ውስብስብ ቁጥሮች የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ቅጥያ ናቸው፣ አብዛኛውን ጊዜ የሚገለጹት። ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር እንደ መደበኛ ድምር ሊወከል ይችላል , የት እና እውነተኛ ቁጥሮች እና ምናባዊ አሃድ ነው.

ውስብስብ ቁጥርን በቅጹ ላይ መጻፍ፣ ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ይባላል።

ውስብስብ ቁጥሮች ባህሪያት. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጂኦሜትሪክ ትርጓሜ።

በአልጀብራ መልክ የተሰጡ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች፡-

ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ላይ የሂሳብ ስራዎች የሚከናወኑባቸውን ደንቦች እናስብ.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች α = a + bi እና β = c + di ከተሰጡ፣ እንግዲህ

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + ሐ) + (b + መ) i፣

α - β = (a + bi) - (c + di) = (a - ሐ) + (b - መ) i. (አስራ አንድ)

ይህ በሁለት የታዘዙ የእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ የመደመር እና የመቀነስ አሠራሮች ትርጓሜ (ቀመር (1) እና (3) ይመልከቱ)። ውስብስብ ቁጥሮችን የመደመር እና የመቀነስ ደንቦቹን ተቀብለናል-ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጨመር, የእነሱን ትክክለኛ ክፍሎች እና, በዚህ መሠረት, ምናባዊ ክፍሎቻቸውን በተናጠል መጨመር አለብን; ሌላውን ከአንድ ውስብስብ ቁጥር ለመቀነስ, ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውን በቅደም ተከተል መቀነስ አስፈላጊ ነው.

ቁጥሩ - α = - a - bi ከቁጥር α = a + bi ተቃራኒ ይባላል። የእነዚህ ሁለት ቁጥሮች ድምር ዜሮ ነው፡- α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0።

ውስብስብ ቁጥሮችን ለማባዛት ደንቡን ለማግኘት, ቀመር (6) እንጠቀማለን, ማለትም i2 = -1. ይህንን ግንኙነት ከግምት ውስጥ በማስገባት (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i – bd፣ i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ማስታወቂያ + bc) i . (12)

ይህ ቀመር ከቀመር (2) ጋር ይዛመዳል፣ እሱም የታዘዙ የእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ ማባዛትን ይወስናል።

የሁለት ውስብስብ conjugate ቁጥሮች ድምር እና ምርት እውነተኛ ቁጥሮች መሆናቸውን ልብ ይበሉ። በእርግጥ፣ α = a + bi፣ = a – bi፣ ከዚያ α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2፣ α + = (a + bi) + (a - bi) ከሆነ። = (a + a) + (b - b)i= 2a፣ i.e.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

ሁለት የተወሳሰቡ ቁጥሮችን በአልጀብራ ሲከፋፍሉ፣ አንድ ሰው ቁጥሩ በተመሳሳይ ዓይነት ቁጥር እንደሚገለጽ መጠበቅ አለበት፣ ማለትም α/β = u + vi፣ where u, v R. ውስብስብ ቁጥሮችን ለመከፋፈል ደንቡን እናውጣ። . ቁጥሮቹ α = a + bi, β = c + di, እና β ≠ 0, ማለትም c2 + d2 ≠ 0. የመጨረሻው እኩልነት ማለት c እና d በአንድ ጊዜ አይጠፉም (ጉዳዩ ሲ = 0 አይካተትም). ፣ d = 0)። ቀመር (12) እና ሁለተኛው የእኩልነት (13) መተግበር፡-

ስለዚህ የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ብዛት በቀመርው ይወሰናል፡-

ከቀመር (4) ጋር የሚዛመድ።

ለቁጥር β = c + di የተገኘውን ቀመር በመጠቀም የተገላቢጦሹን ቁጥር β-1 = 1/β ማግኘት ይችላሉ። በቀመር (14) ውስጥ ሀ = 1 ፣ b = 0 ብንወስድ እናገኛለን

ይህ ፎርሙላ ከዜሮ ሌላ የተሰጠውን ውስብስብ ቁጥር ተገላቢጦሽ ይወስናል። ይህ ቁጥርም ውስብስብ ነው።

ለምሳሌ፡ (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎች.

55. ውስብስብ ቁጥር ያለው ክርክር. ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥር (መነሻ) የመፃፍ።

Arg.com. ቁጥሮች. - በእውነተኛው የ X ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ እና የተሰጠውን ቁጥር በሚወክል ቬክተር መካከል።

ትሪጎን ቀመር. ቁጥሮች:,

ፍቺ

የውስብስብ ቁጥር አልጀብራዊ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥር \(\z\) በ \(\z=x+i y \) ቅጽ \(\x\) እና \(\y\) እውነተኛ ቁጥሮች በሆኑበት መፃፍ ነው ። ፣ \ (\i \ ) - ግንኙነቱን የሚያረካ ምናባዊ ክፍል \(\i^(2)=-1 \)

ቁጥር \(\ x \) የተወሳሰቡ ቁጥር እውነተኛ ክፍል ይባላል \(\ z \) እና በ \(\ x=\ኦፕሬተር ስም (Re) z \) ይገለጻል ።

ቁጥር \(\y \) የተወሳሰቡ ቁጥር ምናባዊ ክፍል ይባላል \ (\ z \) እና በ \ (\y=\ኦፕሬተር ስም (ኢም) z \) ይገለጻል ።

ለምሳሌ:

ውስብስብ ቁጥር \(\ z=3-2 i \) እና ተጓዳኝ ቁጥሩ \(\\overline(z)=3+2 i \) በአልጀብራ መልክ ተጽፈዋል።

ምናባዊው ብዛት \(\ z=5 i \) የተፃፈው በአልጀብራ መልክ ነው።

በተጨማሪም, እርስዎ እየፈቱት ባለው ችግር ላይ በመመስረት, ውስብስብ ቁጥርን ወደ ትሪግኖሜትሪክ ወይም ገላጭ ቁጥር መቀየር ይችላሉ.

ተግባር

ቁጥሩን \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) በአልጀብራ መልክ ፃፉ፣ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹን እንዲሁም የተዋሃዱ ቁጥሩን ያግኙ።

መፍትሄ።

ክፍልፋዮችን መከፋፈል የሚለውን ቃል እና ክፍልፋዮችን የመደመር ደንቡን በመጠቀም፣ እናገኛለን፡-

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1) (4) i \)

ስለዚህ የቁጥር ውስብስብ ቁጥር ትክክለኛው ክፍል \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) ቁጥር ​​\(\ x=\ኦፕሬተር ስም(Re) z= ነው። \frac(59) (4) \) ፣ ምናባዊው ክፍል ቁጥር \(\ y=\ኦፕሬተር ስም (ኢም) z=-\frac(1)(4) \) ነው።

የማጣመጃ ቁጥር፡- \(\ \ overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

መልስ

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \)፣ \(\ \ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z=\frac(59)(4) \) ፣ \(\ \ኦፕሬተር ስም(ኢም) z=-\frac(1)(4) \) ፣ \(\\ overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

በአልጀብራ ቅፅ ንፅፅር ውስጥ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድርጊቶች

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) እኩል ናቸው ይባላል \(\ x_(1)=x_(2) \) \(\ y_(1) = y_(2) \) ማለትም እ.ኤ.አ. እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ናቸው.

ተግባር

ለየትኛው x እና y ሁለቱ ውስብስብ ቁጥሮች \(\ z_(1)=13+y i \) እና \(\ z_(2)=x+5 i \) እኩል እንደሆኑ ይወስኑ።

መፍትሄ

በትርጉም, ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ እኩል ናቸው, ማለትም. \(\x=13\)፣ \(\y=5\)።

መልስ \(\x=13\) \(\y=5\)

መደመር

የተወሳሰቡ ቁጥሮች \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) መጨመር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን በቀጥታ በማጠቃለል ነው።

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\ግራ(x_(1)+x_(2)\ቀኝ) +i\ግራ(y_(1)+y_(2)\ቀኝ) \)

ተግባር

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምርን ይፈልጉ \(\ z_(1)=-7+5 i \) ፣ \(\ z_(2)=13-4 i \)

መፍትሄ።

የውስብስብ ቁጥር እውነተኛው ክፍል \(\ z_(1)=-7+5 i \) ቁጥር ​​\(\ x_(1)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(1)=-7 \) ፣ምናባዊው ነው። ክፍል ቁጥር \( \ y_(1)=\mathrm(ኢም) \) ፣ \(\ z_(1)=5 \) ነው። የውስብስብ ቁጥሩ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች \(\ z_(2)=13-4 i \) \(\ x_(2)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(2)=13 \) እና \() እኩል ናቸው። \ y_(2) በቅደም ተከተል )=\ኦፕሬተር ስም(ኢም) z_(2)=-4 \)።

ስለዚህ ፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር የሚከተለው ነው-

\(\z_(1)+z_(2)=\ግራ(x_(1)+x_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(y_(1)+y_(2)\ቀኝ)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

መልስ

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

በተለየ ጽሑፍ ውስጥ ስለ ውስብስብ ቁጥሮች ተጨማሪ ያንብቡ: ውስብስብ ቁጥሮችን መጨመር.

መቀነስ

ውስብስብ ቁጥሮች \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) እና \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) መቀነስ የሚከናወነው በቀጥታ በመቀነስ ነው። እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\ግራ(x_(2)+i _(2)\ቀኝ)=x_(1)-x_(2) +\ግራ(i y_(1)-i y_(2)\ቀኝ)=\ግራ(x_(1)-x_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(y_(1)-y_(2)\ቀኝ ) \)

ተግባር

ውስብስብ ቁጥሮችን ይፈልጉ \(\ z_(1)=17-35 i \) ፣ \(\ z_(2)=15+5 i \)

መፍትሄ።

የተወሳሰቡ ቁጥሮች እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን ይፈልጉ \(\ z_(1)=17-35 i \) ፣ \(\ z_(2)=15+5 i \)፡

\(\ x_(1)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(1)=17፣ x_(2)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\ኦፕሬተር ስም(ኢም) z_(1)=-35፣ y_(2)=\ኦፕሬተር ስም(ኢም) z_(2)=5 \)

ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት:

\(\ z_(1)-z_(2)=\ግራ(x_(1)-x_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(y_(1)-y_(2)\ቀኝ)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 i \)

መልስ

\(\ z_(1) -z_(2)=2-40 i \) ማባዛት።

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ማባዛት \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) እና \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) በቀጥታ በመፍጠር ይከናወናል። ቁጥሮች በአልጀብራ መልክ የምናባዊውን ክፍል ንብረት ግምት ውስጥ በማስገባት \(\i^(2)=-1\)፡

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\ግራ(x_(1)+i y_(1)\ቀኝ) \cdot\ግራ(x_(2)+i y_(2)\ቀኝ)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\ግራ(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\ቀኝ)=\)

\(\ =\ግራ(x_(1) \cdot x_(2))-y_(1) \cdot y_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\ቀኝ) \)

ተግባር

የተወሳሰቡ ቁጥሮችን ምርት ያግኙ \(\ z_(1)=1-5 i \)

መፍትሄ።

ውስብስብ ቁጥሮች;

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\ግራ(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\ቀኝ)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 = 15-23 እኔ \)

መልስ

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) ክፍፍል

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምክንያት \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) እና \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) በማባዛት ይወሰናል። አሃዛዊው እና አካፋው ከተቆራኙ ቁጥር ጋር፡-

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\ግራ) (x_(1)+i y_(1)\ቀኝ)\ግራ(x_(2)-i y_(2)\ቀኝ))(\ግራ(x_(2)+i y_(2)\ቀኝ)\ግራ (x_(2)-i y_(2)\ቀኝ))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2))

ተግባር

ቁጥር 1ን በውስብስብ ቁጥር \(\z=1+2i\) ለመከፋፈል።

መፍትሄ።

የእውነተኛው ቁጥር 1 ምናባዊ ክፍል ዜሮ ስለሆነ ፣ምክንያቱ፡-

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^(1) 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

መልስ

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

ስለ ውስብስብ ቁጥሮች አስፈላጊውን መረጃ እናስታውስ.

ውስብስብ ቁጥርየቅጹ መግለጫ ነው። ሀ + bi፣ የት ሀ, ለእውነተኛ ቁጥሮች ናቸው, እና እኔ- የሚባሉት ምናባዊ ክፍል፣ ካሬው ከ -1 ጋር እኩል የሆነ ምልክት ፣ ማለትም እኔ 2 = -1 ቁጥር ሀተብሎ ይጠራል እውነተኛ ክፍል, እና ቁጥር ለ - ምናባዊ ክፍልውስብስብ ቁጥር ዝ = ሀ + bi. ከሆነ ለ= 0፣ ከዚያ በምትኩ ሀ + 0እኔእነሱ በቀላሉ ይጽፋሉ ሀ. ትክክለኛዎቹ ቁጥሮች እንዳሉ ማየት ይቻላል ልዩ ጉዳይውስብስብ ቁጥሮች.

በውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ የሂሳብ ስራዎች በእውነተኛ ቁጥሮች ላይ አንድ አይነት ናቸው: ሊጨመሩ, ሊቀነሱ, ሊባዙ እና ሊከፋፈሉ ይችላሉ. መደመር እና መቀነስ በደንቡ መሰረት ይከሰታሉ ( ሀ + bi) ± ( ሐ + ዲ) = (ሀ ± ሐ) + (ለ ± መ)እኔእና ማባዛት ደንቡን ይከተላል ( ሀ + bi) · ( ሐ + ዲ) = (ac – bd) + (ማስታወቂያ + BC)እኔ(እዚህ ጥቅም ላይ ይውላል እኔ 2 = -1) ቁጥር = ሀ – biተብሎ ይጠራል ውስብስብ conjugateለ ዝ = ሀ + bi. እኩልነት ዝ · = ሀ 2 + ለ 2 አንድን ውስብስብ ቁጥር በሌላ (ዜሮ ያልሆነ) ውስብስብ ቁጥር እንዴት እንደሚካፈሉ እንዲረዱ ይፈቅድልዎታል-

(ለምሳሌ, .)

ውስብስብ ቁጥሮች ምቹ እና ምስላዊ ጂኦሜትሪክ ውክልና አላቸው፡ ቁጥር ዝ = ሀ + biመጋጠሚያዎች ባለው ቬክተር ሊወከል ይችላል ( ሀ; ለ) በካርቴሲያን አውሮፕላን (ወይም, ተመሳሳይ ነገር ማለት ይቻላል, አንድ ነጥብ - ከእነዚህ መጋጠሚያዎች ጋር የቬክተር መጨረሻ). በዚህ ሁኔታ, የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ድምር እንደ ተጓዳኝ ቬክተሮች ድምር ነው (ይህም ትይዩአዊውን ደንብ በመጠቀም ሊገኝ ይችላል). በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሠረት የቬክተር ርዝመት ከመጋጠሚያዎች ጋር ( ሀ; ለ) እኩል ነው። ይህ መጠን ይባላል ሞጁልውስብስብ ቁጥር ዝ = ሀ + biእና በ | ዝ| ይህ ቬክተር የሚያደርገው አንግል ከ x-ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር (በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ተቆጥሯል) ይባላል። ክርክርውስብስብ ቁጥር ዝእና በአርግ ይገለጻል። ዝ. ክርክሩ በልዩ ሁኔታ አልተገለጸም፣ ነገር ግን የ2 ብዜት እስኪጨመር ድረስ ብቻ ነው። π ራዲያን (ወይም 360 °, በዲግሪዎች ከተቆጠሩ) - ከሁሉም በላይ, በመነሻው ዙሪያ እንደዚህ ባለ ማዕዘን መዞር ቬክተሩን እንደማይለውጥ ግልጽ ነው. ነገር ግን የርዝመት ቬክተር ከሆነ አርማዕዘን ይመሰርታል φ ከ x-ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቹ እኩል ናቸው ( አር cos φ ; አርኃጢአት φ ). ከዚህ ሆኖ ይታያል ትሪግኖሜትሪክ ምልክትውስብስብ ቁጥር: ዝ = |ዝ| · (ኮስ (አር ዝ) + እኔኃጢአት (አር ዝ))። በዚህ ቅጽ ውስጥ ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጻፍ ብዙውን ጊዜ ምቹ ነው, ምክንያቱም ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል. ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ማባዛት በጣም ቀላል ነው። ዝ 1 · ዝ 2 = |ዝ 1 | · | ዝ 2 | · (ኮስ (አር ዝ 1 + አርግ ዝ 2) + እኔኃጢአት (አር ዝ 1 + አርግ ዝ 2)) (ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ሲባዙ ሞጁሎቻቸው ተባዝተው ክርክራቸው ተጨምሯል)። ከዚህ ተከተሉ የሞኢቭር ቀመሮች: z n = |ዝ|n· (ኮስ n· (አር ዝ)) + እኔኃጢአት ( n· (አር ዝ)))። እነዚህን ቀመሮች በመጠቀም የየትኛውንም ዲግሪ ሥረ-ሥሮች ከተወሳሰቡ ቁጥሮች እንዴት ማውጣት እንደሚቻል መማር ቀላል ነው። ሥር n ኛ ዲግሪከቁጥር z- ይህ ውስብስብ ቁጥር ነው ወ, ምንድን ወ n = ዝ. እንደሆነ ግልጽ ነው። ፣ እና የት ክከስብስቡ (0, 1, ...,) ማንኛውንም እሴት መውሰድ ይችላል n- 1) ይህ ማለት ሁልጊዜ በትክክል አለ ማለት ነው nሥሮች nውስብስብ ቁጥር ኛ ዲግሪ (በአውሮፕላኑ ላይ በመደበኛው ጫፎች ላይ ይገኛሉ n-ጎን)።

ኳድራቲክ እኩልታን አስቡበት።

ሥሩን እንወቅ።

ካሬው -1 የሆነ ትክክለኛ ቁጥር የለም። ነገር ግን ኦፕሬተሩን በቀመር ከገለጽነው እኔእንደ ምናባዊ ክፍል, ከዚያም የዚህ እኩልታ መፍትሄ እንደ ሊጻፍ ይችላል . በውስጡ እና -1 እውነተኛው ክፍል የሆነባቸው ውስብስብ ቁጥሮች፣ 2 ወይም በሁለተኛው ጉዳይ -2 ምናባዊው ክፍል ነው። ምናባዊው ክፍል እንዲሁ እውነተኛ ቁጥር ነው። በምናባዊው ክፍል የተባዛው ምናባዊ ክፍል ቀድሞውኑ ማለት ነው። ምናባዊ ቁጥር.

በአጠቃላይ, ውስብስብ ቁጥር ቅጹ አለው

ዝ = x + iy ,

የት x, y- እውነተኛ ቁጥሮች, - ምናባዊ አሃድ. በበርካታ የተግባር ሳይንሶች ለምሳሌ በኤሌክትሪካል ኢንጂነሪንግ፣ ኤሌክትሮኒክስ፣ ሲግናል ንድፈ ሃሳብ፣ ምናባዊው ክፍል የሚገለጸው በ ጄ. እውነተኛ ቁጥሮች x = ድጋሚ(z)እና y =እኔ(ዘ)ተብለው ይጠራሉ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችቁጥሮች ዝ.አገላለጹ ይባላል የአልጀብራ ቅርጽውስብስብ ቁጥር መጻፍ.

ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር በቅጹ ውስጥ የተወሳሰበ ቁጥር ልዩ ጉዳይ ነው . ምናባዊ ቁጥር እንዲሁ የተወሳሰበ ቁጥር ልዩ ጉዳይ ነው። .

ውስብስብ ቁጥሮች ሐ ስብስብ ፍቺ

ይህ አገላለጽ እንደሚከተለው ይነበባል፡ አዘጋጅ ጋርእንደነዚህ ያሉትን ንጥረ ነገሮች ያካተተ ነው xእና yየእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ አባል ነው። አርእና ምናባዊ ክፍል ነው. ወዘተ መሆኑን ልብ ይበሉ።

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እና ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ እና ብቻ ከሆነ እኩል ናቸው, ማለትም. እና.

ውስብስብ ቁጥሮች እና ተግባራት በሳይንስ እና ቴክኖሎጂ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ ፣ በተለይም በሜካኒክስ ፣ በተለዋዋጭ ዑደትዎች ትንተና እና ስሌት ፣ አናሎግ ኤሌክትሮኒክስ ፣ ቲዎሪ እና ሲግናል ማቀነባበሪያ ፣ ቲዎሪ ራስ-ሰር ቁጥጥርእና ሌሎች ተግባራዊ ሳይንሶች.

1. ውስብስብ ቁጥር አርቲሜቲክ

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር የእነሱን እውነተኛ እና መጨመርን ያካትታል ምናባዊ ክፍሎች፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

በዚህ መሠረት የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት

ውስብስብ ቁጥር ተብሎ ይጠራል ሁሉን አቀፍ conjugateቁጥር z =x+iy

ውስብስብ conjugate ቁጥሮች z እና z * በምናባዊው ክፍል ምልክቶች ይለያያሉ። እንደሆነ ግልጽ ነው።

.

መካከል ማንኛውም እኩልነት ውስብስብ መግለጫዎችበዚህ እኩልነት በሁሉም ቦታ የሚሰራ ከሆነ ይቆያል እኔበ ተተካ - እኔ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ወደ conjugate ቁጥሮች እኩልነት ይሂዱ። ቁጥሮች እኔእና – እኔጀምሮ, በአልጀብራ የማይነጣጠሉ ናቸው .

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ምርት (ማባዛት) እንደሚከተለው ሊሰላ ይችላል።

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ክፍፍል;

ለምሳሌ:

1. ውስብስብ አውሮፕላን

ውስብስብ ቁጥር በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በግራፊክ ሊወከል ይችላል. በአውሮፕላኑ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ስርዓትን እንገልፃለን (x፣ y)።

ዘንግ ላይ ኦክስእውነተኛ ክፍሎችን እናስቀምጣለን x, ይባላል እውነተኛ (እውነተኛ) ዘንግ, ዘንግ ላይ ወይ- ምናባዊ ክፍሎች yውስብስብ ቁጥሮች. ይባላል ምናባዊ ዘንግ. በዚህ ሁኔታ, እያንዳንዱ ውስብስብ ቁጥር በአውሮፕላኑ ላይ ካለው የተወሰነ ነጥብ ጋር ይዛመዳል, እና እንደዚህ አይነት አውሮፕላን ይባላል ውስብስብ አውሮፕላን. ነጥብ ሀውስብስብ አውሮፕላኑ ከቬክተሩ ጋር ይዛመዳል ኦ.ኤ.

ቁጥር xተብሎ ይጠራል abcissaውስብስብ ቁጥር, ቁጥር y – መሾም.

ጥንድ የተወሳሰቡ የተጣመሩ ቁጥሮች በእውነተኛው ዘንግ ላይ በተመጣጣኝ ሁኔታ በሚገኙ ነጥቦች ይወከላሉ።

በአውሮፕላኑ ውስጥ ከሆነ የዋልታ መጋጠሚያ ስርዓት, ከዚያም እያንዳንዱ ውስብስብ ቁጥር ዝበፖላር መጋጠሚያዎች ተወስኗል. በውስጡ ሞጁልቁጥሮች የነጥቡ የዋልታ ራዲየስ ነው, እና አንግል - የዋልታ አንግል ወይም ውስብስብ የቁጥር ክርክር ዝ.

ውስብስብ ቁጥር ያለው ሞዱል ሁልጊዜ አሉታዊ ያልሆነ. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር በልዩ ሁኔታ አልተወሰነም. የክርክሩ ዋና ዋጋ ሁኔታውን ማሟላት አለበት . ውስብስብ አውሮፕላኑ እያንዳንዱ ነጥብ እንዲሁ ይዛመዳል አጠቃላይ ትርጉምክርክር. በ2π ብዜት የሚለያዩ ክርክሮች እንደ እኩል ይቆጠራሉ። የዜሮ ቁጥር ግቤት አልተገለጸም።

የክርክሩ ዋና ዋጋ የሚወሰነው በሚከተሉት መግለጫዎች ነው-

እንደሆነ ግልጽ ነው።

በውስጡ
, .

ውስብስብ ቁጥር ውክልና ዝእንደ

ተብሎ ይጠራል ትሪግኖሜትሪክ ቅጽውስብስብ ቁጥር.

ለምሳሌ.

1. ውስብስብ ቁጥሮች ገላጭ ቅርጽ

ውስጥ መበስበስ የማክላሪን ተከታታይለትክክለኛ ክርክር ተግባራት መልክ አለው፡-

ውስብስብ ክርክር ላለው ገላጭ ተግባር ዝመበስበስ ተመሳሳይ ነው

.

የማክላሪን ተከታታይ መስፋፋት ለምናባዊው ክርክር ገላጭ ተግባር እንደ ሊወከል ይችላል።

የተፈጠረው ማንነት ይባላል የኡለር ቀመር.

ለአሉታዊ ክርክር ቅጹ አለው

እነዚህን አገላለጾች በማጣመር ለሳይን እና ኮሳይን የሚከተሉትን መግለጫዎች መግለፅ ይችላሉ።

.

የኡለር ቀመርን በመጠቀም፣ ከትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥሮች

ይገኛል አመላካች(ገላጭ ፣ ዋልታ) የተወሳሰበ ቁጥር ቅርፅ ፣ ማለትም የእሱ ውክልና በቅጹ

,

የት - የአንድ ነጥብ የዋልታ መጋጠሚያዎች ከአራት ማዕዘን መጋጠሚያዎች ጋር ( x፣y).

የውስብስብ ቁጥር ማያያዣው በሚከተለው መልኩ ተጽፏል።

ለትርጉም ቅፅ ለመወሰን ቀላል ነው የሚከተሉት ቀመሮችውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛትና ማካፈል

ማለትም፣ በገለፃ መልክ፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምርት እና ክፍፍል ከአልጀብራ ቅርጽ ይልቅ ቀላል ነው። በሚባዙበት ጊዜ የምክንያቶቹ ሞጁሎች ይባዛሉ, ክርክሮቹም ይጨምራሉ. ይህ ደንብ በማንኛውም ቁጥር ላይ ተፈጻሚ ይሆናል. በተለይም ውስብስብ ቁጥር ሲባዛ ዝላይ እኔቬክተር ዝበተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ 90 ይሽከረከራል

በዲቪዥን ውስጥ የቁጥር ሞጁል በዲኖሚነተር ሞጁሎች የተከፋፈለ ነው, እና የመለያው ክርክር ከቁጥር ክርክር ይቀንሳል.

የተወሳሰቡ ቁጥሮችን ገላጭ ቅርጽ በመጠቀም፣ ለታወቁት ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች መግለጫዎችን ማግኘት እንችላለን። ለምሳሌ ከማንነቱ

የኡለር ቀመር በመጠቀም መፃፍ እንችላለን

ውስጥ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን ማመሳሰል ይህ አገላለጽየማዕዘን ድምር ኮሳይን እና ሳይን መግለጫዎችን እናገኛለን

1. ውስብስብ ቁጥሮች ኃይላት, ሥሮች እና ሎጋሪዝም

ውስብስብ ቁጥርን ወደ ላይ ከፍ ማድረግ የተፈጥሮ ዲግሪ nበቀመርው መሰረት የተሰራ

ለምሳሌ. እንቆጥረው .

አንድ ቁጥር እናስብ በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ

’

የገለጻውን ቀመር በመተግበር, እናገኛለን

እሴቱን በገለፃው ውስጥ በማስቀመጥ አር= 1, የሚባሉትን እናገኛለን የሞኢቭር ቀመር, በእሱ አማካኝነት ለብዙ ማዕዘኖች የሳይንስ እና ኮሳይን መግለጫዎችን መወሰን ይችላሉ.

ሥር n- ውስብስብ ቁጥር ያለው ኃይል ዝአለው nበመግለጫው የሚወሰኑ የተለያዩ እሴቶች

ለምሳሌ. እንፈልገው።

ይህንን ለማድረግ, ውስብስብ ቁጥርን () በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንገልፃለን

.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሥርን ለማስላት ቀመርን በመጠቀም, እናገኛለን

ውስብስብ ቁጥር ሎጋሪዝም ዝ- ይህ ቁጥር ነው ወ, ለየተኛው . ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝምውስብስብ ቁጥር አለው ማለቂያ የሌለው ስብስብእሴቶች እና ቀመሩን በመጠቀም ይሰላል

የእውነተኛ (ኮሳይን) እና ምናባዊ (ሳይን) ክፍልን ያካትታል። ይህ ቮልቴጅ እንደ ቬክተር ርዝመት ሊወከል ይችላል እም , የመጀመሪያ ደረጃ(አንግል) ከማዕዘን ፍጥነት ጋር መሽከርከር ω .

ከዚህም በላይ ውስብስብ ተግባራት ከተጨመሩ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው ተጨምረዋል. ውስብስብ የሆነ ተግባር በቋሚ ወይም በእውነተኛ ተግባር ከተባዛ, የእሱ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ በተመሳሳይ ሁኔታ ይባዛሉ. የእንደዚህ አይነት ውስብስብ ተግባር ልዩነት / ውህደት ወደ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ልዩነት / ውህደት ይደርሳል.

ለምሳሌ, ውስብስብ የጭንቀት መግለጫን መለየት

ማባዛት ነው። iω የተግባሩ ትክክለኛ አካል ነው f(z)፣ እና - የተግባሩ ምናባዊ ክፍል. ምሳሌዎች፡- .

ትርጉም ዝውስብስብ በሆነው z አውሮፕላን ውስጥ በአንድ ነጥብ እና በተዛማጅ እሴት ይወከላል ወ- ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ውስጥ አንድ ነጥብ ወ. ሲታዩ ወ = f(z)የአውሮፕላን መስመሮች ዝወደ አውሮፕላን መስመሮች መለወጥ ወ, የአንዱ አውሮፕላን አሃዞች ወደ ሌላ ምስል, ነገር ግን የመስመሮች ወይም የስዕሎች ቅርጾች በከፍተኛ ሁኔታ ሊለወጡ ይችላሉ.

የትምህርት እቅድ.

1. ድርጅታዊ ጊዜ.

2. የቁሳቁስ አቀራረብ.

3. የቤት ስራ.

4. ትምህርቱን ማጠቃለል.

በክፍሎቹ ወቅት

I. ድርጅታዊ ጊዜ.

II. የቁሳቁስ አቀራረብ.

ተነሳሽነት.

የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ መስፋፋት አዳዲስ ቁጥሮችን (ምናባዊ) ወደ እውነተኛ ቁጥሮች ማከልን ያካትታል። የእነዚህ ቁጥሮች መግቢያ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ የአሉታዊ ቁጥርን ሥር ለማውጣት የማይቻል በመሆኑ ነው.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጽንሰ-ሐሳብ መግቢያ.

እውነተኛ ቁጥሮችን የምንሞላባቸው ምናባዊ ቁጥሮች በቅጹ ተጽፈዋል bi፣ የት እኔምናባዊ ክፍል ነው, እና እኔ 2 = - 1.

በዚህ ላይ በመመስረት, የሚከተለውን ውስብስብ ቁጥር ፍቺ እናገኛለን.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥር የቅጹ መግለጫ ነው። a+bi፣ የት ሀእና ለ- እውነተኛ ቁጥሮች. በዚህ ሁኔታ, የሚከተሉት ሁኔታዎች ተሟልተዋል.

ሀ) ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች a 1 + b 1 iእና a 2 + b 2 iእኩል ከሆነ እና ከሆነ ብቻ a 1 = a 2, ለ 1 = ለ 2.

ለ) ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር በደንቡ ይወሰናል.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ሐ) ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት በደንቡ ይወሰናል.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ቅርጽ.

በቅጹ ውስጥ ውስብስብ ቁጥር መጻፍ a+biየተወሳሰበ ቁጥር አልጀብራ ተብሎ ይጠራል፣ የት ሀ- እውነተኛ ክፍል; biምናባዊው ክፍል ነው, እና ለ- እውነተኛ ቁጥር.

ውስብስብ ቁጥር a+biየእሱ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ይቆጠራል። a = b = 0

ውስብስብ ቁጥር a+biበ ለ = 0ከእውነተኛ ቁጥር ጋር ተመሳሳይ እንደሆነ ይቆጠራል ሀ: a + 0i = አ.

ውስብስብ ቁጥር a+biበ ሀ = 0ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብሎ ይጠራል እና ይገለጻል። bi: 0 + bi = bi.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች z = a + biእና = ሀ - ቢ, በምናባዊው ክፍል ምልክት ላይ ብቻ የሚለያዩ, conjugate ይባላሉ.

በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎች.

በአልጀብራ መልክ በተወሳሰቡ ቁጥሮች ላይ የሚከተሉትን ስራዎች ማከናወን ይችላሉ።

1) መደመር።

ፍቺ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር z 1 = a 1 + b 1 iእና z 2 = a 2 + b 2 iውስብስብ ቁጥር ይባላል ዝ, ትክክለኛው ክፍል ከትክክለኛዎቹ ክፍሎች ድምር ጋር እኩል ነው z 1እና z 2, እና ምናባዊው ክፍል የቁጥሮች ምናባዊ ክፍሎች ድምር ነው z 1እና z 2, ያውና z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ቁጥሮች z 1እና z 2ውሎች ይባላሉ.

ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር የሚከተሉት ባህሪያት አሉት.

1º ተለዋዋጭነት፡ z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º ተያያዥነት፡ (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)።

3º ውስብስብ ቁጥር -አ -ቢየተወሳሰበ ቁጥር ተቃራኒ ተብሎ ይጠራል z = a + bi. ውስብስብ ቁጥር, ከተወሳሰበ ቁጥር ተቃራኒ ዝ፣ ተጠቁሟል -ዝ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር ዝእና -ዝከዜሮ ጋር እኩል: z + (-z) = 0

ምሳሌ 1፡ መደመርን ያከናውኑ (3 - እኔ) + (-1 + 2i).

(3 - እኔ) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) መቀነስ።

ፍቺከተወሳሰበ ቁጥር ቀንስ z 1ውስብስብ ቁጥር z 2 z፣ምንድን z + z 2 = z 1.

ቲዎረም. በውስብስብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት አለ እና ልዩ ነው።

ምሳሌ 2፡ መቀነስ አከናውን። (4 - 2ይ) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) ማባዛት.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥሮች ምርት z 1 =a 1 +b 1 iእና z 2 =a 2 +b 2 iውስብስብ ቁጥር ይባላል ዝበእኩልነት የተገለጸው፡- z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

ቁጥሮች z 1እና z 2ምክንያቶች ተብለው ይጠራሉ.

ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት የሚከተሉት ባህሪያት አሉት.

1º ተለዋዋጭነት፡ z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º ተያያዥነት፡ (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º ከመደመር አንፃር የማባዛት ስርጭት፡-

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2- እውነተኛ ቁጥር.

በተግባር ፣ ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት የሚከናወነው ድምርን በድምር ማባዛት እና እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን በመለየት ደንብ መሠረት ነው።

በሚከተለው ምሳሌ, ውስብስብ ቁጥሮችን በሁለት መንገድ ማባዛትን እንመለከታለን-በደንብ እና ድምርን በማባዛት.

ምሳሌ 3፡ ማባዛቱን ያድርጉ (2 + 3i) (5 - 7i).

1 መንገድ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) ) i = 31 + i.

ዘዴ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) ክፍፍል.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥር ይከፋፍሉ z 1ወደ ውስብስብ ቁጥር z 2, እንደዚህ ያለ ውስብስብ ቁጥር ማግኘት ማለት ነው ዝ, ምንድን z · z 2 = z 1.

ቲዎረም.የተወሳሰቡ ቁጥሮች ብዛት አለ እና ልዩ ከሆነ z 2 ≠ 0 + 0i.

በተግባራዊ ሁኔታ, የተወሳሰቡ ቁጥሮች ብዛት የሚገኘው በቁጥር ማያያዣው አሃዛዊ እና ተከሳሹን በማባዛት ነው.

ፍቀድ z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, ከዚያም

.

በሚከተለው ምሳሌ ቀመሩን እና የማባዛት ደንቡን ከቁጥር ጋር በማጣመር ማካፈልን እናከናውናለን።

ምሳሌ 4. ጥቅሱን ያግኙ .

5) ወደ አወንታዊ አጠቃላይ ኃይል ማሳደግ.

ሀ) የምናባዊው ክፍል ኃይሎች።

የእኩልነት ተጠቃሚነትን መጠቀም እኔ 2 = -1, ምናባዊ አሃድ ማንኛውንም አዎንታዊ ኢንቲጀር ኃይል ለመግለጽ ቀላል ነው. እና አለነ:

እኔ 3 = i 2 i = -i,

እኔ 4 = i 2 i 2 = 1፣

እኔ 5 = i 4 i = እኔ ፣

እኔ 6 = i 4 i 2 = -1፣

እኔ 7 = i 5 i 2 = -i፣

እኔ 8 = i 6 i 2 = 1ወዘተ.

ይህ የዲግሪውን ዋጋ ያሳያል እኔ n፣ የት n- አወንታዊ ኢንቲጀር ፣ ጠቋሚው እየጨመረ ሲሄድ በየጊዜው ይደገማል 4 .

ስለዚህ, ቁጥሩን ለመጨመር እኔለአዎንታዊ አጠቃላይ ኃይል ፣ አርቢውን በ መከፋፈል አለብን 4 እና መገንባት እኔገላጭነቱ ከቀሪው ክፍል ጋር እኩል የሆነ ኃይል.

ምሳሌ 5፡ አስላ፡ (i 36 + i 17) i 23.

እኔ 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1፣

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

ለ) ውስብስብ ቁጥርን ወደ አወንታዊ ኢንቲጀር ኃይል ማሳደግ የሚከናወነው ተመሳሳይ ውስብስብ ምክንያቶችን የማባዛት ልዩ ሁኔታ ስለሆነ ሁለትዮሽ ወደ ተጓዳኝ ኃይል ለማሳደግ በሚወጣው ደንብ መሠረት ነው ።

ምሳሌ 6፡ አስላ፡ (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.