ዋናውን ለማግኘት የሚያስፈልግዎትን ተግባር ያስገቡ

ያልተወሰነውን ውህድ ካሰሉ በኋላ ነፃ ማግኘት ይችላሉ። ዝርዝር መፍትሔያስገቡት ውህድ.

ላልተወሰነው የተግባር ረ(x) (የተግባሩ ፀረ-ተግባር) መፍትሄ እንፈልግ።

ምሳሌዎች

ዲግሪ በመጠቀም
(ካሬ እና ኩብ) እና ክፍልፋዮች

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

ካሬ ሥር

ካሬ(x)/(x + 1)

የኩብ ሥር

Cbrt(x)/(3*x + 2)

ሳይን እና ኮሳይን መጠቀም

2*ኃጢአት(x)*cos(x)

አርክሲን

X*arcsin(x)

አርክ ኮሳይን

X*arccos(x)

የሎጋሪዝም አተገባበር

X*ሎግ(x, 10)

ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም

ኤግዚቢሽን

Tg(x)*ኃጢአት(x)

ኮንቴይነንት

Ctg(x)*cos(x)

ምክንያታዊ ያልሆኑ ክፍልፋዮች

(sqrt (x) - 1)/sqrt (x^2 - x - 1)

አርክታንጀንት

X*arctg(x)

Arccotangent

X*arсctg(x)

ሃይፐርቦሊክ ሳይን እና ኮሳይን

2*ሽ(x)*ch(x)

ሃይፐርቦሊክ ታንጀንት እና ብክለት

Ctgh(x)/tgh(x)

ሃይፐርቦሊክ አርክሲን እና አርኮሲን

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

ሃይበርቦሊክ አርክታንጀንት እና አርኮታንጀንት

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

መግለጫዎችን እና ተግባራትን ለማስገባት ደንቦች

መግለጫዎች ተግባራትን ሊያካትቱ ይችላሉ (ማስታወሻዎች በ ውስጥ ተሰጥተዋል በፊደል ቅደም ተከተል): ፍፁም(x)ፍጹም ዋጋ x
(ሞዱል xወይም |x|) አርክኮስ(x)ተግባር - አርክ ኮሳይን የ x አርኮሽ (x)አርክ ኮሳይን ሃይፐርቦሊክ ከ x አርክሲን(x)አርክሲን ከ x አርክሲንህ(x)አርክሲን ሃይፐርቦሊክ ከ x አርክታን (x)ተግባር - አርክታንጀንት የ x አርትግ(x)አርክታንጀንት ሃይፐርቦሊክ ከ x ሠ ሠበግምት ከ 2.7 ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ኤክስ (x)ተግባር - ገላጭ x(እንደ ሠ^x) መዝገብ(x)ወይም ln(x)የተፈጥሮ ሎጋሪዝም x
(ለማግኘት log7(x)ሎግ(x)/log(7) (ወይም ለምሳሌ ለ) ማስገባት አለብህ ሎግ10(x)=ሎግ(x)/ሎግ(10)) ፒቁጥሩ "Pi" ነው, እሱም በግምት ከ 3.14 ጋር እኩል ነው ኃጢአት (x)ተግባር - ሳይን የ x cos(x)ተግባር - ኮሳይን የ x ሲን (x)ተግባር - ሳይን ሃይፐርቦሊክ ከ x ኮሽ(x)ተግባር - ኮሳይን ሃይፐርቦሊክ ከ x ካሬ(x)ተግባር - ካሬ ሥርከ x ካሬ(x)ወይም x^2ተግባር - ካሬ x ታን (x)ተግባር - ታንጀንት ከ x tgh(x)ተግባር - ታንጀንት ሃይፐርቦሊክ ከ x cbrt(x)ተግባር - የኩብ ሥር x

የሚከተሉት ክዋኔዎች በገለፃዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ- እውነተኛ ቁጥሮችአስገባ 7.5 , አይደለም 7,5 2*x- ማባዛት 3/x- መከፋፈል x^3- አገላለጽ x+7- መደመር x - 6- መቀነስ
ሌሎች ባህሪያት፡- ወለል (x)ተግባር - ማጠጋጋት xወደ ታች (ምሳሌ ወለል (4.5)==4.0) ጣሪያ (x)ተግባር - ማጠጋጋት xወደ ላይ (ምሳሌ ጣሪያ (4.5)==5.0) ምልክት (x)ተግባር - ምልክት x ኢርፍ(x)የስህተት ተግባር (ወይም ፕሮባቢሊቲ ጥምረት) ላፕላስ(x)የላፕላስ ተግባር

ያልተገደበ የክፍልፋይ ምክንያታዊ ተግባር የማግኘት ችግር ቀላል ክፍልፋዮችን በማዋሃድ ላይ ይመጣል። ስለዚህ, በመጀመሪያ እራስዎን ወደ ክፍልፋዮች መበስበስ ጽንሰ-ሐሳብ ክፍል እራስዎን በደንብ እንዲያውቁት እንመክራለን.

ለምሳሌ.

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ።

መፍትሄ።

የመዋሃዱ አሃዛዊ ዲግሪ ከዲኖሚነተር ደረጃ ጋር እኩል ስለሆነ በመጀመሪያ ፖሊኖሚሉን በፖሊኖሚል ከአምድ ጋር በማካፈል ሙሉውን ክፍል እንመርጣለን.

ለዛ ነው, .

የተገኘው ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መበስበስ ቅጹ አለው። . ስለዚህም እ.ኤ.አ.

የተገኘው ውህደት የሶስተኛው ዓይነት በጣም ቀላሉ ክፍልፋይ ነው. ትንሽ ወደ ፊት ስንመለከት፣ በልዩ ልዩ ምልክት ስር በማስገባት ሊወስዱት እንደሚችሉ እናስተውላለን።

ምክንያቱም ፣ ያ . ለዛ ነው

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

አሁን የእያንዳንዱን አራት ዓይነት ክፍልፋዮችን ለማዋሃድ ዘዴዎችን ወደ መግለጽ እንሂድ።

የመጀመሪያው ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት

ይህንን ችግር ለመፍታት ቀጥተኛ ውህደት ዘዴው ተስማሚ ነው-

ለምሳሌ.

የአንድ ተግባር ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ያግኙ

መፍትሄ።

የጸረ-ተውሳሽ ባህሪያትን, የፀረ-ተውሳኮችን ሰንጠረዥ እና የውህደት ህግን በመጠቀም ያልተወሰነ ውህደትን እንፈልግ.

የገጽ አናት

የሁለተኛው ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት

ይህንን ችግር ለመፍታት ቀጥተኛ ውህደት ዘዴው ተስማሚ ነው-

ለምሳሌ.

መፍትሄ።

የገጽ አናት

የሶስተኛው ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት

በመጀመሪያ ያልተወሰነ ውህደትን እናቀርባለን እንደ ድምር፡-

የመጀመሪያውን ውህደት በልዩ ምልክት ስር በማስገባት እንወስዳለን-

ለዛ ነው,

የውጤቱን ውህደቱን መለያ እንለውጥ፡-

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

የሶስተኛው ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮችን የማዋሃድ ቀመር ቅጹን ይወስዳል-

ለምሳሌ.

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ .

መፍትሄ።

የተገኘውን ቀመር እንጠቀማለን-

ይህ ቀመር ከሌለን ምን እናደርጋለን

የገጽ አናት

የአራተኛው ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት

የመጀመሪያው እርምጃ በልዩ ምልክት ስር ማስቀመጥ ነው-

ሁለተኛው እርምጃ የቅጹን ዋና አካል ማግኘት ነው . የዚህ አይነት ውህደቶች ተደጋጋሚ ቀመሮችን በመጠቀም ይገኛሉ. (የተደጋጋሚ ቀመሮችን በመጠቀም ውህደት ላይ ያለውን ክፍል ይመልከቱ።) የሚከተለው ተደጋጋሚ ቀመር ለጉዳያችን ተስማሚ ነው፡

ለምሳሌ.

ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ።

ለዚህ ዓይነቱ ውህደት የመተኪያ ዘዴን እንጠቀማለን. አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ (ክፍል ውህደት ir ምክንያታዊ ተግባራት):

ከተተካ በኋላ እኛ አለን-

የአራተኛው ዓይነት ክፍልፋይ ዋና አካል ለማግኘት ደርሰናል። በእኛ ሁኔታ ኮፊፊሴቲቭ አለን M = 0, p = 0, q = 1, N = 1እና n=3. ተደጋጋሚውን ቀመር እንተገብራለን፡-

ከተለዋዋጭ ምትክ በኋላ ውጤቱን እናገኛለን-

ውህደት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት

ቅጽ 1.Integrals ቀመሮችን በመጠቀም የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ምርት ወደ ድምር በመቀየር ይሰላሉ፡- ለምሳሌ, 2. የቅጹ ውህደት ፣ የት ኤምወይም n- ያልተለመደ አወንታዊ ቁጥር ፣ በልዩ ምልክት ስር በማስቀመጥ ይሰላል። ለምሳሌ, ቅጽ 3.Integrals ፣ የት ኤምእና n- አዎንታዊ ቁጥሮች እንኳን ዲግሪውን ለመቀነስ ቀመሮችን በመጠቀም ይሰላሉ-ለምሳሌ ፣ 4.Integrals ተለዋዋጭውን በመቀየር የሚሰላው የት ነው፡ ወይም ለምሳሌ፣ 5. የቅጹ ውህደቶች ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ ምትክ በመጠቀም ወደ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ውህዶች ይቀነሳሉ (ከዚህ በኋላ) =[አሃዛዊውን እና አካፋዩን በ]= ከፋፍለው በኋላ; ለምሳሌ, ሁለንተናዊ ምትክን መጠቀም ብዙውን ጊዜ ወደ ከባድ ስሌቶች እንደሚመራ ልብ ሊባል ይገባል.

§5. በጣም ቀላል የሆኑ ምክንያታዊ ያልሆኑትን ውህደት

በጣም ቀላል የሆኑትን ምክንያታዊ ያልሆኑትን የማዋሃድ ዘዴዎችን እናስብ. 1. የዚህ ዓይነቱ ተግባራት ከ 3 ኛ ዓይነት በጣም ቀላል ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ጋር በተመሳሳይ መልኩ የተዋሃዱ ናቸው-በዲኖሚኔተር ውስጥ ፣ ካሬ ትሪኖሚል ተለያይቷል ። ፍጹም ካሬእና አዲስ ተለዋዋጭ ገብቷል. ለምሳሌ. 2. (በዋና ምልክት ስር - የክርክር ምክንያታዊ ተግባር). የዚህ አይነት ውህደቶች ምትክን በመጠቀም ይሰላሉ. በተለይም በቅጹ ውህዶች ውስጥ እንጠቁማለን. ውህደቱ ሥሮችን ከያዘ የተለያዩ ዲግሪዎች: , ከዚያም የት ቦታን አመልክት n- በጣም ትንሽ የተለመዱ የቁጥሮች ብዜት። m,k. ምሳሌ 1. ምሳሌ 2. - ተገቢ ያልሆነ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ፣ ሙሉውን ክፍል ይምረጡ – – – ቅጽ 3.Integrals በትሪግኖሜትሪክ ምትክ ይሰላሉ፡-

44

45 የተወሰነ ውህደት

የተወሰነ ውህደት- ተጨማሪ ሞኖቶን መደበኛ ተግባር በጥንድ ስብስብ ላይ ይገለጻል ፣ የመጀመሪያው አካል ሊዋሃድ የሚችል ተግባር ወይም ተግባራዊ ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ ይህንን ተግባር (ተግባራዊ) የሚለይበት ስብስብ ውስጥ ያለ ጎራ ነው።

ፍቺ

ላይ ይገለጽ። በበርካታ የዘፈቀደ ነጥቦች ወደ ክፍሎች እንከፋፍለው። ከዚያም ክፋዩ ተከፋፍሏል ይላሉ, በመቀጠል የዘፈቀደ ነጥብ ይምረጡ , ,

በአንድ የጊዜ ክፍተት ላይ የተወሰነ የተግባር ዋና አካል የክፍልፋዩ ደረጃ ወደ ዜሮ ስለሚሄድ የነጥብ ክፍፍል እና ምርጫ ሳይለይ የሚኖር ከሆነ፣ ይህ ማለት የተቀናጀ ድምር ገደብ ነው።

የተወሰነው ገደብ ካለ፣ ተግባሩ Riemann ሊዋሃድ ይችላል ተብሏል።

ስያሜዎች

· ዝቅተኛ ገደብ.

· - ከፍተኛ ገደብ.

· - የተቀናጀ ተግባር.

· - የከፊል ክፍል ርዝመት.

· - በተዛማጅ ክፍልፍል ላይ ያለው የተግባር አጠቃላይ ድምር።

· - የአንድ ከፊል ክፍል ከፍተኛ ርዝመት.

ንብረቶች

አንድ ተግባር Riemann ላይ ሊዋሃድ የሚችል ከሆነ በእሱ ላይ የታሰረ ነው።

ጂኦሜትሪክ ትርጉም

እንደ የስዕሉ ስፋት የተወሰነ አካል

በቁጥር የተወሰነ የተወሰነ ከአካባቢው ጋር እኩል ነው።በ x-ዘንግ, ቀጥታ መስመሮች እና በተግባሩ ግራፍ የተገደበ ምስል.

ኒውተን-ላይብኒዝ ቲዎረም

[ አርትዕ ]

(ከ"Newton-Leibniz Formula የተወሰደ)"

ኒውተን-ላይብኒዝ ቀመርወይም ዋናው የትንተና ጽንሰ-ሐሳብበሁለት ኦፕሬሽኖች መካከል ግንኙነትን ይሰጣል-የተወሰነ ውህደትን መውሰድ እና ፀረ-ተውሳሽውን ማስላት።

ማረጋገጫ

የሚጣመር ተግባር በጊዜ ክፍተት ይስጥ። ያንን በመጥቀስ እንጀምር

ማለትም ፣ የትኛው ፊደል (ወይም) በምልክቱ ስር እንዳለ ምንም ለውጥ አያመጣም ፣ በክፍል ላይ በተወሰነው ውህደት ውስጥ።

የዘፈቀደ እሴት እናዘጋጅ እና አዲስ ተግባር እንገልፃለን። . እሱ ለሁሉም እሴቶች ይገለጻል ፣ ምክንያቱም በ ላይ ዋና አካል ካለ ፣ የበራም አንድ አካል እንዳለ እናውቃለን። በትርጉም እንደምናስብ እናስታውስ

(1)

ያስተውሉ, ያንን

በጊዜ መካከል ቀጣይነት ያለው መሆኑን እናሳይ. በእውነቱ, እናድርግ; ከዚያም

እና ከሆነ ፣ ከዚያ

ስለዚህም, መቋረጥ ቢኖረውም ባይኖረውም ቀጣይ ነው; ላይ መገጣጠም አስፈላጊ ነው.

ስዕሉ ግራፍ ያሳያል. የተለዋዋጭ አኃዝ አካባቢ ነው። የእሱ ጭማሪ ከስዕሉ ስፋት ጋር እኩል ነው። , እሱም በወሰንነቱ ምክንያት, በግልጽ ወደ ዜሮ የሚሄድ, ምንም እንኳን የመቀጠል ወይም የማቋረጥ ነጥብ ቢሆንም, ለምሳሌ ነጥብ.

አሁን ተግባሩ ሊዋሃድ ብቻ ሳይሆን ነጥቡ ቀጣይ ይሁን። በዚህ ነጥብ ላይ ያለው ተዋጽኦ እኩል መሆኑን እናረጋግጥ

(2)

በእውነቱ, ለተጠቀሰው ነጥብ

(1) , (3)

እኛ እናስቀምጣለን እና ከ TO ጋር ቋሚ አንጻራዊ ስለሆነ . በተጨማሪም፣ በአንድ ነጥብ ላይ ባለው ቀጣይነት ምክንያት፣ ማንም ሰው እንዲህ ያለውን ለ.

መሆኑን ያረጋግጣል ግራ ጎንይህ አለመመጣጠን o(1) ለ .

በ (3) ላይ ወደ ገደቡ ማለፍ የነጥቡ አመጣጥ መኖሩን እና የእኩልነት ትክክለኛነት (2) ያሳያል። እዚህ ስለ ቀኝ እና ግራ ተዋጽኦዎች ስንናገር በቅደም ተከተል።

አንድ ተግባር በ ላይ ቀጣይ ከሆነ፣ከላይ በተረጋገጠው መሰረት፣ተዛማጁ ተግባር

(4)

ጋር እኩል የሆነ ተዋጽኦ አለው። ስለዚህ, ተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው ለ .

ይህ መደምደሚያ አንዳንድ ጊዜ ተለዋዋጭ የላይኛው ወሰን integral theorem ወይም Barrow's theorem ይባላል።

በዘፈቀደ የሚሠራ የዘፈቀደ ተግባር በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ፀረ ተዋጽኦ እንዳለው በእኩልነት (4) አረጋግጠናል። ይህ ለተወሰነ ጊዜ ቀጣይነት ላለው ለማንኛውም ተግባር ፀረ ተዋጽኦ መኖሩን ያረጋግጣል።

አሁን የዘፈቀደ ይሁን ፀረ-ተግባርላይ . አንዳንድ ቋሚ የት እንዳለ እናውቃለን። ይህንን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ያንን ግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን.

ስለዚህም . ግን

ተገቢ ያልሆነ ውህደት

[ አርትዕ ]

ቁሳቁስ ከዊኪፔዲያ - ነፃ ኢንሳይክሎፔዲያ

የተወሰነ ውህደትተብሎ ይጠራል የራስህ አይደለም, ቢያንስ አንዱ ከሆነ የሚከተሉት ሁኔታዎች:

a ወይም b (ወይም ሁለቱም ገደቦች) ገደብ የለሽ ናቸው;

· ተግባር f(x) በክፍሉ ውስጥ አንድ ወይም ከዚያ በላይ መግቻ ነጥቦች አሉት።

[ማስተካከያ] የመጀመሪያው ዓይነት ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች

. ከዚያም፡-

1. ከሆነ እና ዋናው ይባላል . በዚህ ጉዳይ ላይ convergent ይባላል።

ወይም በቀላሉ የተለያየ።

ከ እና በስብስቡ ላይ ይገለጽ እና ቀጣይ ይሁን . ከዚያም፡-

1. ከሆነ , ከዚያም ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል እና ዋናው ይባላል የመጀመሪያው ዓይነት ትክክለኛ ያልሆነ Riemann. በዚህ ጉዳይ ላይ convergent ይባላል።

2. ገደብ ከሌለ (ወይም) ፣ ከዚያ ውህደቱ ወደ ይለያያል ይባላል ወይም በቀላሉ የተለያየ።

አንድ ተግባር በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ከተገለጸ እና ከቀጠለ፣ ከሁለት ጋር የዚህ ተግባር ተገቢ ያልሆነ ውህደት ሊኖር ይችላል። ገደብ የለሽ ገደቦችውህደት፣ በቀመር የተገለጸው፡-

፣ ሐ የዘፈቀደ ቁጥር ነው።

[ አርትዕ ] የመጀመሪያው ዓይነት ተገቢ ያልሆነ ውህደት ጂኦሜትሪክ ትርጉም

ተገቢ ያልሆነው ውህደት ማለቂያ የሌለው ረጅም ጥምዝ ትራፔዞይድ አካባቢን ይገልጻል።

[ አርትዕ ] ምሳሌዎች

የሁለተኛው ዓይነት ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች

ላይ ይገለጽ፣ በ x=a እና ነጥብ ላይ ማለቂያ የሌለው መቋረጥ ይሰቃይ . ከዚያም፡-

1. ከሆነ , ከዚያም ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል እና ዋናው ይባላል

divergent ተብሎ ይጠራል ወይም በቀላሉ የተለያየ።

ላይ ይገለጽ፣ በ x=b እና ማለቂያ የሌለው መቋረጥ ይሰቃያል . ከዚያም፡-

1. ከሆነ , ከዚያም ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል እና ዋናው ይባላል የሁለተኛው ዓይነት ትክክለኛ ያልሆነ Riemann. በዚህ ሁኔታ, ውህደቱ ኮንቬርጀንት ይባላል.

2. ከሆነ ወይም , ከዚያም ስያሜው ተመሳሳይ ነው, እና divergent ተብሎ ይጠራል ወይም በቀላሉ የተለያየ።

ተግባሩ በክፍሉ ውስጠኛው ክፍል ላይ መቋረጥ ካጋጠመው የሁለተኛው ዓይነት ተገቢ ያልሆነ ውህደት በቀመርው ይወሰናል-

[ አርትዕ ] የሁለተኛው ዓይነት ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች ጂኦሜትሪክ ትርጉም

አግባብ ያልሆነው ውህደት ማለቂያ የሌለው ረጅም ጥምዝ ትራፔዞይድ አካባቢን ይገልጻል

[ አርትዕ ] ለምሳሌ

[አርትዕ] የተለየ ጉዳይ

ተግባሩ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ይገለፅ እና በነጥቦቹ ላይ መቋረጥ ይኑርዎት።

ከዚያ ተገቢ ያልሆነውን ንጥረ ነገር ማግኘት እንችላለን

[ አርትዕ ] Cauchy መስፈርት

1. ከ እና ስብስብ ላይ ይገለጻል .

ከዚያም ይሰበሰባል

2. ላይ ይገለጽ እና .

ከዚያም ይሰበሰባል

[አርትዕ] ፍጹም ውህደት

የተዋሃደ ተብሎ ይጠራል ፍፁም የተቀናጀ፣ ከሆነ ይሰበሰባል.
ውህደቱ ሙሉ በሙሉ ከተጣመረ, ከዚያም ይሰበሰባል.

ሁኔታዊ ውህደት

ውህደቱ ይባላል ሁኔታዊ ተያያዥነት ያለው, ከተጣመረ, ግን ይለያያል.

48 12. ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች.

የተወሰኑ ውህደቶችን ስናስብ፣ የውህደቱ ክልል ውስን ነው ብለን ገምተናል (በተለይም እሱ ክፍል ነው። ሀ ,ለ ]); የተወሰነ ውህደት እንዲኖር ፣ ውህደቱ በ [ ላይ መታሰር አለበት ሀ ,ለ ]. ሁለቱም እነዚህ ሁኔታዎች የተሟሉላቸው (የሁለቱም የውህደት እና የመደመር ወሰን) የተወሰኑ ውህደቶችን እንጠራዋለን። የራሱ; እነዚህ መስፈርቶች የተጣሱባቸው ውህደቶች (ማለትም፣ ውህደቱ ወይም የውህደቱ ጎራ ያልተገደበ ነው፣ ወይም ሁለቱም) የራሳችሁ አይደለም።. በዚህ ክፍል ውስጥ ተገቢ ያልሆኑ ውህዶችን እናጠናለን.

• 12.1. ባልተገደበ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ትክክል ያልሆኑ ውህደቶች (የመጀመሪያው ዓይነት ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች)።
• 12.1.1. ማለቂያ በሌለው የጊዜ ክፍተት ውስጥ ተገቢ ያልሆነ ውህደት ፍቺ። ምሳሌዎች።
• 12.1.2. የኒውተን-ሌብኒዝ ፎርሙላ ተገቢ ያልሆነ ውህደት።
• 12.1.3. ለአሉታዊ ያልሆኑ ተግባራት የንጽጽር መስፈርቶች.
• 12.1.3.1. የንጽጽር ምልክት.
• 12.1.3.2. የንጽጽር ምልክት በከፍተኛ ቅርጽ.
• 12.1.4. ማለቂያ በሌለው የጊዜ ክፍተት ውስጥ የተሳሳቱ ውህደቶች ፍፁም ውህደት።
• 12.1.5. ለአቤል እና ዲሪችሌት ውህደት ሙከራዎች።
• 12.2. ያልተገደቡ ተግባራት ትክክለኛ ያልሆኑ ውህዶች (የሁለተኛው ዓይነት ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች)።
• 12.2.1. ያልተገደበ ተግባር ተገቢ ያልሆነ ውህደት ፍቺ።
• 12.2.1.1. ነጠላነት በውህደት ክፍተቱ ግራ ጫፍ ላይ ነው።
• 12.2.1.2. የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር አተገባበር።
• 12.2.1.3. በውህደት የጊዜ ክፍተት በስተቀኝ ያለው ነጠላነት።
• 12.2.1.4. በውህደት ክፍተት ውስጠኛው ነጥብ ላይ ነጠላነት.
• 12.2.1.5. በውህደት ክፍተት ላይ በርካታ ባህሪያት.
• 12.2.2. ለአሉታዊ ያልሆኑ ተግባራት የንጽጽር መስፈርቶች.
• 12.2.2.1. የንጽጽር ምልክት.
• 12.2.2.2. የንጽጽር ምልክት በከፍተኛ ቅርጽ.
• 12.2.3. ያልተቋረጡ ተግባራት ተገቢ ያልሆኑ ውህደቶች ፍጹም እና ሁኔታዊ ውህደት።
• 12.2.4. ለአቤል እና ዲሪችሌት ውህደት ሙከራዎች።

12.1. ባልተገደበ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ትክክል ያልሆኑ ውህደቶች

(የመጀመሪያው ዓይነት ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች)።

12.1.1. ማለቂያ በሌለው የጊዜ ክፍተት ውስጥ ተገቢ ያልሆነ ውህደት ፍቺ. ተግባሩ ይፍቀድ ረ (x ) በግማሽ ዘንግ ላይ ይገለጻል እና በማንኛውም ክፍተት ውስጥ ሊዋሃድ ይችላል [ ከ, በእያንዳንዱ በእነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ ተጓዳኝ ገደቦች መኖር እና ገደብ መኖሩን ያመለክታል. አሁን የምሳሌዎቹ መፍትሄዎች ቀለል ያሉ ይመስላሉ- .

12.1.3. ለአሉታዊ ያልሆኑ ተግባራት የንጽጽር መስፈርቶች. በዚህ ክፍል ሁሉም ውህደቶች በጠቅላላው የፍቺ ጎራ ላይ አሉታዊ ያልሆኑ እንደሆኑ እንገምታለን። እስካሁን ድረስ የመዋሃዱን ውህደት በማስላት ወስነናል፡ ካለ የመጨረሻ ገደብፀረ-ተውጣጣ ከተዛማጅ ዝንባሌ (ወይም) ጋር, ከዚያም ውህደቱ ይገናኛል, አለበለዚያ ይለያያል. ተግባራዊ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ግን የመገጣጠም እውነታን መመስረት በመጀመሪያ ከሁሉም አስፈላጊ ነው, እና ከዚያ በኋላ ውስጠ-ግንኙነቱን ማስላት ብቻ ነው (ከዚህም በተጨማሪ ፀረ-ተውጣጣው ብዙውን ጊዜ በሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አይገለጽም). የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት). አላስፈላጊ ያልሆኑ ተግባራትን ሳንቆጥር የተሳሳቱ ውህደቶችን እና መለያየትን ለመመስረት የሚያስችሉን በርካታ ንድፈ ሃሳቦችን እንቅረፅ እና እናረጋግጥ።
12.1.3.1. የንጽጽር ምልክት. ተግባራቶቹን ይፍቀዱ ረ (x ) እና ሰ (x ) የተዋሃደ

ርዕስ፡ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ውህደት።

ትኩረት! ከመሠረታዊ የመዋሃድ ዘዴዎች ውስጥ አንዱን በሚያጠኑበት ጊዜ ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ማቀናጀት, ጥብቅ የሆኑ ማረጋገጫዎችን ለማካሄድ ውስብስብ በሆነው ጎራ ውስጥ ፖሊኖሚሎችን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል. ስለዚህ አስፈላጊ ነው አስቀድመው ማጥናት አንዳንድ ንብረቶች ውስብስብ ቁጥሮችእና በእነሱ ላይ ክወናዎች.

ቀላል ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ውህደት.

ከሆነ ፒ(ዝ) እና ጥ(ዝ) ውስብስብ በሆነው ጎራ ውስጥ ፖሊኖሚሎች ናቸው፣ ከዚያ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ናቸው። ይባላል ትክክል፣ ዲግሪ ከሆነ ፒ(ዝ) ያነሰ ዲግሪ ጥ(ዝ) , እና ስህተት፣ ዲግሪ ከሆነ አር ከአንድ ዲግሪ ያነሰ አይደለም ጥ.

ማንኛውም ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል፡- ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z)፣

ሀ አር(ዝ) – ፖሊኖሚል የማን ዲግሪ ከዲግሪው ያነሰ ነው ጥ(ዝ).

ስለዚህ, ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ውህደት ወደ ፖሊኖሚሎች, ማለትም የኃይል ተግባራት እና ትክክለኛ ክፍልፋዮች ውህደት ላይ ይወርዳል, ምክንያቱም ትክክለኛ ክፍልፋይ ነው.

ፍቺ 5. በጣም ቀላሉ (ወይም አንደኛ ደረጃ) ክፍልፋዮች የሚከተሉት የክፍልፋዮች ዓይነቶች ናቸው።

1) , 2) , 3) , 4) .

እንዴት እንደሚዋሃዱ እንወቅ።

3) (ቀደም ብሎ ያጠናል).

ቲዎረም 5. እያንዳንዱ ትክክለኛ ክፍልፋይ እንደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር (ያለ ማስረጃ) ሊወከል ይችላል።

ማጠቃለያ 1. ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ከሆነ ፣ እና ከፖሊኖሚል ሥሮች መካከል ቀላል እውነተኛ ሥሮች ካሉ ፣ ከዚያ ክፍልፋዩ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ሲሰበሰብ የ 1 ኛ ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች ብቻ ይኖራሉ።

ምሳሌ 1.

ጥቅስ 2. ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ከሆነ እና ከፖሊኖሚል ሥሮች መካከል ብዙ እውነተኛ ሥሮች ካሉ ፣ ከዚያ ክፍልፋዩ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ሲሰበሰብ የ 1 ኛ እና 2 ኛ ዓይነቶች ቀላል ክፍልፋዮች ብቻ ይኖራሉ። :

ምሳሌ 2.

ቁርኝት 3. ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ከሆነ እና ከፖሊኖሚል ሥሮች መካከል ቀላል ውስብስብ conjugate ሥሮች ብቻ ካሉ ፣ ከዚያ ክፍልፋዩ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር መበስበስ የ 3 ኛ ዓይነት ክፍልፋዮች ብቻ ይኖራሉ ።

ምሳሌ 3.

ጥቅስ 4. ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ከሆነ እና ከፖሊኖሚል ሥሮች መካከል ብዙ የተወሳሰቡ ውስብስብ ስሮች ካሉ ፣ ከዚያ ክፍልፋዩ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ሲሰበሰብ የ 3 ኛ እና 4 ኛ ክፍልፋዮች ብቻ ይሆናሉ። ዓይነቶች:

በተሰጡት ማስፋፊያዎች ውስጥ የማይታወቁትን መለኪያዎችን ለመወሰን እንደሚከተለው ይቀጥሉ. የማይታወቁ ውህዶችን የያዘው የማስፋፊያ ግራ እና ቀኝ በ ተባዝተዋል የሁለት ፖሊኖሚሎች እኩልነት ተገኝቷል። ከእሱ ፣ ለሚያስፈልጉት ውህደቶች እኩልታዎች የሚገኙት የሚከተሉትን በመጠቀም ነው-

1. እኩልነት ለማንኛውም የ X (የከፊል እሴት ዘዴ) እሴቶች እውነት ነው. በዚህ ሁኔታ, ማንኛውም እኩልታዎች ይገኛሉ, የትኛውም ሜትር አንድ የማይታወቁትን ቁጥሮች እንዲያገኝ ያስችለዋል.

2. ጥምርታዎቹ ለተመሳሳይ የ X ዲግሪዎች (የማይታወቅ መጋጠሚያዎች ዘዴ) ይጣጣማሉ. በዚህ ሁኔታ, የ m - እኩልታዎች ከ m - የማይታወቁ ናቸው, ከነሱ የማይታወቁ ቅንጅቶች ይገኛሉ.

3. የተጣመረ ዘዴ.

ምሳሌ 5. ክፍልፋይ ዘርጋ ወደ ቀላሉ.

መፍትሄ፡-

ውህደቱን A እና Bን እንፈልግ።

ዘዴ 1 - የግል ዋጋ ዘዴ;

ዘዴ 2 - ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ

መልስ፡-

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በማዋሃድ ላይ።

ቲዎሪ 6. የማንኛውም ምክንያታዊ ክፍልፋይ ከዜሮ ጋር እኩል ባልሆነበት በማንኛውም የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያለው ያልተወሰነ አካል አለ እና በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ማለትም በምክንያታዊ ክፍልፋዮች ፣ ሎጋሪዝም እና አርክታንጀንት ይገለጻል።

ማረጋገጫ።

በቅጹ ውስጥ ምክንያታዊ ክፍልፋይን እናስብ፡- . በዚህ ሁኔታ, የመጨረሻው ቃል ትክክለኛ ክፍልፋይ ነው, እና በቲዎሬም 5 መሰረት እንደ ቀላል ክፍልፋዮች ቀጥተኛ ጥምረት ሊወከል ይችላል. ስለዚህ, ምክንያታዊ ክፍልፋይ ውህደት ወደ ፖሊኖሚል ውህደት ይቀንሳል ኤስ(x) እና ቀላል ክፍልፋዮች, ፀረ-ተውሳኮች እንደታየው, በንድፈ-ሐሳብ ውስጥ የተጠቆመው ቅጽ አላቸው.

አስተያየት። በዚህ ጉዳይ ላይ ዋነኛው ችግር የመከፋፈያውን ፋክተሪንግ, ማለትም ሁሉንም ሥሮቹን መፈለግ ነው.

ምሳሌ 1. ዋናውን ያግኙ

ውህደቱ ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው። የመከፋፈያው መስፋፋት ወደማይቀነሱ ምክንያቶች ቅርፅ አለው ይህ ማለት ውህደቱ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር መስፋፋት የሚከተለው መልክ አለው ማለት ነው።

የተቀናጀ ዘዴን በመጠቀም የማስፋፊያውን ብዛት እንፈልግ፡-

ስለዚህም

ምሳሌ 2. ዋናውን ያግኙ

የተቀናጀ ተግባር - ትክክል ያልሆነ ክፍልፋይስለዚህ ሙሉውን ክፍል እንመርጣለን-

የመዋሃዱ የመጀመሪያው በሰንጠረዥ ነው፣ እና ሁለተኛውን እናሰላዋለን ትክክለኛውን ክፍልፋይ ወደ ቀላል ክፍሎች በመበስበስ።

ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴን በመጠቀም እኛ አለን-

ስለዚህም

በጣም ቀላል ፣ የመጀመሪያ ደረጃ ፣ የአራት ዓይነቶች ክፍልፋዮችን ለማስላት ቀመሮች ተሰጥተዋል። ከአራተኛው ዓይነት ክፍልፋዮች የበለጠ ውስብስብ ውህዶች የሚሰላው የመቀነስ ቀመር በመጠቀም ነው። የአራተኛው ዓይነት ክፍልፋይን የማዋሃድ ምሳሌ ግምት ውስጥ ይገባል.

ይዘት

ተመልከት: ያልተገደቡ ውህዶች ሰንጠረዥ
ያልተወሰነ ውህዶችን ለማስላት ዘዴዎች

እንደሚታወቀው ማንኛውም የአንዳንድ ተለዋዋጭ x ምክንያታዊ ተግባር ወደ ፖሊኖሚል እና ቀላሉ፣ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች ሊበሰብስ ይችላል። አራት ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮች አሉ፡-
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
እዚህ ሀ፣ A፣ B፣ b፣ c እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው። እኩልታ x 2 + bx + c = 0የለውም እውነተኛ ሥሮች.

የመጀመሪያዎቹ ሁለት ዓይነቶች ክፍልፋዮች ውህደት

የመጀመሪያዎቹን ሁለት ክፍልፋዮች ማዋሃድ የሚከናወነው ከውህደቶች ሰንጠረዥ የሚከተሉትን ቀመሮች በመጠቀም ነው ።
,
፣ n ≠ - 1 .

1. የመጀመሪያውን ዓይነት ክፍልፋዮችን ማቀናጀት

የመጀመሪያው ዓይነት ክፍልፋይ t = x - a በመተካት ወደ ሠንጠረዥ ውህደት ይቀነሳል።
.

2. የሁለተኛው ዓይነት ክፍልፋዮች ውህደት

የሁለተኛው ዓይነት ክፍልፋይ በተመሳሳዩ ምትክ t = x - a ወደ ሠንጠረዥ ውህደት ይቀንሳል.

.

3. የሶስተኛው ዓይነት ክፍልፋዮች ውህደት

የሦስተኛው ዓይነት ክፍልፋይ ዋና አካልን እንመልከት፡-
.
በሁለት ደረጃዎች እናሰላለን.

3.1. ደረጃ 1. በአሃዛዊው ውስጥ የዲኖሚነሩን አመጣጥ ይምረጡ

በክፍልፋይ አሃዛዊ ውስጥ የዲኖሚነተሩን ተዋጽኦን እንለይ። እናመልከት፡ u = x 2+ bx+c. እንለይ፡ u′ = 2 x + ለ. ከዚያም
;
.
ግን
.
የሞጁሉን ምልክት ትተናል ምክንያቱም .

ከዚያም፡-
,
የት
.

3.2. ደረጃ 2. ውህደቱን በ A = 0, B = 1 አስሉ

አሁን የቀረውን ውህደት እናሰላለን-
.

የክፍልፋይ መለያውን ወደ ላይ እናመጣለን የካሬዎች ድምር:
,
የት .
እኩልነቱ x እንደሆነ እናምናለን። 2 + bx + c = 0ሥር የለውም። ለዛ ነው .

ምትክ እንፍጠር
,
.
.

ስለዚህ፣
.

ስለዚህ፣ የሦስተኛው ዓይነት ክፍልፋይ ዋና አካል አግኝተናል፡-

,
የት .

4. የአራተኛው ዓይነት ክፍልፋዮች ውህደት

እና በመጨረሻም ፣ የአራተኛው ዓይነት ክፍልፋይ ዋና አካልን አስቡበት-
.
በሦስት ደረጃዎች እናሰላለን.

4.1) በአሃዛዊው ውስጥ የዲኖሚተሩን አመጣጥ ይምረጡ።
.

4.2) ዋናውን አስሉ
.

4.3) መጋጠሚያዎችን አስሉ
,
የመቀነስ ቀመር በመጠቀም:
.

4.1. ደረጃ 1. በአሃዛዊው ውስጥ የዲኖሚነሩን አመጣጥ መለየት

በቁጥር ውስጥ እንዳደረግነው የዲኖሚነተሩን ተዋጽኦ እንለይ። ዩ = xን እንጥቀስ 2+ bx+c. እንለይ፡ u′ = 2 x + ለ. ከዚያም
.

.
ግን
.

በመጨረሻም እኛ አለን:
.

4.2. ደረጃ 2. ውህደቱን በ n = 1 አስላ

ዋናውን አስሉ
.
የእሱ ስሌት በ ውስጥ ተዘርዝሯል.

4.3. ደረጃ 3. የመቀነስ ቀመር አመጣጥ

አሁን ዋናውን አስቡበት
.

እናቀርባለን። ኳድራቲክ ሶስትዮሽየካሬዎች ድምር:
.
እዚህ.
ምትክ እንፍጠር።
.
.

ለውጦችን እናካሂዳለን እና ወደ ክፍሎች እንዋሃድ።




.

ማባዛት። 2 (n - 1):
.
ወደ x እና I n እንመለስ።
,
;
;
.

ስለዚህ፣ ለ I n የመቀነስ ቀመር አግኝተናል፡-
.
ይህንን ፎርሙላ በቋሚነት በመተግበር፣ ውህደቱን I n ወደ I እንቀንሳለን። 1 .

ለምሳሌ

የተዋሃደውን አስላ

1. በቁጥር አሃዛዊው ውስጥ ያለውን የዲኖሚነተር ተዋጽኦን እንለይ።
;
;


.
እዚህ
.

2. በጣም ቀላል የሆነውን ክፍልፋይ እናሰላለን.

.

3. የመቀነስ ቀመር እንተገብራለን፡-

ለዋናው.
በእኛ ሁኔታ b = 1 ፣ ሐ = 1 , 4 c - b 2 = 3. ይህንን ቀመር ለ n = 2 እና n = 3 :
;
.
ከዚህ

.

በመጨረሻም እኛ አለን:

.
ለ ንፅፅር ይፈልጉ።
.

ተመልከት:

ቀደም ባሉት አንቀጾች ውስጥ ያሉት ሁሉም ነገሮች ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ለማዋሃድ መሰረታዊ ህጎችን ለማዘጋጀት ያስችሉናል.

1. ምክንያታዊ ክፍልፋይ ትክክል ካልሆነ፣ እንደ ፖሊኖሚል ድምር እና ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ይወከላል (አንቀጽ 2 ይመልከቱ)።

ይህ ተገቢ ያልሆነ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ወደ ፖሊኖሚል ውህደት እና ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ውህደት ይቀንሳል።

2. ትክክለኛውን ክፍልፋይ ተካፋይ ያድርጉ.

3. ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ድምር ተበላሽቷል። ይህ ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ ቀላል ክፍልፋዮች ውህደት ይቀንሳል።

ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1. አግኝ .

መፍትሄ። ከዋናው በታች ተገቢ ያልሆነ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው። ሙሉውን ክፍል በመምረጥ, እናገኛለን

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

ያንን በመጥቀስ ትክክለኛውን ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን እናስፋፋ

ወደ ቀላል ክፍልፋዮች:

(ቀመር (18) ይመልከቱ)። ለዛ ነው

ስለዚህ, በመጨረሻ አለን

ምሳሌ 2. አግኝ

መፍትሄ። ከዋናው በታች ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው።

ወደ ቀላል ክፍልፋዮች በማስፋፋት (ቀመር (16) ይመልከቱ) ፣ እናገኛለን