አስቀድመው በ 7 ኛ ክፍል የአልጀብራ ኮርስ ውስጥ ተገናኝተዋል, ነገር ግን እነዚህ ስርዓቶች ብቻ ነበሩ ልዩ ዓይነት- የሁለት ስርዓቶች መስመራዊ እኩልታዎችከሁለት ተለዋዋጮች ጋር. በ 8 ኛ ክፍል ውስጥ ፣ ምክንያታዊ እኩልታዎችን በአንድ ተለዋዋጭ መፍታት ተምረዋል ፣ ይህ ማለት ምክንያታዊ እኩልታዎችን በሁለት ተለዋዋጮች ስለ መፍታት ማሰብ ይችላሉ ፣ በተለይም እንደዚህ ያሉ ስርዓቶች ብዙ ጊዜ ስለሆኑ። የሂሳብ ሞዴሎችእየተጠኑ ያሉ ሁኔታዎች. ከእነዚህ ሞዴሎች ውስጥ ስለ አንዱ ከአልጀብራ-8 የመማሪያ መጽሐፍ አስቀድመው ተምረዋል። ከታች ያለው ምሳሌ ከተጠቀሰው የመማሪያ መጽሐፍ የተወሰደ ነው.
በተግባር ፣ “ምክንያታዊ እኩልታ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር” ለሚለው ቃል ሰፋ ያለ ትርጓሜ የበለጠ ምቹ ነው፡ ይህ የቅጹ እኩልታ ነው - ምክንያታዊ መግለጫዎች ከሁለት ተለዋዋጮች x እና y ጋር።
ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የምክንያታዊ እኩልታዎች ምሳሌዎች፡-
እርግጥ ነው፣ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ከሌሎች ተለዋዋጮች ጋር ማገናዘብ ትችላለህ፣ የግድ በ x ሳይሆን፣ ለምሳሌ a3 - bx = 3ab - ምክንያታዊ እኩልታ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር a, b. ነገር ግን እንደ ትውፊት፣ በአልጀብራ ውስጥ x እና y ፊደሎችን እንደ ተለዋዋጭ መጠቀም ይመርጣሉ።
ፍቺ 2.
ለእኩልታ p (x, y) = 0 መፍትሔው ይህንን እኩልታ የሚያረካ ማንኛውም ጥንድ ቁጥሮች (x; y) ነው, ማለትም. እኩልነትን ከተለዋዋጮች p (x፣ y) = 0 ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት ይለውጣል።
ለምሳሌ:
1) (3; 7) - ለእኩልታ x 2 + y 2 = 58. በእርግጥ, 3 2 + 7 2 = 58 ትክክለኛ የቁጥር እኩልነት ነው.
2) - ለእኩልታ x 2 + y 2 - 58 መፍትሄ. 
- ትክክለኛ የቁጥር እኩልነት (22 + 36 = 58).
3) (0; 5) - ለእኩል 2xy + x 3 = 0 መፍትሄ. በእርግጥ, 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 ትክክለኛ የቁጥር እኩልነት ነው.
4) (1; 2) ለ 2xy + x 3 = 0 መፍትሄ አይደለም. በእውነቱ, 2 1 2 + 3 = 0 ትክክል ያልሆነ እኩልነት ነው (5 = 0 ይሆናል).
ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር እኩልታዎች፣ እንዲሁም ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታዎች፣ የእኩልታ እኩልነት ጽንሰ-ሀሳብን ማስተዋወቅ እንችላለን።
ፍቺ 3.
ሁለት እኩልታዎች p (x, y) = 0 እና d (x, y) = 0 ተመሳሳይ መፍትሄዎች ካላቸው እኩል ይባላሉ (በተለይ ሁለቱም እኩልታዎች መፍትሄ ከሌላቸው).
ብዙውን ጊዜ፣ እኩልታ ሲፈቱ፣ ይህን እኩልታ በቀላል፣ ግን ከእሱ ጋር በሚመሳሰል ለመተካት ይሞክራሉ። እንዲህ ዓይነቱ ምትክ የእኩልታውን ተመጣጣኝ ለውጥ ይባላል. ሁለቱ ዋና አቻ ልወጣዎች ከዚህ በታች ተዘርዝረዋል።
1) የእኩልታ ውሎችን ከአንዱ የቁጥር ክፍል ወደ ሌላ ተቃራኒ ምልክቶች ማስተላለፍ።
ለምሳሌ፣ እኩልታውን 2x + bу = 7x - 8у በቀመር 2x - 7x - -8у - bу መተካት የእኩልታ አቻ ለውጥ ነው።
2) የእኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በተመሳሳይ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ወይም አገላለጽ ማባዛት ወይም መከፋፈል።
ለምሳሌ፣ እኩልታ 0.5l:2 - 0.3xy = 2yን በቀመር 5l፡2 - 3xy = 20y መተካት (ሁለቱም የእኩልታ ጎኖች በቃል በ10 ተባዝተዋል) የእኩልታ አቻ ለውጥ ነው።
እኩል ያልሆኑ የእኩልታ ለውጦች፣ ልክ እንደ አንድ ተለዋዋጭ እኩልታዎች፣ እነዚህ ናቸው፡-
1) ተለዋዋጮችን ከያዙ ዲኖሚተሮች ነፃ መውጣት።
2) የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ማጠፍ.
ከተጠቆሙት ተመጣጣኝ ያልሆኑ ትራንስፎርሜሽኖች አንዱ እኩልታውን በመፍታት ሂደት ውስጥ ጥቅም ላይ ከዋለ፣ የተገኙት መፍትሄዎች በሙሉ በዋናው ቀመር በመተካት መፈተሽ አለባቸው፣ ምክንያቱም በመካከላቸው የውጭ መፍትሄዎች ሊኖሩ ይችላሉ።
አንዳንድ ጊዜ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ወደ ጂኦሜትሪክ (ግራፊክ) ሞዴል መቀየር ይቻላል, ማለትም. እኩልታውን ግራፍ. ምናልባት የምታስታውሱት የመስመራዊ እኩልታ ግራፍ በሁለት ተለዋዋጮች መጥረቢያ + bу + c = 0 (a, b, c ቁጥሮች, coefficients ናቸው, ከቁጥሮች ቢያንስ አንድ, b ከዜሮ የሚለይበት) ቀጥተኛ መስመር ነው. - የጂኦሜትሪክ ሞዴል መስመራዊ እኩልታ። ለአንዳንድ ተጨማሪ ምክንያታዊ እኩልታዎች ተጓዳኝ ግራፊክ ሞዴሎችን ከሁለት ተለዋዋጮች x እና y ጋር ለማግኘት እንሞክር።
ምሳሌ 2.የእኩልታውን ግራፍ ይሳሉ y - 2x2 = 0።
መፍትሄ።እኩልታውን ወደ ቅጽ y = 2x2 እንለውጠው። የተግባሩ ግራፍ y - 2x2 ፓራቦላ ነው, እሱም ደግሞ የእኩልታው ግራፍ y - 2x2 = 0 (ምስል 33) ይቆጠራል.
ምሳሌ 3.እኩልታውን xy = 2 ይሳሉ።
መፍትሄ።ቀመርን ወደ ቅጹ እንለውጠው የተግባሩ ግራፍ - ሃይፐርቦላ ነው, እሱ ደግሞ የ xy = 2 ግራፍ ተደርጎ ይቆጠራል (ምስል 34).
ስለዚህ, እኩልታ p (x, y) = O ወደ ቅጽ y = f (x) ሊለወጥ የሚችል ከሆነ, የተግባሩ ግራፍ y - f (x) በተመሳሳይ ጊዜ እንደ ግራፍ ይቆጠራል. እኩልታ p(x, y) - 0.
ምሳሌ 4.እኩልታውን x 2 + y 2 = 16 ይሳሉ።
መፍትሄ።
ከጂኦሜትሪ ኮርስ ቲዎሬምን እንጠቀም፡ የእኩልታ ግራፍ x 2 + y 2 = r 2፣ r አወንታዊ ቁጥር የሆነበት፣ በመነሻው እና ራዲየስ r ላይ ማዕከል ያለው ክብ ነው። ይህ ማለት የቀመርው ግራፍ x 2 + y 2 = 16 በመነሻው እና ራዲየስ 4 ላይ ማእከል ያለው ክብ ነው (ምስል 35).
ከላይ የተጠቀሰው ቲዎሬም የሚከተለው ንድፈ ሃሳብ ልዩ ጉዳይ ነው፣ ይህም ከጂኦሜትሪ ኮርስዎ ለእርስዎም እንደሚታወቅ ተስፋ እናደርጋለን።
ምሳሌ 5.እኩልታውን ይሳሉ፡
ሀ) (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 9; ለ) x 2 + y 2 + 4x = 0።
መፍትሄ፡-
ሀ) ሒሳቡን በቅጹ (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 32 እንደገና እንጽፈው። የዚህ እኩልታ ግራፍ, በንድፈ-ሀሳቡ መሰረት, በነጥብ (1; 2) እና ራዲየስ 3 (ምስል 37) ላይ ማእከል ያለው ክበብ ነው.
ለ) ቅጹን እንደገና እንጽፈው (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4, i.e. (x + 2) 2 + y 2 = 4 እና ተጨማሪ (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. የዚህ እኩልታ ግራፍ, በቲዎሬም መሰረት, መሃል ላይ ያለው ክብ ነው. ነጥቡ (-2; 0) እና ራዲየስ 2 (ምስል 38).
ፍቺ 4.
ስራው በአንድ ጊዜ እኩልታ p (x, y) = 0 እና ቀመር q (x, y) = 0 የሚያሟሉ ጥንድ እሴቶችን (x; y) ማግኘት ከሆነ, እነዚህ እኩልታዎች ስርዓት ይመሰርታሉ ይላሉ. የእኩልታዎች
ጥንድ እሴቶች (x; y) በተመሳሳይ ጊዜ ለስርዓቱ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እኩልታዎች መፍትሄ ነው ፣ ለእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይባላል። የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ማለት ሁሉንም መፍትሄዎች መፈለግ ወይም መፍትሄዎች አለመኖራቸውን ማረጋገጥ ማለት ነው።
ለምሳሌ, ጥንድ (3; 7) - ለእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ
እንደ እውነቱ ከሆነ, ይህ ጥንድ ሁለቱንም የስርዓቱን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እኩልታዎች ያሟላል, ይህም ማለት የእሱ መፍትሄ ነው. ብዙውን ጊዜ እንዲህ ተጽፏል: (3; 7) - ለስርዓቱ መፍትሄ ወይም ጥንድ (5; 9) ለሥርዓት (1) መፍትሄ አይደለም (1): የመጀመሪያውን እኩልታ አያረካም (ምንም እንኳን ሁለተኛውን እኩልነት ቢያሟላም). የስርዓቱ).
እርግጥ ነው፣ የሒሳብ ቀመር በሚፈጥሩት እኩልታዎች ውስጥ ያሉት ተለዋዋጮች በሌሎች ፊደላት ሊሰየሙ ይችላሉ፣ ለምሳሌ፡- ነገር ግን በማንኛውም ሁኔታ መልሱን በጥንድ ቁጥሮች መልክ ሲጽፉ መዝገበ ቃላት ጥቅም ላይ ይውላሉ። ግራፊክ ዘዴ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የመጀመርያው ቦታ በላቲን ፊደላት ቀደም ብሎ ከሚታዩት ሁለት ፊደላት ለአንዱ ተሰጥቷል።
አንዳንድ ጊዜ እርስዎ በሚያውቁት ግራፊክ ዘዴ በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ይችላሉ-የመጀመሪያውን እኩልታ ግራፍ ፣ ከዚያ ሁለተኛውን እኩልታ ግራፍ ማድረግ እና በመጨረሻም የግራፎቹን መገናኛ ነጥቦችን ማግኘት ያስፈልግዎታል ። የእያንዳንዱ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ለእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ሆነው ያገለግላሉ.
ምሳሌ 6.የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት
መፍትሄ።
1) የእኩልታውን ግራፍ ይገንቡ x 2 + y 2 = 16 - በመነሻው እና ራዲየስ 4 ላይ ማእከል ያለው ክበብ (ምስል 39).
2) የእኩልታውን ግራፍ እንገንባ y - x = 4. ይህ በነጥቦቹ (0; 4) እና (-4; 0) (ምስል 39) ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር ነው.
3) ክብ እና ቀጥታ መስመር በ A እና B (ምስል 39) ይገናኛሉ. በተሰራው የጂኦሜትሪክ ሞዴል ስንገመግም፣ ነጥብ A መጋጠሚያዎች A(-4፤ 0) እና ነጥብ B መጋጠሚያዎች አሉት (0፤ 4) አለው። ቼኩ እንደሚያሳየው ጥንዶች (-4; 0) እና ጥንድ (0; 4) ለሁለቱም የስርዓቱ እኩልታዎች መፍትሄዎች ናቸው, እና ስለዚህ የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች ናቸው. ስለዚህ፣ የተሰጠው የእኩልታዎች ስርዓት ሁለት መፍትሄዎች አሉት፡ (-4፤ 0) እና (0፤ 4)።
መልስ፡- (-4; 0); (0; 4).
ምሳሌ 7.የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት
መፍትሄ።
1) የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ በ y = 2x 2 ውስጥ እንደገና ከጻፍን, ወደ መደምደሚያው ደርሰናል-የቀመርው ግራፍ ፓራቦላ ነው (ምስል 40).
2) የስርዓቱን ሁለተኛ እኩልታ እንደገና ከጻፍን በኋላ ወደ መደምደሚያው ደርሰናል-የቀመርው ግራፍ ሃይፐርቦላ (ምስል 40) ነው።
3) ፓራቦላ እና ሃይፐርቦላ በ A ነጥብ (ምስል 40) ይገናኛሉ. በተሰራው የጂኦሜትሪክ ሞዴል ስንገመግም ነጥብ A መጋጠሚያዎች አሉት (1፤ 2)። ማጣራት እንደሚያሳየው ጥንዶች (1፤ 2) ለሁለቱም የስርአቱ እኩልታዎች መፍትሄ ነው፣ እና ስለዚህ የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ነው። ስለዚህ፣ የተሰጠው የእኩልታዎች ሥርዓት አንድ መፍትሔ አለው፡ (1፤ 2)።
መልስ፡ (1፤ 2)
እኩልታዎችን ለመፍታት እንደ ግራፊክ ዘዴው የእኩልታዎችን የመፍታት ስዕላዊ ዘዴ ቆንጆ ነው ፣ ግን አስተማማኝ አይደለም: በመጀመሪያ ፣ ምክንያቱም እኛ ሁልጊዜ የእኩልታ ግራፎችን መገንባት ስለማንችል ፣ በሁለተኛ ደረጃ, የእኩልታዎችን ግራፎች መገንባት ቢቻልም, የመገናኛ ነጥቦቹ በተለየ በተመረጡ ምሳሌዎች 6 እና 7 ላይ እንደ "ጥሩ" ላይሆኑ ይችላሉ, እና ከሥዕሉ ወሰን ውጭ ሊሆኑ ይችላሉ. ይህ ማለት አስተማማኝ ሊኖረን ይገባል ማለት ነው። የአልጀብራ ዘዴዎችየሁለት እኩልታዎች ስርዓቶችን ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር መፍታት። ይህ በሚቀጥለው አንቀጽ ላይ ይብራራል።
አ.ጂ. ሞርኮቪች አልጀብራ 9ኛ ክፍል
የመስመር ላይ የሂሳብ ቁሳቁሶች ፣ ችግሮች እና መልሶች በክፍል ፣ የሂሳብ ትምህርት እቅዶች
ኳድራቲክ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ አስቀድመን ተምረናል። አሁን የተጠኑትን ዘዴዎች ወደ ምክንያታዊ እኩልታዎች እናራዝማቸው።
ምን ሆነ ምክንያታዊ መግለጫ? ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ አስቀድመን አጋጥሞናል. ምክንያታዊ መግለጫዎችከቁጥሮች፣ ተለዋዋጮች፣ ኃይሎቻቸው እና የሂሳብ ስራዎች ምልክቶች የተሠሩ መግለጫዎች ናቸው።
በዚህ መሠረት, ምክንያታዊ እኩልታዎች የቅጹ እኩልታዎች ናቸው:, የት 
- ምክንያታዊ መግለጫዎች.
ከዚህ በፊት፣ ወደ መስመራዊዎቹ የሚቀነሱትን ምክንያታዊ እኩልታዎች ብቻ ተመልክተናል። አሁን ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች የሚቀነሱትን ምክንያታዊ እኩልታዎች እንይ።
ምሳሌ 1
እኩልታውን ይፍቱ፡.
መፍትሄ፡-
ክፍልፋዩ ከ0 ጋር እኩል ከሆነ እና አሃዛዊው ከ 0 ጋር እኩል ከሆነ እና መለያው ከ 0 ጋር እኩል ካልሆነ ብቻ ነው።
የሚከተለውን ስርዓት እናገኛለን:
የስርአቱ የመጀመሪያ እኩልታ ኳድራቲክ እኩልታ ነው። ከመፍትሔታችን በፊት፣ ሁሉንም ውጤቶቹን በ 3 እንከፋፍል።
ሁለት ስሮች እናገኛለን; .
2 በጭራሽ ከ0 ጋር የማይመሳሰል ስለሆነ ሁለት ቅድመ ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው። 
. የሁለተኛውን እኩልነት በሚፈታበት ጊዜ ከተገኘው የተለዋዋጭ ትክክለኛ ያልሆነ እሴት ጋር የሚገጣጠም የትኛውም የእኩልታ ሥሩ ስላልሆነ ሁለቱም መፍትሄዎች ናቸው። የተሰጠው እኩልታ.
መልስ፡-.
ስለዚህ፣ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ ቀመር እንፍጠር፡-
1. የቀኝ ጎን በ0 እንዲጨርስ ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ።
2. የግራውን ክፍል ይለውጡ እና ያቃልሉ, ሁሉንም ክፍልፋዮች ወደ አንድ የጋራ መለያ ያመጣሉ.
3. የሚከተለውን ስልተ ቀመር በመጠቀም የተገኘውን ክፍልፋይ ከ 0 ጋር ያመሳስሉ፡ 
.
4. በመጀመሪያው እኩልታ የተገኙትን ሥሮች ይፃፉ እና በመልሱ ውስጥ ሁለተኛውን እኩልነት ያሟሉ.
ሌላ ምሳሌ እንመልከት።
ምሳሌ 2
እኩልታውን ይፍቱ፡ 
.
መፍትሄ
በመጀመሪያ ፣ 0 በቀኝ በኩል እንዲቆይ ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ እናንቀሳቅሳቸዋለን።
አሁን የግራውን የእኩልታ ክፍል ወደ አንድ የጋራ መለያ እናምጣ።
ይህ እኩልታ ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው፡-
የስርአቱ የመጀመሪያ እኩልታ ኳድራቲክ እኩልታ ነው።
የዚህ እኩልታ ብዛት፡. አድልዎ እናሰላለን፡-
ሁለት ስሮች እናገኛለን; .
አሁን ሁለተኛውን አለመመጣጠን እንፈታው-የምክንያቶች ውጤት ከ 0 ጋር እኩል ካልሆነ እና አንዳቸውም ከ 0 ጋር እኩል ካልሆኑ ብቻ።
ሁለት ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው: 
. ከመጀመሪያው እኩልታ ከሁለቱም ሥሮች ውስጥ አንድ ብቻ ተስማሚ ሆኖ አግኝተናል - 3.
መልስ፡-.
በዚህ ትምህርት ውስጥ, ምክንያታዊ አገላለጽ ምን እንደሆነ እናስታውሳለን, እንዲሁም ምክንያታዊ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል ተምረናል, ይህም ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች ይቀንሳል.
በሚቀጥለው ትምህርት ምክንያታዊ እኩልታዎችን እንደ እውነተኛ ሁኔታዎች ሞዴሎች እንመለከታለን, እና እንዲሁም የእንቅስቃሴ ችግሮችን እንመለከታለን.
መጽሃፍ ቅዱስ
- ባሽማኮቭ ኤም.አይ. አልጀብራ፣ 8ኛ ክፍል። - ኤም.: ትምህርት, 2004.
- ዶሮፊቭ ጂ.ቪ., ሱቮሮቫ ኤስ.ቢ., ቡኒሞቪች ኢ.ኤ. እና ሌሎች አልጀብራ፣ 8. 5ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. አልጀብራ፣ 8ኛ ክፍል። አጋዥ ስልጠና ለ የትምህርት ተቋማት. - ኤም.: ትምህርት, 2006.
- የትምህርታዊ ሀሳቦች በዓል" የህዝብ ትምህርት" ().
- ትምህርት ቤት.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ()
የቤት ስራ
በ 7 ኛ ክፍል የሂሳብ ኮርስ, ለመጀመሪያ ጊዜ አጋጥሞናል ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር እኩልታዎች, ነገር ግን የሚጠኑት በሁለት የማይታወቁ የእኩልታዎች ስርዓቶች አውድ ውስጥ ብቻ ነው. ለዚያም ነው የተወሰኑ ሁኔታዎችን የሚገድቧቸው በቀመር ቅንጅቶች ላይ የሚተዋወቁበት አጠቃላይ ተከታታይ ችግሮች ከእይታ ይወድቃሉ። በተጨማሪም፣ እንደ “ኢኩዌሽን በተፈጥሯዊ ወይም ኢንቲጀር ቁጥሮች መፍታት” ያሉ ችግሮችን የመፍታት ዘዴዎች እንዲሁ ችላ ተብለዋል፣ ምንም እንኳን እ.ኤ.አ. የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ቁሳቁሶችእና ላይ የመግቢያ ፈተናዎችየዚህ አይነት ችግሮች ከጊዜ ወደ ጊዜ እየጨመሩ መጥተዋል.
ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የትኛው እኩልታ ይባላል?
ስለዚህ፣ ለምሳሌ፣ 5x + 2y = 10፣ x 2 + y 2 = 20፣ ወይም xy = 12 እኩልታዎች በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ ናቸው።
ቀመር 2x - y = 1ን አስቡበት። በ x = 2 እና y = 3 ጊዜ እውነት ይሆናል፣ ስለዚህ እነዚህ ጥንድ ተለዋዋጭ እሴቶች በጥያቄ ውስጥ ላለው እኩልታ መፍትሄ ነው።
ስለዚህ፣ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ለማንኛውም እኩልታ መፍትሄው ይህንን እኩልታ ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት የሚቀይሩት የተለዋዋጮች እሴቶች የታዘዙ ጥንዶች ስብስብ (x; y) ነው።
ከሁለት የማይታወቁ ጋር እኩልነት የሚከተሉትን ማድረግ ይችላል:
ሀ) አንድ መፍትሄ ይኑርዎት.ለምሳሌ, እኩልታ x 2 + 5y 2 = 0 ልዩ መፍትሄ አለው (0; 0);
ለ) በርካታ መፍትሄዎች አሉት.ለምሳሌ (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 መፍትሄዎች አሉት፡ (5; 2)፣ (-5; 2)፣ (5; -2)፣ (-5; - 2);
ቪ) መፍትሔ የላቸውም።ለምሳሌ, እኩልታ x 2 + y 2 + 1 = 0 መፍትሄዎች የሉትም;
ሰ) ማለቂያ የሌላቸው ብዙ መፍትሄዎች አሏቸው።ለምሳሌ፣ x + y = 3. የዚህ እኩልታ መፍትሔዎች ድምርቸው ከ 3 ጋር እኩል የሆነ ቁጥሮች ይሆናሉ። ቁጥር
እኩልታዎችን ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር ለመፍታት ዋናዎቹ ዘዴዎች በፋክተሪንግ መግለጫዎች ላይ የተመሰረቱ ፣ የተሟላ ካሬን በመለየት እና ንብረቶችን በመጠቀም ናቸው ። ኳድራቲክ እኩልታ, የገለጻዎች ገደቦች, የግምገማ ዘዴዎች. እኩልታው ብዙውን ጊዜ የማይታወቁ ነገሮችን ለማግኘት የሚያስችል ስርዓት ወደሚገኝበት ቅፅ ይቀየራል።
ማምረቻ
ምሳሌ 1.
እኩልታውን ይፍቱ፡ xy – 2 = 2x – y.
መፍትሄ።
ለፋክተሪንግ ዓላማ ውሉን እንመድባቸዋለን፡-
(xy + y) – (2x + 2) = 0. ከእያንዳንዱ ቅንፍ አንድ የተለመደ ነገር እናወጣለን፡-
y (x + 1) - 2 (x + 1) = 0;
(x + 1) (y – 2) = 0. አለን።
y = 2 ፣ x - ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ወይም x = -1 ፣ y - ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር።
ስለዚህም መልሱ ሁሉም የቅጹ ጥንዶች (x; 2)፣ x € R እና (-1; y)፣ y € R ነው።
ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም። አሉታዊ ቁጥሮች
ምሳሌ 2.
እኩልታውን ይፍቱ፡ 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)።
መፍትሄ።
መቧደን፡
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. አሁን እያንዳንዱ ቅንፍ በካሬ ልዩነት ቀመር ሊታጠፍ ይችላል።
(3x – 2) 2 + (2ይ – 3) 2 = 0።
የሁለት አሉታዊ ያልሆኑ አባባሎች ድምር ዜሮ የሚሆነው 3x – 2 = 0 እና 2y – 3 = 0 ከሆነ ብቻ ነው።
ይህ ማለት x = 2/3 እና y = 3/2 ማለት ነው።
መልስ፡ (2/3፤ 3/2)።
የግምት ዘዴ
ምሳሌ 3.
እኩልታውን ይፍቱ (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
መፍትሄ።
በእያንዳንዱ ቅንፍ ውስጥ የተሟላ ካሬ እንመርጣለን-
((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. እንገምት 
በቅንፍ ውስጥ ያሉት መግለጫዎች ትርጉም.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 እና (y – 2) 2 + 2 ≥ 2፣ ከዚያ በግራ በኩል ያለው እኩልነት ሁልጊዜ ቢያንስ 2. እኩልነት የሚቻለው ከሆነ፡-
(x + 1) 2 + 1 = 1 እና (y – 2) 2 + 2 = 2 ማለትም x = -1፣ y = 2 ማለት ነው።
መልስ፡ (-1፤ 2)
ከሁለተኛ ዲግሪ ሁለት ተለዋዋጮች ጋር እኩልታዎችን ለመፍታት ከሌላ ዘዴ ጋር እንተዋወቅ። ይህ ዘዴ ቀመርን እንደ ማከም ያካትታል ከአንዳንድ ተለዋዋጭ አንፃር ካሬ.
ምሳሌ 4.
እኩልታውን ይፍቱ፡ x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0።
መፍትሄ።
እኩልታውን እንደ ኳድራቲክ እኩልታ ለ x እንፍታው። አድሎአዊውን እንፈልግ፡-
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4ይ + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . እኩልታው መፍትሄ የሚኖረው D = 0 ሲሆን ማለትም y = 4 ከሆነ የ y ዋጋን በዋናው እኩልነት በመቀየር x = 3 እናገኛለን
መልስ፡ (3፤ 4)
ብዙውን ጊዜ ከሁለት የማይታወቁ ጋር እኩልታዎች ያመለክታሉ በተለዋዋጮች ላይ ገደቦች.
ምሳሌ 5.
እኩልታውን በሙሉ ቁጥሮች ይፍቱ፡ x 2 + 5y 2 = 20x + 2።
መፍትሄ።
ቀመርን በ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 እንደገና እንጽፈው። የውጤቱ እኩልታ በቀኝ በኩል በ 5 ሲካፈል 2 ቀሪውን ይሰጣል።ስለዚህ x 2 በ 5 አይከፋፈልም። ቁጥር በ 5 ያልተከፋፈለው 1 ወይም 4 ቀሪዎችን ይሰጣል. ስለዚህ, እኩልነት የማይቻል እና መፍትሄዎች የሉም.
መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.
ምሳሌ 6.
እኩልታውን ይፍቱ፡ (x 2 – 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
መፍትሄ።
እናደምቀው ፍጹም ካሬዎችበእያንዳንዱ ቅንፍ:
((|x| – 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. የቀመርው የግራ ጎን ሁል ጊዜ ይበልጣል ወይም እኩል ነው 3. እኩልነት የሚቻለው |x| - 2 = 0 እና y + 3 = 0. ስለዚህም, x = ± 2, y = -3.
መልስ፡ (2; -3) እና (-2; -3)።
ምሳሌ 7.
ለእያንዳንዱ ጥንድ አሉታዊ ኢንቲጀር (x;y) እኩልታውን የሚያረካ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33፣ ድምርን አስሉ (x + y)። እባክዎ በመልስዎ ውስጥ ትንሹን መጠን ያመልክቱ።
መፍትሄ።
ሙሉ ካሬዎችን እንምረጥ፡-
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x እና y ኢንቲጀር በመሆናቸው ካሬዎቻቸውም ኢንቲጀር ናቸው። 1 + 36 ብንጨምር የሁለት ኢንቲጀር ካሬዎች ድምር ከ 37 ጋር እኩል እናገኛለን።
(x - y) 2 = 36 እና (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 እና (y + 2) 2 = 36።
እነዚህን ስርዓቶች መፍታት እና x እና y አሉታዊ መሆናቸውን ከግምት ውስጥ በማስገባት መፍትሄዎችን እናገኛለን: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
መልስ፡-17
ከሁለት የማይታወቁ ጋር እኩልታዎችን መፍታት ከተቸገርህ ተስፋ አትቁረጥ። በትንሽ ልምምድ, ማንኛውንም እኩልታ ማስተናገድ ይችላሉ.
አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? እኩልታዎችን በሁለት ተለዋዋጮች እንዴት እንደሚፈቱ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት ይመዝገቡ።
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!
ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።
ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር እኩልነትን አስቡበት
ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር አንድን እኩልነት እውነት የሚያደርግ ጥንድ ተለዋዋጭ እሴቶች ለእኩል መፍትሄ ይባላል። ከሁለት ተለዋዋጮች x እና y ጋር እኩልነት ከተሰጠ፣ የተለዋዋጭውን ዋጋ በመጀመሪያ ቦታ ላይ በማስቀመጥ የመፍትሄውን መፃፍ የተለመደ ነው፣ እና በሁለተኛ ደረጃ - የy እሴት።
ስለዚህም ጥንዶች ለእኩል መፍትሔዎች ናቸው, ነገር ግን ጥንድ (1; 5) ለእኩል መፍትሄ አይደለም.
ይህ እኩልታ ሌሎች መፍትሄዎች አሉት. እነሱን ለማግኘት, አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንጻር ለመግለጽ አመቺ ነው, ለምሳሌ, ከ x እስከ y y, በዚህም ምክንያት እኩልቱ . የዘፈቀደ የy እሴት ከመረጥን በኋላ፣ ተዛማጅ የሆነውን የ x እሴት እናሰላለን። ለምሳሌ, ያ ማለት ጥንድ (31; 7) ለቅጥያው መፍትሄ ከሆነ; ያ ማለት ከሆነ ጥንድ (4; -2) እንዲሁ መፍትሄ ነው የተሰጠው እኩልታወዘተ.
ሁለት ተለዋዋጮች ያላቸው እኩልታዎች ተመሳሳይ መፍትሄዎች ካላቸው አቻ ናቸው ተብሏል።
ሁለት ተለዋዋጮች ላሉት እኩልታዎች፣ ቲዎሬምስ 5.1 እና 5.2 (አንቀጽ 135 ይመልከቱ) ስለ እኩልታዎቹ ተመጣጣኝ ለውጦች ልክ ናቸው።
549+45y+4y=-7፣ 45y+4y=549-7፣ 49y=542፣ y=542:49፣ y≈11።
በዘፈቀደ በተመረጠው (ከስርአቱ) እኩልታ፣ አስቀድሞ ከተገኘው “ጨዋታ” ይልቅ ቁጥር 11 አስገባ እና ሁለተኛው ያልታወቀውን አስላ።
X=61+5*11፣ x=61+55፣ x=116
የዚህ የእኩልታዎች ስርዓት መልሱ x=116፣ y=11 ነው።
የግራፊክ ዘዴ.
እሱ ቀጥተኛ መስመሮች፣ በሒሳብ እኩልታዎች ሥርዓት ውስጥ የተፃፉበት፣ የሚገናኙበትን ነጥብ መጋጠሚያዎች በተግባር ማግኘትን ያካትታል። የሁለቱም መስመሮች ግራፎች በተመሳሳዩ የማስተባበር ስርዓት ውስጥ በተናጠል መሳል አለባቸው. አጠቃላይ ቅጽየቀጥታ መስመር እኩልታ፡- у=khх+b. ቀጥ ያለ መስመርን ለመሥራት የሁለት ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ማግኘት በቂ ነው, እና x በዘፈቀደ ይመረጣል.
ስርዓቱ ይስጥ፡ 2x – y=4
Y=-3x+1
የመጀመሪያውን እኩልታ በመጠቀም ቀጥተኛ መስመር ተሠርቷል, ለመመቻቸት, መጻፍ ያስፈልግዎታል: y = 2x-4. ለ x (ቀላል) እሴቶችን ይዘው ይምጡ፣ ወደ ቀመር በመተካት፣ መፍታት እና yን ያግኙ። ቀጥ ያለ መስመር የሚሠራበት ሁለት ነጥቦችን እናገኛለን. (ሥዕሉን ይመልከቱ)
x 0 1
y -4 -2
ቀጥ ያለ መስመር የሚሠራው ሁለተኛውን እኩልታ በመጠቀም ነው: y=-3x+1.
እንዲሁም ቀጥተኛ መስመር ይገንቡ. (ሥዕሉን ይመልከቱ)
y 1 -5
በግራፉ ላይ የሁለት የተገነቡ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ (መስመሮቹ የማይገናኙ ከሆነ, የእኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄ የለውም - ይህ ይከሰታል).
በርዕሱ ላይ ቪዲዮ
ተመሳሳዩን የእኩልታዎች ስርዓት በሶስት የተለያዩ መንገዶች ከፈቱ መልሱ አንድ ይሆናል (መፍትሄው ትክክል ከሆነ)።
ምንጮች፡-
- 8 ኛ ክፍል አልጀብራ
- በመስመር ላይ ከሁለት የማይታወቁ ጋር እኩልታ መፍታት
- የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ከሁለት ጋር የመፍታት ምሳሌዎች
የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ፈታኝ እና አስደሳች ነው። እንዴት ይበልጥ ውስብስብ ሥርዓት, እሱን ለመፍታት የበለጠ ትኩረት የሚስብ ነው. ብዙ ጊዜ በሂሳብ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትሁለት የማይታወቁ የእኩልታዎች ስርዓቶች አሉ፣ ነገር ግን በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ ብዙ ተለዋዋጮች ሊኖሩ ይችላሉ። ስርዓቶች ብዙ ዘዴዎችን በመጠቀም ሊፈቱ ይችላሉ.
መመሪያዎች
የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በጣም የተለመደው ዘዴ መተካት ነው። ይህንን ለማድረግ አንድን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር መግለጽ እና በሁለተኛው የስርዓተ-ፆታ ስሌት ውስጥ መተካት አስፈላጊ ነው, ስለዚህም እኩልዮሹን ወደ አንድ ተለዋዋጭ ይቀንሳል. ለምሳሌ፣ የሚከተሉትን እኩልታዎች ሰጥተውታል፡- 2x-3y-1=0፤x+y-3=0።
ከሁለተኛው አገላለጽ ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱን ለመግለጽ ምቹ ነው, የተቀረውን ሁሉ ወደ ትክክለኛው የገለፃው ክፍል በማንቀሳቀስ, የመለኪያውን ምልክት ለመቀየር አይረሳም: x = 3-y.
ቅንፎችን ይክፈቱ: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. የተገኘውን እሴት y ወደ አገላለጽ እንተካለን: x=3-y;x=3-1;x=2 .
በመጀመሪያው አገላለጽ ሁሉም ቃላቶች 2 ናቸው, 2 ከቅንፍ ማውጣት ይችላሉ
