትን እና ብልሃትን ማሳየት እና ልዩ ቴክኒኮችን መጠቀም ይችላሉ። የተለያዩ የትራንስፎርሜሽን ቴክኒኮች እውቀት እና አመክንዮአዊ አስተሳሰብን የማስፈጸም ችሎታ በሂሳብ ውስጥ ትልቅ ጠቀሜታ አለው። ከእነዚህ ብልሃቶች አንዱ በደንብ የተመረጠውን አገላለጽ ወይም ቁጥር መጨመር እና መቀነስ ነው። የተገለፀው እውነታ እራሱ ለሁሉም ሰው ይታወቃል - ዋናው ችግር በአንድ የተወሰነ ውቅር ውስጥ እነዚያን የእኩልታዎች ለውጦችን ማየት ነው እሱን ለመተግበር ምቹ እና ጠቃሚ።

ቀላል የአልጀብራ እኩልታ በመጠቀም፣ እኩልታዎችን ለመፍታት አንድ መደበኛ ያልሆነ ቴክኒክን እናሳያለን።

ችግር 5. እኩልታውን ይፍቱ

=
.

መፍትሄ። የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 5 እናባዛው እና እንደገና እንደሚከተለው እንፃፍ

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 ወይም
= 0

ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን በመጠቀም የተገኙትን እኩልታዎች እንፈታ

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + አህ + ለ )(x 2 + cx + መ ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (ሀ + ሐ ) X 3 + (ለ + ሀ ሐ + መ ) X 2 + (ማስታወቂያ + BC ) x++ bd

የቁጥር መለኪያዎችን በ X 3 , X 2 , Xእና ነፃ ውሎች, ስርዓቱን እናገኛለን

ሀ + ሐ = -1

ለ + ሀ ሐ + መ = 0

ማስታወቂያ + BC = -7

bd = -3፣ ከምንገኝበት፡-ሀ = -2 ; ለ = - 1 ;

ጋር = 1 ; መ = 3 .

ስለዚህ X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X- 1 = 0 ወይም X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
ምንም ሥሮች.

በተመሳሳይ እኛ አለን

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

የት X 2 + 2 X + 5 = 0 , ዲ = - 16 < 0 , нет корней.

መልስ፡- X 1,2 =

ችግር 6. እኩልታውን ይፍቱ

= 10.

መፍትሄ። ይህንን እኩልነት ለመፍታት ቁጥሮችን መምረጥ ያስፈልግዎታልሀእና ለ የሁለቱም ክፍልፋዮች ቁጥሮች ተመሳሳይ እንዲሆኑ። ስለዚ፡ ስርዓታት ንኸነ ⁇ ርበልና ንኽእል ኢና።

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

ስለዚህ ስራው ቁጥሮቹን መፈለግ ነውሀእና ለ , ለእኩልነት የሚይዘው

(ሀ + 6) X 2 + አህ - 5 = X 2 + (5 + 2 ለ ) x + ለ

አሁን, በፖሊኖሚሎች እኩልነት ላይ ባለው ንድፈ ሃሳብ መሰረት, የዚህ እኩልነት የቀኝ ጎን በግራ በኩል ወደሚገኘው ተመሳሳይ ፖሊኖሚል እንዲቀየር አስፈላጊ ነው.

በሌላ አነጋገር ግንኙነቶቹ መሟላት አለባቸው

ሀ + 6 = 1

ሀ = 5 + 2 ለ

– 5 = ለ , እሴቶቹን ከምንገኝበትሀ = - 5 ;

ለ = - 5 .

በእነዚህ እሴቶችሀእና ለ እኩልነት ሀ + ለ = - 10 ደግሞ ፍትሃዊ ነው።

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X- 5 = 0 ወይም X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

መልስ፡- X 1,2 =
, X 3,4 =

ችግር 7. እኩልታውን ይፍቱ

= 4

መፍትሄ። ይህ እኩልታ ከቀደምቶቹ የበለጠ የተወሳሰበ ነው እና ስለዚህ በዚህ መንገድ እንከፋፍለን፡- X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

ከሁለት ፖሊኖሚሎች እኩልነት ሁኔታ

ኦ 2 + (ሀ + 6) X + 12 = X 2 + (ለ + 11) x – 3 ለ ,

ለማይታወቁ ቅንጅቶች የእኩልታዎች ስርዓት አግኝተናል እና እንፈታለን።ሀእና ለ :

ሀ = 1

ሀ + 6 = ለ + 11

12 = – 3 ለ ፣ የት ሀ = 1 , ለ = - 4 .

ፖሊኖሚሎች - 3 - 6X + cx 2 + 8 cxእና X 2 + 21 + 12 መ – dx እርስ በርስ በሚመሳሰሉበት ጊዜ ብቻ እኩል ናቸው

ጋር = 1

8 ከ - 6 = - መ

3 = 21 + 12 መ , ጋር = 1 , መ = - 2 .

ከእሴቶች ጋርሀ = 1 , ለ = - 4 , ጋር = 1 , መ = - 2

እኩልነት
= - 4 ትክክል ነው።

በውጤቱም, ይህ እኩልታ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል.

= 0 ወይም
= 0 ወይም
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

ከተዘረዘሩት ምሳሌዎች ፣ ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን እንዴት በብቃት መጠቀም እንደሚቻል ግልፅ ነው ፣

በጣም የተወሳሰበ ያልተለመደ እኩልታ መፍትሄን ለማቃለል ይረዳል።

2.4. ተግባራዊ እኩልታዎች.

“የሂሳብ ከፍተኛው ዓላማ... ነው።

ውስጥ የተደበቀውን ቅደም ተከተል ማግኘት ነው

በዙሪያችን ያለው ትርምስ"

ኤን. ቪነር

ተግባራዊ እኩልታዎች የማይታወቅ ተግባር የተወሰነ ተግባር የሆነበት በጣም አጠቃላይ የእኩልታዎች ክፍል ነው። በጠባቡ የቃሉ ትርጉም ውስጥ ያለው ተግባራዊ እኩልታ ውስብስብ ተግባርን የመፍጠር አሠራርን በመጠቀም የሚፈለጉት ተግባራት ከአንድ ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ከሚታወቁ ተግባራት ጋር የሚዛመዱ እንደ እኩልታዎች ተረድተዋል። የተግባር እኩልነት እንዲሁ የአንድ የተወሰነ የተግባር ክፍልን የሚያመለክት የንብረት መግለጫ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል።

[ለምሳሌ, ተግባራዊ እኩልታ ረ ( x ) = ረ (- x ) የእንኳን ተግባራቶችን፣ የተግባርን እኩልታ ክፍልን ያሳያልረ (x + 1) = ረ (x ) - ጊዜ 1 ፣ ወዘተ ያለው የተግባር ክፍል።].

በጣም ቀላሉ ተግባራዊ እኩልታዎች አንዱ እኩልታ ነው።ረ (x + y ) = ረ (x ) + ረ (y ). የዚህ ተግባራዊ እኩልታ ቀጣይ መፍትሄዎች ቅጹ አላቸው

ረ (x ) = ሲx . ሆኖም ፣ በተቋረጡ ተግባራት ክፍል ውስጥ ይህ ተግባራዊ እኩልታ ሌሎች መፍትሄዎች አሉት። ከታሰቡት ተግባራዊ እኩልታ ጋር የተቆራኙ ናቸው።

ረ (x + y ) = ረ (x ) · ረ (y ), ረ (x y ) = ረ (x ) + ረ (y ), ረ (x y ) = ረ (x )· ረ (y ),

ቀጣይነት ያለው መፍትሄዎች, በቅደም ተከተል, መልክ አላቸው

ሠ cx ፣ ጋርlnx , x α (x > 0).

ስለዚህ እነዚህ የተግባር እኩልታዎች ገላጭ፣ ሎጋሪዝም እና የኃይል ተግባራትን ለመግለጽ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ።

በጣም በስፋት ጥቅም ላይ የዋሉ እኩልታዎች ውስብስብ ተግባራት ውስጥ የሚፈለጉት ተግባራት ውጫዊ ተግባራት ናቸው. የንድፈ እና ተግባራዊ መተግበሪያዎች

ድንቅ የሂሳብ ሊቃውንት እንዲያጠኗቸው የገፋፋቸው እነዚህ እኩልታዎች ናቸው።

ለምሳሌ, በአሰላለፍ

ረ 2 (x) = ረ (x - y)· ረ (x + y)

N.I. Lobachevskyበእኔ ጂኦሜትሪ ውስጥ የትይዩነት አንግል ሲወሰን ጥቅም ላይ ይውላል።

በቅርብ ዓመታት ውስጥ ተግባራዊ እኩልታዎችን ከመፍታት ጋር የተያያዙ ችግሮች ብዙውን ጊዜ በሂሳብ ኦሊምፒያዶች ይሰጣሉ። የእነሱ መፍትሔ በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤቶች ውስጥ ካለው የሂሳብ ትምህርት ወሰን በላይ እውቀትን አይፈልግም. ሆኖም ፣ የተግባር እኩልታዎችን መፍታት ብዙውን ጊዜ አንዳንድ ችግሮች ያስከትላል።

ለተግባራዊ እኩልታዎች መፍትሄዎችን ለማግኘት ከሚያስፈልጉት መንገዶች አንዱ ያልተወሰነ ቅንጅቶች ዘዴ ነው። የሚፈለገው ተግባር አጠቃላይ ቅፅ በቀመር መልክ ሊታወቅ በሚችልበት ጊዜ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል. ይህ በመጀመሪያ ደረጃ፣ የእኩልታዎች መፍትሄዎች በኢንቲጀር ወይም ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባራት መካከል መፈለግ ሲኖርባቸው በእነዚያ ጉዳዮች ላይ ተፈጻሚ ይሆናል።

የሚከተሉትን ችግሮች በመፍታት የዚህን ዘዴ ምንነት እንዘርዝር.

ተግባር 8. ተግባርረ (x ) ለሁሉም እውነተኛ x ይገለጻል እና ሁሉንም ያረካልX አር ሁኔታ

3 ረ(x) - 2 ረ(1- x) = x 2 .

አግኝረ (x ).

መፍትሄ። በዚህ እኩልታ በግራ በኩል ባለው ገለልተኛ ተለዋዋጭ x እና የተግባሩ እሴቶችረ የመስመራዊ ክዋኔዎች ብቻ ይከናወናሉ, እና የቀኝ እኩልታ ጎን አራት ማዕዘን ተግባር ነው, ከዚያም የሚፈለገው ተግባር አራት ማዕዘን ነው ብሎ ማሰብ ተፈጥሯዊ ነው.

ረ (X) = መጥረቢያ 2 + bx + ሐ ፣ የትሀ, ለ, ሐ - የሚወሰኑ መለኪያዎች፣ ማለትም፣ እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶች።

ተግባሩን ወደ ቀመር በመተካት ወደ ማንነቱ ደርሰናል፡-

3(መጥረቢያ 2 + bx+ ሐ) – 2(ሀ(1 – x) 2 + ለ(1 – x) + ሐ) = x 2 .

መጥረቢያ 2 + (5 ለ + 4 ሀ) x + (ሐ – 2 ሀ – 2 ለ) = x 2 .

ሁለት ፖሊኖሚሎች እኩል ከሆኑ በተመሳሳይ መልኩ እኩል ይሆናሉ

ለተመሳሳይ የተለዋዋጭ ሀይሎች ጥምርታዎች፡-

ሀ = 1

5ለ + 4ሀ = 0

ሐ– 2 ሀ – 2 ለ = 0.

ከዚህ ስርዓት ኮፊፊሸንስን እናገኛለን

ሀ = 1 , ለ = - ፣ ሐ = , እንዲሁምያረካልእኩልነት

3 ረ (x ) - 2 ረ (1- x ) = x 2 በሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ. በተመሳሳይ ጊዜ, እንደዚህ አይነት አለx 0 ተግባር 9. ተግባርy =ረ(x) ለሁሉም x ይገለጻል፣ ቀጣይነት ያለው እና ሁኔታውን ያሟላል።ረ (ረ (x)) – ረ(x) = 1 + 2 x . ሁለት እንደዚህ ያሉ ተግባራትን ያግኙ.

መፍትሄ። በተፈለገው ተግባር ላይ ሁለት ድርጊቶች ይከናወናሉ - ውስብስብ ተግባርን የማቀናበር አሠራር እና

መቀነስ። የእኩልታው የቀኝ ጎን ቀጥተኛ ተግባር መሆኑን ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚፈለገው ተግባርም መስመራዊ ነው ብሎ ማሰብ ተፈጥሯዊ ነው።ረ(x) = አህ +ለ ፣ የትሀ እናለ - እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶች። ይህንን ተግባር ወደ ውስጥ በመተካትረ (ረ ( (x ) = - X - 1 ;

ረ 2 (x ) = 2 X+ , ለተግባራዊ እኩልታ መፍትሄዎች ናቸውረ (ረ (x)) – ረ(x) = 1 + 2 x .

መደምደሚያ.

በማጠቃለያው ይህ ሥራ በእርግጠኝነት የተለያዩ የሂሳብ ችግሮችን ለመፍታት ኦሪጅናል እና ውጤታማ ዘዴን የበለጠ ለማጥናት አስተዋፅኦ እንደሚያበረክት ልብ ሊባል ይገባል ፣ እነዚህም የችግር ችግሮች እና የት / ቤት የሂሳብ ትምህርቶች ጥልቅ ዕውቀት የሚጠይቁ እና ከፍተኛ አመክንዮአዊ ናቸው ። የሒሳብ እውቀታቸውን በተናጥል ለማበልጸግ የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ይህ ሥራ ለማንፀባረቅ የሚረዱ ቁሳቁሶችን እና አስደሳች ሥራዎችን ይይዛል ፣ ይህም መፍትሔው ጥቅም እና እርካታ ያስገኛል ።

ሥራው አሁን ባለው የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት ማዕቀፍ ውስጥ እና ለውጤታማ ግንዛቤ ተደራሽ በሆነ መልኩ የትምህርት ቤቱን በሂሳብ ለማጥለቅ የሚረዳውን ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴን ያስቀምጣል።

እርግጥ ነው, ሁሉም ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴ ዘዴዎች በአንድ ሥራ ውስጥ ሊታዩ አይችሉም. እንደ እውነቱ ከሆነ, ዘዴው አሁንም ተጨማሪ ጥናት እና ምርምር ይጠይቃል.

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር.

Glazer G.I. በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ታሪክ.-ኤም.: ትምህርት, 1983.

ጎሞኖቭ ኤስ.ኤ. ተግባራዊ እኩልታዎች በትምህርት ቤት የሂሳብ ኮርስ // ሒሳብ በትምህርት ቤት። - 2000. –№10 .

ዶሮፊቭ ጂ.ቪ., ፖታፖቭ ኤም.ኬ., ሮዞቭ ኤን.ኤች.. የሂሳብ ማኑዋል. - ኤም: ናኡካ, 1972.

Kurosh A.G.. የዘፈቀደ ዲግሪዎች የአልጀብራ እኩልታዎች - ኤም.: ናውካ, 1983.

ሊክታርኒኮቭ ኤል.ኤም. የአንደኛ ደረጃ መግቢያ ለተግባራዊ እኩልታዎች። - ቅዱስ ፒተርስበርግ. : ላን, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. የሂሳብ ቃላት ገላጭ መዝገበ ቃላት.-M.: ትምህርት, 1971

Modenov V.P.. በሂሳብ ላይ መመሪያ. ክፍል 1.-M.: የሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ, 1977.

Modenov V.P.. ከመለኪያዎች ጋር ችግሮች - ኤም.: ፈተና, 2006.

ፖታፖቭ ኤም.ኬ., አሌክሳንድሮቭ ቪ.ቪ., ፓሲቼንኮ ፒ.አይ. አልጀብራ እና የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ትንተና - ኤም.: ናውካ, 1980.

Khaliullin A.A.. በቀላሉ ሊፈቱት ይችላሉ // ሒሳብ በትምህርት ቤት። – 2003 . - №8 .

ካሊዩሊን.

4. ፖሊኖሚል ዘርጋ 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 ኢንቲጀር መጋጠሚያዎች ላላቸው አባዢዎች።

5. በየትኛው ዋጋ ሀ X 3 + 6X 2 + ኦ+ 12 በ X+ 4 ?

6. በመለኪያው ምን ዋጋሀ እኩልታውX 3 +5 X 2 + + ኦ + ለ = 0 ከኢንቲጀር ኮፊፊሸንት ጋር ሁለት የተለያዩ ስሮች ያሉት ሲሆን አንደኛው 1 ነው። ?

7. ከፖሊኖሚል ሥሮች መካከል X 4 + X 3 – 18X 2 + ኦ + ለ ከኢንቲጀር ኮፊሸን ጋር ሦስት እኩል ኢንቲጀሮች አሉ። ዋጋውን ያግኙ ለ .

8. የመለኪያውን ትልቁን ኢንቲጀር ዋጋ ያግኙ አ፣በየትኛው እኩልነት X 3 – 8X 2 + አህ +ለ = 0 ከኢንቲጀር ኮፊሸንት ጋር ሶስት የተለያዩ ስሮች ያሉት ሲሆን አንደኛው ከ 2 ጋር እኩል ነው።

9. በምን ዓይነት ዋጋዎች ሀእና ለ መከፋፈል ያለ ቀሪ ይከናወናል X 4 + 3X 3 – 2X 2 + ኦ + ለ ላይ X 2 – 3X + 2 ?

10. የምክንያት ብዙ ቁጥር፡-

ሀ)X 4 + 2 X 2 – X + 2 ቪ)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 መ)X 4 + 12X – 5

ለ)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 ሰ)X 4 – 3X –2 ሠ)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. እኩልታዎችን ይፍቱ፡

ሀ)
= 2 = 2 ረ (1 – X ) = X 2 .

አግኝ ረ (X) .

13. ተግባር በ= ረ (X) በሁሉም ሰው ፊት Xየተገለጸ, ቀጣይ እና ሁኔታውን ያሟላል ረ ( ረ (X)) = ረ (X) + X.ሁለት እንደዚህ ያሉ ተግባራትን ያግኙ.

በመጀመሪያ፣ ንድፈ ሃሳቡን እንመልከተው፣ ከዚያም የክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባርን ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ለማስፋፋት ሁለት ምሳሌዎችን እንፈታለን። በዝርዝር እንመልከት ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴእና ከፊል እሴት ዘዴ, እንዲሁም የእነሱ ጥምረት.

በጣም ቀላሉ ክፍልፋዮች ብዙ ጊዜ ይባላሉ የመጀመሪያ ደረጃ ክፍልፋዮች.

የሚከተሉት ተለይተዋል- ቀላል ክፍልፋዮች ዓይነቶች:

A, M, N, a, p, q ቁጥሮች ሲሆኑ, እና በክፍልፋዮች 3) እና 4) የተከፋፈለው አድልዎ ከዜሮ ያነሰ ነው.

እንደ ቅደም ተከተላቸው የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ ፣ ሦስተኛ እና አራተኛ ክፍልፋዮች ይባላሉ።

ክፍልፋዮችን ወደ ቀላሉ ቅርጻቸው ለምን ይከፋፍሏቸዋል?

የሒሳብ ተመሳሳይነት እንስጥ። ብዙውን ጊዜ አንዳንድ ድርጊቶችን ከእሱ ጋር ማከናወን እንዲችሉ የአገላለጹን አይነት ቀላል ማድረግ አለብዎት. ስለዚህ፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባርን እንደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ውክልና በግምት ተመሳሳይ ነው። ተግባራትን ወደ ሃይል ተከታታዮች፣ ሎረንት ተከታታይ እና፣ በእርግጥ፣ ውህዶችን ለማግኘት ስራ ላይ ይውላል።

ለምሳሌ መውሰድን ይጠይቃል ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ዋና. ውህደቱን ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ከበሰበሰ በኋላ ሁሉም ነገር በትክክል ወደ ቀላል ቅንጅቶች ይወርዳል

ግን በሌላ ክፍል ውስጥ ስለ ውህደቶች።

ለምሳሌ.

ክፍልፋዩን ወደ ቀላሉ ቅርጽ ይከፋፍሉት።

መፍትሄ።

በአጠቃላይ የቁጥር ፖሊኖሚል መጠን በዲግሪው ውስጥ ካለው የፖሊኖሚል መጠን ያነሰ ከሆነ የፖሊኖሚሎች ጥምርታ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ይከፋፈላል. አለበለዚያ መጀመሪያ የቁጥር ፖሊኖሚልን በዲኖሚነተር ፖሊኖሚል ይከፋፍሉት እና ከዚያ በኋላ ትክክለኛውን ክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር ማስፋፋት ብቻ ነው.

ክፍፍሉን በአምድ (ማዕዘን) እናድርገው፦

ስለዚህ፣ ዋናው ክፍልፋይ ቅጹን ይወስዳል፡-

ስለዚህ, ወደ ቀላል ክፍልፋዮች እንሰፋለን

ላልተወሰኑ ቅንጅቶች ዘዴ አልጎሪዝም።

በመጀመሪያ፣ መለያውን እናስቀምጣለን።

በእኛ ምሳሌ, ሁሉም ነገር ቀላል ነው - xን ከቅንፍ ውስጥ እናስቀምጣለን.


ሁለተኛ, የሚሰፋው ክፍልፋይ በቀላል ክፍልፋዮች ድምር ነው የሚወከለው። እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶች.

እዚህ በእርስዎ መለያ ውስጥ ሊኖሩዎት የሚችሉትን የገለጻ ዓይነቶች ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው።

በቂ ጽንሰ-ሐሳብ, በተግባር ሁሉም ነገር የበለጠ ግልጽ ነው.

ወደ ምሳሌ የምንመለስበት ጊዜ ነው። ክፍልፋዩ በቀላል ክፍልፋዮች ድምር የመጀመሪያ እና ሦስተኛው ዓይነቶች A፣ B እና C ያልተወሰነ ውህደቶች ይከፋፈላል።


ሶስተኛ, የተገኘውን ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ከማይታወቁ አሃዞች ጋር ወደ አንድ የጋራ አካፋይ እናመጣለን እና ቃላቶቹን በቁጥር ውስጥ በተመሳሳይ የ x ኃይል እንመድባለን።



ወደ እኩልነት መጣን ማለት ነው።


ለ x nonzero፣ ይህ እኩልነት ወደ ሁለት ፖሊኖሚሎች እኩልነት ይቀንሳል


እና ሁለት ፖሊኖሚሎች እኩል ናቸው እና ተመሳሳይ ሃይሎች ጥምርታዎች ከተገጣጠሙ ብቻ።

አራተኛ, የ x ን ተመሳሳይ ኃይላትን እኩል እናደርጋለን.

በዚህ ሁኔታ፣ እንደ ያልታወቁ ያልተወሰኑ ውህደቶች ያሉት የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን፡-


አምስተኛ, የፈለጉትን የእኩልታዎች ስርዓት በማንኛውም መንገድ እንፈታዋለን (አስፈላጊ ከሆነ, ጽሑፉን ይመልከቱ) እርስዎ የሚወዱትን, ያልተወሰኑትን ጥራቶች እናገኛለን.


በስድስተኛ, መልሱን ጻፍ.

እባካችሁ ሰነፍ አትሁኑ፣ የተገኘውን መስፋፋት ወደ አንድ የጋራ መለያ በማምጣት መልስህን አረጋግጥ።

እርግጠኛ ያልሆነ የቅንጅት ዘዴክፍልፋዮችን ወደ ቀላል ክፍሎች ለመበስበስ ሁለንተናዊ ዘዴ ነው።

መለያው የመስመራዊ ምክንያቶች ውጤት ከሆነ ከፊል እሴት ዘዴን ለመጠቀም በጣም ምቹ ነው ፣ ማለትም ፣ ተመሳሳይ ቅርፅ ካለው።

የዚህን ዘዴ ጥቅሞች ለማሳየት አንድ ምሳሌ እንመልከት.

ለምሳሌ.

ክፍልፋይ ዘርጋ ወደ ቀላሉ.

መፍትሄ።

በቁጥር ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ በዲግሪው ውስጥ ካለው የፖሊኖሚል ደረጃ ያነሰ ስለሆነ መከፋፈል የለብንም. ወደ ተከፋፈሉ መለያየት እንሂድ።

መጀመሪያ xን ከቅንፍ እናውጣ።

የኳድራቲክ ትሪኖሚል (ለምሳሌ የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም) ሥሮችን እናገኛለን።

ስለዚህ, ኳድራቲክ ትሪኖሚል እንደ ሊጻፍ ይችላል

ያም ማለት መለያው ቅጹን ይወስዳል

በተሰጠው አካፋይ፣የመጀመሪያው ክፍልፋይ ወደ ሶስት ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ከማይታወቁ ውህዶች ጋር ይከፋፈላል፡

የተገኘውን ድምር ወደ አንድ የጋራ አካፋይ እናመጣለን ፣ ግን በቁጥር ውስጥ ያሉትን ቅንፎች አንከፍትም እና ተመሳሳይ የሆኑትን ለ A ፣ B እና C አንሰጥም (በዚህ ደረጃ ይህ በትክክል ከማይታወቁ የቁጥሮች ዘዴ ልዩነት ነው)

ስለዚህም ወደ እኩልነት ደርሰናል፡-

እና አሁን, ያልተወሰኑ መለኪያዎችን ለማግኘት, "ከፊል እሴቶችን" በተፈጠረው እኩልነት መተካት እንጀምራለን, ይህም መለያው ወደ ዜሮ ይሄዳል, ማለትም x=0, x=2 እና x=3 ምሳሌያችን.

በ x=0 አለን።

በ x=2 አለን።

በ x=3 አለን።

መልስ፡-

እንደሚመለከቱት ፣ በማይታወቁ የቁጥሮች ዘዴ እና ከፊል እሴቶች ዘዴ መካከል ያለው ልዩነት የማይታወቁትን የማግኘት ዘዴ ውስጥ ብቻ ነው። ስሌቶችን ለማቃለል እነዚህ ዘዴዎች ሊጣመሩ ይችላሉ.

አንድ ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.

ምክንያታዊ አገላለጽ ክፍልፋይ ዘርጋ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች.

መፍትሄ።

የአሃዛዊው ፖሊኖሚል ደረጃ ከዲግሪው ብዙ ቁጥር ያነሰ እና መለያው ቀድሞውኑ በፋክተሪ የተደረገ በመሆኑ ዋናው አገላለጽ በሚከተለው ቅጽ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ሆኖ ይቀርባል።

ወደ አንድ የጋራ መለያ እናምጣው፡-

አሃዞችን እናመሳስላቸው።

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የዲኖሚተሩ ዜሮዎች x=1፣ x=-1 እና x=3 እሴቶች ናቸው። ከፊል እሴት ዘዴ እንጠቀማለን.

በ x=1 አለን።

በ x=-1 አለን።

በ x=3 አለን።

የማይታወቁትን ለማግኘት ይቀራል እና

ይህንን ለማድረግ የተገኙትን እሴቶች ወደ የቁጥር ቆጣሪዎች እኩልነት እንተካለን-

ቅንፎችን ከከፈትን እና ተመሳሳይ ቃላትን ከተመሳሳይ የ x ኃይል ጋር ካመጣን በኋላ የሁለት ፖሊኖሚሎች እኩልነት ላይ ደርሰናል፡

ተጓዳኝ መለኪያዎችን በተመሳሳይ ዲግሪዎች እናመሳሰላለን፣ በዚህም የቀሩትን ያልታወቁትን ለማግኘት እና የእኩልታዎችን ስርዓት እንዘረጋለን። ሁለት የማይታወቁ የአምስት እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን

ከመጀመሪያው እኩልታ ወዲያውኑ እናገኛለን, ከሁለተኛው እኩልታ

በውጤቱም ፣ መበስበሱን ወደ ቀላል ክፍልፋዮች እናገኘዋለን-

ማስታወሻ.

ወዲያውኑ ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን ለመተግበር ከወሰንን አምስት ያልታወቁ የአልጀብራ እኩልታዎችን ከአምስት የማይታወቁ ጋር መፍታት አለብን። ከፊል እሴት ዘዴ መጠቀም ከአምስት የማይታወቁ የሶስቱን እሴቶች በቀላሉ ለማግኘት አስችሎታል, ይህም ተጨማሪውን መፍትሄ በእጅጉ ቀላል አድርጎታል.

ምክንያታዊ ተግባር የቅጹ ክፍልፋይ ነው , አሃዛዊ እና ተከሳሹ ፖሊኖሚሎች ወይም የፖሊኖሚል ምርቶች ናቸው.

ምሳሌ 1. ደረጃ 2.

.

በዚህ የግለሰብ ክፍልፋይ ውስጥ በሌሉ ነገር ግን በሌሎች የውጤት ክፍልፋዮች ውስጥ የሚገኙትን ያልተወሰነ ውህደቶችን በፖሊኖሚሎች እናባዛለን።

ቅንፎችን ከፍተን የዋናውን ውህደት አሃዛዊ ከሚከተለው አገላለጽ ጋር እናመሳሰለዋለን፡-

በሁለቱም የእኩልነት ጎኖች፣ ተመሳሳይ የ x ሃይል ያላቸውን ውሎች እንፈልጋለን እና የእኩልታዎች ስርዓትን ከነሱ እንፅፋለን።

.

ሁሉንም x ዎችን ሰርዘናል እና ተመጣጣኝ የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን፡-

.

ስለዚህ የመዋሃዱ የመጨረሻ መስፋፋት ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ነው፡-

.

ምሳሌ 2. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

.

አሁን እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶችን መፈለግ እንጀምራለን. ይህንን ለማድረግ በተግባሩ አገላለጽ ውስጥ የሚገኘውን የዋናው ክፍልፋይ አሃዛዊ ቁጥርን ወደ አንድ የጋራ መለያ ከቀነስን በኋላ ከተገኘው የገለጻው አሃዛዊ ጋር እናመሳሰለዋለን።

አሁን የእኩልታዎች ስርዓት መፍጠር እና መፍታት ያስፈልግዎታል። ይህንን ለማድረግ በቀድሞው ደረጃ በተገኘው አገላለጽ ውስጥ የተለዋዋጭውን ጥምርታዎች በተግባሩ የመጀመሪያ አገላለጽ አሃዛዊ ቁጥር ውስጥ ካለው ተመሳሳይ ዲግሪ ጋር እናነፃፅራለን-

የተፈጠረውን ስርዓት እንፈታዋለን-

ስለዚህ ከዚህ

.

ምሳሌ 3. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶችን መፈለግ እንጀምራለን. ይህንን ለማድረግ በተግባሩ አገላለጽ ውስጥ የሚገኘውን የዋናው ክፍልፋይ አሃዛዊ ቁጥርን ወደ አንድ የጋራ መለያ ከቀነስን በኋላ ከተገኘው የገለጻው አሃዛዊ ጋር እናመሳሰለዋለን።

እንደ ቀደሙት ምሳሌዎች፣ የእኩልታዎች ስርዓት እንጽፋለን፡-

x ዎችን እንቀንሳለን እና ተመጣጣኝ የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን፡-

ስርዓቱን በመፍታት፣ እርግጠኛ ያልሆኑትን ቅንጅቶች የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን።

የመዋሃዱ የመጨረሻ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር እናገኛለን፡-

.

ምሳሌ 4. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

.

ክፍልፋዩን ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ከሰበሰበ እና ይህን ድምር ወደ አንድ የጋራ መለያ ካመጣ በኋላ የተገኘውን የዋናው ክፍልፋይ አሃዛዊ መግለጫ እንዴት ከቀደምት ምሳሌዎች ጋር ማመሳሰል እንደምንችል አስቀድመን እናውቃለን። ስለዚህ ፣ ለቁጥጥር ዓላማዎች ፣ የተገኘውን የእኩልታዎች ስርዓት እናቀርባለን-

ስርዓቱን በመፍታት፣ እርግጠኛ ያልሆኑትን ቅንጅቶች የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን።

የመዋሃዱ የመጨረሻ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር እናገኛለን፡-

ምሳሌ 5. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

.

ይህንን ድምር በግላችን ወደ የጋራ መለያየት እንቀንሳለን፣የዚህን አገላለጽ አሃዛዊ ከዋናው ክፍልፋይ አሃዛዊ ጋር በማመሳሰል። ውጤቱ የሚከተለው የእኩልታዎች ስርዓት መሆን አለበት.

ስርዓቱን በመፍታት፣ እርግጠኛ ያልሆኑትን ቅንጅቶች የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን።

.

የመዋሃዱ የመጨረሻ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር እናገኛለን፡-

.

ምሳሌ 6. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

ከዚህ መጠን ጋር ተመሳሳይ ድርጊቶችን በቀደሙት ምሳሌዎች እንፈጽማለን. ውጤቱ የሚከተለው የእኩልታዎች ስርዓት መሆን አለበት.

ስርዓቱን በመፍታት፣ እርግጠኛ ያልሆኑትን ቅንጅቶች የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን።

.

የመዋሃዱ የመጨረሻ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር እናገኛለን፡-

.

ምሳሌ 7. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

.

ከተገኘው መጠን ጋር ከተወሰኑ እርምጃዎች በኋላ የሚከተለው የእኩልታዎች ስርዓት ሊገኝ ይገባል-

ስርዓቱን በመፍታት፣ እርግጠኛ ያልሆኑትን ቅንጅቶች የሚከተሉትን እሴቶች እናገኛለን።

የመዋሃዱ የመጨረሻ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር እናገኛለን፡-

.

ምሳሌ 8. ደረጃ 2.በደረጃ 1፣ የሚከተለውን የመጀመሪያውን ክፍልፋይ መበስበስ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር በቁጥር ቆጣሪዎች ውስጥ ካልተወሰነ ቅንጅቶች ጋር አግኝተናል።

.

የእኩልታዎችን ስርዓት ለማግኘት ቀደም ሲል ወደ አውቶማቲክነት በመጡ ድርጊቶች ላይ አንዳንድ ለውጦችን እናድርግ። በአንዳንድ ሁኔታዎች አላስፈላጊ ስሌቶችን ለማስወገድ የሚረዳ ሰው ሰራሽ ዘዴ አለ. ክፍልፋዮችን ድምርን ወደ አንድ የጋራ መለያ በማምጣት የዚህን አገላለጽ አሃዛዊ ቁጥር ከዋናው ክፍልፋይ አሃዛዊ ጋር በማመሳሰል እናገኛለን።