Если импульс движущегося тела массой. Понятие импульса тела. Закон сохранения импульса. Определение через волны де Бройля

Любые задачи на движущиеся тела в классической механике требуют знания концепции импульса. В данной статье рассматривается эта концепция, дается ответ на вопрос, куда направлен вектор импульса тела, а также приводится пример решения задачи.

Количество движения

Чтобы выяснить, куда направлен вектор импульса тела, следует, в первую очередь, понять его физический смысл. Впервые термин был объяснен Исааком Ньютоном, однако важно отметить, что итальянский ученый Галилео Галилей в своих работах уже использовал похожее понятие. Для характеристики движущегося объекта он ввел величину, которая называлась стремление, натиск или собственно импульс (impeto на итальянском). Заслуга же Исаака Ньютона заключается в том, что он смог связать эту характеристику с действующими на тело силами.

Итак, изначально и более правильно то, что большинство понимают под импульсом тела, называть количеством движения. Действительно, математическая формула для рассматриваемой величины пишется в виде:

Здесь m - масса тела, v¯ - его скорость. Как видно из формулы, ни о каком импульсе речь не идет, имеется лишь скорость тела и его масса, то есть количество движения.

Важно отметить, что эта формула не следует из математических доказательств или выражений. Ее возникновение в физике имеет исключительно интуитивный, бытовой характер. Так, любой человек хорошо представляет, что если муха и грузовик будут двигаться с одинаковой скоростью, то грузовик остановить гораздо тяжелее, поскольку он обладает намного большим количеством движения, чем насекомое.

Откуда возникло понятие вектор импульса тела, рассмотрено далее.

Импульс силы - причина изменения количества движения

Интуитивно введенную характеристику Ньютон смог связать со вторым законом, носящим его фамилию.

Импульс силы - это известная физическая величина, которая равна произведению приложенной внешней силы к некоторому телу на время ее действия. Воспользовавшись известным законом Ньютона и полагая, что сила от времени не зависит, можно прийти к выражению:

F¯ * Δt = m * a¯ * Δt.

Здесь Δt - время действия силы F, a - это линейное ускорение, сообщаемое силой F телу массой m. Как известно, умножение ускорения тела на промежуток времени, который оно действует, дает приращение скорости. Этот факт позволяет переписать формулу выше в несколько ином виде:

F¯ * Δt = m * Δv¯, где Δv¯= a¯ * Δt.

Правая часть равенства представляет собой изменение количества движения (см. выражение в предыдущем пункте). Тогда получится:

F¯ * Δt = Δp¯, где Δp¯ = m * Δv¯.

Таким образом, пользуясь законом Ньютона и понятием об импульсе силы, можно прийти к важному выводу: воздействие внешней силы на объект в течение некоторого времени приводит к изменению его количества движения.

Теперь становится понятным, почему количество движения принято называть импульсом, ведь его изменение совпадает с импульсом силы (слово "сила", как правило, опускают).

Векторная величина p¯

Над некоторыми величинами (F¯, v¯, a¯, p¯) стоит черта. Это означает, что речь идет о векторной характеристике. То есть количество движения так же, как и скорость, сила и ускорение, помимо абсолютной величины (модуля), описывается еще направлением.

Так как каждый вектор можно разложить на отдельные компоненты, то, пользуясь декартовой прямоугольной системой координат, можно записать следующие равенства:

1) p¯ = m * v¯;
2) p x = m * v x ; p y = m * v y ; p z = m * v z ;
3) |p¯| = √(p x 2 + p y 2 + p z 2).

Здесь 1-е выражение - это векторная форма представления количества движения, 2-й набор формул позволяет рассчитать каждую из компонентов импульса p¯, зная соответствующие компоненты скорости (индексы x, y, z говорят о проекции вектора на соответствующую ось координат). Наконец, 3-я формула позволяет вычислить длину вектора импульса (абсолютное значение величины) через его компоненты.

Куда направлен вектор импульса тела?

Рассмотрев понятие количества движения p¯ и его основные свойства, можно легко ответить на поставленный вопрос. Вектор импульса тела направлен так же, как и вектор линейной скорости. Действительно, из математики известно, что умножение вектора a¯ на число k приводит к образованию нового вектора b¯, обладающего следующими свойствами:

его длина равна произведению числа на модуль исходного вектора, то есть |b¯| = k * |a¯|;
он направлен так же, как исходный вектор, если k > 0, в противном случае он будет направлен противоположно a¯.

В данном случае роль вектора a¯ играет скорость v¯, импульс p¯ - это новый вектор b¯, а число k - это масса тела m. Поскольку последняя всегда является положительной (m>0), то, отвечая на вопрос: чему сонаправлен вектор импульса тела p¯, следует сказать, что он сонаправлен скорости v¯.

Вектор изменения количества движения

Интересно рассмотреть еще один похожий вопрос: куда направлен вектор изменения импульса тела, то есть Δp¯. Для ответа на него стоит использовать полученную выше формулу:

F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.

Исходя из рассуждений в предыдущем пункте, можно сказать, что направление изменения количества движения Δp¯ совпадает с направлением вектора силы F¯ (Δt > 0) или с направлением вектора изменения скорости Δv¯ (m > 0).

Здесь важно не путать, что речь идет именно об изменении величин. В общем случае векторы p¯ и Δp¯ не совпадают, поскольку они никак не связаны друг с другом. Например, если сила F¯ будет действовать против скорости v¯ перемещения объекта, тогда p¯ и Δp¯ будут направлены в противоположные стороны.

Где важно учитывать векторный характер количества движения?

Рассмотренные выше вопросы: куда направлен вектор импульса тела и вектор его изменения, обусловлены не простым любопытством. Дело в том, что закон сохранения импульса p¯ выполняется для каждой его компоненты. То есть в наиболее полной форме он записывается так:

p x = m * v x ; p y = m * v y ; p z = m * v z .

Каждая компонента вектора p¯ сохраняет свое значение в системе взаимодействующих объектов, на которые не действуют внешние силы (Δp¯ = 0).

Как пользоваться этим законом и векторными представлениями величины p¯, чтобы решать задачи на взаимодействие (соударение) тел?

Задача с двумя шарами

На рисунке ниже изображены два шара разной массы, которые летят под разными углами к горизонтальной линии. Пусть массы шаров равны m 1 = 1 кг, m 2 = 0,5 кг, их скорости v 1 = 2 м/с, v 2 = 3 м/с. Необходимо определить направление импульса после удара шаров, полагая последний абсолютно неупругим.

Начиная решать задачу, следует записать закон неизменности количества движения в векторной форме, то есть:

p 1 ¯ + p 2 ¯ = const.

Поскольку каждая компонента импульса должна сохраняться, то нужно переписать это выражение, учитывая также, что после столкновения два шара начнут двигаться, как единый объект (абсолютно неупругий удар):

m 1 * v 1x + m 2 * v 2x = (m 1 + m 2) * u x ;
M 1 * v 1y + m 2 * v 2y = (m 1 + m 2) * u y .

Знак минус для проекции импульса первого тела на ось y появился вследствие ее направленности против выбранного вектора оси ординат (см. рис.).

Теперь нужно выразить неизвестные компоненты скорости u, а затем подставить известные значения в выражения (соответствующие проекции скоростей определяются умножением модулей векторов v 1 ¯ и v 2 ¯ на тригонометрические функции):

u x = (m 1 * v 1x + m 2 * v 2x) / (m 1 + m 2), v 1x = v 1 * cos(45 o); v 2x = v 2 * cos(30 o);
u x = (1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,866) / (1 + 0,5) = 1,8088 м/с;
u y = (-m 1 * v 1y + m 2 * v 2y) / (m 1 + m 2), v 1y = v 1 * sin(45 o); v 2y = v 2 * sin(30 o);
u y = (-1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,5) / (1 + 0,5) = -0,4428 м/с.

Это две компоненты скорости тела после удара и "слипания" шаров. Поскольку направление скорости совпадает с вектором импульса p¯, то ответить на вопрос задачи можно, если определить u¯. Угол его относительно горизонтальной оси будет равен арктангенсу отношения компонент u y и u x:

α = arctg(-0,4428 / 1,8088) = -13,756 o .

Знак минус указывает, что импульс (скорость) после удара будет направлен вниз от оси x.

Импульс - это одна из самых фундаментальных характеристик физической системы. Импульс замкнутой системы сохраняется при любых происходящих в ней процессах.

Знакомство с этой величиной начнем с простейшего случая. Импульсом материальной точки массы движущейся со скоростью называется произведение

Закон изменения импульса. Из этого определения можно с помощью второго закона Ньютона найти закон изменения импульса частицы в результате действия на нее некоторой силы Изменяя скорость частицы, сила изменяет и ее импульс: . В случае постоянной действующей силы поэтому

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех действующих на нее сил. При постоянной силе промежуток времени в (2) может быть взят любым. Поэтому для изменения импульса частицы за этот промежуток справедливо

В случае изменяющейся со временем силы весь промежуток времени следует разбить на малые промежутки в течение каждого из которых силу можно считать постоянной. Изменение импульса частицы за отдельный промежуток вычисляется по формуле (3):

Полное изменение импульса за весь рассматриваемый промежуток времени равно векторной сумме изменений импульса за все промежутки

Если воспользоваться понятием производной, то вместо (2), очевидно, закон изменения импульса частицы записывается как

Импульс силы. Изменение импульса за конечный промежуток времени от 0 до выражается интегралом

Величина, стоящая в правой части (3) или (5), называется импульсом силы. Таким образом, изменение импульса Др материальной точки за промежуток времени равно импульсу силы, действовавшей на него в течение этого промежутка времени.

Равенства (2) и (4) представляют собой в сущности другую формулировку второго закона Ньютона. Именно в таком виде этот закон и был сформулирован самим Ньютоном.

Физический смысл понятия импульса тесно связан с имеющимся у каждого из нас интуитивным или почерпнутым из повседневного опыта представлением о том, легко ли остановить движущееся тело. Значение здесь имеют не скорость или масса останавливаемого тела, а то и другое вместе, т. е. именно его импульс.

Импульс системы. Понятие импульса становится особенно содержательным, когда оно применяется к системе взаимодействующих материальных точек. Полным импульсом Р системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени:

Здесь суммирование выполняется по всем входящим в систему частицам, так что число слагаемых равно числу частиц системы.

Внутренние и внешние силы. К закону сохранения импульса системы взаимодействующих частиц легко прийти непосредственно из второго и третьего законов Ньютона. Силы, действующие на каждую из входящих в систему частиц, разобьем на две группы: внутренние и внешние. Внутренняя сила - это сила, с которой частица действует на Внешняя сила - это сила, с которой действуют на частицу все тела, не входящие в состав рассматриваемой системы.

Закон изменения импульса частицы в соответствии с (2) или (4) имеет вид

Сложим почленно уравнения (7) для всех частиц системы. Тогда в левой части, как следует из (6), получим скорость изменения

полного импульса системы Поскольку внутренние силы взаимодействия между частицами удовлетворяют третьему закону Ньютона:

то при сложении уравнений (7) в правой части, где внутренние силы встречаются только парами их сумма обратится в нуль. В результате получим

Скорость изменения полного импульса равна сумме внешних сил, действующих на все частицы.

Обратим внимание на то, что равенство (9) имеет такой же вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, причем в правую часть входят только внешние силы. В замкнутой системе, где внешние силы отсутствуют, полный импульс Р системы не изменяется независимо от того, какие внутренние силы действуют между частицами.

Полный импульс не меняется и в том случае, когда действующие на систему внешние силы в сумме равны нулю. Может оказаться, что сумма внешних сил равна нулю только вдоль какого-то направления. Хотя физическая система в этом случае и не является замкнутой, составляющая полного импульса вдоль этого направления, как следует из формулы (9), остается неизменной.

Уравнение (9) характеризует систему материальных точек в целом, но относится к определенному моменту времени. Из него легко получить закон изменения импульса системы за конечный промежуток времени Если действующие внешние силы неизменны в течение этого промежутка, то из (9) следует

Если внешние силы изменяются со временем, то в правой части (10) будет стоять сумма интегралов по времени от каждой из внешних сил:

Таким образом, изменение полного импульса системы взаимодействующих частиц за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов внешних сил за этот промежуток.

Сравнение с динамическим подходом. Сравним подходы к решению механических задач на основе уравнений динамики и на основе закона сохранения импульса на следующем простом примере.

щенный с сортировочной горки железнодорожный вагон массы движущийся с постоянной скоростью сталкивается с неподвижным вагоном массы и сцепляется с ним. С какой скоростью движутся сцепленные вагоны?

Нам ничего не известно о силах, с которыми взаимодействуют вагоны во время столкновения, кроме того факта, что на основании третьего закона Ньютона они в каждый момент равны по модулю и противоположны по направлению. При динамическом подходе необходимо задаваться какой-то моделью взаимодействия вагонов. Простейшее возможное предположение - что силы взаимодействия постоянны в течение всего времени, пока происходит сцепка. В таком случае с помощью второго закона Ньютона для скоростей каждого из вагонов спустя время после начала сцепки можно написать

Очевидно, что процесс сцепки заканчивается, когда скорости вагонов становятся одинаковыми. Предположив, что это произойдет спустя время х, имеем

Отсюда можно выразить импульс силы

Подставляя это значение в любую из формул (11), например во вторую, находим выражение для конечной скорости вагонов:

Конечно, сделанное предположение о постоянстве силы взаимодействия вагонов в процессе их сцепки весьма искусственно. Использование более реалистичных моделей приводит к более громоздким расчетам. Однако в действительности результат для конечной скорости вагонов не зависит от картины взаимодействия (разумеется, при условии, что в конце процесса вагоны сцепились и движутся с одной и той же скоростью). Проще всего в этом убедиться, используя закон сохранения импульса.

Поскольку никакие внешние силы в горизонтальном направлении на вагоны не действуют, полный импульс системы остается неизменным. До столкновения он равен импульсу первого вагона После сцепки импульс вагонов равен Приравнивая эти значения, сразу находим

что, естественно, совпадает с ответом, полученным на основе динамического подхода. Использование закона сохранения импульса позволило найти ответ на поставленный вопрос с помощью менее громоздких математических выкладок, причем этот ответ обладает большей общностью, так как при его получении не использовалась какая бы то ни было конкретная модель взаимодействия.

Проиллюстрируем применение закона сохранения импульса системы на примере более сложной задачи, где уже выбор модели для динамического решения затруднителен.

Задача

Разрыв снаряда. Снаряд разрывается в верхней точке траектории, находящейся на высоте над поверхностью земли, на два одинаковых осколка. Один из них падает на землю точно под точкой разрыва спустя время Во сколько раз изменится расстояние от этой точки по горизонтали, на которое улетит второй осколок, по сравнению с расстоянием, на котором упал бы неразорвавшийся снаряд?

Решение, Прежде всего напишем выражение для расстояния на которое улетел бы неразорвавшийся снаряд. Так как скорость снаряда в верхней точке (обозначим ее через направлена горизонтально, то расстояние равно произведению и на время падения с высоты без начальной скорости, равное на которое улетел бы неразорвавшийся снаряд. Так как скорость снаряда в верхней точке (обозначим ее через направлена горизонтально, то расстояние равно произведению на время падения с высоты без начальной скорости, равное тела, рассматриваемого как система материальных точек:

Разрыв снаряда на осколки происходит почти мгновенно, т. е. разрывающие его внутренние силы действуют в течение очень короткого промежутка времени. Очевидно, что изменением скорости осколков под действием силы тяжести за столь короткий промежуток времени можно пренебречь по сравнению с изменением их скорости под действием этих внутренних сил. Поэтому, хотя рассматриваемая система, строго говоря, не является замкнутой, можно считать, что ее полный импульс при разрыве снаряда остается неизменным.

Из закона сохранения импульса можно сразу выявить некоторые особенности движения осколков. Импульс - векторная величина. До разрыва он лежал в плоскости траектории снаряда. Поскольку, как сказано в условии, скорость одного из осколков вертикальна, т. е. его импульс остался в той же плоскости, то и импульс второго осколка также лежит в этой плоскости. Значит, и траектория второго осколка останется в той же плоскости.

Далее из закона сохранения горизонтальной составляющей полного импульса следует, что горизонтальная составляющая скорости второго осколка равна ибо его масса равна половине массы снаряда, а горизонтальная составляющая импульса первого осколка по условию равна нулю. Поэтому горизонтальная дальность полета второго осколка от

места разрыва равна произведению на время его полета. Как найти это время?

Для этого вспомним, что вертикальные составляющие импульсов (а следовательно, и скоростей) осколков должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Время полета интересующего нас второго осколка зависит, очевидно, от того, вверх или вниз направлена вертикальная составляющая его скорости в момент разрыва снаряда (рис. 108).

Рис. 108. Траектория осколков после разрыва снаряда

Это легко выяснить, сравнив данное в условии время отвесного падения первого осколка с временем свободного падения с высоты А. Если то начальная скорость первого осколка направлена вниз, а вертикальная составляющая скорости второго - вверх, и наоборот (случаи а и на рис. 108).

Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела

Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.

Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.

Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:

1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.

2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.

Согласно второму закону Ньютона, можем записать:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.

Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.

Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:

то попытка такого решения привела бы к ошибке.

Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.

Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.

С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.

Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.

Импульс силы равен изменению импульса тела:

Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:

Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.

Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:

Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:

Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.

Список литературы

Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.

Домашнее задание

Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
Как связаны импульс тела с импульсом силы?
Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?

Интернет-портал Questions-physics.ru ().
Интернет-портал Frutmrut.ru ().
Интернет-портал Fizmat.by ().

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.

Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.