ውህደቶች ከ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት.
የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

በዚህ ትምህርት ውስጥ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ውህዶችን እንመለከታለን ፣ ማለትም ፣ የመገጣጠሚያዎች መሙላት ሳይን ፣ ኮሳይንስ ፣ ታንጀንት እና ኮንቴይነሮች በተለያዩ ውህዶች ውስጥ ይሆናሉ። ሁሉም ምሳሌዎች በዝርዝር ተተንትነዋል፣ ተደራሽ እና ለሻይ ማሰሮ እንኳን ሊረዱ ይችላሉ።

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ውህዶች በተሳካ ሁኔታ ለማጥናት በጣም ቀላል የሆኑትን ውስጠ-ቁራጮችን በደንብ መረዳት እና አንዳንድ የመዋሃድ ቴክኒኮችን በደንብ ማወቅ አለብዎት። በንግግሮች ውስጥ ከእነዚህ ቁሳቁሶች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ ያልተወሰነ ውህደት. የመፍትሄዎች ምሳሌዎችእና.

እና አሁን እኛ ያስፈልገናል: የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥ, ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥእና የትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ማውጫ. ሁሉም ዘዴያዊ መመሪያዎችበገጹ ላይ ሊገኝ ይችላል የሂሳብ ቀመሮች እና ሠንጠረዦች. ሁሉንም ነገር ለማተም እመክራለሁ. በተለይ በትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ላይ አተኩራለሁ፣ እነሱ ከዓይኖችዎ በፊት መሆን አለባቸው- ያለዚህ ፣ የሥራው ውጤታማነት በከፍተኛ ሁኔታ ይቀንሳል።

ግን በመጀመሪያ ፣ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ ምን ማቀፊያዎች አይ. የቅጹ ቅንጅቶች የሉም ፣ - ኮሳይን ፣ ሳይን ፣ በአንዳንድ ፖሊኖሚል ተባዝቷል (ብዙውን ጊዜ ታንጀንት ወይም ብክለት ያለው ነገር)። እንደነዚህ ያሉ ውህዶች በክፍሎች የተዋሃዱ ናቸው, እና ዘዴውን ለመማር, ትምህርቱን በክፍሎች ማዋሃድ ይጎብኙ. የመፍትሄዎች ምሳሌዎች እዚህ ደግሞ ከ “አርከስ” ጋር ምንም ውህዶች የሉም - አርክታንጀንት ፣ አርክሲን ፣ ወዘተ ፣ እነሱም ብዙውን ጊዜ በክፍሎች የተዋሃዱ ናቸው።

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ውህዶች ሲፈልጉ ብዙ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ

(4) የሰንጠረዡን ቀመር እንጠቀማለን , ብቸኛው ልዩነት በ "X" ምትክ ውስብስብ አገላለጽ አለን.

ምሳሌ 2

ምሳሌ 3

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

በውድድሩ ውስጥ ሰምጠው ላሉ ሰዎች የዘውግ ክላሲክ። ምናልባት እንዳስተዋሉት ፣ በተዋሃዱ ሠንጠረዥ ውስጥ የታንጀንት እና የበካይ አካል የለም ፣ ግን ፣ ሆኖም ፣ እንደዚህ ያሉ ውህዶች ሊገኙ ይችላሉ።

(1) ትሪግኖሜትሪክ ቀመር እንጠቀማለን።

(2) ተግባሩን በልዩ ምልክት ስር እናመጣለን.

(3) የጠረጴዛውን ዋና አካል እንጠቀማለን .

ምሳሌ 4

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው, ሙሉው መፍትሄ እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

ምሳሌ 5

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ዲግሪዎቻችን ቀስ በቀስ ይጨምራሉ =).
በመጀመሪያ መፍትሄው:

(1) ቀመሩን እንጠቀማለን

(2) ዋናውን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት እንጠቀማለን። , ከየትኛው ይከተላል .

(፫) የቁጥር ቆጣሪውን በአከፋፋዩ ጊዜ በጊዜ ይከፋፍሉት።

(4) እኛ ያልተወሰነ ውህድ የሆነውን የመስመር ንብረትን እንጠቀማለን።

(5) ጠረጴዛውን በመጠቀም እንቀላቅላለን.

ምሳሌ 6

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው, ሙሉው መፍትሄ እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

በተጨማሪም ታንጀንት እና ኮንቴይነንት ተጨማሪ ውስጥ የሚገኙ ንጥረ ነገሮች አሉ ከፍተኛ ዲግሪዎች. የታንጀንት ኩብ አካል በትምህርቱ ውስጥ ተብራርቷል የአንድ ጠፍጣፋ ምስል አካባቢ እንዴት እንደሚሰላ?የታንጀንት (ኮንቴይነር) ውህደት ወደ አራተኛው እና አምስተኛው ሃይሎች በገጹ ላይ ሊገኙ ይችላሉ ውስብስብ ውህዶች.

የመዋሃድ ደረጃን መቀነስ

ይህ ዘዴ የሚሠራው የመዋሃድ ተግባራቶቹ በሳይንስ እና በኮሳይኖች ሲሞሉ ነው። እንኳንዲግሪዎች. ዲግሪውን ለመቀነስ፣ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን ይጠቀሙ , እና ፣ እና የመጨረሻው ቀመር ብዙውን ጊዜ በተቃራኒው አቅጣጫ ጥቅም ላይ ይውላል። .

ምሳሌ 7

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

መፍትሄ፡-

በመርህ ደረጃ, ቀመሩን ከመተግበሩ በስተቀር, እዚህ ምንም አዲስ ነገር የለም (የተዋሃደውን ደረጃ ዝቅ ማድረግ)። እባካችሁ መፍትሄውን አሳጥሬዋለሁ። ልምድ በሚያገኙበት ጊዜ ዋናው ነገር በቃል ሊገኝ ይችላል, ይህ ጊዜን ይቆጥባል እና ስራዎችን ሲጨርሱ በጣም ተቀባይነት ያለው ነው. በዚህ ጉዳይ ላይ ደንቡን አለመግለጽ ተገቢ ነው በመጀመሪያ የ 1 ን ፣ ከዚያ የ .

ምሳሌ 8

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው, ሙሉው መፍትሄ እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

የተገባው የዲግሪ ጭማሪ ይህ ነው፡-

ምሳሌ 9

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

በመጀመሪያ መፍትሄው, ከዚያም አስተያየቶች:

(1) ቀመሩን ተግባራዊ ለማድረግ ውህደቱን ያዘጋጁ .

(2) ቀመሩን በትክክል እንተገብራለን.

(3) አካፋውን እናካራለን እና ቋሚውን ከዋናው ምልክት ውስጥ እናወጣለን. ትንሽ በተለየ መንገድ ሊደረግ ይችል ነበር, ግን በእኔ አስተያየት, የበለጠ ምቹ ነበር.

(4) ቀመሩን እንጠቀማለን

(5) በሶስተኛው ቃል እንደገና ዲግሪውን እንቀንሳለን, ነገር ግን ቀመሩን በመጠቀም .

(6) ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን (እዚህ እኔ ቃልን በጊዜ ተከፋፍያለሁ እና መደመርን አደረጉ).

(7) በእውነቱ፣ ዋናውን፣ የሊኒየር ህግን እንወስዳለን። እና በልዩ ምልክት ስር አንድ ተግባርን የማስገባት ዘዴ በቃል ይከናወናል.

(8) መልሱን በማጣመር።

! ላልተወሰነ ውህደት, መልሱ ብዙውን ጊዜ በተለያዩ መንገዶች ሊጻፍ ይችላል

በተጠቀሰው ምሳሌ ውስጥ ፣ የመጨረሻው መልስ በተለየ መንገድ ሊፃፍ ይችል ነበር - ቅንፎችን መክፈት እና አገላለጹን ከማዋሃዱ በፊት እንኳን ይህን ማድረግ ፣ ማለትም ፣ በምሳሌው ላይ የሚከተለው መጨረሻ በጣም ተቀባይነት ያለው ነው ።

ይህ አማራጭ የበለጠ ምቹ ሊሆን ይችላል, እኔ እራሴን ለመፍታት በተጠቀምኩበት መንገድ ብቻ ገለጽኩት). ለገለልተኛ መፍትሄ ሌላ ዓይነተኛ ምሳሌ ይኸውና፡

ምሳሌ 10

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ይህ ምሳሌ በሁለት መንገዶች ሊፈታ ይችላል, እና እርስዎ ሊሳካላችሁ ይችላል ሁለት ፍጹም የተለያዩ መልሶች(በትክክል, እነሱ ሙሉ ለሙሉ የተለየ መልክ ይኖራቸዋል, ነገር ግን ከሂሳብ እይታ አንጻር እነሱ እኩል ይሆናሉ). ምናልባትም፣ በጣም ምክንያታዊ የሆነውን ዘዴ ማየት አይችሉም እና በመክፈቻ ቅንፎች እና ሌሎች ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን በመጠቀም ይሰቃያሉ። በጣም ውጤታማው መፍትሄ የሚሰጠው በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

አንቀጹን ለማጠቃለል, እንጨርሰዋለን-የቅጹን ማንኛውንም አካል የት እና - እንኳንቁጥሮች, የተቀናጀውን ደረጃ በመቀነስ ዘዴ ተፈትቷል.
በተግባር፣ 8 እና 10 ዲግሪ ያላቸው ውህዶች አጋጥመውኝ ነበር፣ እና ዲግሪውን ብዙ ጊዜ በመቀነስ አስከፊ ችግራቸውን መፍታት ነበረብኝ፣ ይህም ረጅምና ረጅም መልሶች አስገኝቻለሁ።

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ

በጽሁፉ ውስጥ እንደተጠቀሰው ተለዋዋጭ የለውጥ ዘዴ ላልተወሰነ ውህደት, የመተኪያ ዘዴን ለመጠቀም ዋናው ቅድመ ሁኔታ በማዋሃድ ውስጥ አንድ የተወሰነ ተግባር እና ተጓዳኝ መኖሩ ነው-
(ተግባራት በምርቱ ውስጥ የግድ አይደሉም)

ምሳሌ 11

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

የመነሻዎችን ሰንጠረዥ እንመለከታለን እና ቀመሮቹን እናስተውላለን ፣ ማለትም በእኛ ውህደታችን ውስጥ አንድ ተግባር እና መገኛው አለ። ሆኖም ግን, በልዩነት ጊዜ, ኮሳይን እና ሳይን እርስ በእርሳቸው እንደሚለዋወጡ እናያለን, እና ጥያቄው የሚነሳው-የተለዋዋጭ ለውጥን እንዴት ማከናወን እንደሚቻል እና ሳይን ወይም ኮሳይን ምን ማለታችን ነው?! ጥያቄው በሳይንሳዊ ፓኪንግ ሊፈታ ይችላል-ተተኪውን በስህተት ከሠራን ከዚያ ምንም ጥሩ ነገር አይመጣም።

አጠቃላይ መመሪያ: በተመሳሳዩ ሁኔታዎች ውስጥ, በዲኖሚተር ውስጥ ያለውን ተግባር መሰየም ያስፈልግዎታል.

መፍትሄውን እናቋርጣለን እና ምትክ እንሰራለን

ሁሉም ነገር በስርጭቱ ውስጥ ጥሩ ነው, ሁሉም ነገር በ ላይ ብቻ የተመካ ነው, አሁን ወደ ምን እንደሚለወጥ ለማወቅ ይቀራል.
ይህንን ለማድረግ, ልዩነቱን እናገኛለን:

ወይም በአጭሩ፡-
ከተፈጠረው እኩልነት ፣ የተመጣጠነ ደንብን በመጠቀም ፣ እኛ የምንፈልገውን አገላለጽ እንገልፃለን-

ስለዚህ፡-

አሁን አጠቃላይ ውህደታችን በ ላይ ብቻ የተመካ ነው እና መፍታትን መቀጠል እንችላለን

ዝግጁ። ላስታውሳችሁ የመተካቱ አላማ ውህደቱን ለማቃለል ነው፤ በዚህ ሁኔታ ሁሉም ነገር ወደ ውህደት ወረደ። የኃይል ተግባርበሠንጠረዡ መሠረት.

ይህንን ምሳሌ በዝርዝር የገለጽኩት በአጋጣሚ አይደለም፤ ይህ የተደረገው ለመድገም እና የመማሪያ ቁሳቁሶችን ለማጠናከር ነው ተለዋዋጭ የለውጥ ዘዴ ላልተወሰነ ውህደት.

እና አሁን ለእራስዎ መፍትሄ ሁለት ምሳሌዎች

ምሳሌ 12

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ምሳሌ 13

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄዎችን እና መልሶችን ያጠናቅቁ።

ምሳሌ 14

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

እዚህ እንደገና በ Ingrend ውስጥ ሳይን እና ኮሳይን (ከመነሻ ጋር አንድ ተግባር) አሉ ፣ ግን በምርት ውስጥ ፣ እና ቀውጢ ተፈጠረ - ሳይን ወይም ኮሳይን ምን ማለታችን ነው?

ሳይንሳዊውን ዘዴ በመጠቀም ምትክን ለማካሄድ መሞከር ይችላሉ, እና ምንም የማይሰራ ከሆነ, እንደ ሌላ ተግባር ይሰይሙት, ግን አለ:

አጠቃላይ መመሪያ፡ በምሳሌያዊ አነጋገር “በማይመች ሁኔታ” ውስጥ ያለውን ተግባር መግለጽ ያስፈልግዎታል።.

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የተማሪው ኮሳይን ከዲግሪው "ይሠቃያል" እና ሳይን በነፃነት ተቀምጧል, በራሱ.

ስለዚህ ምትክ እንሥራ፡-

አንድ ሰው አሁንም ተለዋዋጭ ለመተካት እና ልዩነቱን ለማግኘት በአልጎሪዝም ላይ ችግር ካጋጠመው ወደ ትምህርቱ መመለስ አለብዎት። ተለዋዋጭ የለውጥ ዘዴ ላልተወሰነ ውህደት.

ምሳሌ 15

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ውህደቱን እንመርምር፣ በምን መገለጽ አለበት?
መመሪያዎቻችንን እናስታውስ፡-
1) ተግባራቱ በአብዛኛው በዲኖሚተር ውስጥ ነው;
2) ተግባሩ "በማይመች ቦታ" ውስጥ ነው.

በነገራችን ላይ እነዚህ መመሪያዎች ለትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ብቻ አይደሉም የሚሰሩት.

ሳይን ሁለቱንም መመዘኛዎች (በተለይም ሁለተኛውን) ያሟላል, ስለዚህ ምትክ እራሱን ይጠቁማል. በመርህ ደረጃ, መተኪያው ቀድሞውኑ ሊከናወን ይችላል, ነገር ግን በመጀመሪያ ምን ማድረግ እንዳለበት ማወቅ ጥሩ ይሆናል? በመጀመሪያ፣ አንድ ኮሳይን “ቆንጥጠን” እናደርጋለን፡-

ለ “ወደፊት” ልዩነታችን እናስቀምጣለን።

እና ዋናውን በመጠቀም በሳይን እንገልፃለን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት:

አሁን መተኪያው ይኸውና፡-

አጠቃላይ ደንብ: በተዋሃዱ ውስጥ ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት አንዱ (ሳይን ወይም ኮሳይን) ከገባ እንግዳዲግሪ፣ ከዚያ አንዱን ተግባር ከዲግሪው “መንከስ” እና ከጀርባው ሌላ ተግባር መመደብ ያስፈልግዎታል።እየተነጋገርን ያለነው ኮሳይኖች እና ሳይኖች ባሉበት ስለ ውህዶች ብቻ ነው።

በተጠቀሰው ምሳሌ፣ ኮሳይን በተለየ ሃይል ስለነበረን ከስልጣኑ ላይ አንድ ኮሳይን ነቅለን እንደ ሳይን መደብነው።

ምሳሌ 16

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

ዲግሪዎች እየወጡ ነው =).
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። የተሟላ መፍትሄእና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልሱ.

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ የተለመደ ጉዳይ ነው። “ምን ማድረግ እንዳለብህ ሳታውቀው” ለመጠቀም መሞከር ትችላለህ። ግን በእውነቱ ለትግበራው አንዳንድ መመሪያዎች አሉ። ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተኪያ መተግበር የሚያስፈልገው የተለመዱ ውህዶች የሚከተሉት ውህዶች ናቸው። , , , ወዘተ.

ምሳሌ 17

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት በሚከተለው መንገድ ይተገበራል. እንተካ፡ . ደብዳቤውን አልጠቀምም, ግን ደብዳቤው, ይህ አንድ ዓይነት ህግ አይደለም, እሱ ብቻ ነው, እንደገና, ነገሮችን በዚህ መንገድ ለመፍታት ተጠቀምኩኝ.

እዚህ ልዩነቱን ለማግኘት የበለጠ ምቹ ነው ፣ ለዚህም ፣ ከእኩልነት ፣ እገልጻለሁ-
ከሁለቱም ክፍሎች ጋር አርክታንጀንት አያይዘዋለሁ፡-

አርክታንጀንት እና ታንጀንት እርስ በርሳቸው ይሰረዛሉ፡-

ስለዚህም፡-

በተግባር, በእንደዚህ አይነት ዝርዝር ውስጥ መግለጽ የለብዎትም, ግን በቀላሉ ይጠቀሙ የተጠናቀቀ ውጤት:

! አገላለጹ የሚሰራው በሳይንስ እና ኮሳይኖች ስር በቀላሉ “X” ካለን ብቻ ነው፣ ለዋናው (በኋላ ስለምንነጋገርበት) ሁሉም ነገር ትንሽ የተለየ ይሆናል!

በሚተኩበት ጊዜ ሳይኖች እና ኮሳይኖች ወደሚከተሉት ክፍልፋዮች ይለወጣሉ፡
፣ እነዚህ እኩልነቶች በታዋቂው ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ላይ የተመሰረቱ ናቸው። ,

ስለዚህ, የመጨረሻው ንድፍ ይህን ይመስላል:

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ ምትክን እናከናውን፡-

የመዋሃድ የመፍትሄ ሃሳቦች በክፍሎች በዝርዝር ተወስደዋል፣የነሱም ውህደት ከአንድ በላይ የሆነ በገለፃ (ሠ ወደ x ሃይል) ወይም በሳይን (ሲን x) ወይም ኮሳይን (ኮስ x) የተገኘ ነው።

ይዘት

ተመልከት: በክፍሎች የመዋሃድ ዘዴ
ያልተገደቡ ውህዶች ሰንጠረዥ
ያልተወሰነ ውህዶችን ለማስላት ዘዴዎች
መሰረታዊ የአንደኛ ደረጃ ተግባራት እና ባህሪያቸው

በክፍሎች ለመዋሃድ ቀመር

በዚህ ክፍል ውስጥ ምሳሌዎችን ሲፈቱ ፣በክፍል ቀመር ውህደት ጥቅም ላይ ይውላል።
;
.

የብዙ እና የኃጢያት x፣ cos x ወይም e x ምርት የያዙ የተዋሃዱ ምሳሌዎች

የእንደዚህ አይነት ውህዶች ምሳሌዎች እዚህ አሉ
, , .

እንደነዚህ ያሉ ውህዶችን ለማዋሃድ ፖሊኖሚል በ u, እና የተቀረው ክፍል በ v dx ይገለጻል. በመቀጠል ውህደቱን በክፍሎች ቀመር ይተግብሩ።

ከዚህ በታች ተሰጥቷል ዝርዝር መፍትሄእነዚህ ምሳሌዎች.

ውህደቶችን የመፍታት ምሳሌዎች

ምሳሌ ከ አርቢ፣ ሠ እስከ x ኃይል

ዋናውን ይወስኑ;
.

በልዩ ምልክት ስር ያለውን ገላጭ እናስተዋውቅ፡-
ሠ - x dx = - ሠ - x መ (-x) = - መ (ሠ - x).

በክፍል እንዋሃድ።

እዚህ
.
እንዲሁም የቀረውን ንጥረ ነገር በክፍሎች እናዋሃዳለን።
.
.
.
በመጨረሻም እኛ አለን:
.

ከሳይን ጋር አንድ አካልን የመግለጽ ምሳሌ

ዋናውን አስላ:
.

በልዩ ምልክት ስር ሳይንን እናስተዋውቅ፡-

በክፍል እንዋሃድ።

እዚህ u = x 2, v = cos (2 x+3), ዱ = ( x 2 )′ dx

እንዲሁም የቀረውን ንጥረ ነገር በክፍሎች እናዋሃዳለን። ይህንን ለማድረግ, በልዩ ምልክት ስር ያለውን ኮሳይን ያስተዋውቁ.


እዚህ u = x, v = ኃጢአት (2 x+3), ዱ = dx

በመጨረሻም እኛ አለን:

የአንድ ፖሊኖሚል እና ኮሳይን ምርት ምሳሌ

ዋናውን አስላ:
.

ኮሳይን በልዩ ምልክት ስር እናስተዋውቀው፡-

በክፍል እንዋሃድ።

እዚህ u = x 2 + 3 x + 5, v = ኃጢአት 2 x, ዱ = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

የፀረ-ተውሳኮች ሰንጠረዥ ("መዋሃድ"). የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥ. ሠንጠረዡ ያልተወሰነ ውህዶች። (በጣም ቀላሉ ውህዶች እና ውህዶች ከመለኪያ ጋር)። በክፍሎች ለመዋሃድ ቀመሮች. ኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር.

የፀረ-ተውሳኮች ሰንጠረዥ ("መዋሃድ"). ሠንጠረዡ ያልተወሰነ ውህዶች። (በጣም ቀላሉ ውህዶች እና ውህዶች ከመለኪያ ጋር)።
የኃይል ተግባር ውህደት።	የኃይል ተግባር ውህደት።
x በልዩ ምልክት ስር የሚነዳ ከሆነ ወደ የኃይል ተግባር ዋና አካል የሚቀንስ።
	የአርቢ ውህደት፣ ሀ ቋሚ ቁጥር የሆነበት።
የተቀናጀ ውስብስብ ገላጭ ተግባር.	የአርቢ ተግባር ውህደት።
ከተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም ጋር እኩል የሆነ ውህደት.	ውህደት: "ረጅም ሎጋሪዝም".
	ውህደት: "ረጅም ሎጋሪዝም".
ውህደት: "ከፍተኛ ሎጋሪዝም".	አንድ ውህደት፣ በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ x በልዩ ምልክት ስር የተቀመጠበት (በምልክቱ ስር ያለው ቋሚ ሊጨመር ወይም ሊቀንስ ይችላል) በመጨረሻ ከተፈጥሮ ሎጋሪዝም ጋር እኩል ነው።
ውህደት: "ከፍተኛ ሎጋሪዝም".
ኮሳይን የተዋሃደ።	ሳይን ዋና.
ከታንጀንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት.	ከኮንቴንሽን ጋር እኩል የሆነ ውህደት.
ከሁለቱም አርክሲን እና አርኮሲን ጋር እኩል የሆነ ውህደት
ከሁለቱም አርክሲን እና አርኮሲን ጋር እኩል የሆነ ውህደት.	ከሁለቱም አርክታንጀንት እና አርኮታንጀንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት።
ከኮሴካንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት።	ከሴካንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት።
ከአርሴሰንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት።	ከ arccosecant ጋር እኩል የሆነ ውህደት።
ከአርሴሰንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት።	ከአርሴሰንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት።
ከሃይፐርቦሊክ ሳይን ጋር እኩል የሆነ ውህደት.	ከሃይፐርቦሊክ ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ውህደት.
ኢንቴግራል ከሃይፐርቦሊክ ሳይን ጋር እኩል የሆነ፣ sinhx በእንግሊዝኛው ቅጂ ሃይፐርቦሊክ ሳይን ነው።	በእንግሊዝኛ ቅጂ ውስጥ sinhx ሃይፐርቦሊክ ሳይን የሆነበት ከሃይፐርቦሊክ ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ውህደት።
ከሃይፐርቦሊክ ታንጀንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት.	ከሃይፐርቦሊክ ብክለት ጋር እኩል የሆነ ውህደት.
ከሃይፐርቦሊክ ሴካንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት.	ከሃይፐርቦሊክ ኮሴካንት ጋር እኩል የሆነ ውህደት.

በክፍሎች ለመዋሃድ ቀመሮች. የውህደት ደንቦች.

በክፍሎች ለመዋሃድ ቀመሮች. የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር የውህደት ህጎች።
አንድን ምርት (ተግባር) በቋሚ ማዋሃድ፡-
የተግባሮች ድምርን በማዋሃድ;
ያልተወሰነ ውህዶች
በክፍሎች ለመዋሃድ ቀመር የተወሰኑ ውህዶች
ኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር የተወሰኑ ውህዶች	F(a)፣F(b) እንደቅደም ተከተላቸው በነጥብ b እና ሀ ላይ የፀረ ተዋፅኦዎች እሴቶች ሲሆኑ።

ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ. ሠንጠረዥ ተዋጽኦዎች። የምርቱ አመጣጥ። ከዋጋው የመነጨ። ውስብስብ ተግባር የመነጨ።

x ራሱን የቻለ ተለዋዋጭ ከሆነ፡-

ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ. ሠንጠረዥ ተዋጽኦዎች "የጠረጴዛ አመጣጥ" - አዎ, በሚያሳዝን ሁኔታ, በይነመረብ ላይ በትክክል የሚፈለጉት በዚህ መንገድ ነው.
	የኃይል ተግባር የመነጨ
	የአርቢው መነሻ
ውስብስብ የአርቢ ተግባር የተገኘ	የአርቢ ተግባር የመነጨ
የሎጋሪዝም ተግባር የተገኘ	የተፈጥሮ ሎጋሪዝም የመነጨ
	የአንድ ተግባር ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም የተገኘ
የሳይን አመጣጥ	የኮሳይን አመጣጥ
የኮሴካንት የተገኘ	የሴካንት የመነጨ
የ arcsine አመጣጥ	የ arc cosine አመጣጥ
የ arcsine አመጣጥ	የ arc cosine አመጣጥ
የታንጀንት አመጣጥ	የብክለት ምንጭ
የአርክታንጀንት አመጣጥ	የ arc contangent የተገኘ
የአርክታንጀንት አመጣጥ	የ arc contangent የተገኘ
የአርሴሰንት አመጣጥ	የአርኮሴካንት የመነጨ
የአርሴሰንት አመጣጥ	የአርኮሴካንት የመነጨ
የሃይፐርቦሊክ ሳይን የመነጨ በእንግሊዝኛ ቅጂ ውስጥ የሃይፐርቦሊክ ሳይን የመነጨ	የሃይፐርቦሊክ ኮሳይን የተገኘ በእንግሊዝኛ ቅጂ የሃይፐርቦሊክ ኮሳይን የተገኘ
ሃይፐርቦሊክ ታንጀንት የመነጨ	የሃይፐርቦሊክ ብክለት የመነጨ
የሃይፐርቦሊክ ሴካንት የተገኘ	የሃይፐርቦሊክ ኮሴካንት የተገኘ

የልዩነት ህጎች። የምርቱ አመጣጥ። ከዋጋው የመነጨ። ውስብስብ ተግባር የመነጨ።
የምርት (ተግባር) በቋሚ:
ድምር (ተግባራት) የተገኘ፡
የምርት አመጣጥ (ተግባራት)
የዋጋ (የተግባር) መነሻ፡-
ውስብስብ ተግባር የመነጨ;

የሎጋሪዝም ባህሪያት. ለሎጋሪዝም መሰረታዊ ቀመሮች. አስርዮሽ (lg) እና የተፈጥሮ ሎጋሪዝም (ln)።

መሰረታዊ ነገሮች ሎጋሪዝም ማንነት
የቅጹ a b ማንኛውም ተግባር እንዴት ገላጭ ሊሆን እንደሚችል እናሳይ። የቅጹ e x ተግባር ገላጭ ተብሎ ስለሚጠራ፣ እንግዲህ
ማንኛውም ቅጽ ሀ ለ ተግባር እንደ አስር ኃይል ሊወከል ይችላል።

የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ln (ሎጋሪዝም ወደ ቤዝ e = 2.718281828459045...) ln (ሠ) = 1; ln(1)=0

ቴይለር ተከታታይ. ቴይለር ተከታታይ የአንድ ተግባር መስፋፋት።

ብዙሃኑ መሆኑ ታወቀ በተግባር አጋጥሞታልሒሳባዊ ተግባራት በቅደም ተከተል መጨመር ውስጥ ተለዋዋጭ ኃይሎችን በያዙ የኃይል ተከታታዮች መልክ በተወሰነ ነጥብ አካባቢ በማንኛውም ትክክለኛነት ሊወከሉ ይችላሉ። ለምሳሌ፣ በነጥቡ x=1 አካባቢ፡-

ተከታታይ በሚጠቀሙበት ጊዜ የቴይለር ረድፎችአልጀብራ፣ ትሪግኖሜትሪክ እና ገላጭ ተግባራትን የያዙ ድብልቅ ተግባራት እንደ ሙሉ አልጀብራ ተግባራት ሊገለጹ ይችላሉ። ተከታታይን በመጠቀም ብዙውን ጊዜ ልዩነትን እና ውህደትን በፍጥነት ማከናወን ይችላሉ.

በነጥብ ሀ አካባቢ ያለው የቴይለር ተከታታይ ቅፅ አለው፡-

1) , f(x) በ x = a ላይ የሁሉም ትዕዛዞች መነሻዎች ያለው ተግባር ነው። R n - በቴይለር ተከታታይ ውስጥ ያለው የቀረው ቃል በአገላለጽ ይወሰናል

2)

የተከታታዩ k-th Coefficient (በ x k) በቀመር ይወሰናል

3) የቴይለር ተከታታይ ልዩ ጉዳይ የማክላሪን (= ማክላረን) ተከታታይ ነው። (ማስፋፋቱ የሚከሰተው በ a=0 አካባቢ ነው)

በ a=0

የተከታታይ አባላት በቀመርው ይወሰናሉ።

ቴይለር ተከታታይ ለመጠቀም ሁኔታዎች.

1. ረ(x) ተግባርን ወደ ቴይለር ተከታታይ በጊዜ ክፍተት (-R;R) ለመዘርጋት በቴይለር (ማክላሪን (= ማክላረን)) ቀሪው ቃል ለዚህ አስፈላጊ እና በቂ ነው። በተጠቀሰው የጊዜ ክፍተት (-R;R) ላይ እንደ k →∞ ተግባር ወደ ዜሮ ይቀየራል።

2. የቴይለር ተከታታዮችን በምንገነባበት አካባቢ ለአንድ ተግባር ተዋጽኦዎች መኖራቸው አስፈላጊ ነው.

የቴይለር ተከታታይ ባህሪዎች።

f የትንታኔ ተግባር ከሆነ፣ የሱ ቴይለር ተከታታዮች በማንኛውም ነጥብ ሀ በፍ ፍቺው ጎራ ውስጥ በአንዳንድ የ a ሰፈር ወደ f ይሰበሰባል።

የቴይለር ተከታታዮቻቸው የሚሰበሰቡበት ወሰን የለሽ ሊለያዩ የሚችሉ ተግባራት አሉ፣ ግን በተመሳሳይ ጊዜ ከየትኛውም የ ሀ ሰፈር ተግባር ይለያል። ለምሳሌ:

ቴይለር ተከታታይ በግምታዊነት ጥቅም ላይ ይውላሉ (በግምት - ሳይንሳዊ ዘዴ, እሱም አንዳንድ ነገሮችን ከሌሎች ጋር በመተካት, በአንድ መንገድ ወይም በሌላ ከዋናው ጋር ቅርበት ያለው, ግን ቀላል) በፖሊኖሚሎች የሚሰራ. በተለይም መስመራዊነት ((ከሊነሪስ - ሊኒያር) ፣ የተዘጉ መደበኛ ያልሆኑ ስርዓቶች ግምታዊ ውክልና ከሚሰጡ ዘዴዎች አንዱ ፣ ይህም የመስመር ላይ ያልሆነ ስርዓት ጥናት በመስመር ላይ ስርዓት ትንተና የሚተካበት ፣ በተወሰነ መልኩ ከዋናው ጋር ተመሳሳይ ነው። .) እኩልታዎች የሚከሰቱት ወደ ቴይለር ተከታታይ በመዘርጋት እና ከመጀመሪያ ቅደም ተከተል በላይ ያሉትን ሁሉንም ቃላት በመቁረጥ ነው።

ስለዚህ ማንኛውም ተግባር ማለት ይቻላል ከተወሰነ ትክክለኛነት ጋር እንደ ፖሊኖሚል ሊወከል ይችላል።

በማክላሪን ተከታታይ (= ማክላረን፣ ቴይለር በነጥብ 0 አካባቢ) እና ቴይለር በነጥብ 1 አካባቢ ያሉ አንዳንድ የተለመዱ የኃይል ተግባራት መስፋፋት ምሳሌዎች በቴይለር እና በ McLaren ተከታታይ ውስጥ ዋና ዋና ተግባራትን የማስፋፋት የመጀመሪያ ውሎች።

በማክላሪን ተከታታይ (=ማክላረን፣ ቴይለር በነጥብ 0 አካባቢ) አንዳንድ የተለመዱ የኃይል ተግባራት መስፋፋት ምሳሌዎች

በነጥብ 1 አካባቢ ያሉ አንዳንድ የተለመዱ የቴይለር ተከታታይ ማስፋፊያዎች ምሳሌዎች

እንዲሁም በራስዎ የሚፈቱዋቸው ችግሮች ይኖራሉ, ይህም መልሶቹን ማየት ይችላሉ.

ውህደቱ ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ምርት ወደ ድምር ሊቀየር ይችላል።

ውህደቱ የሳይኖች እና ኮሳይኖች የ x የመጀመሪያ ዲግሪ በተለያዩ ምክንያቶች ተባዝቶ የተገኘባቸውን ውህደቶች እንመልከት።

የታወቁትን መጠቀሚያ ማድረግ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች

(2)
(3)
(4)
እያንዳንዱን ምርቶች በቅጹ (31) ውህደት ውስጥ መለወጥ ይችላል። አልጀብራ ድምርእና ቀመሮቹን በመጠቀም ያዋህዱ

(5)

(6)

ምሳሌ 1.አግኝ

መፍትሄ። በቀመር (2) በ

ምሳሌ 2.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

መፍትሄ። በቀመር (3) በ

ምሳሌ 3.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

መፍትሄ። በቀመር (4) በ የሚከተለውን የመዋሃድ ለውጥ እናገኛለን

ቀመር (6) በመተግበር ላይ, እናገኛለን

የተመሳሳይ መከራከሪያ የሳይን እና ኮሳይን ሃይሎች ምርት ውህደት

አሁን የአንድ ነጋሪ እሴት ሳይን እና ኮሳይን ሃይሎች ውጤት የሆኑትን የተግባር ውህደቶችን እናስብ፣ ማለትም።

(7)

በልዩ ሁኔታዎች, አንዱ ጠቋሚዎች ( ኤምወይም n) ዜሮ ሊሆን ይችላል።

እንደነዚህ ያሉ ተግባራትን በሚያዋህድበት ጊዜ የኮሳይን እኩል ኃይል በሳይን በኩል ሊገለጽ ይችላል, እና የሳይን ልዩነት ከኮስ ጋር እኩል ነው. x dx(ወይም የሳይን ሃይል እንኳን በኮሳይን ሊገለጽ ይችላል፣ እና የኮሳይን ልዩነት ከ - ኃጢአት ጋር እኩል ነው። x dx ) .

ሁለት ጉዳዮች መለየት አለባቸው: 1) ቢያንስ አንዱ ጠቋሚዎች ኤምእና nያልተለመደ; 2) ሁለቱም አመላካቾች እኩል ናቸው.

የመጀመሪያው ጉዳይ ማለትም ጠቋሚው ይሂድ n = 2ክ+ 1 - ያልተለመደ። ከዚያም የተሰጠው

ውህደቱ የሚቀርበው አንዱ ክፍል የሲን ብቻ ተግባር ሲሆን ሌላኛው ደግሞ የሳይኑ ልዩነት ነው። አሁን ተለዋዋጭ ምትክ በመጠቀም ቲ= ኃጢአት xመፍትሄው ፖሊኖሚልን በተመለከተ ወደ ውህደት ይቀንሳል ቲ. ዲግሪው ብቻ ከሆነ ኤምእንግዳ ነገር ነው፣ ከዚያ እነሱ ተመሳሳይ ነገር ያደርጋሉ፣ የኃጢያት መንስኤን ያገለሉ። x, የቀረውን ውህደት በ cos መግለፅ xእና ማመን ቲ=ኮስ x. ይህ ዘዴ ደግሞ ጊዜ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል የሳይን እና ኮሳይን ኃይላትን በማጣመር ፣ መቼ ቢያንስ አንዱ ጠቋሚዎች እንግዳ ናቸው። . ዋናው ነጥብ ይህ ነው። የሳይን እና ኮሳይን ሃይሎች ብዛት ነው። ልዩ ጉዳይሥራዎቻቸውን : ትሪግኖሜትሪክ ተግባር በተዋሃዱ መለያዎች ውስጥ ሲሆን ፣ ዲግሪው አሉታዊ ነው። ግን በከፊል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ጉዳዮችም አሉ ፣ ኃይላቸው እኩል በሚሆንበት ጊዜ። ስለ እነርሱ - በሚቀጥለው አንቀጽ.

ሁለቱም አመልካቾች ከሆኑ ኤምእና n- እንኳን, ከዚያም, trigonometric ቀመሮችን በመጠቀም

የሲን እና ኮሳይን ገላጮችን ይቀንሱ, ከዚያ በኋላ ከላይ እንደተጠቀሰው አንድ አይነት አካል ተገኝቷል. ስለዚህ ውህደቱ በተመሳሳዩ እቅድ መሰረት መቀጠል ይኖርበታል. ከተርበኞቹ ውስጥ አንዱ አሉታዊ ከሆነ ፣ ማለትም ፣ የሳይን እና ኮሳይን የኃይል መጠን ግምት ውስጥ ይገባል ፣ ከዚያ ይህ እቅድ ተስማሚ አይደለም . ከዚያም የተለዋዋጭ ለውጥ ውህደቱ እንዴት እንደሚቀየር ይወሰናል. እንዲህ ዓይነቱ ጉዳይ በሚቀጥለው አንቀጽ ውስጥ ይታያል.

ምሳሌ 4.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

መፍትሄ። የኮሳይን ገላጭ እንግዳ ነው። ስለዚ፡ እናስብ

ቲ= ኃጢአት x(ከዛ ዲ.ቲ=ኮስ x dx ). ከዚያም እናገኛለን

ወደ አሮጌው ተለዋዋጭ ስንመለስ, በመጨረሻ እናገኛለን

ምሳሌ 5.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

.

መፍትሄ። የኮሳይን ገላጭ፣ ልክ እንደ ቀደመው ምሳሌ፣ እንግዳ ነገር ነው፣ ግን ትልቅ ነው። እስቲ እናስብ

እና ተለዋዋጭ ለውጥ ያድርጉ ቲ= ኃጢአት x(ከዛ ዲ.ቲ=ኮስ x dx ). ከዚያም እናገኛለን

ቅንፎችን እንክፈት።

እና እናገኛለን

ወደ አሮጌው ተለዋዋጭ ስንመለስ, መፍትሄውን እናገኛለን

ምሳሌ 6.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

መፍትሄ። የሳይን እና ኮሳይን ገላጮች እኩል ናቸው። ስለዚህ ፣ የመዋሃድ ተግባሩን በሚከተለው መልኩ እንለውጣለን-

ከዚያም እናገኛለን

በሁለተኛው ውህደት ውስጥ ተለዋዋጭ, ቅንብር ለውጥ እናደርጋለን ቲ= ኃጢአት2 x. ከዚያም (1/2)ዲ.ቲ= cos2 x dx . ስለዚህም እ.ኤ.አ.

በመጨረሻም እናገኛለን

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን በሚያዋህድበት ጊዜ ውህደቱ ሳይን ብቻ ወይም ኮሳይን ብቻ ፣የሳይን እና ኮሳይን ምርት ፣ ሳይን ወይም ኮሳይን በመጀመሪያ ዲግሪ ፣ ታንጀንት ወይም ኮታንጀንት ፣ እንዲሁም የአንድ እና ተመሳሳይ ክርክር ሳይን እና ኮሳይን እንኳን ሳይቀር። በዚህ ሁኔታ, ኃጢአትን ብቻ ሳይሆን ፐርሙቴሽን ማከናወን ይቻላል x = ቲእና ኃጢአት x = ቲ, ግን ደግሞ tg x = ቲእና ctg x = ቲ .

ምሳሌ 8.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

.

መፍትሄ። ተለዋዋጭውን እንለውጥ:, ከዚያም. የውጤቱ ውህደት የመዋሃድ ሠንጠረዥን በመጠቀም በቀላሉ ሊዋሃድ ይችላል-

.

ምሳሌ 9.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

መፍትሄ። ታንጀቱን ወደ ሳይን እና ኮሳይን ጥምርታ እንለውጠው፡-

ተለዋዋጭውን እንለውጥ:, ከዚያም. የተገኘው ውህደት ነው። ሰንጠረዥ ዋናበመቀነስ ምልክት፡-

.

ወደ መጀመሪያው ተለዋዋጭ ስንመለስ በመጨረሻ የሚከተለውን እናገኛለን፡-

.

ምሳሌ 10.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

መፍትሄ። ተለዋዋጭውን እንለውጥ:, ከዚያም.

ትሪግኖሜትሪክ ማንነትን ተግባራዊ ለማድረግ ውህደቱን እንለውጥ :

ተለዋዋጭውን እንለውጣለን ፣ የመቀነስ ምልክት ከማስተካከያው ፊት ለፊት ማስቀመጥን ሳንረሳ (ከላይ ይመልከቱ ፣ ምን እኩል ነው) ዲ.ቲ). በመቀጠል በሠንጠረዡ መሠረት ውህደቱን እናዋህዳለን፡-

ወደ መጀመሪያው ተለዋዋጭ ስንመለስ በመጨረሻ የሚከተለውን እናገኛለን፡-

.

የትሪግኖሜትሪክ ተግባርን ዋና አካል እራስዎ ይፈልጉ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት ቀደም ባሉት አንቀጾች ውስጥ በተገለጹት ጉዳዮች ላይ ውህደቱ በማይወድቅበት ጊዜ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። በመሠረቱ፣ ሳይን ወይም ኮሳይን (ወይም ሁለቱም) በአንድ ክፍልፋይ ውስጥ ሲሆኑ። ሳይን እና ኮሳይን የግማሹን ኦርጅናሌ አንግል ታንጀንት በሚከተለው አገላለጽ መተካት እንደሚቻል ተረጋግጧል።

ነገር ግን ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት ብዙውን ጊዜ ውስብስብ የአልጀብራ ለውጦችን እንደሚጨምር ልብ ይበሉ ፣ ስለሆነም ሌላ ዘዴ በማይሰራበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል። ከሁለንተናዊው ትሪግኖሜትሪክ መተካት ጋር፣ በልዩ ምልክት ስር መተካት እና ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውሉባቸውን ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 12.አግኝ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ዋና አካል

.

መፍትሄ። መፍትሄ። እንጠቀምበት ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት. ከዚያም
.

ክፍልፋዮችን በቁጥር እና በቁጥር እናባዛቸዋለን እና ሁለቱን አውጥተን ከዋናው ምልክት ፊት እናስቀምጣለን። ከዚያም