ገደቦች ለሁሉም የሂሳብ ተማሪዎች ብዙ ችግር ይሰጣሉ። ገደብን ለመፍታት አንዳንድ ጊዜ ብዙ ዘዴዎችን መጠቀም እና ከተለያዩ የመፍትሄ ዘዴዎች ውስጥ ለአንድ የተወሰነ ምሳሌ ተስማሚ የሆነውን በትክክል መምረጥ አለብዎት.

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የችሎታዎን ወሰን እንዲረዱ ወይም የቁጥጥር ገደቦችን እንዲረዱ አንረዳዎትም ፣ ግን ለጥያቄው መልስ ለመስጠት እንሞክራለን-በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ ገደቦችን እንዴት እንደሚረዱ? መግባባት ከተሞክሮ ጋር ይመጣል, ስለዚህ በተመሳሳይ ጊዜ ጥቂቶችን እንሰጣለን ዝርዝር ምሳሌዎችከማብራሪያዎች ጋር ገደቦች መፍትሄዎች.

በሂሳብ ውስጥ ገደብ ጽንሰ-ሐሳብ

የመጀመሪያው ጥያቄ ይህ ገደብ እና የየትኛው ገደብ ምንድን ነው? ስለ የቁጥር ቅደም ተከተሎች እና ተግባራት ገደቦች መነጋገር እንችላለን. ተማሪዎች ብዙውን ጊዜ የሚያጋጥሟቸው ይህ ስለሆነ የአንድ ተግባር ገደብ ጽንሰ-ሀሳብ ፍላጎት አለን። ነገር ግን በመጀመሪያ፣ የገደብ አጠቃላይ ፍቺ፡-

አንዳንድ ተለዋዋጭ እሴት አለ እንበል። በለውጥ ሂደት ውስጥ ያለው ይህ ዋጋ ወደ አንድ የተወሰነ ቁጥር የሚቀርብ ከሆነ ሀ ፣ ያ ሀ - የዚህ እሴት ገደብ.

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ለተገለጸ ተግባር f(x)=y እንዲህ ዓይነቱ ቁጥር ገደብ ይባላል ሀ , የትኛው ተግባር ወደ መቼ እንደሚሄድ X , ወደ አንድ የተወሰነ ነጥብ በመያዝ ሀ . ነጥብ ሀ ተግባሩ የተገለጸበት የጊዜ ክፍተት ነው።

አስቸጋሪ ይመስላል፣ ግን በጣም ቀላል በሆነ መልኩ ተጽፏል፡-

ሊም- ከእንግሊዝኛ ገደብ- ገደብ.

ገደቡን ለመወሰን የጂኦሜትሪክ ማብራሪያም አለ, ነገር ግን እዚህ ወደ ጽንሰ-ሐሳቡ አንገባም, ምክንያቱም ከጉዳዩ ንድፈ-ሐሳባዊ ጎን ይልቅ በተግባራዊነቱ የበለጠ ፍላጎት ስላለን. እንዲህ ስንል X ወደ አንዳንድ እሴት ያዛባል፣ ይህ ማለት ተለዋዋጭ የቁጥርን ዋጋ አይወስድም ፣ ግን ወደ እሱ ወሰን በሌለው ቅርብ ነው።

እንስጥ የተለየ ምሳሌ. ተግባሩ ገደቡን መፈለግ ነው.

ይህንን ምሳሌ ለመፍታት, እሴቱን እንተካለን x=3 ወደ ተግባር. እናገኛለን፡-

በነገራችን ላይ, በማትሪክስ ላይ መሰረታዊ ስራዎች ላይ ፍላጎት ካሎት, በዚህ ርዕስ ላይ የተለየ ጽሑፍ ያንብቡ.

በምሳሌዎች X ወደ ማንኛውም እሴት ሊመራ ይችላል. ማንኛውም ቁጥር ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. መቼ ምሳሌ እዚህ አለ። X ማለቂያ የሌለው ዝንባሌ;

ምን እንደሆነ በማስተዋል ግልጽ ነው። ትልቅ ቁጥርበተከፋፈለው ውስጥ, ተግባሩ የሚወስደው አነስተኛ ዋጋ. ስለዚህ, ያልተገደበ እድገት X ትርጉም 1/x ይቀንሳል እና ወደ ዜሮ ይጠጋል.

እንደሚመለከቱት ፣ ገደቡን ለመፍታት ፣ ወደ ተግባሩ ለመግባት እሴቱን መተካት ብቻ ያስፈልግዎታል X . ሆኖም, ይህ በጣም ቀላሉ ጉዳይ ነው. ብዙውን ጊዜ ገደቡ ማግኘት በጣም ግልጽ አይደለም. በገደቡ ውስጥ የዓይነቱ እርግጠኛ ያልሆኑ ነገሮች አሉ። 0/0 ወይም ማለቂያ የሌለው / ማለቂያ የሌለው . እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ምን ማድረግ? ወደ ዘዴዎች ሪዞርት!

ውስጥ እርግጠኛ አለመሆን

የቅጹ ኢ-ኢንፊኒቲ/ኢንፊኔቲዝም እርግጠኛ አለመሆን

ገደብ ይኑር፡-

ኢንፍንቲነትን በተግባሩ ውስጥ ለመተካት ከሞከርን በቁጥር እና በተከፋፈለው ውስጥ ወሰን አልባነትን እናገኛለን። በአጠቃላይ ፣ እንደዚህ ያሉ ጥርጣሬዎችን በመፍታት ረገድ የተወሰነ የስነጥበብ አካል አለ ማለት ተገቢ ነው-እርግጠኝነት በሚጠፋበት መንገድ ተግባሩን እንዴት መለወጥ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ። በእኛ ሁኔታ, አሃዛዊውን እና መለያውን በ X በከፍተኛ ዲግሪ. ምን ይሆናል?

ቀደም ሲል ከተነጋገርነው ምሳሌ፣ በተከፋፈለው ውስጥ x የያዙ ቃላት ወደ ዜሮ እንደሚሄዱ እናውቃለን። ከዚያ እስከ ገደቡ ድረስ ያለው መፍትሄ የሚከተለው ነው-

ዓይነት አለመረጋጋትን ለመፍታት ማለቂያ የሌለው / ማለቂያ የሌለውአሃዛዊውን እና መለያውን በ Xወደ ከፍተኛ ደረጃ.

በነገራችን ላይ! ለአንባቢዎቻችን አሁን የ10% ቅናሽ አለ። ማንኛውም ዓይነት ሥራ

ሌላ ዓይነት እርግጠኛ አለመሆን፡ 0/0

እንደ ሁልጊዜው, እሴቶችን ወደ ተግባር መተካት x=-1 ይሰጣል 0 በቁጥር እና በቁጥር. ትንሽ ጠጋ ብለው ይመልከቱ እና ያንን በእኛ ቁጥር ውስጥ ያስተውላሉ ኳድራቲክ እኩልታ. መሰረቱን ፈልገን እንፃፍ፡-

እንቀንስ እና እናገኝ፡-

ስለዚህ ፣ የጥርጣሬ አይነት ካጋጠመዎት 0/0 - አሃዛዊውን እና መለያውን ያካቱ።

ምሳሌዎችን ለመፍታት ቀላል ለማድረግ የአንዳንድ ተግባራት ወሰን ያለው ሰንጠረዥ እናቀርባለን-

የ L'Hopital ደንብ በውስጡ

ሁለቱንም አይነት አለመረጋጋት ለማስወገድ ሌላ ኃይለኛ መንገድ. የስልቱ ይዘት ምንድን ነው?

በገደቡ ላይ እርግጠኛ ያልሆነ ነገር ካለ፣ እርግጠኛ አለመሆን እስኪጠፋ ድረስ የቁጥር እና መለያውን አመጣጥ ይውሰዱ።

የ L'Hopital ህግ ይህንን ይመስላል

ጠቃሚ ነጥብ : በቁጥር እና በቁጥር ምትክ የቁጥር እና የቁጥር ተዋጽኦዎች የሚቆሙበት ገደብ መኖር አለበት።

እና አሁን - እውነተኛ ምሳሌ:

የተለመደ እርግጠኛ አለመሆን አለ። 0/0 . የቁጥር አሃዛዊ እና ተከሳሹን ተዋጽኦዎች እንውሰድ፡-

ቮይላ፣ እርግጠኛ አለመሆን በፍጥነት እና በሚያምር ሁኔታ ይፈታል።

ይህንን መረጃ በተግባር በተግባር ለማዋል እና “በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ ገደቦችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል” ለሚለው ጥያቄ መልስ እንደሚያገኙ ተስፋ እናደርጋለን። የአንድን ቅደም ተከተል ገደብ ወይም የአንድን ተግባር ገደብ በአንድ ነጥብ ላይ ማስላት ከፈለጉ እና ለዚህ ስራ ምንም ጊዜ ከሌለ ፈጣን እና ዝርዝር መፍትሄ ለማግኘት የባለሙያ ተማሪ አገልግሎትን ያነጋግሩ።

ፍቺ ተሰጥቶታል። የመጨረሻ ገደብቅደም ተከተሎች. ተዛማጅ ንብረቶች እና ተመጣጣኝ ፍቺዎች ተብራርተዋል. ነጥብ ሀ የቅደም ተከተል ገደብ እንዳልሆነ ትርጉም ተሰጥቷል። ትርጓሜውን በመጠቀም ገደብ መኖር የተረጋገጠባቸው ምሳሌዎች ተወስደዋል።

ይዘት

ተመልከት: የቅደም ተከተል ገደብ - መሰረታዊ ንድፈ ሃሳቦች እና ባህሪያት
ዋናዎቹ የእኩልነት ዓይነቶች እና ባህሪያቸው

እዚህ ላይ የአንድ ተከታታይ ውሱን ገደብ ፍቺ እንመለከታለን. ወደ ወሰን አልባነት የሚሸጋገር ቅደም ተከተል ጉዳይ በገጹ ላይ ተብራርቷል "በማያልቅ ትልቅ ቅደም ተከተል ፍቺ"።

የቅደም ተከተል ወሰን ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥር ε ከሆነ ቁጥር ነው። > 0 እንዲህ ያለ ነገር አለ የተፈጥሮ ቁጥር N ε በ ε ላይ በመመስረት ለሁሉም የተፈጥሮ n > N ε እኩልነት
| x n - a|< ε .
እዚህ x n ከቁጥር n ጋር ያለው የቅደም ተከተል አካል ነው። የቅደም ተከተል ገደብእንደሚከተለው ተጠቁሟል፡-
.
ወይም በ.

እኩልነትን እንለውጥ፡-
;
;
.

ε - የነጥብ ሀ ሰፈር - ክፍት የሆነ ክፍተት ነው (a - ε, a + ε). የተቀናጀ ቅደም ተከተል ገደብ ያለው ቅደም ተከተል ነው. ቅደም ተከተልም ይባላል ይሰበሰባልወደ ሀ. የተለያየ ቅደም ተከተል ገደብ የሌለው ቅደም ተከተል ነው.

ከትርጓሜው የሚከተለው ነው ቅደም ተከተል ገደብ ሀ ከሆነ ምንም አይነት ε-ጎረቤት ነጥብ ምንም ብንመርጥ ብቻ የመጨረሻ ቁጥርየተከታታይ አካላት፣ ወይም ምንም (ምንም) ባዶ ስብስብ). እና ማንኛውም ε-ሰፈር ማለቂያ የሌላቸው ንጥረ ነገሮችን ይዟል። በእርግጥ፣ የተወሰነ ቁጥር ε ከሰጠን፣ በዚህም ቁጥሩ አለን። ስለዚህ ሁሉም የቅደም ተከተል አካላት ከቁጥሮች ጋር , በትርጉም, በ ε - በ ነጥብ ሀ ሰፈር ውስጥ ይገኛሉ. የመጀመሪያዎቹ ንጥረ ነገሮች በማንኛውም ቦታ ሊቀመጡ ይችላሉ. ማለትም ከ ε-ሰፈር ውጭ ከኤለመንቶች በላይ ሊኖር አይችልም - ማለትም ውሱን ቁጥር።

ልዩነቱ ወደ ዜሮ ብቻ ሳይሆን ሁልጊዜም መቀነስ እንደሌለበት እናስተውላለን። ነጠላ ካልሆነ ወደ ዜሮ ሊያመራ ይችላል፡ ወይም ሊጨምር ወይም ሊቀንስ ይችላል፣ የአካባቢ ከፍተኛ ነው። ነገር ግን፣ እነዚህ ከፍተኛ፣ n ሲጨምር፣ ወደ ዜሮ (ምናልባትም በብቸኝነት ላይሆን ይችላል) መሆን አለባቸው።

የሕልውና እና ዓለም አቀፋዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም ፣የገደብ ፍቺ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።
(1) .

a ወሰን እንዳልሆነ መወሰን

አሁን ቁጥሩ a የተከታታይ ወሰን እንዳልሆነ የተገላቢጦሽ መግለጫን አስቡበት።

ቁጥር ሀ የቅደም ተከተል ገደብ አይደለም, እንደዚህ አይነት ካለ ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n እንደዚህ አይነት ተፈጥሯዊ m > n, ምንድን
.

ይህንን መግለጫ አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም እንፃፍ።
(2) .

መሆኑን ይግለጹ ቁጥር a የቅደም ተከተል ገደብ አይደለም።፣ ማለት ነው።
እንዲህ ዓይነቱን ε - የነጥብ ሀ ሰፈር መምረጥ ይችላሉ ፣ ከሱ ውጭ ፣ በቅደም ተከተል የማይቆጠሩ ንጥረ ነገሮች ይኖራሉ ።.

አንድ ምሳሌ እንመልከት. አንድ የተለመደ አካል ያለው ቅደም ተከተል ይስጥ
(3)
ማንኛውም የነጥብ ሰፈር ማለቂያ የሌላቸው ንጥረ ነገሮችን ይይዛል። ሆኖም፣ ይህ ነጥብ የቅደም ተከተል ገደብ አይደለም፣ ምክንያቱም ማንኛውም የነጥብ ሰፈር ገደብ የለሽ የንጥረ ነገሮች ብዛት ስላለው። ε እንውሰድ - የነጥብ ሰፈር ከ ε = 1 . ይህ የጊዜ ክፍተት ይሆናል (-1, +1) . ከመጀመሪያው በስተቀር ሁሉም ንጥረ ነገሮች n እንኳ የዚህ ክፍተት ናቸው። ነገር ግን ኢ-እኩልነት x nን ስለሚያረኩ ሁሉም ያልተለመዱ n ንጥረ ነገሮች ከዚህ ክፍተት ውጭ ናቸው። > 2 . ያልተለመዱ ንጥረ ነገሮች ቁጥር ማለቂያ የሌለው ስለሆነ ከተመረጠው ሰፈር ውጭ የማይገደቡ ንጥረ ነገሮች ይኖራሉ። ስለዚህ, ነጥቡ የቅደም ተከተል ገደብ አይደለም.

አሁን ይህንን እናሳያለን, መግለጫውን (2) በጥብቅ በመከተል. ነጥቡ የተከታታይ (3) ​​ወሰን አይደለም፣ ምክንያቱም እንደዚህ ያለ ነገር ስላለ፣ ለማንኛውም የተፈጥሮ n፣ አለመመጣጠኑ የሚይዝበት እንግዳ ነገር አለ።
.

እንዲሁም ማንኛውም ነጥብ ሀ የዚህ ቅደም ተከተል ገደብ ሊሆን እንደማይችል ማሳየት ይቻላል. ሁልጊዜም ነጥብ 0 ወይም ነጥብ 2 የሌለውን ε - የነጥብ ሀ ሰፈርን መምረጥ እንችላለን።ከዚያም ከተመረጠው ሰፈር ውጭ የሥርዓተ-ቅደም ተከተላቸው ወሰን የለሽ ቁጥር ይኖራቸዋል።

የተከታታይ ገደብ ተመጣጣኝ ፍቺ

የ ε - ሰፈርን ጽንሰ-ሀሳብ ካሰፋን የአንድ ቅደም ተከተል ገደብ ተመጣጣኝ ፍቺ መስጠት እንችላለን. ከ ε-ሰፈር ይልቅ፣ የትኛውንም የነጥብ ሠፈር ከያዘ አቻ ትርጉም እናገኛለን። የነጥብ ሰፈር ያንን ነጥብ የያዘ ማንኛውም ክፍት ክፍተት ነው። በሂሳብ የአንድ ነጥብ ሰፈርእንደሚከተለው ይገለጻል፡, የት ε 1 እና ε 2 - የዘፈቀደ አዎንታዊ ቁጥሮች።

ከዚያም የገደቡ ተመጣጣኝ ፍቺ እንደሚከተለው ነው.

የተከታታይ ወሰን ቁጥር a ነው ለማንኛውም ሰፈር የተፈጥሮ ቁጥር N ካለ ሁሉም የቁጥሮች ቅደም ተከተል አካላት የዚህ ሰፈር ናቸው።

ይህ ፍቺ በተስፋፋ መልኩም ሊቀርብ ይችላል።

የተከታታይ ወሰን ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥሮች ከሆነ ቁጥር ነው እና በዚህ ላይ በመመስረት የተፈጥሮ ቁጥር N አለ እና ሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች እኩል አለመሆን
.

የትርጓሜዎች እኩልነት ማረጋገጫ

ከላይ የቀረበው ቅደም ተከተል ገደብ ሁለቱ ፍቺዎች እኩል መሆናቸውን እናረጋግጥ።

በመጀመሪያው ፍቺ መሠረት ቁጥር a የቅደም ተከተል ገደብ ይሁን። ይህ ማለት አንድ ተግባር አለ ማለት ነው፣ ስለዚህ ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥር ε የሚከተሉት አለመመጣጠኖች ይረካሉ።
(4) በ.

ቁጥር a በሁለተኛው ፍቺ ቅደም ተከተል ገደብ መሆኑን እናሳይ. ያም ማለት ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥሮች ε እንደዚህ አይነት ተግባር እንዳለ ማሳየት አለብን 1 እና ε 2 የሚከተሉት አለመመጣጠኖች ረክተዋል
(5) በ.

ሁለት አዎንታዊ ቁጥሮች ይኑረን፡ ε 1 እና ε 2 . ከእነርሱም ታናሽ ይሁን፡ . ከዚያም; ; . ይህንን በ (5) እንጠቀምበት፡-
.
ግን አለመመጣጠን ለ ረክቷል. ከዚያ እኩል ያልሆኑ (5) እንዲሁ ይረካሉ።

ያም ማለት እኩልነት (5) ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥሮች የሚረካበት ተግባር አግኝተናል 1 እና ε 2 .
የመጀመሪያው ክፍል ተረጋግጧል.

አሁን ቁጥሩ a በሁለተኛው ፍቺ መሠረት በቅደም ተከተል ገደብ ይሁን. ይህ ማለት ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥሮች ε የሚል ተግባር አለ ማለት ነው። 1 እና ε 2 የሚከተሉት አለመመጣጠኖች ረክተዋል
(5) በ.

በመጀመሪያው ፍቺው ቁጥር a የቅደም ተከተል ገደብ መሆኑን እናሳይ። ይህንን ለማድረግ ማስቀመጥ ያስፈልግዎታል. ከዚያ የሚከተሉት አለመመጣጠኖች ሲከሰቱ
.
ይህ ከመጀመሪያው ትርጉም ጋር ይዛመዳል።
የትርጓሜዎቹ እኩልነት ተረጋግጧል.

ምሳሌዎች

ምሳሌ 1

መሆኑን አረጋግጡ።

(1) .
በእኛ ሁኔታ;
.

.
የእኩልነት ባህሪያትን እንጠቀም። ከዚያ ከሆነ እና ከዚያ
.

.
ከዚያም
በ.
ይህ ማለት ቁጥሩ የተሰጠው ቅደም ተከተል ገደብ ነው፡-
.

ምሳሌ 2

የቅደም ተከተል ገደብ ፍቺን በመጠቀም፣ ያንን ያረጋግጡ
.

የቅደም ተከተል ገደብ ፍቺን እንፃፍ፡-
(1) .
በእኛ ሁኔታ ;
.

አወንታዊ ቁጥሮችን ያስገቡ እና:
.
የእኩልነት ባህሪያትን እንጠቀም። ከዚያ ከሆነ እና ከዚያ
.

ያም ማለት፣ ለማንኛውም አወንታዊ፣ ከሚከተሉት የሚበልጥ ወይም እኩል የሆነ ማንኛውንም የተፈጥሮ ቁጥር መውሰድ እንችላለን፡-
.
ከዚያም
በ.
.

ምሳሌ 3

.

ማስታወሻውን እናስተዋውቃለን ፣
ልዩነቱን እንቀይር፡-
.
ለተፈጥሮ n = 1, 2, 3, ... እና አለነ:
.

የቅደም ተከተል ገደብ ፍቺን እንፃፍ፡-
(1) .
አወንታዊ ቁጥሮችን ያስገቡ እና:
.
ከዚያ ከሆነ እና ከዚያ
.

ያም ማለት፣ ለማንኛውም አወንታዊ፣ ከሚከተሉት የሚበልጥ ወይም እኩል የሆነ ማንኛውንም የተፈጥሮ ቁጥር መውሰድ እንችላለን፡-
.
በውስጡ
በ.
ይህ ማለት ቁጥሩ የቅደም ተከተል ገደብ ነው፡-
.

ምሳሌ 4

የቅደም ተከተል ገደብ ፍቺን በመጠቀም፣ ያንን ያረጋግጡ
.

የቅደም ተከተል ገደብ ፍቺን እንፃፍ፡-
(1) .
በእኛ ሁኔታ ;
.

አወንታዊ ቁጥሮችን ያስገቡ እና:
.
ከዚያ ከሆነ እና ከዚያ
.

ያም ማለት፣ ለማንኛውም አወንታዊ፣ ከሚከተሉት የሚበልጥ ወይም እኩል የሆነ ማንኛውንም የተፈጥሮ ቁጥር መውሰድ እንችላለን፡-
.
ከዚያም
በ.
ይህ ማለት ቁጥሩ የቅደም ተከተል ገደብ ነው፡-
.

ማጣቀሻዎች፡-
ኤል.ዲ. Kudryavtsev. የሂሳብ ትንተና ኮርስ. ቅጽ 1. ሞስኮ, 2003.
ሲ.ኤም. ኒኮልስኪ. የሂሳብ ትንተና ኮርስ. ቅጽ 1. ሞስኮ, 1983.

ተመልከት:

በሄይን (በቅደም ተከተሎች) እና በካውቺ (በኤፒሲሎን እና ዴልታ ሰፈሮች) መሠረት የአንድ ተግባር ወሰን ፍቺዎች ተሰጥተዋል። ፍቺዎች በሁለት-ጎን እና ባለ አንድ-ጎን ገደቦች በመጨረሻ እና በማይገደብ ሩቅ ቦታዎች ላይ ተፈጻሚነት ባለው ሁለንተናዊ መልክ ተሰጥተዋል። ነጥብ ሀ የአንድ ተግባር ወሰን አይደለም የሚለው ፍቺ ግምት ውስጥ ይገባል። የሄይን እና ካውቺ ፍቺዎች እኩልነት ማረጋገጫ።

ይዘት

ተመልከት: የአንድ ነጥብ ሰፈር
በመጨረሻው ነጥብ ላይ የአንድን ተግባር ወሰን መወሰን
በማያልቅ ላይ የአንድ ተግባር ወሰን መወሰን

የአንድ ተግባር ወሰን የመጀመሪያ ትርጉም (በሄይን መሠረት)

(x)በ x ነጥብ 0 :
,
ከሆነ
1) የነጥብ x እንደዚህ ያለ የተበሳ ሰፈር አለ። 0
2) ለማንኛውም ቅደም ተከተል (xn)፣ ከ x ጋር መገናኘት 0 :
የማን ንጥረ ነገሮች የሰፈር ንብረት የሆኑ፣
ተከታይ (f(xn))ወደ አንድ:
.

እዚህ x 0 እና ሀ የመጨረሻ ቁጥሮች ወይም ማለቂያ የሌላቸው ነጥቦች ሊሆኑ ይችላሉ። አካባቢው ሁለት ጎን ወይም አንድ-ጎን ሊሆን ይችላል.

.

የአንድ ተግባር ወሰን ሁለተኛ ፍቺ (በ Cauchy መሠረት)

ቁጥር a የተግባር ገደብ ይባላል f (x)በ x ነጥብ 0 :
,
ከሆነ
1) የነጥብ x እንደዚህ ያለ የተበሳ ሰፈር አለ። 0 , ተግባሩ የሚገለጽበት;
2) ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር ε > 0 እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ δ ε > 0 ፣ በ ε ላይ በመመስረት ፣ የተወጋው δ ε - የነጥብ x ሰፈር ለሆኑት ሁሉ 0 :
,
የተግባር እሴቶች ረ (x)ነጥብ ሀ የ ε- ሠፈር አባል ነው፡
.

ነጥቦች x 0 እና ሀ የመጨረሻ ቁጥሮች ወይም ማለቂያ የሌላቸው ነጥቦች ሊሆኑ ይችላሉ። አካባቢው ሁለት ጎን ወይም አንድ-ጎን ሊሆን ይችላል.

ይህንን ፍቺ የህልውና እና ሁለንተናዊነትን አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም እንፃፍ።
.

ይህ ፍቺ እኩል ጫፎች ያላቸውን ሰፈሮች ይጠቀማል። የዘፈቀደ የነጥብ አከባቢዎችን በመጠቀም ተመጣጣኝ ፍቺ ሊሰጥ ይችላል።

የዘፈቀደ ሰፈሮችን በመጠቀም ፍቺ
ቁጥር a የተግባር ገደብ ይባላል f (x)በ x ነጥብ 0 :
,
ከሆነ
1) የነጥብ x እንደዚህ ያለ የተበሳ ሰፈር አለ። 0 , ተግባሩ የሚገለጽበት;
2) ለማንኛውም ሰፈር U (ሀ)የ ነጥብ ሀ እንደዚህ ያለ የተበሳጨ የነጥብ x ሰፈር አለ። 0 የነጥብ x የተበሳጨው ሰፈር ለሆኑት ሁሉ 0 :
,
የተግባር እሴቶች ረ (x)የጎረቤት ዩ (ሀ)ነጥብ ሀ፡
.

የሕልውና እና ዓለም አቀፋዊነት አመክንዮአዊ ምልክቶችን በመጠቀም ይህ ትርጉም እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-
.

አንድ-ጎን እና ሁለት-ጎን ገደቦች

ከላይ ያሉት ትርጓሜዎች ለየትኛውም የጎረቤት አይነት ሊጠቀሙባቸው ስለሚችሉ ሁለንተናዊ ናቸው። እንደ የመጨረሻ ነጥብ በግራ በኩል የተበሳሰ ሰፈር ከተጠቀምን, በግራ በኩል ያለው ገደብ ፍቺ እናገኛለን. በ Infinity ላይ ያለውን የነጥብ አካባቢ እንደ ሰፈር ከተጠቀምን የገደቡን ፍቺ በ Infinity እናገኛለን።

የሄይንን ወሰን ለመወሰን ይህ የሚመጣው በዘፈቀደ ቅደም ተከተል ላይ ተጨማሪ እገዳ በመጣሉ እውነታ ላይ ነው፡ ንጥረ ነገሮቹ ከተሰካው የነጥብ ሰፈር ጋር መሆን አለባቸው።

የ Cauchy ገደብ ለመወሰን በእያንዳንዱ ጉዳይ ላይ የነጥብ አከባቢን ትክክለኛ ፍቺዎች በመጠቀም መግለጫዎችን እና ወደ እኩልነት መለወጥ አስፈላጊ ነው.
"የአንድ ነጥብ ሰፈር" ይመልከቱ.

ያንን ነጥብ ሀ መወሰን የአንድ ተግባር ወሰን አይደለም።

ብዙውን ጊዜ ነጥብ ሀ የተግባር ወሰን አይደለም የሚለውን ሁኔታ መጠቀም አስፈላጊ ይሆናል. ከላይ ባሉት ፍቺዎች ላይ ተቃውሞዎችን እንገንባ. በእነሱ ውስጥ ተግባሩ ረ (x)ነጥቡ x በአንዳንድ የተወጋ ሰፈር ላይ ይገለጻል። 0 . ነጥቦች ሀ እና x 0 የመጨረሻ ቁጥሮች ወይም ማለቂያ የሌለው ርቀት ሊሆን ይችላል። ከዚህ በታች የተገለጹት ሁሉም ነገሮች በሁለቱም የሁለትዮሽ እና የአንድ ወገን ገደቦች ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ።

ሄይን እንዳለው.
ቁጥር ሀ አይደለምየተግባር ገደብ ረ (x)በ x ነጥብ 0 : ,
እንደዚህ አይነት ቅደም ተከተል ካለ (xn)፣ ከ x ጋር መገናኘት 0 :
,
የማን ንጥረ ነገሮች የአከባቢው ናቸው ፣
ቅደም ተከተል ምንድን ነው (f(xn))ጋር አይጣመርም:
.
.

Cauchy መሠረት.
ቁጥር ሀ አይደለምየተግባር ገደብ ረ (x)በ x ነጥብ 0 :
,
እንደዚህ ያለ አዎንታዊ ቁጥር ε ካለ > 0 , ስለዚህ ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር δ > 0 ፣ የተወጋው δ-ጎረቤት ነጥብ x የሆነ x አለ 0 :
,
የተግባሩ ዋጋ መሆኑን ረ (x)ነጥብ ሀ የ ε- ሠፈር አባል አይደለም፡
.
.

በእርግጥ ነጥብ ሀ የአንድ ተግባር ወሰን በ ላይ ካልሆነ፣ ይህ ማለት ገደብ ሊኖረው አይችልም ማለት አይደለም። ገደብ ሊኖር ይችላል, ግን ከ a ጋር እኩል አይደለም. እንዲሁም ተግባሩ በነጥቡ በተበሳጨ ሰፈር ውስጥ ሊገለጽ ይችላል ፣ ግን ምንም ገደብ የለውም።

ተግባር ረ (x) = ኃጢአት (1/x)እንደ x → 0 ገደብ የለውም።

ለምሳሌ አንድ ተግባር በ ላይ ይገለጻል, ግን ምንም ገደብ የለም. እሱን ለማረጋገጥ, ቅደም ተከተሎችን እንውሰድ. ወደ አንድ ነጥብ ይሰበሰባል 0 . ምክንያቱም እንግዲህ።
ቅደም ተከተል እንውሰድ. ወደ ነጥቡም ይቀላቀላል 0 . ግን ከዚያን ጊዜ ጀምሮ.
ከዚያ ገደቡ ከማንኛውም ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን አይችልም ሀ. በእርግጥ, ለ , ጋር አንድ ቅደም ተከተል አለ. ስለዚህ, ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቁጥር ገደብ አይደለም. ግን ደግሞ ወሰን አይደለም, ምክንያቱም ቅደም ተከተል ስላለ .

የገደቡ የሄይን እና ካውቺ ፍቺዎች እኩልነት

ቲዎረም
የሄይን እና ካውቺ የአንድ ተግባር ወሰን ፍቺዎች እኩል ናቸው።

ማረጋገጫ

በማረጋገጫው ውስጥ፣ ተግባሩ በተወሰኑ የተበሳጨ የነጥብ ሰፈር (በመጨረሻ ወይም በማያልቅ) ውስጥ ይገለጻል ብለን እንገምታለን። ነጥብ a ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል።

የሄይን ማስረጃ ⇒ Cauchy's

እንደ መጀመሪያው ፍቺ (በሄይን መሠረት) ተግባሩ በአንድ ነጥብ ላይ ገደብ ይኑረው። ማለትም፣ የነጥብ የተበሳ ሰፈር የሆነ እና ገደብ ላለው ለማንኛውም ቅደም ተከተል
(1) ,
የቅደም ተከተል ገደብ፡-
(2) .

ተግባሩ በአንድ ነጥብ ላይ Cauchy ገደብ እንዳለው እናሳይ። ያም ማለት ለሁሉም ሰው የሚሆን ነገር አለ.

ተቃራኒውን እናስብ። ሁኔታዎች (1) እና (2) ይሟሉ፣ ግን ተግባሩ የካውቺ ገደብ የለውም። ያም ማለት ለማንም የሚሆን ነገር አለ, ስለዚህ
.

እንውሰድ , የት n የተፈጥሮ ቁጥር ነው. ከዚያ አለ ፣ እና
.
ስለዚህ ወደ የሚገጣጠም ቅደም ተከተል ገንብተናል፣ ነገር ግን የቅደም ተከተል ወሰን ከ ሀ ጋር እኩል አይደለም። ይህ ከቲዎሬም ሁኔታዎች ጋር ይቃረናል.

የመጀመሪያው ክፍል ተረጋግጧል.

የካውቺ ማስረጃ ⇒ ሄይን

በሁለተኛው ፍቺ መሰረት (በ Cauchy መሠረት) ተግባሩ በአንድ ነጥብ ላይ ገደብ ይኑረው። ይህም ለማንም ሰው አለ ማለት ነው።
(3) ለሁሉም .

በሄይን መሠረት ተግባሩ በአንድ ነጥብ ላይ ገደብ እንዳለው እናሳይ።
የዘፈቀደ ቁጥር እንውሰድ። በካውቺ ፍቺ መሠረት ቁጥሩ አለ፣ ስለዚህ (3) ይይዛል።

የተበሳጨው ሰፈር ንብረት የሆነ የዘፈቀደ ቅደም ተከተል እንውሰድ እና ወደ . በተዋሃደ ቅደም ተከተል ትርጓሜ ፣ ለማንኛውም ያ አለ።
በ.
ከዚያም ከ (3) ይከተላል
በ.
ይህ ለማንኛውም ሰው ስለሚይዝ, እንግዲህ
.

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ማጣቀሻዎች፡-
ኤል.ዲ. Kudryavtsev. የሂሳብ ትንተና ኮርስ. ቅጽ 1. ሞስኮ, 2003.

ተመልከት:

ዛሬ በክፍል ውስጥ እንመለከታለን ጥብቅ ቅደም ተከተልእና የአንድ ተግባር ገደብ ጥብቅ ፍቺእንዲሁም የንድፈ ሃሳባዊ ተፈጥሮን ተዛማጅ ችግሮችን መፍታት ይማሩ። ጽሑፉ በዋነኝነት የታሰበው በመጀመሪያ ደረጃ የተፈጥሮ ሳይንስ እና የኢንጂነሪንግ ስፔሻሊቲ ተማሪዎች የሂሳብ ትንታኔን ንድፈ ሀሳብ ማጥናት ለጀመሩ እና ይህንን የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል ለመረዳት ችግር ላጋጠማቸው ነው። በተጨማሪም ፣ ቁሱ ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች በጣም ተደራሽ ነው።

ድረ-ገጹ በኖረባቸው ዓመታት፣ በግምት የሚከተለው ይዘት ያላቸው ደርዘን ደብዳቤዎች ደርሰውኛል፡- “የሂሣብ ትንታኔ በደንብ አልገባኝም፣ ምን ማድረግ አለብኝ?”፣ “ሒሳብ ጨርሶ አልገባኝም፣ እኔ ነኝ። ትምህርቴን ለማቆም እያሰብኩ ነው” ወዘተ እና በእርግጥ፣ ከመጀመሪያው ክፍለ ጊዜ በኋላ የተማሪውን ቡድን ብዙ ጊዜ የሚያዳክሙት ማታን ናቸው። ይህ የሆነው ለምንድን ነው? ርዕሰ ጉዳዩ የማይታሰብ ውስብስብ ስለሆነ? አይደለም! የማቲማቲካል ትንተና ንድፈ ሃሳብ ልዩ ስለሆነ በጣም አስቸጋሪ አይደለም. እና እሷን ማንነቷን መቀበል እና መውደድ ያስፈልግዎታል =)

በጣም አስቸጋሪ በሆነው ጉዳይ እንጀምር. የመጀመሪያው እና በጣም አስፈላጊው ነገር ጥናትዎን መተው የለብዎትም. በትክክል ተረዱ ፣ ሁል ጊዜ ማቆም ይችላሉ ;-) በእርግጥ ፣ ከአንድ ወይም ከሁለት ዓመት በኋላ በመረጡት ልዩ ባለሙያነት ህመም ከተሰማዎት አዎ ፣ ስለሱ ማሰብ አለብዎት ። (እና አትበሳጭ!)ስለ እንቅስቃሴ ለውጥ. አሁን ግን መቀጠል ተገቢ ነው። እና እባክህ "ምንም አልገባኝም" የሚለውን ሐረግ እርሳ - ምንም ነገር እንዳልገባህ አይከሰትም.

ንድፈ ሃሳቡ መጥፎ ከሆነ ምን ማድረግ አለበት? ይህ በነገራችን ላይ ለሂሳብ ትንተና ብቻ አይደለም የሚሰራው. ሀሳቡ መጥፎ ከሆነ በመጀመሪያ በተግባር ላይ ማተኮር ያስፈልግዎታል። በዚህ ሁኔታ ፣ ሁለት ስልታዊ ተግባራት በአንድ ጊዜ ተፈትተዋል-

- በመጀመሪያ ፣ ጉልህ ድርሻ የንድፈ ሃሳብ እውቀትበተግባር የመጣ ነው። እና ብዙ ሰዎች ንድፈ ሃሳቡን የሚረዱት ለዚህ ነው ... - ልክ ነው! አይ ፣ አይ ፣ ስለዚያ እያሰብክ አይደለም =)

- እና በሁለተኛ ደረጃ ፣ የተግባር ችሎታዎች ምናልባት በፈተናው ውስጥ “ይጎትቱታል” ፣ ምንም እንኳን ... ግን በጣም አንደሰት! ሁሉም ነገር እውነት ነው እና ሁሉም ነገር በአጭር ጊዜ ውስጥ "ሊነሳ" ይችላል. የሂሳብ ትንተና የምወደው የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል ነው፣ እና ስለዚህ የእርዳታ እጄን ልሰጥህ አልቻልኩም፡-

በ 1 ኛ ሴሚስተር መጀመሪያ ላይ, የቅደም ተከተል ገደቦች እና የተግባር ገደቦች ብዙውን ጊዜ ይሸፈናሉ. እነዚህ ምን እንደሆኑ አይረዱም እና እንዴት እንደሚፈቱ አታውቁም? በጽሁፉ ጀምር የተግባር ገደቦች, ጽንሰ-ሐሳቡ ራሱ "በጣቶቹ ላይ" የሚመረመርበት እና በጣም ቀላሉ ምሳሌዎች የተተነተነ ነው. በመቀጠል በርዕሱ ላይ ሌሎች ትምህርቶችን ይስሩ፣ ስለ አንድ ትምህርት ጨምሮ በቅደም ተከተል, በዚህ ላይ በትክክል ጥብቅ ፍቺን አስቀድሜ አዘጋጅቻለሁ.

ከእኩልነት ምልክቶች እና ሞጁሎች በተጨማሪ ምን ምልክቶች ያውቃሉ?

- ረዥም ቀጥ ያለ ዱላ እንደዚህ ይነበባል- “እንደዚያ”፣ “እንዲህ ያለ”፣ “እንዲህ ያለ” ወይም “እንዲህ ያለ”በእኛ ሁኔታ ፣ በግልጽ ፣ ስለ አንድ ቁጥር እየተነጋገርን ነው - ስለዚህ “እንደዚያ”;

- ለሁሉም "en" የሚበልጠው;

– የሞዱል ምልክት ማለት ርቀት ማለት ነው፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ይህ ግቤት በእሴቶች መካከል ያለው ርቀት ከ epsilon ያነሰ መሆኑን ይነግረናል.

ደህና ፣ ገዳይ ከባድ ነው? =)

ልምምዱን ከጨረስኩ በኋላ በሚቀጥለው አንቀጽ ላይ ላገኝህ በጉጉት እጠባበቃለሁ፡-

እና እንደ እውነቱ ከሆነ, ትንሽ እናስብ - ቅደም ተከተል ጥብቅ ፍቺ እንዴት ማዘጋጀት እንደሚቻል? ...በአለም ላይ ወደ አእምሮ የሚመጣው የመጀመሪያው ነገር ተግባራዊ ትምህርት: "የቅደም ተከተላቸው ወሰን የተከታታይ አባላት ያለገደብ የሚቀርቡበት ቁጥር ነው።"

እሺ፣ እንፃፍ ተከታይ :

ያንን ለመረዳት አስቸጋሪ አይደለም ተከታይ ከቁጥር -1 እና ከተቆጠሩ ቃላት ጋር ያለማቋረጥ መቅረብ - ወደ "አንድ"

ወይም ምናልባት ሁለት ገደቦች ሊኖሩ ይችላሉ? ግን ለምን የትኛውም ቅደም ተከተል አስር ወይም ሃያ ሊኖረው አይችልም? በዚህ መንገድ ሩቅ መሄድ ይችላሉ. በዚህ ረገድ, ያንን መገመት ምክንያታዊ ነው አንድ ቅደም ተከተል ገደብ ካለው, ከዚያ ልዩ ነው.

ማስታወሻ : ቅደም ተከተል ገደብ የለውም, ነገር ግን ሁለት ተከታታዮች ከእሱ ሊለዩ ይችላሉ (ከላይ ይመልከቱ), እያንዳንዱም የራሱ የሆነ ገደብ አለው.

ስለዚህ, ከላይ ያለው ፍቺ የማይሰራ ሆኖ ይወጣል. አዎ, ለመሳሰሉት ጉዳዮች ይሰራል (በተግባራዊ ምሳሌዎች ላይ ቀለል ባለ ማብራሪያዎችን በትክክል አልተጠቀምኩም)አሁን ግን ጥብቅ ፍቺ ማግኘት አለብን.

ሙከራ ሁለት፡- “የቅደም ተከተል ወሰን ሁሉም የስርአቱ አባላት የሚቀርቡበት ቁጥር ነው። የመጨረሻመጠኖች." ይህ ወደ እውነት የቀረበ ነው, ግን አሁንም ሙሉ በሙሉ ትክክል አይደለም. ስለዚህ, ለምሳሌ, ቅደም ተከተል የቃላቶቹ ግማሹ ወደ ዜሮ አይቀርቡም - በቀላሉ ከእሱ ጋር እኩል ናቸው =) በነገራችን ላይ "ብልጭ ብርሃን" በአጠቃላይ ሁለት ቋሚ እሴቶችን ይወስዳል.

አጻጻፉ ግልጽ ለማድረግ አስቸጋሪ አይደለም, ነገር ግን ሌላ ጥያቄ ይነሳል: ትርጉሙን እንዴት እንደሚፃፍ የሂሳብ ምልክቶች? ሳይንሳዊ ዓለምሁኔታውን እስካልፈታ ድረስ ከዚህ ችግር ጋር ለረጅም ጊዜ ታግዬ ነበር ታዋቂ ማይስትሮእሱም፣ በመሠረቱ፣ ክላሲካል ሒሳባዊ ትንታኔን በጥንካሬው ውስጥ መደበኛ አድርጎታል። Cauchy ቀዶ ጥገናን ጠቁሟል አካባቢ , ይህም ጽንሰ-ሐሳቡን በከፍተኛ ደረጃ ያሳደገው.

አንዳንድ ነጥቦችን እና የእሱን እንመልከት የዘፈቀደ- አከባቢዎች;

የ "epsilon" ዋጋ ሁልጊዜ አዎንታዊ ነው, እና በተጨማሪ, እኛ ራሳችን የመምረጥ መብት አለን።. በዚህ ሰፈር ውስጥ ብዙ አባላት እንዳሉ እናስብ (ሁሉም ማለት አይደለም)አንዳንድ ቅደም ተከተል. ለምሳሌ, አሥረኛው ቃል በአጎራባች ውስጥ የመሆኑን እውነታ እንዴት መጻፍ እንደሚቻል? በእሱ በቀኝ በኩል ይሁን. ከዚያም በነጥቦቹ መካከል ያለው ርቀት እና ከ "epsilon" ያነሰ መሆን አለበት:. ሆኖም ፣ “x አስረኛ” በ “ሀ” ነጥብ በስተግራ የሚገኝ ከሆነ ፣ ልዩነቱ አሉታዊ ይሆናል ፣ ስለሆነም ምልክቱ በእሱ ላይ መጨመር አለበት ። ሞጁል: .

ፍቺ: አንድ ቁጥር በቅደም ተከተል ገደብ ይባላል ከሆነ ለማንኛውምአካባቢው (ቅድመ-የተመረጠ)እንደዚህ ያለ የተፈጥሮ ቁጥር አለ ሁሉምከፍተኛ ቁጥር ያላቸው ተከታታይ አባላት በአካባቢው ውስጥ ይሆናሉ፡-

ወይም በአጭሩ: ከሆነ

በሌላ አነጋገር፣ የምንወስደው የ"epsilon" ዋጋ ምንም ያህል ትንሽ ቢሆን፣ ፈጥኖም ይሁን ዘግይቶ "የማያልቅ ጅራት" በዚህ ሰፈር ውስጥ ሙሉ በሙሉ ይሆናል።

ለምሳሌ, "የማያልቅ ጅራት" በቅደም ተከተል ወደ ማንኛውም የዘፈቀደ ትንሽ የነጥብ ሰፈር ሙሉ በሙሉ ይገባል ። ስለዚህ ይህ ዋጋ በቅደም ተከተል በትርጉም ገደብ ነው. ወሰን ዜሮ የሆነበት ቅደም ተከተል እንደሚጠራ ላስታውስህ ማለቂያ የሌለው.

ለተከታታይ "ማለቂያ የሌለው ጅራት" ማለት እንደማይቻል ልብ ሊባል ይገባል. ውስጥ ይገባል"- ያልተለመዱ ቁጥሮች ያላቸው አባላት በእውነቱ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው እና "የትም አይሄዱም" =) ለዚያም ነው "ይገለጣሉ" የሚለው ግስ በትርጉሙ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል. እና፣ በእርግጥ፣ የዚህ አይነት ቅደም ተከተል አባላት እንዲሁ “የትም አይሄዱም። በነገራችን ላይ ቁጥሩ የእሱ ገደብ መሆኑን ያረጋግጡ.

አሁን ቅደም ተከተል ገደብ እንደሌለው እናሳያለን. ለምሳሌ የነጥቡን ሰፈር አስቡበት። ሁሉም ውሎች በአንድ ሰፈር ውስጥ የሚያልቁ እንደዚህ ያለ ቁጥር እንደሌለ ፍጹም ግልፅ ነው - ያልተለመዱ ቃላት ሁል ጊዜ “ይዘለላሉ” ወደ “አንድ ሲቀነስ”። በተመሳሳይ ምክንያት, ነጥቡ ላይ ምንም ገደብ የለም.

ቁሳቁሱን በተግባር እናዋህደው፡-

ምሳሌ 1

የቅደም ተከተል ገደብ ዜሮ መሆኑን ያረጋግጡ። ሁሉም የቅደም ተከተል አባላት በማንኛውም በዘፈቀደ ትንሽ የነጥብ ሰፈር ውስጥ መግባታቸው የተረጋገጡበትን ቁጥር ይግለጹ።

ማስታወሻ : ለብዙ ቅደም ተከተሎች, አስፈላጊው የተፈጥሮ ቁጥር በእሴቱ ላይ የተመሰረተ ነው - ስለዚህ ማስታወሻው .

መፍትሄ: ግምት ውስጥ ያስገቡ የዘፈቀደ አለ?ቁጥር - ከፍተኛ ቁጥር ያላቸው ሁሉም አባላት በዚህ ሰፈር ውስጥ ይሆናሉ፡-

የሚፈለገውን ቁጥር መኖሩን ለማሳየት በ በኩል እንገልፃለን.

ለማንኛውም የ “en” እሴት፣ የሞዱል ምልክቱ ሊወገድ ይችላል፡-

በክፍል ውስጥ የደጋገምኩትን የ"ትምህርት ቤት" ድርጊቶችን በእኩልነት እንጠቀማለን። የመስመር አለመመጣጠንእና የተግባር ጎራ. በዚህ ጉዳይ ላይ፣ አንድ አስፈላጊ ሁኔታ “epsilon” እና “en” አዎንታዊ ናቸው፡-

በግራ በኩል ስለ ተፈጥሯዊ ቁጥሮች እየተነጋገርን ነው, እና ትክክለኛው ክፍልቪ አጠቃላይ ጉዳይክፍልፋይ ነው፣ ከዚያ መጠጋጋት ያስፈልገዋል፡-

ማስታወሻ አንዳንድ ጊዜ አንድ ክፍል በአስተማማኝ ጎን ላይ ለመሆን ወደ ቀኝ ይታከላል, ነገር ግን በእውነቱ ይህ ከመጠን በላይ ነው. በአንፃራዊነት ውጤቱን በማዞር ውጤቱን ካዳከምን ፣ ከዚያ በጣም ቅርብ የሆነው ተስማሚ ቁጥር ("ሶስት") አሁንም የመጀመሪያውን እኩልነት ያሟላል።

አሁን እኩልነትን እንመለከታለን እና በመጀመሪያ ያሰብነውን እናስታውሳለን የዘፈቀደ- ሰፈር, ማለትም. "epsilon" እኩል ሊሆን ይችላል ማንምአዎንታዊ ቁጥር.

ማጠቃለያለማንኛውም የዘፈቀደ ትንሽ - የአንድ ነጥብ ሰፈር እሴቱ ተገኝቷል . ስለዚህ, ቁጥር በትርጓሜ ቅደም ተከተል ገደብ ነው. ጥ.ኢ.ዲ.

በነገራችን ላይ ከተገኘው ውጤት ተፈጥሯዊ ንድፍ በግልጽ ይታያል-አነስተኛ ሰፈር, ቁጥሩ ትልቅ ነው, ከዚያ በኋላ ሁሉም ተከታታይ አባላት በዚህ ሰፈር ውስጥ ይሆናሉ. ነገር ግን "ኤፒሲሎን" ምንም ያህል ትንሽ ቢሆን, ከውስጥ እና ከውጭ - ትልቅ ቢሆንም, ሁልጊዜም "ያልተገደበ ጅራት" ይኖራል. የመጨረሻየአባላት ብዛት.

የእርስዎ ግንዛቤ እንዴት ነው? =) ትንሽ እንግዳ እንደሆነ እስማማለሁ። ግን በጥብቅ!እባክዎ እንደገና ያንብቡ እና ስለ ሁሉም ነገር እንደገና ያስቡ።

እስቲ ተመሳሳይ ምሳሌ እንይ እና ከሌሎች ጋር እንተዋወቅ ቴክኒካዊ ዘዴዎች:

ምሳሌ 2

መፍትሄ: በቅደም ተከተል ፍቺ ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው ( ጮክ ብለህ ተናገር !!!).

እስቲ እናስብ የዘፈቀደ- የነጥብ እና የቼክ ሰፈር; አለ ወይ?ተፈጥሯዊ ቁጥር - ለሁሉም ትላልቅ ቁጥሮች የሚከተለው እኩልነት ይይዛል-

እንደነዚህ ያሉትን መኖሩን ለማሳየት "en" በ "epsilon" በኩል መግለጽ ያስፈልግዎታል. በሞጁል ምልክት ስር ያለውን አገላለጽ እናቀላለን-

ሞጁሉ የመቀነስ ምልክትን ያጠፋል፡-

መለያው ለማንኛውም “en” አዎንታዊ ነው፣ ስለሆነም በትሮቹን ማስወገድ ይቻላል፡-

በውዝ

አሁን ማውጣት አለብን ካሬ ሥርነገር ግን የተያዘው ለአንዳንድ "epsilon" የቀኝ እጅ አሉታዊ ይሆናል. ይህንን ችግር ለማስወገድ እንበርታበሞጁሎች አለመመጣጠን;

ይህ ለምን ሊሆን ይችላል? በአንፃራዊነት ከሆነ ፣ ከዚያ ሁኔታው ​​​​ይረካል። ሞጁሉ ይችላል። ብቻ ጨምርየሚፈለገው ቁጥር፣ እና ያ እኛንም ይስማማል! በግምት ፣ መቶኛው ተስማሚ ከሆነ ፣ ከዚያ ሁለት መቶኛው እንዲሁ ተስማሚ ነው! እንደ ትርጉሙ, ማሳየት ያስፈልግዎታል የቁጥሩ መኖር እውነታ(ቢያንስ አንዳንድ), ከዚያ በኋላ ሁሉም ተከታታይ አባላት - ሰፈር ውስጥ ይሆናሉ. በነገራችን ላይ የመጨረሻውን የቀኝ ጎን ወደ ላይ ማዞር የማንፈራው ለዚህ ነው.

ሥሩን ማውጣት;

እና ውጤቱን ያጠጋጉ;

ማጠቃለያምክንያቱም እሴቱ “ኤፒሲሎን” በዘፈቀደ ተመርጧል፣ ከዚያ ለማንኛውም በዘፈቀደ ትንሽ የነጥቡ ሰፈር እሴቱ ተገኝቷል። , ለትላልቅ ቁጥሮች ሁሉ እኩልነት አለመመጣጠን ይይዛል . ስለዚህም a-priory. ጥ.ኢ.ዲ.

እመክራለሁ። በተለይየእኩልነት መጠናከር እና መዳከምን መረዳት በሂሳብ ትንተና ውስጥ የተለመደ እና በጣም የተለመደ ዘዴ ነው። መከታተል ያለብዎት ብቸኛው ነገር የዚህን ወይም የድርጊቱ ትክክለኛነት ነው. ስለዚህ, ለምሳሌ, አለመመጣጠን በምንም አይነት ሁኔታ አይቻልም ፈታበመቀነስ አንድ በል፡-

እንደገና፣ በሁኔታዊ ሁኔታ፡ ቁጥሩ በትክክል የሚስማማ ከሆነ፣ ቀዳሚው ከአሁን በኋላ ላይስማማ ይችላል።

ለገለልተኛ መፍትሄ የሚከተለው ምሳሌ

ምሳሌ 3

የአንድን ቅደም ተከተል ፍቺ በመጠቀም, ያንን ያረጋግጡ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.

ቅደም ተከተል ከሆነ ማለቂያ የሌለው ትልቅ, ከዚያም የገደብ ፍቺ በተመሳሳይ መንገድ ተቀርጿል: አንድ ነጥብ ለማንኛውም ቅደም ተከተል ገደብ ይባላል. የፈለጉትን ያህል ትልቅቁጥር, ለሁሉም ትላልቅ ቁጥሮች, እኩልነት የሚረካ ቁጥር አለ. ቁጥሩ ተጠርቷል። የነጥቡ አካባቢ “ፕላስ ኢንፊኒቲ”:

በሌላ አነጋገር, ምንም ይሁን ምን ትልቅ ጠቀሜታምንም ይሁን ምን ፣ የቅደም ተከተል “የማያልቅ ጅራት” በእርግጠኝነት ወደ ነጥቡ ሰፈር ውስጥ ይገባል ፣ ይህም በግራ በኩል የተወሰኑ ቃላትን ብቻ ይቀራል።

መደበኛ ምሳሌ፡-

እና አጭር ማስታወሻ፡, ከሆነ

ለጉዳዩ, ትርጉሙን እራስዎ ይፃፉ. ትክክለኛው ስሪት በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

አንዴ በተግባራዊ ምሳሌዎች ዙሪያ ጭንቅላትዎን ካገኙ እና የተከታታይ ወሰን ፍቺን ካወቁ በኋላ ወደ የካልኩለስ እና/ወይም የመማሪያ ማስታወሻ ደብተርዎ ላይ ወደ ስነ-ጽሁፍ ማዞር ይችላሉ። የቦሃንን ድምጽ 1 እንዲያወርዱ እመክራለሁ። (ቀላል - ለደብዳቤ ተማሪዎች)እና Fichtenholtz (በበለጠ ዝርዝር እና ዝርዝር). ከሌሎች ደራሲዎች መካከል, ኮርሱ በቴክኒካዊ ዩኒቨርሲቲዎች ላይ ያነጣጠረ Piskunovን እመክራለሁ.

የቅደም ተከተላቸው ገደብ፣ ማረጋገጫዎቻቸው፣ ውጤቶቻቸውን የሚመለከቱ ቲዎሪዎችን በጥንቃቄ ለማጥናት ይሞክሩ። መጀመሪያ ላይ ጽንሰ-ሐሳቡ "ደመና" ሊመስል ይችላል, ነገር ግን ይህ የተለመደ ነው - እሱን መጠቀም ብቻ ያስፈልግዎታል. እና ብዙዎች ለእሱ ጣዕም እንኳን ያገኛሉ!

የአንድ ተግባር ወሰን ጥብቅ ፍቺ

በተመሳሳዩ ነገር እንጀምር - ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ እንዴት ማዘጋጀት እንደሚቻል? የተግባር ወሰን የቃል ፍቺው በጣም ቀላል ነው የተቀመረው፡ “ቁጥር ማለት የአንድ ተግባር ወሰን ነው “x” የሚንከባከብ ከሆነ። (ግራ እና ቀኝ), ተጓዳኝ የተግባር እሴቶች ዝንባሌ አላቸው » (ሥዕሉን ይመልከቱ). ሁሉም ነገር የተለመደ ይመስላል, ነገር ግን ቃላቶች ቃላት ናቸው, ትርጉሙም ትርጉም ነው, አዶ አዶ ነው, እና በቂ ጥብቅ የሂሳብ ኖቶች የሉም. እና በሁለተኛው አንቀፅ ውስጥ ይህንን ችግር ለመፍታት ከሁለት መንገዶች ጋር እናውቃለን።

ተግባሩ በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ይገለጽ, ከነጥቡ በስተቀር. ውስጥ ትምህርታዊ ሥነ ጽሑፍበአጠቃላይ ተግባሩ እንዳለ ተቀባይነት አለው አይደለምየተገለጸው፡-

ይህ ምርጫ አጽንዖት ይሰጣል የአንድ ተግባር ገደብ ምንነት: "x" ማለቂያ የሌለው ቅርብአቀራረቦች ፣ እና የተግባሩ ተጓዳኝ እሴቶች ናቸው። ማለቂያ የሌለው ቅርብወደ. በሌላ አነጋገር የገደብ ፅንሰ-ሀሳብ የነጥቦችን "ትክክለኛ አቀራረብ" አያመለክትም, ግን ማለትም ያለገደብ ቅርብ መቀራረብ, ተግባሩ በነጥቡ ላይ ይገለጻል ወይም አይገለጽም, ምንም አይደለም.

የአንድ ተግባር ወሰን የመጀመሪያ ፍቺ፣ የሚያስገርም አይደለም፣ ሁለት ቅደም ተከተሎችን በመጠቀም የተቀመረ ነው። በመጀመሪያ ደረጃ, ጽንሰ-ሐሳቦች ተዛማጅ ናቸው, ሁለተኛም, የተግባሮች ወሰኖች ብዙውን ጊዜ የሚጠናው ከተከታታይ ወሰን በኋላ ነው.

ቅደም ተከተል አስብ ነጥቦች (በሥዕሉ ላይ አይደለም), የክፍተቱ አካል የሆነእና የተለየ፣ የትኛው ይሰበሰባልወደ. ከዚያ ተጓዳኝ የተግባር እሴቶች እንዲሁ የቁጥር ቅደም ተከተል ይመሰርታሉ ፣ አባላቶቹም በተራው ዘንግ ላይ ይገኛሉ።

በሄይን መሠረት የአንድ ተግባር ገደብ ለማንኛውምየነጥቦች ቅደም ተከተል (የያዘ እና የተለየ), ወደ ነጥቡ የሚገጣጠመው, የተግባር እሴቶቹ ተጓዳኝ ቅደም ተከተል ወደ አንድ ይሆናል.

ኤድዋርድ ሄይን ጀርመናዊ የሂሳብ ሊቅ ነው። ... እና እንደዚህ አይነት ነገር ማሰብ አያስፈልግም, በአውሮፓ ውስጥ አንድ ግብረ ሰዶማዊ ብቻ አለ - ጌይ-ሉሳክ =)

የገደቡ ሁለተኛ ፍቺ ተፈጥሯል... አዎ፣ አዎ፣ ልክ ነህ። በመጀመሪያ ግን የእሱን ንድፍ እንረዳ. የዘፈቀደ - የነጥቡን ሰፈር አስቡበት ("ጥቁር" ሰፈር). በቀደመው አንቀፅ መሰረት, መግቢያው ማለት ነው የተወሰነ እሴትተግባር የሚገኘው በ "epsilon" ሰፈር ውስጥ ነው.

አሁን ከተሰጠው ሰፈር ጋር የሚስማማውን -ሰፈርን እናገኛለን (በአእምሯዊ ጥቁር ነጠብጣብ መስመሮችን ከግራ ወደ ቀኝ ከዚያም ከላይ ወደ ታች ይሳሉ). እሴቱ እንደተመረጠ ልብ ይበሉ ከትንሽ ክፍል ርዝመት ጋር, በዚህ ሁኔታ - በአጭር የግራ ክፍል ርዝመት. በተጨማሪም ፣ “ራስበሪ” - የነጥብ ሰፈር በሚከተለው ትርጓሜ ውስጥ እንኳን ሊቀንስ ይችላል። የመኖር እውነታ አስፈላጊ ነው።ይህ ሰፈር. እና በተመሳሳይ መልኩ, ማስታወሻው የተወሰነ እሴት በ "ዴልታ" ሰፈር ውስጥ ነው ማለት ነው.

Cauchy ተግባር ገደብቁጥር፡ ከሆነ በአንድ ነጥብ ላይ የአንድ ተግባር ገደብ ይባላል ለማንኛውም አስቀድሞ ተመርጧልሰፈር (እንደፈለጉት ትንሽ), አለ።- የነጥብ ሰፈር; እንደዚህ፣ ያ፡ እንደ ዋጋዎች ብቻ (የሆነ)በዚህ አካባቢ ውስጥ ተካትቷል- (ቀይ ቀስቶች)- ስለዚህ ወዲያውኑ ተጓዳኝ የተግባር ዋጋዎች ወደ ሰፈር ለመግባት ዋስትና ተሰጥቷቸዋል- (ሰማያዊ ቀስቶች).

ለማስጠንቀቅ አለብኝ ለግልጽነት ስል ትንሽ አሻሽዬ ስለነበር ከልክ በላይ አትጠቀም =)

አጭር መግቢያ:, ከሆነ

የፍቺው ፍሬ ነገር ምንድን ነው? በምሳሌያዊ አነጋገር፣ ሰፈርን ያለገደብ በመቀነስ፣ የተግባር እሴቶቹን እስከ ገደባቸው “አጅበናል”፣ ወደ ሌላ ቦታ ከመቅረብ ምንም አማራጭ አይተዉም። በጣም ያልተለመደ ፣ ግን እንደገና ጥብቅ! ሀሳቡን ሙሉ በሙሉ ለመረዳት የቃላቱን አጻጻፍ እንደገና ያንብቡ።

! ትኩረት: ብቻ መቅረጽ ካስፈለገዎት የሄይን ትርጉምወይም ልክ አጉል ፍቺእባክህ አትርሳ ስለ ጉልህየመጀመሪያ አስተያየቶች "ከአንድ ነጥብ በቀር በተወሰነ ክፍተት ላይ የተገለጸውን ተግባር አስቡበት". መጀመሪያ ላይ አንድ ጊዜ ገልጬ ነበር እና ሁልጊዜ አልደግመውም።

በተዛማጅ የሂሳብ ትንተና ቲዎሬም መሠረት የሄይን እና ካውቺ ፍቺዎች እኩል ናቸው ፣ ግን ሁለተኛው አማራጭ በጣም ታዋቂው ነው ። (አሁንም ይሆናል!), እሱም "የቋንቋ ገደብ" ተብሎም ይጠራል.

ምሳሌ 4

የገደቡን ፍቺ በመጠቀም፣ ያንን ያረጋግጡ

መፍትሄ: ተግባሩ ከነጥቡ በስተቀር በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ይገለጻል. ትርጉሙን በመጠቀም, በተወሰነ ነጥብ ላይ ገደብ መኖሩን እናረጋግጣለን.

ማስታወሻ የ "ዴልታ" ሰፈር ዋጋ በ "epsilon" ላይ የተመሰረተ ነው, ስለዚህም ስያሜው

እስቲ እናስብ የዘፈቀደ- አከባቢዎች. ስራው ይህንን ዋጋ ለመፈተሽ መጠቀም ነው። አለ ወይ?- አካባቢ; እንደዚህ, ይህም ከእኩልነት እኩልነት ይከተላል .

ያንን ከግምት ውስጥ በማስገባት የመጨረሻውን እኩልነት እንለውጣለን-
(አራት ማዕዘናዊ ትራይኖሚል አሰፋ)

ፍቺ 1. ይሁን ኢ- ማለቂያ የሌለው ቁጥር. ማንኛውም ሰፈር የስብስቡ ነጥቦችን ከያዘ ኢ፣ ከነጥቡ የተለየ ሀ፣ ያ ሀተብሎ ይጠራል የመጨረሻው የስብስቡ ነጥብ ኢ.

ፍቺ 2. (ሄንሪች ሄይን (1821-1881))። ተግባሩ ይፍቀድ
በስብስቡ ላይ ይገለጻል Xእና ሀተብሎ ይጠራል ገደብ ተግባራት
ነጥብ ላይ (ወይም መቼ
, ለማንኛውም የክርክር እሴቶች ቅደም ተከተል ከሆነ
, ጋር መገናኘት , የተግባር እሴቶች ተጓዳኝ ቅደም ተከተል ወደ ቁጥሩ ይሰበሰባል ሀ. ብለው ይጽፋሉ፡-
.

ምሳሌዎች. 1) ተግባር
ጋር እኩል የሆነ ገደብ አለው። ጋር, በቁጥር መስመር ላይ በማንኛውም ቦታ.

በእርግጥ, ለማንኛውም ነጥብ እና ማንኛውም የክርክር እሴቶች ቅደም ተከተል
, ጋር መገናኘት እና ሌሎች ቁጥሮችን ያካተተ , ተጓዳኝ የተግባር እሴቶች ቅደም ተከተል ቅጹ አለው
, እና ይህ ቅደም ተከተል ወደ አንድ እንደሚሰበሰብ እናውቃለን ጋር. ለዛ ነው
.

2) ለተግባር

.

ይህ ግልጽ ነው, ምክንያቱም ከሆነ
, ከዚያም
.

3) Dirichlet ተግባር
በማንኛውም ጊዜ ገደብ የለውም.

በእርግጥ እንሁን
እና
, እና ሁሉም - ምክንያታዊ ቁጥሮች. ከዚያም
ለሁሉም n, ለዛ ነው
. ከሆነ
እና ያ ብቻ ነው። ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው, እንግዲህ
ለሁሉም n, ለዛ ነው
. የፍቺ 2 ሁኔታዎች ያልተሟሉ መሆናቸውን እናያለን, ስለዚህ
አልተገኘም.

4)
.

በእርግጥ, የዘፈቀደ ቅደም ተከተል እንውሰድ
, ጋር መገናኘት

ቁጥር 2. ከዚያም . ጥ.ኢ.ዲ.

ፍቺ 3. (Cauchy (1789-1857)). ተግባሩ ይፍቀድ
በስብስቡ ላይ ይገለጻል Xእና የዚህ ስብስብ ገደብ ነጥብ ነው. ቁጥር ሀተብሎ ይጠራል ገደብ ተግባራት
ነጥብ ላይ (ወይም መቼ
, ለማንኛውም ከሆነ
አደለም
፣ ለሁሉም የክርክር እሴቶች X, እኩልነትን በማርካት

,

አለመመጣጠን እውነት ነው።

.

ብለው ይጽፋሉ፡-
.

የ Cauchy ትርጉም ሰፈሮችን በመጠቀም ሊሰጥ ይችላል፣ ያንን ካስተዋልን፣ ሀ፡

ተግባር ይፍቀድ
በስብስቡ ላይ ይገለጻል Xእና የዚህ ስብስብ ገደብ ነጥብ ነው. ቁጥር ሀገደብ ይባላል ተግባራት
ነጥብ ላይ , ለማንኛውም ከሆነ - የአንድ ነጥብ ሰፈር ሀ
የተወጋ አለ - የአንድ ነጥብ አከባቢ
,ለምሳሌ
.

ይህንን ፍቺ በስዕል መግለጽ ጠቃሚ ነው.

ለምሳሌ 5.
.

በእርግጥ እንውሰድ
በዘፈቀደ እና ያግኙ
፣ እንደዚያ ለሁሉም X, እኩልነትን በማርካት
እኩልነት ይይዛል
. የመጨረሻው እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው
, ስለዚህ ለመውሰድ በቂ እንደሆነ እናያለን
. መግለጫው ተረጋግጧል።

ፍትሃዊ

ቲዎረም 1. በሄይን እና በካውቺ መሰረት የአንድ ተግባር ወሰን ፍቺዎች እኩል ናቸው.

ማረጋገጫ. 1) ፍቀድ
እንደ Cauchy. በሄይን መሰረት ተመሳሳይ ቁጥርም ገደብ መሆኑን እናረጋግጥ.

እንውሰድ
በዘፈቀደ. በፍቺ 3 መሠረት አለ።
፣ እንደዚያ ለሁሉም
እኩልነት ይይዛል
. ፍቀድ
- እንደዚህ ያለ የዘፈቀደ ቅደም ተከተል
በ
. ከዚያም ቁጥር አለ ኤንእንደዚያ ለሁሉም
እኩልነት ይይዛል
, ለዛ ነው
ለሁሉም
፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

ሄይን እንዳለው.

2) አሁን ፍቀድ
ሄይን እንዳለው. ይህን እናረጋግጥ
እና Cauchy መሠረት.

ተቃራኒውን እንውሰድ፣ ማለትም፡- ምንድን
እንደ Cauchy. ከዚያም አለ
ለማንም እንደዚያ
አደለም
,
እና
. ቅደም ተከተል አስብ
. ለተጠቀሰው
እና ማንኛውም nአለ።

እና
. ማለት ነው።
፣ ቢሆንም
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ቁጥር ሀገደብ አይደለም
ነጥብ ላይ ሄይን እንዳለው. መግለጫውን የሚያረጋግጥ ተቃርኖ አግኝተናል። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ቲዎረም 2 (በገደቡ ልዩነት ላይ). በአንድ ነጥብ ላይ የአንድ ተግባር ገደብ ካለ , ከዚያም እሱ ብቻ ነው.

ማረጋገጫ. ወሰን በሄይን መሰረት ከተገለጸ ልዩነቱ ከቅደም ተከተል ወሰን ልዩነት ይከተላል። ገደብ በካውቺ መሰረት ከተገለጸ ልዩነቱ የሚከተለው በካውቺ እና በሄይን መሰረት የገደብ ፍቺዎች እኩልነት ነው። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ከተከታታዮች Cauchy መስፈርት ጋር ተመሳሳይ፣ የአንድ ተግባር ገደብ መኖር Cauchy መስፈርት ይይዛል። ከመቅረጹ በፊት, እንስጥ

ፍቺ 4. ተግባሩ ነው ይላሉ
ነጥብ ላይ Cauchy ሁኔታ ያሟላል , ለማንኛውም ከሆነ
አለ።

, ለምሳሌ
እና
, አለመመጣጠን ይይዛል
.

ቲዎረም 3 (ገደብ መኖሩን የሚያመለክት መስፈርት). ለተግባሩ ቅደም ተከተል
ነጥብ ላይ ነበረው የተወሰነ ገደብ, አስፈላጊ እና በቂ ነው, በዚህ ጊዜ ተግባሩ የ Cauchy ሁኔታን ያሟላል.

ማረጋገጫ.አስፈላጊነት. ፍቀድ
. ያንን ማረጋገጥ አለብን
ነጥቡ ላይ ይረካል አሻሚ ሁኔታ።

እንውሰድ
በዘፈቀደ እና ማስቀመጥ
. ለ ገደብ ፍቺ አለ።
, ለማንኛውም እሴቶች
, አለመመጣጠኖችን ማርካት
እና
, አለመመጣጠኑ ረክቷል
እና
. ከዚያም

ፍላጎቱ ተረጋግጧል.

በቂነት. ተግባሩ ይፍቀድ
ነጥቡ ላይ ይረካል አሻሚ ሁኔታ። ነጥቡ ላይ መኖሩን ማረጋገጥ አለብን የመጨረሻ ገደብ.

እንውሰድ
በዘፈቀደ. በትርጉም 4 አለ
, እንደ አለመመጣጠን
,
የሚለውን ይከተላል
- ይህ ተሰጥቷል.

በመጀመሪያ ለማንኛውም ቅደም ተከተል እናሳይ
, ጋር መገናኘት , ተከታይ
የተግባር እሴቶች ይሰበሰባሉ. በእርግጥ, ከሆነ
, ከዚያም, በቅደም ተከተል ገደብ ፍቺ ምክንያት, ለተወሰነ
ቁጥር አለ ኤን፣ እንደዚያው ለማንኛውም

እና
. ምክንያቱም
ነጥብ ላይ Cauchy ሁኔታን ያሟላል, እኛ አለን
. ከዚያም, በ Cauchy መስፈርት በቅደም ተከተል, ቅደም ተከተል
ይሰበሰባል. እንደነዚህ ያሉትን ቅደም ተከተሎች ሁሉ እናሳይ
ወደ ተመሳሳይ ገደብ መቀላቀል. ተቃራኒውን እንውሰድ፣ ማለትም፡- ቅደም ተከተሎች ምንድን ናቸው
እና
,
,
, ለምሳሌ. ቅደም ተከተሎችን እናስብ. ጋር እንደሚጣመር ግልጽ ነው። , ስለዚህ, ከላይ በተረጋገጠው, ቅደም ተከተል ይሰበሰባል, ይህም የማይቻል ነው, ከተከታዮቹ ጀምሮ.
እና
የተለያዩ ገደቦች አሏቸው እና . የተፈጠረው ተቃርኖ የሚያሳየው ነው። =. ስለዚህ, በሄይን ትርጉም, ተግባሩ ነጥቡ ላይ ነው የመጨረሻ ገደብ. በቂነቱ, እና ስለዚህ ቲዎሬም, ተረጋግጧል.