ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የማትሪክስ ዋና መወሰኛ ፣ የማትሪክስ ብዛት ፣ የስርአቱ ቅንጅቶች (ለእንደዚህ ላሉት እኩልታዎች አንድ መፍትሄ አለ እና አንድ ብቻ ነው) ተመሳሳይ እኩልታዎች ቁጥር።

የክሬመር ቲዎሪ.

የአንድ ካሬ ስርዓት ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ካልሆነ ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና አንድ መፍትሄ አለው እና ሊገኝ የሚችለው በ የክሬመር ቀመሮች:

የት Δ የስርዓት ማትሪክስ የሚወስን,

Δ እኔየስርዓት ማትሪክስ መወሰኛ ነው, በእሱ ምትክ እኔኛው አምድ የቀኝ ጎኖቹን አምድ ይይዛል።

የስርአቱ ወሳኙ ዜሮ ሲሆን ስርዓቱ ሊተባበር ወይም ሊጣጣም አይችልም ማለት ነው።

ይህ ዘዴ በአብዛኛው ጥቅም ላይ የሚውለው ለትንንሽ ስርዓቶች ሰፊ ስሌቶች እና የማይታወቁትን አንዱን ለመወሰን አስፈላጊ ከሆነ ነው. የስልቱ ውስብስብነት ብዙ መወሰኛዎችን ማስላት ያስፈልጋል.

የክሬመር ዘዴ መግለጫ.

የእኩልታዎች ስርዓት አለ፡-

ለ 2 እኩልታዎች ስርዓት ከላይ የተብራራውን ክሬመር ዘዴን በመጠቀም የ 3 እኩልታዎች ስርዓት ሊፈታ ይችላል።

ከማያውቋቸው ጥምርታዎች ወሳኙን አዘጋጅተናል፡-

ይሆናል የስርዓት መወሰኛ. መቼ D≠0, ይህም ማለት ስርዓቱ ወጥነት ያለው ነው. አሁን 3 ተጨማሪ መለኪያዎችን እንፍጠር፡-

,,

ስርዓቱን የምንፈታው በ የክሬመር ቀመሮች:

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ምሳሌዎች።

ምሳሌ 1.

የተሰጠው ስርዓት;

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም እንፍታው.

በመጀመሪያ የስርዓት ማትሪክስ ወሳኙን ማስላት ያስፈልግዎታል-

ምክንያቱም Δ≠0, ይህም ማለት ከ Cramer's theorem ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና አንድ መፍትሄ አለው. ተጨማሪ መወሰኛዎችን እናሰላለን. የሚወስነው Δ 1 የሚገኘው ከመጀመሪያው አምድ ነፃ በሆኑ ጥራዞች አምድ በመተካት ነው. እናገኛለን፡-

በተመሳሳይ ሁኔታ ሁለተኛውን አምድ በነጻ ውህዶች አምድ በመተካት የ Δ 2ን መወሰኛ ከስርዓት ማትሪክስ ወሳኙ እናገኛለን።

ዘዴዎች ክሬመርእና ጋውስ- በጣም ታዋቂ ከሆኑ የመፍትሄ ዘዴዎች አንዱ SLAU. በተጨማሪም, በአንዳንድ ሁኔታዎች የተወሰኑ ዘዴዎችን መጠቀም ተገቢ ነው. ክፍለ-ጊዜው ቅርብ ነው፣ እና እነሱን ከባዶ ለመድገም ወይም ለመቆጣጠር ጊዜው አሁን ነው። ዛሬ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም መፍትሄውን እንመለከታለን. ከሁሉም በላይ, የ Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት በጣም ጠቃሚ ችሎታ ነው.

የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች

የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የቅጹ እኩልታዎች ስርዓት ነው፡-

የእሴት ስብስብ x የስርአቱ እኩልታ ወደ ማንነት የሚቀየርበት የስርአቱ መፍትሄ ይባላል። ሀ እና ለ እውነተኛ ቅንጅቶች ናቸው. ሁለት የማይታወቁ ሁለት እኩልታዎችን ያካተተ ቀላል ስርዓት በራስዎ ውስጥ ወይም አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር በመግለጽ ሊፈታ ይችላል። ነገር ግን በ SLAE ውስጥ ከሁለት በላይ ተለዋዋጮች (xes) ሊኖሩ ይችላሉ፣ እና እዚህ ቀላል የት/ቤት መጠቀሚያዎች በቂ አይደሉም። ምን ለማድረግ? ለምሳሌ፣ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም SLAEዎችን ይፍቱ!

እንግዲያው, ስርዓቱ እንዲይዝ ያድርጉ n ጋር እኩልታዎች n የማይታወቅ.

እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት በማትሪክስ መልክ እንደገና ሊጻፍ ይችላል

እዚህ ሀ - የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ; X እና ለ , በቅደም ተከተል, የማይታወቁ ተለዋዋጮች እና ነጻ ቃላት የአምድ ማትሪክስ.

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም SLAE ን መፍታት

የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ (ማትሪክስ ነጠላ ያልሆነ) ከሆነ ስርዓቱ የ Cramer ዘዴን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል።

በ Cramer ዘዴ መሰረት, መፍትሄው የሚገኘው ቀመሮቹን በመጠቀም ነው-

እዚህ ዴልታ ዋናው ማትሪክስ የሚወስነው ነው, እና ዴልታ x nth - የ nth አምድ በነፃ ቃላት አምድ በመተካት ከዋናው ማትሪክስ መወሰኛ የተገኘ።

ይህ የ Cramer ዘዴ አጠቃላይ ይዘት ነው። ከላይ ያሉትን ቀመሮች በመጠቀም የተገኙትን እሴቶች በመተካት x ወደ ተፈለገው ስርዓት, የመፍትሄያችን ትክክለኛነት (ወይም በተቃራኒው) እርግጠኞች ነን. ነገሩን በፍጥነት እንዲረዱ ለማገዝ፣ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም ስለ SLAE ዝርዝር መፍትሄ ምሳሌ ከዚህ በታች እንሰጣለን።

ምንም እንኳን ለመጀመሪያ ጊዜ ካልተሳካዎት, ተስፋ አይቁረጡ! በትንሽ ልምምድ፣ SLAUs እንደ ለውዝ መሰንጠቅ ትጀምራለህ። በተጨማሪም ፣ አሁን በማስታወሻ ደብተር ላይ መቧጠጥ ፣ አስቸጋሪ ስሌቶችን መፍታት እና ዋናውን መፃፍ በጭራሽ አስፈላጊ አይደለም ። የክሬመር ዘዴን በመስመር ላይ በመጠቀም በቀላሉ SLAEዎችን መፍታት ይችላሉ፣ ልክ በተጠናቀቀው ቅፅ ውስጥ ያሉትን መለኪያዎች በመተካት። የ Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመር ላይ መፍትሄ ማስያ መሞከር ይችላሉ, ለምሳሌ, በዚህ ድህረ ገጽ ላይ.

እና ስርዓቱ ግትር ሆኖ ከተገኘ እና ተስፋ ካልቆረጠ ሁል ጊዜ ለእርዳታ ወደ ደራሲዎቻችን መዞር ይችላሉ ፣ ለምሳሌ ማጠቃለያ ለመግዛት። በስርዓቱ ውስጥ ቢያንስ 100 ያልታወቁ ነገሮች ካሉ በእርግጠኝነት በትክክል እና በጊዜ እንፈታዋለን!

ይህ የመስመር ላይ ካልኩሌተር ክሬመር ዘዴን በመጠቀም የመስመር እኩልታዎች (SLE) ስርዓት መፍትሄ ያገኛል። ዝርዝር መፍትሄ ተሰጥቷል። ለማስላት, የተለዋዋጮችን ቁጥር ይምረጡ. ከዚያ ውሂቡን ወደ ሴሎቹ ውስጥ ያስገቡ እና "አስላ" ቁልፍን ጠቅ ያድርጉ።

×

ማስጠንቀቂያ

ሁሉንም ሕዋሳት ይጽዱ?

ዝጋ አጽዳ

የውሂብ ማስገቢያ መመሪያዎች.ቁጥሮች እንደ ኢንቲጀር ገብተዋል (ለምሳሌ፡ 487፣ 5፣ -7623፣ ወዘተ)፣ አስርዮሽ (ለምሳሌ 67.፣ 102.54፣ ወዘተ.) ወይም ክፍልፋዮች። ክፍልፋዩ በ a/b መልክ መግባት አለበት፣ ሀ እና b (b>0) ኢንቲጀር ወይም አስርዮሽ ቁጥሮች ናቸው። ምሳሌዎች 45/5፣ 6.6/76.4፣ -7/6.7፣ ወዘተ.

ክሬመር ዘዴ

የ Cramer ዘዴ ከዋናው ማትሪክስ ዜሮ ያልሆነ ወሳኙ ጋር የመስመራዊ እኩልታዎችን ባለአራት ስርዓት ለመፍታት ዘዴ ነው። እንዲህ ዓይነቱ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው.

የሚከተለው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ይሰጥ።

የት ሀየስርዓቱ ዋና ማትሪክስ;

የመጀመሪያው መገኘት ያስፈልገዋል, ሁለተኛው ደግሞ ተሰጥቷል.

እኛ ማትሪክስ ያለውን መወሰኛ Δ እንደሆነ መገመት ጀምሮ ሀከዜሮ የተለየ ነው፣ ከዚያ ወደ ተቃራኒው አለ። ሀማትሪክስ ሀ-1. ከዚያም ማንነትን (2) ከግራ ​​በኩል በተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማባዛት። ሀ-1, እናገኛለን:

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የሚከተለው ቅጽ አለው።

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት አልጎሪዝም

1. የዋናው ማትሪክስ መወሰኛ Δ አስላ ሀ.
2. የማትሪክስ አምድ 1 መተካት ሀወደ ነጻ አባላት ቬክተር ለ.
3. የውጤቱ ማትሪክስ የሚወስነው Δ 1 ስሌት ሀ 1 .
4. ተለዋዋጭ አስላ x 1 =Δ 1 / Δ
5. ለአምዶች 2 ፣ 3 ፣ ... ፣ እርምጃዎች 2-4 ን ይድገሙ። nማትሪክስ ሀ.

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም SLEs የመፍታት ምሳሌዎች

ምሳሌ 1. የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ፡

የማትሪክስ አምድ 1ን እንተካ ሀበእያንዳንዱ አምድ ቬክተር ለ:

የማትሪክስ አምድ 2 ተካ ሀበእያንዳንዱ አምድ ቬክተር ለ:

የማትሪክስ አምድ 3 ተካ ሀበእያንዳንዱ አምድ ቬክተር ለ:

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄው በሚከተለው መንገድ ይሰላል።

በማትሪክስ መልክ እንጽፈው፡- አክስ=ለ፣ የት

የአምድ 2 ትልቁን የሞዱሎ መሪ አካል እንመርጣለን ። ይህንን ለማድረግ ረድፎችን 2 እና 4 እንለዋወጣለን ። በዚህ ሁኔታ ፣ የመለኪያው ምልክት ወደ “-” ይቀየራል።

የአምድ 3 መሪ አባል እንመርጣለን ፣ በሞጁል ውስጥ ትልቁ ፣ ይህንን ለማድረግ ረድፎችን 3 እና 4 እንለዋወጣለን ። በዚህ ሁኔታ ፣ የመለኪያው ምልክት ወደ “+” ይቀየራል።

ማትሪክስ ወደ ላይኛው የሶስት ማዕዘን ቅርፅ ቀንስነው። የማትሪክስ መወሰኛ ከዋናው ዲያግናል የሁሉም አካላት ምርት ጋር እኩል ነው-

የማትሪክስ ወሳኙን ለማስላት ሀ 1, ከላይ ከተጠቀሰው አሰራር ጋር ተመሳሳይነት ያለውን ማትሪክስ ወደ ላይኛው የሶስት ማዕዘን ቅርጽ እንቀንሳለን. የሚከተለውን ማትሪክስ እናገኛለን:

የማትሪክስ አምድ 2 ተካ ሀበእያንዳንዱ አምድ ቬክተር ለማትሪክስ ወደ ላይኛው ትሪያንግል ቅርፅ እንቀንሳለን እና የማትሪክስ ወሳኙን እናሰላለን።

,,,.

ይህንን አንቀፅ ለመቆጣጠር “ሁለት በሁለት” እና “በሶስት በሦስት” ያሉትን ቆራጮች ማሳየት መቻል አለቦት። በብቃቶች መጥፎ ከሆኑ እባክዎን ትምህርቱን አጥኑ ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

በመጀመሪያ፣ በሁለት የማይታወቁ የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የ Cramer አገዛዝን በጥልቀት እንመለከታለን። ለምንድነው? - ከሁሉም በላይ, በጣም ቀላሉ ስርዓት የትምህርት ቤት ዘዴን በመጠቀም, በጊዜ-ጊዜ የመደመር ዘዴን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል!

እውነታው ግን አንዳንድ ጊዜ እንዲህ ዓይነቱ ተግባር ይከሰታል - የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም የሁለት መስመራዊ እኩልታዎችን ከሁለት የማይታወቁ ጋር ለመፍታት። በሁለተኛ ደረጃ, ቀለል ያለ ምሳሌ Cramer's አገዛዝን ለተጨማሪ ውስብስብ ጉዳይ እንዴት እንደሚጠቀሙ ለመረዳት ይረዳዎታል - የሶስት እኩልታዎች ከሶስት የማይታወቁ ጋር.

በተጨማሪም, ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች አሉ, እነሱም የ Cramer's ደንብን በመጠቀም ለመፍታት ጠቃሚ ናቸው!

የእኩልታዎችን ስርዓት ግምት ውስጥ ያስገቡ

በመጀመሪያው ደረጃ, ወሳኙን እናሰላለን, ይባላል የስርዓቱ ዋና መወሰኛ.

Gauss ዘዴ.

ከሆነ ፣ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው ፣ እና ሥሮቹን ለማግኘት ሁለት ተጨማሪ መለኪያዎችን ማስላት አለብን።
እና

በተግባር፣ ከላይ ያሉት ብቃቶች በላቲን ፊደልም ሊገለጹ ይችላሉ።

ቀመሮቹን በመጠቀም የእኩልታውን ሥሮች እናገኛለን፡-
,

ምሳሌ 7

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

መፍትሄየስሌቱ ውህደቶች በጣም ትልቅ መሆናቸውን እናያለን ፣ በቀኝ በኩል ኮማ ያላቸው የአስርዮሽ ክፍልፋዮች አሉ። ኮማ በሂሳብ ውስጥ በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ በጣም ያልተለመደ እንግዳ ነው ፣ ይህንን ስርዓት ከኢኮኖሚያዊ ችግር ወሰድኩት።

እንዲህ ዓይነቱን ሥርዓት እንዴት መፍታት ይቻላል? አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንጻር ለመግለጽ መሞከር ይችላሉ, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ ውስጥ አብሮ ለመስራት በጣም የማይመቹ አስፈሪ ክፍልፋዮችን ሊያጠናቅቁ ይችላሉ, እና የመፍትሄው ንድፍ በቀላሉ አስፈሪ ይመስላል. ሁለተኛውን እኩልታ በ 6 ማባዛት እና ቃልን በጊዜ መቀነስ ይችላሉ, ግን ተመሳሳይ ክፍልፋዮች እዚህም ይነሳሉ.

ምን ለማድረግ? በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, የክሬመር ቀመሮች ወደ ማዳን ይመጣሉ.

;

;

መልስ: ,

ሁለቱም ሥሮች ማለቂያ የሌላቸው ጭራዎች አሏቸው እና በግምት ይገኛሉ ፣ ይህም ለኢኮኖሚክስ ችግሮች በጣም ተቀባይነት ያለው (እና አልፎ ተርፎም የተለመደ) ነው።

እዚህ አስተያየቶች አያስፈልጉም, ስራው የሚፈታው ዝግጁ የሆኑ ቀመሮችን በመጠቀም ነው, ሆኖም ግን, አንድ ማስጠንቀቂያ አለ. ይህንን ዘዴ ሲጠቀሙ, የግዴታየተግባር ዲዛይኑ ክፍልፋይ የሚከተለው ቁራጭ ነው። "ይህ ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው ማለት ነው". ያለበለዚያ፣ ገምጋሚው ለCramer's theorem አክብሮት የጎደለው ድርጊት ሊቀጣህ ይችላል።

በካልኩሌተር ላይ በሚመች ሁኔታ ሊከናወን የሚችለውን መፈተሽ በጣም ጥሩ አይሆንም-ግምታዊ እሴቶችን በእያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታ በግራ በኩል እንተካለን። በውጤቱም, በትንሽ ስህተት, በቀኝ በኩል ያሉትን ቁጥሮች ማግኘት አለብዎት.

ምሳሌ 8

መልሱን በተለመደው ተገቢ ባልሆኑ ክፍልፋዮች ያቅርቡ። ቼክ ያድርጉ።

ይህ በራስዎ ለመፍታት ምሳሌ ነው (የመጨረሻው ንድፍ ምሳሌ እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ያለው መልስ)።

የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት የማይታወቁ ጋር የክሬመርን ደንብ ወደ እንመልከት፡-

የስርዓቱን ዋና መመዘኛ እናገኛለን-

ከሆነ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች አሉት ወይም ወጥነት የሌለው (መፍትሄ የለውም)። በዚህ ሁኔታ የክሬመር ህግ አይረዳም, የ Gauss ዘዴን መጠቀም ያስፈልግዎታል.

ከሆነ ፣ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው እና ሥሮቹን ለማግኘት ሦስት ተጨማሪ መለኪያዎችን ማስላት አለብን።
, ,

እና በመጨረሻም መልሱ ቀመሮቹን በመጠቀም ይሰላል-

እንደሚመለከቱት የ"ሶስት በሦስት" ጉዳይ በመሠረቱ ከ"ሁለት ሁለት" ጉዳይ አይለይም ፣ የነፃ ቃላት አምድ በቅደም ተከተል በዋናው መወሰኛ አምዶች ከግራ ወደ ቀኝ ይራመዳል።

ምሳሌ 9

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

መፍትሄ: የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን እንፍታ.

, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

መልስ: .

በእውነቱ ፣ እዚህ እንደገና አስተያየት ለመስጠት ምንም ልዩ ነገር የለም ፣ ምክንያቱም መፍትሄው ዝግጁ የሆኑ ቀመሮችን ስለሚከተል። ግን ሁለት አስተያየቶች አሉ።

በስሌቶች ምክንያት “መጥፎ” የማይቀነሱ ክፍልፋዮች ሲገኙ ፣ ለምሳሌ፡-
የሚከተለውን "ህክምና" አልጎሪዝም እመክራለሁ. በእጅዎ ኮምፒተር ከሌለዎት ይህንን ያድርጉ

1) በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት ሊኖር ይችላል. “መጥፎ” ክፍልፋይ እንዳጋጠመዎት ወዲያውኑ ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል ሁኔታው በትክክል ተጽፏል?. ሁኔታው ያለ ስህተቶች እንደገና ከተፃፈ, በሌላ ረድፍ (አምድ) ውስጥ ማስፋፊያን በመጠቀም ቆራጮችን እንደገና ማስላት ያስፈልግዎታል.

2) በማጣራት ምክንያት ምንም ስህተቶች ካልተገኙ ምናልባት ምናልባት በተግባሩ ሁኔታዎች ውስጥ የትየባ ነበር። በዚህ ሁኔታ, በእርጋታ እና በጥንቃቄ ስራውን እስከ መጨረሻው ድረስ, እና ከዚያም ማረጋገጥዎን እርግጠኛ ይሁኑእና ከውሳኔው በኋላ በንጹህ ሉህ ላይ እናወጣዋለን. በእርግጥ ክፍልፋይ መልስ መፈተሽ ደስ የማይል ተግባር ነው፣ ነገር ግን ለመምህሩ ትጥቅ ማስፈታት ይሆናል። ክፍልፋዮችን እንዴት እንደሚይዙ በምሳሌ 8 ላይ በዝርዝር ተገልጾአል።

በእጅዎ ኮምፒዩተር ካለዎት, ለመፈተሽ አውቶሜትድ ፕሮግራም ይጠቀሙ, ይህም በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ በነፃ ማውረድ ይችላል. በነገራችን ላይ ፕሮግራሙን ወዲያውኑ መጠቀም በጣም ትርፋማ ነው (መፍትሄውን ከመጀመርዎ በፊትም ቢሆን) ወዲያውኑ ስህተት የሰሩበትን መካከለኛ ደረጃ ያያሉ! ተመሳሳዩ ካልኩሌተር የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የስርዓቱን መፍትሄ በራስ-ሰር ያሰላል።

ሁለተኛ አስተያየት። ከጊዜ ወደ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች የሚጎድሉባቸው እኩልታዎች ውስጥ ሥርዓቶች አሉ ለምሳሌ፡-

እዚህ በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ የለም, በሁለተኛው ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ የለም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ዋናውን መወሰኛ በትክክል እና በጥንቃቄ መፃፍ በጣም አስፈላጊ ነው-
- ዜሮዎች በጠፉ ተለዋዋጮች ምትክ ይቀመጣሉ።
በነገራችን ላይ, ዜሮ በሚገኝበት ረድፍ (አምድ) መሰረት ቆራጮችን በዜሮዎች መክፈት ምክንያታዊ ነው, ምክንያቱም በጣም ጥቂት ስሌቶች አሉ.

ምሳሌ 10

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ (የመጨረሻው ንድፍ ናሙና እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ያለው መልስ) ምሳሌ ነው.

ለ 4 እኩልታዎች ስርዓት ከ 4 የማይታወቁ, የ Cramer ቀመሮች የተፃፉት በተመሳሳይ መርሆች ነው. በትምህርቱ ውስጥ የቀጥታ ምሳሌ ማየት ይችላሉ የመወሰኛ ባህሪዎች። የወሳኙን ቅደም ተከተል መቀነስ - አምስት 4 ኛ ቅደም ተከተሎች በጣም ሊፈቱ የሚችሉ ናቸው. ምንም እንኳን ስራው ቀድሞውኑ በእድለኛ ተማሪ ደረቱ ላይ የፕሮፌሰር ጫማውን በጣም የሚያስታውስ ቢሆንም.

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ዘዴ በመሠረቱ ልዩ ጉዳይ ነው የማትሪክስ እኩልታ(የተጠቀሰውን ትምህርት ምሳሌ ቁጥር 3 ተመልከት).

ይህንን ክፍል ለማጥናት ወሳኞችን ማስፋፋት፣ የማትሪክስ ተገላቢጦሽ መፈለግ እና ማትሪክስ ማባዛትን ማከናወን መቻል አለብዎት። ማብራሪያዎቹ በሂደት ላይ ሲሆኑ አግባብነት ያላቸው ማገናኛዎች ይቀርባሉ.

ምሳሌ 11

የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንፃፍ፡-
፣ የት

እባክዎን የእኩልታዎችን እና ማትሪክስ ስርዓትን ይመልከቱ። ኤለመንቶችን ወደ ማትሪክስ የምንጽፍበትን መርህ ሁሉም ሰው የተረዳ ይመስለኛል። ብቸኛው አስተያየት፡ አንዳንድ ተለዋዋጮች ከእኩልታዎች ጠፍተው ከሆነ፣ ዜሮዎች በማትሪክስ ውስጥ ባሉ ተጓዳኝ ቦታዎች ላይ መቀመጥ ነበረባቸው።

ቀመሩን በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን፡-
, የማትሪክስ ተጓዳኝ አካላት የአልጀብራ ማሟያዎች የተላለፈው ማትሪክስ የት አለ።

በመጀመሪያ፣ ወሳኙን እንመልከት፡-

እዚህ ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተዘርግቷል.

ትኩረት! ከሆነ, ከዚያ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የለም, እና የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት አይቻልም. በዚህ ሁኔታ ስርዓቱ የማይታወቁትን (የጋውስ ዘዴ) በማስወገድ ዘዴ ይፈታል.

አሁን 9 ታዳጊዎችን ማስላት እና ወደ ታዳጊዎች ማትሪክስ መፃፍ ያስፈልገናል

ዋቢ፡በመስመራዊ አልጀብራ ውስጥ ድርብ የደንበኝነት ምዝገባዎችን ትርጉም ማወቅ ጠቃሚ ነው። የመጀመሪያው አሃዝ ኤለመንቱ የሚገኝበት የመስመር ቁጥር ነው. ሁለተኛው አሃዝ ኤለመንቱ የሚገኝበት የአምድ ቁጥር ነው፡-

ማለትም፣ ድርብ መዝገብ የሚያመለክተው ንጥረ ነገሩ በመጀመሪያው ረድፍ፣ በሦስተኛው አምድ እና ለምሳሌ በ3 ረድፍ፣ 2 አምድ ውስጥ መሆኑን ነው።

በመፍትሔው ጊዜ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ስሌት በዝርዝር መግለጽ ይሻላል, ምንም እንኳን ከተወሰነ ልምድ ጋር ስህተቶችን በአፍ ለማስላት ሊለማመዱ ይችላሉ.

የክሬመር ዘዴ ወይም የክረምመር አገዛዝ ተብሎ የሚጠራው ያልታወቁ መጠኖችን ከእኩልታዎች ስርዓቶች የመፈለግ ዘዴ ነው። የሚፈለጉት እሴቶች ቁጥር በሲስተሙ ውስጥ ካሉት የአልጀብራ እኩልታዎች ብዛት ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው ጥቅም ላይ የሚውለው ፣ ማለትም ፣ ከስርዓቱ የተፈጠረው ዋና ማትሪክስ ካሬ እና ዜሮ ረድፎችን ያልያዘ መሆን አለበት ፣ እና እንዲሁም የሚወስነው ካለ ዜሮ መሆን የለበትም.

ቲዎሪ 1

የክሬመር ቲዎሪየዋናው ማትሪክስ ዋና መወሰኛ $D$ ፣በእኩልታዎች ቅንጅቶች መሠረት የተጠናቀረ ከሆነ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ፣የእኩልታዎች ስርዓት ወጥነት ያለው እና ልዩ መፍትሄ አለው። የእንደዚህ አይነት ስርዓት መፍትሄ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን ለመፍታት ክሬመር በሚባሉት ቀመሮች አማካይነት ይሰላል: $ x_i = \ frac (D_i) (D) $

የክሬመር ዘዴ ምንድን ነው?

የክሬመር ዘዴ ዋናው ነገር እንደሚከተለው ነው.

1. የ Cramer's ዘዴን በመጠቀም ለስርዓቱ መፍትሄ ለማግኘት በመጀመሪያ የማትሪክስ $ D$ ዋና መወሰኑን እናሰላለን። የዋናው ማትሪክስ ስሌት ስሌት በክሬመር ዘዴ ሲሰላ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ሲገኝ ስርዓቱ አንድ ነጠላ መፍትሄ የለውም ወይም ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ቁጥር አለው። በዚህ ሁኔታ ለስርዓቱ አጠቃላይ ወይም አንዳንድ መሰረታዊ መልስ ለማግኘት የጋውስ ዘዴን መጠቀም ይመከራል.
2. ከዚያ የዋናውን ማትሪክስ ውጫዊ አምድ በነፃ ቃላት አምድ መተካት እና ወሳኙን $D_1$ ማስላት ያስፈልግዎታል።
3. ለሁሉም ዓምዶች ተመሳሳይ ይድገሙ፣ ከ$D_1$ እስከ $D_n$ ድረስ፣ $n$ የቀኝ ቀኝ አምድ ቁጥር ነው።
4. ሁሉም መወሰኛዎች $D_1$...$D_n$ ከተገኙ በኋላ ያልታወቁ ተለዋዋጮች በቀመር $x_i = \frac(D_i)(D)$ ሊሰሉ ይችላሉ።

የማትሪክስ ወሳኙን ለማስላት ቴክኒኮች

ከ 2 በ 2 በላይ የሆነ የማትሪክስ መወሰኛን ለማስላት ብዙ ዘዴዎችን መጠቀም ይችላሉ-

• የሶስት ማዕዘኑ አገዛዝ፣ ወይም የሳርረስ አገዛዝ፣ ተመሳሳይ ህግን የሚያስታውስ ነው። የሶስት ማዕዘን ዘዴው ዋናው ነገር ወሳኙን ሲያሰሉ በቀኝ በኩል ባለው ቀይ መስመር በምስሉ ላይ የተገናኙት የሁሉም ቁጥሮች ምርቶች በመደመር ምልክት የተፃፉ እና ሁሉም ቁጥሮች በግራ በኩል ባለው ምስል ላይ በተመሳሳይ መንገድ የተገናኙ ናቸው ። በመቀነስ ምልክት ተጽፈዋል። ሁለቱም ደንቦች ለ 3 x 3 መጠን ማትሪክስ ተስማሚ ናቸው. በሳርሩስ ደንብ ውስጥ, ማትሪክስ እራሱ በመጀመሪያ እንደገና ይጻፋል, እና ከእሱ ቀጥሎ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ አምዶች እንደገና ይጻፋሉ. ሰያፍ ቅርጾች በማትሪክስ እና በነዚህ ተጨማሪ ዓምዶች በኩል ይሳላሉ፤ በዋናው ዲያግናል ወይም ትይዩ ላይ የተኙ የማትሪክስ አባላት በመደመር ምልክት ተጽፈዋል።

ምስል 1. ለ Cramer ዘዴ መወሰኛን ለማስላት የሶስት ማዕዘን ህግ

• የ Gaussian ዘዴ ተብሎ የሚጠራውን ዘዴ በመጠቀም, ይህ ዘዴ አንዳንድ ጊዜ የመወሰንን ቅደም ተከተል መቀነስ ይባላል. በዚህ ሁኔታ, ማትሪክስ ተለውጧል እና ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርፅ ይቀንሳል, ከዚያም በዋናው ዲያግናል ላይ ያሉት ሁሉም ቁጥሮች ይባዛሉ. መወሰኛን በዚህ መንገድ ሲፈልጉ ረድፎችን ወይም ዓምዶችን እንደ ማባዛት ወይም አካፋይ ሳይወስዱ በቁጥር ማባዛት ወይም መከፋፈል እንደማይችሉ መታወስ አለበት። መወሰኛን በሚፈልጉበት ጊዜ ረድፎችን እና አምዶችን መቀነስ እና መደመር የሚቻለው ቀደም ሲል የተቀነሰውን ረድፍ በዜሮ ባልሆነ ሁኔታ በማባዛት ብቻ ነው። እንዲሁም የማትሪክስ ረድፎችን ወይም አምዶችን እንደገና ስታስተካክሉ የማትሪክሱን የመጨረሻ ምልክት መቀየር አስፈላጊ መሆኑን ማስታወስ አለብዎት።
• ክሬመር ዘዴን በመጠቀም SLAEን ከ 4 ያልታወቁ ሰዎች ጋር ሲፈታ፣ ፈላጊዎችን ለመፈለግ እና ለማወቅ ወይም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመፈለግ የጋውስ ዘዴን መጠቀም ጥሩ ነው።

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት

ለ 2 እኩልታዎች እና ለሁለት አስፈላጊ መጠኖች የ Cramer ዘዴን እንተገብረው፡-

$\ጀማሪ (ጉዳይ) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ መጨረሻ(ጉዳይ)$

ለመመቻቸት በተስፋፋ መልኩ እናሳየው፡-

$A = \መጀመሪያ(ድርድር)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \መጨረሻ(ድርድር)$

የስርአቱ ዋና መወሰኛ ተብሎም የዋናውን ማትሪክስ ወሳኙን እንፈልግ፡-

$D = \መጀመሪያ(ድርድር)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \መጨረሻ(ድርድር) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

ዋናው መወሰኛ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ታዲያ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም ስኩዊቱን ለመፍታት ከዋናው ማትሪክስ አምዶች ጋር በሁለት ማትሪክስ ተጨማሪ ጥንድ ተጨማሪ መለኪያዎችን ማስላት ያስፈልግዎታል ።

$D_1 = \መጀመሪያ(ድርድር)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \መጨረሻ(ድርድር) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \ጀማሪ(ድርድር)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \መጨረሻ(ድርድር) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

አሁን ያልታወቁትን $x_1$ እና $x_2$ን እንፈልግ፡-

$x_1 = \ frac (D_1) (D)$

$x_2 = \ frac (D_2) (D)$

ምሳሌ 1

የክሬመር ዘዴ SLAEዎችን በዋና ማትሪክስ በ 3 ኛ ቅደም ተከተል (3 x 3) እና በሶስት የማይታወቁ.

የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት፡-

$\ጀማሪ(ጉዳይ) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\\መጨረሻ(ጉዳይ)$

ከላይ በቁጥር 1 ላይ የተመለከተውን ህግ በመጠቀም የማትሪክስ ዋና ወሳኙን እናሰላ።

$D = \ጀማሪ(ድርድር)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \መጨረሻ(array) = 3 \cdot 4 \cdot () -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64$

እና አሁን ሶስት ሌሎች መወሰኛዎች፡-

$D_1 = \ጀማሪ(ድርድር)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ መጨረሻ(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 ዶላር

$D_2 = \ጀማሪ(ድርድር)(|ccc|) 3 እና 21 እና 4 \\3 እና 9 እና 2 \\ 2 እና 10 እና 1 \\ \ መጨረሻ(ድርድር) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 ዶላር

$D_3 = \ጀማሪ(ድርድር)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ መጨረሻ(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 ዶላር

የሚፈለገውን መጠን እንፈልግ፡-

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$