ለሁሉም የክርክር እሴቶች ተፈፅሟል (ከአጠቃላይ ወሰን)።

ሁለንተናዊ መተኪያ ቀመሮች.

በእነዚህ ቀመሮች፣ የአንድ ነጋሪ እሴት የተለያዩ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የያዘውን ማንኛውንም አገላለጽ ወደ አንድ ተግባር ምክንያታዊ መግለጫ መለወጥ ቀላል ነው። tg (α/2):

ድምርን ወደ ምርቶች እና ምርቶች ወደ ድምር ለመቀየር ቀመሮች።

ቀደም ሲል, ከላይ ያሉት ቀመሮች ስሌቶችን ለማቃለል ያገለግሉ ነበር. እነሱ የሎጋሪዝም ሰንጠረዦችን በመጠቀም ይሰላሉ, እና በኋላ - የስላይድ ህግ, ምክንያቱም ሎጋሪዝም ቁጥሮችን ለማባዛት በጣም ተስማሚ ናቸው. ለዚያም ነው እያንዳንዱ ኦሪጅናል አገላለጽ ለሎጋሪዝም ማለትም ለምርቶች ምቹ ወደሆነ ቅጽ የተቀነሰው። ለምሳሌ:

2 ኃጢአት α ኃጢአት ለ = cos (α - ለ) - cos (α + ለ);

2 cos α cos ለ = cos (α - ለ) + cos (α + ለ);

2 ኃጢአት α cos ለ = ኃጢአት (α - ለ) + ኃጢአት (α + ለ).

በተለይ የትኛው አንግል የት አለ

ለታንጀንት እና ለቆሻሻ ማጠራቀሚያ ተግባራት ቀመሮች በቀላሉ ከላይ ከተጠቀሱት ውስጥ ይገኛሉ.

የዲግሪ ቅነሳ ቀመሮች.

ኃጢአት 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
ኃጢአት 3α = (3 ኃጢአትα - ኃጢአት 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + ኮስ 3α )/4.

እነዚህን ቀመሮች በመጠቀም፣ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በቀላሉ ዝቅተኛ ኃይል ያላቸው ወደ እኩልታዎች ይቀንሳሉ። በተመሳሳይ መልኩ, የመቀነስ ቀመሮች ለበለጠ ከፍተኛ ዲግሪዎች ኃጢአትእና cos.

ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን በአንደኛው ተመሳሳይ ክርክር መግለጽ።

ከሥሩ ፊት ያለው ምልክት በሩብ ማዕዘን ቦታ ላይ ይወሰናል α .

በመሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት - ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት - መካከል ያሉ ግንኙነቶች ተሰጥተዋል ። ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች. እና በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት መካከል በጣም ብዙ ግንኙነቶች ስላሉ ይህ የትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን ብዛት ያብራራል። አንዳንድ ቀመሮች ተመሳሳይ አንግል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ያገናኛሉ ፣ ሌሎች - የአንድ ባለ ብዙ አንግል ተግባራት ፣ ሌሎች - ዲግሪውን እንዲቀንሱ ያስችሉዎታል ፣ አራተኛ - ሁሉንም ተግባራት በግማሽ አንግል ታንጀንት በኩል ይግለጹ ፣ ወዘተ.

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አብዛኛዎቹን የትሪግኖሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት በቂ የሆኑትን ሁሉንም መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን እንዘረዝራለን ። በቀላሉ ለማስታወስ እና ለመጠቀም, በዓላማ ከፋፍለን ወደ ጠረጴዛዎች እናስገባቸዋለን.

የገጽ አሰሳ።

መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች

መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችበሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና በአንድ ማዕዘን መካከል ያለውን ግንኙነት ይግለጹ። እነሱ ከሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት, እንዲሁም የዩኒት ክበብ ጽንሰ-ሐሳብ ይከተላሉ. አንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ከሌላው አንፃር እንዲገልጹ ያስችሉዎታል።

የእነዚህ ትሪጎኖሜትሪ ቀመሮች ዝርዝር መግለጫ፣ ውጤታቸው እና የመተግበሪያው ምሳሌዎች፣ ጽሑፉን ይመልከቱ።

የመቀነስ ቀመሮች

የመቀነስ ቀመሮችከሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ባህሪያትን ይከተሉ ፣ ማለትም ፣ የወቅቱን ንብረት ያንፀባርቃሉ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት, የሲሜትሪ ንብረት, እንዲሁም በተሰጠው ማዕዘን የመቀየር ባህሪ. እነዚህ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች በዘፈቀደ ማዕዘኖች ከመስራት ወደ ዜሮ እስከ 90 ዲግሪ ማዕዘኖች ጋር ለመስራት ያስችሉዎታል።

የእነዚህ ቀመሮች ምክንያት, እነሱን ለማስታወስ የማስታወሻ ህግ እና የመተግበሪያቸው ምሳሌዎች በአንቀጹ ውስጥ ሊጠና ይችላል.

የመደመር ቀመሮች

ትሪግኖሜትሪክ የመደመር ቀመሮችየሁለት ማዕዘኖች ድምር ወይም ልዩነት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት በእነዚያ ማዕዘኖች ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እንዴት እንደሚገለጹ አሳይ። እነዚህ ቀመሮች የሚከተሉትን ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ለማግኘት እንደ መሰረት ሆነው ያገለግላሉ።

ቀመሮች ለድርብ ፣ ለሶስት ፣ ወዘተ. አንግል

ቀመሮች ለድርብ ፣ ለሶስት ፣ ወዘተ. አንግል (እነሱም የበርካታ አንግል ቀመሮች ተብለው ይጠራሉ) እንዴት ባለ ትሪጎኖሜትሪክ ድርብ፣ ሶስት እጥፍ ወዘተ ተግባራትን ያሳያል። ማዕዘኖች () የሚገለጹት በአንድ ማዕዘን ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ነው። የእነሱ አመጣጥ በመደመር ቀመሮች ላይ የተመሰረተ ነው.

የበለጠ ዝርዝር መረጃ በአንቀጹ ውስጥ ለድርብ ፣ ለሦስት እጥፍ ፣ ወዘተ ቀመሮች ተሰብስቧል ። አንግል

የግማሽ ማዕዘን ቀመሮች

የግማሽ ማዕዘን ቀመሮችየግማሽ አንግል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ከጠቅላላው አንግል ኮሳይን አንፃር እንዴት እንደሚገለጡ አሳይ። እነዚህ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች ከቀመርዎቹ ይከተላሉ ድርብ ማዕዘን.

የእነሱ መደምደሚያ እና የትግበራ ምሳሌዎች በአንቀጹ ውስጥ ይገኛሉ.

የዲግሪ ቅነሳ ቀመሮች

ዲግሪዎችን ለመቀነስ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችከ ሽግግርን ለማመቻቸት የታቀዱ ናቸው የተፈጥሮ ዲግሪዎችትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ወደ ሳይን እና ኮሳይንስ ወደ መጀመሪያው ዲግሪ, ግን ብዙ ማዕዘኖች. በሌላ አነጋገር የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ኃይል ወደ መጀመሪያው እንዲቀንሱ ያስችሉዎታል.

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ድምር እና ልዩነት ቀመሮች

ዋናው ዓላማ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ድምር እና ልዩነት ቀመሮችትሪግኖሜትሪክ አገላለጾችን ሲያቃልሉ በጣም ጠቃሚ ወደሆኑት ተግባራት ምርት መሄድ ነው። እነዚህ ቀመሮች በመፍታትም በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችየሳይንስ እና ኮሳይን ድምር እና ልዩነት እንዲፈጥሩ ስለሚያስችሉዎት።

ቀመሮች ለሳይንስ፣ ኮሳይን እና ሳይን በኮሳይን ምርት

ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ምርት ወደ ድምር ወይም ልዩነት የሚደረገው ሽግግር የሚከናወነው የሳይንስ፣ ኮሳይን እና ሳይን በኮሳይን ምርት ቀመሮችን በመጠቀም ነው።

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት

የግማሽ አንግል ታንጀንት አንፃር የሶስትዮሜትሪክ ተግባራትን በሚገልጹ ቀመሮች የትሪግኖሜትሪ መሰረታዊ ቀመሮችን ግምገማችንን እናጠናቅቃለን። ይህ ምትክ ተጠርቷል ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት. የእሱ ምቹነት ሁሉም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት በግማሽ ማእዘን ታንጀንት ያለ ሥሮች በምክንያታዊነት ሲገለጹ ነው ።

መጽሃፍ ቅዱስ።

• አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 9 ኛ ክፍል. አማካኝ ትምህርት ቤት/ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ኢድ. S.A. Telyakovsky. - M.: ትምህርት, 1990. - 272 pp.: ታሞ - ISBN 5-09-002727-7
• ባሽማኮቭ ኤም.አይ.አልጀብራ እና የትንታኔ ጅምር፡ የመማሪያ መጽሀፍ። ለ 10-11 ክፍሎች. አማካኝ ትምህርት ቤት - 3 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 1993. - 351 p.: የታመመ. - ISBN 5-09-004617-4.
• አልጀብራእና የመተንተን መጀመሪያ፡- ፕሮ. ለ 10-11 ክፍሎች. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn እና ሌሎች; ኢድ. A. N. Kolmogorov. - 14 ኛ እትም - ኤም.: ትምህርት, 2004. - 384 pp.: ታሞ - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A.፣ Mordkovich A.G.ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ): Proc. አበል.- M.; ከፍ ያለ ትምህርት ቤት, 1984.-351 p., የታመመ.

የቅጂ መብት በጥበብ ተማሪዎች

መብቱ በህግ የተጠበቀ ነው.
በቅጂ መብት ህግ የተጠበቀ። ማንኛውም የጣቢያው ክፍል የውስጥ ቁሳቁሶችን እና መልክን ጨምሮ በማንኛውም መልኩ ሊባዛ ወይም ያለ የቅጂ መብት ባለቤቱ የጽሁፍ ፍቃድ መጠቀም አይቻልም።

ውስጥ የማንነት ለውጦች ትሪግኖሜትሪክ መግለጫዎችየሚከተሉት የአልጀብራ ቴክኒኮችን መጠቀም ይቻላል፡ ተመሳሳይ ቃላት መደመር እና መቀነስ; የጋራውን ሁኔታ በቅንፍ ውስጥ ማስቀመጥ; በተመሳሳይ መጠን ማባዛትና ማካፈል; የአህጽሮት ማባዛት ቀመሮችን መተግበር; ምደባ ሙሉ ካሬ; መበስበስ ኳድራቲክ ሶስትዮሽበማባዣዎች; ለውጦችን ለማቃለል አዳዲስ ተለዋዋጮችን ማስተዋወቅ።

ክፍልፋዮችን የያዙ ትሪግኖሜትሪክ አገላለጾችን ሲቀይሩ፣ ክፍልፋዮችን በመቀነስ፣ ወይም ክፍልፋዮችን ወደ ሚለውጥ ባህሪያቶች መጠቀም ይችላሉ። የጋራ. በተጨማሪም ፣ የክፍሉን አጠቃላይ ክፍል መምረጥ ፣ የክፍሉን አሃዛዊ እና ተከሳሽ በተመሳሳይ መጠን ማባዛት ፣ እና ከተቻለ የቁጥር ወይም መለያን ተመሳሳይነት ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላሉ። አስፈላጊ ከሆነ፣ ክፍልፋይን እንደ የበርካታ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ወይም ልዩነት መወከል ይችላሉ።

በተጨማሪም, ትሪግኖሜትሪክ አገላለጾችን ለመለወጥ ሁሉንም አስፈላጊ ዘዴዎች ሲተገበሩ, ቦታውን ያለማቋረጥ ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል. ተቀባይነት ያላቸው እሴቶችተለዋዋጭ መግለጫዎች.

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1.

አስላ A = (ኃጢአት (2x – π) cos (3π – x) + ኃጢአት (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos (2x – 7π) /2) +
+ ኃጢአት (3π/2 – x) ኃጢአት (2x –5π/2)) 2

መፍትሄ።

ከመቀነሱ ቀመሮች ውስጥ የሚከተለው ነው-

ኃጢአት (2x – π) = -ኃጢአት 2x; cos (3π – x) = -cos x;

ኃጢአት (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -ሲን x;

cos (x – π/2) = ኃጢአት x; cos (2x - 7π/2) = -ኃጢአት 2x;

ኃጢአት (3π/2 – x) = -cos x; ኃጢአት (2x – 5π/2) = -cos 2x.

ክርክሮችን ለመጨመር ቀመሮች እና ዋናው ትሪግኖሜትሪክ ማንነት ከየት እናገኛለን

ሀ = (ኃጢአት 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = ኃጢአት 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= ኃጢአት 2 3x + cos 2 3x = 1

መልስ፡ 1.

ምሳሌ 2.

M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – ኃጢአት (α + β) · ኃጢአት γ + cos γ ወደ ምርት ቀይር።

መፍትሄ።

ከተገቢው ቡድን በኋላ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ድምር ወደ ምርት ለመቀየር ክርክሮችን እና ቀመሮችን ለመጨመር ቀመሮች አሉን ።

M = (cos (α + β) cos γ – ኃጢአት (α + β) ኃጢአት γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + ኮስ (α + β + γ))) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β - γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β - γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β - γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β - γ)/2) - (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2)።

መልስ፡ M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)።

ምሳሌ 3.

A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) ለሁሉም x አንድ እንደሚወስድ አሳይ። ተመሳሳይ ትርጉም. ይህንን እሴት ያግኙ።

መፍትሄ።

ይህንን ችግር ለመፍታት ሁለት መንገዶች እዚህ አሉ. የመጀመሪያውን ዘዴ በመተግበር, የተሟላ ካሬን በመለየት እና ተዛማጅ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን በመጠቀም, እናገኛለን.

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

ኃጢአት 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

ችግሩን በሁለተኛው መንገድ መፍታት፣ ሀን እንደ x ከ R እንደ ተግባር አስቡ እና ውጤቱን አስላ። ከተለዋዋጭ ለውጦች በኋላ እናገኛለን

А′ = -2cos (x + π/6) ኃጢአት (x + π/6) + (ኃጢአት (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) ኃጢአት (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) ኃጢአት (x – π/6) =

ኃጢአት 2(x + π/6) + ኃጢአት ((x + π/6) + (x – π/6)) – ኃጢአት 2(x – π/6) =

ኃጢአት 2x – (ኃጢአት (2x + π/3) + ኃጢአት (2x – π/3)) =

ኃጢአት 2x – 2ሲን 2x · cos π/3 = ኃጢአት 2x – ኃጢአት 2x ≡ 0።

ስለዚህ፣ በየተወሰነ ጊዜ ሊለያይ የሚችል ተግባር ቋሚነት ባለው መስፈርት ምክንያት፣ ወደሚል መደምደሚያ ደርሰናል።

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4፣ x € R.

መልስ፡ A = 3/4 ለ x € R

ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን ለማረጋገጥ ዋና ቴክኒኮች፡-

ሀ)የመታወቂያውን ግራ ጎን በተገቢው ለውጦች ወደ ቀኝ መቀነስ;
ለ)የመታወቂያውን የቀኝ ጎን ወደ ግራ መቀነስ;
ቪ)የመታወቂያውን የቀኝ እና የግራ ጎኖች ወደ ተመሳሳይ ቅፅ መቀነስ;
ሰ)በመታወቂያው ግራ እና ቀኝ መካከል ያለውን ልዩነት ወደ ዜሮ መቀነስ.

ምሳሌ 4.

ያንን cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) ያረጋግጡ።

መፍትሄ።

በተዛማጅ መሰረት የዚህን ማንነት የቀኝ ጎን መለወጥ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች, እና አለነ

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

የመታወቂያው የቀኝ ጎን ወደ ግራ ይቀንሳል.

ምሳሌ 5.

ኃጢአት 2 α + ኃጢአት 2 β + ኃጢአት 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2፣ α፣ β፣ γ የአንዳንድ ትሪያንግል ውስጣዊ ማዕዘኖች መሆናቸውን አረጋግጥ።

መፍትሄ።

α፣ β፣ γ የአንዳንድ ትሪያንግል ውስጣዊ ማዕዘኖች መሆናቸውን ከግምት ውስጥ በማስገባት ያንን እናገኛለን

α + β + γ = π እና, ስለዚህ, γ = π - α - β.

ኃጢአት 2 α + ኃጢአት 2 β + ኃጢአት 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

ኃጢአት 2 α + ኃጢአት 2 β + ኃጢአት 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

ኃጢአት 2 α + ኃጢአት 2 β + ኃጢአት 2 (α + β) + (ኮስ (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

ኃጢአት 2 α + ኃጢአት 2 β + (ኃጢአት 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

የመጀመሪያው እኩልነት ተረጋግጧል.

ምሳሌ 6.

የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች α, β, γ ከ 60 ° ጋር እኩል እንዲሆኑ ኃጢአት 3α + ኃጢአት 3β + ኃጢአት 3γ = 0 አስፈላጊ እና በቂ መሆኑን ያረጋግጡ.

መፍትሄ።

የዚህ ችግር ሁኔታ ሁለቱንም አስፈላጊነት እና በቂነት ማረጋገጥን ያካትታል.

መጀመሪያ እናረጋግጥ አስፈላጊነት.

መሆኑን ማሳየት ይቻላል።

ኃጢአት 3α + ኃጢአት 3β + ኃጢአት 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2)።

ስለዚህ ያንን cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 ግምት ውስጥ በማስገባት፣ ከማዕዘኖቹ α፣ β ወይም γ አንዱ ከ60° ጋር እኩል ከሆነ እናገኘዋለን።

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 እና፣ ስለዚህ፣ ኃጢአት 3α + ኃጢአት 3β + ኃጢአት 3γ = 0።

አሁን እናረጋግጥ በቂነትየተጠቀሰው ሁኔታ.

ኃጢአት 3α + ኃጢአት 3β + ኃጢአት 3γ = 0 ከሆነ፣ ከዚያም cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0፣ እና ስለዚህ

ወይ cos (3α/2) = 0፣ ወይም cos (3β/2) = 0፣ ወይም cos (3γ/2) = 0።

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

ወይም 3α/2 = π/2 + πk፣ i.e. α = π/3 + 2πk/3፣

ወይም 3β/2 = π/2 + πk፣ i.e. β = π/3 + 2πk/3፣

ወይም 3γ/2 = π/2 + πk፣

እነዚያ። γ = π/3 + 2πk/3፣ የት k ϵ Z.

α, β, γ የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ናቸው, እኛ አለን

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

ስለዚህ ለ α = π/3 + 2πk/3 ወይም β = π/3 + 2πk/3 ወይም

γ = π/3 + 2πk/3 የሁሉም kϵZ ብቻ k = 0 ተስማሚ ነው።

ቀጥሎም α = π/3 = 60°፣ ወይም β = π/3 = 60°፣ ወይም γ = π/3 = 60°።

መግለጫው ተረጋግጧል።

አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት? ትሪግኖሜትሪክ አገላለጾችን እንዴት እንደሚቀልሉ አታውቁም?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት ይመዝገቡ።
የመጀመሪያው ትምህርት ነፃ ነው!

ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።