ትላልቅ የአልጀብራ አገላለጾችን የመገምገም ሂደትን ለማፋጠን በአህጽሮት የማባዛት ቀመሮች ወይም ደንቦች በሒሳብ፣ በተለይም አልጀብራ ጥቅም ላይ ይውላሉ። ቀመሮቹ እራሳቸው በርካታ ፖሊኖሚሎችን ለማባዛት በአልጀብራ ውስጥ ካሉ ህጎች የተገኙ ናቸው።

የእነዚህ ቀመሮች አጠቃቀም ለተለያዩ የሂሳብ ችግሮች ትክክለኛ ፈጣን መፍትሄ ይሰጣል ፣ እና መግለጫዎችን ለማቃለል ይረዳል ። የአልጀብራ ለውጦችን ህጎች በመግለጫዎች አንዳንድ ማጭበርበሮችን እንዲፈጽሙ ያስችሉዎታል ፣ ከዚያ በቀኝ በኩል በግራ በኩል በግራ በኩል ማግኘት ይችላሉ ፣ ወይም የእኩልነት ቀኝ ጎን ይቀይሩ (በግራ በኩል ያለውን መግለጫ ለማግኘት)። ከእኩል ምልክት በኋላ).

ብዙውን ጊዜ ችግሮችን እና እኩልታዎችን ለመፍታት ስለሚውሉ ለአጭር ጊዜ ማባዛት ጥቅም ላይ የዋሉትን ቀመሮች ከማስታወስ ማወቅ ምቹ ነው። ከዚህ በታች በዚህ ዝርዝር ውስጥ የተካተቱት ዋና ቀመሮች እና ስሞቻቸው ናቸው.

የድምሩ ካሬ

የድምሩ ካሬን ለማስላት ፣የመጀመሪያው ቃል ካሬ ፣የመጀመሪያው ቃል ሁለት ጊዜ ምርት እና የሁለተኛው እና የሁለተኛው ካሬ ያቀፈውን ድምር ማግኘት ያስፈልግዎታል። በአገላለጽ መልክ፣ ይህ ደንብ እንደሚከተለው ተጽፏል፡ (a + c)² = a² + 2ac + c²።

የካሬ ልዩነት

የልዩነቱን ካሬ ለማስላት ፣ የመጀመሪያውን ቁጥር ካሬ ፣ የመጀመሪያውን ቁጥር ሁለት ጊዜ እና የሁለተኛውን (በተቃራኒው ምልክት የተወሰደ) እና የሁለተኛውን ቁጥር ካሬ የያዘውን ድምር ማስላት ያስፈልግዎታል። በአገላለጽ መልክ፣ ይህ ህግ ይህን ይመስላል፡ (a - c)² = a² - 2ac + c²።

የካሬዎች ልዩነት

የካሬው የሁለት ቁጥሮች ልዩነት ቀመር የእነዚህ ቁጥሮች ድምር ውጤት እና ልዩነታቸው እኩል ነው። በአገላለጽ መልክ፣ ይህ ህግ ይህን ይመስላል፡ a² - с² = (a + с)·(a - с)።

ኩብ ድምር

የሁለት ቃላትን ድምር ኪዩብ ለማስላት የመጀመርያውን ቃል ኪዩብ ፣የመጀመሪያውን ቃል ካሬ ምርት ሦስት እጥፍ እና ሁለተኛውን ፣የመጀመሪያውን ቃል እና የሁለተኛውን ምርት በሦስት እጥፍ የሚያካትት ድምርን ማስላት ያስፈልግዎታል። ካሬ, እና የሁለተኛው ቃል ኪዩብ. በአገላለጽ መልክ፣ ይህ ህግ ይህን ይመስላል፡ (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³።

የኩቦች ድምር

በቀመርው መሰረት, የእነዚህ ቃላት ድምር ውጤት እና ልዩነታቸው ያልተሟላ ካሬ ጋር እኩል ነው. በአገላለጽ መልክ፣ ይህ ህግ ይህን ይመስላል፡ a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac +c²)።

ለምሳሌ.ሁለት ኩቦችን በመጨመር የተሰራውን ምስል መጠን ማስላት አስፈላጊ ነው. የጎኖቻቸው መጠኖች ብቻ ይታወቃሉ.

የጎን እሴቶቹ ትንሽ ከሆኑ, ስሌቶቹ ቀላል ናቸው.

የጎኖቹ ርዝማኔዎች በአስደናቂ ቁጥሮች ከተገለጹ, በዚህ ሁኔታ "Sum of Cubes" ፎርሙላውን መጠቀም ቀላል ነው, ይህም ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል.

ልዩነት ኪዩብ

የኩቢክ ልዩነት አገላለጽ እንደዚህ ይመስላል-የመጀመሪያው ቃል ሦስተኛው ኃይል ድምር ፣የመጀመሪያው ቃል ካሬ አሉታዊውን ምርት በሰከንድ እጥፍ ፣የመጀመሪያውን ቃል ምርት በሁለተኛው ካሬ በሦስት እጥፍ ያሳድጋል። እና የሁለተኛው ቃል አሉታዊ ኩብ. በሒሳብ አገላለጽ፣ የልዩነቱ ኪዩብ ይህን ይመስላል፡ (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³።

የኩቦች ልዩነት

የኩብ ፎርሙላ ልዩነት ከኩቦች ድምር በአንድ ምልክት ብቻ ይለያል. ስለዚህ የኩቦች ልዩነት የእነዚህ ቁጥሮች ልዩነት እና ያልተሟላ የድምር ካሬ ምርት ጋር እኩል የሆነ ቀመር ነው. በቅጹ ውስጥ, የኩቦች ልዩነት ይህን ይመስላል: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

ለምሳሌ.ከሰማያዊው ኪዩብ መጠን ውስጥ ቢጫው ቮልሜትሪክ አሃዝ ፣ እንዲሁም ኩብ ከሆነ በኋላ የሚቀረውን የምስል መጠን ማስላት ያስፈልጋል። የትንሽ እና ትልቅ ኩብ የጎን መጠን ብቻ ይታወቃል.

የጎን እሴቶቹ ትንሽ ከሆኑ, ስሌቶቹ በጣም ቀላል ናቸው. እና የጎን ርዝመቶች ጉልህ በሆነ ቁጥሮች ከተገለጹ ፣ “የኩብ ልዩነት” (ወይም “የኩብ ልዩነት”) የሚለውን ቀመር መተግበር ጠቃሚ ነው ፣ ይህም ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል።

አጭር የማባዛት ቀመሮች።

አጭር የማባዛት ቀመሮችን በማጥናት: የድምሩ ካሬ እና የሁለት መግለጫዎች ልዩነት ካሬ; የሁለት መግለጫዎች ካሬዎች ልዩነት; የሁለት መግለጫዎች ልዩነት ድምር እና ኩብ ኩብ; የሁለት መግለጫዎች የኩብሎች ድምር እና ልዩነቶች.

ምሳሌዎችን በሚፈታበት ጊዜ የአህጽሮት ማባዛት ቀመሮችን መተግበር።

አገላለጾችን ለማቃለል፣ ፋክተር ፖሊኖሚሎች፣ እና ፖሊኖሚሎችን ወደ መደበኛ ቅፅ ለመቀነስ፣ አህጽሮተ-ማባዛት ቀመሮች ጥቅም ላይ ይውላሉ። አጠር ያሉ የማባዛት ቀመሮች በልብ መታወቅ አለባቸው.

እንሂድ a, b R. ከዚያ፡-

1. የሁለት መግለጫዎች ድምር ካሬ እኩል ነው።የመጀመሪያው አገላለጽ ካሬ ሲደመር የመጀመሪያው አገላለጽ ሁለት ጊዜ ምርት እና ሁለተኛው ሲደመር የሁለተኛው አገላለጽ ካሬ።

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. የሁለት መግለጫዎች ልዩነት ካሬ እኩል ነው።የመጀመሪያው አገላለጽ ካሬ የመጀመሪያው አገላለጽ ሁለት ጊዜ ሲቀነስ እና ሁለተኛው ሲደመር የሁለተኛው አገላለጽ ካሬ።

(a - ለ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. የካሬዎች ልዩነትሁለት መግለጫዎች የእነዚህ አባባሎች ልዩነት እና ድምር ውጤት ጋር እኩል ነው።

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. ኩብ ድምርሁለት አገላለጾች ከመጀመሪያው አገላለጽ ኩብ ጋር እኩል ሲሆኑ የመጀመሪያው አገላለጽ ካሬ ምርት ሦስት እጥፍ እና ሁለተኛው ሲደመር የመጀመሪያው አገላለጽ ውጤት እና የሁለተኛው ካሬ ሲደመር የሁለተኛው አገላለጽ ኩብ ምርት ነው።

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. ልዩነት ኪዩብሁለት አገላለጾች ከመጀመሪያው አገላለጽ ኪዩብ ሲቀነሱ የመጀመሪያው አገላለጽ ካሬ ምርት ሦስት እጥፍ ሲቀነስ ሁለተኛው ሲደመር የመጀመሪያው አገላለጽ ሦስት እጥፍ ሲሆን የሁለተኛው ካሬ ከሁለተኛው አገላለጽ ኩብ ሲቀነስ።

(a - ለ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. የኩቦች ድምርሁለት አገላለጾች ከመጀመሪያው እና ሁለተኛ አገላለጾች ድምር ውጤት እና የእነዚህ አባባሎች ልዩነት ያልተሟላ ካሬ ውጤት ጋር እኩል ነው።

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. የኩቦች ልዩነትሁለት አገላለጾች ከመጀመሪያዎቹ እና ከሁለተኛው አገላለጾች ልዩነት ውጤት ጋር እኩል ናቸው በእነዚህ አባባሎች ድምር ያልተሟላ ካሬ።

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

ምሳሌዎችን በሚፈታበት ጊዜ የአህጽሮት ማባዛት ቀመሮችን መተግበር።

ምሳሌ 1.

አስላ

ሀ) የሁለት አባባሎች ድምር ካሬ ቀመር በመጠቀም፣ አለን።

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ለ) የሁለት መግለጫዎች ልዩነት ካሬ ቀመር በመጠቀም, እናገኛለን

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

ምሳሌ 2.

አስላ

የሁለት መግለጫዎች ካሬዎች ልዩነት ቀመርን በመጠቀም, እናገኛለን

ምሳሌ 3.

አገላለጽ ቀለል ያድርጉት

(x - y) 2 + (x + y) 2

ቀመሮቹን ለመደመር ካሬ እና ለሁለት አባባሎች ልዩነት ካሬ እንጠቀም

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2ይ 2

በአንድ ሠንጠረዥ ውስጥ አጭር የማባዛት ቀመሮች፡-

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - ለ) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - ለ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

የካሬዎች ልዩነት

የካሬዎች $a^2-b^2$ ልዩነት ቀመርን እናውጣ።

ይህንን ለማድረግ የሚከተለውን ህግ አስታውስ:

በገለፃው ላይ የትኛውንም ነጠላ ቃል ጨምረን ያንኑ ነጠላ ቃል ብንቀንስ ትክክለኛውን ማንነት እናገኛለን።

ወደ አገላለጻችን እንጨምር እና ከሱ monomial $ab$ እንቀንስ።

በጠቅላላው, እኛ እናገኛለን:

ማለትም ፣ በሁለት ሞኖሚሎች ካሬዎች መካከል ያለው ልዩነት ከልዩነታቸው እና ከድምሩ ውጤት ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 1

እንደ ምርት $(4x)^2-y^2$ ያቅርቡ

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\ግራ(2x-y\ቀኝ)(2x+y)\]

የኩቦች ድምር

የኩብ $a^3+b^3$ ድምር ቀመርን እናውጣ።

የተለመዱትን ምክንያቶች ከቅንፍ እናውጣ፡-

$\ግራ(a+b\right)$ን ከቅንፍ እናውጣ፡-

በጠቅላላው, እኛ እናገኛለን:

ማለትም የሁለት ሞኖሚል ኩቦች ድምር ከድምርታቸው እና ከፊል ካሬ ልዩነታቸው ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2

እንደ ምርት $(8x)^3+y^3$ ያቅርቡ

ይህ አገላለጽ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊጻፍ ይችላል።

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

የካሬዎች ቀመርን ልዩነት በመጠቀም፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

\[((2x))^3+y^3=\ግራ(2x+y\ቀኝ)(4x^2-2xy+y^2)\]

የኩቦች ልዩነት

የኩብ $a^3-b^3$ ልዩነት ቀመርን እናውጣ።

ይህንን ለማድረግ, ከላይ እንደተጠቀሰው ተመሳሳይ ህግን እንጠቀማለን.

ወደ አገላለጻችን እንጨምር እና ከሱ monomials $a^2b\ እና\ (ab)^2$ን እንቀንስ።

የተለመዱትን ምክንያቶች ከቅንፍ እናውጣ፡-

$\ግራ(a-b\right)$ን ከቅንፍ እናውጣ፡-

በጠቅላላው, እኛ እናገኛለን:

ያም ማለት የሁለት ሞኖሚል ኩብ ልዩነት ከድምርታቸው ያልተሟላ ካሬ ጋር እኩል ነው.

ምሳሌ 3

እንደ ምርት $(8x)^3-y^3$ ያቅርቡ

ይህ አገላለጽ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊጻፍ ይችላል።

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

የካሬዎች ቀመርን ልዩነት በመጠቀም፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

\[((2x))^3-y^3=\ግራ(2x-y\ቀኝ)(4x^2+2xy+y^2)\]

የካሬዎች እና ድምር እና የኩብ ልዩነት ቀመሮችን በመጠቀም የችግሮች ምሳሌ

ምሳሌ 4

ነገሩን ያውጡት።

ሀ) $((a+5))^2-9$

ሐ) $-x^3+\frac(1)(27)$

መፍትሄ፡-

ሀ) $((a+5))^2-9$

\[((((a+5)))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

የካሬዎች ቀመር ልዩነትን በመተግበር የሚከተሉትን እናገኛለን

\[((a+5))^2-3^2=\ግራ(a+5-3\ቀኝ)\ግራ(a+5+3\ቀኝ)=\ግራ(a+2\ቀኝ)(ሀ) +8)\]

ይህን አገላለጽ በቅጹ እንጽፈው፡-

የኩብ ቀመሩን እንተገብረው፡-

ሐ) $-x^3+\frac(1)(27)$

ይህን አገላለጽ በቅጹ እንጽፈው፡-

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\ግራ(\frac(1)(3)\ቀኝ))^3-x^3\]

የኩብ ቀመሩን እንተገብረው፡-

\[(\ግራ(\frac(1)(3)\ቀኝ))^3-x^3=\ግራ(\frac(1)(3)-x\ቀኝ)\ግራ(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\ቀኝ)\]

በቀደሙት ትምህርቶች፣ ፖሊኖሚል ለመመስረት ሁለት መንገዶችን ተመልክተናል-የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ በማስቀመጥ እና የመቧደን ዘዴ።

በዚህ ትምህርት ውስጥ ፖሊኖሚል ለመመስረት ሌላ መንገድ እንመለከታለን አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም.

እያንዳንዱን ቀመር ቢያንስ 12 ጊዜ እንዲጽፉ እንመክራለን. ለተሻለ ማስታወሻ ሁሉንም አህጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን በትንሽ ማጭበርበሪያ ወረቀት ላይ ይፃፉ።

የኩብ ፎርሙላ ልዩነት ምን እንደሚመስል እናስታውስ.

የኩብ ፎርሙላ ልዩነት ለማስታወስ በጣም ቀላል አይደለም, ስለዚህ እሱን ለማስታወስ ልዩ ዘዴን እንዲጠቀሙ እንመክራለን.

ማንኛውም አህጽሮተ ቃል ማባዛት ቀመርም እንደሚሰራ መረዳት ያስፈልጋል የተገላቢጦሽ ጎን.

አንድ ምሳሌ እንመልከት። የኩባዎችን ልዩነት መፈተሽ አስፈላጊ ነው.

እባክዎን "27a 3" "(3a) 3" መሆኑን ያስተውሉ, ይህም ማለት ለክቦች ቀመር ልዩነት, ከ "a" ይልቅ "3a" እንጠቀማለን.

የኩብ ፎርሙላ ልዩነት እንጠቀማለን. በ "a 3" ምትክ "27a 3" አለን, እና በ "b 3" ምትክ, እንደ ቀመር, "b 3" አለ.

የኩባዎችን ልዩነት ወደ ተቃራኒው አቅጣጫ በመተግበር ላይ

ሌላ ምሳሌ እንመልከት። የአህጽሮት የማባዛት ቀመር በመጠቀም የፖሊኖሚሎችን ምርት ወደ ኪዩብ ልዩነት መቀየር ያስፈልግዎታል።

እባክዎን ያስተውሉ የብዙዎች ምርት "(x - 1) (x 2 + x + 1)" የኩብ ፎርሙላ ልዩነት በቀኝ በኩል እንደሚመሳሰል ፣ በ "a" ፈንታ ብቻ "x" አለ እና በቦታው ላይ። የ "ለ" "1" አለ.

ለ "(x - 1) (x 2 + x + 1)" በተቃራኒው አቅጣጫ የኩብ ቀመሮችን ልዩነት እንጠቀማለን.

ይበልጥ የተወሳሰበ ምሳሌን እንመልከት። የ polynomials ምርትን ቀላል ለማድረግ ያስፈልጋል.

"(y 2 - 1)(y 4+y 2+1)" ከኩብ ፎርሙላ ልዩነት በቀኝ በኩል ካነፃፅርን።
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", ከዚያም በ"a" ምትክ ከመጀመሪያው ቅንፍ "y 2" እንዳለ እና በ "b" ምትክ "1" እንዳለ መረዳት ይችላሉ.